PH
ƯƠ
Ả
ƯỢ
NG TRÌNH L cos23a
= a CÓ NHI U V N D NG
NG GIÁC Đ N GI N Ơ Ụ Ề
Ậ
NG VĂN CHÁNH
Nguy n Lái ễ GVTHPT Chuyên L ƯƠ
= a
ươ
23a ]1;0[
= x là m t nghi m ph
ng trình (1) nghĩa là
a £ 1) ộ
ệ
(1). ươ
, gi p
c đăng trong t p chí Toán H c và Tu i tr ổ ẻ ọ c rút ra m t bài toán đ Tài li u này đ ạ ượ ộ ệ V m c TI N T I OLYMPIC TOÁN s 367 tháng 1/2008. ố ề ụ ượ Ế Ớ
Xét ph ng trình : cos ˛a ng v i m t giá tr ị ộ Ứ ớ cos23x = a ( đúng ) (cid:222)
(0 £ ả ử a s - x) và a
= (
= (
+x) cũng là nghi m ph
ng trình (1) ,
ệ
ươ
vì
cos23(
- x) = cos23x = a ; cos23(
+ x) = cos23x = a.
p a 3 3 p p
- 24cos4a
+ 9cos2a
3
- a = 0 (2)
- 3cosa )2 = a (cid:219) ng trình tr thành: 16t ở
t l ế ạ [ 0; 1] . Ph = x là nghi m ph
ng trình (1) thì :
Ph ng trình (1) vi ươ 2a , t˛ Đ t t = cos ặ : N u ế a Nh n xét ậ
3a i : (4cos ươ ệ
3 16cos6a 3 – 24t2 + 9t – a = 0
ươ p
+ x) là 3 nghi m c a ph
ng trình (2) và ng
t1 = cos2x ;t2 = cos2(
- x ) ; t3 = cos2(
ủ
ệ
ươ
ượ ạ c l i.
p
• T ph
ừ ươ
ng trình (2) theo đ nh lý Viét ta có: ị
.
t1+t2+t3 =
; t1.t2+t2.t3+t3.t1 =
; t1.t2.t3 =
3 3
ừ
3 2 a 16
ộ ậ ớ
ứ
ứ
ể
ằ p
- x) +cos2(
+ x).
1. S1 = cos2x+cos2(
9 16 T đó ta có nhi u s v n d ng lý thú sau: ề ự ậ ụ Ví d 1ụ .Ch ng minh r ng các bi u th c sau đây đ c l p v i x , p
- x) + cos2(
- x). cos2(
+ x) + cos2(
+ x).cos2x.
2. S2= cos2x.cos2(
3 3 p p p p
- x) +cos4(
+ x) .
3. S3= cos4x + cos4(
3 3 3 p 3 p
3 3 p p
L i gi
i
- x) +cos2(
.
+ x) = t1+t2+t3 =
ờ ả :Ta có S1 = cos2x+cos2(
- x)+cos2(
- x).cos2(
+ x)+cos2(
S2= cos2x.cos2(
+ x).cos2x = t1.t2+t2.t3+t3.t1 =
3 3 3 2 p p p p
- x)+cos4(
.
S3= cos4x+cos4(
+x)= t1
2+t2
2+t3
2 = (t1 + t2 + t3)2 –2(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) =
3 3 3 p 3 p
6
6
3 9 16 9 8 3 p p 6 + + = cos cos cos .
Ví d 2ụ :Ch ng minh r ng ứ
ằ :
18 7 18 63 64 p p 5 18 p
L i gi
i
- x) + cos6(
3 =
+x) = t1
3 + t2
3 + t3
ờ ả :Ta có cos6x + cos6(
(*)
=(t1 + t2 + t3)3 –3(t1 + t2 + t3)(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) + 3t1 t2 t3 =
3 3
Cho
ng trình (1) ta có :
t
.
ph ừ ươ
6 cos
6 cos
6 cos
V y (*) t
ng đ
ng:
ươ
ươ
ậ
ị ớ
ỏ
27 32 p p = =x (cid:222)= a a cos2 .3( 18 p + = + + = 27 32 63 . 64 a+ 3 16 3 4 3 4 Ví d 3ụ : Tính giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s : ) 18 p 7 18 ấ ủ 3 . 16 ố p 5 18 ị 18 ấ
6
6
6
.
4
4
4
p p (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) + + + - x cos x cos x cos (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ Ł ł Ł ł 3 = y p 3 p (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) + + + - x cos x cos x cos (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ Ł ł Ł ł 3 3 p p
L i gi
i
4x + cos4(
+ x) +cos4(
- x) =
.
ờ ả :Nh trên,ta có :cos
ư
cos6x + cos6(
+ x) + cos6(
- x) =
.
3 3 9 8 p p
6
6
6
Do đó : y =
4
4
4
p
Đ ng th c x y ra khi và ch? khi a = 0
cos23x = 0 (cid:219)
x =
+k
( k˛
Z )
ứ ả
ẳ
6
3
3 27 32 a+ 3 16 3 p p (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) + + - +(cid:247) (cid:247) (cid:231) (cid:231) + x cos x cos x cos ł Ł ł Ł 27 32 a .3 16 = = ‡ . 3 p 3 p (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) 3 4 + + - +(cid:247) (cid:247) (cid:231) (cid:231) x cos x cos x cos ł Ł ł Ł 9 8 3 3 27 32 9 8 p (cid:219)
6 cos
6 cos
6 cos
M t khác y =
ặ
4 cos
4 cos
4 cos
p
p p (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) + + - +(cid:247) (cid:247) (cid:231) (cid:231) + + x x x ł Ł ł Ł 27 32 a .3 16 27 32 3 16 = = £ 3 p 3 p (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) 11 . 12 + + - +(cid:247) (cid:247) (cid:231) (cid:231) x x x ł Ł ł Ł 9 8 9 8 3 3
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = 1
cos23x = 1 (cid:219)
x = k
Z ) .
ứ ả
ẳ
ỉ
3
p
p
. ( k˛ p
V y : GTNN : y =
khi x =
+k
; GTLN: y =
khi x = k
. ( k˛
Z )
ậ
11 12
3 4
6
3
3
ng trình sau đây có nghi m:
ố
ị
ệ
(cid:219)
1 + + = m p
Ví d 4ụ : Đ nh tham s m đ ph ể ươ 1 p
6
6
.
p
p
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) 1 6 cos x + - cos x cos x (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ Ł ł Ł ł 3 3
L i gi
i
0
+ x) „
0 ;
- x) „
0
1 = cos2x„
t2 = cos2(
t3 = cos2(
ờ ả :Đi u ki n : t ề
ệ
3
3
+
=
16
0
T ph
ng trình (2)
0 và ph
ng trình vi
i
a „
( 0 < a £
1 )
ừ ươ
ươ
t l ế ạ
24 t
a 3 t
9 2 t
hay : aX3 - 9 X2 + 24X - 16 = 0 ( v i X =
)
(3).
ớ
1 t
Theo đ nh lý Viét cho ph
ng trình đã cho là:
ị
ươ
ủ
ươ
3
3
3
- - (cid:222)
(
) 3
1
2
3
1
2
3
ng trình (3)v trái c a ph ế 1 1 p 3
6
6
-
2
3
1
3
+ + + + = = + + + + = X X X X X X 1 3 1 3 1 p (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) 1 6 cos x t t t + - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) cos x cos x ł Ł ł Ł 3 3
+
+
+
+
=
(cid:246) (cid:230)
)
+
+
=
+
- (cid:215) (cid:215) - (cid:247) (cid:231)
( 3
X
X
X
3
XXX
) ( .
3
Do
1
2
3
XX 1
2
XX 2
3
XX 3
1
2
1
3
9 a
9 a
24 a
48 a
48 a
729 3 a
648 2 a
+
=
ł Ł
m
đó ph
.
ươ
ng trình tr thành : ở
48 a
729 3 a
648 2 a
-
Đ t f(a) =
là hàm s n a xác đ nh trong ( 0 ; 1 ].
ặ
ố ẩ
ị
2
Ta có đ o hàm: f’(a)=
.
ạ
L p b ng bi n thiên ta s có :f’(a)
+ - 48 a 729 3 a 648 2 a + - - 48 a a 2187
(0;1](cid:222)
ẽ
f(a) ngh ch bi n trong (0 ; 1 ] ế
ị
ậ ả f(a) ‡
ế f(1) = 129.
1296 4 a < 0 ; " a˛ (cid:222)
.
ặ
+
+ ¥= xf )( fi
ng trình đã cho có nghi m khi và ch khi m
[ 129 ; +(cid:181)
).
ệ
ỉ
:
˛
ờ
ả
M t khác : lim a 0 Do đó đ ph ể ươ i các bài toán sau M i các b n ti p t c gi ạ ế ụ Bài 1: (Đ c đăng trong T p chí Toán h c & Tu i tr ) ổ ẻ ạ ượ
Cho 3 s th c liên ti p: a,b,c l p thành m t c p s c ng có công sai b ng
.
ộ ấ ố ộ
ố ự
ế
ằ
ậ
ọ p
3
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
.
ấ ủ
ị ỏ
ứ
ể
1, x2, x3..., x2007 .C p s c ng đó
ộ
ấ ố ộ
ầ
ấ ố ộ
= + + S 1 6 cos 1 6 cos b 1 6 cos c
6
và tho mãn đi u ki n
có công sai b ng ằ
ệ
ề
ả
= 1
i t r ng s h ng đ u tiên x
a ố ạ 2007 p = cos . (cid:229) x i 3
Bài 2: Cho m t dãy c p s c ng có 2007 s h ng đ u tiên x 10035 16 1 là m t s d
2007 c a dãy,bi
ế ằ
ủ
ầ
ộ ố ươ
ng nh nh t. ỏ
ấ
Tính s h ng x ố ạ Bài 3 : Gi
ố ạ ng trình :
i h ph ả ệ ươ
x y
=
2009
+ +
1 1
x y
y
x
x
x
+ y
= y
64.8
96.4 .3
36.2 .9
3.27
0.
(cid:236) - (cid:239) (cid:237) (cid:239) - - (cid:238)
