CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình trùng phương
- Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:ax4 + bx2 + c - 0 (a ≠ 0).
- Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t > 0) để đưa phương trình vẽ phương trình bậc hai: at2 + bt + c = 0 (a ≠
0).
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở Bước 2.
Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.
3. Phương trình đưa về dạng tích
Để giải phương trình đưa vể dạng tích, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.
Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.
c
m
x d
với a b c d
4. Một số dạng khác của phương trình thường gặp
x a x b x
4
3
2
ax
bx
cx
bx a
0
a
0
- Phương trình bậc bốn dạng
2
4
3
2
ax
bx
cx
dx e
0
a
0
- Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng:
e a
d b
4
4
x a
x b
c
- Phương trình hồi quy có dạng trong đó
- Phương trình bậc bốn dạng
- Phương trình phân thức hữu tỉ. Trong phần này chúng ta xét một số dạng sau:
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
p
2
2
ax
ax
mx bx d
nx cx d
2
2
d
•
2
c c
ax ax
px qx
c c
ax mx 2 nx ax
2
d
•
2
c c
ax
ax mx 2 nx ax
px qx c
•
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Giải phương trình trùng phương
Phương pháp giải: Xét phương trình trùng phương:
axA + bx2 + c = 0 (a ≠ 0).
Bước 1. Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta được phương trình bậc hai:
at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0)
Bước 2. Giải phương trình bậc hai ẩn t từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình trùng phương đã
cho.
1.1. Giải các phương trình sau:
b) ( x + 1)4 - 5(x + 1)2 -84 = 0. a) x 4 + 5x2 - 6 = 0;
1.2.Giải các phương trình sau:
b) 4x4 + 8x2 - 12 = 0; a) 2x4 + 7x2 + 5 = 0;
Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn.
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình bậc hai nhận được ở Bước 2.
Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.
2.1. Giải các phương trình sau:
;
2x 5 x 1
3x x 2
a)
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5
3
x
x
;
5
3
5
3
x
x
5
3
b)
1
.
1 1
x x
1 1
x x
1 1
x x
14
x
3
:
c)
3;
2.2. Giải các phương trình sau:
x
x x
7 1
2x 1 3x 1 5 x
1
2
a)
2
b) ; x x x 3 3x 5 x 6 1
;
2
x
3
x
2x x 2
5
5 5x 6
c)
Dạng 3. Phương trình đưa về dạng tích
Phương pháp giải: Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Chuyên vế và phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.
Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.
3.1. Giải các phương trình sau:
a) x 3- 3x2 - 3x - 4 = 0;
b) (x - 1)3 + x3 + (x + 1)3 - (x + 2)3 = 0;
3.2. Giải các phương trình sau:
a) 2x3 -7x2 + 4x + 1 = 0;
b) (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2.
Dạng 4. Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp giải:
Bước 1. Đặt điều kiện xác định (nếu có);
Bước 2. Đặt ẩn phụ, đặt điểu kiện của ẩn phụ (nếu có) và giả phương trình theo ẩn mới;
Bước 3. Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác địnl và kết luận.
4.1. Giải các phương trình sau:
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a) x(x + l)(x + 2)(x + 3) = 8;
b) (x2 + 16x + 60)(x2 +17x + 60) = 6x2;
1.
2
2
3x
2
3x
2x x
7 5x 2
c)
4.2. Giải các phương trình sau:
a) (x2 - 3x)2 - 6(x2 - 3x) -7 = 0;
x
1
b) x 6 +61x3 - 8000 = 0;
10
3.
x
1
x
x
c)
Dạng 5. Phương trình chứa biếu thức trong dấu căn
0
A B
.
Phương pháp giải: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế.
2
B A B
Chú ý:
2
x
x
5.1. Giải các phương trình sau:
1 3 x .
x
6
x
3
9
x
;
a) b)
5.2. Giải các phương trình sau:
a) x2 - 3x + 2 = (1 - x) 3x 2
7x 1 b x 1 14x 6.
Dạng 6. Một số dạng khác
Phương pháp giải: Ngoài các phương pháp trên, ta còn dùng các phương pháp hằng đẳng thức, thêm bớt
hạng tử, hoặc đánh giá hai vế... để giải phương trình.
6. Giải các phương trình sau bằng phương pháp thêm bớt hạng tử hoặc dùng hằng đẳng thức:
a) x4 = 24x + 32; b) x3 = -3x2 + 3x -1;
c ) x 4 - x 2 + 2x - 1 = 0;
4
7. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đánh giá:
1
x
x
1;
a) 4
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
4x
4x 5
12x
12 9
6.
b)
8. Giải các phương trình sau:
2
2
x
11.
a) 4x2 – 4x – 6|2x – 1| + 6 = 0;
2
(
5)
25x x
b)
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
10. Giải các phương trình sau:
a) x 4 - 6x2 - 16 = 0; b) (x + 1)4 +(x + l)2 - 20 = 0.
2
;
11. Giải các phương trình sau:
x x
2 1
4x (1
11x 2 )( 2) x x
a) b) . x 4 x )( x x 4) (2 x 2x x 2 8( 1)
12. Giải các phương trình sau:
a) (x + 1)(x-3)(x2 - 2x) = -2;
b) (6x + 5)2 (3x + 2)(x +1) = 35.
c) (x2 + 5x + 8)(x2 + 6x + 8) = 2x2;
d) 2. 4x 1 x x 4x 1
13. Giải các phương trình sau:
1 3
b)x3 - x2 - x = . a) x3 - x2 - 8x - 6 = 0;
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
2
1.1.
x
0
t
6
t , ta có: 2 5 t
0
a) Đặt
t (loại) 6
Giải ra ta được t = 1 (TM) hoặc
x 1
2
Từ đó tìm được
( x 1) t 0 b) Đặt
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1 2 3 . Sau khi tìm được t ta tìm được x
x 1
b) 1.2. a) x
2.1.
1x và
x 2
a) ĐK:
17
Quy đồng mẫu thức, giải được: x 19 3
x
hoặc 1 31 b) Tìm đượck x
c) Tìm được x = 5
5x
1x
5x
x hoặc
1 2
5 x hoặc 4
b) c) 2.1. a)
3.1.
x 2 x 2 x 3 0 a) Đưa PT về dạng:
Từ đó tìm được
x
2; 3
4x
5
33
x
x
;
x
0
b) Tìm được
hoặc
x
1x hoặc
1 2
10 3
4
3.2. a) b)
4.1.
2 3
y 3
17
y x x 1 a) Đặt . Giải ra ta được
x
3 2
Từ đó tìm được
b) Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Với x = 0, thay vào thấy không là nghiệm
0x , chia cả hai vế của PT cho x2 sau đó đặt
x
16
y
. Giải ra ta được y = 2
60 x
Trường hợp 2. Với
hoặc y = -3.
Từ đó tìm được x = 15 hoặc x = -4.
c) Trường hợp 1. Xét x = 0, thay vào thấy không là nghiệm. 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
0x , chia cả tử và mẫu cho x sau đó đặt
y
3
x
. Giải ra ta được y = -11 hoặc y =
2 x
Trường hợp 2. Xét
97
x
2.
11 6
Từ đó tìm được
3
37
5
3
4.2.
x
x
2
2
a) hoặc
b) x = 4 hoặc x = -5
x hoặc
5 4
2 x 3
c)
5.1.
0x ; Biến đổi phương trình ta được
a) ĐK:
3
0
x
x 3 0 0 3 3 x x x 9
x
2
2
8 7
x
1 9 6
x
x
x
x
3
8 7
x
b) PT
1x
1x hoặc
5x
2
2
2
b) 5.2. a)
24x ở cả hai vế của PT, ta được
x 2 2 x 6 6. a) Thêm
5
5 Giải ra ta được x 1
x
1 2
4
VT
1
1
x
x
VP
b) Tìm được c) Tìm được x 1 2 1 3
7. a) ĐK: 0 1 1 1 x x và 4 x x x
Dấu "=" xảy ra 0 1 x x 1 0 x x 1 1
Kết luận
1 x . 2
b) Tìm được
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
x
0
t
t 6
5 0
1
. Tìm được t từ đó tìm được
t t
x
2;0;1;3
2
8. Đặt
2
11
x
x
x 5 x 5
x 5 x 5
2
b) PT
t hoặc 11
1t
1
21
Đặt t , tìm được 5 x x
x
2
2 2
Từ đó tìm được
x
1x hoặc
x 3
10. a) b)
2 x 5
2
11. a) b) Vô nghiệm
x 1
17
x
12. a) 3 hoặc d) 3 x 1 x 2
7 2
d) 3 c) x 2
x hoặc 1
3
13. a) b) x 7 x 1 1 4 1
2
10
B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
48 2 x
4 x
x 3
x 3
2
x
7
4
x
3
x
7
Bài 1. Giải phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ
1
2
Bài 2. Giải phương trình 2 8
2
2
1
4
3
2
x
m 3
x
m 3
2
x
m 3
x
1 0
(m là tham
x Bài 3. Giải phương trình 3 x x
1
1
Bài 4. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
2
số)
2
2
2
2
2
x
2
x
2
x
2
2
x
x
4 Bài 5. Giải phương trình x 2 x 16 6 x 1 3 x 5 x 3 2 5 7
2
2
2
2
2
Bài 6. Giải phương trình
Bài 7 .Giải phương trình 3( x 2 x 1) 2( x 3 x 1) 5 x 0
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
4
4
4
2
Bài 8. Giải các phương trình:
a x ) 24 x 32 b x ) 4 x 1 c x ) 2 x 12 x 8
2 0
2
2
2
2
x
x
x x
x 3 x 5
Bài 9. Giải phương trình
2
2
2
x
x
x
35
4
3
24
1 2
6 x 12 x
x
2 x
5 x 10 x
x x x
. Bài 10.
2
10
HƯỚNG DẪN
x 3
48 2 x
4 x
x 3
Bài 1. Giải phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ
2
2
Hướng dẫn giải
2
2
2
2
Đặt t t x 3 x 9 4 x 8 16 2 3 x
2
2
t 3
t 3
t 10
8
t 8 10
0
8 3 t 3 t 8 x 3 x 3 48 2 x 48 2 x
t 2;
Khi đó phương trình trở thành
2
4 3
2
2
Giải ra ta được 1 t
t ta được
6
x
x
2
12 0
x 3
4 x
21;
21
3
3
x Giải ra ta được 1
x 2
2
• Với
4
x
x
12 0
t ta được
4 3
x 3
4 3
4 x
• Với
Giải ra ta được 6 x 3 x 42;
21;3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S
3
21; 2; 6
2
x
7
4
x
3
x
7
1
Bài 2. Giải phương trình 2 8
Hướng dẫn giải
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
x
7
4
x
3
x
7
x
112
x
x
7
x
3
7
2 8
1
2 64
49 4
2
Ta có:
24 x
2
y
y
32
y
2
y
Đặt y 7 x 64 x 112 x y thì 3 49 16 1
7
7 0
2 16
1
Phương trình đã cho có dạng
;
y
y 1
2
7 16
1 2
2
2
Giải ra ta được
4
7
64
112
3
x
x
x
x
y
41 0
7 16
7 16
;
• Với ta được
x 2
7 2 2 8
7 2 2 8
2
2
Giải ra ta được 1 x
4
7
14
7
0
8
3
x
x
x
x
y ta được
vô nghiệm
1 2
1 2
• Với
S
;
7 2 2 8
7 2 2 8
2
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
2
2
1
x Bài 3. Giải phương trình 3 x x
Hướng dẫn giải
2
2
2
Phương trình tương đương với
2
2
1
2
2
x 2 2 3 x 1 1 x x x x x
2
2
2. 3 x 1 1 x x x x 2
2
2 3 0 1 1 x x x x
2 2 y
y phương trình có dạng y Đặt 3 0 1 x x
2
5
1
5
1
Giải ra ta được 3 y 1 y 21;
2
1y ta được
;
x 2
2
2
• Với 1 0 1 x x . Giải ra ta được 1 x 1 x x
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
3
y ta được
5
3 3 3 0 x x vô nghiệm • Với 1 x x
S
5 1 ;
2
2
1
4
3
2
x
m 3
x
m 3
2
x
m 3
x
1 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
(m là tham
1
1
Bài 4. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
số)
Hướng dẫn giải
2x ta
0x không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia hai vế của phương trình cho
Nhận xét
2
được
1
1
2
2 0 x 3 m x 3 m 3 m 1 x 1 2 x
1
0 1
2 3 m x 3 m 1 2 x 1 x x
y 2
2
2
x
y
y hoặc
y tức là
điều kiện
1 x
2
2
y
m 3
y
m 3
2
0
y
m 3
Đặt
2
y m 3
1
1
0 2
Khi đó phương trình có dạng
Giải ra ta được 3 m y 1 y 21;
2
2
y
m 3
m
m
hoặc
2 3
2 3
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn
m thì phương trình đã cho vô nghiệm
2 3
2
Vậy với
2
2
4 Bài 5. Giải phương trình x 2 x 16 6 x 1 3 x 5 x 3 2 5 7
Hướng dẫn giải
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
4
2
2
1
3
5
x
x
x 2 x
3 2
5
7
2
3
1
1
1
0
2
2
1
3
5
x 16 6
x
x
x
3 2
5
7
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2 1
2 6
2 3
2 5
x x
x x
x x
2
2
0
2
2
2
16 6 4 x 2 x x x x
x
x
x
x
6
1
3
5
1
1 2
1
1
x
x
2
2 2 0
0
2
2
2
6
1
3
5
x
x
x
x
1
1 2
1
1
nên Vì
2; 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là:
S
2
2
2
x
2
x
2
x
2
2
x
x
Bài 6. Giải phương trình
Hướng dẫn giải
0x không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế cho x2 ta được:
Nhận xét.
x 1 x 2 2 2 x 2 x
1)
1
x
y
y y .(
2
phương trình có dạng
2 x
2
Đặt
y
y 1;
2
2
y 2 0 y giải ra ta được
2 0
1 1
x
x
1y ta có
, phương trình vô nghiệm
2 x
2
Trường hợp 1. Với
x
1;
x
y ta có 2
2
1
2
3x 2
0
x
x
. Giải ra ta được
2 x
Trường hợp 1. Với
S 1; 2
2
2
2
2
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Bài 7 .Giải phương trình 3( x 2 x 1) 2( x 3 x 1) 5 x 0
Hướng dẫn giải
0x không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của hai phương trình cho 2x ta
2
2
Nhận xét.
3 x 2 x 5 0 2 3 được: 1 x 1 x
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
3
y
2
y
5 0
y
4
y
2x
y
3 0
phương trình có dạng
2 1
1 x
Đặt
y
y 1;
3
2
Giải ra ta được
1y ta có
2
1
x
x
x 1 0
1 x
5
5
;
Trường hợp 1. Với
x 2
1 2
1 2
2
Giải ra ta được 1 x
3
2
3
x
x
y ta có
x 1 0
1 x
5
1
5
1
Trường hợp 2. Với
;
x 3
x 4
2
2
5
5
Giải ra ta được
S
;
5 1 ;
5 1 ;
1 2
1 2
2
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
4
4
4
2
Bài 8. Giải các phương trình:
a x ) 24 x 32 b x ) 4 x 1 c x ) 2 x 12 x 8
4
2
2
Hướng dẫn giải
2
2
a x ) 4 x 4 x 24 x 36 4
2
2
x
2
2
2
x 2 x 6 2 2 2 x 6 x 2 x 6 2
x
2
x
6
x
2
x
4
2
0
5;
5
1
1
x Giải ra ta được 1
x 2
2
2
• Giải phương trình
x
2
x
6
x
2
x
8 0
2
vô nghiệm
Giải phương trình
5;1 5 Vậy phương trình có nghiệm là: S
1
2
2
2
4
2
2
2
1
2. 2 x x 1 2 1 2 4 2 2. 2 ) b x x x x x x
2
2
2
x
2.
x
2
x
2
x
2
2 2 x x 1
1
1
0
• Giải phương trình
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2 2 ; x Giải ra ta được 1 x 2 4 2 2 2 4 2 2 2
x
2
x
2
x
2
x
2 1 0
1
vô nghiệm
2
2
S
;
• Giải phương trình
4 2 2 2
4 2 2 2
2
2
1 2
3
x
x
2
4
2
2
2
)
2
1 4
12
9
2
3
c
x
x
x
x
x
x
1
2
3
x
x
1 2
2
2
x
1 2
x
3
x
2
x
4
0
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
. Vô nghiệm
2
2
• Giải phương trình
x
2
x
3
x
2
x
2
1
0
3;
3
1
1
x Giải ra ta được 1
x 2
• Giải phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 3;1 3
S 1
2 0
2
2
2
x
x
2
x x
x 3 x 5
Bài 9. Giải phương trình
1
2
x
2
x
0
Hướng dẫn giải
2
x
5
x
0
2
5
33
2
x x 2 x
ĐKXĐ:
0x không là nghiệm của phương trình
1
3
Nhận thấy
0x thì phương trình đã cho
2 0
x
x
1
5
2 x
2 x
Khi
t
x
2
ta được phương trình biểu thị theo t là
t
1
t
5
2 x
3
1
2 5 t
Đặt
2
6 0 t 2; t t 3
t
2
2
x
x
2
x
2
0
1
x
3
2 x
Với (thỏa mãn)
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3
17
2
t
3
3
x
x
3
x
2 0
x
2 x
2
3
17
(thỏa mãn) Với
S
3;
2
1
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là
2
2
2
x
x
x
35
4
3
24
1 2
6 x 12 x
x
2 x
5 x 10 x
x x x
Bài 10. .
Hướng dẫn giải
x
7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0
x
x
6
6 x
x
x
2 x
x
5 x
x 5
7
3
x 4
6
2
x
2
2
x
5
x
7
1 2
1
1
1
1 1 x
x x x
x 1
x
2
x
5
2
x
1
x
3
x
x
4
x
6
1
1
1
1
1 x
x
2
x
5
x
7
x
1
x
3
x
4
x
6
1
1
1
1
1
1
1
x
2
x
5
1 x
x
7
x
1
x
x
x
3
x
4
1
1
1
1
1 6
1
1
x
7
0
2
2
2
2
2
1 x 7
7
x
x
10
x
x
6
x
12
1 x 7
1 7
1
. Biến đổi phương trình thành Điều kiện
x 7 2 .
2
2
2
2
2
u
x
7
x
0(*) 1 x 7 x 7 x x 10 x x 6 x 12 1 x 7 1 7 1
2 18 u
90
0
0
0
u
.
1 u
u
u
6
u
1 u
u
6
u
u
1 10
1
1 12
1
1 10
1 12
u
90
u
9
9 0
thì phương trình (*) có dạng Đặt
2 18 u
với mọi u . Do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình
2
Mặt khác
x .
7 2
đã cho có nghiệm duy nhất
4
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
x
7
0
26 x
có bao nhiêu nghiệm?
Câu 1. Phương trình
B. 1. C. 2 . D. 4 . A. 0 .
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
4
2
x
2
7
0
9 x
có bao nhiêu nghiệm?
Câu 2. Phương trình
4
2
B. 1. C. 2 . D. 4 . A. 0 .
( x 1) 5( x 1) 84 0 có tổng các nghiệm là? Câu 3. Phương trình
12
4
2
A. . B. 2 . C. 1 . D. 2 12 .
(2 x 1) 8(2 x 1) 9 0 có tổng các nghiệm là: Câu 4. Phương trình
B. 2 . C. 1 . D. 2 2 . A. 1.
2
x
3
x
6
x 2 x 2
5
9 x 5
Câu 5. Phương trình có số nghiệm là:
B. 1. C. 0 . D. 3 . A. 2 .
0
x
1
x
1
x
4
1
1
1
Câu 6. Phương trình có số nghiệm là:
B. 2 . C. 0 . D. 3 . A. 1.
1
1 1
x x
1 1
x x
1 1
x x
14
x
3
:
có nghiệm là: Câu 7. Phương trình
2x .
3x .
5x .
2
x
A. . B. C. D.
1
2 2
x x
2 2
x x
2 2
x x
2 x 3
:
có nghiệm là: Câu 8. Phương trình
3x .
x
1;
x
x
x
1;
x
x 1;
2 . 3
2 . 3
2 . 3
2
2
2
2
A. B. C. D.
( x 2 x 5) ( x 5) x là: Câu 9. Tích các nghiệm của phương trình
10 3
1 2
5 3
2
2
2
A. B. 0 . C. . D. . .
(2x 3) 4( x 1) là: Câu 10. Tổng các nghiệm của phương trình
10 3
1 2
5 3
3
2
A. . B. 0 . C. . D. .
x
x
x
3
3
5
5
là: 0
Câu 11. Số nghiệm của phương trình
B. 0 . D. 3 . A. 2 . C. 1.
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x
x
( x x
1)(
2)(
3) 8
là:
Câu 12. Tổng các nghiệm của phương trình
2
B. 3 . C. 1. D. 4 . A. 3 .
( x 1)( x 4)( x 5 x 6) 48 là: Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình
5 . 4
5 . 2
x
1
A. D. 5 . C. B. 5 .
10
3
x
1
x
x
Câu 14. Hai nghiệm của phương trình . Tính 3 . x là 1 x 2 x 1 x 4 2
B. 3 . C. 7 . A. 3 . D. 7 .
1 là? Câu 15. Số nghiệm của phương trình 2 x 4 x 2 1 x 2 x 4
B. 3 . D. 0 . A. 2 . C. 1.
x
x
(1
2
x
) 3
x
2
2 3
có bao nhiêu nghiệm?
Câu 16. Phương trình
2
B. 3 . C. 0 . A. 1. D. 2 .
5(
x
2)
x
x
7
x
10
1
có nghiệm là? Câu 17. Phương trình
x
x
x
x
x
5;
10
5;
10;
. 2
10
A. . B.
5x .
x
2
x
1 3
x
x
D. . C.
có nghiệm là:
1
Câu 18. Phương trình
x .
1x .
7 x . 8
8 x . 7
C. B. D. A.
22 x
6
x
2
1
x
có nghiệm là:
Câu 19. Phương trình
1
x
x
x
1;
x .
3x .
. 3
1; x
. 3
2
2
A. B. C. D.
4
x
4
x
12
x
12
x
19
6
5
có nghiệm là
a b ( ,
0)
a b
Câu 20. Phương trình . Tính a b .
4
2
1
x
x
1
x
B. 4 . C. 2 . D. 2 . A. 1 .
?
Câu 21. Giải phương trình
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
0x .
0;
x 2
5 . 4
5 x . 4
1
B. D. Đáp án khác. A. C. 1 x
1 2
1 2
x
2
x
5
x
2
x
5
x
x
1
1
2
1
Câu 22. Giải phương trình .
x .
0x .
1x .
x .
A. B. C. D.
HƯỚNG DẪN
2
Câu 1. Đáp án C.
t
7
(*) 0
a b c
1 6 7 0
Đặt x 0) t t ( ta được phương trình 2 6 t
nên phương trình (*) có hai nghiệm 1 t
2
2
Nhận thấy L t 1( ); 7( N )
Thay lại cách đặt ta có . x 7 x 7
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
2
Câu 2. Đáp án D.
22 t
7
9 t
(*) 0
Đặt x 0) ta được phương trình t t (
a b c
2 ( 9) 7
0
1
(
N t );
(
N
)
nên phương trình (*) có hai nghiệm 1 t
2
7 2
Nhận thấy
2
t
x
x
1
Thay lại cách đặt ta có
1 1
2
Với
t
x
x
7 2
7 2
14 2
Với
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.
2
Câu 3. Đáp án B.
t
84
0
(*)
5
5
( x 1) t t ( 0) Đặt ta được phương trình 2 5 t
12 (
N t );
L 7( )
2
361 2
361 2
Ta có Δ 361 nên phương trình (*) có hai nghiệm 1 t
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
(
x
1)
12
1
12
12 1
12
x
2
Thay lại cách đặt ta có Suy ra tổng các nghiệm là 1
2
Câu 4. Đáp án C.
t
9
(*) 0
(2 x 1) t t ( 0) Đặt ta được phương trình 2 8 t
a b c
1 ( 8)
( 9)
0
2
Ta 1( tm t ); 9( ktm ) t nên phương trình (*) có hai nghiệm 1
2
0 Thay lại cách đặt ta có ( 2 x ) 1 1 2 2 x x x x 1 1 1 1 1
1
.
Suy ra tổng các nghiệm là 0 ( 1)
Câu 5. Đáp án C.
x
x
2;
3
Điều kiện:
2
2
2) 11 x 2 x 19 0 3 6 ( 3) x x 2 ( x x ( x 9 2)( x x 2 x 2 x 5 9 5 x 3) 5( x 3) 2)( x
4.19.2
31 0
22 x
19
0
2 Δ 11
nên phương trình
11 x
vô nghiệm. Suy ra phương
Nhận thấy
trình đã cho vô nghiệm.
0
x
1
x
1
x
4
1
1
1
1
x x
1 0 1 0
x x
1
Câu 6. Đáp án B.
x
4 0
x
4
Điều kiện:
1)(
0
x
x
1)
( 2
5
1)( x
x 4
( 4) x 2 1 0 x
2
( x 2 x 2 3 x Δ 4
4) 1)( x 4 3 x x 1 0 8 x 3.( 1) 19 0
4
19
tm (
)
3
PT 0 x 1)( x 1)( ( x 4) ( x x 1)( x 1)( 4) ( x 4) ( 1)( x 4) x ( 1)( x 4) x ( 1)( x 1)( x 1) x 1)( x
4
19
tm (
)
x 2
3
x 1
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 7. Đáp án D.
x
x
x
1;
1;
14
2
2
x
(1
)
1
:
Điều kiện:
1
1 1
x x
1 1
x x
1 1
x x
14
x
3
x
1 x
x
x 1
) x (1
(1 x ) )(1 x
3 14
:
x
x x
5
3 1 14 TM ) 5(
2 3 x 1 4 x . ) 2 )(1 (1 x 14 x x x 25 3 x x 3 28 2 x
Ta có
5x
Vậy phương trình có nghiệm
Câu 8. Đáp án B.
x
x
x
2;
2;
0
2
2
x
2
2
x
Điều kiện:
:
1
2
2
x
2 x
x 2
2 x 3
2 2
x x
2 2
x x
2 2
x x
2 x 3
x
:
2
x
2
x
.
2
4
x
2 3 x
2 3 x
2 x 2 x
2
2
4 0
2 0
8 x 2 x 2 x
x
6 x
3 x
Ta có
a b c
3 ( 1)
( 2)
0
x
1;
x
TM (
)
2 3
Phương trình này có
nên có hai nghiệm phân biệt
x
x 1;
2 3
Vậy phương trình có hai nghiệm
2
2
2
2
Câu 9. Đáp án B.
2
2
x
2
x
5
x
5
x
2
2
2
x 3 10 x x x 2 5 5 x Ta có x 2 0 x x x x 2 5 5 x
10 3 0 1 2 x x x
.0.
0
10 3
1 2
Nên tích các nghiệm là
Câu 10. Đáp án B.
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
2
2
2
x
3 2
(
x
1 )
2
x
2
x
1 0
2
2
2
x
2
(
x
1 )
2
x
2
x
5 0
3
3
1
3
1
(2x 3) 4( x 1) Ta có
22 x
1 0
nên có hai nghiệm
x
;
x
2 x
có Δ 3 0
2
2
11
11
x
;
x
1 2
1 2
11 0
Phương trình
nên có hai nghiệm
22 x
2 x
có 5 0
1Δ
1
3
1
3
11
11
Phương trình
0
2
2
1 2
1 2
Nên tổng các nghiệm của phương trình đã cho là
2
x
5 0
2
3
2
x
x
x
3
2 ( x x
( 5
) 1
0
( 3
)( 5
)1
1 )
Câu 11. Đáp án C.
x
x
x
3
3
5
0
5
3 x
1 0
0
2
x
1 x
3 x
5 ( ) L 1
1
Ta có
x .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2
2
Câu 12. Đáp án A.
x
x
( x x
1)(
2)(
3) 8
2
x
x
t
3
1
Ta có 3)( x 1)( x 2) 8 x ( 3 )( x x 3 x ( x x 2) 8
, thu được phương trình
2
2
Đặt
2
t t t ( t )( 1 9 8 t 3 1 ) 1 8 t 3
t
x
x
3
3
1 3
17
17
x
2 3
2
Δ 17
;
x
có 0
x 1
x 2
3 2
3 2
2
+) Với
t
x
x
3
3
1
3
x
2 3
4
7 0
x
có Δ 0
nên phương trình vô nghiệm.
17
17
;
+) Với
x 2
3 2
3 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 1 x
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
17
17
. 3
3 2
3 2
Suy ra tổng các nghiệm là
2
2
2
Câu 13. Đáp án B.
Ta có ( x 1)( x 4)( x 5 x 6) 48 x ( 5 x 4)( x 5 x 6) 48
x
x
t
5
2 5
, thu được phương trình
33
33
2
2
Đặt t ( t )( 1 2 1 48 49 2 8 t t 7 t 1 ) 7 t
t
x
x
x
x
7
5
5 7
5
2
Δ 33
;
có 0
x 1
x 2
5 2
5 2
2
2
t
x
x
x
x
7
5
5
5
12
0
7
23 0
+) Với
có Δ
nên phương trình vô nghiệm.
33
33
+)Với
;
x 2
5 2
5 2
33
33
. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 1 x
. 5
5 2
5 2
Suy ra tổng các nghiệm là
Câu 14. Đáp án D.
x
x
0;
1
2
Điều kiện:
t
10.
3
t
t 3
10
t t (
0)
0
1 t
x
1
x
3
49
Đặt , khi đó phương trình đã cho trở thành
Δ 49
5;
t 1
2
3
49
t
2(
TM
)
2
2
5
Ta có
t suy ra
5
5
5
x
x
(nhận) x
x
1
5 4
x
2
x
2
x
x
2
+) Với
2
(nhận)
t suy ra
x
1
2 3
x
+) Với
x 2
2 3
5 4
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 1 x
3
4
3.
4.
7
x 1
x 2
2 3
5 4
Nên
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 15. Đáp án C.
x
1 4
2
Điều kiện:
t
2
0
2
t
(*) t
1 t
t t ( 0) Đặt , khi đó phương trình đã cho trở thành 1 x 2 x 4
a b c
1 1 ( 2)
0
2
2
2
Ta có 1( tm t ); 2( ktm ) t nên phương trình (*) có hai nghiệm 1
1t suy ra
2
2 1 x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 x 1 0 4 4 +) Với 1 x 2 x 4
x
1)
0
x
(
tm
)
(2
1 2
.
1 x . 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Câu 16. Đáp án A.
3
x
2 0
x
2 3
Điều kiện: .
x
x
(1
2
x
) 3
x
2 3
2
1)(
x
2)
(
x
1) 3
x
2
x
(
1)(
x
3
x
2)
( x
0
2
0
x
1 0
x
TM ( 1
)
x
3
x
0
3
x
2
x
2
2
2 ( )
2
0
x
x
x
3
2
Ta có
2
x
x
2(
)
2
2 3
2
2
1(
)
TM
x
Xét phương trình (*):
1
7
6 0
x
x
x 2
6
x x x
.
1x .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x
1 0
x
Câu 17. Đáp án B.
1
2
x
x
x
7
5(
2)
10
1
Điều kiện:
Ta có x 23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x
2)
x
(
x
2)(
x
5)
x
(
2)(
x
x
2)
x
1
5(
1
5) 5(
0
x
2 0
x
(
ktm
)
2
x
5 5
x
0
x
5 5
x
1
1 ( )
2
2
Xét phương trình (*): 5 x 1 x 5
1x ta có
2 5
Với 25( x ( x 5) x 15 x 1) 50 0
x 10 x 50 0 x x ( x x 5) 10( 5) 0
) x 10)( 5) 0 x ( tm ( 10 tm ( ) 5 x x
x
x
5;
10
Vậy phương trình có nghiệm .
3
0
x
2
Câu 18. Đáp án D.
x
1 3
x
x
x
2
2
x
x 7
8
3
8 7
x
x
x
x
3 1 (
)
3
8 7
x
Ta có
8 x . 7
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x
x
2 0
2
22 x
6
x
1
x
2
Câu 19. Đáp án A.
2
2
2
x
x
x
x
x
2
6
1 (
) 2
2
3 0
x
2
x
2
x
(
) 3
0
2 ( x x
) 3
x
x
x
3
3 0
x
2
x
x
x
x
2 x )( 1
(
) 3
0
1 3
1 3
x x
Ta có
x
x
1;
. 3
Vậy phương trình có nghiệm
2
2
2
2
4
x
4
x
12
x
12
x
19
6
Câu 20. Đáp án A.
5
(2
x
1)
12
x
16
6
4
1 2
Ta có
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
(2
x
1)
2; 12
x
16
4
4
1 2
2
Nhận thấy
2
2 2 ( x 1 ) 4 2 1 0 x Dấu “=” xảy ra khi x 1 2 0 x 12 16 4 x 1 2 1 2
1 x 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
a
b
1;
2
1 a b
Từ đó suy ra
4
2
1
x
x
x 1
x
1 0
x
Câu 21. Đáp án B.
1
4
2
2
4
2
2
x
x
(
x
x
x
x
x
) 1
1
2
1
1
2
x
x
2
0
4
2
2
x
x
x
2
x
4
2
2
3
4
x
x
x
x
x
4
4
0
2
x
0
0
2
0
2
x
x
2
3
2
2
x
x
x
x
4
5
0
(
4
) 5
0
x
x 4
0 5 0
5 4
x x
x
5 4
Điều kiện:
1x ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất
PT Kết hợp với điều kiện ban đầu .
Câu 22. Đáp án D.
1 1 2 1 2 x x 5 x x x x 5 1 1
2
2
2 1 2 1 1 x ( x 1) 4 x ( x 1) 4 1 1
t
2
2
t
t
4
t
t
4
PT
1
1
1 2
1 2
2
2
t
4
t
4
t
t
t
t
4
t
t
4
Đặt –1x
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1
1
1
2
1
x
x
t
2
2
4
t
2 t 2 t
2 t 4
.
1
x thỏa mãn phương trình.
1
Thử lại thấy
x .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
PHIẾU SỐ 1
Dạng 1: Phương trình trùng phương
4
4
Bài 1. Giải các phương trình sau:
x
x
4
0
0
4
2
25 x
23 x
2
2
4
x
5
x
4
5
4
b) c) a)
x
26
1 0
x m
có 4 nghiệm.
Bài 2. Tìm các giá trị của m để phương trình ẩn x sau:
Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bài 3. Giải các pt sau:
1
x
4
3
x
8 x
x 2
x x
1 2
x
2
x
4
5
8
2
12 2
a) b)
Dạng 3. Phương trình đưa về phương trình tích
2
2
2
2
2
Bài 4. Giải các phương trình:
4
2
(2 x 5 x 2)( x 3 x 1) 0 b) (2 x x ) (2 x 1) a) 0
x
x
x
4
3 0
Bài 5. Giải phương trình
Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ
2
2
2
2
2
2
Bài 6. Giải các phương trình sau
2
( x x 5 ) 2( x x 5 ) 24 ( x x 6 ) 2( x 3) 81 b) a)
2
5 x c) 4 0 x x 5 x 3 x x
x a x b x
m
)(
)(
)( c x d
)
x
x
x
x
với a b c d Dạng 5. Phương trình bậc 4 dạng (
5)(
6)(
8)(
9)
40
Bài 7. Giải phương trình (
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
( x 3 x 2)( x 7 x 12) 24 Bài 8. Giải phương trình
4
3
2
Dạng 6. Phương trình đối xứng bậc bốn, phương trình hồi quy
x
x
x
x
2
3
16
3
2
0
4
3
2
Bài 9. Giải phương trình
x
x
x
2
21 x
74
105
50
0
Bài 10. Giải phương trình
Dạng 7. Phương trình vô tỉ
Bài 11. Giải phương trình
x 1 8 x b) 15 3 x a) 2 x 6
2
2
2
x
x
2
2
4
x
Bài 12. Giải phương trình
x
x
24 18
x
x
2
b) a)
HƯƠNG DẪN – ĐÁP SỐ
Dạng 1: Phương trình trùng phương
4
4
x
x
4
0
4
0
25 x
23 x
Bài 1. Giải các phương trình sau:
2
2
2
4
x
5
x
4
5
b) c) a)
2
Hướng dẫn-Đáp số
x
t
0
4
t đưa phương trình về: 2 5 t
0
4 a) Đặt (thỏa mãn) t 1 t 21;
+ Với t 1; 1 1 x 1 x 2
4
t 2; x + Với 4 2 x 3
S 1; 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
2 S
b) Phương trình có nghiệm
0x
4
c) Phương trình có nghiệm
x
26
1 0
x m
có 4 nghiệm.
Bài 2. Tìm các giá trị của m để phương trình ẩn x sau:
2
Hướng dẫn-Đáp số
x
t
0
1 0
t , ta được 2 6
t m
(1)
Đặt
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1) 0
' 0
m
0
1 0
m
10
1
0
x x 2
1 x x . 1 2
9 ( m 6 0
Để pt đã cho có 4 nghiệm thì pt (1) phải có 2 nghiệm dương pb
10m
Vậy với 1 thì pt đã cho có 4 nghiệm.
Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bài 3. Giải các pt sau:
1
x x
1 2
x
2
x
4
x
4
3
x
8 x
x 2
2
12 2
5
8
b) a)
Hướng dẫn-Đáp số
x
x
x
2;
3;
4
a) Điều kiện:
(3
x x )(
2)(x 4) 8(3
x x )(
x
4)(
x
2)
(8
x x )(
4)(3
x
)
2) 5(
2
72
x
7 x
128 0
Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu:
2
x 8; 2
2 7
2
(thỏa mãn) Giải ra ta được: 1 x
x 8; 2
2 7
Vậy pt có 2 nghiệm 1 x
3x
b) Pt có nghiệm
Dạng 3. Phương trình đưa về phương trình tích
2
2
2
2
2
Bài 4. Giải các phương trình:
(2 x 5 x 2)( x 3 x 1) 0 (2 x x ) (2 x 1) b) 0 a)
2
2
Hướng dẫn-Đáp số
2
(1)
2
x
5
x
2 0
2
(2)
x
3
x
1 0
;
2
x 2
1 2
a) (2 x 5 x 2)( x 3 x 1) 0
Giải (1) ta được 1 x 28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5
5
;
x 3
x 4
3 2
3 2
5
5
Giải (2) ta được
S
; 2;
;
1 2
3 2
3 2
17
Vậy pt có tập nghiệm
S
3 4
4
2
b) Pt có tập nghiệm
x
x
x
4
3 0
Bài 5. Giải phương trình
4
2
4
2
2
x
x
x
x
x
x
x
4
3 0
2
4
4 0
1
2
2
2
x
1)
(
2)
0
x (
2
x
x
(
1)(
3)
0
2 x
x
5
Hướng dẫn-Đáp số
S
1 2
Giải ra ta được tập nghiệm
Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ
2
Bài 6. Giải các phương trình sau
2
2
2
2
2
2
2
5 x ( x x 5 ) 2( x x 5 ) 24 b) ( x x 6 ) 2( x 3) 81 c) a) 4 0 x x 5 x 3 x x
Hướng dẫn-Đáp số
2
2 5
y 4 2 24 y y x x y a) Đặt ta được pt 6 y
2 x
y 4
2
x 5 4 Với x x 1 4
Với y x x 6 5 x 1 6 x 6
S 1; 4; 6
Vậy pt có tập nghiệm
b) Pt có tập nghiệm 20 S
3;3
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
6 c) Pt có tập nghiệm S
1; 5; 1
x a x b x
m
)(
)(
)( c x d
)
x
x
x
x
với a b c d Dạng 5. Phương trình bậc 4 dạng (
5)(
6)(
8)(
9)
40
Bài 7. Giải phương trình (
x
x
x
x
Hướng dẫn-Đáp số
5)(
6)(
8)(
9)
40
2
2
Ta có (
14 x 45)( x 14 x 48) 40 ( x
2 5
x x 45 y Đặt phương trình thành y y ( 3) y 5 40 8 y
y Với x 4 5 x 10
8
y suy ra x vô nghiệm.
Với
x
x
4;
10
2
2
Vậy phương trình có nghiệm
( x 3 x 2)( x 7 x 12) 24 Bài 8. Giải phương trình
x
x
x
x
Hướng dẫn-Đáp số
1)(
2)(
3)(
4)
24
2
2
Ta viết dưới dạng (
5 x 4)( x 5 x 6) 24 ( x
S
0; 5
Giải tương tự ta được tập nghiệm
4
3
2
Dạng 6. Phương trình đối xứng bậc bốn, phương trình hồi quy
x
x
x
x
2
3
16
3
2
0
Bài 9. Giải phương trình
Hướng dẫn-Đáp số
0x không là nghiệm của phương trình.
+)
2x ta được:
0x , chia hai vế của phương trình cho
2
2
x
3
x
16 0
1 2 x
1 x
+)
30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
y
2
2
2
y
y
2(
20 0
2) 3
x
x
y
2
y
. Ta được phương trình
1 x
1 2 x
4 5 2
y
S
2
3;
; 2
Đặt
1 2
4
3
2
Theo cách đặt, giải pt tìm được tập nghiệm
x
x
x
2
21 x
74
105
50
0
Bài 10. Giải phương trình
Hướng dẫn-Đáp số
0x không là nghiệm của phương trình.
+)
2x ta được:
0x , chia hai vế của phương trình cho
2
2
x
21
x
74 0
25 2 x
5 x
+)
S
; 2
5 2
1;5;
Giải tương tự tìm được tập nghiệm
Dạng 7. Phương trình vô tỉ
Bài 11. Giải phương trình
a) 2 x 1 8 x b) 15 3 x x 6
Hướng dẫn-Đáp số
x 8
1 2
2
x
x
x
2
1 64 16
13
a) Điều kiện
5x (thỏa mãn);
x
Bình phương hai vế, ta được: (loại)
5x
Vậy pt có nghiệm
x 1
b) Pt có nghiệm
2
2
2
x
x
2
2
4
x
Bài 12. Giải phương trình
x
x
24 18
x
x
2
b) a)
Hướng dẫn-Đáp số
S
3; 4
S
2; 2
b) a)
PHIẾU SỐ 2
31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
3x 5
x 2
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1 x 1 x
3
2
2x
x
x
2x 1
a)
3 x 1
2
3
2
6
x 2
b)
x 1
c)
x x
2
2
x 5
x 2
12x 23
x 7 x 7
d)
4
2
x
5x
Bài 2: Giải các phương trình sau:
6 0
4
2
84 0
a)
x 1
5 x 1
4
2
6x m 1 0
x
b)
có 4 nghiệm.
Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình ẩn số x:
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1
8 x 4
5 3 x
8 x x 2
a)
x 1 x 2
2 x 2
x
4
12 2
b)
2
2
Bài 5: Giải các phương trình:
5x 2 x
3x 1
2
2
22x
2x 0 a)
2x 1
4
2
x 0 b)
x
x
4x 3 0
4
2
ax
bx
c 0
Bài 6: Giải phương trình sau:
chỉ có hai
Bài 7: Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương
nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
2
2
2
Bài 8: Giải các phương trình sau:
2 x
2
2
2x
x 5x 5x 24 a)
2 x 3
2
x
6x 81 b)
4 0
2
x 5 x
x 5
x
3x
40
c)
x 5 x 6 x 8 x 9
Bài 9: Giải phương trình:
32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
3x 2 x
x 24 7x 12 Bài 10: Giải phương trình:
4
3
2
2x
3x
16x
Bài 11: Giải các phương trình sau:
3x 2 0
4
3
2
2x
21x
74x
a)
105x 50 0
b)
4
4
82
x 4
x 2
Bài 12: Giải các phương trình sau:
6
6
64
x 2
x 4
a)
b)
2
2
3 2
x 3
x
x
4x
5x 5x 3
Bài 13: Giải phương trình sau:
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
3x 5
x 2
Bài 1:
1 x 1 x
2
2
4x 4 3x 5 1 x
x
2
2x
2 1
17
1 16 17 0
x 2 0 4.2. 2
17
17
17
1
1
; x
x 1
2
2.2
17 1 4
2.2
1 4
3
2
2x
x
x
2x 1
a) Ta có:
3 x 1
3
2
3
2
3x
x
x
x
3x 1 2x
2x 1
3
2
3
2
3x
x
x
x
3x 1 2x
2x 1
2
7x 2 0
2
33
4.2.2 49 16 33 0
2x 7
7
33
7
33
7
33
7
33
; x
x 1
2
4
2.2.
4
2
3
2
6
x 2
b) Ta có:
x 1
2.2 x x
c) Ta có:
2
3
3
2
4x 4
x
3x
x
6x x
3x 1
2
4x
5x 5 0
2
5
4.4.5
25 80
55 0
2
2
x 5
12x 23
x 7 x 7
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) Ta có: x 2 33. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
49 12x 23
x
10x 25 x
4x 4 x
2
2
6x 3 0
x
2x 1 0
2
1.1 0
3x 1
x
1
x Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép: 1
2
2x
0
t
Bài 2:
, đưa về phương trình 2t
5t 6 0
t
a) Đặt
t 1 tm
6 l
2
x
1
1; x
1
hoặc Giải phương trình ta được
x 1
2
1; x
1
x Vậy phương trình có hai nghiệm: 1
2
0
t
, đưa về phương trình 2t
5t 84 0
Với t 1 , ta có
2 x 1
t
b) Đặt
t 12 tm
7 l
12
1 2 3; x
1 2 3
Giải phương trình ta được hoặc
2 x 1
x 1
2
1 2 3; x
1 2 3
x Vậy phương trình có hai nghiệm: 1
2
Với t 12 , ta có
Bài 3:
2x
0
t
ta được
2t
6t m 1 0 1
Đặt
0
0
9 m 1 m 1 0
1 m 10
0
6
0
c a b a
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm, thì phương trình 1 phải có 2 nghiệm dương phân biệt
Vậy với 1 m 10 thì phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 4:
2; x
3; x
4
a) Điều kiện: x
8 3 x x 2
5 x 4 x 2
2
3 x x 4 x 2 8 x x 4 3 x Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu:
72x 128 0 7x
8; x
2
2
2 7
8; x
2
thỏa mãn. Giải ra ta được: 1 x
2
Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 x
2 7 34. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2; x
2
b) Điều kiện: x
2
12
x 6 0
x
x 1 x 2
2 x 2
2 l 3 tm
x x
Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu:
3
Vậy phương trình có một nghiệm: x
2
Bài 5:
2
2
5x 2 x
3x 1
2
5x 2 0 1 3x 1 0 2
22x
5x 2 0
; x
2
2x 2x a) x 0
ta được: 1 x
2
1 2
5
5
2x
3x 1 0
ta được:
x
; x
Giải 1 ta được:
3
4
3 2
3 2
5
5
Giải 2 ta được:
S
; 2;
;
1 2
3 2
3 2
2
2
2
2
2
Vậy tập nghiệm của phương trình:
2x 1
x 2x 1
2
2x x 2x 0 x 2x 1 2x 0 b)
2
2
x 1 2x
3x 1
2
x 1 0 1 3x 1 0 2
1 4.2.1
7 0
Phương trình vô nghiệm.
2x 2x 2x 0
17
17
22x
3x 1 0
ta được
x
; x
Giải 1 :
1
2
3 4
3 4
17
17
Giải 2 :
S
;
3 4
3 4
Vậy phương trình có tập nghiệm là:
4
2
4
2
2
x
x
4x 3 0
x
2x
1 x
4x 4 0
2
2
x
2
2
2
2
0
0
x 2
x
1
x
x 3 x
2
x
x 3 0 1 x 1 0 2
x 1
2x
11 0
x 3 0 có
vô nghiệm.
Bài 6:
5
5
2
x
x 1 0
; x
Giải 1 :
x 1
2
1 2
1 2
Giải 2 :
35. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5
5
S
;
1 2
1 2
Vậy tập nghiệm của phương trình:
Bài 7:
2x m 0
4
2
2
ax
bx
c 0
Đặt
am bm c 0
Ta có:
0
. Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
1m và
2m
a c
Vì a và c trái dấu nên
m .m 1
2
c a
Theo hệ thức Vi – ét ta có:
hay
1m và
2m trái dấu nhau.
0 m .m 0 1
2
c a
Vì a và c trái dấu nên
1m và
2m trái dấu nhau nên có 1 nghiệm bị loại, giả sử loại
1m .
2
Vì
x
m
x
m
2
2
4
2
ax
bx
c 0
Khi đó
chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau khi a và
Vậy phương trình trùng phương
c trái dấu.
Bài 8:
2
2
2x
5x
y
. Ta được:
y a) Đặt y 2y 24 y 2y 24 0 6 4 y
2
2
.Với y x 4 5x 4 x 5x 4 0 x x 1 4
2
2
S
.Với y x 6 5x 6 x 5x 6 0 x 1 6 x
1; 4;1; 6
2
2
2
2
2
2
Vậy tập nghiệm của phương trình:
2 x 3
2 x
2
2
x 6x 81 x 6x 6x 9 81 0 b)
2x
6x
y
. Ta được:
2 y 9
y 81 0 y 2y 99 0 Đặt y 11 y 9
2
2
3 20 x .Với y 11 x 6x 11 x 6x 11 0 x 20 3
36. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
y
9
x
9
x
0
x
.Với
6x 9 3 20;3
6x 3
2
S 20;3 Vậy tập nghiệm
x
0; x
x 5 0
2x
c) Điều kiện:
y
x 5 x
Đặt
2
2
x
2
Ta được: y y 4y 3 0 4 0 y y 1 3 3 y
y
1
x
2x 5 0
1
6
1
x 1,2
x 5 x
2
x
2
.Với
y
3
x
4x 5 0
x
1; x
3
5
3
4
x 5 x
.Với
S 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là:
6;1; 5
40
x 5 x 6 x 8 x 9
Bài 9: Ta có:
2
2
x
14x 45 x
2
2x
y
40 14x 48
14x 45
, ta có:
y y 3
2
2
Đặt: 40 y 3y 40 0 y 5 8 y
2
2
y
8
x
x
8
.Với y 5 x x 14x 45 5 14x 40 0 x 4 x 10
14x 45
14x 53 0
: vô nghiệm.
S
.Với
4; 10
Vậy tập nghiệm của phương trình:
24
Bài 10:
x 1 x 2 x 3 x 4
2
2
Ta viết dưới dạng:
x
5x 4 x
2
2x
5x 4
24 5x 6
, ta có: y
2
2
y 2y 24 0 Đặt y 4 y 6
4 , ta có:
2
2
x
5x 4
x
5x 10 0
6
: vô nghiệm.
x 5x 4 x 4 5x .Với y 0 x 0 5 x
6 , ta có:
S
.Với y
0; 5
Vậy tập nghiệm của phương trình:
Bài 11:
37. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
0 không phải là nghiệm của phương trình.
x
2x , ta được:
0 chia hai vế của phương trình cho
2
16 0
1 x
1 2 x
2 x
3 x
2
2
a) x
x
y
x
y
2
. Ta có phương trình:
1 x
1 2 x
y
2
2
2
3y 16 0
2y
3y 20 0
2 y
4 5 2
y
Đặt
2
2
y
x
2x
5x 2 0
2 3 x .Với y x 4 x 4 4x 1 0 1 x x 3 2
5 2
1 x
5 2
1 2 2
x x
.Với
S
2
3; 2
3;
; 2
1 2
Vậy tập nghiệm của phương trình:
0 không phải là nghiệm của phương trình.
2x , ta được:
x
0 chia hai vế của phương trình cho
2
74
0
5 x
25 2 x
2 x
21 x
2
2
b) x
x
y
x
y
10
5 x
25 2 x
2
2
10
21y 74 0
2y
21y 54 0
2 y
y 6 9 2
y
2
Đặt . Ta có phương trình:
2
9x 10 0
y
x
2x
.Với y x 6 6 x 6x 5 0 5 x
5 x
9 2
9 2
5 2 2
.Với
x 1 x 5 x x
; 2
S
5 2
1;5;
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
4
4
4
2
Bài 12:
y
, ta được:
y 1
y 1
2
1 x
82 y 6y 40 0 a) Đặt x 3 y 2 y 2
Với y 38. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
5 x
S
Với y
1; 5
6
6
64
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
y
. Phương trình có dạng:
y 1
y 1
b) Đặt x 3
6
4
2
y
15y
15y
31 0
2
4
2
Khai triển và rút gọn ta được:
y
1 y
31
16y y 1 0 1 y
4 x
Với y 1
x
1
2
S
Với y
4; 2
Vậy tập nghiệm của phương trình:
x
0 không phải là nghiệm của phương trình.
x
0 chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x:
4
5
3 2
x 1
x 5
3 x
3 x
Bài 13.
x
2
y
3
phương trình có dạng:
3 x
Đặt 0 . ĐK: y 3 2 4 y 3 5 y 3
2
2
0 y 6y 7 Quy đồng, khử mẫu rồi rút gọn ta được: y y 1 7
y 1
2 1
x
x
3x 3 0
: vô nghiệm.
3 x
13
2
Với
y
x
7
x
7
5x 3 0
2
3 x
13
5 2 5 2
x x
13
13
Với
S
;
5 2
5 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
---------------------Toán Học Sơ Đồ--------------------
