DIỄN Đ À N TOÁN THPT
k2pi
PHƯƠNG TRÌNH V Ô TỶ ÔN THI
ĐẠI HỌC 2014
Hà Nội, tháng 1 năm 2014
Mục lục
Lời nói đầu 3
1T u y ể n tập các bài toán 4
1.1 Từ câu 1 đến câu 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Từ câu 21 đến câu 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Từ câu 41 đến câu 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Từ câu 61 đến câu 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Từ câu 81 đến câu 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6 Từ câu 101 đến câu 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.7 Từ câu 121 đến câu 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.8 Từ câu 141 đến câu 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.9 Từ câu 161 đến câu 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.10 Từ câu 181 đến câu 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.11 Từ câu 201 đến câu 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.12 Từ câu 221 đến câu 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.13 Từ câu 241 đến câu 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.14 Từ câu 261 đến câu 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2 Bài tập tự luyện 144
T r a n g 2
Lời nói đầu
Phương trình v ô t ỷ là dạng toán thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng. Dù nhiều khi
nó không trực tiếp xuất hiện mà ẩn đằng sau những hệ phương trình, bất phương trình. Đây là câu phân loại
học sinh rất tốt.
T a cũng biết rằng v ớ i sự sáng tạo không ngừng của những người học toán. Phương trình v ô t ỷ xuất hiện rất
nhiều trên các diễn đàn, trên Google v ớ i những hình thức, ý tưởng mới mẻ v à đặc sắc
T o p i c Phương trình v ô t ỷ ôn thi Đại học 2014 do anh Phạm Kim Chung lập ra nhằm là nơi trao đổi,
thảo luận các bài toán phương trình v ô t ỷ phục vụ c h o việc ôn thi Đại học. Nó đã rất thành công khi rất nhiều
bài toán đặc sắc được đưa ra thảo luận. Xin cảm ơn các thành viên đã tham gia thảo luận, đã đưa ra những bài
toán đặc sắc cùng những lời giải ấn tượng
Bản tổng hợp c h i a làm 2 phần c h í n h , phần 1 là tuyển tập các bài toán cùng những lời giải, phần 2 là những
bài tập rèn luyện c h o bạn đọc. Bố cục của bản tuyển tập được trình bày rất công phu v à khiến c h ú n g ta cảm
tưởng như đọc một cuốn sách v ậ y . Bạn đọc hoàn toàn có thể kích v à o đường dẫn trong Mục lục để nhảy đến
nơi cần xem. Quá thuận lợi phải không ?
T u y ể n tập được hoàn thành v à ra mắt v à o những này cuối tháng 1 năm 2014, tức là những ngày cuối của
năm Quý T ỵ . Năm mới, năm Giáp Ngọ đang đến rất gần. Xin mạn phép thay mặt BQT diễn đàn k2pi,c h ú c
anh c h ị em trên diễn đàn cùng bạn đọc một năm mới an khang thịnh vượng, v ạ n sự như ý , cùng đón một cái T ế t
thật ấm áp bêngia đình.
Người tổng hợp
Nguyễn Minh T u ấ n (P o p e y e )
Sinh viên K62CLC Khoa T o á n Tin - Đại Học Sư Phạm Hà Nội
T r a n g 3
Chương 1
T u y ể n tập các bài toán
1.1 Từ câu 1 đến câu 20
Giải phương trình sau :
2x−3 + 3x−1
√3−2x2+ 2 −x= 0
♥Bài 1 ♥
L ờ i giải
Điều kiện −r3
2≤x≤r3
2
.
Có dạng phân thức thử nghĩ đến nhân liên hợp xem sao?
Phương trình được viết lại dưới dạng
2x−3 +
(3x−1) √3−2x2−2 + x
−3x2+4x−1= 0 ⇔2x−3 + √3−2x2+x−2
1−x= 0
⇔p3−2x2−2x2+6x−5 = 0 ⇔p3−2x2=2x2−6x+ 5
Nhẩm được nghiệm x0= 1 nên ta cứ bình phương phương trình một cách bình thường
⇔
2x2−6x+ 5 ≥0
4x4−24x3+ 58x2−60x+ 22 = 0 ⇔
2x2−6x+ 5 ≥0
(x−1)24x2−16x+ 22= 0 ⇔x= 1
Đối c h i ế u thấy nghiệm thỏa mãn.
V ậ y phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
L ờ i giải
Đk:
3−2x2≥0
p3−2x26 = 2 −x⇔ −r3
2≤x≤r3
2
Nhận thấy
+ Nếu biến đổi tương đương ( quy đồng mẫu rồi bình phương ta sẽ thu được phương trình bậc cao, v à khá dài.
T r a n g 4
1.1 Từ c â u 1 đến c â u 20 5
V ậ y ta hãy nghĩ đến cách khác)
+ Nếu đạt ẩn phụ, trong phương trình không có các nhóm số hạng giống hoặc biểu diễn qua nhau dẽ dàng v ậ y
phương án này cũng không đặt nhiều h y v ọ n g .
+ Do c h ứ a mẫu có căn v à nhìn khá phức tạp, ta thử nghĩ đến việc nhân liên hợp để làm đơn giản cái mẫu, cụ
thể như sau (và thấy mọi c h u y ễ n dường như dễ thở )
Do p3−2x2> x −2v ớ i mọi x∈"−r3
2
;
r3
2#nên ta có:
pt ⇔3−2x=
(3x−1) √3−2x2−2 + x
3−2x2−x2+4x−4
⇔3−2x=
(3x−1) √3−2x2−2 + x
(3x−1) (1 −x)
⇔2x2−6x+ 5 = p3−2x2
Đến đây hơi bí, đầu tiên ta thử bình phương xem sao. ( Nếu không được có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đưa v ề
hệ đối xứng loại II,phân tích các v ế thành một bình phương....)
Bình phương ta được:
⇔
2x2−6x+ 5 ≥0
4x4−24x3+ 58x2−60x+ 22 = 0 ⇔
2x2−6x+ 5 ≥0
(x−1)24x2−16x+ 22x= 0 ⇔x= 1
Kết hợp điều kiện bài toán ta có x= 1 là nghiệm của phương trình.
Giải phương trình sau :
(2x−5) √2x+ 3 = 2
3
x+ 1r2
3
x−1
♥Bài 2 ♥
L ờ i giải
Đk căn có nghĩa v à 2v ế cùng dấu là x≥5
2
.
Khi đó : P t ⇔2x−5 = 1
3s(2x+ 3) 2
3
x−1⇔(2x−5)2=1
27 4x2−9
⇔104x2−540x+ 684 = 0 ⇔x= 3(n)V x =57
26(l).
V ậ y Pt có 1 nghiệm x=3.
Giải phương trình sau :
17x+ 1
√3−2x2+ 2 −x=2x−3
♥Bài 3 ♥
L ờ i giải
T r a n g 5