Thái Trần Phương Thảo 1
ĐẠO HÀM-VI PHÂN
Dạng 1: Tính đạo hàm của các hàm sơ cấp, đường cong chứa tham số
Sinh viên cần xem lại:
- Bảng công thức tính đạo hàm trang 92.
- Công thức trang 139 (dành cho đường cong có chứa tham số).
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của
ln
(cos )
x
y x
ln ln .lncos
(cos )
x x x
y x e (dạng
( ). ( )
u x v x
e
)
/
/ln .lncos ln .lncos ln lncos
x x x x x x
y e e x x x x x
x
Bài tập tương tự:
Bài 1, 9.
Dạng 2: Khảo sát tính khả vi/ liên tục của hàm số tại một điểm
/
0 0
0 0
( ) khaû vi taïi ( )
(1)
( ) khaû vi taïi ( ) lieân tuïc taïi
(2)
f x x f x
f x x f x x
Lưu ý: chiều ngược lại của (2) không đúng, sinh viên tìm một ví dụ minh họa cho chiều
ngược lại của (2).
Ví dụ 2. Cho hàm số
1
sin 0
( ) .
0 0
n
x x
f x x
x
a) Chứng minh rằng hàm số gián đoạn tại
0
x
khi
0.
n
b) Khi
1
n
hàm số có khả vi tại
0
x
hay không?
Giải
a)
(0) 0,
f
tính 0
1
lim sin
n
xx
x
Xét 0
1
limsin limsin .
x t
t
x

Chọn dãy
1 2
2 , 2
2
n n
t n t n
khi
n
thì
1 2
,
n n
t t
và
Thái Trần Phương Thảo 2
1 2 0
1
0 limsin( ) lim sin( ) 1 giôùi haïn treân lim si
n .
n
n n
n n x
t t x
x

b) Xét 0 0 0
1
sin
( ) (0) 1
lim lim limsin limsin .
0
x x x t
x
f x f x
t
x x x
Giới hạn trên không tồn tại nên hàm số trên không khả vi tại x=0 khi n=1.
Bài tập tương tự:
Bài 2, 21, 22.
Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm ngược
Sử dụng công thức trang 90 /
/
1
y
x
x
y
, khi sử dụng công thức này cần kiểm tra điều kiện:
1.
y
là hàm đơn điệu tăng (có thể chứng minh thông qua đạo hàm)
2. /
0,
x
y
x D
(
:
D
miền xác định của hàm số y).
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số ngược
ln
y x x
MXĐ:
0
x
Ta có:
/ /
1
1 0 0
y y x y
x
là hàm đơn điệu tăng.
/
0 x (0,+ )
x
y
.
Suy ra
/
y
x
và /
/
1 1
1
1
1
y
x
x
xx
y
x
.
Bài tập tương tự:
Bài 6b
Dạng 4: Tính đạo hàm của hàm ẩn
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của hàm số cos( )
x
x y xe
, biết
y
là hàm theo biến
x
cos( )
x
x y xe
Thái Trần Phương Thảo 3
/
/
/
sin( )( )
sin( )(1 )
sin( )
sin( )
x x
x x
x
x x
x
x y x y e xe
x y y e xe
e xe x y
yx y
Ta có:
/ /
1
1 0 0
y y x y
x
là hàm đơn điệu tăng.
/
0 x (0,+ )
x
y
.
Suy ra
/
y
x
và /
/
1 1
1
1
1
y
x
x
xx
y
x
.
Bài tập tương tự:
Bài 7, 8, 11
Một số lưu ý khi giải bài tập 8 và 11
Cho đường cong
( )
y f x
trong đó
f
là hàm số có đạo hàm và liên tục. Khi đó, phương
trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm
0 0
( , )
x y
có dạng
/
0 0
( )
x
y y y x x
phương trình pháp tuyến tại
0 0
( , )
x y
có dạng
0 0
/
1
( )
x
y y x x
y
Dạng 5: Đạo hàm – vi phân cấp cao
Thái Trần Phương Thảo 4
( )
( )
1
( )
( ) 1
( )
1. ( ) .( 1)...( 1)( )
1 1
2. ( 1) ! ( )
3. .
( 1)!
4. ln ( 1)
5. sin( ) sin 2
6. cos(
nn
n
n
n
n
ax n ax
nn
n
nn
Ñaïo haøm caáp cao cuûa moät soá haøm thö
ôøng gaëp
x a n x a
n
x a x a
e a e
n
xx
ax a ax n
( )
) cos 2
nn
ax a ax n
Phương pháp tính đạo hàm cấp cao:
1. Sử dụng đạo hàm cấp cao của một số hàm đã biết.
2. Phân tích thành tổng các hàm đơn giản.
3. Phân tích thành hai hàm
.
f g
trong đó
f
là hàm đa thức,
g
là một hàm đã biết rồi sử
dụng công thức Leibnitz.
4. Sử dụng khai triển Taylor, Maclaurint.
Ví dụ 5.
(100) 99 100
100
99!
(ln(2 3)) ( 1) .2
(2 3)
xx
.
Ví dụ 6. Tính ( )
( ),
n
y x
biết 2
1
4
y
x
.
2
1 1 1 1 1
( 2)( 2) 4 2 2
4
yx x x x
x
Sử dụng công thức
( )
1
1 1
( 1) !
( )
n
n
n
n
x a x a
( )
1 1
( 1) ! 1 1
4( 2) ( 2)
n
n
n n
n
yx x
.
Ví dụ 7. Tính
(100)
y biết 2
(3 1) ln
y x x
.
2
( ) 3 1,
f x x
( ) ln
g x x
(100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98) 100 (100) (0
)
100 100 100 100
( ) .
fg C f g C f g C f g C f g
Thái Trần Phương Thảo 5
Vì ( )
( ) 0,
k
f
2
k
nên
(100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98)
100 100 100
( ) .
fg C f g C f g C f g
Ta có :
(100) 99
100
99!
ln ( 1)x
x
(99) 98
99
98!
ln ( 1)x
x
(98) 97
98
97!
ln ( 1)x
x
(100) 2
100 99 98
99! 98! 97!
1.(3 1) 100.6 . 4950.6. .
y x x
x x x
Bài tập tương tự:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
(100)
(sin(2 3))
x
b)
(100)
(cos(2 3))
x
c)
( )
2
sin
n
x
d)
(100)
(2 3)cos2x x
Bài 5
Dạng 6: Khai triển Taylor – Maclaurint
Sinh viên cần phân biệt phần dư viết dưới dạng Peano và phần dư viết dưới dạng
Lagrange.
Phần dư là một vô cùng bé bậc cao hơn 0
( )
n
x x
Khi ta không quan tâm đến phần dư ta sử dụng phần dư dạng Peano
0
( ) ( )
n
n
R x o x x .
Khi ta cần đánh giá phần dư ta sử dụng phần dư dạng Lagrange
( 1)
1
0 0
0
( ( ))
( ) ( ) ,
( 1)!
n
n
n
f x x x
R x x x
n
(0 1)
.
Ví dụ 8. Tính gần đúng
cos(0.2)
với độ chính xác là
7
10
.