RÚT GỌN PHÂN THỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau:
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của
phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Rút gọn phân thức
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.
Bài 1: Rút gọn phân thức
3 4
3 2
17
34
xy z
A
x y z
2
2
4 7
y xy
B
xy y
2
2
25
x
C
x x
2
2
x xz xy yz
D
x xz xy yz
2
45 3
15 3
x x
Ex x
2 2
3 2 2 3
3 3
y x
G
x x y xy y
Bài 2: Rút gọn phân thức
4 4
2 2
ax a x
A
a ax x
3 2
3
6
x x x
B
x x
2
2 2a ab
C
ac ad bc bd
2
2
2 2
4
9 6
x a x
D
a x ax
2
2
2 2
2 2
y x x y
Ex y y x
2
3
3 2
1
x x
F
x
Bài 3: Rút gọn phân thức
3 2
2
5 6
4 10 4
x x x
A
x x
2 2
3 2 2 3
3 2
2 2
x xy y
B
x x y xy y
2
2
a b c
C
a b c
2 2 2
2 2 2
2
2
a b c ab
D
a b c ac

3 3 3
2 2 2
b c c a a b
F
a b c b c a c a b
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
Phương pháp giải: Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong CD 1 và
CD2.
Bài 4: Chứng minh đẳng thức.
2
3 3 6
)
2 3 2 6
x
a
x x x
2
3 2
2 2 6
)
4 7 12
x x
b
x x x x
Bài 5: Chứng minh đẳng thức.
54 3 2
1
) 1
x
a x x x x
x
2 2
2 2
2
)2 3
x xy y x y
b
x xy y x y
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của
phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.
Bài 6: Cho
0
x y z
a b c
. Rút gọn biểu thức
2 2 2 2 2 2
2
x y z a b c
ax by cz
Bài 7: Cho
0
ax by cz
. Rút gọn phân thức
2 2 2
2 2 2
ax by cz
A
bc y z ac x z ab x y
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của
phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho
không còn các ẩn ( x,y …đề bài yêu cầu không phụ thuộc )
Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
x
.
2 2
x y
A
x y ay ax
2 2 3 3
4 6 9 6
ax x y ay
B
ax x y ay
Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
,
x y
.
2
9 1 3 3 2 2 1
; ; 1
1 3 1 3
x xy x y
x y
x y
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
Bài 10: Cho
0
x y
.Chứng minh rằng
2 2
2 2
x y x y
x y x y
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Rút gọn phân thức.
Bài 1:
3 4 3
3 2 2
17
34 2
xy z yz
A
x y z x
2
2
4 7
4 7 4 7
y xy
Bxy y
y x y
y x
y x y x y
2
2
25
5
5 5
5
5
x
Cx x
x x x
x x x
2
2
x xz xy yz
D
x xz xy yz
x z x y
x y
x z x y x y
2
45 3
3
3
15 3
x x
E
x
x x
2 2
3 2 2 3
3 2
3 3
y x
Gx x y xy y
x y x y
x y
x y x y
Bài 2:
4 4
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
ax a x
Aa ax x
ax x a
a ax x
ax x a a ax x
a ax x
ax x a
3 2
3
2
2
6
4
6
4
2 3
2 2
3
x x x
Bx x
x x x
x x
x x x
x x x
x
x
2
2 2
2
2
2
a ab
C
ac ad bc bd
a a b
a c d b c d
a a b
c d a b
a
c d
22
2 2
2 2
2
4
9 6
2 2
6 9
3
3
3
x a x
Da x ax
x a x x a x
a ax x
x a a x
x a
a x
x a
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
y x x y
Ex y y x
xy x y
xy y x
xy x y
xy y x
2
3
2
2
3 2
1
1 2
1 1
2
1
x x
Fx
x x
x x x
x
x x
Bài 3:
3 2
2
2
2
5 6
4 10 4
5 6
2 2 5 2
2 3
2 2 1 2
3
2 2 1
x x x
Ax x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x
2 2
3 2 2 3
2 2
2 2
3 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
x xy y
B
x x y xy y
x y x y
x x y y x y
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y
x y x y
22
a b c
Ca b c
a b c a b c
a b c
a b c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
22
22
2
2
2
2
a b c ab
D
a b c ac
a ab b c
a ac c b
a b c
a c b
a b c a b c
a b c a b c
a b c
a b c

3 3 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3 3 3
b c c a a b
Fa b c b c a c a b
Mau a b c b c a c a b
a b c b c b a ac bc
a b c bc b c a b c
b c a a b c a b
b c a c a b
b c c a a b
Fa b b c c a
Ta có nhận xét
Nếu 3 3 3
0 3
x y z x y z xyz
Đặt ; ;
b c x c a y a b z
thì
0
x y z
3 3 3 3
3
x y z xyz
Fxyz xyz