CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN, HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Một số tính chất của các
tỉ số lượng giác
, phụ nhau. Khi đó:
Cho hai góc
cos
; cos
sin ;
sin
cot
; cot
tan .
tan
Cho góc nhọn . Ta có:
1; 0 cos
1;
2
2
0 sin
tan
; cot
.
sin cos
cos sin
sin cos 1; tan .cot 1;
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Dạng 1: Các bài toán tính toán
Phương pháp giải
Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn.
Bước 2: Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.
AB
28
cm AC ;
35
cm
Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm.
60 ;
Bài tập minh họa Câu 1: Tam giác ABC có A . Tính độ dài BC.
Lời giải
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
) Kẻ BH AC ( H AC
AH AB cos A
.
28.
cos
60
28.
14
cm
1 2
.sin
28.sin 60
28.
A
14 3
cm
BH AB
3 2
HC AC AH
35 14 21
cm
2
2
2
BC
BH
HC
588 441 1029
7 21
BC
Xét tam giác vuông AHB vuông tại H có:
2
2
2
AB a AC b ;
BC 7 21 cm Vậy
60 ;
thì
BC
a
b
ab
Chú ý Bằng cách tính tương tự như trên có: tam giác ABC có A ;
ab
ABCS
3 4
QPT
QT
cm TR 8 ;
cm 5
.
120 ;
. Câu 2: Cho hình vẽ sau biết 45 ; PTQ
a) Tính PT.
b) Tính diện tích tam giác PQR.
Lời giải
(M thuộc tia đối tia TP). Kẻ QM PR
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
180
PTQ QTM 180
180
120
60
Có PTQ QTM
.sin
QTM
8.sin 60
8.
4 3
cm
QM QT
3 2
QTM
cm
.cos
8.cos 60
8.
4
TM QT
1 2
TM TR
M nằm giữa T và R.
PM
cm
4 3
Xét tam giác vuông QTM có:
4 3 tan 45
4 3 1
tan
Xét tam giác vuông QPM có:
QM QPM 3 1
cm PT PM TM 4 3 4 4
3 1
cm
QM PR .
6 2 3
PQRS
2
4 3. 4 3 1
1 2
1 2
PR PT TR 4 5 4 3 1 cm
6 2 3
cm
PQRS
2
C
80
Vậy PR 4 3 1 cm ; .
60 ;
. Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM.
có B Câu 3: Cho ABC
Lời giải
Gọi góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM là .
MH
AH
tan .
MH AH
Xét tam giác AMH vuông tại H có tan
2
BH HC
BM MH
MC MH
MH MH
BH HC 2
Lại có:
Mà BH (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB) AH B tan
CH
AH C
tan
(hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC).
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1 1 AH AH . . 1 1 C C 1 tan 1 tan tan MH tan 11 20 B AH B 2 tan 2 1 2 C tan B tan
. Vậy số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM xấp xỉ bằng 11 20
AB
12
cm CD ,
18
cm ADC
,
75
.
Câu 4: Tính chu vi và diện tích hình thang cân ABCD biết hai cạnh đáy
S
Lời giải
h AB CD
1 2
Diện tích hình thang được tính bởi công thức
(Trong đó h là chiều cao của hình thang).
Đối với bài tập này, chúng ta đã biết độ dài hai cạnh đáy. Do vậy, ta cần tìm chiều cao.
AH CD BK CD ,
Kẻ .
12
cm DH KC
,
cm 3
HK AB
CD AB 2
tan 75
AH
11,196
cm
tan D
Do ABCD là hình thang cân nên .
AH 3
AH DH
2
Trong tam giác AHD vuông tại H ta có:
S
AH AB CD
cm
.
167,94
.11,196. 12 18
ABCD
1 2
1 2
Từ đó, .
2
2
Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD.
2 134,35
AD AH HD cm Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ADH ta có: . Suy ra
AD
11, 59
cm
.
Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông ADH để tính
AD.
Do đó, chu vi hình thang cân ABCD là
cm
AB BC CD DA
12 11, 59 18 11,59 53,18
.
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, mệnh đề
Phương pháp giải
Đưa mệnh đề về dạng đẳng thức, sử dụng hệ thức lượng và một số kiến thức đã học biến đổi các vế trong
biểu thức, từ đó chứng minh các vế bằng nhau.
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài tập minh họa
có 60 . A Câu 1: Cho ABC . Kẻ BH AC ; CK AB
a) Chứng minh KH BC cos A . .
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều.
Lời giải
vuông tại H, K có: chung góc BAC và AKC a) Xét AHB
AHB
∼
. AKC g g
AB AC
AH AK
Suy ra
AB AC
AH AK
Xét AHK chung góc BAC và và ABC
AHK
ABC
∼
AH KH BC AB
Suy ra
.
BC cos A .
HK BC
AH AB
.
HK BC cosBAC BC
.
BC
.
1 2
1 2
(1). b) Theo câu a) có
Mặt khác xét tam giác HBC vuông tại H có: HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
HM
BC
1 2
(2).
KM
BC
1 2
(3). Tương tự có
là tam giác đều. Từ (1), (2) và (3) có HM HK KM suy ra HKM
AH BM CK BM ,
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại B. Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ
2 BAC
.tan BAC a) Chứng minh: CK BH
MC BH MA
.tan BK
b) Chứng minh:
Lời giải
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AHB
.
CK BH
.
BH
.tan
BAC
∼
BKC g g
BC CK BH AB
BC AB
vuông tại H và K có: HBA BCK (cùng phụ với CBH ). a) Xét AHB và BKC
.tan BAC b) Theo câu a) ta có: CK BH
CK AH ) / /
MC CK AH MA
MC BH MA
.tan BAC AH
tan
AHB
BKC
(vì (1) Mà
∼
BC BK AH AB
1 AH AB BK
BAC BK
BC .
2 BAC
(2) Mặt khác
MC BH MA
.tan BK
Từ (1) và (2) suy ra
Câu 3: Cho hình thoi ABCD có 120 BAD , tia Ax tạo với tia AB góc 15 BAx , cắt BC, CD lần
2
2
2
1 AM
1 AN
4 AB
3
lượt tại M, N. Chứng minh:
H CD
Lời giải
. Từ A dựng đường thẳng vuông góc với AN cắt CD tại P, hạ AH CD
15 90 120 90 15 Có BAD BAM MAP PAD 120 PAD PAD 15
và ADP có: MAB PAD (theo trên) Xét ABM
(tính chất hình thoi)
BA AD MBA PDA
ABM
. .
AM AP
ADP g c g
(tính chất hình thoi)
2
2
2
2
2
2
1 AP
1 AN
1 AH
1 AM
1 AN
1 AH
ADH AD .
AH
sin
AD
.
AD
AB
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NAP vuông tại A đường cao AH, ta có:
sin 60 .
3 2
3 2
Mà
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
2
2
2
1 Từ (1) và (2) ta có: 3 1 AM 1 AN 1 AM 1 AN 4 AB AB 3 2
2
2
2
1 AM
1 AN
4 AB
3
Vậy .
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
M
P
N
C.TRẮC NGHỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ Câu 1: Cho tam giác MNP vuông tại M . Khi đó cos MNP bằng
MP MN
MN NP
MP NP
MN MP
A. D. . . B. . C. .
M
P
N
Câu 2:
Cho tam giác MNP vuông tại M . Khi đó tan MNP bằng:
MN NP
MP NP
MN MP
MP MN
A. . B. . C. . D. .
2
2
3
3
a
-
cos
a
sin
a
+
cos
a
sin
a
+
cos
a
1
a
+
cos
a
1
= . B.
= .C. 1
= .D. sin
= . 1
Câu 3: Cho a là góc ngọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.
A. sin
2
2
a
1
tan
a
- = 1
cos
a
tan
a
=
cot
a
=
Câu 4: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.
a = . D.
sin cos
a a
cos sin
a a
90
a b+ = . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. B. C. tan . cot . . .
a
=
sin
b
a
=
cot
b
a
=
cos
b
a
=
tan
b
Câu 5: Cho a và b là hai góc nhọn bất kỳ thoả mãn
. B. tan . C. tan . D. tan . A. tan
Câu 6: Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hai góc phụ nhau thì
B. sin hai góc bằng nhau. A. sin góc nọ bằng cosin góc kia.
AC
=
cm BC 1 ,
=
cm 2
C. tan góc nọ bằng cotan góc kia. D. Cả A, C đều đúng.
B .
1
sin
B
=
; cos
B
=
sin
B
=
; cos
B
=
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại C có . Tính các tỉ số lượng giác sin ; cosB
2 3 3
5 5
2 5 5
3
2
sin
B
=
; cos
B
=
sin
B
=
; cos
B
=
A. B. . .
2 5 5
5 5
1 2
5
C. . . D.
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
BC
=
1, 2
cm AC ,
=
0, 9
cm
sin ; cosB
B .
B
=
0, 6; cos
B
=
0, 8
B
=
0, 8; cos
B
=
0, 6
. Tính các tỉ số lượng giác Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại C có
B
=
0, 4; cos
B
=
0, 8
B
=
0, 6; cos
B
=
0, 4
B. sin . . A. sin
BC
=
8
cm AC ,
=
6
cm
D. sin . . C. sin
. Tính tỉ số lượng giác tanC (làm Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có
C »
0, 87
C »
0, 86
C »
0, 88
C »
0, 89
tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
BC
=
cm AC 9 ,
=
cm 5
A. tan . B. tan . C. tan . D. tan .
. Tính tỉ số lượng giác tanC (làm Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có
C »
0, 67
C »
0, 5
C »
1, 4
C »
1, 5
tròn đến chữ số thập phân thứ 1)
AB
=
13
cm BH ,
=
0, 5
dm
A. tan . B. tan . C. tan . D. tan .
. Tính tỉ số lượng Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có
C »
0, 35
C »
0, 37
C »
0, 39
C »
0, 38
giác sin C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)
AC
=
15
cm CH ,
=
cm 6
A. sin . B. sin . C. sin . D. sin .
. Tính tỉ số lượng Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có
5
sin
C =
sin
C =
sin
sin
giác cos B .
C = .
2 C = . 5
3 5
21 5
21
CH
=
cm BH 4 ,
=
cm 3
A. B. . . C. D.
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có . Tính tỉ số lượng
C »
0, 76
C »
0, 77
C »
0, 75
C »
0, 78
giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
CH
=
11
cm BH ,
=
12
cm
A. cos . B. cos . C. cos . D. cos .
. Tính tỉ số lượng Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có
C »
0, 79
C »
0, 69
C »
0, 96
C »
0, 66
giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
4
B = .
A. cos . B. cos . C. cos . D. cos .
tan
tan
Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A . Hãy tính tanC biết rằng tan
C = .
C = . 4
C = . 2
C = .
1 2
1 4
2
B = .
A. B. tan C. tan D.
tan
tan
Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A . Hãy tính tanC biết rằng cot
C = .
C = . 4
C = . 2
C = .
1 2
1 4
AB
=
cm 5
, cot
C
= . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và
A. B. tan C. tan D.
7 8
BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)
AC
»
4, 39 (
cm BC );
»
6, 66(
cm
)
AC
»
4, 38(
cm BC );
»
6, 65(
cm
)
Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A có
A. . B. .
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AC
»
4, 38 (
cm BC );
»
6, 64 (
cm
)
AC
»
4, 37 (
cm BC );
»
6, 67 (
cm
)
AB
=
9
cm
, tan
C
= . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và
. D. . C.
5 4
BC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
AC
=
11, 53;
BC
=
7, 2
AC
=
7;
BC
»
11, 53
Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có
AC
=
5, 2;
BC
AC
=
7, 2;
BC
»
11, 53
» . 11
A. . B. .
a
cos
a biết
a = .
D. . C.
2 5
5
sin
; cot
a
=
a
=
sin
a
=
; cot
a
=
Câu 19: Cho a là góc nhọn. Tính sin , cot
21 5
3 21 21
21 25
21
3
2
sin
; cot
sin
; cot
a
=
a
=
a
=
a
=
B. . . A.
21 3
21 5
21
21
a
cos
D. . . C.
a biết
a = .
3 4
3
4
sin
a
=
; tan
a
=
sin
a
=
; tan
a
Câu 20: Tính sin , tan
7 4
3 = . 4
7
7
sin
a
=
; tan
a
=
sin
a
=
; tan
a
=
A. B. .
7 3
7 4
7 3
7 4
C. . . D.
=
cot 50
³
cot 50
>
cot 50
<
cot 50
Câu 21: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh cot 50 và cot 46 .
. B. cot 46
. C. cot 46
. D. cot 46
.
A. cot 46
<
sin 70
>
sin 70
=
sin 70
³
sin 70
Câu 22: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh sin 20 và sin 70 .
. B. sin 20
. C. sin 20
. D. sin 20
.
¢
¢
A. sin 20
¢
<
sin 35
<
sin 28 10
¢ <
sin 40
<
cos 45 25
theo thứ tự tăng dần. Câu 23: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sin 40 , cos 67 , sin 35 , cos 44 35 , sin 28 10
<
cos 45 25
¢ <
sin 40
<
sin 28 10
¢ <
sin 35
.
. A. cos 67
¢
>
sin 28 10
¢ >
sin 35
>
sin 40
>
cos 45 25
B. cos 67
¢
<
sin 28 10
¢ <
sin 35
<
sin 40
<
cos 45 25
C. cos 67 .
¢
theo thứ tự tăng dần.
. D. cos 67
<
cot 60 15
¢ <
tan 28
<
tan 38
<
tan 43
.
Câu 24: Sắp xếp các tỉ số lượng giác tan 43 , cot 71 , tan 38 , cot 69 15 , tan 28
¢ <
cot 71
<
tan 28
<
tan 38
<
tan 43
.
A. cot 71
<
tan 38
<
tan 43
<
cot 60 15
¢ <
cot 71
.
B. cot 60 15
¢ <
tan 28
<
tan 38
<
tan 43
<
cot 71
C. tan 28
.
A =
2 sin 1
+
2 sin 2
+ + ...
2 sin 88
+
2 sin 89
+
2 sin 90
D. cot 60 15
Câu 25: Tính giá trị biểu thức
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A =
46
A =
45
A =
A =
93 2
91 2
2 sin 10
+
2 sin 20
+ + ...
2 sin 70
+
2 sin 80
. B. . C. . D. . A.
Câu 26: Tính giá trị biểu thức
6
6
2
2
sin
a
+
cos
a
+
3 sin
a
cos
a
A. 0 . B. 8 . C. 5 . D. 4 .
2
2
2
2
2
2
C
= - 1
3 sin
a
. cos
a
C
=
sin
a
. cos
a
C
=
3 sin
a
. cos
a
bằng Câu 27: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Khi đó
- . 1
4
4
C
=
sin
a
+
cos
a
A. . B. 1 . C. . D.
2
2
1
C
= - 1
2 sin
a
. cos
a
bằng: Câu 28: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Khi đó
C = .
2
2
2
2
C
=
sin
a
. cos
a
C
= + 1
2 sin
a
. cos
a
A. . B.
2
P
= - (1
sin
a
2 ). cot
a
+ - 1
2 cot
a
C. . D. .
2
2
2
2
P
=
sin
a
P
=
cos
a
P
=
tan
a
P
=
2 sin
a
ta được: Câu 29: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Rút gọn
P
= - (1
2 sin
2 ). tan
+ - (1
2 cos
2 ). cot
a
a
a
a
A. . B. . C. . D. .
2
1
1
1
P
=
2 sin
a
P > .
Câu 30: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Cho , chọn kết luận đúng.
P < .
P = .
2
2
cos
a
Q
=
B. C. D. . A.
- a sin cos . sin a a
Q
=
cot
a
-
tan
a
Q
=
cot
a
+
tan
a
Q
=
tan
a
-
cot
a
Q
=
2 tan
a
Câu 31: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức bằng:
2
1
+
a
Q
=
. B. . C. . D. . A.
sin 2
1
-
sin
a
2
2
2
2
Q
= + 1
tan
Q
= + 1
2 tan
Q
= - 1
2 tan
Q
=
2 tan
a
a
a
a
. Câu 32: Chọn a là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức
2
G
=
a = . Tính giá trị của biểu thức
A. . B. . C. . D. .
2 sin a cos
a -
+ cos 3 sin
a a
1
1G = .
. Câu 33: Cho tan
G = - .
G = - .
G = - .
4 5
6 5
HD HA = :
3 : 2
B. C. D. A.
. tan
tan
ACB bằng:
. Khi
Câu 34: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết đó ABC
3 5
5 3
HD HA = :
1 : 2
A. 3 . B. 5 . C. . D. .
. tan
tan
ACB bằng:
. Khi
Câu 35: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết đó ABC
sin
A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 .
a = .
3 5
cos
a
=
, tan
a
=
, cot
a
cos
a
=
, tan
a
=
, cot
a
Câu 36: Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a , biết
3 4
3 4
4 = . 5
4 5
4 = . 3
3 4
B. A.
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
cos
, tan
, cot
cos
, tan
, cot
=
=
=
=
a
a
a
a
a
a
4 5
3 4
4 = . 5
3 4
4 5
4 = . 3
sin
a =
D. C.
5 13
cot
cot
cot
cot
a =
a =
a =
. Câu 37: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Tính cot a biết
a = .
12 5
11 5
13 5
5 12
B =
tan 10 . tan 20 . tan 30 ..... tan 80
.
B. C. D. . . . A.
B =
44
1
B =
45
2
Câu 38: Tính giá trị biểu thức
B = .
B = .
B =
tan 1 . tan 2 . tan 3 ..... tan 88 . tan 89
A. . B. C. . D.
B =
44
1
B =
45
2
Câu 39: Tính giá trị biểu thức
B = .
B = .
2
2
cos
a
B
=
3
A. . B. C. . D.
a = .
a -
- sin
3 sin 2 a
3
1
Câu 40: Cho kết luận đúng về giá trị biểu thức biết tan
0B > .
0B < .
1B< < .
B = .
A. B. C. 0 D.
HƯỚNG DẪN
=
1. Lời giải:
MN NP
Ta có cos MNP
Đáp án cần chọn là A.
=
2. Lời giải:
MP MN
Ta có tan MNP .
Đáp án cần chọn là D.
2
sin
a
+
2 cos
a
3. Lời giải:
= 1
Chọn a là góc bất kỳ, khi đó
Đáp án cần chọn là B.
4. Lời giải:
2
2
sin
a
+
cos
a
= ; 1
a tan . cot
1
a =
tan
a
=
; cot
a
=
Chọn a là góc nhọn bất kỳ, khi đó:
sin cos
a a
cos sin
a a
2
1
+
tan
a
=
;
1 2 cos
a
+
a
=
1
2 cot
;
1 2 sin
a
.
Đáp án cần chọn là D.
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
90
,a b mà
a b+ =
5. Lời giải:
a
=
b cos ; cos
a
=
b sin ; tan
a
=
b cot ; cot
a
=
tan
b
Với hai góc
. Ta có: sin
Đáp án cần chọn là B.
6. Lời giải:
Với hai góc phụ nhau thì sin góc nọ bằng sin góc kia và tan góc nọ bằng cotan góc kia.
Đáp án cần chọn là D.
C
2
1
B
A
2
2
2
AB
=
AC
+
BC
AB
=
2 1
2 + = 2
5
7. Lời giải:
1
2
B
=
=
=
B
=
=
=
sin
cos
Theo định lý Pytago ta có: .
AC AB
BC AB
5 5
2 5 5
5
5
; . Xét tam giác ABC vuông tại C có
Đáp án cần chọn là B.
C
1,2
0,9
B
A
2
2
2
AB
=
AC
+
BC
AB
=
2 0, 9
+
2 1, 2
=
1, 5
8. Lời giải:
sin
B
=
0, 6
cos
B
=
=
=
0, 8
Theo định lý Pytago ta có:
AC AB
0, 9 1, 5
3 = = 5
BC AB
1, 2 1, 5
4 = = 5
Xét tam giác ABC vuông tại C có và .
Đáp án cần chọn là A.
A
6
B
C
8
9. Lời giải:
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
2
BC
=
AC
+
AB
AB
=
8
2 - » 6
5, 29
C
=
»
»
tan
0, 88
. Theo định lý Pytago ta có:
AB AC
5, 29 6
. Xét tam giác ABC vuông tại C có
Đáp án cần chọn là C.
2
2
2
2
BC
=
AC
+
AB
AB
=
9
2 - = 5
2 14
10. Lời giải:
tan
C
=
=
»
1, 5
. Theo định lý Pytago ta có:
AB AC
2 14 5
Xét tam giác ABC vuông tại C có .
Đáp án cần chọn là D.
A
C
H
B
dm
cm= 5
11. Lời giải:
Đổi 0, 5
2
2
2
AB
=
BH BC .
BC
=
=
33, 8
cm
=
Xét tam giác ABC vuông tại A , theo hệ thức lượng
AB BH
13 5
sin
C
=
=
»
0, 38
AB BC
13 33, 8
trong tam giác vuông ta có:
Đáp án cần chọn là D.
12. Lời giải:
2
2
2
AH
=
AC
-
CH
=
2 15
- =
189
2 6
AH
=
3 21
sin
C
=
=
=
3 21 15
21 5
AH AC
cos
B
=
sin
C
=
Xét tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pytago ta có:
21 5
Mà tam giác ABC vuông tại A nên ,B C là hai góc phụ nhau. Do đó .
Đáp án cần chọn là B.
13. Lời giải:
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A
C
H
B
=
=
BC
BH CH +
cm 7
Xét tam giác ABC vuông tại A có
2
2
AC
=
CH BC .
AC
= 4.7
AC
»
5, 29
cm
C
=
=
»
cos
0, 76
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
AC BC
5, 29 7
.
Đáp án cần chọn là A.
BC
=
+ BH CH
= + =
11
12
23
cm
14. Lời giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A có .
2
2
cos
0, 69
C
=
=
»
AC
=
CH BC .
AC
=
11.23
= 253
AC
=
253
cm
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
253 23
AC BC
.
B C
+ =
90
cot
C
=
tan
B
= 4
Đáp án cần chọn là B.
cot
C
. tan
C
= 1
tan
C
15. Lời giải: Vì tam giác ABC vuông tại A nên
1 = . 4
Mà
B C
+ =
90
tan
C
=
cot
B
= . 2
Đáp án cần chọn là A.
16. Lời giải: Vì tam giác ABC vuông tại A nên
Đáp án cần chọn là C.
A
B
C
cot
C
=
= AC AB
. cot
C
=
5.
=
»
4, 38
cm
17. Lời giải:
AC AB
7 8
35 8
2
2
2
BC
=
AB
+
AC
2 = + 5
2 4, 38
» BC
6, 65
Vì tam giác ABC vuông tại A nên .
. Theo định lý Pytago ta có
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AC
»
4, 38(
cm BC );
»
6, 65 (
cm
)
. Vậy
Đáp án cần chọn là B.
C
=
AC
=
AB
C
=
=
cm
tan
: tan
9 :
7, 2
18. Lời giải:
AB AC
5 4
2
2
2
BC
=
AB
+
AC
2 = + 9
2 7, 2
=
132, 84
BC
=
»
11, 53
Vì tam giác ABC vuông tại A nên
9 41 5
AC
=
7, 2;
BC
»
11, 53
Theo định lý Pytago ta có .
. Vậy
Đáp án cần chọn là D.
2
2
2
2
a sin
=
sin
cos
sin
cos
+
1 =
1 = -
1 = -
=
a
a
a
a
19. Lời giải:
4 25
21 25
21 5
2
cot
a
=
=
=
Ta có .
cos sin
a a
21
2 5 21 5
2
a
a
=
=
sin
; cot
. Lại có
21 5
21
. Vậy
Đáp án cần chọn là D.
2
2
2
2
a sin
=
sin
a
+
cos
a
= 1
sin
a
= - 1
cos
a
= - 1
=
20. Lời giải:
9 16
7 16
7 4
a
=
=
=
tan
Ta có .
a a
sin cos
7 3
7 4 3 4
sin
a
=
; tan
a
=
. Lại có
7 4
7 3
Vậy .
Đáp án cần chọn là C.
< 50
cot 46
>
cot 50
21. Lời giải:
.
Vì 46
Đáp án cần chọn là B.
< 70
sin 20
<
sin 70
22. Lời giải:
.
Vì 20
Đáp án cần chọn là A.
23. Lời giải:
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
¢
¢
¢
¢
=
sin 45 25
90
=
sin 23
23
vì 67
+ = ; cos 44 35 90
+ = 45 25
¢
¢
¢
< < < < 35
28 10
45 25
40
<
sin 28 10
¢ <
sin 35
<
sin 40
<
sin 45 25
vì 44 35 Ta có cos 67
¢
cos 67
<
sin 28 10
¢ <
sin 35
<
sin 40
<
cos 45 25
nên sin 23 Mà 23
.
Đáp án cần chọn là D.
¢
¢
+ =
¢ = 90 ; cot 69 15
19
¢ tan 20 45
+
20 45
=
tan 19
24. Lời giải:
vì 71
= 90
¢
¢
20 45
28
43
<
tan 20 45
<
tan 28
<
tan 38
<
tan 43
< < < < nên tan 19 38
Ta có cot 71 vì 69 15
cot 71
<
cot 60 15
¢ <
tan 28
<
tan 38
<
tan 43
.
Mà 19
Đáp án cần chọn là A.
2
2
2
2
2
2
2 sin 89
=
cos 1 ; sin 88
=
cos 2 ;...; sin 46
=
2 cos 44
sin
a
+
cos
a
25. Lời giải:
và
= 1
A =
2 (sin 1
+
2 sin 89 )
+
2 (sin 2
+
2 sin 88 )
+ + ...
2 (sin 44
+
2 sin 46 )
+
2 sin 45
+
2 sin 90
Ta có
=
2 (sin 1
+
2 cos 1 )
+
2 (sin 2
+
2 cos 2 )
+ + ...
2 (sin 44
+
2 cos 44 )
+
2 sin 45
+
2 sin 90
1
44.1
= + + + + + =
Nên
1 2
3 + = 2
91 2
1 ... 1 1 44 so 1
A =
.
91 2
Vậy .
Đáp án cần chọn là C.
2
2
2
2
2
2
2
2 sin 80
=
cos 10 ; sin 70
=
cos 20 ; sin 60
=
cos 30 ; sin 50
=
2 cos 40
sin
a
+
2 cos
a
26. Lời giải:
và
= 1
2 sin 10
+
2 sin 20
+
2 sin 30
+
2 sin 40
+
2 sin 50
+
2 sin 60
+
2 sin 70
+
2 sin 80
Ta có
=
2 sin 10
+
2 sin 20
+
2 sin 30
+
2 sin 40
+
2 cos 40
+
2 cos 30
+
2 cos 20
+
2 cos 10
=
2 (sin 10
+
2 cos 10 )
+
2 (sin 20
+
2 cos 20 )
+
2 (sin 30
+
2 cos 30 )
+
2 (sin 40
+
2 cos 40 )
4
1
1
1
= + + + = . 1
Nên
Vậy giá trị cần tìm là 4 .
Đáp án cần chọn là D.
6
6
2
6
6
2
sin
a
+
cos
a
+
3 sin
a
2 . cos
a
=
sin
a
+
cos
a
+
3 sin
a
2 . cos
a
.1
27. Lời giải:
6
6
2
2
2
2
=
sin
+
cos
+
2 3 sin
2 . cos
.(sin
+
cos
a
a
a
a
a
a )
sin
a
+
cos
a
Ta có
= ) 1
2
2
=
2 (sin
+
3(sin
2 2 ) . cos
+
3 sin
2 .(cos
+
2 (cos
3 a )
a
a
a
2 a )
3 a )
2
2
2
=
(sin
+
2 cos
a
3 a )
sin
a
+
cos
a
= (vì 1
= ) 1
(vì
Đáp án cần chọn là B.
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
4
4
4
4
2
2
2
2
C
=
sin
a
+
cos
a
=
sin
a
+
cos
a
+
2 sin
a
. cos
a
-
2 sin
a
. cos
a
28. Lời giải:
2
2
=
2 (sin
+
2 cos
-
2 sin
2 . cos
= - 1
2 sin
2 . cos
a
2 a )
a
a
a
a
sin
a
+
2 cos
a
Ta có
= ) 1
2
2
C
= - 1
2 sin
a
. cos
a
(vì
. Vậy
Đáp án cần chọn là A.
2
2
cot
a
=
; sin
a
+
cos
a
29. Lời giải:
= 1
cos sin
a a
A
= - (1
2 sin
2 ). cot
+ - 1
2 cot
=
2 cot
-
2 sin
2 . cot
+ - 1
2 cot
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
= - 1
sin
a .
= - 1
cos
a
=
sin
a
Với
cos 2 sin
a a
2
P
=
sin
a
.
Vậy .
Đáp án cần chọn là A.
2
2
2
2 sin
= - 1
2 cos
2 , cos
= - 1
sin
a
a
a
a
tan
a
=
; cot
a
=
; sin
a
+
cos
a
30. Lời giải:
= 1
sin cos
a a
cos sin
a a
2
a
a
sin
2
2
2
2
=
+
=
a
+
a
2 cos
a .
sin
a .
sin
cos
P
= - (1
2 sin
). tan
+ - (1
2 cos
2 ). cot
a
a
a
a
= . 1
2 cos 2
a
a
2 cos
sin
Với .
Đáp án cần chọn là C.
tan
; cot
=
=
a
a
31. Lời giải:
sin cos
cos sin
a a
a a
2
2
2
2
cos
a
Q
=
=
-
=
-
=
cot
a
-
tan
a
Với ta có:
- a sin cos . sin a a
a cos a sin . cos
a
a sin a sin . cos
a
cos sin
a a
sin cos
a a
Q
=
cot
a
-
tan
a
.
. Vậy
Đáp án cần chọn là A.
2
2
tan
; cos
sin
=
1 = -
a
a
a
32. Lời giải:
sin cos
a a
2
2
2
2
2
1
-
a
2
Q
2.
2 tan
a
=
=
=
+
1 = +
1 = +
Với
2
sin cos
a a
+ -
- -
1 1
sin 2 sin
a a
sin 1
a + 2 sin 2 - a sin
1 1
sin sin
a a
2 sin 2 cos
a a
æ ç ç ç ç è
2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
Q
= + 1
2 2 tan
a
.
Vậy .
Đáp án cần chọn là B.
2
0
a = nên cos
33. Lời giải:
Vì tan a ¹ 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
+
2
a a
=
=
=
G
a -
2 sin a cos
+ cos 3 sin
a a
2. tan - 1
+ 1 a 3 tan a
-
3.
sin cos a a
cos cos
cos cos sin cos
a a a a
2
G
=
1
Ta có
a = ta được
2.2 - 1
+ 1 3.2
5 = - = - 5
1
G = - .
Thay tan .
Vậy
Đáp án cần chọn là D.
A
E
H
B
D
C
B
=
; tan
C
=
34. Lời giải:
AD CD
AD BD
2
B tan . tan
C
=
. Xét tam giác vuông ABD và ADC , ta có tan
= HDB ADC
AD BD CD . (cùng phụ với ACB ) và 90
= .
(1) Suy ra
D
ADC
BD DC .
=
DH AD .
=
Lại có HBD CAD=
DH DC
BD AD
2
B tan . tan
C
=
=
Do đó BDH D (g.g) suy ra , do đó (2).
AD DH AD .
AD DH
=
AD
=
HD
= suy ra
(3). Từ (1) và (2) suy ra
= , suy ra
HD + AH HD
3 +
2
3
HD AH
3 2
HD AD
3 5
5 3
HD
tan . tan B
C
=
hay . Theo giả thiết
5 = . 3
5 3 DH
Thay vào (3) ta được:
Đáp án cần chọn là D.
B
=
; tan
C
=
35. Lời giải:
AD BD
AD CD
2
B tan . tan
C
=
Xét tam giác vuông ABD và ADC , ta có tan .
AD BD CD .
HBD CAD=
90 = HDB ADC
(1) Suy ra
ACB ) và
= .
D
ADC
BD DC .
=
DH AD .
=
Lại có (cùng phụ với
DH DC
BD AD
Do đó BDH D (g.g) suy ra , do đó (2).
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
C
=
=
B tan . tan
AD DH
AD DH AD .
=
AD
=
3
HD
= suy ra
(3). Từ (1) và (2) suy ra
= , suy ra
HD + AH HD
1 +
1
2
HD AH
1 2
HD AD
1 3
B tan . tan
C
=
hay . Theo giả thiết
= . 3
3 HD DH
Thay vào (3) ta được:
Đáp án cần chọn là B.
2
2
2
sin
a
+
cos
a
1
sin
sin
a =
36. Lời giải:
a = , suy ra
= , do đó:
9 25
3 5
2
2
cos
a
= - 1
sin
a
= - 1
=
cos
Ta có , mà
a = .
4 5
9 25
16 25
tan
=
=
=
a
suy ra
sin cos
3 4 : 5 5
3 5 . 5 4
3 = . 4
a a
cot
a
=
=
=
cos sin
a a
4 3 : 5 5
4 5 . 5 3
4 = . 3
cos
, tan
, cot
=
=
a
a
a
Do đó
4 5
3 4
4 = . 3
Vậy
Đáp án cần chọn là B.
2
2
2
2
2
sin
a
+
cos
a
1
sin
a =
sin
a =
cos
a
= - 1
sin
a
= - 1
=
37. Lời giải:
= do đó
25 169
25 169
144 169
5 13
cos
a =
Ta có suy ra mà
12 13
cot
a
=
=
=
=
. Suy ra
cos sin
a a
5 12 : 13 13
12 13 . 13 5
12 5
. Do đó
Đáp án cần chọn là A.
=
cot10 ; tan 70
=
cot 20 ; tan 50
=
cot 40 ; cot 60
=
cot 30
a
1
và tan . cot
a =
38. Lời giải:
B =
tan 10 . tan 20 . tan 30 . tan 40 . tan 50 . tan 60 . tan 70 . tan 80
Ta có tan 80
=
tan 10 . tan 20 . tan 30 . tan 40 . cot 40 . cot 30 . cot 20 . cot10
=
(tan 10 . cot10 ).(tan 20 . cot20 ).(tan 30 . cot 30 ).(tan 40 . cot 40 )
=
1.1.1.1
= . 1
1
B = .
Nên
Vậy
Đáp án cần chọn là B.
=
cot1 ; tan 88
=
cot 2 ;...; tan 46
=
cot 44
a
1
39. Lời giải:
và tan . cot
a =
Ta có tan 89
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
B =
(tan 1 . tan 89 ).(tan 2 . tan 88 ).....(tan 46 . tan 44 ). tan 45
=
(tan1 . cot1 ).(tan 2 . cot2 ).(tan 3 . cot 3 )....(tan 44 . cot 44 ). tan 45
=
1.1.1...1.1
= 1
1
B = .
Nên
Vậy
Đáp án cần chọn là B.
2
a
= ¹
0
3
cos
a
0
40. Lời giải:
¹ . Chia cả tử và mẫu của B cho
cos a ta được:
2
2
3
-
2
2
2
2
2
1
3 tan
1
a
a
-
cos cos
a a
B
=
=
=
=
=
= -
Vì tan
3 tan 2
2
2
1 3
- +
3.9 2.9
26 21
1 3
- +
3 tan 2 tan
a a
)
tan
3(1
tan
a
a
-
+
2
3.
tan
a
-
-
2
- 1 2 cos
a
3 2 cos
sin cos 2 sin cos
a
a a a a
0
.
26 B = - < . 21
Hay
Đáp án cần chọn là B.
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
D.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
=
I.PHIẾU LUYỆN CƠ BẢN
AB AC
Sin Sin
C B
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng:
sin
a
<
a 1, cos <1
tg
a
=
Bài 2: Với góc nhọn a tùy ý. Chứng minh rằng:
sin cos
a a
2
2
tg .cotg
a
1
sin
a
+
cos
a
a)
a =
a) b)
= 1
sin
a = . Tìm cos , tga a .
d)
4 5
Bài 3: Cho biết
0
sin 46
0
0
cotg28
-
tg62
Bài 4: Tính:
0
cos 44
0
0
0
0
2 sin 10
+
2 sin 20
+ + ...
2 sin 70
+
2 sin 80
a) b)
BC a AC b AB c
=
=
,
,
Bài 5: Tính
= .
=
=
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,
a sin
A
b sin
B
c sin
C
Chứng minh rằng:
Bài 7: Chứng minh rằng diện tích của tam giác bằng một nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc
BC a AC b AB c
=
=
,
,
nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
= .
2
2
2
= + -
cos
a
b
c
bc 2
A
Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, có
a b+ <
090
Chứng minh rằng: .
,a b sao cho
a
+ = ) b
a sin cos
b
+
b sin cos
a
Bài 9: Cho hai góc
,B C lần lượt di động trên các tia
,AB AC sao cho:
. Chứng minh rằng (
=
AB AC +
cm 6
Bài 10: Cho góc nhon xAy . Các điểm
,B C để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
B
. Xác định vị trí
Hướng dẫn giải
sin
C
=
, sin
B
=
AB BC
AC BC
C
A
=
=
Bài 1:
Sin Sin
C B
AB AC : BC BC
AB AC
Do đó:
,A C
Bài 2:
a=
AB BC AC BC ,
<
<
vuông tại Xét ABCD
A
α
B
C
a) Ta có
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
sin
C
=
a =
< ; 1
AB BC
a cos = cos
c
=
< 1
AC BC
tg =tgC=
; cotg
cotg
C
=
a
a =
Do đó: sin
AB AC
AC AB
a
= 1
b)
AB AC . AC AB
sin
=
, cos
=
a
a
Do đó: tg .cotg = a
AB BC
AC BC
=
=
=
tg
a
c)
sin cos
a a
AB AC : BC BC
AB AC
2
2
2
ABCD
+
=
AB
AC
BC
Do đó:
2
2
a
+
a
=
+
sin
cos
d) vuông tại A theo định lí Py-ta-go có:
AB BC
AC BC
æ ç ç ç ç è
2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
æ ç ç ç ç è
2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
2
2
2
2
AB
AC
AB
+
=
+
=
= 1
2
2
AC 2
BC
BC
BC
Do đó:
2
2
sin
a
+
cos
a
sin
Bài 3:
= và 1
4 a = (gt) 5
2
cos
a = -
1
=
16 25
9 25
cos
3 a = 5
a
=
tg
a a
sin cos
4 = = 3
4 5 3 5
Ta có:
0
0
0
0
46
+
44
=
90
Bài 4:
0 sin46 =cos44
0
a) nên
= 1
sin 46 0 cos44
0
0
0
0
0
cotg28
=
tg62
28
+
62
=
90
Do đó:
0
0
cotg28
-
tg62
= 0
b) nên
Do đó:
=
cos 80
(hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia)
Bài 5:
=
2 sin 10
2 cos 80
Ta có sin 10
. 23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2 sin 10
+
2 sin 20
+
2 sin 30
+
2 sin 40
+
2 sin 50
+
2 sin 60
+
2 sin 70
+
2 sin 80
=
2 sin 10
+
2 sin 20
+
2 sin 30
+
2 sin 40
=
2 (sin 10
+
2 cos 10 )
+
2 (sin 20
+
2 cos 20 )
+
2 cos 40
+
2 cos 30
+
2 cos 20
+
2 cos 10
+
2 (sin 30
+
2 cos 30 )
+
2 (sin 40
+
2 cos 40 )
1
4
1
1
= + + + = . 1
Do đó:
AH BC H BC ,
^
Î
Bài 6:
A
H =
090
B
=
Vẽ
AH AB
H =
090
C
=
Xét HABD có , nên sin
AH AC
=
=
có , nên sin Xét HACD
B
C
sin sin
B C
AC AB
b = c
b sin
B
c sin
C
H
=
Do đó:
a sin
A
b sin
B
=
=
Chứng minh tương tự, ta có:
a sin
A
b sin
B
c sin
C
. Vậy
A
A
b
b
c
c
α
α
B
C
C
H
a
a
B
H
AB c BC a ,
=
Bài 7:
=
,AB BC là a .
Giả sử có tam giác ABC cos
Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng
H =
090
HABD
B
=
= AH AB
sin
B
Vẽ đường cao AH của tam giác ABC
AH AB
=
=
AB
B BC
=
a
AH BC .
. sin .
c a . . sin
có nên sin
ABCS
1 2
1 2
1 2
Do đó:
Bài 8:
HACD
A
=
AH AC A
cos
=
Vẽ đường cao CH của tam giác ABC .
AH AC
vuông tại H , nên cos
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
HACD
+
=
AH
HC
AC
HBCD
vuông tại H theo định lý Py-ta-go, ta có:
A
2
2
2
=
+
BC
HB
HC
H
2
=
- AB AH (
2 )
+
HC
2
2
2
=
-
+
.
+
AB
AB AH AH 2
HC
2
2
=
-
cos
AB
AB AC 2 .
A AC +
B
C
2
2
=
+
-
cos
AC
AB
AC AB 2 .
A
2
2
2
= + -
cos
a
c
b
bc 2
A
vuông tại H theo định lý Py-ta-go, ta có:
. Vậy
B
=
Ca ,
a b+ <
090
Bài 9:
= , vì b
,AH BK của ABCD
Xét ABCD có nên BAC là góc tù.
C BAK
(
Vẽ các đường cao
= + BAK B 1
K =
090
= BK AB
sin BAK
ABKD
là góc ngoài của ABCD ) Ta có:
sin(
=
. BK AC
=
. AB AC
a b
có nên
+ )
ABCS
1 2
1 2
H =
090
Do đó:
sin
=
sin
ABH
=
, cos
=
cos
ABH
=
a
a
Mặt khác: HABD có
AH AB
BH AB
H =
090
Nên
sin
=
sin
ACH
=
, cos
=
cos
ACH
=
b
b
Và HACD có
AH AC
HC AC
a
b
+
b sin cos
a
=
+
Nên
AH HC . AB AC
AH BH . AC AB
K
=
+ HC BH (
)
AH AB AC .
A
=
=
AH BC . AB AC .
ABCS 2 AB AC .
B
C
)
. AB AC
a b +
H
=
=
sin(
a b
+ )
. sin( AB AC .
a
+ = ) b
a sin cos
b
+
b sin cos
a
Do đó: sin cos
y
. Vậy sin(
C
Bài 10:
Vẽ CH là đường cao của tam giác ABC .
Xét AHCD vuông tại H , theo tỉ lệ số lượng giác
A
x
B
H
của góc nhọn, ta có:
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
sin HAC
=
= CH AC
CH AC . sin BAC
2
AB AC .
=
+ AB AC (
2 )
-
- AB AC (
2 )
=
9(
cm
)
1 4
1 4
. sin
sin
=
. CH AB
=
. AB AC
BAC
£
BAC
Mặt khác, ta có:
ABCS
1 2
1 2
9 2
sin
BAC không đổi.
9 2
=
AB AC =
cm 3
Do đó:
= AB AC
=
cm 3
Dấu “=” xảy ra
,B C lần lượt trên các tia
,AB AC sao cho
Vậy khi thì diện tích ABCD lớn nhất.
II.PHIẾU LUYỆN NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
A 2
a b c
Câu 1: Cho ABC có độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c.Chứng minh rằng: sin
. Nối AF và BE. Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF BC
0, 6
ACB
BC
10
cm
AF BE cosC . . a) Chứng minh rằng
, sin . Tính diện tích tứ giácABFE. b) Biết
B
AB
60
cm
c) AFvà BE cắt nhau tại O. Tính sin AOB .
20 ,
30 ,
. Đường cao hạ từ C đến AB cắt BA tại P. Câu 3: Cho tam giác ABC có A
Hãy tính AP, BP, CP.
BD
20
cm
Câu 4: Tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao
cho . Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo
thứ tự ở E, F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF.
Câu 5: Cho hai hình chữ nhật có hai kích cỡ 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao
cho các cạnh hình chữ nhật song song với nhau (như hình vẽ). Tính diện
tích tứ giác ANCQ.
Câu 6: Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O và không
vuông góc với nhau. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác
AOB và COD. Gọi G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác BOC và
AOD.
a) Gọi E là trọng tâm của tam giác AOB, F là giao điểm của AH và DK.
Chứng minh rằng các tam giác IEG và HFK đồng dạng.
b) Chứng minh rằng IG vuông góc với HK.
Hướng dẫn
Câu 1: 26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Định hướng
A 2
AD
K AD
bằng cách dựng tia phân giác AD của góc A . - Tạo ra góc
A BK AB 2
. Hạ BK để chứng minh sin
D BC
K AD
AD
. Lời giải Kẻ đường phân giác AD của A
Hạ BK .
BK BA
A BK AB 2
Trong ABK vuông tại K có sin KAB . Hay sin
(1).
Trong BDK vuông tại K có cạnh huyền BD: BK BD (2).
A BD AB 2
(3). Từ (1) và (2) suy ra sin
AB DB DC AC
Do AD là tia phân giác của A nên ta có:
BD BC AB AC
BD AB
AB AC b c
AB
BC
a
(4)
A 2
a b c
đpcm. Từ (3) và (4) ta có: sin
Câu 2:
FEC
ABC
∼
FC AC EC BC
CFA
.
cos ACB
FA BEcos ACB
∼
CEB c g c .
FA BE
AC BC
FA BE
vuông tai F và A có C chung a) Xét FEC và ABC
.sin
ACB
0, 6.10
6
cm
8
cm
AB BC
AC
AE EC
4
cm
b) Xét tam giác ABC vuông tại A có:
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
.sin
ECF
0, 6.4
2, 4
cm
3, 2
cm
FE EC
FC
S
S
S
cm
.
.
20,16
AB AC FE FC
ABFE
ABC
CFE
2
1 2
Mặt khác
,H K BE
AH BE FK BE ;
c) Hạ
S
S
S
FOE
.
.
.sin
.sin
AH BE FK BE
AOB FO
ABFE
ABE
BFE
Ta có:
BE AO
1 2
1 2
BE
AOB
.sin
BE FA .
.sin
AOB AO FO
1 2
1 2
Lại có: (định lý Py-ta-go) (2). 52 BE
.
. 52
FA BE
AC BC
S
Theo câu a) có:
8 10 Từ (1), (2) và (3) có: 2
AOB
sin
ABFE BE FC .
63 65
2.20,16 52.0,8. 52
.
Câu 3:
. Tam giác AHB vuông tại H suy ra .sin 60.sin 30 30 B Kẻ AH BC AH AB
. AP AC cosPAC
39,162.cos 20
36,8
Tam giác AHC vuông tại H có 39,162 AC 30 40 cos AH cosHAC
23, 2
PB AB AP
60 36,8
39,162.sin 20
13,394
.sin PAC
Tam giác APC vuông tại P có
CP AC
Tam giác APC vuông tại P có .
Câu 4:
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AB
, DF FA y
. Kẻ DI
Đặt DE AE x , DK AC
.sin IBD
20.sin 60
10 3
DI BD
. BI BD cosIBD 20.cos 60 10 , Ta có:
2
2
2
Do đó áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông EDI vuông tại I có:
10 3
2
IE ID 50 x 28 x DE x
35
y
AE
28,
FA
35,
60
EAF
7 21
Tương tự có:
. Ta tính được
FE
Như vậy .
Câu 5:
Gọi giao của AC và NQ là O; giao của NQ và CD là L
,K H NQ
CK NQ AH NQ ;
Kẻ
MQN
30 57
5
tan
33 41
4 ACD ACD 6
Theo giả thiết có: 3 MQN tan
.
.
S
S
S
AH NQ CK NQ
ANCQ
ANQ
CNQ
1 2
S
cosOAH NQ AO OC . .
ANCQ
1 2
AH AO cosOAH . CK OC cosOCK . OCK OAH
cosOAH NQ C .
.A
1 2
OAH
90
90
Ta có:
mà Ta chứng minh số đo OAH không đổi. Thật vậy: OCD OLC AOH
MQN
OCD
OAH
90
90
90
OLC
(cố định).
MQN MQN ACD
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
S
cm
cosOAH AC NQ .
.
.AC. NQ 21
ANCQ
2
cos MQN ACD
Vậy
1 2
1 2
IEG DOC HFK DOC ,
Câu 6:
(1 ). a) Gọi 90 COD Ta chứng minh được IEG HFK
EG
AC EI ,
BD
1 3
1 3
EG AC BD EI
Lại có áp dụng Ta-lét dễ thấy:
.cot g
.cot g
.cot g
MC
AC
FK FM MK AM
Gọi M là giao điểm của FK và AC, ta có:
.cot g
FK BD
AC FK FH BD
IGE
HKF
Tương tự có: (3).
∼
Từ (1), (2), (3) suy ra (c.g.c).
IGE HKF b) Theo câu a) có EIG KHF ∼
EI BD BD HF ;
EI HF
/ /
HNI
90
Gọi giao của EI và AF là N; giao của IG và HK là P.
180
360
HPI
NHP AIP HNP
90
IG HK
Vì
EIG KHF
. Vì NHP AIP
