Đ O HÀM-VI PHÂN
Ạ
ng cong ch a tham s • D ng 1ạ : Tính đ o hàm c a các hàm s c p, đ ủ ơ ấ ạ ườ ứ ố
Sinh viên c n xem l i: ầ ạ
- B ng công th c tính đ o hàm trang 92. ứ ả ạ
- Công th c trang 139 (dành cho đ ng cong có ch a tham s ). ứ ườ ứ ố
Ví d 1.ụ Tính đ o hàm c a ủ ạ
(d ng ) ạ
Bài t p t ng t ậ ươ : ự
: Kh o sát tính kh vi/ liên t c c a hàm s t i m t đi m ụ ủ ố ạ ả ả ể ộ Bài 1, 9. • D ng 2ạ
L u ý: chi u ng ư ề c l ượ ạ ủ ề i c a (2) không đúng, sinh viên tìm m t ví d minh h a cho chi u ụ ộ ọ
ng i c a (2). c l ượ ạ ủ
Ví d 2.ụ Cho hàm s ố
a) Ch ng minh r ng hàm s gián đo n t i khi ạ ạ ứ ằ ố
b) Khi hàm s có kh vi t i hay không? ả ố ạ
Gi iả
a) tính
Xét
Ch n dãy khi thì và ọ
b) Xét
Gi i h n trên không t n t i nên hàm s trên không kh vi t i x=0 khi n=1. ớ ạ ồ ạ ả ố ạ
Bài t p t ng t ậ ươ : ự
Bài 2, 21, 22.
: Tính đ o hàm c a hàm ng • D ng 3ạ ủ ạ c ượ
Thái Tr n Ph 1 ầ ươ ng Th o ả
S d ng công th c trang 90 , khi s d ng công th c này c n ki m tra đi u ki n: ử ụ ử ụ ứ ứ ể ề ệ ầ
1. là hàm đ n đi u tăng (có th ch ng minh thông qua đ o hàm) ể ứ ệ ạ ơ
( mi n xác đ nh c a hàm s y). 2. ủ ề ố ị
c Ví d 3.ụ Tìm đ o hàm c a hàm s ng ố ượ ủ ạ
MXĐ:
Ta có:
• là hàm đ n đi u tăng. ệ ơ
• .
Suy ra và .
Bài t p t ng t ậ ươ : ự
Bài 6b
• D ng 4: ạ Tính đ o hàm c a hàm n ẩ ủ ạ
t là hàm theo bi n Ví d 4.ụ Tìm đ o hàm c a hàm s , bi ủ ạ ố ế ế
Ta có:
• là hàm đ n đi u tăng. ệ ơ
• .
Suy ra và .
Bài t p t ng t ậ ươ : ự
Bài 7, 8, 11
M t s l u ý khi gi i bài t p 8 và 11 ộ ố ư ả ậ
Cho đ ng cong trong đó là hàm s có đ o hàm và liên t c. Khi đó, ph ườ ụ ạ ố ươ ế ng trình ti p
tuy n v i đ ng cong t i đi m có d ng ớ ườ ế ạ ể ạ
ph ng trình pháp tuy n t i có d ng ươ ế ạ ạ
Đ o hàm – vi phân c p cao • D ng 5: ạ ạ ấ
Ph ươ ng pháp tính đ o hàm c p cao: ạ ấ
1. S d ng đ o hàm c p cao c a m t s hàm đã bi t. ộ ố ử ụ ủ ạ ấ ế
Thái Tr n Ph 2 ầ ươ ng Th o ả
2. Phân tích thành t ng các hàm đ n gi n. ổ ả ơ
3. Phân tích thành hai hàm trong đó là hàm đa th c, là m t hàm đã bi ứ ộ ế ồ ử ụ t r i s d ng
công th c Leibnitz. ứ
4. S d ng khai tri n Taylor, Maclaurint. ể ử ụ
Ví d 5.ụ .
Ví d 6.ụ Tính bi t . ế
S d ng công th c ử ụ ứ
.
Ví d 7.ụ Tính bi t . ế
Vì nên
Ta có :
•
•
•
Bài t p t ng t ậ ươ : ự
Tính đ o hàm c a các hàm s sau: ủ ạ ố
a)
b)
c)
d)
Bài 5
Khai tri n Taylor – Maclaurint • D ng 6: ạ ể
t ph n d vi i d ng Peano và ph n d vi t d Sinh viên c n phân bi ầ ệ t d ư ế ướ ạ ư ế ướ ạ i d ng ầ ầ
Lagrange.
Ph n d là m t vô cùng bé b c cao h n ầ ư ậ ộ ơ
Khi ta không quan tâm đ n ph n d ta s d ng ph n d d ng Peano . ầ ư ầ ư ạ ử ụ ế
Thái Tr n Ph 3 ầ ươ ng Th o ả
Khi ta c n đánh giá ph n d ta s d ng ph n d d ng Lagrange. ầ ư ạ ầ ư ử ụ ầ
Ví d 8.ụ Tính g n đúng v i đ chính xác là . ớ ộ ầ
Ph n d Lagrange trong khai tri n c a hàm là ầ ư ể ủ
Suy ra:
i đ n c p 3 c a hàm Ví d 9.ụ Tìm khai tri n Taylor t ể ạ ế ấ ủ
Đ t ặ
Tìm khai tri n Taylor t i đ n c p 3 c a hàm Ví d 10.ụ ể ạ ế ấ ủ
Đ t ặ
Bài t p t ng t ậ ươ : ự
Tìm khai tri n Taylor c a các hàm s sau: ủ ể ố
t a) i ạ
b)
c)
d) ,
e) ,
Bài 12, 19
L u ý khi gi xem ví d 2.21 trang 119 ư ả i bài t p 12 ậ ụ
L u ý khi gi ư ả i bài t p 19 ậ
S d ng công th c ho c ứ ặ
Các đ nh lý giá tr trung bình ử ụ • D ng 7: ạ ị ị
Các bài t p liên quan đ n đ nh lý Lagrange th ế ậ ị ườ ấ ẳ ng dùng đ ch ng minh các b t đ ng ứ ể
th c (m t hàm) ho c tìm s c trong đ nh lý Lagrange. ố ứ ặ ộ ị
Các bài t p liên quan đ n đ nh lý Cauchy th ế ậ ị ườ ấ ẳ ng dùng đ ch ng minh các b t đ ng ứ ể
th c bao g m hai hàm khác nhau. ứ ồ
Thái Tr n Ph 4 ầ ươ ng Th o ả
Ch ng minh b t đ ng th c Ví d 11.ụ ấ ẳ ứ ứ
Hàm liên t c và kh vi trên đo n . ụ ả ạ
Áp d ng đ nh lý Lagrange t n t i ồ ạ ụ ị
Tìm s trong đ nh lý Lagrange c a hàm s trên Ví d 12.ụ ủ ố ố ị
liên t c trên liên t c trên ụ ụ
kh vi trên kh vi trên ả ả
Áp d ng đ nh lý Lagrange ta đ c . ụ ị ượ
Dùng đ nh lý Rolle ch ng minh có 2 nghi m phân bi Ví d 13.ụ ứ ệ ị ệ ớ ệ t v i Tìm hai nghi m
đó.
Gi iả
liên t c trên liên t c trên ụ ụ
kh vi trên kh vi trên ả ả
Áp d ng đ nh lý Rolle . ị ụ
CM t ng t trên đo n ươ ự ạ
Bài t p t ng t ậ ươ : ự
Các d ng bài t p s d ng đ nh lý Rolle ậ ử ụ ạ ị
1. Ch ng minh r ng n u liên t c trên kho ng đóng , kh vi trên kho ng m và thì ứ ụ ế ằ ả ả ả ở
v i thì ớ
(G i ý : ch n hàm , s d ng đ nh lý Rolle cho hàm này). ử ụ ợ ọ ị
2. Cho và là hai hàm liên t c trên , kh vi trên kho ng và gi s CMR ụ ả ả ả ử
(G i ý : ch n hàm , s d ng đ nh lý Rolle cho hàm này). ử ụ ợ ọ ị
3. Cho , ch ng minh r ng n u thì ph ứ ế ằ ươ ả ng trình có ít nh t m t nghi m trong kho ng ộ ệ ấ
(0,1).
(G i ý : ch n hàm , s d ng đ nh lý Rolle cho hàm này). ử ụ ợ ọ ị
Các d ng bài t p s d ng đ nh lý Lagrange ậ ử ụ ạ ị
Ch ng minh các b t đ ng th c sau: ấ ẳ ứ ứ
a)
b)
Bài 15
Thái Tr n Ph 5 ầ ươ ng Th o ả
Dùng quy t c L’Hospital đ kh d ng các vô đ nh • D ng 8: ạ ể ử ạ ắ ị
ng pháp này n u vi c l y đ o hàm khá ph c t p ta có th s L u ý:ư Khi s d ng ph ử ụ ươ ứ ạ ệ ấ ể ử ế ạ
d ng ph ụ ươ ơ . ng pháp ch n c t cho đ n gi n h n ặ ụ ả ơ
Bài t p t ng t ậ ươ : ự
Bài 18
ng cong có ch a tham s • D ng 9: ạ Kh o sát đ ả ườ ứ ố
1. Tìm mi n xác đ nh, các đi m gián đo n c a hàm s ố ạ ủ ề ể ị
2. Xét tính đ i x ng tính tu n hoàn n u có. ố ứ ế ầ
3. Tìm ti m c n c a đ ng cong n u có ậ ủ ườ ệ ế
N u và thì đ ng cong có ti m c n đ ng là ế ườ ậ ứ ệ
N u và thì đ ng cong có ti m c n ngang là ế ườ ệ ậ
N u c đ u d n đ n vô cùng khi ho c và thì đ ế ả ề ế ặ ầ ườ ng cong có ti m c n xiên là . ệ ậ
i đó tri 4. Kh o sát đ o hàm c a xác đ nh các đi m t ủ ể ả ạ ị ạ ệ ủ t tiêu và xác đ nh d u c a . ị ấ
L p b ng bi n thiên g m các dòng . ế ậ ả ồ
5. Tính h s góc c a ti p tuy n ủ ế ệ ố ế
Kh o sát hàm , Ví d 14. ụ ả
MXĐ:
BBT
Bài t p t ng t ậ ươ : ự
Thái Tr n Ph 6 ầ ươ ng Th o ả
Bài 37, 38
(37b)
(38a)
(38b)
Thái Tr n Ph 7 ầ ươ ng Th o ả
