Bài giảng Toán kỹ thuật - Nguyễn Cao Trí

Chia sẻ: Cuchoami2510 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán kỹ thuật cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm biến phức; thặng dư và ứng dụng; toán tử laplace; ứng dụng laplace vào giải tích mạch điện; fourier. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật - Nguyễn Cao Trí

07:35 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ 1. Tên học phần: TOÁN KỸ THUẬT 2. Số tín chỉ: 3 (2LT+1 TH) 3. Phân bổ thời gian: 60 tiết BÀI GIẢNG: - Lý thuyết: 30 tiết; - Bài tập: 30 tiết. TOÁN KỸ THUẬT 4. Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên: GV: Nguyễn Cao Trí - Điểm KT giữa học phần: 30%; - Điểm thi kết thúc học phần: 70%. Bình Dương 2/2016 1 2 5. Tài liệu học tập: 5.1. Tài liệu bắt buộc: Lê Bá Long, “Toán kỹ thuật” 5.2. Tài liệu tham khảo: NỘI DUNG [1]. Nguyễn Kim Đính, “Hàm phức và ứng CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN PHỨC dụng”, Trường Đại Học Kỹ Thuật Tp Hồ Chí CHƯƠNG 2: THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG Minh, 1998. CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE [2]. Nguyễn Kim Đính, “Phép biến đổi Laplace”, CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG LAPLACE VÀO Trường Đại Học Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh, GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN 1998. CHƯƠNG 5: FOURIER 3 4
07:35 1.1. Số phức CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN PHỨC ♦ Số phức có dạng: z = x + iy 1.1. Số phức i: số ảo đơn vị; i2 = -1 1.2. Hàm biến phức 1.3. Giới hạn và liên tục x = Re{z): phần thực của z 1.4. Đạo hàm y = Im{z): phần ảo của z. 1.5 Điều kiện Cauchy- Riémann ♦ Biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức: 1.6 Các tính chất của hàm phức 1.7 Các hàm sơ cấp 5 6 ♦ Biểu diễn số phức dưới dạng tọa độ cực: ♦ Số phức liên hợp của z = x + iy là số: ♦ Hai số phức z1 = x1+ iy1 và z2 = x2+ iy2 bằng nhau khi: Giá trị này được tính từ công thức: 7 8
07:35 ♦ Số phức cũng có các tính chất tương tự như trên số thực như: - Giao hoán ♦ Phép cộng, trừ: - Kết hợp z1 ± z2 = (x1± x2) + i(y1 ± y2) - Phân bố - Phần tử đơn vị: ♦ Phép nhân: 0(0,0): Phần tử đơn vị đối với toán cộng; 1(1,0): Phần tử đơn vị đối với toán nhân. (x1+ iy1).(x2+ iy2) = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) - Số nghịch đảo ♦ Phép chia: Số nghịch đảo cộng: z = (x,y) và -z = (-x,-y) Số nghịch đảo nhân: z = (x,y) và 9 10 ♦ Ví dụ 1: Tính 1.2. Hàm biến phức ♦ Ví dụ 2: Tính x và y nếu: (x + y +2) + (x2 + y)i = 0 Giải: Viết 0(0,0) và theo định nghĩa 2 số phức bằng nhau, ta có: x + y +2 = 0 và x2 + y = 0. Suy ra 2 nghiệm: x=2, y= -4 hoặc x= -1,y= -1. ♦ Ví dụ 3: ♦ Ví dụ:…….. Bài tập: Ví dụ 1.4,1.5,……1.13 quyển 1 (Hàm phức và ứng dụng”, Trường Đại Học Quôc gia Tp Hồ Chí Minh) 11 12
07:35 MỘT SỐ KHÁI NIỆM ♦ Vùng: một tập điểm chứa tất cả các điểm của một ♦ Cận (gần nhau): cận ε của điểm z0 là tập điểm z nằm trong tập mở và không/vài/tất cả các điểm biên của nó được đường tròn tâm z0 có bán kính ε, gọi là một vùng, kí hiệu R. ♦ Điểm trong/điểm ngoài: điểm z0 của một tập điểm S được ♦ Vùng kín ( R): một vùng được gọi là kín nếu nó chứa gọi là nằm bên trong S nếu có một cận của z0 hoàn toàn nằm tất cả các điểm biên của nó. trong S và được gọi là điểm ngoài của S nếu có một cận của z0 không chứa điểm nào của S. ♦ Vùng có biên: một vùng được gọi là có biên nếu tồn ♦ Điểm biên: điểm z0 được gọi là điểm biên của S nếu z0 tại một hằng số M > 0 sao cho tất cả các điểm z của không phải điểm trong cũng không phải điểm ngoài. Viis dụ |z| vùng thỏa mãn |z| ≤ M, nghĩa là chúng nằm trong = 1 là biên của tập sau: S1: |z| = 1 và S2 : |z| ≤ 1. đường tròn. ♦ Tập hở: S được gọi là một tập điểm hở nếu nó không chứa ♦ Vùng kết hợp: một vùng vừa có biên, vừa kín thì điểm biên nào, tất cả các điểm của S đều là các điểm trong. được gọi là kết hợp. Ví dụ, vùng |z| ≤ 1 là vùng kết hợp vì nó vừa kín và vừa có biên. Vùng |z| < 1 là vùng mở và có biên 13 14 ♦ Miền: một vùng hở và liên thông được gọi là một miền, kí ♦ Vùng liên thông: giả sử ta có n điểm z1, z2, …, zn trong hiệu D. Ví dụ, S  {z  re i :  0  arg z   0  } là một miền mặt phẳng. Mặt phẳng đó có một đường gấp khúc gồm (n-1) không có biên đoạn theo trình tự z1 z2 , z2 z3 , …, zn1 zn . Một vùng được gọi là liên thông nếu hai điểm bất kì trong các điểm của nó có thể được nối bằng đường gấp khúc có trong vùng đó 15 16
07:35 Một số miền đơn liên và đa liên thường gặp 1.2. Hàm biến phức ♦ Hàm biến phức: Nếu với mỗi z  R , có tương ứng duy nhất một số phức w(z), khi đó ta nói w(z) là một hàm của biến phức z, được viết dưới dạng w  f (z) ♦ Tổng quát: f(z) có thể được viết dưới dạng w  f ( z )  u( x , y )  iv ( x , y ) ♦ Ví dụ: cho w = f(z) = z2 tìm u(x,y) và v(x,y) w  f ( z )  z 2  ( x  iy ) 2 w  f ( z )  z 2  x 2  y 2  2ixy Vậy u(x,y) = x2 – y2 và v(x,y) = 2xy 17 18 1.3. Giới hạn và liên tục 1.4. Đạo hàm ♦ Giới hạn: Hàm số w = f(z) được xác định trong vùng lân cận z = z0, ngoại trừ tại z0. Ta nói f(z) có giới hạn là w0 nếu khi z → z0 thì f(z) → w0 (z0, w0 hữu hạn) lim f ( z )  w0 z  z0 nếu với mọi ε > 0 (đủ nhỏ) luôn có một δ > 0 sao cho f ( z )  w0   khi 0  z  z0   ♦ Liên tục: Hàm f(z) được gọi là liên tục tại z0 nếu: lim f ( z )  f ( z0 ) z  z0 19 20
07:35 1.5. Điều kiện Cauchy- Riémann ♦ Đạo hàm của các hàm số cơ bản Giả sử f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) có đạo hàm thì các đạo hàm riêng cấp 1: Điều kiện tồn tại df/dz là: 21 22 1.6. Các tính chất của hàm giải tích 1.7. Các hàm sơ cấp Hàm giải tích có 3 tính chất thú vị và quan trọng trong 3 định lý sau:  Hàm mũ 1. Nếu hàm f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trong miền D và  Hàm lượng giác nếu u và v có các đạo hàm cấp 2 liên tục trong D thì D, u  Hàm Hypebôn và v thỏa pt Laplace sau:  Hàm logarit và các nhánh của nó 2. Nếu hàm f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trong miền D thì  Hàm lũy thừa tổng quát trong D các đường cong của họ u(x,y) = c là những quỹ  Hàm lượng giác ngược và Hypebôn ngược đạo trực giao của các đường cong của họ v(x,y) = k và ngược lại. 3. Nếu trong hàm giải tích w = u(x,y) + iv(x,y) ta thay x và y theo z và : thì w sẽ chỉ là hàm của z mà thôi. Với: 23 24
07:35 1.7. Các hàm sơ cấp  Hàm lượng giác  Hàm mũ: Là hàm cơ bản nhất, nó còn được dùng để định nghĩa các hàm cơ bản khác: ez: Đơn trị và giải tích khắp nơi; dez/dz = ez ez trở thành ex khi Imz =0 25 26  Hàm Hypebôn  Hàm lôgarit và các nhánh của nó Hàm lôgarit là hàm ngược của hàm mũ. Cho z ≠ 0, tìm w sao cho: ew= z = r.eiθ Hàm lôgarit được định nghĩa: lnz = lnr + i(θ+2nπ) (- π < θ ≤ π; n Є Z) - Nếu gọi argz = θ+2nπ = Argz +2nπ là acgumen của z, ta có: lnz = ln│z│+ iargz (z ≠ 0). Vậy lnz là hàm vô số trị. Nếu chọn trước một số n ta sẽ xác định được một nhánh của hàm. Nếu n=0 ta sẽ được nhánh chính của hàm, ký hiệu là Lnz. Lnz = lnr + iθ ; (- π < θ ≤ π) Lnz = ln │z│ + iArgz Nhánh n của hàm lôgarit cho bởi: lnz = Lnz + i2nπ 27 28
07:35  Hàm lượng giác ngược và Hypebôn ngược  Hàm lượng giác ngược và Hypebôn ngược Các hàm này là các hàm ngược của các hàm lượng giác và hypebôn: 29 30  Hàm lũy thừa tổng quát CHƯƠNG 2: THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG Cho số phức s. Nếu z ≠ 0 ta định nghĩa hàm lũy 2.1 Khái niệm thừa của z như sau: zs = eslnz 2.2 Định lý Trong đó: lnz - là hàm vô số trị. 2.3 Thặng dư tại các cực zs - là hàm vô số trị. 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định 2.5 Ứng dụng tính phân Laplace ngược 31 32
07:35 Đối với các hàm giải tích trong một vùng hình khuyên hay một vòng tròn thủng ta có thể biểu diễn f(z) bằng chuỗi 2.1 Khái niệm Laurent: Hệ số a-1 của 1/(z-z0) trong triển khai Laurent của f(z) trong cận: 0 < │z - z0 │< R của một điểm bất thường cô lập z - z0 được gọi là thặng dư của f(z) tại z0, ký hiệu là Res{f(z); z0}. 33 34 2.2 Định lý Định lý 2: Nếu f(z) có quá nhiều điểm cực trong C, việc tính toán thặng dư cũng khá vất vả. Ta sử dụng công thức sau để tính: 2.2 Định lý  1 Định lý 1: 1    f ( z ) dz  2  i . Re s  2 f  ;0  Nếu C là một đường kín đơn và f(z) là hàm giải tích c  z  z   trong và trên C ngoại trừ tại một số điểm bất thường zk trong C thì: n  f ( z ) dz  2  i  R es  f  z ; z k  c k 1 35 36
07:35 2.3 Thặng dư tại các cực Một điểm bất thường cô lập a của hàm f(z) 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định là một cực cấp m nếu và chỉ nếu f(z) có thể viết  Định lý 1: dưới dạng:  z  Nếu F(cosθ, sinθ) là một hàm hữu tỷ của f z   cosθ và sinθ, hữu hạn trên khoảng kín 0 ≤ θ ≤ π z  a  m và nếu f(z)dz là biểu thức có được từ Trong đó:  z  giải tích tại a và  a   0; F(cosθ, sinθ)dθ bằng cách thay thế: 0   (a )   (a ) z  z 1 z  z 1 dz Với qui ước: và 0! = 1 cos   ; sin   ; d  2 2i iz ( m 1 ) 2 n Ta có:   thì : F cos  , sin  .d   2  i  Re s  f ( z ); z x  Re s  f  z ; a   a m  1!  0 k 1 1 d m 1 Trong đó: z1,z2,…zn là các cực của f(z)  m  1! lim m 1  (z  a)m f ( z)  nằm trong vòng tròn đơn vị | z | = 1. z  a dz 37 38 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định  Hệ luận 1: (Trị chính Cauchy tồn tại)  Định lý 2: Nếu f(x)= P(x)/Q(x), trong đó P(x) và Q(x) Nếu f(z) là một hàm giải tích trong nửa mặt là 2 đa thức sao cho: bậc Q(x) ≥ bậc P(x)+2 và phẳng trên Imz >0 ngoại trừ một số hữu hạn cực nếu Q(x) không có nghiệm thực thì: không nằm trên trục thực và nếu zf(z) hội tụ về 0  n khi z→∞ qua các giá trị sau cho:  f ( x ) dx  2 i  Re s  f ( z ); z k   k 1 a  arg z   n Trong đó: z1,z2,…zn là các cực của f(z)  thì :  f ( x ) dx  2 i  Re s  f ( z ); z k  nằm trong nửa mặt phẳng trên.  k 1 Trong đó: z1,z2,…zn là các cực của f(z) nằm trong nửa mặt phẳng trên. 39 40
07:35  Hệ luận 2: Nếu f(z) là một hàm giải tích nằm trong 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định nửa mặt phẳng trên ngoại trừ ở một số hữu hạn  Định lý 3: cực không nằm trên trục thực và nếu zf(z) hội tụ Nếu f(z) là một hàm giải tích khắp nơi trong đều về 0 khi z→∞ trong nửa mặt phẳng trên, thì mặt phẳng z ngoại trừ một số hữu hạn cực không với a>0 ta có: nằm trên trục thực dương và nếu zaf(z) hội tụ đều về 0 khi z→0 và khi z→∞ thì:  n   f ( x) cos axdx  2 Im   Re s eiaz f ( z); zk    n k 1   x a 1 f ( x)dx  sin a  Re s( z) k 1 a 1 f ( z ); zk   n   f ( x ) sin axdx  2 Re iaz  Re s e f ( z); zk   Trong đó: z1,z2,…zn là tất cả các cực của  k 1  (-z)a-1f(z) với điều kiện lấy argz trong khoảng(-π,π). 41 42 2.5 Ứng dụng tính Laplace ngược Định lý: Nếu F(s) là hàm giải tích của s ngoại trừ CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE tại một số hữu hạn cực nằm bên trái của đường thẳng: Res = a, và nếu sF(s) bị chặn khi s→∞ 3.1. Phép biến đổi Laplace THUẬN trong nữa mặt phẳng trái Res ≤ a thì: 3.2. Phép biến đổi Laplace NGHỊCH n 3.3. Ứng dụng giải phương trình vi phân  L-1 F ( s )   Re s F ( s ) e st ; s k  k 1 Trong đó: s1, s2,…sn là các cực của F(s). 43 44
07:35 Số TT f(t) F(s) 1 1 u(t) BiẾN ĐỔI LAPLACE BẢNG ; s> 0 CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE s 1 2 e-at ; s> -a 3.1. Phép biến đổi Laplace THUẬN s  a s Biến đổi Laplace của hàm f(t) được định nghĩa: 3 cosat ; s> 0 s2  a2 a  4 sinat ; s> 0 F ( s )  L  f (t )   f (t ) e  st dt n! s  a2 2 0 5 tn ; n=0,1,2... n 1 ; s> 0 s sa 6 e-at cosbt (s  a)2  b 2 ; s> -a b 7 e-at sinbt (s  a)2  b 2 ; s> -a n! 8 e-at tn (s  a ) n 1 ; s> -a tcosat s2  a2 ; s> 0 9 45 (s 2  a 2 )2 46 BẢNG BiẾN ĐỔI LAPLACE CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BiẾN ĐỔI LAPLACE Số TT f(t) F(s) t sinat 2 as ;s>0 10 (s 2  a 2 )2 s 11 coshat ; s> |a| s2  a2 a 12 sinhat ; s> |a| s2  a2 t.u(t) = r(t) 1 ; s> 0 13  R (s) s2 14 t2/2.u(t) = p(t) 1 ; s> 0  P (s) s3 15 tn-1/(n-1)!.u(t) = δn-1(t) 1 ; s> 0 sn 16 δ(t) 1 ; s> 0 17 δ’ (t) s ; s> 0 18 δ(n) (t) sn ; 47 48
07:35 CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE KHAI TRIỂN HEAVISIDE 3.2. Phép biến đổi Laplace NGHỊCH - Trong quá trình tìm biến đổi Laplace Hàm f(t) cho bởi tích phân ngược phức: ngược của các phân số hữu tỉ P(s)/Q(s) 1 a  i khi gặp trường hợp bậc của mẫu Q(s) f (t )  L-1 F ( s )   F ( s ) e st ds lớn hơn bậc của tử P(s) ta khai triển 2 i a  i P(s)/Q(s) thành tổng nhiều phân số sơ cấp. - Biến đổi Laplace ngược của các phân số hữu tỉ là tổng các biến đổi Laplace ngược các phân số sơ cấp. 49 50 3.3. Ứng dụng giải phương trình vi phân: 3.3. Ứng dụng giải phương trình vi phân: Xét phương trình vi phân hệ số hằng:  Bước 1: ay(t)”+by(t)’+cy(t) = f(t) với : Y(0)=y0; y’(0)=y’0. Dùng phép biến đổi Laplace biến Trong đó: - y(t) là hàm ẩn cần tìm; phương trình vi phân biến t, hàm ẩn y(t) - a,b,c là các hằng số; thành phương trình đại số biến s, hàm - f(t) là vế 2 của phương trình vi phân; ẩn Y(s). - y0, y’0 là các gía trị ban đầu của y và y’. Lấy biến đổi Laplace của 2 vế:  Bước 2: Giải pt đại số đó để tìm Y(s). a L{y(t)”} + b L{y(t)’} +c L{y(t)} = L{f(t)}  Bước 3: a[s2Y(s)-sy(0)-y’(0)] + b[sY(s)-y(0)] +cY(s)= F(s) Dùng phép biến đổi Laplace ngược (as2+bs+c)Y(s) -(as+b)y0 –ay’0 = F(S). để tìm y(t) = L-1{y(s)}. F ( s)  (as  b) y0  ay0' => Y ( s)  51 as 2  bs  c 52
07:35 CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG LAPLACE VÀO 4.1 Quan hệ dòng áp GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN 4.1 Quan hệ dòng áp 4.2 Định luật Kirchhoff 4.3 Tổng trở và tổng dẫn 4.4 Mạch điện miền -s 4.5 Hàm truyền 4.6 Giải mạch bằng hàm truyền khi điều kiện đầu khác không 53 54 4.1 Quan hệ dòng áp 4.1 Quan hệ dòng áp: - Biến đổi Laplace - Tổng trở của R, L, C: - iL(0_): dòng điện ban đầu chạy qua cuộn dây; - vC(0_): điện ấp ban đầu giữa 2 bản của tụ; 55 56
07:35 4.2 Định luật Kirchhoff : (miền –t) 4.2 Định luật Kirchhoff: (miền –s) - Tổng dòng điện đến 1 nút bằng 0: - Tổng dòng điện đến 1 nút bằng 0 i1(t) + i2(t) + i3(t) + i4(t) = 0. I1(s) + I2(s) + I3(s) + I4(s) = 0 - Tổng điện áp của vòng kín bằng 0 - Tổng điện áp của vòng kín bằng 0: V1(s) + V2(s) + V3(s) + V4(s) = 0 v1(t) + v2(t) + v3(t) + v4(t) = 0 57 58 4.4 Mạch điện miền –s 4.3 Tổng trở và tổng dẫn Giải mạch trong miền –s được tiến hành như sau: - Nghịch đảo của tổng trở Z(s) được gọi là tổng dẫn:  Bước 1: Chuyển từ miền –t sang miền –s bằng cách: 1 I (s) - Thay biến t bởi biến s. Y (s)   ; Tất cả điều kiện đầu bằng 0. Z (s) V (s) - Thay v(t), i(t) bởi V(s), I(s); 1 - Thay R, L, C bằng ZR(s) = R; ZL(s) = sL;  YR (s)   G; R ZC(s)=1/sC; 1 - Thay nguồn áp và nguồn dòng độc lập vg(t), ig(t)  YL (s)  ; sL bởi Vg(s), Ig (s);  Yc ( s )  sC . - Giữ nguyên chiều dương giả thiết của áp, dòng, nguồn áp và nguồn dòng.  Bước 2: Giải mạch miền –s để tìm V(s), I(s).  Bước 3: Chuyển từ miền –s sang miền –t bằng biến đổi Laplace ngược: v(t)= L-1{V(s)}; i(t)=L-1{I(s)}. 59 60
07:35 4.4 Mạch điện miền –s 4.4 Mạch điện miền –s Dùng phép biến đổi Thevenin-Norton ta có được mạch tương đương R, L, C trong miền –s (dạng Đưa các điều kiện đầu vào mạch miền –s Norton): Nguồn dòng có được bằng nguồn áp chia cho tổng trở. 61 62 4.4 Hàm truyền 4.4.1 Hàm truyền đối với một hàm vào 4.4 Hàm truyền Gọi X(s) là hàm vào và Y(s) là hàm ra của một 4.4.2 Hàm truyền đối với nhiều hàm vào mạch điện trong miền –s. Người ta gọi hàm truyền Giả sử hàm có n nguồn độc lập, ký hiệu là X1(s), H(s) là tỉ số của hàm ra và hàm vào khi tất cả điều kiện X2(s)….Xn(s) ta muốn tìm hàm Y(s) do các nguồn đó đầu bằng không. tạo nên, với tất cả điều kiện ban đầu bằng 0. Ta thực Y (s) H (s)  hiện như sau: X (s) Bước 1: Chỉ cho X1(s) làm việc và cho các X(s) - X(s), Y(s): Có thể là dòng hoặc áp; khác có giá trị bằng 0. Tìm Y1(s) theo X1(s). - Khi biết được H(s) ta có thể tính được Y(s) đối với Bước 2, 3,…n: Tương tự bước 1. bất cứ hàm vào X(s) nào: Y(s) =H(s).X(s). Tìm Y2,3…(s) theo X2,3…n(s). - Để tìm y(t) ta chỉ việc lấy Laplace ngược của Y(s). Theo nguyên lý xếp chồng khi ta cho tất cả các Muốn tìm H(s) ta cho tất cả điều kiện đầu bằng 0, nguồn X1(s), X2(s)….Xn(s) cùng làm việc, ta có: vẽ mạch trong miền –s. Sau đó tính giá trị hàm ra cần Y(s)= Y1(s)+Y2(s)+…+Yn(s) khảo sát và chia cho hàm vào. H(s) Y(s)= H1(s) X1(s)+H2(s) X2(s)+…+Hn(s) Xn(s). 63 64
07:35 4.6 Giải mạch bằng hàm truyền khi đk đầu ≠ 0  Bước 1: Ta xây dựng mạch miền –s có chứa các điều kiện ban đầu: Các nguồn áp LiL(0_) và vC(0_)/s hoặc các nguồn dòng iL(0_) /s và CvC(0_).  Bước 2: Chỉ cho tập các nguồn độc lập làm việc, tập các nguồn điều kiện đầu nghỉ. Dùng phương pháp hàm truyền H(s) để xác định đáp ứng cưỡng bức do tập các nguồn độc lập tạo ra.  Bước 3: Cho tập các nguồn điều kiện đầu làm việc, tập các nguồn độc lập nghỉ. Xác định đáp ứng tự nhiên do tập các nguồn điều kiện đầu tạo ra.  Bước 4: Xác định đáp ứng đầy đủ (ng.lý xếp chồng) là tổng của đáp ứng cưỡng bức và đáp ứng tự nhiên. 65 66