Chuyên đề Rút gọn phân thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo tài liệu Chuyên đề Rút gọn phân thức giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì kiểm tra sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Rút gọn phân thức

RÚT GỌN PHÂN THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau: Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức; Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1. Rút gọn phân thức Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử; Bước 2. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung. Bài 1: Rút gọn phân thức 17 xy 3 z 4 y 2  xy x 2  25 A B C 34 x 3 y 2 z 4 xy  7 y 2 5x  x2 x 2  xz  xy  yz 45 x  3  x  y 2  x2 D E G x 2  xz  xy  yz 15 x  x  3 x3  3x 2 y  3xy 2  y 3 2 Bài 2: Rút gọn phân thức ax 4  a 4 x x3  x 2  6 x 2a 2  2ab A B C a 2  ax  x 2 x3  4 x ac  ad  bc  bd  x  a 2  4x2 y  2 x  x2   y  2 x 2  3x  2 D E F a 2  9 x 2  6ax x  2 y  y2   x  2 x3  1
Bài 3: Rút gọn phân thức x3  5x 2  6 x x 2  3xy  2 y 2  a  b 2 A B  c2 C 4 x 2  10 x  4 x3  2 x 2 y  xy 2  2 y 3 abc a 2  b 2  c 2  2ab b  c  c  a   a  b 3 3 3 D 2 2 2 F 2 a  b  c  2ac a b  c   b2  c  a   c2  a  b  Dạng 2: Chứng minh đẳng thức. Phương pháp giải: Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong CD 1 và CD2. Bài 4: Chứng minh đẳng thức. 3 3x  6 a)  2 2x  3 2x  x  6 2 2x2  6x b)  x  4 x3  7 x 2  12 x Bài 5: Chứng minh đẳng thức. x5  1 a)  x 4  x3  x 2  x  1 x 1 2 x 2  xy  y 2 x y b)  2 x  3 xy  y 2 2 x y Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước. Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức; Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho. x y z Bài 6: Cho    0 . Rút gọn biểu thức x 2  y 2  z 2  a 2  b 2  c 2   ax  by  cz  2 a b c Bài 7: Cho ax  by  cz  0 . Rút gọn phân thức
ax 2  by 2  cz 2 A bc  y  z   ac  x  z   ab  x  y  2 2 2 Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x. Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức; Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho không còn các ẩn ( x,y …đề bài yêu cầu không phụ thuộc ) Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x . x2  y 2 A  x  y  ay  ax  2ax  2 x  3 y  3ay B 4ax  6 x  9 y  6ay Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y . 9 x 2  1 3 xy  3 x  2 y  2 1  ;x  ; y 1 1  3x y 1 3 Dạng 5: Bài toán nâng cao. x  y x2  y 2 Bài 10: Cho x  y  0 .Chứng minh rằng  x  y x2  y2
HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức. Bài 1: 17 xy 3 z 4 yz 3 y 2  xy x 2  25 A  B C 34 x 3 y 2 z 2 x 2 4 xy  7 y 2 5x  x2 y x  y yx   x  5 x  5   x5   y  4x  7 y  4x  7 y  x  x  5 x x 2  xz  xy  yz 45 x  3  x  3 y2  x2 D 2 E  G 3 x  xz  xy  yz 15 x  x  3 3 x x  3x 2 y  3 xy 2  y 3 2  x  z  x  y   x  y   x  y  x  y  x  y     x  z  x  y  x  y x  y 3  x  y 2 Bài 2: ax 4  a 4 x x3  x 2  6 x 2a 2  2ab A 2 B C a  ax  x 2 x3  4 x ac  ad  bc  bd ax  x 3  a 3  x  x2  x  6 2a  a  b   2   a  ax  x 2 x  x2  4 a c  d   b c  d  ax  x  a   a 2  ax  x 2  x  x  2  x  3 2a  a  b     a 2  ax  x 2 x  x  2  x  2   c  d  a  b   ax  x  a  x3 2a   x2 cd  x  a y  2 x  x2   y  2 x 2  3x  2 2  4 x2 F D E a 2  9 x 2  6ax x  2 y  y 2   x  2 x3  1  x  a  2 x  x  a  2 x   x  1 x  2   xy  2  x  y  2   a 2  6ax  9 x 2   x  1  x 2  x  1 xy  2  y  x  2   3x  a  a  x   x  2   xy  x  2  y  2    3x  a  x  x  1 2  2 xy  y  2  x  2   a  x  1  3x  a 
Bài 3: x3  5 x 2  6 x x 2  3xy  2 y 2 a  b 2 A  c2 B C 4 x 2  10 x  4 x3  2 x 2 y  xy 2  2 y 3 abc x  x2  5x  6 x   x  y  x  2 y   a  b  c  a  b  c     2  2 x 2  5 x  2  x  x  2 y   y2  x  2 y  abc 2  x  y  x  2 y   abc x  x  2  x  3   2  2 x  1 x  2   x  2 y   x2  y 2   x  x  3  x  y  x  2 y    2  2 x  1  x  2 y  x  y  x  y    x  2y  x  2 y  x  y  a 2  b 2  c 2  2ab b  c  c  a    a  b 3 3 3 D 2 2 2 F 2 a  b  c  2ac a b  c   b2  c  a   c2  a  b  a  2ab  b 2  c 2 2  2 Mau  a 2  b  c   b 2  c  a   c 2  a  b  a  2ac  c 2  b 2  a 2  b  c   b 2 c  b 2 a  ac 2  bc 2  a  b   c2 2   a 2  b  c   bc  b  c   a  b 2  c 2   a  c   b2 2  a  b  c  a  b  c    b  c   a  a  b   c  a  b     a  b  c  a  b  c    b  c  a  c  a  b  abc  b  c   c  a    a  b 3 3 3  F a bc   a  b  b  c  c  a  Ta có nhận xét Nếu x  y  z  0  x3  y 3  z 3  3 xyz Đặt b  c  x; c  a  y; a  b  z thì x y z 0 x 3  y 3  z 3 3xyz F   3  xyz  xyz
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức. Bài 4: Chứng minh đẳng thức. 3 3x  6 a)  2 2x  3 2x  x  6 3x  6 3 x  2 3 VP  2    VT 2 x  x  6  x  2  2 x  3 2 x  3 2 2 x2  6x b)  3 x  4 x  7 x 2  12 x 2x2  6x 2 x  x  3 2 x  x  3 2 VP  3     VT x  7 x  12 x x  x  7 x  12  x  x  4  x  3 x  4 2 2 Bài 5: Chứng minh đẳng thức. x5  1 a)  x 4  x3  x 2  x  1 x 1 Thực hiện phép chia đa thức x5  1   x  1  x 4  x 3  x 2  x  1 2 x 2  xy  y 2 x y b)  2 x  3 xy  y 2 2 x y 2 x 2  xy  y 2 2 x 2  2 xy  xy  y 2  x  y  2 x  y  x  y VT     2 x 2  3 xy  y 2 2 x 2  2 xy  xy  y 2  x  y  2 x  y  x  y VT  VP  dpcm Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước. x y z Bài 7: Cho    0 . rút gọn biểu thức a b c x 2  y 2  z 2  a 2  b 2  c 2   ax  by  cz  2 x y z Đặt    k  0  x  ka; y  kb; z  kc a b c
x 2  y 2  z 2  a 2  b 2  c 2   ax  by  cz  2  k a 2 2  k 2b 2  k 2c 2  a 2  b 2  c 2   aka  bkb  ckc  2 k 2  a 2  b2  c 2  2  k 2  a 2  b2  c 2  2 1 Bài 8: Cho ax  by  cz  0 . rút gọn phân thức ax 2  by 2  cz 2 A bc  y  z   ac  x  z   ab  x  y  2 2 2 Áp dụng hằng đẳng thức  x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx  2 ax  by  cz  0   ax  by  cz   0  a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2  2  axby  axcz  bycz   0 2  a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2  2  axby  axcz  bycz 1 Biến đổi mẫu thức bc  y  z   ac  x  z   ab  x  y  2 2 2  bcy 2  bcz 2  acx 2  acz 2  abx 2  aby 2  2  abxy  acxz  bcyz  (2) Thay (1) vào (2) thì mẫu thức bằng  bcy  acx  c z    bcz  abx  b y    acz  aby  a x  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  c  by  ax  cz   b  cz  ax  by   a  cz  by  ax  2 2 2 2 2 2 2 2 2   cz  by  ax   a  b  c  2 2 2 1 Vậy A  abc Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x. Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x .
x2  y 2 A  x  y  ay  ax    x  y  x  y  a  x  y  y  x    x  y  x  y   a  x  y  x  y  1  a 2ax  2 x  3 y  3ay B 4ax  6 x  9 y  6ay   a  1 2 x  3 y   2 x  3 y  2a  3 a 1  2x  3 Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y 9 x 2  1 3 xy  3 x  2 y  2 1  ;x  ; y 1 1  3x y 1 3   3x  1 3x  1  3x  y  1  2  y  1   3 x  1 y 1    3 x  1   3x  2  y  1 y 1  3 x  1  3 x  2 1 Dạng 5: Bài toán nâng cao. x  y x2  y 2 Bài 11:cho x  y  0 .chứng minh rằng  x  y x2  y2 Do x  y  0 nên x  y  0 Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có x  y  x  y  x  y  x 2  y 2 x2  y 2    (1) x  y  x  y  x  y   x  y 2 x 2  2 xy  y 2
Mặt khác vì x  y  0 nên x 2  2 xy  y 2  x 2  y 2 x2  y 2 x2  y2  (2) Vậy x 2  2 xy  y 2 x 2  y 2 (1)(2)  dpcm B.PHIẾU TỰ LUYỆN Dạng 1: Rút gọn phân thức. Bài 1: Rút gọn các phân thức sau. 25 x 2 y  x  1 3x  5  x  60 xy  3 x  2  3 3 14 x5 y 3 z 2 a) b) c) d) 21x 2 y 4 z 30 xy  x  1 12  x  5  3 45 xy 2  2  3 x  Bài 2: Rút gọn các phân thức sau. a) 6 x  12 b)  y 2x  x2  c) xy 3  yx 3 d) 48 y  12 y 2  3 y 3 24 x 2  48 x x 2 y  y 2 x 2  xy y 3  64 Bài 3: Rút gọn các phân thức sau. 5  x  3  3x  3 3x  5  x 2  xy  x  y 2 y3  y 2  2 y  1 a) b) c) 2 d) 3 x2  4 x  3 25  9 x 2 x  xy  x  y y  3y2  y  3 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức. Bài 4: Chứng minh đẳng thức.  x  a 2 b 2  2b  1 b  1  4 x2 ax x 2  3x  2 x2 a)  2 b)  c)  2 3b3  3b 2 3b a 2  9 x 2  6ax a  3x x 1 3 x  x 1 Bài 5: Chứng minh đẳng thức. xy  x  2y  2 y  1 2 x 2  3 xy  y 2 1 a)  b)  4  4x  x 2 x2 2 x  x y  2 xy  y 3 2 2 3 x y 4 xy 2  4 x 2 y  x3 2 xy  x 2  2 y  x Bài 6: Cho hai phân thức P  và Q  với x  0; x  1; x  2 y 4 x3  8 x 2 y 4x  4 x2 Chứng minh rằng P = Q.
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước. Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức. 3m 2  2m n 2  7n  6 a) A  tại m  8 b) B  tại n  1000001 9m 2  12m  4 n3  6n 2  n  6 Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính.  a 2   b  c 2   a  b  c  C   a  b  c   a  c   b 2   2 Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến. Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số. x2  y2 5kx  5 x  3 y  3ky 3 a) M  b) N  (với k là hằng số khác  )  x  y  3x  3 y  25kx  15 x  9 y  15ky 5 x4  x3  x  1 Bài 10: Cho phân thức A  4 x  x3  2 x 2  x  1 a) Thu gọn biểu thức A. b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x. Dạng 5: Bài toán nâng cao. Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên. 3 3u 2  2u  1 1 a) với u  2 b) với u  u2 3u  1 3 x 2  2 x  2019 Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A  với x  0 . x2 3 x 2  9 x  17 b) Tìm giá trị lớn nhất của B  3x 2  9 x  7 HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức.
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau 25 x 2 y  x  1 5 x  x  1 3 2 14 x5 y 3 z 2 2 x3 z a)  b)  21x 2 y 4 z 3y 30 xy  x  1 6 3x  5  x  3 x  x  5  60 xy  3x  2  4  3 x  2  3 2 x c)   d)  12  x  5  3 12  x  5  3 4  x  5 2 45 xy 2  2  3 x  3y Bài 2: Rút gọn các phân thức sau Bài 3: Rút gọn các phân thức sau Dạng 2: Chứng minh đẳng thức. Bài 4: Chứng minh đẳng thức b 2  2b  1 b  1  x  a x 2  3x  2 x2 2 a)  2 ax  4 x2 c)  2 b) 2  3b3  3b 2 3b a  9 x  6ax a  3 x 2 x 1 3 x  x 1 Bài 5: Chứng minh đẳng thức
xy  x  2y  2 y  1 2 x 2  3xy  y 2 1 a)  b)  4  4x  x 2 x2 2 x  x y  2 xy  y 3 2 2 3 x y 4 xy 2  4 x 2 y  x 3 2 xy  x 2  2 y  x Bài 6: - Có: P  và Q  với x  0; x  1; x  2 y 4 x3  8 x 2 y 4x  4x2 Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước. Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức 3m 2  2m n 2  7n  6 a) A  tại m  8 b) B  tại n  1000001 9m 2  12m  4 n3  6n 2  n  6 Thay m=-8 vào A ta được: Thay n=1000001 vào B ta được: Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính  a 2   b  c 2   a  b  c  C   a  b  c   a  c   b2  2
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến. Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số x2  y 2 3 a) M  b) (với k là hằng số khác  )  x  y  3x  3 y  5 5kx  5 x  3 y  3ky N 25kx  15 x  9 y  15ky Khi đó là hằng số. x4  x3  x  1 Bài 10: Cho phân thức A  x 4  x3  2 x 2  x  1 a)Thu gọn biểu thức A. b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x. Có: Dạng 5: Bài toán nâng cao. Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên. 3 a) với u  2 u2
3 Để nguyên thì u2 Ta có bảng u-2 -1 1 -3 3 u 1 (TM) 3 (TM) 5 (TM) -1 (TM) 3 Vậy thì nguyên. u2 3u 2  2u  1 1 b) với u  3u  1 3 3u 2  2u  1 Để nguyên thì 3u  1 Ta có bảng 3u+1 -1 1 -2 2 0 -1 u (TM) (TM) (KTM) (KTM) x 2  2 x  2019 Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A  với x  0 . x2 Dấu “=” xảy ra khi x- 2019= 0 x=2019
Vậy khi x=2019 3 x 2  9 x  17 b) Tìm giá trị lớn nhất của B  3x2  9 x  7 3 x 2  9 x  17 10 10 B  1 2  1 3x  9 x  7 2 3x  9 x  7  3 1 2 3.  x     2 4 Để B lớn nhất nhỏ nhất Mà vì Dấu “=” xảy ra khi Vậy MaxB = 41 khi . ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========