327
SO SÁNH HAI BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU LYAPUNOV
THÔNG QUA CÁC VÍ DỤ
Lê Quang Long 1
1. Khoa Sư phạm, trường Đại học Thủ Dầu Một
TÓM TẮT
Trong bài báo cáo này, chúng tôi thông qua một số ví dụ cụ thể để so sánh hai bất đẳng thức
kiểu Lyapunov được đưa ra bởi (Ferreira, 2014) và (Long, 2022) cho bài toán với các điều kiện biên:
{ 𝐷
𝑎+
𝐶 𝛼y(t)+q(t)y(t)=0,a < t < b,1 < 𝛼 ≤ 2,
𝑦(𝑎)= 𝑦(𝑏)= 0,
trong đó 𝑞:[𝑎,𝑏]→ 𝑅 là một hàm liên tục.
Từ khoá: đạo hàm Caputo, phương trình vi phân phân số, bất đẳng thức kiểu Lyapunov.
1. GIỚI THIỆU
Xét phương trình vi phân cấp hai với điều kiện ban đầu
{y"(t) + q(t)y(t) = 0,a < t < b,
𝑦(𝑎)= 𝑦(𝑏)= 0, (1)
trong đó q(t) là một hàm liên tục trên [a;b]. (Lyapunov,1907) đã chứng minh rằng phương trình (1)
nếu có nghiệm không tầm thường thì
∫|𝑞(𝑡)|𝑑𝑡 > 4
𝑏−𝑎
𝑏
𝑎. (2)
Bất đẳng thức (2) gọi là bất đẳng thức Lyapunov cho bài toán (1), và được dùng như một tiêu
chuẩn để chứng tỏ bài toán (1) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường. Cụ thể, nếu
∫|𝑞(𝑡)|𝑑𝑡 ≤ 4
𝑏−𝑎
𝑏
𝑎
thì bài toán (1) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường.
Từ những năm 1970 trở về sau này, cùng với sự phát triển của giải tích phân số, nhiều tác giả
đã xét lại các bài toán của giải tích cổ điển và thay các đạo hàm thông thường bởi các đạo hàm phân
số như đạo hàm Caputo, đạo hàm Hilfer,…. Một trong những bài toán đó là đưa ra bất đẳng thức kiểu
Lyapunov cho phương trình vi phân phân số với điều kiện ban đầu:
{ 𝐷
𝑎+
𝐶 𝛼y(t)+q(t)y(t)= 0,a < t < b,1 < 𝛼 ≤ 2,
𝑦(𝑎)= 𝑦(𝑏)= 0, (3)
trong đó q:[a,b]→ R là một hàm liên tục.
Năm 2014, (A. M. Ferreira, 2014, Theorem 1) đã đưa ra bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho bài
toán (2) như sau:
∫|𝑞(𝑠)|𝑑𝑡 > Γ(𝛼)𝛼𝛼
[(𝛼−1)(𝑏−𝑎)]𝛼−1
𝑏
𝑎. (4)
328
Sau đó, (Long, 2022, Corolarry 3,4) cũng đưa ra một kết quả khác về bất đẳng thức kiểu
Lyapunov cho bài toán (2):
∫(𝑏−𝑠)𝛼−1 |𝑞(𝑠)|𝑑𝑡 > Γ(𝛼)
𝑏
𝑎 (5)
Ở bài báo cáo này, chúng tôi sẽ xét một số ví dụ cụ thể nhằm so sánh hai kết quả về bất đẳng
thức kiểu Lyapunov (3) và (4) trên.
2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Định nghĩa (I. Podlubny, 1999). Cho 𝜙 ∈ 𝐶𝑛[𝑎,𝑏],𝑛 ∈ 𝑁+, và α
∈
(n-1, n], đạo hàm phân số
Caputo với bậc α được định nghĩa
𝐷
𝑎
𝐶 𝛼𝜙(𝑡)=1
𝛤(𝑛−𝛼)∫(𝑡−𝑠)𝑛−𝛼−1𝜙(𝑛)(𝑠)d𝑠,
𝑡
𝑎
với Γ(.) là hàm Gamma.
3. CÁC VÍ DỤ VÀ NHẬN XÉT
3.1 Các ví dụ
Ta sẽ xét 𝑞(𝑡) là các hàm cơ bản thường gặp.
3.1.1. Ví dụ 1. Xét 𝑞(𝑡)= 𝐴 𝑡𝛽,0 ≤ 𝑡 ≤ 1,(0< 𝐴,𝛽 ∈ 𝑅). Khi đó, bài toán (3) trở thành
{ 𝐷
0+
𝐶𝛼𝑦(𝑡)+ 𝐴 𝑡𝛽.𝑦(𝑡)= 0, (0 < 𝑡 < 1),
𝑦(0)= 𝑦(1)= 0. (6)
Ta có
∫(1−𝑠)𝛼−1𝐴 𝑠𝛽𝑑𝑠
1
0= 𝐴 ∫(1−𝑠)𝛼−1𝑠𝛽𝑑𝑠
1
0
= 𝐴.𝐵(𝛼,𝛽+1)= Γ(𝛼).𝐴.Γ(𝛽+1)
Γ(𝛼+𝛽+1),
và
∫𝐴 𝑠𝛽𝑑𝑠
1
0=𝐴
𝛽+ 1 .
• Nếu chọn 𝐴 = 27; 𝛽 =10;𝛼 =1,5 thì
∫(1−𝑠)𝛼−127 𝑠𝛽𝑑𝑠
1
0= Γ(1,5).27.Γ(11)
Γ(12,5)≈ 0,72.Γ(1,5)< Γ(1,5),
do đó bài toán (6) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường theo tiêu chuẩn (5). Trong
khi đó,
∫27 𝑠10𝑑𝑠
1
0=27
11 >Γ(1,5)1,51,5
[(1,5−1)(1−0)]1,5−1 ≈ 2,3
nên tiêu chuẩn (4) không dùng được trong trường hợp này.
• Nếu chọn 𝐴 = 4; 𝛽 = 1;𝛼 = 1,5 thì
329
∫4 𝑠𝑑𝑠
1
0= 2 < Γ(1,5)1,51,5
[(1,5−1)(1−0)]1,5−1 ≈ 2,3.
Suy ra bài toán (6) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường theo tiêu chuẩn (4).
Tuy nhiên,
∫(1−𝑠)𝛼−14𝑠𝑑𝑠
1
0= Γ(1,5).4.Γ(2)
Γ(3,5)≈ 1,2.Γ(1,5)> Γ(1,5)
nên tiêu chuẩn (5) không dùng được trong trường hợp này.
3.1.2. Ví dụ 2. Xét hàm 𝑞(𝑡)=ln𝑡,0 < 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏; 𝛼 = 2; 𝑎 = 1; 𝑏 = 3,2.
Khi đó, bài toán (3) trở thành
{ 𝐷
0+
𝐶2𝑦(𝑡)+ln𝑡.𝑦(𝑡)= 0, (1 < 𝑡 < 4),
𝑦(1)= 𝑦(4)= 0. (7)
Khi đó,
∫ln𝑠𝑑𝑠
3,2
1≈ 1,52 <4
3,2 − 1
nên bài toán (7) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường theo tiêu chuẩn (4).
Mặt khác,
∫(3,2−𝑠)ln𝑠𝑑𝑠
3,2
1≈ 1,22 > Γ (2)= 1
nên không dùng được tiêu chuẩn (5) trong trường hợp này.
3.1.3. Ví dụ 3. Xét hàm 𝑞(𝑡)= 𝑒𝑡,𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏; 𝛼 = 2. Bài toán (3) trở thành
{ 𝐷
0+
𝐶2𝑦(𝑡)+𝑒𝑡.𝑦(𝑡)= 0, (𝑎 < 𝑡 < 𝑏),
𝑦(𝑎)= 𝑦(𝑏)= 0. (9)
Ta có
∫𝑒𝑠𝑑𝑠
𝑏
𝑎= 𝑒𝑏−𝑒𝑎,
và
∫(𝑏−𝑠)𝑒𝑠𝑑𝑠
𝑏
𝑎= 𝑒𝑏−𝑒𝑎−(𝑏−𝑎)𝑒𝑎.
• Với 𝑎 = −10,𝑏 = 0 thì
∫(𝑏−𝑠)𝑒𝑠𝑑𝑠
𝑏
𝑎= 1− 11
𝑒10 < Γ (2)= 1,
Từ đó bài toán (9) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường theo tiêu chuẩn (5).
Nhưng
330
∫𝑒𝑠𝑑𝑠
𝑏
𝑎= 1− 1
𝑒10 >4
10
nên tiêu chuẩn (4) không dùng được trong trường hợp này.
• Với 𝑎 = −1,2,𝑏 = 0,8 thì
∫(𝑏−𝑠)𝑒𝑠𝑑𝑠
𝑏
𝑎= 𝑒0,8 −3𝑒−1,2 ≈ 1,32 > Γ (2)= 1.
Do đó tiêu chuẩn (5) không dùng được trong trường hợp này. Mặt khác,
∫𝑒𝑠𝑑𝑠
𝑏
𝑎= 𝑒0,8 −𝑒−1,2 ≈ 1,92 < 2
nên bài toán (9) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường theo tiêu chuẩn (4).
3.2. Nhận xét
Qua các ví dụ trên, ta không thể khẳng định được tiêu chuẩn (4) hay tiêu chuẩn (5) là tối ưu
hơn. Có những trường hợp dùng được tiêu chuẩn (4) nhưng không dùng được tiêu chuẩn (5) và ngược
lại. Hướng nghiên cứu tiếp theo, chúng tôi sẽ cố gắng đưa ra bất đẳng thức kiểu Lyapunov tổng quát
hơn cho bài toán (3).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. M. Ferreira (2014). On a Lyapunov-type inequality and the zeros of a certain Mittag-Leffler function. J.
Math. Anal. Appl, (412), 1058-1063.
2. Podlubny (1999). Fractional differential equations. New York: Academic Press.
3. Le Quang Long (2022). A Lyapunov-type inequality for a fractional differential equation under multi-
point boundary conditions. Thu Dau Mot University Journal of Science, (4), Issue 2-2022.