1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY HỌC MÔN TOÁN CẤP 3
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ta đã biết rằng bài toán tìm điều kiện về tính chất nghiên cứu phương trình,
bất phương trình thường xuất hiện trong các kỳ thi đại học và khi chương sách
giáo khoa bỏ định lý đảo về dấu tam thức bậc hai thì bài toán thuộc tuyến truên
mất đi một công cụ để giải. Tuy nhiên nếu phân tích vấn đề một cách cẩn thận thì
tuyến vẫn đề đó có thể giải quyết bằng phương pháp cực trị tương đối hiệu quả.
Và thực tế giải bằng phương pháp cực trị cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn hơn. Mặt
khác hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều
phẩm chất tư duy như phát triển tương khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân
tích tổng hợp… từ việc phân tích ở trên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Sử
dụng phương pháp cục trị để xét phương trình, bất phương trình”.
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A. Lý thuyết
1. Phương trình f(x) = m có nghiệm trên D
)(max)(min xfmxf D
D
2. Bất phương trình f(x) m có nghiệm trên D
<=> )(max xfm
D
3. Bất phương trình : f(x) m có nghiệm đúng x+D
<=> )(min xfm D
4. Bất phương trình : f(x) m vô nghiệm trên D
2
<=> )(max xfm D
5. Bất phương trình m > f(x) có nghiệm x+ D
<=> )(min xfm D
6. Bất phương trình : f(x) > m có nghiệm đúng x+D
<=> )(max xfm D
7. Bất phương trình : m > f(x) vô nghiệm trên D
<=> )(min xfm
(Với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên D)
B. Bài toán
Bài toán 1: Tìm m để phương trình x2 – 2x = m có nghiệm x [ 0; 1]
Giải: Xét hàm số f(x) = x2 – 2x
Là hàm số liên tục trên [0;1] từ bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [0;1]
Ta có : maxf(x) = 0 ; min f(x) = - 1
[0 ; 1] [0; 1]
Vậy điều cận cần và đủ để phương trình có nghiệm trên [0; 1] là 1 m0
Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình 4x – x2 m nghiệm đúng x [0; 5]
Giải: Xét hàm số f(x) = 4x – x2
là hàm số bậc hai, biến x:
3
Có 4
2
a
b Ta có f(0) = 0; f(4) = 0; f(5) = -5
Bất phương trình nghiệm đúng x [0; 5]
Đáp số : m - 5
Bài toán 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx4 – 4x + m 0 nghiệm
đúng xR
Giải vắn tắt :
Bất phương trình )(
1
4
4xg
x
x
m
Bằng phương pháp đạo hàm xét hàm
G(x) = ;
1
4
4x
x Ta có : 427)(max xg
R
Do đó bất phương trình nghiệm đúng xR điều kiện cần và đủ là :
m 427)(max xg
R
Đáp số : 427m
Bài toán 4: Tìm tất cả các giá trị của m để x [0; 2] đều là nghiệm của bất
phương trình
5)2(log42log 2
4
2
2 mxxmxx
Giải : Điều kiện )2( 2mxx 1
4
Bất phương trình 5)2(log42log 2
4
2
2 mxxmxx
Đặt t = 0;5)2(log 2
4 tmxx
Bất phương trình trở thành : t2 + 4t – 5 0 - 5 t t
Kết hợp với t 0 Ta có : 0 t 1
Suy ra : 0 1)2(log 2
4 mxx
4
2
12
2
2
m
x
x
mxx
x
x
mxx
4
2
12
2
2
Bất phương trình nghiệm đúng x [0; 2] khi và chỉ khi
mxx
mxx
4)2(max
1)2(min
2
]2;0[
2
]2;0[
y
m
m
40
11
(Xem hình bên)
2 m 4 0 2 x
-1
Bài toán 5: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
X3 + 3x2 – 1 a ( 3
)1 xx (1)
5
Giải vắn tắt:
+ Do 01 xx nên (5) (x3 + 3x2 – 1) ( 3
)1 xx a (2)
TXĐ của (2) là : x 1
+ Hai hàm số : f(x) = x3 + 3x2 –1 và g(x) = 1 xx đều dương và đống
biến khi : x 1 => Hàm số h(x) = x3 + 3x2 –1 ( 3
)1 xx
Đồng biến khi x 1 => 3)1()(min
1
hxh
x
Vậy (2) có nghiệm khi và chỉ khi : a 3)2(min
1
h
x
Đáp số : a 3
Bài toán 6: Cho hàm số f(x) = (m – 1) 6x - 12
6
2 m
x tìm m để bất phương trình
(x – 61-x) . f(x) 0 x [0; 1]
Giải vắn tắt :
+ Với x = 1 thì bất phương trình thoả mãn không phụ thuộc vào m, nên chỉ
cần tìm m để bất phương trình thoả mãn x [0; 1]
Lưu ý : h(x) = x – 61-x =x – 6 ( x
)
6
1
(
là hàm đồng biến trên [0; 1] và h(1) = 0
=> h(x) < 0 x [0; 1]
Do đó chỉ cần tìm ra m để g(x) 0 x [0; 1]