TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BTC ÔN THI HỌC KỲ 1 KHÓA 2016
BÀI TẬP VÍ DỤ
VI TÍCH PHÂN 1B
CHƯƠNG: TÍCH PHÂN
Lâm Cương Đạt
Cập nhật: 02/02/2017
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Bài tập tích phân suy rộng
Bài 1: Tính tích phân suy rộng sau
3
3
1dx
x2
Đây là tích phân suy rộng loại 1.
t
t
33
33
tt
3
t
t
t
1 1 2
dx lim dx lim x2
x 2 x 2
22
lim t 2 3 2
22
khi t 0 lim 0
t 2 t 2
22
lim 2
t 2 3 2



























Vậy tích phân hội tụ về 2
Bài 2: Tính tích phân suy rộng sau
22
0
x.arctanx dx
(1 x )
Dễ thấy đây là tích phân suy rộng loại 1
t
2 2 2 2
00
t
x.arctanx x.arctanx
dx lim dx
(1 x ) (1 x )



Ta tìm (arctan x)’, đặt
22
y tan x y' 1 tan x 1 y
Theo cách tìm đạo hàm hàm ngược (arctan x là hàm ngược của tanx
x ( , )
22

)
2
11
arctan(tan x) ' arctan(y)' y' 1 y
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Hay
.
Đặt
2
dx
u arctan x du 1x
và
x tan u
Tích phân trở thành
arctan t arctan t arctan t
2
arctan 0 arctan 0 arctan 0
t t t
u.tan u 1
lim du lim u.sin u .cos u du lim u.sin 2u du
1 tan u 2
  

Ta có cách tìm
b
ax.sin 2x dx
Đặt
du dx
ux
1
dv sin 2x dx chon v cos 2x
2


Ta có
bb
b
a
aa
u.dv u.v v.du

b
bb
aa
a
b b b
a a a
11
x.sin x dx cos 2x .x cos 2x dx
22
1 1 1
cos 2x .x sin 2x sin 2x 2cos 2x
2 4 4






Vậy
arctan t
arctan 0
t
1lim u.sin 2u du
2
arctan t
t
arctan 0
t
1
lim sin(2u) 2x cos(2u)
8
1
lim sin(2arctan t) 2.arctan t.cos(2arctan t) sin 0 2.0.cos0
8






t
Do khi t arctan t 2
1
lim sin(2arctan t) 2.arctan t.cos(2arctan t) sin 0 2.0.cos0
88

Vậy tích phân hội tụ về
8
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Bài 3: Tính tích phân suy rộng sau
14
4
2
dx
x2
Ta thấy đây là tích phân suy rộng loại 2
14 14
44
2t
t2
dx dx
lim
x 2 x 2


14
3 3 3
44
4
t 2 t 2
t
4 4 32
lim x 2 lim 14 2 t 2
3 3 3



Bài 4: Xác định tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ
5
0
xdx
x2
Ta thấy hàm số
x
f (x) x2
không xác định tại x=2
Vậy đây là tích phân suy rộng loại 2
Ta có đặt
dt dx
t x 2 x t 2

b2
b b 2 b 2
a a 2 a 2 a2
b
a
t2
x.dx 2
dt 1 dt t 2ln t
x 2 t t
x 2 2.ln x 2









5 2 5 t 5
0 0 2 0 t
t 2 t 2
t5
0t
t 2 t 2
t 2 t 2
xdx xdx xdx xdx xdx
lim lim
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
lim x 2 2ln (x 2) lim x 2 2 ln(x 2)
lim t 2ln t 2 2ln 2 lim 5 2ln 3 t 2ln t 2
Ta có
t2
t2
lim t 2
t2
khi t 2 0
t2 lim t 2




 
*xem thêm đồ thị hàm số y = lnx
Vậy tích phân suy rộng phân kỳ
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Bài 5: Tính tích phân suy rộng sau
1
x
0
2
edx
x

Ta thấy tích phân vừa có cận từ

vừa có cận tại 0 mà tại đó hàm số
1
x
2
e
f (x) x
không
xác định, vậy đây là sự kết hợp của tích phân loại 1 và tích phân loại 2
Đặt
2
1 dx
t dt
xx
Vậy
11
1
xb
btt
b
1
2
a1
aa
edx e dt e
x

Tích phân trở thành
11 k
1
xx
0k x
22
t
t k 0 t k0
t
11
tk
tk0
ee
dx lim lim dx lim lim e
xx
lim lim e e
  





















Khi
1
0
t
1
t 0 e e 1
t

Khi
1
k
1
k 0 e e 0
k


*xem thêm đồ thị
x
ye
Vậy tích phân hội tụ về 1