Tài liệu toán " Giải và biện luận phương trình chứa căn "

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

728
lượt xem 174
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu toán " giải và biện luận phương trình chứa căn "', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu toán " Giải và biện luận phương trình chứa căn "

C. GIAÛI VAØ BIEÄN LUAÄN PHÖÔNG TRÌNH . Xeùt x ≥ 1:⇒ x − 1 ≥ 0 ⎧x − 3 ≥ 0 CHÖÙA CAÊN THÖÙC ⎪ (2) ⇔ x 2 − 2x + 4 = x − 3 ⇔ ⎨ 2 2 ⎪x − 2x + 4 = (x − 3) ⎩ ⎧x ≥ 3 I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. ⎧4x = 5 ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 5 1. Caùch giaûi cuõng gioáng nhö giaûi bieän luaän caùc phöông trình ⎩x ≥ 3 ⎪x = 4 (loaïi) ⎩ khaùc. . Xeùt x < 1: x − 1 < 0 : Noùi chung ta phaûi giaûi quyeát 3 vaán ñeà: ⎧−x − 1 ≥ 0 ⎪ * Ñieàu kieän coù nghieäm (2) ⇔ x 2 − 2x + 4 = − x − 1 ⇔ ⎨ 2 2 * Coù bao nhieâu nghieäm ⎪x − 2x + 4 = (x + 1) ⎩ * Nghieäm soá baèng bao nhieâu. ⎧x ≤ 1 ⎪ Giaû söû xeùt phöông trình: A = B (1) ⇔⎨ 3 . Toùm laïi phöông trình cho voâ nghieäm . ⎧B ≥ 0 (2) ⎪x = 4 (loaïi) ⎩ ⎪ (1) ⇔ ⎨ 2 ⎪A = B (3) ⎩ 2. Xeùt x ≥ 1: (1) ⇔ x 2 − 2x + m 2 = x − 1 − m Böôùc 1: Giaûi phöông trình (3). Ñieàu kieän coù nghieäm cuûa (3) vaø ⎧x − 1 − m ≥ 0 ⎪ ⎧x ≥ 1 + m soá nghieäm . ⇔⎨ 2 2 2 ⇔⎨ ⎪ x − 2x + m = (x − 1 − m) ⎩ ⎩2mx = 2m + 1 (3) Böôùc 2: Choïn nghieäm thoûa ñieàu kieän (2), coù nhieàu caùch, toång quaùt ta coù theå theá töøng nghieäm cuûa (2) vaøo (1) ñeå ñöôïc ñieàu kieän nhaän + Neáu m = 0: (3) VN 2m + 1 nghieäm ñoù. Sau cuøng ta phaûi toång hôïp caùc nghieäm treân. + Neáu m ≠ 0 : (3) ⇔ x = 2. Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : 2m Neáu phöông trình coù daïng f(x) = k (vôùi k khoâng phuï thuoäc vaøo x) 2m + 1 −2m 2 + 1 vì x ≥ 1 + m ⇔ ≥1+ m ⇔ ≥0 ta giaûi baèng khaûo saùt haøm. 2m 2m 2 2 2m + 1 II. CAÙC VÍ DUÏ. ⇔m≤− ∨0 0 2 2 2m Ví duï 1: 2 2m + 1 Vaäy 0 < m ≤ nhaän nghieäm x = Cho phöông trình : x 2 − 2x + m 2 = x − 1 − m (1) 2 2m 2 1. Giaûi phöông trình (1) vôùi m = 2 Khi m ≤ 0 ∨ m > : voâ nghieäm 2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình (1) theo m. 2 (ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1996). . Xeùt x < 1: (1) ⇔ x 2 − 2x + m 2 = 1 − x − m Giaûi ⎧ x 2 − 2x + m 2 = (1 − x − m)2 ⎪ ⎧2mx = 2m − 1 2 ⇔⎨ ⇔⎨ (4) 1. Vôùi m = 2: (1) ⇔ x − 2x + 4 = x − 1 − 2 (2) ⎪1 − x − m ≥ 0 ⎩x ≤ 1 − m ⎩ + Neáu m = 0: (4) VN 143 144
2m − 1 1 + Neáu m ≠ 0 : (4) ⇔ x = . Neáu 0 < m < ∨ m > 3 : (*) coù 2 nghieäm 2m 3 2m − 1 2m 2 − 1 1 + m ± −3m 2 + 10m − 3 Vì x ≤ 1 − m ⇔ ≤ 1− m ⇔ ≤0 x= 2m 2m 1− m 2 2 . m = 3 ⇒ x1 = x2 = - 1 ⇔m≤− ∨0 : VN 3x 2 − 1 ⎪ 2 = 2x − 1 ⇔ ⎨ 3x 2 − 1 − 2x + 1 2x − 1 ⎪ =0 Ví duï 2: ⎩ 2x − 1 Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá m phöông trình sau: ⎧ 1 ⎧ 1 1 1− m 1+ m ⎪x > 2 ⎪x > 2 x+ = + (*) ⎪ ⎪ x 1+ m 1− m ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⎪ 3x − 2x = 0 ⎪x = 0 ∨ x = 2 ⇔ x = 2 (CAO ÑAÚNG HAÛI QUAN NAÊM 1997) ⎪ 2x − 1 ⎪ ⎩ 3 3 ⎩ Giaûi Ñieàu kieän: x ≠ 0, m > 0, m ≠ 1 . 2. Tìm a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát: 3x 2 − 1 3x 2 − 2x 1 (1 − m )2 + (1 + m )2 1 1+ m = 2x − 1 + ax ⇔ = ax (*) (*) ⇔ x + = ⇔x+ = 2x − 1 2x − 1 x (1 + m )(1 − m ) x 1− m 0 ⇔ (1 − m)x 2 − (1 + m)x + 1 − m = 0 Nhaän xeùt vôùi x = 0: (*) ⇔ = 0 (voâ lyù) −1 ∆ = (1 + m)2 − (1 − m)2 = −3m 2 + 10m − 3 ⇒ x = 0 khoâng laø nghieäm cuûa (*) 1 3x − 2 ∆ = 0 ⇔ m = 3∨ m = ⇒ x ≠ 0 : (*) ⇔ =a 3 2x − 1 1 3x − 2 ⎛ 1⎞ 3x − 1 . Neáu < m < 3 : (*)VN Ñaët f(x) = ⎜ x > 2 ⎟ ⇒ f '(x) = 3 2x − 1 ⎝ ⎠ (2x − 1) 2x − 1 145 146
1 1 1 f '(x) = 0 ⇔ x = (khoâng thoûa x > )⇒ x = (loaïi) III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. 3 2 3 1 a2 a ⇒ f '(x) > 0 khi x > 3.1. Cho phöông trình: x2 + x + =x− (1) 2 (x − 1) 2 x −1 BBT: 1. Giaûi phöông trình (1) khi a = 1 2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình (1) theo tham soá a. (ÑH Daân Laäp Ngoaïi Ngöõ Vaø Tin Hoïc naêm 1998). 3.2. 1. Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá: BBT cho ∀a ∈ R , phöông trình ñaõ cho luoân coù nghieäm duy nhaát. y = x −1 + 3 − x Ví duï 4: Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa a thì phöông trình: 3 1 − x + 3 1 + x = a coù nghieäm . 2. Tìm ñieàu kieän cuûa tham soá thöïc m ñeå phöông trình sau coù nghieäm: (ÑH Ngoaïi Thöông TPHCM naêm 1998 Khoái D) x − 1 + 3 − x − (x − 1)(3 − x) = m Giaûi (ÑH Y TPHCM naêm 1999). Ñaët f(x) = 3 1 − x + 3 1 + x lim x →∞ f(x) = lim x→∞ ( 3 1 − x + 3 1 + x ) 3.3. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát. 1− x +1+ x = lim x →∞ =0 1 − x2 + 2 3 1 − x2 = a 3 ( 3 1 − x )2 − 1 − x 2 + ( 3 1 + x ) 2 (ÑH Giao Thoâng Vaän Taûi TPHCM naêm 1999). −1 −1 − 3 (1 + x)2 + 3 (1 − x)2 f '(x) = + = 3 3 (1 − x)2 3 3 (1 + x)2 3 3 (1 − x)2 (1 + x)2 3.4. Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá m phöông trình : x 2 − 2mx + 1 + 2 = m f '(x) = 0 ⇔ (1 − x)2 = (1 + x)2 ⇔ x = 0 BBT: 3.5. Ñònh theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : 4 x 4 + 4x + m + x 4 + 4x + m = 6 4 3.6. Cho phöông trình : x + 4 1 − x + x + 1 − x = m (*) 1. Giaûi phöông trình (*) khi m = 2 + 2 2 BBT cho ta phöông trình coù nghieäm khi 0 < a ≤ 2 2. Ñònh m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm duy nhaát. 147 148
3.7. Giaûi phöông trình : HÖÔÙNG DAÃN VAØ TOÙM TAÉT 1 + 1 − x ⎡ (1 + x) − (1 − x) ⎤ = 2 + 1 − x 2 3 3 2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ a2 a 3.1. x2 + x + 2 =x− (x − 1) x −1 ⎧ a ⎧ a ⎪x − ≥0 ⎪x ≥ Ñieàu kieän : ⎨ x −1 ⇔⎨ x − 1 (1) ⎪x ≠ 1 ⎩ ⎪x ≠ 1 ⎩ a2 a2 2ax (1) ⇔ x 2 + x + 2 = x2 + 2 − (x − 1) (x − 1) x −1 a x(x − 1 + 2a) ⎡x = 0 ⇔ x + 2x =0⇔ =0 ⇔⎢ x −1 x −1 ⎣ x = 1 − 2a 1. Khi a = 1: x = 0, x = - 1 1 x2 − x − 1 1− 5 1+ 5 (1) ⇔ x ≥ ⇔ ≥0⇔ ≤ x < 1∨ x ≥ x −1 x −1 2 2 ⇒ nghieäm cuûa phöông trình : x = 0 2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : a a x2 − x − a Ñieàu kieän x ≥ ⇔x− ≥ 0 ⇔ f(x) = ≥0 x −1 x −1 x −1 (1 − 2a)2 − 1 + 2a − a a(3 − 4a) f(0) = a, f(1 − 2a) = = 1 − 2a − 1 2a BBT: . a < 0: 1 nghieäm . a = 0: 1 nghieäm 149 150
3 BBT: . 0 : 1 nghieäm . 4 BBT ⇒ (*) coù nghieäm ⇔ 1 ≤ m ≤ 2 3.2. ⎧x − 1 ≥ 0 3.3. 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = a (1) MXD: D = [ −1,1] 1. y = x − 1 + 3 − x Ñieàu kieän ⎨ ⇔1≤ x ≤ 3 ⎩3 − x ≥ 0 2 3 2 Mxñ: D = [1,3] Ñaët f(x) = 1 − x + 2 1 − x 1 1 3 − x − x −1 −2x + 4 −x x(6x 2 − 7) y' = − = = ⇒ f '(x) = − 6x 1 − x 2 = 2 x − 1 2 3 − x 2 x − 1 3 − x 2 x − 1 3 − x ( 3 − x + x − 1) 1 − x2 1 − x2 y' = 0 ⇔ x = 2 7 f '(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ± BBT: 6 BBT: ⇒ Giaù trò lôùn nhaát laø g(2) = 2 Giaù trò nhoû nhaát laø g(1) = g(3) = 2 (1) coù 1 nghieäm duy nhaát ⇔ a = 3 2. x − 1 + 3 − x − (x − 1)(3 − x) = m (*) 3.4. x 2 − 2mx + 1 + 2 = m (1) Ñaët t = x − 1 + 3 − x ⇒ 2 ≤ t ≤ 2 (theo caâu 1) 2 2 (1) ⇔ x − 2mx + 1 = (m − 2) vaø m ≥ 2 t 2 = x − 1 + 3 − x + 2 (x − 1)(3 − x) = 2 + 2 (x − 1)(3 − x) ⇔ x 2 − 2mx − (m 2 − 4m + 3) = 0 vaø m ≥ 2 t2 − 2 ⇒ (x − 1)(3 − x) = ∆ ' = m 2 + m 2 − 4m + 3 = 2(m − 1)2 + 1 > 0, ∀m 2 2 ⎛ t −2⎞ 1 Vaäy: m < 2: phöông trình (1) VN (*) ⇔ t − ⎜ = m ⇔ f(t) = − t 2 + t + 1 = m ⎜ 2 ⎟ ⎟ 2 . m ≥ 2 : phöông trình (1) coù 2 nghieäm ⎝ ⎠ x1 = m + 2m 2 − 4m + 3 , x 2 = m − 2m 2 − 4m + 3 f '(t) = −t + 1 , f '(t) = 0 ⇔ t = 1 151 152
3.5. x 4 + 4x + m + 4 x 4 + 4x + m = 6 (1) 2. Giaû söû x0 laø nghieäm cuûa phöông trình (1) thì 1 - x0 cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (1), neân ñeå (1) coù nghieäm duy nhaát ta phaûi coù: Ñaët t = 4 x 4 + 4x + m (t ≥ 0) 1 x0 = 1 − x0 ⇔ x0 = (1) ⇔ t 2 + t − 6 = 0 ⇔ t = 2 2 4 t = 2 : x 4 + 4x + m = 2 ⇔ x 4 + 4x + m = 16 1 1 1 1 1 Thay x = vaøo (1) : 4 + 4 + + =m ⇒ 2+ 2 2 =m 2 2 2 2 2 ⇔ f(x) = x 4 + 4x = 16 − m Thöû laïi: vôùi m = 2 + 2 2 theo caâu 1 thì phöông trình coù nghieäm f(x) lieân tuïc treân R, f '(x) = 4x 2 + 4 1 f '(x) = 0 ⇔ x = −1 ⇒ f(−1) = −3 duy nhaát x = . 2 BBT: Vaäy m = 2 + 2 2 thì (1) coù nghieäm duy nhaát. 3.7. Ñieàu kieän −1 ≤ x ≤ 1 (1 − x)3 − (1 − x)3 = ( 1 + x )3 − ( 1 − x )3 Töø BBT ta suy ra: . 16 − m < −3 ⇔ m > 19 : (1)VN = ( 1 + x − 1 − x )(1 + x + 1 − x + 1 − x 2 ) . 16 − m = −3 ⇔ m = 19 : (1) coù 1 nghieäm x = - 1 = ( 1 + x − 1 − x )(2 + 1 − x 2 ) . . 16 − m > −3 ⇔ m < 19 : (1) coù 2 nghieäm : x1 < −1 < x 2 Phöông trình cho ⇔ 1 + 1 − x 2 ( 1 + x − 1 − x ) 3.6. 4 x + 4 1 − x + x + 1 − x = m (1) ⇔ 1 + 1 − x2 ( 1 + x − 1 − x ) = 1 1. Khi m = 2 + 2 2 ⇔ 2 1 + 1 − x2 ( 1 + x − 1 − x ) = 2 (1) ⇔ 4 x + 4 1 − x + x + 1 − x = 2 + 2 2 (2) ⇔ 2 + 2 1 − x2 ( 1 + x − 1 − x ) = 2 AÙp duïng baát ñaúng thöùc BCS, ta coù: x + 1 − x ≤ 2(x + 1 − x) = 2 ⇔ ( 1 + x + 1 − x )2 ( 1 + x − 1 − x ) = 2 4 ⇔ ( 1 + x + 1 − x )( 1 + x − 1 − x ) = 2 x + 4 1 − x ≤ 2( x + 1 − x ) ≤ 2 2 2 ⇒ 4 x + 4 1− x + x + 1− x ≤ 2 + 2 2 ⇔ 1+ x −1+ x = 2 ⇔ x = ∈ [ −1,1] . 2 ⎧ x = 1− x ⎪ Daáu "=" xaûy ra ⇔ ⎨ 1 4 4 ⎪ x = 1− x ⇔ x = 1− x ⇔ x = ⎩ 2 153 154