TIỀU LUẬN PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

Chia sẻ: Dieu Huong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

266
lượt xem 71
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mặc dù khái niệm Wavelet đã ra đời cách đây 10 năm, nhưng có rất ít bài báo hay cuốn sách nào viết về nó, và chủ yếu chỉ là các nhà toán học viết ra, với rất ít sự tham khảo hay trợ giúp, vì nó là hoàn toàn mới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TIỀU LUẬN PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG KHOA QUỐC TẾ VÀ ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC  Báo cáo chuyên đề môn học XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ NÂNG CAO Nội dung báo cáo PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. Nguyễn Ngọc Minh. NHÓM 9: Đoàn Minh Quân, Nguyễn Kim Dung, Nguyễn Hữu Trường, Hà Thị Lan Anh. LỚP: CH10 ĐT3 Hà nội, tháng 05- 2011
PHẦN 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT WAVELET Mặc dù khái niệm Wavelet đã ra đời cách đây 10 năm, nhưng có rất ít bài báo hay cuốn sách nào viết về nó, và chủ yếu chỉ là các nhà toán học viết ra, v ới rất ít s ự tham khảo hay trợ giúp, vì nó là hoàn toàn mới. Trước hết chúng ta cần biết tại sao phải biến đổi và bi ến đ ổi th ực ch ất là gì? Trong toán học, phép biến đổi lên một tín hiệu là để có được các thông tin khác, mà tín hi ệu ban đầu (hay còn gọi là tín hiệu thô) không có. Trong ph ần nghiên c ứu này, ta gi ả thuyết tín hiệu miền thời gian là tín hiệu thô, còn tín hiệu đã được bi ến đ ổi qua các công cụ toán học là tín hiệu được xử lý. Có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng, song phép biến đổi Fourier là phép biến đổi được ứng dụng rộng rãi nhất. Hầu hết các tín hiệu mà chúng ta đo được đều là tín hi ệu trong mi ền th ời gian,và khi chúng ta biểu diễn lên đồ thị, thì luôn có một trục là th ời gian, còn tr ục kia là đ ộ lớn.Tuy nhiên trong xử lý tín hiệu thì cách biểu diễn đó không ph ải là t ối ưu. Và trong nhiều trường hợp, thì thành phần tần số lại là quan trọng để phân biệt các tín hiệu với nhau, người ta dùng phổ tần số để biểu diễn các thành phần tần số có trong tín hiệu.
Ta hãy xem xét hình vẽ dưới đây biểu diễn 3 tín hiệu tương ứng 3 tần số khác nhau Vậy làm thế nào để đo được tần số và làm thế nào để tìm ra các thành ph ần t ần s ố trong tín hiệu? Câu trả lời chính là phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi FOURIER cho ta biết độ lớn tín hiệu trong mỗi thành phần tần số. Xác định thành phần tần số có ý nghĩa quan trọng trong kỹ thuật, ví dụ trong y học, dựa vào thành phần tần số đo được trong nhịp tim, mà ta biết được người đó có kh ỏe hay không? Tuy nhiên có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng trong kỹ thu ật và toán h ọc, nh ư biến đổi Hilbert, biến đổi Fourier thời gian ngắn, phân bố Wigner , biến đổi Radon, … Mọi phép biến đổi đều có những vùng ứng dụng riêng với nh ững ưu nh ược đi ểm khác nhau. Phép biến đổi Wavelet mà ta đang nghiên cứu cũng không là ngoại lệ. Để biết sự cần thiết của phép biến đổi Wavelet, chúng ta hãy xem qua phép bi ến đ ổi Fourier. FT là phép biến đổi 2 chiều giữa tín hiệu thô và tín hi ệu x ử lý. Ta s ẽ không thể biết được thời gian trong tín hiệu xử lí, và cũng không thể biết được tần số trong miền tín hiệu thô. Vậy một câu hỏi đặt ra là ta có c ần bi ết đ ến c ả t ần s ố và c ả th ời
gian cùng một lúc không? Nếu đối với các quá trình dừng thì việc này là không c ần thiết, vì ở quá trình dừng, thành phần tần số là không thay đổi theo th ời gian. Ta hãy xem ví dụ dưới đây: Đây là biến đổi Fourier của nó: Khác với tín hiệu ở hình 1.5, ta xét tín hiệu khác không dừng đ ược minh h ọa d ưới đây:
Lại xét tiếp một ví dụ khác có 4 thành phần tần số ở 4 khoảng th ời gian khác nhau, do đó đây cũng không phải là tín hiệu dừng. Và biến đổi FT của nó có dạng:
Ở đây có những đoạn gợn sóng là do sự thay đổi t ần s ố đ ột ngột. Ta th ấy tín hi ệu ở thành phần phổ cao thì có biên độ lớn, còn thành phần phổ thấp thì có biên độ nhỏ. So sánh qua hình ta thấy rằng cả hai tín hiệu khác nhau ở miền thời gian lại t ương tự nhau ở miền tần số. Do đó, FT không phù hợp đối với các tín hiệu không dừng. Biến đổi Wavelet khắc phục nhược điểm này, nó cho ta mối liên h ệ giữa mi ền tần số và miền thời gian đồng thời. Giả sử ta cho tín hiệu qua một hệ thống các bộ lọc thông cao và bộ lọc thông thấp như mô tả ở sơ đồ H1.1 dưới đây:
H1.1: Hệ thống các bộ lọc Giả sử ta có tín hiệu có tần số lên tới 1000Hz, sau khi đi qua h ệ th ống nh ư s ơ đ ồ trên, ta sẽ thu được 4 vùng tần số là 0-125 Hz, 125-250 Hz, 250-500 Hz, và 500-1000 Hz. Như vậy, ta thu được một tập các tín hiệu con có băng t ần khác nhau t ừ m ột tín hiệu ban đầu. Nếu ta biểu diễn chúng trên đồ thị 3D thì s ẽ có thêm m ột tr ục th ời gian cho từng tín hiệu con. Chú ý rằng ta sẽ không biết được th ời gian t ức th ời, nhưng ta biết được khoảng thời gian của từng tín hiệu con đó. Biến đổi Wavelet đưa ra giải pháp linh hoạt nh ư sau: thành ph ần tín hi ệu t ần s ố cao sẽ phân giải tốt hơn trong miền thời gian, còn thành ph ần tín hi ệu tần s ố th ấp, s ẽ phân giải tốt hơn ở miền tần số. Chúng ta hãy xét sơ đồ lưới dưới đây: f ^ |******************************************* continuous |* * * * * * * * * * * * * * * wavelet transform |* * * * * * * |* * * * |* * --------------------------------------------> time Lý giải sơ đồ như sau: ở phía trên cùng của trục tần số, ta có nhi ều mẫu tín hi ệu, tương ứng với những khoảng thời gian nhỏ, hay nói cách khác là ở thành phần tần số
cao sẽ phân giải tốt hơn ở miền thời gian. Còn ở dưới đáy trục tần số, ta có rất ít điểm tín hiệu, do đó sẽ khó phân giải tốt trong miền thời gian. ^ frequency | | | | ******************************************************* | | | | * * * * * * * * * * * * * * * * * * * discrete time | wavelet transform | * * * * * * * * * * | | * * * * * | * * * |----------------------------------------------------------> time Trong trường hợp thời gian rời rạc, cũng tương tự như trên. Tuy nhiên chú ý rằng ở nhũng thành phần tần số cao, thì khoảng cách giữa các chấm điểm cũng nhỏ hơn. Dưới đây là ví dụ về biến đổi Wavelet liên tục của tín hiệu hình sin có 2 thành ph ần tần số ở hai thời điểm khác nhau: Biến đổi Wavelet liên tục của tín hiệu trên có dạng như sau:
Chú ý là trục tần số được biểu diễn bởi nhãn scale. Đ ịnh nghĩa scale s ẽ đ ược nói rõ hơn ở phần sau, và trong trường hợp này thì scale là ngh ịch đ ảo c ủa t ần s ố. M ức scale cao tương ứng tần số thấp, mức scale thấp tương ứng tần số cao.
PHẦN 2 PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC Trước hết ta hãy nói tới các hàm cơ bản trong chuyển đổi tín hiệu. Trong biến đổi Fourier, chuỗi Fourier lượng giác là một công c ụ c ực m ạnh được sử dụng trong cả hai trường hợp rời rạc và liên tục nhưng cũng có nh ược đi ểm đáng kể, đó là các hàm cơ bản eikt = cos kt +i sin kt xác định và liên tục trên toàn đoạn [ −π; π] , do đó không thích nghi tốt với các tín hiệu được địa phương hóa, trong đó ý nghĩa của dữ liệu chỉ tập trung trong miền tương đối nhỏ. Thật vậy, ví dụ trường hợp hàm Dirac δ(t ) có giá trị tập trung tại t = 0 . Do đó ta có các hệ số Fourier π 1 1 ck = δ(t )e −ikt dt = 2π 2π −π
và chuỗi Fourier tương ứng 1 2π k =− eikt = 1 2π ( ... + e−2it + e −it + 1 + eit + e 2it + ... ) làm mất hoàn toàn tính chất địa phương chỉ tập trung giá trị tại x = 0 của hàm Dirac. Vì vậy cần xây dựng một hệ các hàm trực giao có đủ các tính chất tốt như h ệ các hàm lượng giác Fourier, đồng thời chuyển tải được tính chất địa ph ương hóa c ủa các tín hiệu. Hệ các hàm cần tìm là các hàm wavelet. Giống như các hàm lượng giác, các hàm Wavelet có bản sao rời rạc nhận được bằng cách lấy mẫu. Phép biến đổi wavelet rời rạc có thể tính toán một cách nhanh chóng, do dó rất thuận lợi khi xử lý các tín hiệu phức tạp và các dữ liệu ảnh nhi ều chiều. Chúng ta bắt đầu với 4 hàm wavelet cơ bản được Alphré Haar (nhà toán h ọc Hungary) giới thiệu năm 1910. Hình 2.1: Bốn hàm Haar wavelet
Hàm Haar wavelet thứ nhất gọi là hàm scaling (scaling function), xác định như sau ϕ1 (t ) = ϕ(t ) 1 , 0 t 1 , Hàm Haar wavelet thứ hai gọi là wavelet mẹ (mother wavelet) 1 0 < t < 1/ 2 ϕ2 (t ) = ω(t ) = −1 1/ 2 < t < 1 Giá trị của hàm ω(t ) tại những điểm rời rạc không quan trọng lắm, nhưng tương 1 tự trường hợp khai triển Fourier ta quy ước cho ω(t ) = 0 tại các điểm t = 0, ,1 . 2 Hàm Haar wavelet thứ ba và hàm Haar wavelet thứ tư là dạng nén của hàm wavelet mẹ, được gọi là các hàm wavelet con (daughter wavelet), xác định như sau 1 0 < t < 1/ 4 0 0 < t < 1/ 2 ϕ3 (t ) = −1 1/ 4 < t < 1/ 2 ϕ4 (t ) = 1 1/ 2 < t < 3 / 4 0 1/ 2 < t < 1 −1 3/ 4 < t
τ (translation) là định vị của cửa sổ khi cửa sổ dịch chuyển suốt tín hiệu, nó mang ý nghĩa thông tin về thời gian trong không gian chuyển đổi. ψ(t) là hàm chuyển đổi, được gọi là Wavelet mẹ, hàm này được coi là hàm cửa sổ nguyên bản của mọi cửa sổ khác trong xử lý. Các cửa sổ khác có th ể là nén, giãn hoặc dịch pha của wavelet mẹ. Ngoài ra có thể dùng các hàm khác như hàm wavelet Morlet, hàm mũ Mexican. Giá trị 1/sqrt(s) là để đảm bảo tín hiệu sau khi biến đổi có cùng năng lượng với tín hiệu ban đầu Thông thường, các tín hiệu đều có băng tần giới h ạn, nên ch ỉ c ần tính toán CWT trong một dải xác định Ta hãy xem ví dụ về tín hiệu cosin trong từng tỉ lệ s khác nhau dưới đây, tất cả tín hiệu ở hình trên đều bắt nguồn từ một tín hiệu cosin, s=0,05 là t ỉ l ệ nh ỏ nh ất, và s=1 là tỉ lệ lớn nhất: Hầu hết các ứng dụng thực tế đều có tính chất trên tức là thành ph ần t ần s ố cao không kéo dài trong suốt dải tín hiệu, và tần số thấp thường kéo dài đến hết tín hiệu.
Quá trình tính toán có thể minh họa qua hình vẽ như sau: Từ các giá trị thời gian τ và s ta sẽ có các điểm đồ thị trên mặt phẳng thời gian-tỉ lệ.
Dưới đây ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể: tính CWT của một tín hi ệu không d ừng gồm 3 thành phần tần số: 5Hz, 10Hz, 20Hz và 30Hz. Biến đổi CWT của tín hiệu trên có dạng: Lưu ý là trục translation tương ứng với thời gian
Ngoài ra, còn có wavelet mẹ khác được sử dụng trong phân tích wavelet mũ Mexican, được định nghĩa từ hàm Gaussian: đó là Và Wavelet Morlet được định nghĩa như sau: trong đó, a là tham số điều chế, còn σ là biến tỉ lệ, ảnh hưởng đến độ rộng cửa sổ. Để khôi phục lại tín hiệu ban đầu, ta có công thức biến đổi ngược của CWT: Trong đó C là hằng số, phụ thuộc vào wavelet nào được sử dụng. Phép biến đổi CWT ngược tồn tại khi thỏa mãn điều kiện: Trong đó, là biến đổi Fourier của ψ. Biến đổi CWT có một điểm lớn đó là độ phân giải linh ho ạt mà ta s ẽ trình bày d ưới đây. Phân giải miền thời gian-tần số. Đây là ưu điểm để chúng ta sử dụng biến đổi Wavelet chứ không ph ải là bi ến đổi STFT. Hình 2.2 dưới đây minh họa vấn đề này. Tất c ả kh ối h ộp đ ều t ương ứng v ới giá trị biến đổi Wavelet trong miền thời gian-tần số. Ta không bi ết chính xác m ỗi điểm cụ thể, nhưng ta biết nó thuộc khối hộp nào. Các hộp này có diện tích b ằng nhau, song chiều dài và chiều rộng khác nhau. Ở trong vùng tần số thấp, chiều cao của khối hộp cũng thấp, do đó mà tín hiệu sẽ được phân gi ải t ốt h ơn ở mi ền t ần s ố.
Còn ở vùng tần số cao, thì chiều rộng của khối hộp nhỏ hơn, tức là miền th ời gian được chia thành nhiều khoảng nhỏ hơn ở miền tần số, do đó mà tín hi ệu đ ược phân giải tốt hơn ở miền thời gian. Hình 2.2 Sau đây ta sẽ đưa ra một ví dụ cụ thể để thấy được tính ứng dụng của CWT trong thực tế. Hình vẽ dưới đây là điện não đồ của một người bình th ường và m ột ng ười mắc bệnh Alzheimer (tâm thần)
Những tín hiệu này có thể nói rất khó phân tích và đánh giá s ự khác bi ệt, tuy nhiên khi ta cho qua phép biến đổi CWT thì sự phân tích trở nên d ễ dàng h ơn nhi ều. D ưới đây là đồ thị của tín hiệu sau khi qua CWT Và đây là từ một góc nhìn khác rõ hơn:
Còn của người bệnh thì tín hiệu chuyển đổi có dạng sau: Hay từ một góc nhìn khác: