PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thaonx-fami@mail.hut.edu.vn

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 10 §3. Phương trình vi phân cấp hai (TT)

′′

′

f x p q ( ),

qy

py

y

,

(1)

4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi +

∈ (cid:1)

+

=

′′

′

y

py

qy

a) Phương trình thuần nhất

(2)

+

+

= 0

pk

q

(3)

+

+

= 0

Cách giải. • Giải phương trình đặc trưng 2 k

k x 1

k x 2

⇒ (2) có nghiệm tổng quát

y

k≠

=

+

2

c e 1

c e 2

k x 1

e

y

(

c

)

=

c x 1

2

i

+ ±γ β ⇒ (2) có nghiệm tổng quát

=

• (3) có hai nghiệm thực 1 k • (3) có nghiệm kép 1k ⇒ (2) có nghiệm tổng quát • (3) có 2 nghiệm phức 1, 2k

x γ e

(

cos

sin

c

y

x β

β ) x

=

+

c 1

′′

′

′′

′′

y

3

y

2

y

0

y

4

4

y

y

y

2 ′ y

Ví dụ 1.

a)

b)

c)

−

+

+

+

0 =

′+ y

+

0 =

=

′′

′

′′

′

′′

′

y

4

y

5

y

y

4

y

y

y

4

y

3

y

d)

e) 4

f)

−

+

0 =

+

+

0 =

+

+

0 =

2

0

Giải a) • 2 k

k− 3

+

=

= 2

k = ⇔ 1

k 21,

2

x

x

y

• Nghiệm tổng quát

=

+

c e 1

2

x

2)

k

4

k

4

0

(

k

0

k

2

+)

y

b) +)

c e 2 =2

+

+

=

⇔

+

⇔

=

= −

2 −= e

C x C ) ( +

k 1

2

1

2

−

2

x 2

i

3

+)

y

e

cos

sin

x )

k

k

0

c) +)

1 = − ±

=

+

1 + =

⇔

k 1,2

C ( 1

x C + 2

3 2

3 2

′′

′

y

py

qy

f x ( )

(1)

b) Phương trình không thuần nhất

+

+

=

f x ( )

x α e P x

( ),

α

=

∈ (cid:1)

1°°°°/ Khi

n

Y

e Q x ( )

,

x = α

n

( )

Y

x α xe Q x ( )

.

=

n

2

Y

x α x e Q x ( )

.

=

n

4

x

x

4

+ 4

y

a) k+ 3

= − 4

′′ y −

•

=

+

• Nếu α không là nghiệm của (3) ⇒ nghiệm riêng của (1) có dạng nQ x là đa thức bậc n của x . • Nếu α là nghiệm đơn của (3) ⇒ nghiệm riêng của (1) có dạng • Nếu α là nghiệm kép của (3) ⇒ nghiệm riêng của (1) có dạng ′ Ví dụ 2. 3 y y x − = Giải • 2 k 21, k = ⇔ 1 0 k =

c e− 2

c e 1

, thay vào ta có 4

3

4

;

Ax

A

B

x ,

A

B

=

Ax B +

−

+

−

=

x ∀ ⇔

= −

= −

0=α ⇒ Y

•

1 4

3 16

⇒

Y = −

−

x 4

3 16

x

x

4

y

=

+

−

−

• Nghiệm tổng quát

c e 1

c e− 2

x 4

3 16

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

3

x

x

x

′′

′

2

2

(

y

y

y

xe

x e )

b)

−

+

=

+

+

y C e = 1

C xe 2

thaonx-fami@mail.hut.edu.vn x 3

x

x

c) y 2 k

= 0

•

2 x

x

x

e ⇔ = ±1 k Y

y C e = 1 x A xe (

x − C e + e ) 2

xe A , do đó

Axe

x e

′′ − y Giải • 1 − = • α = 1 là nghiệm đơn ⇒

=

−

+

=

⇒

A

⇒

Y

x xe

=

=

1 2

1 2

x

x

−

• Nghiệm tổng quát

+

+

y C e = 1

C e 2

xx e 2

x

x

4

x

4

x

4

x

x

−

−

−

−

−

′′

′

y

3

y

4

y

xe

e

(

e

e

)

d)

+

−

=

+

+

−

−

+

y C e = 1

C e 2

  

  

x 5

x 6

1 36

x

x

x

−

y

y

2 x e

xe

x

2

e)

(

)

+

+

+

+2

′′ −

=

− 2 x

y C e = 1

C e 2

3

x

x

2

x

−

′′

′

y

2

y

3

y

x

(1

)x

(2

x 3 )

(2

x

)

f)

(

3 x e )

−

−

=

+ 3 e

+

+

−

+

−

y C e = 1

C e 2

1 9

1 16

( ) cos

x P x

( ) sin

β x

=

+β

2°°°°/ Khi ( ) f x

P x m

n

• Nếu

Y Q x

x R x

( ) cos

( ) sin

max(

m n ,

)

l

x , β

β

i± β không là nghiệm của (3) thì nghiệm riêng của (1) có dạng +

=

=

l

l

• Nếu

x R x

( ) cos

( ) sin

l

i± β là nghiệm của (3) ⇒ nghiệm riêng của (1) có dạng ] [ x Q x β x l

′′ + 0

cos

y

sin

x

c

Y = x x sin i= ±

a) y k + = 1

+β •

y = ⇔ k

+

=

c 1

2

Ví dụ 3. Giải • 2 •

x Ax B

) cos

) sin

x

x

(

x i± β là nghiệm của phương trình đặc trưng ⇒ nghiệm riêng có dạng +

Cx D ( +

+

=

[

]

x

Ax

2(

x

x

x sin ,

+

C B −

=

∀ x

,Y Y′ • Tính [ Cx 2( 4 +

] ) sin

A = − 4 C 0

B 0 0 =

)

(

⇔

⇒ Y sin x x cos x ⇔ = − x 4 = 1 0 =

Y ′′ thay vào có [ ] A D ) cos 4 + − +  1  4    C    

0 =  =  A D +   4 A = −   − C B  D = 1 4

)

(

2

y cos x c sin x sin x cos x • Nghiệm tổng quát = + + − c 1 x 4

y y cos x cos sin x x sin

b)

(

x

2

x

x ) ′′ + = + y C = 1 x C + 2

′ cos x

(

x (0,1

x

(0, 3

x

0, 34) sin

x )

+

+

−

−

y C e = 1

C e 2

1 2 0,12) cos −

y y y 3 y 9 y 2 = cos 2

c) d)

x x ′′ − ′′ + + =

thaonx-fami@mail.hut.edu.vn

cos 3 A

x B

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo 2 ⇔ = ±3 i • k sin 2

x

x

Giải • k 0 9 = + cos 2 • x B A y +

A

x

B

x

A

B

y

=

x

x ⇔

x

5 cos 2 5 sin 2 cos 2 ⇒ và cos 2 • + = = 0 = = sin 3 x C y C = + 2 1 ′′ = − 4 cos 2 • x y − 1 5 4 sin 2 1 5

x

y C = 1

x C + 2

cos 3 sin 3 cos 2 • Nghiệm tổng quát + 1 5

y

y

y

x

x

2

x

x

3

−

y

x

e

x

′′ ′ e) 2 sin sh − + = +

2 x e )

xC e 2

  

  

x 10

x 4

( ) cos = + + + + − ( C 1 1 2 1 25

y

y

y

e

x

2

e

x

′′ ′ f) 4 8 − − =

x )

x C + 2

y

y

sin 2 ) x 0, 25 0,1cos 2 0, 5 sin 2 + + +

x

x

g) 4 2 sin 2 ′′ + = +2 x ( y x − sin 2 x 2 x cos 2 ( e C = 1 1 3 cos 2 x +

y C = 1

x C + 2

x 4

y

y

x

x

( cos 2 sin 2 (3 sin 2 2 cos 2 ) x ) − + + 1 4

x

2

x

x

x

x

h) ′′ + = 2 cos cos 2

x )

y C = 1

x C + 2

x 8

x 4

x

−

( cos sin cos sin cos 3 sin 3 + + − + 3 32

xy

x

y

e , bằng cách đặt =z

x 4 xy

x

x

x

−

e

e

′′ ′ 2(1 ) x y ( 2) i) + − + − =

y C e = 1

C 2 x

y

y

x

x

x

x

( ) + + 1 4 x

x )

y C = 1

x C + 2

x

x

x

′′

′

2

y

y

y

(

y

)

xe

ln

x )

k) ( cos sin cos sin ln sin − + ′′ + = 1 sin

−

+

=

=

+

+

C ( 1

C x e 2

xe x

m)

y

y

x

(

l)

′′ +

= tan

x

x

x

x

−

−

cos sin x x cos ln cot ) + + y C = 1 x C + 2       π 4

e ( x 2 x e ) + C e 2

2

2

n) o) ′′ − y 2 ′′ x y x y 2 0 + + , bằng cách đặt e x y − = tanh ′ xy 2 + y C e ( = 1 2 x x 3 , > ) arctan = t e =

2 ( x C 1

( ln y ln ) x x x ) = + + C 2 3 2

x α e

x e z

x P x ( ) sin f x ( ) y x = + = α để đưa về 2°/ β

] β , đặt

[

n

P x m

( ) cos f x bất kì dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

Chú ý. 1°/ Khi 2°/ ( ) Ví dụ 4.

x

x

y y xe cos x cos sin x sin x ( x 1)

a)

1)

(

)

x

−

′′ + = + + + − y C = 1 x C + 2

x e x−

y y sin x cos sin x cos x e ( x 1)

2)

(

)

′′ + = + − + + y C = 1 x C + 2 x 2 x 2 e 2 1 2

y y y ( ) cos x (ln sin x K ) sin

(

x )

3)

2

′′ + = = − + + + x K 1 1 sin x

thaonx-fami@mail.hut.edu.vn

y y y ( ln cos x ) cos x ( K x ) sin

4)

(

2

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo 1 cos

x

2

x

x

x

2

x

−

−

−

−

x ) ′′ + = = + + + K 1 x

′′ ′ y 3 y 2 y y ( e e ) ln( e 1)

b)

(

)

x

3

x

+ + = = + + + + C e 1 C e 2 1 e 1 +

2 x e )

′′ ′ y 6 y 9 y 3 x 8 x 3 e y 4

c)

1)

(

)

x

−

2

x

x

−

−

− + = − = + − + + C ( 1 C x 2 x 3 2 9

′′ ′ y 2 y y e y e x x ln x

2)

(

)

+ + = + = + − + + C 1 C x 2       e x x 2

y y cot x cos sin x sin ln tan x

(

)

3)

′′ + = + y C = 1 x C + 2

y y tan x y cos sin x cos x ln cot

4)

(

)

2

x

x

′′ + = = − + C 1 x C + 2 x 2       x 2 π 4

′′ ′ y 3 y 2 y 3 e 2 e cos

d) 1)

x

2

x

2

x

x

− + = + x 2

3 xe e (sin

(

)

x

+ + + + y C e = 1 C e 2 x 2 x 2 cos ) 2 8 3

′′ ′ y 3 y 2 y e (3 x 4 ) 5 sin 2 x

2)

x

2

x

x

− + = − +

(2 x 1) xe (3 cos 2 x sin 2 )

(

x

−

x

x ) + + + + − y C e = 1 C e 2 1 4

′′ ′ y 2 y y 4 xe

3)

x

x

x

x

x

−

−

−

−

+ + = + e x

x

( x 1) e xe xe ln x ) + + − − + C xe 2

( 2

′′ ′ y 2 y y 3 xe cot y C e = 1 x

4)

+ + = −

x e x (

cos sin x 1) x 2 cos ln tan

(

)

x

x

x

3 5

3 5

3 5

+ − + y C = 1 x C + 2 x 2 3 4

y

e

cos

sin

x

cos

e

′′ ′ 5 y 6 y 5 y e cos x

e)

1)

(

x )

=

−

C 1

x C + 2

  

  

4 5

4 5

5 9

x

x

x

3 5

3 5

3 5

′′

′

5

y

6

y

5

y

e

sin

x

y

e

cos

sin

x

sin

e

− + =

(

x )

2)

−

+

=

=

−

C 1

x C + 2

  

  

4 5

4 5

5 9

y

y

cos

sin

x

cos 3

x

sin

f)

1)

x

(

x )

′′ +

x = 2 cos cos 2

−

+

y C = 1

x C + 2

x 2

1 8

y

x 2 sin 2 cos

cos 3

sin 3

x

cos 3

x

sin

2)

x (

x )

′′ +

y =9

−

+

y C = 1

x C + 2

x 6

1 8 x

y

y

cos

x

tan

y

cos

sin

x

sin

x

ln

3)

x

(

)

′′ +

=

+

=

x K +

+

−

K 1

2

y

y

sin

x

cot

cos

sin

x

cos

x

ln

4)

x

(

)

′′ +

=

+

x K +

−

−

y K = 1

2

x 2 x 2

cos 2 x sin 2

x 1 sin + x 1 sin − x 1 cos + x 1 cos −

HAVE A GOOD UNDERSTANDING! HAVE A GOOD UNDERSTANDING! HAVE A GOOD UNDERSTANDING! HAVE A GOOD UNDERSTANDING!