SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN
TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN
TỬ VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ
phần I
phần Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề
thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày càng
được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù
hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh.
Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu
tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của
một phương trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phương trình…
đối với học sinh lớp 8 đều cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy
người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách
hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải
toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương trình lớp 8.
Các vấn đề trong đề tài đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinh đều
có thể tiếp thu được. Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó được diễn đạt một
cách đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thông
tin trong khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho
học sinh; đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải.
Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên, tôi đã chọn đề tài: “Các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó”.
2. Mục đích của đề tài:
- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt
dạng toán này.
- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức.
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.
- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải
toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.
3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến này tôi đã thực hiện
trong nhiều năm qua. Bản thân đã nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản
về phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với
học sinh phổ thông cơ sở:
- Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9.
- Sách giáo viên lớp 7, 8, 9.
- Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho học sinh,
giáo viên.
Phần II
Nội dung
I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi nó thành tích của
những đa thức bậc nhỏ hơn.
Ví dụ: x3 + y3 = (x + y)(x2 + xy + y2)
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp.
Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung (thừa số)
1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 12x2y - 18y3
b. 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2
Giải
a. Các dạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó:
12x2y - 18y3 = 6y.2x2 - 6y.3y2 = 6y(2x2 - 3y2)
b. Các hạng tử có nhân tử chung là 3x(y - 2z)
Do đó ta có: 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2
= 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)]
= 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z)
2. Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
Chẳng hạn đa thức: 2x2(3y - z) + (z - 3y)(x + y)
Có thể viết là: 2x2(3y - z) - (3y - z)(x + y) và xuất hiện nhân tử chung là
(3y - z).
Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
1. Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử
a. 4x2 - 12x + 9 c. 16x2 - 9(x + y)2
b. 27 - 27x + 9x2 - x3 b. 1 - 27x3y6
Giải
a. 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2
b. 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x + 3.3x2 - x3 = (3 -x)3
c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
= (x - 3y)(7x + y)
d. 1 - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4)
2. Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn:
- x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2
Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2)
b. 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)
c. x2 + 2x + 1 - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2
= (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1)
2. Chú ý: Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử.
Chẳng hạn ở ví dụ a có thể phân tích như sau:
xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10)
= x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5)
3. Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử thường phối hợp 3
phương pháp kể trên. Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử
chung ra ngoài hoặc đa thức trong ngoặc đơn giản hơn đa thức đã cho. Do đó
tiếp tục phân tích sẽ đơn giản hơn.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2
= 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2]
= 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)
Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
1. Dạng tam thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: x2 - 6x + 8
Giải
Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng
đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa
thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2
hay nhiều hạng tử.
Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1
= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4)
Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4
= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
Cách 6: x2 - 6x + 8 = 3x2 - 6x - 2x2 + 8
= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]
= (x - 2)(x - 4)
Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản và dễ làm nhất. ở
đây ta đã tách số hạng bậc nhất - 6x thành 2 số hạng - 2x và - 4x. Trong đa thức
x2 - 2x - 4x + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; - 2; - 4; 8 các hệ số thứ 2 và thứ
4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trước, nhờ đó xuất hiện thừa số chung (x - 2).
Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân
tử và tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho:
a
b1 =
2
b
c, tức là b1.b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng bằng b.
Trong ví dụ trên x2 - 6x + 8 có a = 1; b = - 6 và c = 8.
Tích a.c = 8, ta phân tích 8 thành tích của 2 thừa số, hai thừa số này cùng
dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm (để tổng của chúng bằng - 6); ví
dụ: (- 4, - 2).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 + 6x - 8
Giải
Cách 1: Cách hạng tử thứ 2
9x2 + 6x - 8 = 9x2 - 6x + 12x - 8 = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2)
= (3x - 2)(3x + 4)
Chú ý hệ số 6 được phân tích thành - 6 và 12, vì có tích bằng 72 bằng 9.(- 8).
Cách 2: Tách hạng tử thứ 3
9x2 + 6x - 8 = (9x2 + 6x + 1) - 9 = (3x + 1)2 - 9
= (3x + 1 + 3)(3x + 1 - 3) = (3x + 4)(3x - 2)
Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng
tử khác nhau thường nhằm mục đích:
- Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1).
- Làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương (cách 2).
Chú ý:
a. Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự như đa
thức bậc 2 một biến
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2
Giải
Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)
Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2
= 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)
