1
TR NG ĐI H C QUY NH NƯỜ Ạ Ọ Ơ
KHOA TOÁN
L P S PH M TOÁN K29Ớ Ư Ạ
*Nhóm sinh viên th c hi n :ự ệ
H Ng c C nhồ ọ ả
Nguy n Th Ki u Chiễ ị ề
Ph m Th Y n Chiạ ị ế
Nguy n Qu c Chínhễ ố
Nguy n Văn Côngễ
Hu nh Th M Dungỳ ị ỹ
Tr n Th Dungầ ị
“ ng d ng c a ph ng pháp bi nỨ ụ ủ ươ ế
thiên h ng s & đnh lý lagrange &ằ ố ị
đi u ki n c n và đ trong gi iề ệ ầ ủ ả
ph ng trình”ươ
Giáo viên h ng d n: ướ ẫ D ng Thanh Vươ ỹ
2
L i nói đuờ ầ
Ngoài nhöõng phöông phaùp giaûi thuaàn tuùy nhö:
bieán ñoåi töông ñöông, ñaët aån phuï, tính chaát haøm soá
muõ; tính chaát giaù tò tuyeät ñoái; tam thöùc baäc hai…..đề
tài này chúng tôi đ c p đn ph ng pháp gi i ph ng trình d a vào s ề ậ ế ươ ả ươ ự ự
tráo đi vai trò c a n s và hăng s .Đng th i k t h p ph ng pháp ổ ủ ẩ ố ố ồ ờ ế ợ ươ
đi u ki n c n và đ; áp d ng ph ng pháp lagrange đ gi i quy t m t sề ệ ầ ủ ụ ươ ể ả ế ộ ố
d ng bài toán.ạ
Đ tài bao g m 3 ch ng:ề ồ ươ
Ch ng I: ươ Ph ng pháp bi n thiên h ng sươ ế ằ ố
Ch ng II:ươ Ph ng pháp đi u ki n c n và đươ ề ệ ầ ủ
Ch ng III: ươ S k t h p gi a ph ng pháp bi n thiên h ng sự ế ợ ữ ươ ế ằ ố
v i d nh lý lagrange ; đi u ki n c n và đ.ớ ị ề ệ ầ ủ
Trong đó ch ng I ,ch ng II chi làm c s đ phát tri n lên ươ ươ ơ ở ể ể
ph ng pháp ch ng III. Nh ng tr ng tâm c a đ tài là ch ng I và ươ ở ươ ư ọ ủ ể ươ
ch ng II (toàn b ch ng I là ý t ng c a nhóm).ươ ộ ươ ưở ủ
Vì th i gian có h n nên chúng tôi không th tránh đc nh ng thi uờ ạ ể ượ ữ ế
sót,mong s góp ý c a b n đc.Xin chân thành c m n.ự ủ ạ ọ ả ơ
Nhóm th c hi n.ự ệ
Quy Nh n 27/ ơ
11/2009
3
Ch ng Iươ
*Ph ng pháp bi n thiên h ng s *ươ ế ằ ố
Th c ch t c a ph ng pháp này là s trao đi vai trò gi a n s vàự ấ ủ ươ ự ổ ữ ẩ ố
h ng s , n s đc xem là tham s và h ng s đc xem là n s trong ằ ố ẩ ố ượ ố ằ ố ượ ẩ ố
ph ng trình m i.C th nh sau :ươ ớ ụ ể ư
Cho ph ng trình f(x)=0 ươ
Sau m t s b c bi n đi s c p, ta nh n th y trong bi u th c f(x) ộ ố ướ ế ổ ơ ấ ậ ấ ể ứ
n u vi t l i m t d ng khác là g(t) thì ta có g(a)=0.V i a=const, nghĩa là ế ế ạ ở ộ ạ ớ
t ph ng trình g(t)=0 thay t=a thì đc ph ng trình f(x)=0.ừ ươ ượ ươ
* N y sinh ra ý t ng là dùng a là n s ,x làm tham s trong ph ng ả ưở ẩ ố ố ươ
trình g(t)=0. Nh v y ph ng trình g(t)=0 luôn luôn có nghi m t=a. Và khiư ậ ươ ệ
xét ph ng trình g(t)=0 không c n đi u ki n c a t. Đây là đi m khác bi t ươ ầ ề ệ ủ ể ệ
c a ph ng pháp này v i ph ng pháp đt n ph . ủ ươ ớ ươ ặ ẩ ụ
V i g(t)=0, t ph ng trình f(x)=0 sau khi bi n đi, nh n xét ớ ừ ươ ế ổ ậ
ph ng trình này có nghi n t=a.ươ ệ
Gi i g(t)=0 ta đc nghi m t ph thu c vào x, thay t=a vào gi i tìm x.ả ượ ệ ụ ộ ả
* Chú ý: - Thông th ng ph ng trình g(t)=0 gi i tìm t đn gi n không ườ ươ ả ơ ả
ph c t p nh ph ng trình f(x)=0 ban đu.ứ ạ ư ươ ầ
4
- Ph ng pháp này gi i đc khi t ph ng trình f(x)=0 sau vài b c ươ ả ượ ừ ươ ướ
bi n đi ta nh n ra h ng s a.ế ổ ậ ằ ố
Cách ra đề:- Ch n h ng s làm n cho ph ng trình m i.ọ ằ ố ẩ ươ ớ
- L p ph ng trình nh n h ng s làm nghi m (ph ng trình gi i đc ậ ươ ậ ằ ố ệ ươ ả ượ
nghi m theo x).ệ
- T ph ng trình đã có đa ph ng trình v ph ng trình theo n x, đa ừ ươ ư ươ ề ươ ẩ ư
h ng s ch n làm nghi m vào ph ng trình này, ta đc m t ph ng ằ ố ọ ệ ươ ượ ộ ươ
trình theo x.
M r ng:ở ộ Ta không dùng h ng s đ làm n trong ph ng trình m i ằ ố ể ẩ ươ ớ
mà thay đi h ng s theo x. Lúc này đ ph c t p c a bài toán m r ng tùyổ ằ ố ộ ứ ạ ủ ở ộ
ý b i các hàm s c p: hàm lũy th a, hàm mũ, hàm logarit… vì ta cũng ở ơ ấ ừ
nh n ra đc hàm ậ ượ
( )x
ϕ
là nghi m c a g(t)=0 nh vai trò c a a.ệ ủ ư ủ
* Ví d 1:ụ [1] Gi i ph ng trình sau:ả ươ
x5 5
x
1
2(5 log x) ( log x 1) x 1 0
5
− + − − =
(1) Gi i:ả Đi u ki n:ề ệ
x 0 x 1
x 1
>>�
>
(1)
x5 5
x
1
2.5 2.log x x 1. log x x 1 0
5
− + − − − =�
x x x
2.25 2.5 .log x x 1.log x 5 . x 1 0
5 5
− + − − − =�
2x x
2.(5 ) (2log x x 1)5 x 1.log x 0
5 5
− − − + − =�
(*)
Xét ph ng trình b c hai: ươ ậ
2
2u (2log x x 1)u x 1.log x 0
5 5
− − − + − =
(2)
T (**) ta th y (2) có nghi m u=5ừ ấ ệ x
Ta gi i (2): ả
2
[ (2log x x 1)] 4.2. x 1.log x
5 5
∆= − − − − −
5
2
5
(2log x x 1)= − −
0
Ph ng trình (2) có hai nghi m là: ươ ệ
1
u x 1
2
= −
và
u log x
5
=
Khi đó ta có:
x
x5
1
5 x 1 (3)
2
5 log x (4)
= −
=
Gi i (3) và (4) k t h p v i đi u ki n x>1 ta tìm đc x.ả ế ợ ớ ề ệ ượ
Cách ra đề:
- Ch n u =5ọx làm nghi m c a ph ng trình (*).ệ ủ ươ
- Xây d ng ph ng trình (*) thành ph ng trình b c hai theo u v iự ươ ươ ậ ớ
∆
là 1 s chính ph ng có th gi i đc (ố ươ ể ả ượ
2
5
(2log x x 1)
∆ = − −
)
- T (*) thay u=5ừx, bi n đi s c p gi a các hàm theo bi n x có ế ổ ơ ấ ữ ế
trong ph ng trình ta đc ph ng trình ban đu (1).ươ ượ ươ ầ
- Tùy vào m c đ khó d c a bài toán mà trong ph ng trình b c ứ ộ ễ ủ ươ ậ
hai theo u ta ch n các nghi m uọ ệ 1 , u2 là các h ng s ,hàm s theo x.ằ ố ố
Sau khi gi i ta đcả ượ
x
x
u 5 f(x)
u 5 g(x)
= =
= =
* Chú ý: Ph ng pháp này khác v i ph ng pháp đt n ph vì khi đt ươ ớ ươ ặ ẩ ụ ặ
n ph ta ph i tìm đi u ki n c a n m i cho ph ng trình m i t n t i. ẩ ụ ả ề ệ ủ ẩ ớ ươ ớ ồ ạ Ở
đây ta xét ph ng trình nh n h ng s (hàm s ) làm nghi m.ươ ậ ằ ố ố ệ
* Ví d 2:ụ [1] Gi i ph ng trình sau: ả ươ
2x 3x 1 x 3
4 2 2 16 0
+ +
+ + − =
(1)
Gi i:ả
Đt t=2ặx >0
(1) tr thành ở
4 3 2
t 2t 2.4t 4 0+ + − =
(*)