CHỨNH MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
NHỜ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ THALES
ĐÀO TAM
( GV khoa Toán, ĐH Vinh)
1. Các cách vận dụng định lí Thales để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Cách 1: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta làm theo các bước sau:
- Vẽ đường thẳng a đi qua A, sao cho B và C thuộc một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng a.
- Vẽ các đường thẳng BM và CN song song với nhau sao cho M, N thuộc a.
- Chứng minh:
()
1
BM AM
CN AN
=
Có thể kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh bằng cách sau:
C
1
N
A
C
B
M
Vẽ đường thẳng AB cắt tia CN tại C1. Khi đó vì BM //C1NB nên theo định
lí Thales trong tam giác AC1N ta có
()
1
2
BM AM
CN AN
=.
Từ các hệ thức (1) và (2) suy ra:
1
BM BM
CN C N
=. Từ đó CN = C1N suy ra hai
điểm C và C1 trùng nhau. Tức là A, B, C thẳng hàng.
Cách 2: Chứng minh A, B, C thẳng hàng theo các bước sau:
- Vẽ đường thẳng a đi qua điểm B sao cho A và C thuộc hai nửa mặt phẳng
khác nhau với bờ là a.
- Vẽ AM , AN song song với nhau sao cho các điểm M, N thuộc a.
- Chứng minh
A
MBM
CN BN
=.
N
A
C
B
M
Bạn đọc có thể kiểm tra tính đúng đắn của cách 2 bằng cách sử dụng định lí
Thales.
2. Một vài ví dụ áp dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC . Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N lần
lượt thuộc các cạnh AB và AC. Gọi I và J tương ứng là trung điểm của đoạn MN
và BC. Chứng minh rằng A, I, J thẳng hàng.
Lời giải:
J
IN
A
BC
M
Do I, J nằmg về một phía của đường thẳng AB và MI // BJ nên hai bước đầu của
của cách 1 đã thỏa mãn. Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng chỉ cần
chứng minh
M
IAM
M
JAB
=. Thật vậy, do MN // BC nên theo định lí Thales áp dụng
cho tam giác ABC ta có:
1
2
1
2
MN
A
MMN MI
A
BBC BJ
BC
== = (đccm).
Chú ý: Có thể diễn đạt bài toán 1 như bổ đề hình thang: Với hình thang MBCN,
các cạnh bên cắt nhau tại A; Các điểm I, J là các trung điểm cùa hai cạnh đáy thì
A, I, J thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm các đường phân giác trong của tam
giác đó; O1 là giao điểm của AO với phân giác ngoài của góc B. Giả sử các điểm
H và K là hình chiếu của O1 và O lên BC. Điểm I là điểm đối xứng của K Qua
tâm O. Chứng minh rằng A, I, H thẳng hàng.
Lời giải:
S
I
H
K
O
O1
A
BC
Do các điểm I, H nằm cùng vể một phía đường AO và OI // O1H nên theo cách 1
để lập luận A, I, H thẳng hàng thì cần chứng tỏ
11
OI AO
OH AO
=. Thật vậy, gọi các
điểm M và N là các hình chiếu của O và O1 lên đường thẳng AB. Khi đó:
1111
OAMOMOK OI
A
OANONOHOH
====( Áp dụng định lí Thales cho tam giác AO1N và
tính chất đường phân giác.
3. Một vài bài toán làm thêm
Bài 3 : Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác đó thẳng hàng. ( Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi
là đường thẳng Euler).
Bài 4: Tứ giác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O) vừa ngoại tiếp đường tròn (I)
và có các đường chéo cắt nhau tại P. Chứng minh rằng các điểm P, O, I thẳng
hàng.
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm thuộc nửa
đường tròn. Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại P. Gọi H là hình chiếu của
M trên AB. Chứng minh rằng P, B và trung điểm N của MH thẳng hàng.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD . Vẽ tia Cx là tia đối của tia CD. Vẽ tia Cy là phân
giác của góc BCx. Trên tia Cy lấy điểm O bất kì ( O khác C), vẽ đường tròn bán
kính OC (OC > OB) cắt các tia Cx, Cy, CB tại H, M K. Gọi Q là giao điểm của
CB và DM. Chứng minh rằng A, Q, H thẳng hàng.