RÚT GỌN PHÂN THỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau:
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của
phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Rút gọn phân thức
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.
2
2
Bài 1: Rút gọn phân thức
A
B
2
17 34
3 4 xy z 3 2 x y z
y xy
xy y 7
4
2
2
2
C x 5 x 25 2 x
D
G
2
2
3
3
x x
xz xz
xy xy
yz yz
y 2 x y
x xy 3
y
x
3
x 45 3 x x
x 2
E 15 3
4
3
2
Bài 2: Rút gọn phân thức
2
4 a x x
22 a
2
2
2
x x 2 A B C ax 3 x 6 4 x ax 2 a x ac ad bc bd ab
2
2
a
2 x
x 2 y 2 x x y 2 4 x F D E x a 2 x 3 3 1 x 9 6 ax x 2 y y x 2
3
2
2
2
2
Bài 3: Rút gọn phân thức
B
3
3
3 2 x y
2 2 xy
x
2
y
x 2
xy
y
2 a b a b c
2
2
2
3
3
3
c A C 2 x x 4 5 x 10 x 6 x 4
2
2
2
F
2
b c a b c
c a 2 b c a
a b 2 c a b
D a a b b c c ab 2 ac 2
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
Phương pháp giải: Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong CD 1 và
CD2.
a
)
2
3
3 2 x
2
6
3 x
x 6 x
2
Bài 4: Chứng minh đẳng thức.
3
b ) x 4 x 7 2 x x 12 x x 2 2 6
5
4
3
2
Bài 5: Chứng minh đẳng thức.
2
2
b
)
2
2 x 2 x 2
y y
x x
y y
xy 3 xy
a ) x x x 1 x x x 1 1
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của
phân thức;
2
2
2
2
2
2
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.
x z a c
0
. Rút gọn biểu thức
x a
y b
z c
Bài 6: Cho cz
ax by
cz
0
y b 2
ax by
. Rút gọn phân thức
Bài 7: Cho
2
2
2
2
2
bc y
ab x
ax by A cz 2 z z y ac x
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của
phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho
không còn các ẩn ( x,y …đề bài yêu cầu không phụ thuộc )
2
2
A
x
x y y ay ax
Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x .
B 2 ax ax 4 2 6 x x 3 9 y y ay 3 ay 6
, x y .
xy
y
2
;
x
;
y
1
1 3
29 1 3 x 1 3 x
x 2 3 1 y
Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
2
2
x
0
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
y .Chứng minh rằng
2
2
x x
y y
x x
y y
Bài 10: Cho
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Rút gọn phân thức.
2
3
2
C
Bài 1:
A
2
2
17 34
3 4 xy z 3 2 x y z
yz x 2
x
B 4
5
5 x x
25 x 2 5 x x x 5 x x
5
2
2
2
y x x 7 y 4 xy y y 7 xy y y x 7 y y x 4
3
2
3
2
x 45 3 x x
x 2
G E D x y 3 x 3 x x yz yz 15 3
y y x x xy 3 x x z z y y x x x x y y x x y y 2 x y 3 y xz xz xy xy x 3 x y 2
2
3
4
Bài 2:
2
C
2
ab
2
x x B A
ax a
4 a x x 3
2
2
2
2
2
ax x ax 2 a 3 ax x
2
2
22 a ac ad bc bd 2 a a b b c d a c d a a b 2 c d a b
2 a c d
x 6 3 4 x x x 6 x 2 3 x 2 x 2 4 x ax a ax x a a ax a ax x a 3 2 x x
x x x x x x x x
2
2
2
2
D
2
2
2
x
2
x 4 ax 6 x a 2
x a 2 a x 9 x x a 2 2
x
9
x
6
2 x x x y 2 y 2 F E 2 2 y x 2
1
xy xy 2 2 x y
3
a
2
3
x x
x x 3 3 x 1 x 1 x 1 2 x
1
x 2 2 xy x xy y
x y y x 2 y 2 2 2 x
ax x a a x 2 x a a x x a 3
1
2
3
2
2
2
2
c
a b
Bài 3:
C
3
3
A B 2 2 xy y x
2
2
a b c a b c a b c a b c
a b c
2 y x 2 x x x x
x
2
y y 2 y 2 2 y x 3 2 2 y 2 x x x x 6 x 5 10 x 4 6 5 x x 2 2 x
y x
y x 2 x x x 2 x 4 2 x x 2 2 x x 2 2 x x 2 2 5 x 1 3 1 2 y
3
3
3
2
2
2
y x y x 2 x x x x xy 3 2 x y x y 2 y 2 y x y y y 2 y
F
2
2
2
2
2
2
2
D
a b 2 c a b 2 c a b
2
2
2
2
2
2
bc
ab 2 2 ac 2 c b a a
2
2
2
2
2
c
b c a b c a b c Mau a b c a b c
bc b c
c a b a c
b c a c a b
c a 2 b c a b c a 2 b c b a ac a b c a b
3
3
3
b c a a b
c b c b 2 ab b 2 2 c ac 2 2 2 b a b c a b c a b c a b c
F
b c
c a a b b c
a b c a
a a a b c a b c
3
3
3
Ta có nhận xét
b c
x c a ;
y a b ;
Nếu x y x z y z 3 xyz 0
thì z
x
0
y
z
3
3
3
x
z
3
F
y xyz
xyz xyz
3
Đặt
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
a
)
6
2
x 6 x
3 x
3
2
VP
VT
3 3 2 x
2
x
x
3
2
3
6
3 2 x 2 6 x x
3 x
x 2 2
2
Bài 4: Chứng minh đẳng thức.
3
b ) x 12 x x 4 6 2
3
12
x x 2 2
x x x 4
x x
3 2 3 VP VT x x 2 x 7 x 3 x 4 2 x 2 x 7 x 6 2 x 12 2 2 7 x
x x
5
4
3
2
Bài 5: Chứng minh đẳng thức.
a ) x x x 1 x x x 1 1
5
4
3
2
x
x
x
x
x
x
1
1
1
2
2
b
)
2
x 2 2 x 2
y y
x x
y y
xy 3 xy
2
2
2
2
x
y
2
x
y
VT
2
2
2
2 x 2 x 2
y y
2 2
x x
2 2
xy xy
xy xy
y y
x
y
2
x
y
x x
y y
xy 3 xy
VT VP
dpcm
Thực hiện phép chia đa thức
0
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
. rút gọn biểu thức
x a
y b
z c
2
2
2
2
2
2
Bài 7: Cho
x z a c
cz
ax by
0
x
k
ka y ;
kb z ;
kc
y b 2
x a
y b
z c
Đặt
2
2
2
2
2
2
x
z
a
c
cz
ax by
y
b 2
2
2
2
2
2 2 k c
a
b
c
2 k a
2
2 2 k b
2
2
2
2
2
c
k
a
b
2
2
2
2
2
c
k
a
b
aka bkb ckc
1
cz
0
ax by
. rút gọn phân thức
2
2
2
Bài 8: Cho
2
2
bc y
ab x
2
2
2
2
x
z
x
y
z
2
xy
yz
zx
y
ax by A cz 2 z z y ac x
2
2
2
Áp dụng hằng đẳng thức
2 a x
2 2 c z
2
2
2 a x
2 b y
2 2 c z
cz 0 cz 2 axby axcz bycz 0 ax by 0
2 b y 1
axby axcz bycz 2 ax by
2
2
2
Biến đổi mẫu thức
2
2
2
2
2
bc y bcy
bcz
ac x acx
z z y
ab x abx
2 2
acz aby abxy acxz bcyz (2)
2
2
2
2
2
2
2
2
acx
2 2 c z
abx
acz
aby
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ax
ax
by
by
ax
2 b y
a cz
2 a x
2
2
2
by
ax
bcy c by cz
bcz b cz cz a b c
A
Thay (1) vào (2) thì mẫu thức bằng
1 a b c
Vậy
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x .
2
2
A x
y y x y
y
x a x x a x
y y x x y y ay ax x y x y
B
ay 3 ay 6
2 ax ax 4
y y
x x
3 9
2 6
a x 2
3 1 2 y x 2 a 3 y 3
a x 2
1 3
1 a
, x y
Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
xy y 2 ; x ; y 1 1 3
x y
1
29 1 3 x 1 3 x
1 3 x 3
3 2 y 3 x x x 2 3 1 y 1
1 y 1 1
1
1
3 x 2 y 1 3 x y
3 x 1 3 x 2
1
2
2
x
0
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
y .chứng minh rằng
2
2
x x
y y
x x
y y
x
x
0
Bài 11:cho
y nên 0
y
Do
2
2
2
2
Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có
2
2
2
x y x y (1) x x y y x y x y y x x y 2 xy x y x y
2
2
2
x
y nên 2 x 0
2
2
2
2
2
2
2
2 (2)
Mặt khác vì 2 xy y x y
x x
y y
y x 2 y xy x (1)(2) dpcm
Vậy
B.PHIẾU TỰ LUYỆN
Dạng 1: Rút gọn phân thức.
3
3
25
60
xy
x
2
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau.
2
30
45
xy
x
14 21
5 3 2 x y z 2 4 x y z
2 3
2 x y x xy x
1 1
3
x 3 5 x
x 3
a) b) c) d) 12 5
2
3
3
2
3
y
2
x
x
48
y
3
y
Bài 2: Rút gọn các phân thức sau.
2
2
x 6 2 x 24
x
xy x
yx xy
12 48
y 12 3 64 y
x
y
y
a) b) c) d)
2
2
3
2
Bài 3: Rút gọn các phân thức sau.
2
2
x x
xy xy
y y
2 y 3 y
3 3 25 9
x x
y 3 y
1 2 y 3 y
x 3 3 x 5 a) b) c) d) 5 2 x 2 x 4 x 3 x
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
2
2
2
Bài 4: Chứng minh đẳng thức.
2
2
a
2 x
4 x x 2 a) b) c) x a 2 b 3 b 3 1 b 2 b 3 9 6 ax 1 x 1 b 2 2 b 3 a x 3 x a x 3 3 1 x x 2 x
2
2
2
Bài 5: Chứng minh đẳng thức.
y 2
3
3
xy
y
x
y
2
x
xy x 4x 4
2y 2 x
1y 2x
3 2 x xy 2 x y 2
1
2
2
3
a) b)
4
x
x
0;
x
1;
x
2
y
P
xy 4
3 x
2 x y 2 x y 8
4
2 xy x Bài 6: Cho hai phân thức và Q với 4 4 2 y 2 x x x
Chứng minh rằng P = Q.
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
2
2
8
1000001
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức.
m b)
n
3
a) A tại B tại 9 4 7 2 6 n 6 n m 3 2 m m 2 12 m n n 6 n
2
2
a
b c
a b c
C
2
2
b
a c
a b c
Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính.
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
2
2
M
Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số.
3 ) 5
x y
y x
3
y
x
3
4
3
a) b) N (với k là hằng số khác 5 kx kx 25 ky 3 3 x 5 y ky y x 15 9 15
4
Bài 10: Cho phân thức A 3 x 1 x x x 1 x 2 x x 2
a) Thu gọn biểu thức A.
b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên.
2
u
u b)
1 3
23 u 3 u
3 2u
2
1 a) với với u 2 1
x . 0
2
x 2 2019 Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A với 2 x x
2
b) Tìm giá trị lớn nhất của B x 3 x 3 x 9 17 x 9 7
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Rút gọn phân thức.
3
2
25
5
x x
1
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau
a
)
30
6
14 21
5 3 2 x y z 2 4 x y z
3 x z 2 y 3
2 x y x xy x
1 1
3
2
60
xy
x
2
x
2
b)
4 3
3
2
2
45
xy
x
3
y
2 3
3
x 3 5 x
x
x x x
3 x c) d) 12 5 12 5 4 x 5 5 3
Bài 2: Rút gọn các phân thức sau
Bài 3: Rút gọn các phân thức sau
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
2
2
2
x
2
Bài 4: Chứng minh đẳng thức
2
2
b 3 b 3
1 b 2 b 3
1
x
2 1 b 2 b 3
3 x 3 1 x
x 2 x
a
2 x
4 x a) c) b) x a 2 9 6 ax a x 3 x a
Bài 5: Chứng minh đẳng thức
2
2
2
y 2
3
3
xy x 4x 4
2y 2 x
1y 2x
xy
y
x
y
2
x
3 2 xy x 2 x y 2
1
2
3
2
4
x
2
xy
x
P
Q
a) b)
x
0;
x
1;
x
2
y
4
4
2 y 2 x
xy 4
3 x
2 x y 2 x y 8
x x
4
Bài 6: - Có: và với
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
2
2
1000001
A
B
n
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức
m 8
3
9
4
7 2 6 n
6
n
m 3 2 m
m 2 12 m
n
n 6 n
a) tại b) tại
Thay m=-8 vào A ta được: Thay n=1000001 vào B ta được:
2
2
a
b c
a b c
C
2
2
b
a c
a b c
Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
2
2
Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số
M
3 ) 5
x y
y x
3
y
x
3
N
kx 5 kx 25
ky
x 5 y 3 ky 3 y x 15 9 15
b) (với k là hằng số khác a)
Khi đó
4
3
A
là hằng số.
4
3 x
1
x
x
x
x 1 2 x x 2
Bài 10: Cho phân thức
a)Thu gọn biểu thức A.
b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.
Có:
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên.
u 2
3 2u
a) với
3 2u
Để nguyên thì
Ta có bảng
-1 -3 3 1 u-2
1 (TM) 3 (TM) 5 (TM) -1 (TM) u
3 2u
1
Vậy thì nguyên.
u
1 3
23 u 3 u
2 u 1
1
b) với
23 u 3 u
2 u 1
Để nguyên thì
Ta có bảng
1 -1 3u+1 -2 2
2
x
2
2019
A
0 -1 u (TM) (TM) (KTM) (KTM)
x . 0
2
x x
Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của với
Dấu “=” xảy ra khi x- 2019= 0 x=2019
2
B
Vậy khi x=2019
2
x 3 x 3
17 x 9 x 9 7
2
b) Tìm giá trị lớn nhất của
2
2
2
10 B 1 1 x 3 x 3 3 x x 7 17 9 x x 9 7 10 9 3. x 3 2 1 4
Để B lớn nhất nhỏ nhất
Mà vì
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy MaxB = 41 khi .
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========
