zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

Chia sẻ: Mai Linh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:3

Báo xấu

105
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương trình lượng giác đơn giản', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN cos23α = a CÓ NHIỀU VẬN DỤNG Nguyễn Lái GVTHPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH Tài liệu này được rút ra một bài toán được đăng trong tạp chí Toán Học và Tuổi trẻ Về mục TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN số 367 tháng 1/2008. Xét phương trình : cos23α = a (0 ≤ a ≤ 1) (1). Ứng với một giá trị a ∈ [0;1] , giả sử α = x là một nghiệm phương trình (1) nghĩa là π π cos23x = a ( đúng ) ⇒ α = ( - x) và α = ( +x) cũng là nghiệm phương trình (1) , 3 3 π π cos23( - x) = cos23x = a ; cos23( + x) = cos23x = a. vì 3 3 Phương trình (1) viết lại : (4cos α - 3cosα) = a ⇔ 16cos6α - 24cos4α + 9cos2α - a = 0 3 2 Đặt t = cos2α, t∈ [ 0; 1] . Phương trình trở thành: 16t3 – 24t2 + 9t – a = 0 (2) Nhận xét : Nếu α = x là nghiệm phương trình (1) thì : π π t1 = cos2x ;t2 = cos2( - x ) ; t3 = cos2( + x) là 3 nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. 3 3 • Từ phương trình (2) theo định lý Viét ta có: 3 9 a t1+t2+t3 = ; t1.t2+t2.t3+t3.t1 = ; t1.t2.t3 = . 2 16 16 Từ đó ta có nhiều sự vận dụng lý thú sau: Ví dụ 1 .Chứng minh rằng các biểu thức sau đây độc lập với x , π π 1. S1 = cos2x+cos2( - x) +cos2( + x). 3 3 π π π π 2. S2= cos2x.cos2( - x) + cos2( - x). cos2( + x) + cos2( + x).cos2x. 3 3 3 3 π π 3. S3= cos4x + cos4( - x) +cos4( + x) . 3 3 π π 3 Lời giải :Ta có S1 = cos2x+cos2( - x) +cos2( + x) = t1+t2+t3 = . 2 3 3 π π π π 9 S2= cos2x.cos2( - x)+cos2( - x).cos2( + x)+cos2( + x).cos2x = t1.t2+t2.t3+t3.t1 = 16 3 3 3 3 π π 9 S3= cos4x+cos4( - x)+cos4( +x)= t12+t22+t32 = (t1 + t2 + t3)2 –2(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) = . 3 3 8 π 5π 7π 63 Ví dụ 2:Chứng minh rằng : cos6 + cos6 + cos 6 =. 18 18 18 64 π π Lời giải :Ta có cos6x + cos6( - x) + cos6( +x) = t13 + t23 + t33 = 3 3 27 3a + =(t1 + t2 + t3)3 –3(t1 + t2 + t3)(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) + 3t1 t2 t3 = (*) 32 16 π π 3 Cho x = từ phương trình (1) ta có : cos (3. ) = a ⇒ a = . 2 18 18 4 π π 7π 27 3 3 63 5 Vậy (*) tương đương: cos + cos + cos = + .= 6 6 6 . 18 18 18 32 16 4 64 Ví dụ 3 : Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
π π   cos 6 x + cos 6  + x ÷+ cos 6  − x ÷ 3 3   y= . π π     cos 4 x + cos 4  + x ÷+ cos 4  − x ÷ 3 3   π π 9 Lời giải :Như trên,ta có :cos4x + cos4( + x) +cos4( - x) = . 3 3 8 π π 27 3a + cos6x + cos6( + x) + cos6( - x) = . 3 3 32 16 π π   cos 6 x + cos 6  + x  + cos 6  − x  27 + 3.a 27  = 32 16 ≥ 32 = 3 . 3  3 Do đó : y = π π 9 9   4 cos 4 x + cos 4  + x  + cos 4  − x  8 8 3  3  π π Đẳng thức xảy ra khi và ch? khi a = 0 ⇔ cos23x = 0 ⇔ x = +k ( k∈ Z ) 6 3 6 π 6 π   cos x + cos  + x  + cos  − x  27+ 3.a 27+ 3 6  = 32 16 ≤ 32 16 = 11. 3 3  Mặt khác y = 4 π 4 π 9 9   12 cos x + cos  + x  + cos  − x  4 8 8 3 3   π Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1 ⇔ cos23x = 1 ⇔ x = k . ( k∈ Z ) . 3 π π π 3 11 khi x = k . ( k∈ Z ) Vậy : GTNN : y = khi x = +k ; GTLN: y = 12 4 6 3 3 Ví dụ 4: Định tham số m để phương trình sau đây có nghiệm: 1 1 1 + + =m 6 π 6π   cos6 x . cos  + x ÷ cos  − x ÷ 3  3  π π Lời giải :Điều kiện : t1 = cos2x≠ 0 t2 = cos2( + x) ≠ 0 ; t3 = cos2( - x) ≠ 0 3 3 a 9 24 Từ phương trình (2) ⇒ a ≠ 0 và phương trình viết lại 3 − 2 + − 16 = 0 ( 0 < a ≤ 1 ) t t t 1 hay : aX3 - 9 X2 + 24X - 16 = 0 ( với X = ) (3). t Theo định lý Viét cho phương trình (3)vế trái của phương trình đã cho là: 1 1 1 1 1 1 = 3 + 3 + 3 = X1 + X 2 + X 3 = ( X1 + X 2 + X 3 ) 3 3 3 3 + + π π  t cos 6 x - t2 t3 cos 6  + x  cos 6  − x  1     3 3 3 9 9 24 48 729 648 48 3( X 1 + X 2 + X 3 ).( X 1 X 2 + X 2 X 3 + X 3 X 1 ) + 3 X 1 X 2 X 3 =   − 3 ⋅ ⋅ + = 3− 2+ Do a aa a a a a 729 648 48 đó phương trình trở thành : 3 − 2 + = m . a a a 729 648 48 Đặt f(a) = 3 − 2 + là hàm số ẩn a xác định trong ( 0 ; 1 ]. a a a − 48a 2 + 1296a − 2187 Ta có đạo hàm: f’(a)= . a4 Lập bảng biến thiên ta sẽ có :f’(a)< 0 ; ∀a∈ (0;1]⇒ f(a) nghịch biến trong (0 ; 1 ] ⇒ f(a) ≥ f(1) = 129.
Mặt khác : lim f ( x) = + ∞ . a →0 + Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m∈ [ 129 ; +∝). Mời các bạn tiếp tục giải các bài toán sau: Bài 1: (Được đăng trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ) π Cho 3 số thực liên tiếp: a,b,c lập thành một cấp số cộng có công sai bằng . 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + + . cos a cos b cos 6 c 6 6 Bài 2: Cho một dãy cấp số cộng có 2007 số hạng đầu tiên x1, x2, x3..., x2007 .Cấp số cộng đó π 2007 10035 có công sai bằng và thoả mãn điều kiện ∑ cos xi = 6 . 16 3 i =1 Tính số hạng x2007 của dãy,biết rằng số hạng đầu tiên x1 là một số dương nhỏ nhất. Giải hệ phương trình : Bài 3 : 1+ x  = 2009 x − y  1+ y  64.8 − 96.4 x .3 + 36.2 x .9 − 3.27 = 0. y y y x 

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.