718
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU LYAPUNOV CHO PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN VỚI ĐẠO HÀM PHÂN SỐ G-CAPUTO
Lê Quang Long1
1. Khoa Sư phạm. Email: longlq@tdmu.edu.vn,
TÓM TẮT
Trong bài báo này, chúng tôi xét phương trình vi phân với đạo hàm phân số g-Caputo
{ 𝐷
𝑎+
𝐶 𝛼,𝑔𝑦(𝑡)+𝑞(𝑡)𝑦(𝑡)=0,𝑎<𝑡<𝑏,
𝑦(𝑎)=𝑦′(𝑎)=𝑦(𝑏)=0,
với 2<𝛼 ≤3,𝑔∈𝐶+
1[𝑎,𝑏], và 𝑞:[𝑎,𝑏]⟶𝑅 là hàm liên tục. Chúng tôi thu được bất
đẳng thức kiểu Lyapunov cho bài toán trên như sau:
∫[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠≥
𝑏
𝑎Γ(𝛼)
Kết quả này là mới và chưa từng được công bố trước đó.
Từ khoá: bất đẳng thức kiểu Lyapunov, đạo hàm phân số Caputo, hàm Green.
1. GIỚI THIỆU
Xét phương trình vi phân cấp 2
{y"(t)+r(t)y(t) =0,a<t<b,
𝑦(𝑎)=𝑦(𝑏)=0, (1.1)
với r(t) là hàm liên tục trên đoạn [a,b].
Lyapunov (1907) chứng minh rằng nếu y(t) là một nghiệm không tầm thường của phương
trình (1.1) thì
∫|𝑟(𝑡)|𝑑𝑡> 4
𝑏−𝑎
𝑏
𝑎 .(1.2)
Bất đẳng thức (1.2) được gọi là bất đẳng thức Lyapunov. Gần đây, hướng nghiên cứu về
đạo hàm phân số rất được chú trọng, nhiều nhà nghiên cứu đã tìm cách xây dựng bất đẳng thức
kiểu Lyapunov cho phương trình vi phân với các đạo hàm phân số như đạo hàm phân số
Riemann-Liouville, đạo hàm phân số Caputo, đạo hàm phân số Hilfer,… (xem thêm S. K.
Ntouyas (2019), S. K. Ntouyas (2021)).
Năm 2014, Ferreira đã thay đạo hàm cấp 2 trong bài toán (1.1) thành đạo hàm phân số
Caputo 𝐷
𝑎
𝐶 𝛼(.). Cụ thể, Ferreira xét bài toán
{ 𝐷
𝑎
𝐶 𝛼y(t)+q(t)y(t)=0,a<t<b,1<𝛼 ≤2,
𝑦(𝑎)=𝑦(𝑏)=0, (1.3)
719
với q(t) là hàm liên tục trên đoạn [a,b], và thu được bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho bài
toán (1.3) như sau (Ferreira (2014)) :
∫|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠>
𝑏
𝑎Γ(𝛼)𝛼𝛼
[(𝛼−1)(𝑏−𝑎)]𝛼−1 (1.4)
Trong bài báo này, chúng tôi thay đạo hàm phân số Caputo trong bài toán (1.3) bởi đạo
hàm phân số bên trái g-Caputo 𝐷
𝑎+
𝐶 𝛼,𝑔(.), xét trường hợp bậc 𝛼 cao hơn, và bổ sung thêm điều
kiện ban đầu. Cụ thể, chúng tôi xét bài toán:
{ 𝐷
𝑎+
𝐶 𝛼,𝑔y(t)+q(t)y(t)=0,a<t<b,2<𝛼 ≤3,
𝑦(𝑎)=𝑦′(𝑎)=𝑦(𝑏)=0 (1.5)
với g∈C+
1[a,b], và q:[a,b]⟶R là hàm liên tục.
Chúng tôi thu được bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho bài toán (1.5) như sau (xem Định
lý 3.3):
∫[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠≥
𝑏
𝑎Γ(𝛼) (1.6)
Kết quả này là mới và chưa từng được công bố trước đó.
Và để kết thúc bài báo cáo, chúng tôi cũng đưa ra một ví dụ (Ví dụ 3.5) để minh hoạ việc
dùng bất đẳng thức kiểu Lyapunov chứng minh bài toán đang xét không có nghiệm nào khác
ngoài nghiệm tầm thường
2. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản, các khái niệm và
kết quả này có thể tìm thấy trong I. Podlubny (1999), R. Almeida (2017), S. K. Ntouyas (2021),
và T.J. Osler (1970).
Trước hết, để cho thuận tiện, ta ký hiệu:
𝐶+
1[𝑎,𝑏]={𝑔∈ 𝐶1[𝑎,𝑏]: 𝑔′(𝑡)>0,∀ 𝑡∈[𝑎,𝑏]}
Định nghĩa 2.1 (I. Podlubny, 1999). Cho hàm 𝜙(𝑡)∈𝐶𝑛[𝑎,𝑏],𝑛∈ 𝑁+, và 𝛼∈(𝑛−
1,𝑛). Khi đó, đạo hàm phân số Caputo bậc 𝛼 được định nghĩa bởi
𝐷
𝑎
𝐶 𝛼𝜙(𝑡)=1
𝛤(𝑛−𝛼)∫(𝑡−𝑠)𝑛−𝛼−1𝜙(𝑛)(𝑠)𝑑𝑠,
𝑡
𝑎
với 𝛤(.) là hàm Gamma.
Định nghĩa 2.2 (T.J. Osler, 1970). Cho 𝛼>0,𝑔∈𝐶+
1[𝑎,𝑏], và 𝜙∈𝐶1[𝑎,𝑏]. Tích phân
phân số của hàm 𝜙 tương ứng với hàm g được định nghĩa bởi
𝐼𝑎+
𝛼,𝑔𝜙(𝑡)=1
𝛤(𝛼)∫[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)𝜙(𝑠)𝑑𝑠.
𝑡
𝑎
720
Định nghĩa 2.3 (R. Almeida, 2017). Cho 𝛼>0; 𝑛∈𝑁+; 𝑔,𝜙∈𝐶𝑛[𝑎,𝑏] là hai hàm
thoả 𝑔′(𝑡)>0,∀𝑡∈[𝑎,𝑏]. Đạo hàm phân số bên trái g-Caputo của hàm 𝜙 với bậc 𝛼
được định nghĩa bởi 𝐷
𝑎+
𝐶 𝛼,𝑔𝜙(𝑡)=𝐼𝑎+
𝑛−𝛼,𝑔(1
𝑔′(𝑡)𝑑
𝑑𝑡)𝑛
= 1
𝛤(𝑛−𝛼)∫[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)]𝑛−𝛼−1𝑔′(𝑠)(1
𝑔′(𝑠)𝑑
𝑑𝑠)𝑛𝜙(𝑠)𝑑𝑠,
𝑡
𝑎
với 𝑛=[𝛼]+1 nếu 𝛼∉𝑁, và 𝑛=𝛼 nếu 𝛼∈𝑁.
Trường hợp 𝑔(𝑡)=𝑡,∀ 𝑡∈[𝑎,𝑏] thì đạo hàm phân số bên trái g-Caputo 𝐷
𝑎+
𝐶 𝛼,𝑔(.) trở
thành đạo hàm phân số Caputo 𝐷
𝑎+
𝐶 𝛼(.).
Bổ đề 2.4 (R. Almeida, 2017). Cho 𝑛∈𝑁+,𝑛−1<𝛼<𝑛 và 𝑔∈𝐶+
1[𝑎,𝑏]. Với 𝜙∈
𝐶𝑛[𝑎,𝑏], ta có
(𝐼𝑎+
𝛼,𝑔 𝐷
𝑎+
𝐶 𝛼,𝑔𝜙)(𝑡)=𝜙(𝑡)+∑𝑐𝑘[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)]𝑘,
𝑛−1
𝑘=0 𝑐𝑘∈ 𝑅,(𝑘=0,…,𝑛−1).
3. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH
Bổ đề 3.1. Cho 2<𝛼≤3, và 𝑔∈𝐶+
1[𝑎,𝑏]. Giả sử rằng 𝑦(𝑡) là một nghiệm của bài toán
(1.5). Khi đó, 𝑦(𝑡) có dạng
𝑦(𝑡)= 1
𝛤(𝛼)∫𝐺(𝑡,𝑠)[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠,
𝑏
𝑎
với
𝐺(𝑡,𝑠)=
{
(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))2−(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠))𝛼−1,𝑎≤𝑠<𝑡≤𝑏,
(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))2,𝑎≤𝑡≤𝑠≤𝑏. (3.1)
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.4, ta được
𝑦(𝑡)=−𝐼𝑎+
𝛼,𝑔𝑦(𝑡)𝑞(𝑡)+ 𝑐0+𝑐1[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)]+𝑐2[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)]2,(𝑐0,𝑐1,𝑐2∈𝑅)
= −1
Γ(𝛼)∫[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠+𝑐0+𝑐1[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)]
𝑡
𝑎+𝑐2[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)]2
Từ điều kiện 𝑦(𝑎)=0, ta phải có 𝑐0=0. Mặt khác:
𝑦′(𝑡)= 1
Γ(𝛼)[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑎)𝑞(𝑎)𝑦(𝑎)
−𝑔′(𝑡)
Γ(𝛼)∫[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)]𝛼−2𝑔′(𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠
𝑡
𝑎+𝑐1𝑔′(𝑡)
+𝑐2𝑔′(𝑡)[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)]
721
Vì 𝑔′(𝑡)>0,∀ 𝑡∈[𝑎,𝑏], và 𝑦′(𝑎)=0 nên 𝑐1=0.
Từ 𝑦(𝑏)=0, ta được
0= −1
Γ(𝛼)∫[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠
𝑏
𝑎+𝑐2[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)]2,
hay
𝑐2= 1
[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)]2Γ(𝛼)∫[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠.
𝑏
𝑎
Suy ra
𝑦(𝑡)= −1
Γ(𝛼)∫[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠
𝑡
𝑎
+(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))21
Γ(𝛼)∫[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠
𝑏
𝑎
= 1
Γ(𝛼)∫𝐺(𝑡,𝑠)[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠
𝑏
𝑎
với
𝐺(𝑡,𝑠)=
{
(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))2−(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠))𝛼−1,𝑎≤𝑠<𝑡≤𝑏,
(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))2,𝑎≤𝑡≤𝑠≤𝑏.
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3.2. Cho hàm Green được xác định như trong (3.1). Khi đó,
𝑚𝑎𝑥
𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏]|𝐺(𝑡,𝑠)|=1.
Hơn nữa,
|𝐺(𝑡,𝑠)|=1 khi và chỉ khi t=s= b.
Chứng minh. Trường hợp 𝑎≤𝑡≤𝑠≤𝑏 thì 𝐺(𝑡,𝑠)=(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))2. Dễ thấy
0≤𝐺(𝑡,𝑠)≤1, và G(t,s)=1 khi và chỉ khi t=s= b. (3.2)
Trường hợp 𝑎≤𝑠<𝑡≤𝑏, xét hàm
ℎ(𝑡,𝑠)=(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))2−(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠))𝛼−1,𝑎≤𝑠<𝑡≤𝑏,2<𝛼≤3.
Cố định 𝑡∈[𝑎,𝑏] và lấy đạo hàm ℎ(𝑡,𝑠) theo biến 𝑠, ta được
𝜕ℎ
𝜕𝑠(𝑡,𝑠)=(𝛼−1)𝑔′(𝑠)[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑡)]
[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠)]2(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑠)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠))𝛼−2≥0,∀ 𝑎≤𝑠<𝑡≤𝑏.
722
Từ đó, ℎ(𝑡,𝑠) là hàm đồng biến theo biến 𝑠, hay
ℎ(𝑡,𝑎)≤ ℎ(𝑡,𝑠)<ℎ(𝑡,𝑡)=0,∀ 𝑡∈[𝑎,𝑏].
Suy ra 𝑚𝑎𝑥
𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏]|ℎ(𝑡,𝑠)|=|ℎ(𝑡,𝑎)|.(3.3)
Kết hợp (3.2) và (3.3), ta được
max
𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏]|𝐺(𝑡,𝑠)|=max {1,max
𝑡∈[𝑎,𝑏]|ℎ(𝑡,𝑎)| }.
Để tìm max
𝑡∈[𝑎,𝑏]|ℎ(𝑡,𝑎)| ta xét hàm:
ℎ(𝑡,𝑎)=(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))2−(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))𝛼−1,𝑡∈[𝑎,𝑏],2<𝛼≤3.
Ta có 𝜕ℎ
𝜕𝑡(𝑡,𝑎)=𝑔′(𝑡)[𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)]
[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)]2[2−(𝛼−1)(𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎))𝛼−2],
và
𝜕ℎ
𝜕𝑡(𝑡,𝑎)=0⇔ 𝑡=𝑎 hoặc 𝑡=𝑡∗,
với 𝑡∗ xác định từ
𝑔(𝑡∗)=( 2
𝛼−1)1
𝛼−2 [𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)]+𝑔(𝑎)
Lưu ý, 𝑔′(𝑡)>0,∀𝑡∈[𝑎,𝑏] nên 𝑎< 𝑡∗<𝑏. Vì ℎ(𝑎,𝑎)=ℎ(𝑏,𝑎)=0 nên
max
𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏]|ℎ(𝑡,𝑎)|=|ℎ(𝑡∗,𝑎)|=| ( 2
𝛼−1)2
𝛼−2[1−( 2
𝛼−1)𝛼−3
𝛼−2] |<1,(𝛼<2<3).
và |ℎ(𝑡∗,𝑎)|=1 nếu 𝛼=3.
Vậy max
𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏]|𝐺(𝑡,𝑠)|=1
và |𝐺(𝑡,𝑠)|=1 khi và chỉ khi 𝑡=𝑠=𝑏.
Định lý 3.3. Giả sử bài toán (1.5) có nghiệm không tầm thường 𝑦(𝑡). Khi đó
∫[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠≥
𝑏
𝑎𝛤(𝛼).
Chứng minh. Từ Bổ đề 3.1, ta có
|𝑦(𝑡)|≤ 1
Γ(𝛼)∫|𝐺(𝑡,𝑠)|[𝑔(𝑏)−𝑔(𝑠)]𝛼−1𝑔′(𝑠)|𝑞(𝑠)||𝑦(𝑠)|d𝑠,∀𝑡∈[𝑎,𝑏],
𝑏
𝑎