PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các
mẫu thức của phương trình khác 0). Viết tắt: ĐKXĐ.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định
chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý. Nếu
0
A x
tại
1
x x
hoặc
2
thì
0
A x
khi
1
x x
và
2
II.BÀI TẬP MINH HỌA
A.DẠNG BÀI CƠ BẢN
Phương Pháp
Vận dụng phương pháp giải phưng trình chứa ẩn ở mẫu, đưa về phương trình bậc nhất đã biết
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a.
3 2 6 1
7 2 3
x x
x x
;
b.
2
1 1 4
1 1
1
x x
x x
x
.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a.
6 2 18
1
5 8 5 8
x x x x
;
b.
3 1 9
1 2
1 2
x x x x
;
c.
2 2 2
2
7 3
3 3
9
x x x x x
x x
x
.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a.
1 3 5
2 3 2 3
x x
x x
;
b.
3 2 1
1 2 1 3 2 3
x x x x x x
.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a.
2
1 1
2 2 1
x
x x
;
b.
2 2
1 1
1 1x x
x x
.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a.
2
3 2
1 3 2
1
1 1
x x
x
x x x
;
b.
13 1 6
2 7
3 2 7 3 3
x
x x x x
.
Ví dụ 6. Với giá trị nào của
x
thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng
2
.
a.
3 1 3
3 1 3
x x
A
x x
;
b.
10 3 1 7 2
3 4 12 6 18
x x
B
x x
.
LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
c.
3 2 6 1
7 2 3
x x
x x
;
d.
2
1 1 4
1 1
1
x x
x x
x
.
Lời giải
a.
3 2 6 1
7 2 3
x x
x x
. (1)
ĐKXĐ của phương trình (1) là
3
2
x
và
7
x
.
Mẫu số chung (MSC) của phương trình là
7 2 3
x x
. Khi đó:
3 2 2 3 6 1 7
1
7 2 3 7 2 3
x x x x
x x x x
2 2
6 9 4 6 6 42 7
x x x x x x
1
56 1
56
x x .
So với ĐKXĐ ta thấy
1
56
x thỏa mãn, vậy
1
56
x là nghiệm của phương trình đã cho.
b.
2
1 1 4
1 1
1
x x
x x
x
. (2)
ĐKXĐ của phương trình (2) là
1
x
.
Mẫu số chung của phương trình là
1 1
x x
. Khi đó:
2
1 1 4
2
1 1 1 1
x x
x x x x
2 2
2 1 2 1 4
x x x x
4 4 1
x x
.
So với ĐKXĐ ta thấy giá trị
1
x
không thỏa mãn nên bị loại.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a.
6 2 18
1
5 8 5 8
x x x x
;
b.
3 1 9
1 2
1 2
x x x x
;
c. 2 2 2
2
7 3
3 3
9
x x x x x
x x
x
.
Lời giải
a. ĐKXD của phương trình là
5, 8
x x
.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là
5 8
x x
.
Với điều kiện đó phương trình trở thành
6 8 2 5 18 5 8 0
x x x x
.
Phương trình tương đướng với
5 0
x x
.
Phương trình cuối có hai nghiệm
0
x
và
5
x
.
So với điều kiện thì giá trị
5
x
bị loại.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
0
x
.
b. ĐKXĐ của phương trình là
1, 2
x x
.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là
1 2
x x
.
Với điều kiện đó phương trình trở thành
3 2 1 9
x x
, hay
2 16
x
.
Phương trình này có ngiệm
8
x
, giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của
phương trình đã cho.
c. ĐKXĐ của phương trình là
3
x
.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là
2
3 3 9
x x x
.
Với điều kiện đó phương trình trở thành
2 2 2
3 3 7 3 0
x x x x x x x
.
Biến đổi phương trình trở thành
0 0
.
Phương trình này nghiệm đúng với mọi giá trị
x
thỏa mãn điều kiện nên nghiệm của
phương trình đã cho là mọi
3
x
.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a.
1 3 5
2 3 2 3
x x
x x
;
b.
3 2 1
1 2 1 3 2 3
x x x x x x
.
Lời giải
a. ĐKXĐ của phương trình là
3
0,
2
x x
.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là
2 3
x x
.
Với điều kiện đó phương trình trở thành
3 5 2 3 0
x x
, hay
9 12
x
.
Phương trình có nghiệm
4
x
x
, giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương
trình đã cho.
b. ĐKXĐ của phương trình là
1, 2, 3
x x x
.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là
1 2 3
x x x
.
Với điều kiện có phương trình trở thành
3 3 2 2 1
x x x
, hay
0 4
x
. Phương trình
cuối vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a.
2
1 1
2 2 1
x
x x
;
b.
2 2
1 1
1 1x x
x x
.
Lời giải
a. ĐKXD của phương trình là
0
x
.
Với điều kiện đó phương trình trở thành 21
2 0
x
x
, hay
1 2 0
x x
.
Phương trình có nghiệm
0
x
và
1
2
x
. Chỉ có giá trị
1
2
x
thỏa mãn điều kiện nên nó
là nghiệm của phương trình đã cho.
b. ĐKXD của phương trình là
0
x
.
Với điều kiện đó phương trình trở thành
2 2
1 1
1 1 0
x x
x x
.
Biến đổi phương trình trở thành 2
2 2 0
x
x
, hay
1 0
x
.
Phương trình có nghiệm
1
x
, giá trị đó thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương
trình đã cho.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a. 2
3 2
1 3 2
1
1 1
x x
x
x x x
;
b.
13 1 6
2 7
3 2 7 3 3
x
x x x x
.
Lời giải
a.
2
3 2
1 3 2
1
1 1
x x
x
x x x
.
Ta có
2
3 2 2 1 3
1 1 1 , 1 0
2 4
x x x x x x x
nên ĐKXD của phương trình là
1
x
.
Với điều kiện đó, MSC là
3 2
1 1 1
x x x x
. Quy đồng mẫu số, ta có
2
3 2
1 3 2
1
1 1
x x
x
x x x
2 2
2 2
2 1
1 3
1 1 1 1
x x
x x x
x x x x x x
2
4 3 1 0 4 1 1 0
x x x x
1
1;
4
x x
.
So với ĐKXĐ giá trị
1
x
bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm
1
4
x
.
b.
13 1 6
2 7
3 2 7 3 3
x
x x x x
.
ĐKXĐ của phương trình là
2
3;
7
x x
. Với điều kiện này, ta có
13 1 6
2 7
3 2 7 3 3
x
x x x x
13 3 3 3 6 2 7
3 2 7 3 3 2 7 3
x x x x
x x x x x x
2
13 39 9 12 42
x x x
2
12 0 3 4 0
x x x x
3; 4
x x
.
So với ĐKXĐ giá trị
3
x
bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm
4
x
.
Ví dụ 6. Với giá trị nào của
x
thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng
2
.
a.
3 1 3
3 1 3
x x
A
x x
;
b.
10 3 1 7 2
3 4 12 6 18
x x
B
x x
.
Lời giải
a. Ta thấy ĐKXĐ của biểu thức A là
1
3,
3
x x
.
Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức A trở thành:
3 1 3 3 3 1
3 1 3
x x x x
A
x x
2 2
3 8 3 3 8 3
3 1 3
x x x x
x x
2
6 6
3 1 3
x
x x
.
Để biểu thức có giá trị bằng 2, ta có: