Sáng kiếm kinh nghiệm dạy học Toán cấp 3

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

526
lượt xem 112
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiếm kinh nghiệm dạy học Toán cấp 3 hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư duy như phát triển tương khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân tích tổng hợp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiếm kinh nghiệm dạy học Toán cấp 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY HỌC MÔN TOÁN CẤP 3 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ta đã biết rằng bài toán tìm đ iều kiện về tính chất nghiên cứu phương trình, bất phương trình thường xuất hiện trong các kỳ thi đại học và khi chương sách giáo khoa bỏ định lý đảo về dấu tam thức bậc hai thì bài toán thuộc tuyến truên mất đi một công cụ để giải. Tuy nhiên nếu phân tích vấn đề một cách cẩn thận thì tuyến vẫn đề đó có thể giải quyết bằng phương pháp cực trị tương đ ối hiệu quả. V à thực tế giải bằng phương pháp cực trị cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn hơn. Mặt khác hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư duy như phát triển tương khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân tích tổng hợp… từ việc phân tích ở trên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng phương pháp cục trị để xét phương trình, bất phương trình”. II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU A . Lý thuyết 1. Phương trình f(x) = m có nghiệm trên D  min f ( x)  m  max f ( x) D D 2. Bất phương trình f(x)  m có nghiệm trên D m  max f ( x) D 3. Bất phương trình : f(x)  m có nghiệm đúng x+D m  min f ( x) D 4. Bất phương trình : f(x)  m vô nghiệm trên D 1
m  max f ( x) D 5. Bất phương trình m > f(x) có nghiệm x+ D m  min f ( x ) D 6. Bất phương trình : f(x) > m có nghiệm đúng x+D m  max f ( x) D 7. Bất phương trình : m > f(x) vô nghiệm trên D m  min f ( x) (Với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên D) B. Bài toán Bài toán 1: Tìm m để phương trình x 2 – 2x = m có nghiệm x  [ 0; 1] X ét hàm số f(x) = x 2 – 2x Giả i: Là hàm số liên tục trên [0;1] từ bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [0;1] Ta có : maxf(x) = 0 ; min f(x) = - 1 [0 ; 1] [0; 1] V ậy điều cận cần và đủ để phương trình có nghiệm trên [0; 1] là 1 m0 Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình 4x – x2  m nghiệm đúng x  [0; 5] G iải: Xét hàm số f(x) = 4x – x2 là hàm số bậc hai, biến x: 2
b Có   4 Ta có f(0) = 0; f(4) = 0; f(5) = -5 2a Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 5] Đ áp số : m  - 5 Bài toán 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx4 – 4x + m  0 nghiệm đúng xR G iải vắn tắt : 4x  m Bất phương trình  g ( x) 4 x 1 Bằng phương pháp đạo hàm xét hàm 4x G (x) = Ta có : max g ( x)  4 27 ; 4 x 1 R Do đó bất p hương trình nghiệm đúng xR điều kiện cần và đ ủ là : m  max g ( x)  4 27 R Đ áp số : m  4 27 Tìm tất cả các giá trị của m để x [0; 2] đều là nghiệm của bất Bài toán 4: phương trình x 2  2 x  m  4 log 4 ( x 2  2 x  m)  5 log 2 G iải : Đ iều kiện ( x 2  2 x  m)  1 3
Bất phương trình  log 2 x 2  2 x  m  4 log 4 ( x 2  2 x  m)  5 Đ ặt t = log 4 ( x 2  2 x  m)  5; t  0 Bất phương trình trở thành : t2 + 4t – 5  0  - 5  t  t K ết hợp với t  0 Ta có : 0  t  1 0  log 4 ( x 2  2 x  m)  1 Suy ra : x 2  2x  m  1 x 2  2x  1 m   2 x 2  2x  4  m x  2x  m  4 Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 2] khi và chỉ khi min ( x 2  2 x)  1  m [ 0; 2 ] y 2 max( x  2 x)  4  m [ 0; 2 ] 1  1 m  (Xem hình bên) 0  4m 2m4 0 2 x -1 Bài toán 5: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm 3 X 3 + 3x2 – 1  a ( x  x  1) (1) 4
G iải vắn tắt: 3 3 2 x  x  1  0 nên (5)  (x + 3x – 1) ( x  x  1)  a + Do (2) TXĐ của (2) là : x  1 + H ai hàm số : f(x) = x 3 + 3 x2 –1 và g(x) = x  x  1 đều dương và đống biến khi : x  1 => Hàm số h(x) = x3 + 3x2 –1 ( x  x  1) 3 Đồng biến khi x  1 => min h( x)  h(1)  3 x 1 V ậy (2) có nghiệm khi và chỉ khi : a  min h(2)  3 x 1 Đ áp số : a  3 2 Bài toán 6: Cho hàm số f(x) = (m – 1) 6x -  2m  1 tìm m để bất phương trình 6x (x – 61-x) . f(x)  0 x  [0; 1] Giải vắn tắt : + V ới x = 1 thì bất phương trình thoả m ãn không phụ thuộc vào m, nên chỉ cần tìm m để bất phương trình thoả mãn x  [0; 1] 1 Lưu ý : h(x) = x – 61-x =x – 6 ( ( ) x 6 là hàm đồng biến trên [0; 1] và h(1) = 0 => h(x) < 0 x  [0; 1] Do đó chỉ cần tìm ra m để g(x)  0 x  [0; 1] 5
t2 t  2 Đ ặt t = 6  [0; 6] Ta có : m  V ới t  [0; 6]  g ( x) t 2  2t 1 Lập bảng biến thiên g(t) trên [1 ; 6] ta có kết quả min g (t )  2 [1; 6 ] 1 Đ áp số : m  2 Bài toán 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( x  1  3  x  ( x  1)(3  x)  m G iải : Đ ặt t = x  1  3  x thì 2  t  2 2 + K hi đó phương trình trở thành t2 f(x) =  t2  m 2 Lập bảng biến thiên của f(t) với 2  t  2 2 Ta có : min f (t )  2 2  2 [ 2;2 2 ] max f (t ' )  2 [ 2;2 2 ] V ậy phương trình có nghiệm  2 2  2  m  2 Bài toán 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x3 – 3x + m – 2 - x 3  3 x  0 (1) 6
G iải : 3x 2  2 x 3  3x ; t '  Đ ặt t = 0 2 x 3  3x => 0  t  2 t(-1) = 2 ; t (0)  0 (1) => t2 + m – 2 – t = 0 m = -t2 + t + 2 = f(t) => f’(t) = -2t + 1 ; f’(t) = 0  t = 1/2 Bảng biến thiên: T 0 1/2 2 f’ + 0 - f 9/4 2 2 9 => max f (t )  ; min f (t )  2 4 [ 0; 2 ] [0 ; 2 ] 9 Đ áp số : m  [ 2 ; ] 4 Bài toán 9: Tìm m để phương trình x 1  1 x  2 1 x 2  m  2  0 Vô nghiệm (1) G iải: Đ ặt t = x  1  1  x với x  [-1;1] 7
1 1 t’ =  0 2 x 1 2 1 x  x+1=1–x x=0 t(-1) = t(1) = 2 t(1) = 2 t2 = 2 + 2 1  x 2 = > t  [ 2 ;2 ] Với t + t2 – 2 – m + 2 = 0 (1) trở thành :  m = t2 + t = f(t) => f’(t) = 2t + 1> 0  t  [ 2 ;2] ; f( 2 ) = 2 + 2 ; f(2) = 6 => min f (t )  2  2 ; max f (t )  6 [ 2 ;2] [ 2 ;2] V ậy phương trình có nghiệm  m  [ 2 + 2 ; 6] Phương trình vô nghiệm  m  (- ;2  2 )  (6;) Đ áp số : m  (- ;2  2 )  (6;) Bài toán 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Sin4x + cos4x + sin2x + m = 0 G iải vắn tắt : Phương trình  Sin22x – 2sin2x – 2(m+1) = 0 Đ ặt t = sin 2x ; [t]  1 => t2 – 2t – 2 (m + 1) = 0 8
12 m= t  t  1  g (t ) 2 Ta có : g(-1) = 1/2 ; g(1) = -3/2 ; g(1/4) = -39/32 1 3 => max g (t )  ; min g (t )   2 2 [ 1;1] [ 1;1] 3 1 Đ áp số :   m  2 2 CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI Bài 1: Tìm m để phương trình: x2 – mx + 2m – 1 = 0 Có nghiệm x  (0; 1) Bài 2: Tìm a đ ể bất phương trình sau nghiệm đúng x R (x2 + 4x + 3) (x2 + 4x + 6)  a Bài 3: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm Phân biệt [0; 2] 2 2 2 x  2 x 1 4x  2x m  0 Bài 4: Tìm m để phương trình x4 - 2x3 + mx2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm x(0; 1) Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm x4 + 4x3 + (m+4)x2 + 2mx2 + 2m  0 9
III. K ẾT LUẬN Trên đây là m ột sáng kiến nhỏ của chúng tôi mong các b ạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn. Nghi Lộc, ngày 20 tháng 5 năm 2009 Người thực hiện Nguyễn Văn Nho 10