SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN
s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Người thực hiện: Trần Mạnh Hân
Tổ chuyên môn : Toán - Tin
NĂM HỌC 2013- 2014
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức cơ
bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã học
vào giải các bài toán là điều rất cần thiết. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số là các dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông, thường
gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong
các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông.
Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận
và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho
học sinh.
Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, việc vận dụng nhìn
chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài toán này, học sinh phổ
thông thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng
thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán với
bài toán này rất quan trọng. Trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề:
“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT”
Việc lựa chọn công cụ hình học vào giải quyết các bài toán về đại số là một cách
nhìn khá mới mẻ. Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài toán đại số theo quan
điểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài toán đại
số. Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng. Việc chọn hệ trục tọa
độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh
cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên
quan khác,…
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Nguyễn
Hữu Tiến.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với
lớp đối chứng.
4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
- Mục lục
- Mở đầu
- Nội dung
- Thực nghiệm sư phạm
- Tài liệu tham khảo
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 2
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. CƠ Sở LÍ THUYếT
1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong mặt phẳng
a) Định nghĩa:
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng
' , '
x Ox y Oy
vuông góc với nhau. Trên
,
Ox Oy
lần lượt
chọn các véc tơ đơn vị
,
i j
. Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc
.
b) Toạ độ của một điểm và của một véc tơ
- Cho điểm
M
tùy ý trong mặt phẳng
( )
Oxy
. Vì hai véctơ
,
i j
không đồng phẳng nên có một
bộ số
( ; )
x y
duy nhất sao cho:
OM xi yj

. Bộ hai số
( ; )
x y
được hoàn toàn xác định bởi
điểm
M
và được gọi là toạ độ của điểm
M
, ký hiệu
( ; )
M x y
.
- Cho
a
trong mặt phẳng
. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm
M
sao cho
OM a

. Gọi
( ; )
x y
là toạ độ của điểm
M
. Khi đó bộ hai số
( ; )
x y
gọi là toạ độ của véc tơ
a
trên hệ trục
và ký hiệu là
( ; )
a x y
.
c) Các phép tính véc tơ
Cho hai véctơ
1 2 1 2
( ; ), ( ; )
a a a b b b
và
k
là một số thực.
Các phép tính véctơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với một số, tích vô hướng hai
véctơ được xác định như sau:
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
( ; )
( ; )
. .
a b a b a b
ka ka ka
a b a b a b
d) Các công thức về độ dài, góc, khoảng cách:
Cho hai véctơ
1 2 1 2
( ; ), ( ; )
a a a b b b
và gọi
là góc tạo bởi hai véctơ đó.
i) Độ dài véctơ:
2 2
1 2
a a a
ii) Khoảng cách giữa hai điểm
( ; ), ( ; )
A A B B
A x y B x y
:
2 2
( ) ( )
B A B A
AB AB x x y y

.
iii) Góc giữa hai véctơ: 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos ..
a a b b
a b
a b
a a b b
.
e) Phương trình đường thẳng
- Phương trình của đường thẳng
d
đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y
và nhận véctơ
( ; )
n a b
làm véctơ
pháp tuyến là:
0 0
( ) ( ) 0
a x x b y y
.
- Khoảng cách từ điểm
0 0
( ; )
M x y
đến đường thẳng
: 0
d ax by c
là:
0 0
2 2
( ; )
ax by c
d M d
a b
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 3
f) Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn tâm
( ; )
I a b
, bán kính
R
là:
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
.
2. Một số bất đẳng trong hình học
a) Bất đẳng thức véctơ
i)
a b a b a b
- Dấu “=” bên trái xảy ra khi
,
a b
ngược hướng hoặc
0
a
hoặc
0
.
- Dấu “=” bên phải xảy ra khi
,
a b
cùng hướng hoặc
0
a
hoặc
0
.
ii)
. . .
a b a b a b
- Dấu “=” bên trái xảy ra khi
,
a b
ngược hướng hoặc
0
a
hoặc
0
.
- Dấu “=” bên phải xảy ra khi
,
a b
cùng hướng hoặc
0
a
hoặc
0
.
b) Bất đẳng thức tam giác:
Với ba điểm
, ,
A B C
bất kì ta luôn có
AB BC AC
. Dấu “=” xảy ra khi
, ,
A B C
theo thứ tự đó thẳng hàng.
Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm
,
A B
cho trước thì đoạn
thẳng
AB
có độ dài nhỏ nhất.
c) Cho điểm
M
nằm ngoài đường thẳng
d
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
MH
(với
H d
) ngắn nhất khi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên đường thẳng
.
d
II. BÀI TậP
Phương pháp:
+ Biến đổi hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về dạng tọa độ để xác định véctơ, các
điểm, các đường có tọa độ từ điều kiện và biểu thức ban đầu.
+ Chuyển bài toán từ dạng đại số về dạng hình học tọa độ, giải bài toán bằng phương
pháp hình học từ đó suy ra kết quả dạng đại số.
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
( ) 1 3 1
f x x x x x
với
x
.
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng:
2 2
2 2
1 3 3 1
( )
2 2 2 2
f x x x
Hàm số xác định trên
. Xét trên hệ trục tọa độ
.
Cách 1:
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 4
Chọn
1 3 3 1
; ; ;
2 2 2 2
u x v x
2 2
3 1 1 3
2
2 2 2 2
u v
Khi đó
( ) 2
f x u v u v
Dấu bằng xảy ra khi các véctơ
,
u v
3
( 0)
3 1
k
u kv k
x
.
Vậy
min ( ) 2
f x
khi
3 1
x
.
Cách 2: Gọi
1 3
;
2 2
A
3 1
; , ( , 0)
2 2
B C x
2
2
1 3
2 2
AC x
và
2
2
3 1
2 2
BC x
Nên ta có:
( )
f x AC BC
.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
2 2
3 1 1 3
2
2 2 2 2
AC BC AB
.
Nên
( ) 2,
f x x
.
Vậy
min ( ) 2
f x
khi
C
là giao điểm của
AB
và trục
Ox
, từ đó
3 1
x
.
Bình luận:
- Nếu như áp dụng phương pháp hàm số thì việc xét sự biến thiên sẽ gặp khó khăn vì để
tìm nghiệm của phương trình
'( ) 0
f x
dẫn tới việc giải phương trình bậc 4.
- Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1:
+ Cách 1: Việc chọn vectơ
,
u v
cần phải khéo léo để sao cho
u v
là một hằng số đồng
thời dấu “=” phải xảy ra.
+ Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cặp điểm
1 3 3 1
; , ;
2 2 2 2
A B
mà không
phải cặp điểm khác, mặc dù các biểu thức tính khoảng cách
,
AB BC
không đổi, ta có thể
chọn
1 3 3 1
; , ;
2 2 2 2
A B
thì vẫn thu được
( )
f x AC BC
. Lúc này
A
và
B
nằm cùng
phía so với trục
Ox
. Khi đó để tìm giá trị nhỏ nhất của
AC BC
bài toán sẽ dài hơn
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com