Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Bổ sung 3 quy tắc phân hoạch và thử Bernoulli vào giải quyết một số bài toán xác suất THPT

Ở Ụ Ạ Ệ S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O NGH AN

ƯỜ Ỳ Ơ TR NG THPT K S N

Ế Ệ SÁNG KI N KINH NGHI M

Ề TÊN Đ TÀI:

Ổ Ử Ắ Ạ

Ộ Ố Ả Ấ Ế B SUNG 3 QUY T C PHÂN HO CH VÀ PHÉP TH BERNOULLI VÀO GI I QUY T M T S BÀI TOÁN XÁC SU T THPT

MÔN : TOÁN

Ạ LĨNH V CỰ : Ọ D Y H C TOÁN

ọ Năm h c: 2020 2021

Ở Ụ Ạ Ệ S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O NGH AN

ƯỜ Ỳ Ơ TR NG THPT K S N

Ế Ệ SÁNG KI N KINH NGHI M

Ề TÊN Đ TÀI:

Ổ Ử Ắ Ạ

Ộ Ố Ả Ấ Ế B SUNG 3 QUY T C PHÂN HO CH VÀ PHÉP TH BERNOULLI VÀO GI I QUY T M T S BÀI TOÁN XÁC SU T THPT

: TOÁN

Ế Ự Ễ : NGUY N VI T L C

MÔN TÁC GIẢ T Ổ : TOÁN TIN

ƯỜ Ỳ Ơ TR NG THPT K S N

Đ N VƠ Ị Ố Ệ : Ạ : S ĐI N THO I 0988972186

ọ Năm h c: 2020 2021

ụ ụ M c l c

Ở Ầ Ầ I. PH N M Đ U

Ọ Ề 1. LÝ DO CH N Đ TÀI

ườ Đ t n c ta trên đ

ệ ổ ố ấ ướ ộ ữ ng đ i m i c n có nh ng con ng ả ắ ầ ừ ự ớ ầ ậ ụ

ạ ườ ạ ệ ụ ứ ạ

ỏ ự ổ ả ổ ụ ớ ự ề

ạ ươ ộ ạ ệ ọ ớ quan tr ng là đ i m i ph

ươ ể i phát tri n toàn ệ di n, năng đ ng và sáng t o. Mu n v y ph i b t đ u t s nghi p giáo d c và ớ ể đào t o, đòi h i s nghi p giáo d c và đào t o ph i đ i m i đ đáp ng nhu ế ố ụ ộ ầ c u xã h i. Đ i m i s nghi p giáo d c và đào t o ph thu c vào nhi u y u t , ả ồ ọ ổ trong đó m t y u t ng pháp d y h c, bao g m c ph ộ ế ố ọ ạ ng pháp d y h c môn Toán.

ổ ụ ụ ươ ổ ỉ

ả ạ ủ

ự ự ọ ọ

ụ ọ ự ọ ng pháp t ả ế ng ph ộ ự ễ ế ng pháp giáo d c ph thông giác, ch đ ng, sáng t o c a h c sinh, phù ươ h c, rèn ạ i

ệ ỹ ề ứ ọ ọ ậ ứ “Ph M c tiêu Giáo d c ph thông đã ch rõ ủ ộ ượ c tính tích c c, t ph i phát huy đ ể ồ ưỡ ớ ừ ớ ặ ợ h p v i đ c đi m t ng l p h c, môn h c, b i d ậ ụ luy n k năng v n d ng ki n th c vào th c ti n, tác đ ng đ n tình c m đem l ni m vui, h ng thú h c t p cho h c sinh.”

ọ ừ ề ố

ứ ệ

ỳ ứ ự ậ ể

hình th c t ộ ự ố ế ớ ỳ ể ọ ng. Đ đ t đ

ế ạ

ụ ề ộ ượ ậ ấ ấ

ứ ơ ả ể ế ấ ế ọ ọ ứ ớ ự ự ế ộ ọ ổ T năm h c 20162017, trong k thi trung h c ph thông qu c gia, đ thi ổ ừ ắ môn Toán thay đ i t lu n sang hình th c tr c nghi m khách quan. ạ ọ ở ả ạ ề các nhà Chính đi u này đã t o ra m t s chuy n bi n l n trong c d y và h c ỉ ắ ầ ể ạ ượ ườ c đi m s cao trong k thi này, h c sinh không c n ch n m tr ả ầ ầ ữ v ng ki n th c c b n, làm thu n th c các d ng toán quan tr ng mà c n có kh ả năng logic cao đ ti p c n v n đ m t cách nhanh nh t, ch n đ i c cách gi quy t nhanh nh t đ n đáp án. Đây th c s là m t thách th c l n.

ầ ữ ậ ầ

ọ ề ả ố ấ

ổ ợ ầ ừ ấ ổ ộ

nhu c u đó là m t ng ọ ọ ố ữ

ế ể ố

ọ ỏ ọ ậ ấ Trong nh ng năm g n đây, b n thân tôi nh n th y nhu c u h c t p và tìm ấ ố ớ ủ ể h p xác su t đ i v i hi u c a h c sinh v xác su t th ng kê nói chung và t ườ ọ i h c sinh trung h c ph thông nói riêng. Xu t phát t ấ ể giáo viên tôi mu n tìm hi u và cung c p thêm cho h c sinh THPT nh ng cái ớ ụ ả ớ m i, cái khác đ tăng thêm công c gi i quy t bài toán. V i mong mu n đó tôi ắ ầ b t đ u tìm tòi và h c h i.

ặ ươ ớ

ượ ườ ươ ả ả ố ở ng trình m i mang tính ch t m cho phép các nhà ủ ộ c tính c t lõi c a n i

ầ M t khác, v i ch ộ ng thêm n i dung, ch tr ế ả ượ ả dung, đ m b o đ ớ ấ ỉ ầ ng trình ch c n đ m b o đ ứ c ki n th c yêu c u.

ừ ụ ọ ớ

ổ ắ ạ ọ

ọ T đó, trên m c đích b sung thêm cho h c sinh l p 11 nói riêng và h c “B sung 3 quy t c phân ấ ề ộ ố ử ế ạ ả ổ ạ sinh THPT nói chung, tôi m nh d n ch n đ tài ho ch và th Bernoulli vào gi i quy t m t s bài toán xác su t THPT”.

Ố ƯỢ Ứ Ạ 2. Đ I T NG VÀ PH M VI NGHIÊN C U

ố ượ ứ 2.1. Đ i t ng nghiên c u

ố ượ ứ ủ ề Đ i t

ộ ố ộ ố ế ệ ấ ả ứ ề ế i quy t m t s bài t là m t s quy t c qua đó gi h p và xác su t. Đ c bi

ọ ủ ế ậ ng nghiên c u c a đ tài ch y u t p trung vào các ki n th c v ắ ặ ổ ợ t ớ toán. Và h c sinh các l p 11C3, 11C4, 11C5,11A1

5

ứ ạ 2.2. Ph m vi nghiên c u

ề ể ự ứ ự ệ

ệ ử ắ

ứ ọ

ạ ố ắ ứ ươ ế ấ ả ế ộ ng II: T h p Xác su t”, Đ i s và Gi

ề ổ ợ ệ Đ th c hi n đ tài này, tôi đã nghiên c u d a trên các tài li u v t h p ạ ấ ặ ạ xác su t đ c bi t là 3 quy t c phân ho ch và phép th Bernoulli. Các d ng toán ổ ộ ế liên quan đ n 3 quy t c này thu c vào n i dung ki n th c trung h c ph thông ổ ợ nói chung và ki n th c “Ch i tích 11 nói riêng.

Ứ Ụ Ụ Ệ 3. M C TIÊU VÀ NHI M V NGHIÊN C U

ứ ụ 3.1. M c tiêu nghiên c u:

ứ ụ ề ọ

ọ

ổ ộ ố ệ ả ọ M c tiêu nghiên c u c a đ tài là giúp h c sinh l p 11 nói riêng và h c ể ộ ố i quy t m t s bài toán c b n và đ c bi

ớ ộ ố ươ t giúp cho vi c gi ễ ấ ơ ộ ủ sinh trung h c ph thông nói chung ti p c n thêm m t s ph ế ệ ơ ả gi ổ ợ bài toán t ế ậ ng pháp khác đ ế ả ặ i quy t m t s h p xác su t hay và khó m t cách d dàng và chính xác h n.

ứ ệ ụ 3.2. Nhi m v nghiên c u

ể ặ ả Tìm hi u nh ng khó khăn mà h c sinh g p ph i khi gi

ữ ế ổ ợ ồ ừ ệ ấ ả ọ đó đúc rút kinh nghi m t

ả ự ế ợ

ế i quy t bài toán ạ ễ ừ ự th c ti n d y ệ ả i pháp. Ghi chép t ng h p các k t qu th c nghi m thu ề h p xác su t. R i t ữ ụ ả ạ ư ổ vi c áp d ng đ tài vào gi ng d y. liên quan đ n t ọ h c và đ a ra nh ng gi ượ ừ ệ đ c t

Ọ Ủ Ả Ế Ề 4. GI THUY T KHOA H C C A Đ TÀI

ọ ễ ề ủ ề ổ ợ

ự ầ ế ứ

ạ ấ ả Ở ủ ề

ư c l i d ng bài t p “hóc búa” d g p sai l m l

ượ ạ ạ ộ ế ầ ủ ề

ề ợ

ề ơ ọ ấ ả

ữ ề ư i sai cũng không h đ n gi n, b i đó là v n đ t ở ể ậ

ị ế ấ ổ ợ

ặ ỏ ỏ ử ấ

ủ ề ủ ụ

ộ ố ạ ứ ả ụ ự ụ ắ ặ ạ Trong th c ti n d y h c ch đ T h p xác su t ta b t g p nhi u bài ớ ượ ự ứ ạ ả ư c s dài dòng và duy h t s c khéo léo m i gi m đ toán ph c t p c n ph i t ộ ch đ này thì lý thuy t cũng qua đó tăng đ chính xác khi làm toán d ng này. ạ ễ ặ ậ ề i không khá nhi u nh ng ng ạ ạ ộ ả ề không h ít. B n thân là m t giáo viên d y b môn toán, khi d y ch đ này ư ườ ặ ấ ng h p h c sinh làm bài sai, nh ng cũng g p r t nhi u khó khăn. Có nh ng tr ứ ở ỉ ể ỗ đ ch ra l duy trong tr ng ủ ề ả ặ ướ n c, ph i đ t mình vào v th chính các em đ nh n ra. B i vì đ c thù ch đ ư ậ ố ạ h p xác su t nó nh v y nên tôi đã tìm tòi, h i h i và mu n và các d ng toán t ể ạ ắ ọ cung c p cho h c sinh thêm “Ba quy t c phân ho ch và phép th Bernoulli” đ ế ọ h c sinh có thêm công c giúp gi i quy t m t s d ng bài toán c a ch đ mà ữ ớ v i công c sách giáo khoa th c s là nh ng thách th c.

ƯƠ Ứ 5. PH NG PHÁP NGHIÊN C U

ự ụ ề ớ ươ ư V i m c tiêu đ ra tôi xây d ng ph ng pháp nh sau:

ộ ắ ấ ế ủ

ầ ệ ứ ọ ể ủ

ắ ế ỉ ể ọ ậ ộ ượ c m t l

ượ ộ ố ạ ứ ể ố ế ậ ướ ng thì tôi cho h c sinh ki m tra m t s d ng bài t p tôi h

ắ ượ ẽ ả c v i công c sách giáo khoa thì h c sinh s gi

ọ ữ

ấ ử ụ ượ ứ ế ẫ ọ

ắ ượ ỉ ế c ki n Cung c p ki n th c m t cách đ y đ và t m đ h c sinh n m ch c đ ứ ạ ứ th c. Sau đó cho h c sinh ôn luy n các d ng bài t p đ c ng c ki n th c. Khi ơ ả ọ ủ ắ ng bài t p c b n c a h c sinh đã n m ch c ki n th c và làm đ ế ể ậ ọ ươ ng đ n. Đ ch ụ ớ ế ắ i quy t bài toán n m b t đ ươ ữ ộ ư ế nh th nào? (t ng trình t nhiên nh ng bài toán này là nh ng bài toán thu c ch ế ả ữ ủ i quy t c h c v n gi c a các em, s d ng nh ng ki n th c các em đã đ 6

ế ể ấ

ứ ử ả ắ ế ạ ọ ồ

ướ ữ ạ ả ể ượ đ c). S d ng k t qu bài ki m tra đ nghiên c u. Sau đó tôi cung c p cho các em ki n th c “3 quy t c phân ho ch và phép th Bernoulli” r i cho h c sinh kh o sát l ử ụ ứ i nh ng bài toán tr c đó. Quan sát và đánh giá.

ậ ứ Nghiên c u lý lu n

ự ễ ứ Nghiên c u th c ti n

ư ạ ự ệ Th c nghi m s ph m

ố ọ Th ng kê toán h c

Ờ Ứ 6. TH I GIAN NGHIÊN C U

ọ ọ H c kì I năm h c 2020 2021

Ự Ữ Ủ Ề 7. D BÁO NH NG ĐÓNG GÓP C A Đ TÀI

ả ủ

ữ ạ ả ề ư ụ ầ ượ

ượ ắ Trong quá trình gi ng d y, b n thân tôi áp d ng đ tài c a mình và b c nh ng k t qu khá khách quan, h u nh sau khi đ ử ả

ả ế ạ ộ ố ạ ọ ặ ướ ậ

ượ ướ ướ c ấ c cung c p ế i quy t ư c đó còn g p khó khăn nh sai, ọ ậ ủ ầ c tinh th n h c t p c a

ầ đ u đã thu đ thêm “3 quy t c phân ho ch và phép th Bernoulli” thì h c sinh đã gi nhanh và chính xác m t s d ng bài t p mà tr ậ ng suy lu n, ... Cũng qua đó kích thích đ dài dòng, h ủ ề ọ ọ h c sinh khi h c ch đ này.

ể ả

ề ệ ồ ưỡ ể ử ụ ọ ọ ủ ề ữ ạ ỏ ệ ặ i và đ c bi ng h c sinh gi

Đ tài có th s d ng đ làm tài li u tham kh o cho giáo viên và h c sinh trong ổ ợ ệ vi c b i d t nh ng b n yêu thích ch đ “T h p Xác su t”.ấ

7

Ả Ấ Ế Ề II. GI I QUY T V N Đ

Ọ Ủ Ơ Ở Ề 1. C S KHOA H C C A Đ TÀI

ế ủ ề ơ ở 1.1. C s lý thuy t c a đ tài

ề ổ ợ ế ứ ơ ả Ki n th c c b n v t ấ h p xác su t

ắ ế + Quy t c đ m:

ộ ệ ộ ộ

(cid:0) Quy t c c ng: M t công vi c đ

ượ ự ế ệ

m cách th c hi n, hành đ ng kia có ộ ộ ớ ấ ộ ệ ứ ủ ự ấ

ự ệ ở ắ c hoàn thành b i m t trong hai ộ n cách hành đ ng. N u hành đ ng này có ệ th c hi n không trùng v i b t kì cách nào c a hành đ ng th nh t thì công vi c đó có cách th c hi n.

ượ ệ ộ

ứ ế ấ ớ

(cid:0) Quy t c nhân: M t công vi c đ ộ ự ộ

ệ ứ ế ự ệ ộ ắ ở c hoàn thành b i hai hành đ ng ỗ ứ m cách th c hi n hành đ ng th nh t và ng v i m i cách đó liên ti p. N u có ệ có n cách th c hi n hành đ ng th hai thì có cách hoàn thành công vi c.

ầ ử ố + S các hoán v c a ị ủ n ph n t :

ầ ử ố ợ ỉ + S các ch nh h p ch p ậ k c a ủ n ph n t :

ổ ợ ầ ử ố + S các t h p ch p ậ k c a ủ n ph n t :

ố : ấ ủ + Tính ch t c a các s

(cid:0)

ấ ấ ủ + Tính ch t c a xác su t:

(cid:0)

(cid:0) ế ố ộ ậ ỉ là hai bi n c đ c l p khi và ch khi:

Ể Ả Ử Ụ Ả Ế Ế 2. CÁC SÁNG KI N VÀ GI I PHÁP ĐÃ S D NG Đ GI I QUY T

Ấ

Ề V N Đ . ấ ắ ạ

2.1. Cung c p 3 quy t c phân ho ch 2.1.1. Quy t c 1ắ

ứ ấ a) Cung c p công th c

ầ ử ạ ệ Xét bài toán phân ho ch: Cho t p h p A có n ph n t phân bi t. Phân

ầ ử ậ ứ ậ ạ ợ ợ ph n t ho ch t p h p A ra k nhóm, nhóm th có ( ).

ạ ố Khi đó s cách phân ho ch trên là:

ể ướ ạ ư ể ắ ố ố Quy t c này có th phát bi u d i d ng khác nh sau: S cách phân ph i

ả ầ ệ ộ ả ộ n qu c u phân bi t vào k h p phân bi ệ sao cho h p th ứ i có qu là: . t

8

ứ ắ b) Ch ng minh quy t c 1

ầ ử ệ phân bi t. Phân

ậ ạ ợ ợ ậ ạ Xét bài toán phân ho ch: Cho t p h p A có ầ ử ứ có ph n t ho ch t p h p A ra k nhóm, nhóm th n ph n t ().

ẽ ọ ầ ử ủ ầ Đ u tiên ta s ch n ph n t c a nhóm 1, ta có cách ch n.ọ

ọ ạ ẽ ọ Sau khi ch n nhóm 1 thì còn l i ph n t ầ ử ẫ ớ ố , d n t i s cách ch n nhóm 2 s là: .

ứ ư ậ ố ọ ủ C nh v y s cách ch n c a nhóm th ẽ ứ k s là: 1

ễ ượ ố ệ ộ Do đó d có đ c s cách phân ph i ả ầ ố n qu c u phân bi t vào k h p phân

ệ bi t là:

ứ ậ ượ ắ V y ta đã ch ng minh đ c quy t c 1.

c) Bài toán minh h aọ

ạ ỏ

ộ ổ ự ậ ậ ồ ạ ọ ớ ạ

Bài toán 1: M t t tr c nh t g m 10 b n h c sinh. H i có bao nhiêu cách ạ ự phân công tr c nh t sao cho có 5 b n làm trong l p, 3 b n làm hành lang, 2 b n ồ làm b n hoa.

ơ ả ả ả ườ i thông th ng thì

Đây là m t bài toán c b n nên khi kh o sát theo cách gi ố ọ ề ộ đa s h c sinh đ u làm đúng.

Bài làm:

ơ ả Cách làm c b n:

ọ ườ ự ậ ọ Ch n 5 ng ớ i tr c nh t trong l p có: cách ch n.

ự ự ạ ạ ậ ậ ớ ỗ ọ ớ ọ V i m i cách ch n 5 b n tr c nh t trong l p ta có: cách ch n 3 b n tr c nh t

ậ ồ ự ế ạ ọ hành lang và ti p theo có cách ch n 2 b n tr c nh t b n hoa.

ậ ấ ả V y có t t c 2520 cách phân công

ậ ạ ắ ớ V i cách suy lu n theo quy t c phân ho ch 1:

ầ ử ạ ố S cách phân công chính là cách phân ho ch 10 ph n t thành 3 nhóm:

Nhóm 1 có ph n tầ ử

Nhóm 2 có ph n tầ ử

ấ ả ậ Nhóm 3 có ph n tầ ử V y có t t c : cách phân công.

ọ ụ

ấ bài toán này chúng ta ch a th y đ ể ấ ư ể ướ ẽ ể ồ

ả ỉ ầ ch c n d ọ ự ả ọ ộ ố ượ ự ầ c s khó khăn và m t s sai l m ọ ứ ế i toán, nh ng cũng có th th y rõ n u áp d ng công th c thì h c ờ ố Đ ng th i i 30 giây đ có th “ch t” ngay đáp án 2520. ứ c cách th c, ế ậ ượ t l p đ

ề ả Ở khi h c sinh gi sinh có l bài toán giúp h c sinh hình thành kh năng l a ch n và thi quy trình gi ế ấ i quy t v n đ .

9

ứ ứ ụ ứ ế ể ớ Đ làm rõ tính ng d ng công th c, ta đ n v i bài toán th hai:

ấ

ườ ườ ố ộ Bài toán 2: Có 8 hành khách lên m t đoàn tàu 8 toa, tính xác su t sao cho ỗ i, 4 toa m i toa 1 ng trong8 toa đó có 2 toa có 2 ng i và 2 toa tr ng.

ọ ươ ử ụ ạ ậ bài toán này h c sinh s d ng ph

ữ Ở ể ứ

ấ

ư ầ ặ ng g p là

ướ ữ ừ ế ng pháp l p lu n, quy n p va suy ế ẫ ả ề ượ c i quy t v n đ đ ỏ ữ ọ i. ườ i vào toa nh ng quên đ a raư c h t tôi xin

ề ườ ặ ủ ế ủ ị ủ ả ờ ậ ệ ễ di n đ nhìn ra nh ng cách th c khác nhau trong vi c gi ầ ắ ể ả ọ ặ đ t ra tuy nhiên r t nhi u h c sinh m c sai l m, k c nh ng h c sinh khá gi ế ắ ở ủ Sai l m c a các em th cách s p x p ng ạ ạ ấ m t hoán v c a nó, ho c có nh ng b n l i th a đi. Tr ọ ữ nh ng l i sai ch y u c a các em h c sinh: i gi

ả ờ L i gi i 1:

ọ ầ ữ ổ ợ ỉ Ở ờ l

ọ ẫ ả i này h c sinh nh m l n gi a ch nh h p và t ầ h p. Khi còn l ọ ộ ợ i đ cho vào m t toa thì ch c n ch n 2 ng

ỉ ầ ư ổ ợ ườ ế ả ở ườ ể c gi i quy t (dùng t

ử ụ ỉ

ế ả ạ i ườ i ở ế ờ i c đáp i sai và ở ờ l

i là bài toán đ ự ổ ị ả i gi ễ ỉ ướ i này n u chúng ta ch l ằ i gi 2 toa chúng ta c n ch n 2 ng ượ h p) nh ng b i em nghĩ trong 4 ng ẫ ợ ữ đây có thêm s đ i v trí gi a 2 toa nên em đã s d ng ch nh h p d n đ n l ư ế ướ ượ t tr c đ gi ả ộ ờ i đúng. án chính xác thì d mà giáo viên cũng cho r ng đây là m t l t qua mà ch a bi i gi

10

ả ờ L i gi i 2:

ỗ ả Ở ờ l ộ ỗ ữ i n a đ u bài và m t l

ở ố i sai. M t l ở ầ ộ ỗ ở ầ i đ u bài: ọ i gi cu i bài. Tôi xin ch ra l

ọ

ọ ắ ả ử ắ i này h c sinh m c 2 l ủ ọ ỗ ỉ i sai c a h c sinh ế ườ ọ Khi em h c sinh ch n 2 ng ộ i ti p theo và x p vào m t trong 7 toa: ầ ườ c tính 2 l n (gi ế ườ ượ i đ

ế

ườ ọ c hai ng ọ ấ ườ i C, D, ch n toa 1 và x p hai ng ọ ồ i và x p vào 1 trong 8 toa: r i sau đó ch n ỗ ư ế ế . N u làm nh th này thì m i ầ ượ i A, s ban đ u ta ch n đ ộ ầ i C, D x p vào toa 2. M t l n khác, ta ch n toa 2 và ỉ ộ ậ i A, B. Ta nh n th y ch m t

ắ ế

ở ố Ở ọ ầ cu i bài: Ch n 4 ng i x p vào 4 toa.

ườ ế ặ ử ụ ả

ọ

ế

ắ ậ ấ ộ

ườ ắ i n m r t rõ đ nh nghĩa và m c đ t ự ạ ầ đo n đ u bài. Thú th c tôi là m t giáo viên bi ọ ạ ấ ả ọ ớ

ườ ế 2 ng ế cách s p x p ng ế B x p vào toa 1, hai ng ế ườ ế x p hai ng ế cách s p x p mà em đó đã đ m 2 l n). ỗ ọ L i sai đây ta hình dung ch n ả ế ắ ư ổ ợ sau đó s p x p thì ph i dùng ho c s d ng t h p nh ng sau đó ph i nhân ọ ấ ễ ặ ộ ỗ ở ầ ỗ ị ủ i sai r t d g p khi h c sinh ch n đ u bài là m t l thêm hoán v c a 4. L i sai ư ế ế ế ớ ắ ư ể duy s p x p th này v i cá nhân cách s p x p nh th này. Đ làm đúng theo t ả ự ứ ộ ư ị ị duy c c tôi nh n đ nh thì ph i là m t ng ế ộ ở ượ ớ t c sai sót cao thì m i tránh đ ượ ề ầ ồ ủ đáp án c a bài toán r i mà cũng ph i đ c đi đ c l c i r t nhi u l n m i tìm đ ỗ l

ớ ờ ả ế ủ ọ i sai này c a h c sinh. ế Ta đ n v i l i gi i ti p theo:

11

ả ờ L i gi i 3:

ọ ả ể ắ ợ Ở ờ l

ắ ọ ế ơ ộ ế ộ ỉ

ế ỗ i và 2 toa r i s p x p. Khi ch n đ

c 2 ng ườ ồ ắ ở ọ ượ ở ỉ ọ đây khi ch n đ

ượ c 2 ng ữ ế ậ ị ủ

ộ ự ế ư ọ ồ ườ i toa này m t cách toa kia m t cách nh ng th c t khi em ch n 2 ng

ọ ộ ự ắ ế ở ộ ồ ấ i này thì h c sinh đã ch n cách đ s p x p khá h p lý. Và tôi r t i gi ầ ớ ồ đ ng tình v i cách s p x p này. Ch vì h i v i vàng m t chút nên em đã nh m ườ ườ ọ ộ ẫ ch ch n 2 ng i l n m t chút ư ắ ộ i và 2 và 2 toa thì ch có m t cách s p x p nh ng ế toa r i thì em h c sinh đã nhìn nh n có thêm m t hoán v c a 2 n a (N u 2 ườ ng i và 2 toa thì đã có s s p x p đây r i).

ủ ẫ ả

i gi ọ ươ ư ự ế ộ ờ Còn sau đây tôi xin đ a ra m t l ạ ng t ư i đúng c a h c sinh. V n là cách ậ nh các b n h c sinh khác. Nh ng em đã c n th n

ả ộ ờ ọ ư ắ s p x p hoàn toàn t khi chia toa ra m t cách rõ ràng tránh sai sót. Tôi đánh giá cao l ẩ i này: i gi

12

ả ờ L i gi i 4:

ễ

ớ ẽ ạ ớ ể ượ ộ kh o sát t ộ ế c k t qu ng thì tôi thu đ

ả ố ọ ự ế ạ ấ ỉ

ả ừ ọ

ổ ể ả ư ế ọ ắ duy c a quy t c 1 này vào đ gi

ự ắ ọ

ượ ậ ứ ọ ả i đúng bài toán này tăng lên v

ụ c, gi ả ế ấ T t nhiên đây là m t bài toán d sai sót n u các em không hi u m t cách ả ọ ủ ườ ặ c n k . V i th c t i l p ch n c a tr ế ấ r t đáng e ng i. S h c sinh làm chính xác bài toán này là r t ít, ch chi m ố ỉ ượ c 7 h c sinh trên t ng s 33 h c sinh). T đó tôi đã áp kho ng 21% (ch đ ủ ụ i quy t bài toán trên. Tôi đã cung d ng cách t ố ấ ấ c p, ch ng minh, l y ví d mình h a cho các em. Khi d a vào quy t c này thì s ắ ớ ả ượ ượ t b c. V i quy t c i đ ng h c sinh gi l ờ i gi này tôi xin trình bài l i cho bài toán:

ẽ ầ ạ ướ ạ Đ u tiên ta s phân ho ch toa tr c. Ta có 8 toa ta phân ho ch thành 3

nhóm:

ứ ườ Nhóm 1: Toa ch a 2 ng ầ ử i có 2 toa (2 ph n t )

ứ ườ Nhóm 2: Toa ch a 1 ng ầ ử i có 4 toa (4 ph n t )

ầ ử Nhóm 3: Toa tr ng có 2 toa (2 ph n t ) ừ ố ấ ả ế ắ ạ T đó ta có t t c cách phân ho ch (cách s p x p toa)

ươ ạ ng t ườ i

i vào 8 toa có nghĩa phân ho ch 8 ng ư ườ ỗ ự Hoàn toàn t ố ượ thành 8 nhóm và s l ế : Ta x p 8 ng ầ ử ng ph n t ườ (ng i) m i nhóm nh sau :

ầ ử ườ Nhóm 1: 2 ph n t (2 ng i)

ầ ử ườ Nhóm 2: 2 ph n t (2 ng i)

ầ ử ườ Nhóm 3: 1 ph n t (1 ng i)

ầ ử ườ Nhóm 4: 1 ph n t (1 ng i)

ầ ử ườ Nhóm 5: 1 ph n t (1 ng i)

ầ ử ườ Nhóm 6: 1 ph n t (1 ng i)

ầ ử ườ Nhóm 7: 0 ph n t (0 ng i)

13

ườ

ầ ử ư ằ ắ ạ Nhóm 8: 0 ph n t B ng cách t i) (0 ng ư ậ duy nh v y ta có t ế ấ ả cách phân ho ch (cách s p x p t c

ả ạ ạ ườ c gi i thành các

i quy t khi phân ho ch toa r i phân ho ch ng ắ ượ ụ ế ắ i)ườ ng ồ ế Bài toán đ nhóm. Áp d ng quy t c nhân, ta có cách s p x p.

ố S ph n t

không gian m u: ấ ẽ ầ ử ẫ Xác su t đáp án s là

ứ ể ấ Ở ờ l i này tôi trình bài chi ti t h t m c đ th y rõ cách t

ụ ắ ọ

ả i gi ấ ượ ấ ả ố ớ ườ ữ ớ ặ ế ế duy. Đ c ả t khi cung c p cho h c sinh quy t c 1 này và các ví d minh h a đ n gi n thì ư ng nh ư ọ ơ c r t kh quan, ngay c đ i v i nh ng l p bình th

ệ bi ả ả ế k t qu thu đ ụ ể 11C3, 11C4, 11C5, 11A1, C th :

L pớ 11C3 11C4 11C5 11A1

21 21 20 28 ố ọ S h c sinh ượ c bài làm đ

Sĩ số 32 32 32 33

T lỷ ệ 66% 66% 62,5% 85%

ấ ấ ậ ớ ế

ọ ệ ệ ụ

ự ộ ệ ấ ả ồ

ả ộ ệ ế t n u gi ư ẽ ắ ặ ự ng t nh bài toán t ng quát c a quy t c 1 thì chúng ta s tránh đ

ọ

ữ ắ ủ ờ ợ ệ ả ơ

ề ầ

ượ ả ự ế ậ t l p đ

ươ ự ắ V i k t qu này thì chúng ta nh n th y vi c cung c p thêm quy t c này ả ạ ấ ứ ế t th c và ng d ng r t cao vào vi c gi i d ng cho h c sinh là m t vi c r t thi ắ ế i quy t m t bài toán khó mà có l ng ghép cách s p toán này. Đ c bi ượ ổ ủ ế ươ c x p t ầ ở ủ ư ộ ố ọ ữ nh ng sai sót không đáng có nh m t s sai l m c a h c sinh mà tôi đã nêu ầ ả ủ ọ ắ ả ờ i i m c sai l m c a h c sinh, h c sinh lí gi i gi trên. Qua bài toán 2 và nh ng l ậ ữ ế ượ ừ ả ượ c t i (nh ng k t lu n thu đ đ các tính toán là có i gi c tính đúng đ n c a l ế ượ ậ ặ c cách đ n gi n hóa, t, nh n bi ý nghĩa, có phù h p hay không). Đ c bi t đ ỉ ả ể ư ế ờ ễ ữ i đúng cho bài toán. i gi cách đi u ch nh nh ng yêu c u th c ti n đ đ a đ n l ế ứ ọ ỉ ậ Không ch v y, h c sinh còn thi i quy t c cách th c và quy trình gi bài toán 2. ng t các bài toán t

ỏ ể ộ ộ

ấ ể ừ ế ố

ượ ắ Bài toán 3: M t em bé có 2 viên bi tr ng và 4 viên bi đ đ trong m t cái ộ h p. Em rút t ng viên m t cho đ n viên bi cu i cùng. Tính xác su t đ viên bi ố cu i cùng mà em rút đ ộ ỏ c là màu đ .

ả ờ L i gi i:

ố ả ế ủ ẫ

ầ Đ u tiên ta đ m s kh năng c a không gian m u. ắ ừ ế ộ ỏ ố

ố ố

ư ầ ử thành 2 nhóm (nhóm 1 có 2 ph n t

ắ ậ ạ ầ ử ồ ầ ử ợ ố ẫ ở Em rút t ng bi m t trong 2 bi tr ng và 4 bi đ cho đ n bi cu i cùng và b i vì 2 bi ỏ ệ tr ng là gi ng nhau, 4 bi đ là gi ng nhau nên ta cũng xem nh đây là vi c phân ầ ử , nhóm 2 có 4 ho ch t p h p g m 6 ph n t ph n t ). S ph n t không gian m u là: .

ừ ế ộ ố Bi n c ế ố A là em rút t ng bi m t cho đ n bi cu i cùng.

14

ố ố

ạ ạ ế ố A chính là s cách phân ho ch 5 ph n t ắ ỏ i 5 bi (2 bi tr ng và 3 bi đ ). S ph n t ầ ử thành 2 nhóm ầ ử (nhóm 1 có 2

ỏ ố ầ ử , nhóm 2 có 3 ph n t ).

ể Đ bi cu i cùng là bi đ có nghĩa còn l ủ c a bi n c ầ ử ph n t ố S ph n t ầ ử ế ố A là: . bi n c

ấ ủ ẽ Xác su t c a bi n c ế ố A s là: .

ể ế

ệ ặ ọ t phát hi n đ

ự ệ duy, đ c bi bài toán này, h c sinh đã l a ch n và thi ố ượ ươ ng đ i c t ồ ng đ ng và khác ượ ế ậ c t l p đ

ệ ố ớ ứ ế ắ ộ ệ ự Khi chuy n ti p sang bài toán 3, h c sinh th c hi n đ ượ ự ươ ạ ư c s t Ở ọ ọ i quy t bài toán 3 m t cách đúng đ n. thành th o các thao tác t t đ i v i bài toán 2. bi ả cách th c, quy trình gi

ậ ự ả d) Bài t p t gi i

ườ ự ể i đi ki m tra vi c th c thi công vi c

ồ công tác g m 15 ng ầ ệ ư

t b và 4 ng ệ ở ể i ki m tra ạ ể i

ộ ổ Bài 1. M t t ổ , 7 ng ủ ườ i ki m tra l ệ ỏ ộ m t nhà máy. T công tác c n phân công công vi c nh sau: 4 ng ồ ơ ấ ờ ườ ườ h s gi y t ể ệ vi c ki m tra c a 11 ng ệ ể ế ị i ki m tra máy móc trang thi ườ i trên. H i có bao nhiêu cách phân công làm vi c?

ườ ộ ộ ả ổ ộ ộ i đu i theo t

Bài 2. M t đ i c nh sát g m 8 ng ả ồ ồ ở ố ượ ng c nh sát ít nên đ i tr

ượ i, 1 dãy có 2 ng ặ ạ i ph m thì g p m t khu ế ư ộ ưở ng đã đ a ra quy t ư c phân công nh sau: 2 dãy ớ ố c (v i ạ i ph m ch y tr n đ

ạ ượ i đ ấ ể ộ i. Tính xác su t đ t ộ ườ ả ạ ẽ ị ắ ạ i ph m s b b t).

nhà g m 5 dãy nhà. B i s l ả ỏ ố ị đ nh. Ph i b tr ng 2 dãy nhà, 3 dãy nhà còn l ườ có 3 ng ế ả gi t là dãy nhà nào có c nh sát thì t thi 2.1.2. Quy t c 2ắ

ứ ấ a) Cung c p công th c

ạ ắ ả ầ ố ế n qu c u gi ng nhau

Xét bài toán phân ho ch: Có bao nhiêu cách s p x p ộ ạ ố vào k h p khác nhau. S cách phân ho ch là

ứ ứ b) Ch ng minh công th c

ưở ượ ạ ộ ộ T ng t ng

ẽ

ấ ả ị ẽ ư ẽ ặ ngăn chung. Do có k h p nên s có vách ngăn chung. Ta hình dung cách ngăn thì s có t ộ k h p đó đ t sát nhau và hai h p c nh nhau có m t vách ộ ả ầ n qu c u và t c v trí. Do đó cách làm s nh sau:

ể ặ ố ị ẽ ọ ổ Chúng ta ch n trong t ng s v trí đ đ t cách vách ngăn s có: cách.

ế ị ạ ẽ ặ ở ộ Ti p theo chúng ta đ t ả ầ ặ n qu c u vào n v trí còn l i s có m t cách đ t b i vì

ả ầ ả ầ ậ ắ ố ố các qu c u gi ng nhau. V y bài toán s p x p ế n qu c u gi ng nhau vào k h pộ

ế ắ khác nhau thì s có ẽ (cách s p x p)

ứ ỉ ử ụ ấ

ắ ị ẽ ẳ ổ

ọ

ế ế ữ ứ

Ở ậ ự ư ậ ứ ắ ẳ ẽ ắ ạ ủ ắ

ụ ẽ ự ượ ụ ể ự ữ ọ

ắ ổ quy t c này, ch ng minh quy t c t ng quát ch s d ng m y dòng lý ắ lu n d a trên đ nh nghĩa. Thì ch c h n ai cũng s nghĩ bài toán t ng quát mà đã ự ư ế tìm tòi nh v y thì bài toán ph s nh th nào? N u tôi cho các em h c sinh t ọ ượ ch ng minh quy t c này d a vào nh ng ki n th c mà các em đã đ c h c thì ư c. Nh ng cái hay c a quy t c này đó là khi chúng ta ch c h n s có b n làm đ ể ổ ra nh ng bài toán c th d a trên cái t ng quát này thì khó h c sinh nào có th 15

ả ủ

ọ ả ố ư i u cho bài gi ọ ư ư ượ ườ ủ ầ

ả ế ố ị

ự ộ

i c a mình. Tôi có đ a ra 3 bài toán đ Ba bài toán đ ng. ậ ấ c đ tin c y c a thông tin, sau đó là l a ch n và thi ệ ủ ế ấ ự ề ả ố

ượ ư ả ươ tìm tòi và có ph ng án t ớ kh o sát h c sinh l p ch n c a tr ượ sinh ph i xác đ nh đ ượ đánh giá đ cách th c, quy trình gi ượ đ ể ọ c đ a ra yêu c u h c ả ắ ề i thích và c tình hu ng có v n đ ; thu th p, s p x p, gi ượ ế ậ ọ ậ c t l p đ ọ i quy t v n đ , cu i cùng h c sinh th c hi n và trình bày ế c đ a ra. i quy t các bài toán đ ứ ả c gi i pháp gi

ả ầ ế ắ ộ ố Bài toán 1: Có bao nhiêu cách s p x p 6 qu c u gi ng nhau vào 3 h p khác

nhau?

ố ự ộ ằ Bài toán 2: Có bao nhiêu b 10 s t ổ nhiên có t ng b ng 31?

ươ ươ Bài toán 3: Cho ph ng trình . Ph ệ ng trình đã cho có bao nhiêu nghi m

ự t ỏ nhiên th a mãn ?

ậ ố ọ bài t p s 1, ch y u h c sinh h c sinh s d ng cách phân chia tr

ệ Ở ặ ể ả

ọ ố ự t kê 6 thành t ng 3 s t ợ ớ nhiên. V i ph ể ẽ ữ ố ỏ

ườ ầ

ặ ủ ọ ế ả ủ ế ườ ử ụ ng ế ươ ổ ợ i quy t ng pháp này đ gi h p ho c li ọ ấ ả ng h p) thì có th s kh quan. T t nhiên h c sinh nh ng bài toán s nh (ít tr ộ ố ư ả cũng g p ph i không ít sai l m khi tính toán. Và sau đây tôi xin đ a ra m t s sai ầ l m c a h c sinh khi gi i quy t bài toán này.

ả ờ L i gi i 1:

ươ ả ử ố ử ụ Em s d ng ph

ng pháp gi ử ụ ả ầ ề ả ờ

s s qu c u trong 3 h p 1,2,3 l n l ệ thì l ế ộ i gi ả ư ọ ể ầ

ầ ượ t ả ắ i đã m c ph i ườ đây không th suy ra các k t qu cho các tr ng ế ỗ ủ là là không sai nh ng khi em s d ng thêm đi u ki n ớ ừ sai l m nghiêm tr ng, b i t ẫ ề ợ h p khác. Đi u này đã d n đ n l i sai c a toàn bài.

16

ả ờ L i gi i 2:

ố

ợ

ỉ

ấ

ổ ớ ả ầ ả ổ ả ầ ở

ệ ự ọ H c sinh đã th c hi n chia ẩ ấ ợ ườ ng h p r t chu n xác. tr ợ ườ ỗ ữ ng h p Nh ng trong m i tr ạ ế ắ i tính s cách s p x p sai. em l ộ ụ ườ ng h p 1 h p 4 và 2 Ví d tr ạ ộ i ch ra có 3! Cách h p 1 thì e l ộ ế ắ s p x p. Em đã quên m t 2 h p ế 1 mà trao đ i qu c u cho nhau thì k t qu không thay đ i b i các qu c u ố đây là gi ng nhau.

ộ ố ờ ả M t s l i gi i đúng:

17

ườ ng nh đ u không nhìn nh n đ

ỏ ề ư ề i m t s h ậ ố i quy t v n đ . Có len l

ố ấ ậ ượ ướ c h ế ư ọ

ỉ ỉ ắ ể ộ ố ướ ấ ữ ạ ặ

ặ ể ủ ẹ ế

ệ ườ ể ề ợ

ụ ắ

ế i quy t. Còn tr ứ ể ắ ả ỉ ầ ơ ế

ự ậ

ụ ắ ớ ẽ ứ ả i quy t đ

ệ ư ế ễ ứ ử ụ ắ ọ Ở ng đi bài t p s 2, h c sinh d ả ạ ế ấ ể ả ố ư ng đi nh ng k t qu đ t t i u đ gi ộ ậ ượ đ c là không có. Do v y, tôi r t mong mu n cung c p cho các em h c sinh m t cách t m và rõ ràng quy t c này đ sau này g p nh ng d ng bài toán liên quan ươ ộ ng m c dù có th là chia k o, x p bóng vào h p, hay là tìm nghi m c a ph ấ ể ả ng h p là bài trình,… thì các em đ u hi u rõ b n ch t đ gi ớ ữ ọ toán tr c nghi m thì h c sinh ch c n nh công th c đ áp d ng. Nh ng bài toán ề ế ở ể trên hay nh ng bi n th khó h n thì n u các em n m rõ bài toán này thì đ u ả ế ụ lu n thì chúng ta s ch ng minh gi i quy t d dàng. Ví d bài toán 2 “N u là t ế ượ ạ l c i công th c quy t c 2 và áp d ng v i thì chúng ta hoàn toàn gi ư ộ ổ ề bài toán.” S d ng quy t c nh m t b đ .

ả ế ụ c) Áp d ng gi i quy t bài toán

ố Tìm s bố ộ k s không âm sao cho

ố ự ủ ố ổ Ví d :ụ Có bao nhiêu cách phân tích s 3 thành t ng c a 2 s t nhiên.

Gi i: ả

ự ế ứ ố

Làm tr c ti p, t c là có b n cách phân tích.

ắ

Theo quy t c trên ta có và có cách phân tích.

ộ ớ i có m t bài toán. Khi n,k càng l n thì bài toán s ẽ

ớ V i m t b s ế ứ ạ ộ ộ ố ta l ạ ắ ắ ắ càng ph c t p n u không n m ch c quy t c này.

ậ ự d) Bài t p t ệ luy n

18

ươ Bài 1. Cho ph ng trình ,

ủ ố ươ ệ a) S nghi m c a ph ng trình là bao nhiêu?

ủ ố ươ ệ ề ớ ệ b) S nghi m c a ph ng trình là bao nhiêu? V i đi u ki n , , ,

ủ ố ươ ề ệ ề ẵ ệ c) S nghi m c a ph ớ ng trình là bao nhiêu? V i đi u ki n đ u ch n.

ủ ố ươ ề ệ ớ ệ d) S nghi m c a ph ng trình là bao nhiêu? V i đi u ki n

ươ ệ ấ ấ e) B t ph ng trình có m y nghi m không âm?

ướ ệ ằ ẫ H ng d n: Đ t ặ b ng hi u

ệ ắ ắ ố ấ Bài 2. Tung n con xúc x c gi ng h t nhau. Ký hi u là s con xúc x c xu t

ố ớ ộ ỗ ế ả ứ ệ ấ ệ hi n ch m, . M i k t qu ng v i b ().

ộ ố ư ậ ỏ H i có bao nhiêu b s nh v y?

ố ự Bài 3. Có bao nhiêu s t nhiên sao cho .

ể ư ệ ạ ắ ộ ể ử ụ + D ng toán này hoàn toàn có th s d ng đ đ a vào tr c nghi m m t

cách linh ho t.ạ

ố ớ ọ ế

Đ i v i h c sinh trung bình y u:

ố ự ổ Bài 1: Có bao nhiêu cách phân tích 4 thành t ng 2 s t nhiên:

A. 5

B. 6 C. 4 D. 7

ố ớ ọ ỏ Đ i v i h c sinh khá gi i:

ố ự ủ ố ổ Bài 2: Có bao nhiêu cách phân tích s 16 thành t ng c a 4 s t nhiên:

B. 969 C. 4845 D. 3876

A. 1820 2.1.3. Quy t c 3ắ

ứ ấ a) Cung c p công th c

ạ ắ Xét bài toán phân ho ch: Có bao nhiêu cách s p x p

ả ầ ứ ấ ộ ộ

ỗ ộ ố ươ ạ ố ế n qu c u gi ng ả ầ ứ nhau vào k h p khác nhau sao cho m i h p ch a ít nh t m t qu c u. T c là tìm ố ộ ố sao cho . S cách phân ho ch là: s b s nguyên d ng

ứ ứ b) Ch ng minh công th c

ế ở N u ta đ t

ỗ ộ ộ ệ ẽ ấ

ả ầ ữ ẽ ặ ả ầ ờ ở chúng ta s đ t vách ngăn vào gi a các qu c u. B i vì có

ả ầ ả ầ ữ ẽ ặ k h p sát bên nhau thì s có t ấ ả t c vách ngăn chung. Và b i vì ộ ề ể ỏ đ th a mãn đi u ki n m i h p có ít nh t m t qu c u nên ta hình dung theo n cách khác. Bây gi ị qu c u nên s có v trí gi a các qu c u.

ẽ ắ Do đó s có t ế ấ ả cách s p x p (cách phân chia) t c

ừ ế ượ ố T đây gi c bài toán: S cách vi nhiên

ậ ậ i quy t đ ng là . Th t v y, ta phân tích ế ố ự t s t ổ n thành t ng c a n thành t ngổ ố ạ ủ k s h ng và .

ả ươ ấ ả ố các s nguyên d ố ố Khi s s cách t t c là:

19

ữ ư ắ ợ ng t

ự ắ ữ ả

ắ nh quy t c 2 thì quy t c 3 này s có nh ng l ặ ắ ẽ ơ ọ ụ ấ ươ i ích Hoàn toàn t ứ ẽ ớ ấ Ứ r t rõ ràng. ng v i quy t c này cũng s có nh ng bài toán đ n gi n ho c ph c ộ ớ ủ n và k. Tôi l y hai ví d minh h a cho qua t c này. ộ ạ t p tùy thu c vào đ l n c a

ươ Bài toán 1: Cho ph ng trình .

ươ ấ ả ệ ươ Ph ng trình trên có t t c bao nhiêu nghi m nguyên d ng?

ớ ạ ộ ờ ả ủ ọ ớ V i bài toán này thì tôi xin trình bày l i m t l i gi i c a h c sinh l p tôi:

Ta th y ấ

ườ ứ ự ủ ợ ổ Tr ẽ ng h p thì chúng ta s có cách hoán đ i th t ố c a các s . Do đó ở

ườ ợ ươ ệ ẽ ộ tr ng h p này ph ng trình trên s có 3 b nghi m

ợ ẽ ứ ự ữ ố ng h p thì chúng ta s có 3! cách hoán đ i th t gi a các s . Do đó ở

ổ ệ ươ ẽ ộ ườ tr

ỉ ứ ự ữ ố gi a các s . Do

ộ ẽ ươ ộ ườ Tr ợ ng trình trên s có 6 b nghi m . ng h p này ph ợ thì chúng ta ch có m t cách hoán đ i th t ườ ng h p Tr ợ ở ườ ng h p này ph tr ổ ệ . ng trình trên s có 1 b nghi m đó

ậ ươ ấ ả ệ V y ph ng trình đã cho có t ộ t c 10 b nghi m .

ứ ắ ủ ớ ta có ngay đáp án c a bài toán là: b ộ

ử ụ S d ng quy t c 3: Bài toán này ng v i nghi m.ệ

ứ ế ắ ẽ

ắ V i bài toán này thì đa s h c sinh n m ch c ki n th c sách giáo khoa s ố ế ượ ư ả ớ i quy t đ ố ọ c. Nh ng khi tôi tăng con s lên: gi

ộ ố ươ ằ ổ Bài toán 2: Có bao nhiêu b 15 s nguyên d ng có t ng b ng 46?

Ở ộ ọ ượ bài toán này thì không có m t h c sinh nào làm đ

ế ứ ầ ệ ế ộ

ứ ỏ ệ ậ

ấ t là h c sinh khá gi ọ ự ứ

ứ ắ ớ ấ c. Do đó tôi th y ặ t. Đ c ỏ ọ i, tôi tin ch c s có ích trong vi c ôn t p và cũng th a ừ ượ ự c s ham h c ham tìm hi u c a các em. T đó tăng thêm s h ng thú ớ ta có ngay đáp án c aủ

ọ ệ vi c cung c p công th c này cho h c sinh là m t vi c h t s c c n thi ắ ẽ ệ bi ể ủ mãn đ khám phá cho các em. V i quy t c 3 bài toán này ng v i ộ ố bài toán là: b s .

ộ ố ậ ự c) M t s bài t p t ệ luy n

ủ ố ổ ố

ươ Bài 1. Có bao nhiêu cách phân tích s 10 thành t ng c a các s nguyên ng? d

ẹ ỗ Bài 2. Có bao nhiêu cách chia 20 viên k o cho 10 em bé sao cho m i em bé

ậ ượ ấ ộ nh n đ c ít nh t m t viên.

ố ộ ệ ươ ươ Bài 3. Tìm s b nghi m nguyên d ủ ng c a ph ng trình:

ướ ặ ẫ H ng d n: Đ t

ố ổ ố ươ Bài 5. Có bao nhiêu cách phân tích s 20 thành t ng 5 s nguyên d ng?

20

ữ ữ ể ể

ắ Nh ng bài toán này đ u có th linh ho t chuy n sang nh ng bài toán tr c ệ ề ố ượ ớ ừ ạ ọ ng h c sinh.

ợ nghi m phù h p v i t ng đ i t ử 2.2. Phép th Bernoulli ị 2.2.1. Đ nh nghĩa

ử ượ ọ ế ố ố ớ ử ế Dãy phép th đ c g i là dãy phép th Bernoulli đ i v i bi n c , n u:

ộ ậ ả ủ ứ ử ế ả phép th này là đ c l p, t c là k t qu c a chúng không nh

ưở ế h ng đ n nhau.

ố ề ử ế ệ ấ ỗ ớ ộ ấ Trong m i phép th bi n c đ u xu t hi n v i cùng m t xác su t

ư nh nhau là .

ử ế ệ ọ

ỗ ấ ạ ỗ

ướ ấ ấ ệ ệ ố ầ ử ự

ấ c, trong m i phép th , n u xu t hi n thì g i là thành công và Ta quy ử ấ ượ ạ i xu t hi n là th t b i. Khi đó xác su t thành công cho m i phép th là ng c l ệ ố ầ . Và s l n xu t hi n trong phép th chính là s l n thành công khi th c hi n phép th .ử

ụ ử ế ề ệ ấ ọ

ộ ồ ầ ố ử ề ờ ồ ặ Ví d xét phép th tung m t đ ng ti n, g i là bi n c “xu t hi n m t ố ớ tung đ ng ti n 10 l n. Khi đó ta có 10 phép th Bernoulli đ i v i

ị ấ s p”. Bây gi ế ố bi n c và . 2.2.2. Đ nh lý Bernoulli

ự ế ố ử ể

ố ớ ấ ấ ể ấ ệ ệ ầ ầ ệ Khi th c hi n dãy phép th Bernoulli đ i v i bi n c thì có th xu t hi n n l n. Ta tìm xác su t đ xu t hi n đúng l n . Ta kí hi u xác

ầ ấ ệ ầ 0 l n, 1 l n, … , su t này là .

ượ ọ ườ ừ ế ỉ Bài toán này đã đ c nhà toán h c Bernoulli, ng ụ i Th y Sĩ t th k XVII.

ố ớ ấ ố Đ nh lý:

ế ấ ể ấ ầ ử ử ệ ế ấ ỗ

ị ệ Xét phép th Bernoulli đ i v i bi n c và xác su t xu t hi n ố bi n c trong m i phép th là . Khi đó xác su t đ xu t hi n đúng l n trong ử phép th đó là:

ứ Ch ng minh:

ọ ế ả ủ ử ự ế ệ ả ớ G i k t qu khi th c hi n phép th Bernoulli là , v i : k t qu c a phép

ử ầ th Bernoulli l n , trong đó:

ế ả n u x y ra.

ế ả n u không x y ra

và

ầ ươ ệ ế ấ ố ươ ả ớ ớ ả Bi n c xu t hi n đúng l n t ng đ ế ng v i x y ra k t qu v i đúng

ỉ ố ch s .

ọ ố ị ị S cách ch n v trí cho 1 trong v trí:

ấ ể ị ậ ị Xác su t đ v trí đó nh n giá tr 1:

ạ ậ ị ấ ể ị Xác su t đ v trí còn l i nh n giá tr 0 :

21

ở ớ ả l p 11A1 hai bài toán sau:

ố ồ ấ ắ ầ ư ậ Nh v y, . ự ệ Tôi th c hi n kh o sát Bài toán 1: Tung con xúc x c cân đ i đ ng ch t 3 l n. Tính xác su t đ ấ ể

ộ ặ ấ ấ ầ

m t m t ch m su t hiên 2 l n. ắ ấ ắ ấ

ạ ủ ầ ượ ỗ ạ ủ ắ ỗ ầ ạ ủ Bài toán 2: Trong kì thi b n súng hai x th thi đ u. Xác su t b n trúng bia t là 0,7 và 0,8. M i x th b n 2 viên.

ắ ủ trong m i l n b n c a hai x th l n l ấ ể ộ Tính xác su t đ cu c thi không hòa.

ố ộ ọ

ộ ắ

ả ế ế ả ả ẽ ễ i đúng. Tuy nhiên, qua kh o sát thì k t qu thu đ

ư ượ ượ ạ i không đ c l ắ ẫ ọ ợ

ả ớ ỉ ầ V i bài toán s 1, đây không ph i là m t bài toán khó, h c sinh ch c n ắ ộ ờ ượ n m đ c m t l i c m t cách chính xác quy t c đ m thì s d dàng đ a ra đ ư ượ ả c nh gi ộ ố ờ mong đ i: Có đ n 30% h c sinh làm sai bài toán này. Tôi xin d n d t m t s l i ả gi ờ L i gi ế ư i sai nh sau: i 1:

ả ư ướ ọ i này h c sinh t

ị ướ ờ L i gi ế ườ ng thông th ố

c h t em xác đ nh không gian m u r i sau đó tính s ph n t ộ ế ư ả duy theo h ẫ ồ duy theo ph

ả ộ ố

ươ ầ ặ ầ ệ ườ ắ ấ ộ ng h p con xúc x c không xu t hi n m t m t ch m là 5 (em l

ư ợ ả ấ ể ng. Đ tính xác su t ố ầ ử ế bi n c . Đây tr ả ế ẫ ơ là m t bài toán đ n gi n nên n u t ng pháp này v n cho k t qu ả chính xác. Nh ng do vì v i vàng nên e đã nh m l n khi tính s kh năng x y ra ạ ấ ủ i cho c a tr ằ r ng có 6 kh năng)

ể ầ

ế ẩ ể ờ ư ả ộ ế ỏ ủ Cũng có th em hi u nh m câu h i c a bài toán. Và ti p theo đây tôi xin ậ ữ ậ i sai cũng do suy lu n thi u c n th n n a: đ a ra m t vài l i gi

ả ờ L i gi i 2;3:

22

ỗ ủ ệ Ch y u nh ng l

ắ ủ ế ứ ắ ấ

ề ể ấ ệ ắ ặ ấ ấ ặ ệ ầ ộ

ộ ệ ả ẽ ả ấ ấ

ữ ả ữ ề i sai này c a các em đ u do suy nghĩ sai l ch v con ấ ề ả ử s con xúc x c 1,2 đ u xu t hi n m t m t ch m). Đ xu t xúc x c th 3 (gi ấ ồ ặ hi n m t m t ch m đúng 2 l n thì khi có 2 xúc x c xu t hi n m t 1 ch m r i ắ ứ ạ ẽ thì xúc x c còn l i s ko xu t hi n m t 1 ch m và s có 5 kh năng x y ra ch ư ả không ph i 6 nh trong nh ng l ặ i trên. ệ ờ i gi

ế ấ ử ề c cung c p thêm v phép th Bernoulli thì bài toán

ư ế ắ ọ ả ượ ư N u nh các em đ ấ ộ i quy t m t cách r t ng n g n nh sau: này gi

ấ ể ệ ắ ấ ặ ấ ộ Tung m t con xúc x c thì xác su t đ xu t hi n m t 1 ch m là: .

ấ ấ ụ ệ ầ

ầ ẽ

ơ ợ ủ ả ử i ích c a phép th Bernoulli vào gi i toán thì chúng ta

ứ

ả ủ ề ể ằ

bài toán này cũng có nhi u em có l ự ườ ệ ư ặ ợ

ờ i c a mình, b ng vi c k ra các i gi ử ụ ủ ế ừ ng h p và tính tr c ti p, ho c là s d ng nguyên lý bù tr , nh ng ch y u ư ế ế ượ ả c các k t qu sai nh .

ấ ể ặ ị Áp d ng đ nh lý Bernoulli: Xác su t đ m t 1 ch m xu t hi n 2 l n khi tung ắ con xúc x c 3 l n s là: ể ấ Đ th y rõ h n l cùng nhau nghiên c u bài toán 2: Ở tr các em cho ra đ ả ờ L i gi i 1:

ấ ể ạ ủ ứ ấ ắ ẽ ươ ng h p 3: Xác su t đ x th th nh t b n trúng 1 viên s là: , t ng t ừ ạ x

ỗ ườ ủ ứ Ở L i sai: ợ tr ử ẽ th th hai s là thành th

23

ứ ấ ậ ể ắ ở B i vì

ỗ ạ ủ ề ấ ế ỗ ạ ủ ở ặ ứ ứ ậ

ứ ả đây m i x th đ u b n 2 phát thì có th phát th nh t tr t phát th 2 trúng ho c phát th nh t trúng phát th 2 tr t. Vì th m i x th chúng ta ph i nhân thêm 2.

ả ờ L i gi i 2:

ợ ườ ườ Ở ườ tr ng h p 4, ng i 2 không trúng, ng i 1 trúng 1 viên thì:

ườ ậ ợ ườ ườ Tr ng h p 5 cũng v y, Ng i 2 không trúng ng i 1 trúng 2 viên thì:

24

ự ử

i c a bài toán d a trên phép th Bernoulli: ạ ế ố ấ ắ ườ ườ ứ

i th nh t b n trúng viên đ n và là bi n c ng ờ ế ố ồ ộ ậ ứ i th hai ế ố

ự ạ ắ ị ả ủ ờ L i gi G i ọ là bi n c ng ế ố ạ ắ b n trúng viên đ n (). Khi đó các bi n c và là đ c l p, đ ng th i là bi n c ả c hai cùng b n trúng viên đ n. D a vào đ nh lý Bernoulli ta có:

ộ ậ ủ ế ố ừ T tính đ c l p c a bi n c , ta có

= .

ấ ể ộ ế ả Do đó xác su t đ cu c thi có k t qu hòa là:

ươ ầ ọ ề ng pháp này h c sinh không c n ph i chia nhi u tr

ả ộ ỗ ỉ ầ

ệ ớ ứ ế ặ ả ắ ườ ỏ i nh trong các tr ủ ế t v i cách th c thi ch y u là tr c nghi m nh ể ợ ng h p đ ợ ườ ng h p ư ệ

ộ ố ụ ố ẽ Đáp s s là . ớ V i ph ữ tránh nh ng sai sót không đáng có. Ch c n sai m t l ế ẽ ẫ s d n đ n k t qu sai. Đ c bi ệ hi n nay. 2.2.3. M t s ví d

ố ồ ầ ắ Bài 1: Tung con xúc x c cân đ i đ ng ch t ấ ể ặ ấ n l n. Tính xác xu t đ m t 1

ấ ệ m l n .ầ

ấ ch m xu t hi n i:ả

ấ ặ ộ

ế ố ệ ệ ỗ ầ ấ

ố ớ ử

ấ ị Gi ấ G i ọ A là bi n c xu t hi n m t m t ch m. Xác su t ấ A xu t hi n trong m i l n tung xúc x c là: . ắ ế ố A. Ta có n phép th Bernoulli đ i v i bi n c ấ ể A xu t hi n Theo đ nh lý Bernoulli, xác su t đ ầ ệ m l n là:

ể ắ ể ệ ấ ấ ặ i thi u bao nhiêu con xúc x c đ xác su t xu t hi n m t

ố ỏ ơ ộ ả Bài 2: Ph i gieo t m t ch m không nh h n 0,95.

ế ặ ấ ấ ố ộ ấ i:ả Gi ả ử Gi ệ ọ A là bi n c xu t hi n m t m t ch m. Ta

có n phép th Bernoulli đ i v i bi n c

ắ n con xúc x c. G i ố ớ ặ s gieo ử ấ ệ ấ ấ ộ ế ố A, . Xác su t xu t hi n m t m t ch m là:

ầ Ta c n tìm n sao cho:

ố ắ i thi u 17 con xúc x c.

ể ơ ủ ấ ộ

ả ậ V y ph i gieo t Bài 3 ỏ ơ ố ể ả ắ ấ ộ ắ : An và Bình ch i bóng bàn, xác su t th ng trong m t ván c a An là ủ ấ i thi u bao nhiêu ván thì xác su t th ng ít nh t m t ván c a

ế ắ s c n ch i ớ Gi Gi ử

ắ ấ ấ ộ 0,4. H i ph i ch i t ơ An l n h n 0,95. i:ả ả ử ầ ố ớ Bernoulli đ i v i bi n c ơ n ván. G i ọ A là bi n c An th ng. khi đó ta có n phép th ố ế ố A và. Xác su t An th ng ít nh t m t ván là:

25

ầ Ta c n tìm n sao cho:

ể i thi u 6 ván.

ậ ự ậ ầ 2.2.4. Bài t p t

ơ ố V y c n ch i t ệ luy n ộ ạ ủ ắ ấ i này ph i b n t

ườ Bài 1: M t x th b n trúng đích v i xác su t 0,8. Ng ộ ể ạ ấ ấ

ả ắ ố ớ i ơ ể thi u bao nhiêu viên đ n đ xác su t trúng đích ít nh t m t viên không bé h n 0,9.

ắ ỗ

ươ ệ ỗ ươ

ộ ọ ầ ạ ọ ả ờ ỉ i trong đó ch có 1 ph ng án đúng. Tr l ả ờ ị ừ ể i sai không b tr đi m. M t h c sinh tr l

ộ ề Bài 2: Đ thi vào đ i h c môn hóa có 50 câu tr c nghi m. M i câu có 4 ượ ả ờ c ng án tr l ph i m i câu đúng đ ằ ả ờ ể 0,2 đi m, tr l i ph n thi này b ng ẫ ọ cách ch n ng u nhiên m t đáp án.

ả ờ ả ờ ấ ỏ

ố ỉ ệ ấ ọ a) Tính xác su t h c sinh trên tr l ấ ọ b) Tính xác su t h c sinh trên tr l ng Bài 3:

m t thành ph , t l ệ ườ ị ệ ọ ố

ườ ấ ố ọ ị ệ ỏ i đúng 2 câu h i. ộ i đúng ít nh t m t câu h i. ạ Ở ộ ệ i b b nh tim m ch là 0,1, b nh tai mũi ườ ả ọ h ng là 0,2 và c hai b nh là 0,08. Ch n ng u nhiên 3 ng i trong thành ph đó. Tìm xác su t có không quá 1 ng

ộ

ơ ơ ắ ấ c ch i 2 ván. Ng

ắ ấ ặ ụ ẫ i trong s h b b nh. ắ ườ ộ ế ệ

ắ ộ ộ ắ ơ ư Bài 4: M t trò ch i gieo xúc x c nh sau: M t ván ch i gieo 3 con xúc x c ơ ượ ộ ế ơ ườ i ch i đ i ch i th ng cu c n u th ng ít nh t 1 ván. và ng ế ằ ấ ỗ Bi t r ng m i ván ch i là th ng cu c n u xu t hi n ít nh t 2 m t l c. Tính xác ấ ể ườ su t đ ng

ơ ấ ờ ớ ứ ả ỏ ơ ắ i ch i th ng cu c. ủ ơ ấ Bài 5: Hai đ u th ngang s c ngang tài ch i đ u c v i nhau. H i kh năng

ắ ắ ơ th ng 2 trong 4 ván có cao h n th ng 3 trong 6 ván hay không.

ỗ

ơ ơ ắ ắ ấ c ch i 5 ván. Ng

ộ ơ ượ i ch i đ ỗ ộ ế ấ ắ ắ ơ ư Bài 6: M t trò ch i gieo xúc x c nh sau: m i ván ch i gieo 3 con xúc x c ộ ế ơ ườ ườ i ch i th ng cu c n u th ng ít nh t 2 ván. ấ ể ặ ụ ệ ấ t răng m i ván th ng cu c n u xu t hi n ít nh t 2 m t l c. Tính xác su t đ

ắ ộ ơ và ng ế Bi ườ ng

ồ ắ i ch i th ng cu c. Bài 7: Gieo đ ng th i 3 đ ng xu cân đ i đ ng ch t 2 l n. Tính xác su t đ ấ ể

ấ ờ ầ ả ề

ấ ặ ấ ấ m l n. Tính xác su t đ ờ n đ ng xu cân đ i, đ ng ch t Bài 8: Gieo đ ng th i ấ ẻ

ệ ấ ồ có ít nh t ấ k l n c

ầ ồ ệ ồ có ít nh t 2 trong 3 l n c 3 đ ng xu đ u xu t hi n m t s p. ầ ồ ồ ầ ả n đ ng xu xu t hi n m t s p . ố ụ ả

ố ồ ấ ố ặ ấ ắ Bài 9: Hai x th A, B c xác suát b n trúng m c tiêu là 0,6 và 0,5. C hai ấ ể ồ ạ ủ ắ ắ ạ ủ x th này thi b n 5 phát. Tính xác su t đ có th ng thua.

26

Ậ Ế Ế Ị III. K T LU N VÀ KI N NGH

Ế

ả ệ ượ ộ ố ế Ậ 1. K T LU N CHUNG Sáng ki n kinh nghi m đã thu đ

ế ượ ộ ố ạ c m t s k t qu sau đây: ắ M t làộ ạ c m t s d ng toán liên quan đ n 3 quy t c phân ho ch

ầ ủ ộ ố ấ ạ ế ẫ ọ c m t s sai l m c a h c sinh d n đ n th t b i khi gi ả i

ữ

ỉ ạ quy t nh ng d ng toán này. ự ứ ủ ữ ấ

ế ử phân ho ch và phép th Bernoulli đ ph c v gi i quy t bài toán.

ứ ụ ế ể ố

tri n khai áp d ng ki n th c m i. ự ể ọ ọ

ế ố ớ ờ ế ế ọ

ọ ể ả ề ụ ể ậ ụ ứ ế ấ ế ố , th ng kê đ ử và phép th Bernoulli. ượ Hai là, ch ra đ ế ắ ọ Ba là, xây d ng và cung c p cho các h c sinh nh ng công th c c a 3 quy t c ạ ể ụ ụ ả ớ B n là, ế Năm là, hình thành và phát tri n năng l c toán h c cho h c sinh trong ti n ự ọ t ki n th c, kĩ năng toán h c; k t n i toán h c v i đ i song th c ế i quy t các v n đ c th trong

ứ trình: nh n bi ễ ti n; áp d ng ki n th c, kĩ năng toán h c đ gi ọ ậ h c t p.

ụ ứ ị ể

ẳ ượ ự ấ ế ả ứ ệ ượ c th c hi n, Nh v y có th kh ng đ nh m c đích nghiên c u đã đ ậ ọ ụ thuy t khoa h c là ch p nh n c hoàn thành và gi

ư ậ ệ nhi m v nghiên c u đã đ c.ượ d

ấ ạ ạ ườ i tr

ữ ứ ể ả ệ ế ễ

ồ

ớ ợ ữ

ọ ẳ ậ ữ ậ ể ệ

ộ ạ

ố ữ

ớ ậ ứ ạ ụ

ệ Ị ọ ả ng, qua vi c cung c p cho h c Trong quá trình gi ng d y môn toán t ữ ơ ọ ớ ế i quy t d dàng h n nh ng sinh nh ng ki n th c m i, thì h c sinh đã có th gi ử ả ể ờ ọ ướ ặ c đó, bài toán đang g p khó khăn tr đ ng th i h c sinh phát tri n kh năng s ạ ể ể ườ ợ ọ ụ ng đ bi u đ t d ng h p lí ngôn ng toán h c kêt h p v i ngôn ng thông th ị ứ ượ c cách suy nghĩ, l p lu n, ch ng mình các kh ng đ nh toán h c và th hi n đ ọ ả ả ễ ự ự i thích các n i dung toán h c s t tin khi trình bày, di n đ t, th o lu n, gi ỏ ấ ệ ọ ặ i r t t h c sinh khá gi trong nh ng tình hu ng không quá ph c t p. Đ c bi ề ứ h ng thú v i vi c làm mà giáo viên đã áp d ng trong đ tài này. 2. KI N NGH

ộ ố ượ

ệ ể ấ ạ

ề ắ ủ ề ổ ợ ầ ử ữ ế ấ c ph n nào vai trò 3 quy t c phân ho ch và phép th Bernoulli” ươ ng h p xác su t. Có nh ng ph

i quy t m t s bài liên quan đ n ch đ t ế

ả

ề ạ ạ ệ Ế ụ + Thông qua m t s ví d trong đ tài có th th y đ ủ ấ c a vi c cung c p cho các em “ ế ộ ố ả gi ố ư ể ả i u đ gi pháp t ọ + Là giáo viên tôi xác đ nh cho mình ph i luôn t o cho h c sinh ni m vui ọ ng pháp d y h c,

ọ ậ ứ ộ ố i quy t m t s bài toán. ị ứ h ng thú say mê trong quá trình h c t p; luôn c i thi n ph ế duy, v n d ng ki n th c ph c v t phát tri n t

ủ ề ổ ợ

ể ư + Ch đ t ỗ ợ ượ ữ ấ ậ ố ộ ố

ấ các em m t cách t ủ ồ ể

ơ ệ ả ủ ự ỏ ế ệ ữ ứ ề

ữ ệ ạ ỏ

mu n h tr chân thành c a đ ng nghi p đ bài vi ỉ ộ ố ậ ấ ộ ồ ể ể ệ

ữ ệ ươ ả ạ ủ ụ ụ ố ậ ụ t cho bài d y c a mình. ấ ớ ề h p xác su t có r t nhi u bài toán hay và khó. V i mong ấ t nh t, tôi r t mong nh n đ c nh ng góp ý ế ủ t c a tôi hoàn thi n h n. ệ Đ tài trên ch là nh ng kinh nghi m nh , k t qu c a s nghiên c u cá ế ả nhân, thông qua m t s tài li u tham kh o nên không tránh kh i nh ng h n ch , ả ệ ế khuy t đi m. V y r t mong h i đ ng xét duy t góp ý đ kinh nghi m gi ng ơ ạ ủ d y c a tôi ngày càng phong phú và h u hi u h n.

ả ơ Tôi xin chân thành c m n!