1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất cơ bản của phân thức
* Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân
thức bằng phân thức đã cho. Ta có:
.
.
A A M
B B M
với M là đa thức khác đa thức 0.
* Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức
bằng phân thức đã cho. Ta có:
:
:
A A N
B B N
với N là một nhân tử chung của cả A và B.
2. Quy tắc đối dấu
* Nếu đổi dấu cà tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:
.
A A
B B
* Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu đồng thời đổi dấu của phân thức thì được một phân thức bằng phân thức
đã cho. Ta có:
A A A
B B B
IL BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tù ở hai vế;
Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 1: Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:
a.
3 2
2
2 4
, 2;
2 4
A x x x
x x
b.
2 2
55 5 ,
3
x y x y
x y
A
c.
2 3
8 2 16 1
, 0,
2 1 2
x x x x x
x A
d.
, 2
2
y x x y x
x A
Bài 2: Tìm bộ ba đa thức
, ,
ABC
thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:
2 3
, 1, 3.
3 4 3 27
A B C x x
x x x x
Bài 3: Tìm bộ ba đa thức
, ,
ABC
thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:
2 2 3
1
, 2
4 4 4 8
A x B C x
x x x x
Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử hoặc lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp
tùy theo yêu cầu đề bài;
Bước 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) để đưa về phân thức
mới thỏa mãn yêu cầu.
Bài 4: Tìm một phân thức mới có tử thức là đa thức
1 2
x
và có giá trị bằng phân thức
2
12 12 3
, 2, 5
6 3 5
x x x x
x x
Bài 5: Biến đổi phân thức
1
4 3
x
thành một phân thức có mẫu thức là đa thức 2
4 3
x x
và giá trị
của hai phân thức bằng nhau với
3
1;
4
x x
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 6: Biến đổi cặp phân thức
4
2
x
x
và
216 1
, , 0, 4
3 1 3
xx x x
x
thành cặp phân thức mới có
cùng tử thức và bằng phân thức ban đầu.
Dạng 3: Tính giá trị của phân thức.
Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn từng phân thức;
Bước 3. Thay giá trị của biến vào phân thức và tính.
Bài 7: Tính giá trị phân thức sau:
a.
2
2
2 3
, 1
2 1
x x
A x
x x
tại
3 1 0
x
b. 2
2
, 2; 3
5 6
x
B x x
x x
tại 2
4 0
x
Bài 8: Với giá trị
x
thỏa mãn 2
2 7 3 0
x x
, tính giá trị của các phân thức sau:
a.
2
2
2 1
2 1
x x
x x
b.
3
2
27
2 3
x
x x
Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích từ thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn từng phân thức, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Chú ý: Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng định nghĩa hai
phân thức bằng nhau:
A C
B D
nếu A.D = B.C
Bài 9: Các cặp phân thức sau có bằng nhau không. Vì sao?
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
a.
3 6
;
4 8
a a
a a
với
4; 8
x x
b.
2
2 3
9 6 3 3 3
;
3 3 2 2 1
x x x
x x x x
với
2
1;
3
x x
Bài 10: Cho cặp phân thức
2
2
1
3 4
x
x x
và
2
2
2 3
2
x x
x x
với
1;2;4
x
a. Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?
b. Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.
Dạng 5: Toán nâng cao.
Bài 11: Cho hai phân thức
A
B
và
C
D
. Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu có dạng
'
A
E
và
C
E
thỏa mãn điều kiện ' '
;
A A C C
E B E D
.
HƯỚNG DẪN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn từng phân thức thì ta có
a)
2
2
2
2
2 2
A x
A x
x x
b)
5 5 3
3 3
x y x y x y
A x y
x y
c)
2 2
8 2 ( 8)
2 2 1
2 1
x x x A x x
x A
d) (y )
2
2
y x x A x
x A
Bài 2:
2
, 1, 3.
3 ( 3)(x 1) 3 9 ( 3)
A B C x x
x x x x x
2
, 1, 3.
1 (x 1) 3 9
A B C x x
x x
Chọn 2
1 3 9; 1
A C x x B x
Bài 3:
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Tương tự bài 2 ta rút gọn và chọn
2
2 ( 1)( 2); 1 2 4
A x B x x C x x x
Bài 4:
2 2
12 12 3 3(2 1) 2 1 1 2
A , 2, 5
6 3 5 3 2 1 5 5 5
x x x x x x x
x x x x x x
Bài 5:
2
1
1
4 3 4 3 4 3 1
B B
B x
x x x x x
Vậy phân thức cần tìm là 2
1
4 3
x
x x
Bài 6:
2
4 4
4 16
2 2 4 2 4
x x
x x
x x x x x
Và ta giữ nguyên biểu thức thứ 2
216 1
, , 0, 4
3 1 3
xx x x
x
Bài 7:
2
2
2 3 3
2 1 1
x x x
A
x x x
Thay 1
2
3
x A
b) ta có 2
2( )
4 0
2( )
x loai
x
x tm
2
2 1
5 6 3
x
B
x x x
Với
1
2
5
x B
Bài 8:
2
3
2 7 3 0
1
2
x
x x x