NGUYN ðC TUN
T ÔN LUYN THI



Hà ni, 1 - 2005
T ôn luyn thi ñi hc môn toán
Nguyn ðc Tun lp 44C1 ði hc Thy li Hà ni
1
Chương 1: Phương trình và bt phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BC NHT VÀ BC HAI
I. Cách gii
1) Phương trình bc nht: ax + b = 0, a,b
∈
IR.
• Nu a
≠
0 thì phương trình có nghim duy nht x = -
a
b.
• Nu a = 0, b
≠
0 thì phương trình vô nghim.
•
Nu a = b = 0 thì phương trình nghim ñúng vi mi x
∈
IR.
2) Phương trình bc hai: ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0.
•
Nu
∆
= b
2
– 4ac < 0 phương trình vô nghim.
•
Nu
∆
= 0 phương trình có nghim kép
=
21
xx -
a
2
b
.
•
N
u
∆
> 0 ph
ươ
ng trình có hai nghi
m phân bi
t
=
2,1
x
a
2
b∆±− .
II. ðnh lí Viét và h qu v du các nghim
1) ðnh lí Viét
: N
u ph
ươ
ng trình ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0 có hai nghi
m
21
x,x thì
S =
=
21
xx -
a
b
và P =
=
21
x.x
a
c
.
2) H qu:
Ph
ươ
ng trình b
c hai ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0 có hai nghi
m:
Trái d
u
⇔
0
a
c< Cùng d
u
⇔
>
≥∆
0
a
c
0
Cùng dương
>−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0
Cùng âm
<−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0
III. ðnh lí v du ca tam thc bc hai
Cho tam thc bc hai f(x) = ax
2
+ bx + c, a
≠
0 ta có
1. ðnh lí thun:
• Nu
∆
= b
2
– 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 vi
∀
x.
•
Nu
∆
= 0 thì a.f(x) > 0 vi
∀
x
-
a
2
b.
•
Nu
∆
> 0 khi ñó f(x) có hai nghim phân bit x
1
< x
2
và
a.f(x) > 0 vi x ngoài ]x;x[
21
.
a.f(x) < 0 vi
21
xxx
.
2. ðnh lí ño: Nu tn ti s
α
sao cho a.f(
α
) < 0 thì tam thc có hai nghim phân bit
và s
α
nm trong khong hai nghim ñó:
21
xx
α
<
.
T ôn luyn thi ñi hc môn toán
Nguyn ðc Tun lp 44C1 ði hc Thy li Hà ni
2
IV. ng dng
1. ðiu kin ñ f(x) = ax
2
+ bx + c không ñi du vi mi x
f(x) > 0 vi
∀
x
<∆
>
>
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x)
0 v
i
∀
x
≤∆
>
≥
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x) < 0 v
i
∀
x
<∆
<
<
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x)
≤
0 v
i
∀
x
≤∆
<
≤
==
⇔
0
0a
0c
0ba
2. So sánh nghim tam thc bc hai vi s thc
α
•
ð
i
u ki
n
ñ
f(x) có hai nghi
m phân bi
t và
21
xx
<
α
<
là: a.f(
α
) < 0.
•
ð
i
u ki
n
ñ
f(x) có hai nghi
m phân bi
t và
α
n
m ngoài kho
ng hai
nghi
m:
>α
>∆
0)(f.a
0
- N
u
α
n
m bên ph
i hai nghi
m:
α
<
<
21
xx
⇒
<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
- N
u
α
n
m bên trái hai nghi
m:
21
xx
<
<
α
>−=
>α
>∆
⇒
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
•
ð
i
u ki
n
ñ
f(x) có hai nghi
m phân bi
t và m
t nghi
m n
m trong, m
t nghi
m
n
m ngoài
ñ
o
n [
β
α
;] là: f(
α
).f(
β
) < 0.
3. ðiu kin ñ f(x) có nghim tha mãn x >
α
:
•
Tr
ư
ng h
p 1: f(x) có nghi
m 21
xx
α
<
⇔
a.f(
α
) < 0.
•
Tr
ư
ng h
p 2: f(x) có nghi
m
21
xx
<
α
⇔
<α
>α
≥∆
2
S
0)(f.a
0
•
Tr
ư
ng h
p 3: f(x) có nghi
m
21
xx
<
α
<α
=α
⇔
2
S
0)(f
( Làm t
ươ
ng t
v
i tr
ư
ng h
p x <
α
và khi x
y ra d
u b
ng)
Ngoài ra ta chú ý thêm
ñ
nh lí sau: Gi
s
hàm s
y = f(x) liên t
c. Khi
ñ
ó
ñ
i
u ki
n
ñ
ph
ươ
ng trình f(x) = m có nghi
m là minf(x)
≤
m
≤
maxf(x).
T ôn luyn thi ñi hc môn toán
Nguyn ðc Tun lp 44C1 ði hc Thy li Hà ni
3
Bng tóm tt ñnh lý thun v du ca tam thc bc hai
N
u
0
<
∆
N
u 0
=
∆
N
u 0
>
∆
a.f(x) > 0 v
i
∀
x
a.f(x) > 0 v
i
∀
x
-
a
2
b
a.f(x) > 0 v
i x ngoài ]x;x[
21
a.f(x) < 0 v
i
21
xxx
Bng tóm tt so sánh nghim tam thc bc hai vi s thc
α
ð
i
u ki
n
ñ
f
(x) = ax
2
+ bx + c có hai nghi
m phân bi
t và
α
n
m gi
a kho
ng hai nghi
m
21
xx
α
<
α
n
m ngoài kho
ng hai nghi
m
>α
>∆
0)(f.a
0
α
<
21
xx
α
<
21
xx
a.f(
α
) < 0
<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
>−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
Ví d 1
. Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình 08mx)4m(2x
22
=+++− có 2 nghi
m d
ươ
ng.
Ví d 2
. Xác
ñ
nh a
ñ
bi
u th
c 3a3x)1a(2x)1a(
2
−+−−+ luôn d
ươ
ng
Ví d 3
. Tìm m
ñ
b
t ph
ươ
ng trình
m
2
x
x
2
≥
−
+
nghi
m
ñ
úng v
i m
i x.
Ví d 4
. Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình
m
2
mx
x
2
+
= 0 có hai nghi
m
21
x,x th
a mãn
-1<
21
xx
Ví d 5
. Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình 01m2mx2x
22
=−+− có nghi
m th
a mãn
4xx2
21
≤
−
Ví d 6
. Cho ph
ươ
ng trình 2m3x)2m(x
2
−+++ =0
Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình có hai nghi
m phân bi
t nh
h
ơ
n 2
Ví d 7
. Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình 02mmx2x
2
=++− có nghi
m l
n h
ơ
n 1
Ví d 8.
Tìm m
ñ
ph
ươ
ng trình 02m2m9mx6x
22
=+−+− có nghi
m 3xx
21
≤
≤
T ôn luyn thi ñi hc môn toán
Nguyn ðc Tun lp 44C1 ði hc Thy li Hà ni
4
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CH A GIÁ TR! TUY"T ð#I
I. Phương trình trùng phương
0a,0cbxax
24
≠=++ (1)
ð$
t t =
2
x
0 ph
ươ
ng trình (1) tr
%
thành: at
2
+ bt + c = 0 (2)
•
PT (1) có nghi
m khi và ch
&
khi (2) có ít nh
t m
t nghi
m không âm.
•
PT (1) có
ñ
úng hai nghi
m phân bi
t khi và ch
&
khi (2) có
ñ
úng m
t nghi
m d
ươ
ng.
•
PT (1) có
ñ
úng 3 nghi
m phân bi
t khi và ch
&
khi (2) có m
t nghi
m b
ng 0 và m
t
nghi
m d
ươ
ng.
•
PT (1) có
ñ
úng 4 nghi
m phân bi
t khi và ch
&
khi (2) có hai nghi
m d
ươ
ng phân
bi
t.
Ví d 1
. Cho ph
ươ
ng trình: x
4
+ (1-2m)x
2
+ m
2
– 1 = 0.
a)Tìm các giá tr
c
'
a m
ñ
ph
ươ
ng trình vô nghi
m.
b)Tìm các giá tr
c
'
a m
ñ
ph
ươ
ng trrình có 4 nghi
m phân bi
t.
Ví d 2.
Tìm m sao cho
ñ
th
hàm s
y = x
4
-2(m+4)x
2
+ m
2
+ 8
c
(
t tr
c hoành l
)
n l
ư
t t
i 4
ñ
i
m phân bi
t A, B, C, D v
i AB = BC = CD.
II. Phương trình cha giá tr tuyt ñi
1) Các dng cơ bn:
| a | = b
±=
≥
⇔ba
0b
| a | = | b | ba
±
=
⇔
| a |
≤
b
≤
≥
⇔
22
ba
0b
| a |
b
≥
≥
<
⇔
22 ba
0b
0b
| a |
≥
| b | 22 ba ≥⇔
Ví d 1. Gii phương trình | x
2
– 3x + 2 | - 2x = 1.
Ví d 2. Gii bt phương trình x
2
- | 4x – 5 | < 0.
Ví d 3. Gii và bin lun phương trình | 2x – m | = x.
Ví d 4. Gii phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3.
Ví d 5. Gii và bin lun bt phương trình | 3x
2
-3x – m |
≤
| x
2
– 4x + m |.
2)Phương pháp ñ th:
a) Cách v* ñ th hàm s y = | f(x) | khi ñã bit ñ th hàm s y = f(x).
- Chia ñ th hàm s f(x) ra 2 ph)n: ph)n ñ th nm phía trên trc hoành (1) và
ph)n ñ th nm phía dưi trc hoành (2).
- V* ph)n ñ th ñi xng vi ph)n ñ th (2) qua trc hoành ñưc ph)n ñ th
(3).
- ð th hàm s y = | f(x) | là ñ th gm ph)n ñ th (1) và ph)n ñ th (3) v+a
v*.
b) ðnh lí: S nghim c'a phương trình g(x) = h(m) là s giao ñim c'a ñưng th,ng
nm ngang y = h(m) vi ñ th hàm s y = g(x). Khi g$p phương trình có tham s ta tách riêng
chúng v mt v c'a phương trình ri v* ñ th hàm s y = g(x) và ñưng th,ng y = h(m) ri áp
dng ñnh lí trên ñ bin lun.
Ví d 6. Tìm m ñ phương trình | x
2
– 1 | = m
4
– m
2
+1 có 4 nghim phân bit.
Ví d 7. Bin lun theo m s nghim c'a phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m.