Tính độ cong bề mặt cho phân vùng bề mặt tự do dựa trên phần mềm matlab

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo này trình bày việc tính độ cong của bề mặt tự do cho mục đích phân vùng. Các thông số độ cong bề mặt được sử dụng làm dữ liệu cho quá trình phân vùng và xác định biên các vùng khi sử dụng các đặc tính hình học của bề mặt và kỹ thuật mã xích trong lĩnh vực xử lý ảnh. Quá trình tính toán được thực hiện nhờ chương trình được viết bằng phần mềm Matlab. Dữ liệu đầu vào cho chương trình là phương trình toán học của bề mặt tự do ở dạng tường minh hoặc bề mặt Bspline. Tọa độ các điểm trên bề mặt cũng như trên biên của các vùng trong dữ liệu đầu ra được sử dụng cho việc mô hình hóa bề mặt với các vùng riêng biệt trong môi trường CAD (Computer Aided Design).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính độ cong bề mặt cho phân vùng bề mặt tự do dựa trên phần mềm matlab

Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 THOÂNG BAÙO KHOA HOÏC TÍNH ĐỘ CONG BỀ MẶT CHO PHÂN VÙNG BỀ MẶT TỰ DO DỰA TRÊN PHẦN MỀM MATLAB SURFACE CURVATURE COMPUTATION FOR FREE-FORM SURFACE PARTITIONING BASED ON MATLAB PROGRAM Nguyễn Văn Tường1 Ngày nhận bài: 05/8/2014; Ngày phản biện thông qua: 11/8/2014; Ngày duyệt đăng: 01/12/2014 TÓM TẮT Có thể chia bề mặt tự do thành các vùng lồi, lõm, yên ngựa khác nhau nhờ vào đặc điểm độ cong bề mặt tại các điểm trên bề mặt. Bài báo này trình bày việc tính độ cong của bề mặt tự do cho mục đích phân vùng. Các thông số độ cong bề mặt được sử dụng làm dữ liệu cho quá trình phân vùng và xác định biên các vùng khi sử dụng các đặc tính hình học của bề mặt và kỹ thuật mã xích trong lĩnh vực xử lý ảnh. Quá trình tính toán được thực hiện nhờ chương trình được viết bằng phần mềm Matlab. Dữ liệu đầu vào cho chương trình là phương trình toán học của bề mặt tự do ở dạng tường minh hoặc bề mặt Bspline. Tọa độ các điểm trên bề mặt cũng như trên biên của các vùng trong dữ liệu đầu ra được sử dụng cho việc mô hình hóa bề mặt với các vùng riêng biệt trong môi trường CAD (Computer Aided Design). Từ khóa: Bề mặt tự do, độ cong bề mặt, phân vùng bề mặt ABSTRACT A free-form surface can be partitioned into different convex, concave and saddle regions thanks to the characteristics of surface curvatures at points on the surface. This paper presents the work of surface curvature computation for free-form surface partitioning. The surface curvatures are used as data for partitioning and deﬁning the boundaries of regions on the surface when using the characteristics of surface geometry and the chain code technique in image processing ﬁeld. The computation process is performed by a Matlab program. The input data of the program are mathematical equations of free-form surfaces in explicit form or Bspline surfaces. The coordinates of points on the surface and on the region boundaries in the output data are used for modelling the surface with separate regions in CAD environment. Keywords: Free-form surface, surface curvatures, surface partitioning I. ĐẶT VẤN ĐỀ Bề mặt tự do là mặt đều, trơn, thường được sử dụng trong các ngành thiết kế và chế tạo khuôn mẫu, thiết kế thân ô tô, tàu thủy, máy bay và trong các tác phẩm nghệ thuật. Quá trình gia công bề mặt tự do trên máy CNC (Computer Numerical Control) thường tốn nhiều thời gian do đường kính dao bị hạn chế bởi bán kính cong nhỏ nhất của bề mặt cần gia công. Một trong những phương pháp nâng cao năng suất gia công bề mặt tự do là chia bề mặt thành các vùng khác nhau và mỗi vùng có thể được gia công bằng các dao có đường kính khác nhau. Chen và cs [2] đã tính các tính chất hình học của bề mặt tự do như độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong cực đại và cực tiểu và 1 pháp véc tơ bề mặt để thành lập một véc tơ đa chiều cho quá trình chia vùng bề mặt tự do. Phương pháp nhóm cụm mờ (fuzzy clustering) và phương pháp C-means mờ (fuzzy C-means) đã được các tác giả sử dụng để chia bề mặt tự do thành các vùng lồi, lõm và yên ngựa. Các tính chất hình học nói trên cũng được Roman và cs [7, 8] để xác định biên và phân vùng bề mặt tự do. Bey và cộng sự [1] đã xấp xỉ bề mặt tự do thành các tam giác. Các thông số pháp véc tơ và độ cong bề mặt được tính để xác định hình dạng cục bộ vùng bề mặt tại các đỉnh tam giác. Từ đó, các đỉnh này được nhóm thành các vùng có đồ hình khác nhau. Để nâng cao hiệu suất gia công bằng cách sử dụng dao lớn nhất có thể, Li và Zhang [4] cũng chia TS. Nguyễn Văn Tường: Khoa Cơ khí – Trường Đại học Nha Trang TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG • 65 Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 bề mặt tự do thành các vùng lồi, lõm và yên ngựa nhờ độ cong bề mặt. Họ gọi các vùng lõm và yên ngựa là những vùng tới hạn mà ở đó có thể xảy ra việc cắt lẹm. Các tác giả đã xây dựng chương trình tính toán chia vùng và kiểm tra cắt lẹm bằng ngôn ngữ C++. Elber và Cohen [3] đã tiến hành phân tích độ cong của bề mặt tự do để nghiên cứu đặc tính đồ hình bề mặt. Họ đã phát triển một phương pháp lai sử dụng các toán tử ký hiệu và toán tử số để tính các độ cong bề mặt, từ đó xác định biên các đường biên của các vùng riêng biệt trên bề mặt. Tuy nhiên, các phương trình đường biên là những đa thức bậc cao, rất khó giải. Nói tóm lại, cho đến nay, có nhiều công trình nghiên cứu phân vùng bề mặt tự do dựa trên cách tiếp cận dùng độ cong bề mặt. Tuy nhiên đa số các phương pháp đã đưa ra là khá phức tạp, khó áp dụng. Tường và Pokorny [9] đã đưa ra một phương pháp đơn giản nhưng hiệu quả để phân vùng bề mặt tự do. Ở đây, bề mặt tự do được chia thành các vùng lồi, lõm và yên ngựa dựa trên độ cong bề mặt. Đường biên của các vùng được xác định nhờ áp dụng kỹ thuật mã xích dùng trong xử lý ảnh. Quá trình tính toán phân vùng và xác định biên bề mặt được thực hiện nhờ một chương trình Matlab được viết cho bề mặt tự do ở dạng tường minh hoặc bề mặt Bspline. Bài báo này tập trung giới thiệu phương pháp tính toán độ cong bề mặt tự do cho mục đích phân vùng với sự hỗ trợ của phần mềm Matlab. II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Thông số hình học của bề mặt tự do Bề mặt tự do có thể được biểu diễn theo: - Dạng ẩn: f(x, y, z) = 0 (1) - Dạng tường minh: z = f(x, y) (2) - Dạng tham số: S(u,v) = {Sx(u,v), Sy(u,v), Sz(u,v)} (3) Một số thông số hình học chủ yếu của bề mặt tự do là: a. Pháp véc tơ tại một điểm Cho một bề mặt tự do S(u, v) và một điểm bất kỳ trên bề mặt. Tại điểm này, Su và Sv là hai véc tơ tiếp tuyến theo hai phương tham số u và. Su và Sv không song song nhau, và một véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ này là véc tơ đơn vị, được xác định bởi công thức (4) và được biểu diễn như trên hình 1 [6]. (4) Véc tơ t bất kỳ vuông góc với nS được gọi là véc tơ tiếp tuyến với S(u,v) tại điểm p. Mặt phẳng chứa tất cả các véc tơ tiếp tuyến với mặt S tại điểm p được gọi là mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm p, và được ký hiệu là Tp(S) (hình 1). Hình 1. Pháp véc tơ đơn vị và mặt phẳng tiếp tuyến tại một điểm b. Dạng toàn phương thứ nhất, F1 Dạng toàn phương thứ nhất của một bề mặt tự do S biểu diễn các tính chất khối của bề mặt, được xác định bởi [6]: F1= dS.dS = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 (5) trong đó (6) là các hệ số của dạng toàn phương thứ nhất. c. Dạng toàn phương thứ hai, F2: Dạng toàn phương thứ hai mô tả độ cong của một bề mặt tự do, được xác định bởi [35]: F2= −dnS .dS = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2 (7) trong đó (8) là các hệ số của dạng toàn phương thứ hai. d. Độ cong Gauss (K) và độ cong trung bình (H) Cho một bề mặt tự do S(u,v) và p là một điểm bất kỳ trên nó. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa pháp véc tơ của mặt S tại điểm p. Giao tuyến của Q là S là một đường cong có độ cong nhất định (hình 2). Khi mặt (Q) quay xung quanh pháp véc tơ nói trên thì độ cong của đường cong thay đổi. Ơ-le đã chính minh rằng tồn tại các hướng mà ở đó độ cong của đường cong đạt đạt giá trị cực tiểu và cực đại [6]. Các độ cong ở các hướng này được gọi là các độ cong chính tắc và các hướng độ cong chính tắc vuông góc nhau. 66 • TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 Hình 2. Độ cong của bề mặt tự do Độ cong Gaussian (K), độ cong trung bình (H) và các độ cong chính tắc Kmin và Kmax của bề mặt S(u, v), tại điểm p, được tính bằng các công thức [6]: (9) (10) (11) (12) Dựa vào các giá trị của độ cong Gauss, độ cong trung bình và các độ cong chính tắc, các điểm trên một bề mặt tự do có thể được chia thành sáu loại như sau [5]: - Điểm eliptic lõm: Nếu K > 0 và H > 0. - Điểm eliptic lồi: Nếu K > 0 và H < 0. - Điểm hyperbolic: Nếu K 0. - Điểm parabolic lồi: Nếu K = 0 và H < 0. - Điểm rốn phẳng: Nếu K = 0 và H = 0. Để chia một bề mặt tự do thành các vùng lồi (kể cả vùng phẳng), vùng lõm và vùng yên ngựa, hình dạng bề mặt cục bộ quanh một điểm có thể được chia thành ba loại vùng khác nhau như sau [5]: * K ≥ 0 và H £ 0: hình dạng bề mặt cục bộ lồi. * K ≥ 0 và H > 0: hình dạng bề mặt cục bộ lõm. * K < 0 và H ¹ 0: hình dạng bề mặt cục bộ yên ngựa. 2. Tính độ cong của bề mặt tự do Trong nghiên cứu này, thuật toán phân vùng bề mặt tự do như sau: (a) Tạo tập hợp lưới điểm bề mặt {p} từ mô hình toán học của bề mặt S và lưu tất cả các điểm vào một ma trận chung. (b) Tính các thông số K and H tại mỗi điểm pi,j. (c) Xét mỗi điểm pi,j thuộc tập {p}: - Nếu K ≥ 0 và H £ 0: lưu điểm vào ma trận các điểm vùng lồi, mã hóa điểm lưu thành số 1. Các điểm không có tính chất này được mã hóa thành số 0. - Nếu K ≥ 0 và H > 0: lưu điểm vào ma trận các điểm vùng lõm, mã hóa điểm lưu thành số 2. Các điểm không có tính chất này được mã hóa thành số 0. - Nếu K < 0: lưu điểm vào ma trận các điểm vùng yên ngựa, mã hóa điểm lưu thành số 3. Các điểm không có tính chất này được mã hóa thành số 0. Cấu trúc ma trận các vùng riêng biệt nêu trên tương tự như cấu trúc của ma trận của ảnh nhị phân. Điều này tạo điều kiện dễ dàng cho việc áp dụng kỹ thuật mã xích trong xử lý ảnh để xác định biên các vùng đã phân. Các điểm biên sẽ được dùng để xây dựng các đường cong không gian ba chiều dùng cho việc chia bề mặt tự do thành các vùng khác nhau trong môi trường CAD. Để thực hiện tính toán theo thuật toán nói trên và căn cứ các phương trình (9) đến (12), các bước để tính độ cong của một bề mặt tự do được thực hiện như sau: - Tạo tập hợp các điểm trên bề mặt tự do đã cho. - Tính toán các pháp véc tơ đơn vị tại tất cả các điểm trên bề mặt. - Tính các hệ số dạng toàn phương thứ nhất và thứ hai. - Tính độ cong Gaussian, độ cong trung bình và các độ cong chính tắc. Trong nghiên cứu này, việc tính toán phân vùng và xác định biên các vùng được thực hiện bằng một chương trình Matlab. Chương trình gồm các tập tin M-function và M-script để tạo mô hình toán của bề mặt, tính độ cong bề mặt, phân vùng và xác định biên các vùng. Hàm tính toán độ cong có nội dung cơ bản như sau: - Tính đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai theo các biến u và v bằng cách sử dụng hàm tiêu chuẩn gradient. [Xu,Xv] = gradient(X); [Yu,Yv] = gradient(Y); [Zu,Zv] = gradient(Z); [Xuu,Xuv] = gradient(Xu); [Yuu,Yuv] = gradient(Yu); [Zuu,Zuv]= gradient(Zu); [Xuv,Xvv] = gradient(Xv); [Yuv,Yvv] = gradient(Yv); [Zuv,Zvv] = gradient(Zv); X, Y và Z ở đây là những mảng 2 chiều của các điểm trên bề mặt. Những mảng này phải được chuyển thành các véc tơ để thực hiện các phép tính về sau. TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG • 67 Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 - Tính pháp véc tơ tại các điểm trên bề mặt: m = cross(Xu,Xv,2); q = sqrt(dot(m,m,2)); - Tính các hệ số dạng toàn phương thứ nhất: E = dot(Xu,Xu,2); F = dot(Xu,Xv,2); - Tính các hệ số dạng toàn phương thứ hai: L = dot(Xuu,n,2); M = dot(Xuv,n,2); - Tính độ cong Gauss: K = (L.*N - M.^2)./(E.*G - F.^2); - Tính độ cong trung bình: H = (E.*N + G.*L - 2.*F.*M)./(2*(E.*G - F.^2)); - Tính độ cong chính tắc: Kmax = H + sqrt(H.^2 - K); Kmin = H - sqrt(H.^2 - K); III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ THẢO LUẬN Trong nghiên cứu này, chương trình Matlab được viết cho tường minh hoặc bề mặt Bspline. Bài báo này sử dụng bề mặt tự do ở dạng tường minh để minh họa cho việc tính toán độ cong bề mặt. Ví dụ: Cho bề mặt tự do được biểu diễn bởi phương trình , trong đó x và y có G = dot(Xv,Xv,2); N = dot(Xvv,n,2); giá trị trong đoạn [-1,3]. Giả sử ma trận điểm lưới cần tạo trên bề mặt có cỡ là 41´41 theo hai phương x và y. Trong nghiên cứu này, chương trình Matlab được chạy trên máy tính xách tay (Intel Core i5, 1,80GHz, RAM 4 GB) cài đặt hệ điều hành Windows 7. Hình 3 và hình 4 trình bày kết quả tính K, H, Kmax và Kmin tại một số điểm lưới trên bề mặt. Hình 3. Minh họa giá trị K, H tại một số điểm lưới Hình 4. Minh họa giá trị Kmax, Kmin tại một số điểm lưới 68 • TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG n = m./[q q q]; Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Kết quả tính toán cho thấy bề mặt đã cho có 2 vùng lõm, 1 vùng lồi và 3 vùng yên ngựa. Chương trình cũng cho kết quả tọa độ các điểm biên của 6 vùng này. Tuy nhiên, đối với ví dụ này, chỉ cần sử dụng các điểm biên của các vùng lõm và vùng lồi để Số 4/2014 xây dựng hai đường cong không gian cho mục đích chia vùng bề mặt trong môi trường CAD. Trên hình 5 là mô hình bề mặt đã cho với các điểm biên của các vùng lõm và vùng lồi, được hiển thị trong môi trường Matlab. Hình 5. Mô hình bề mặt với các điểm biên của vùng lồi, lõm Các điểm biên của vùng lồi được chứa trong ma trận PB24, gồm 71 điểm (hình 6a). Ma trận PB13cell{1,1} trên hình 6b là ma trận chứa 27 điểm biên của vùng lõm thứ nhất và ma trận PB13cell{2,1} trên hình 6c chứa 60 điểm biên của vùng lõm thứ hai. Trong các ma trận này, các cột 1, 2 và 3 tương ứng với tọa độ x, y và z của các điểm. Trong chương trình tính toán này, các giá trị tọa độ của các điểm trên bề mặt (ở một ma trận riêng) cũng như trên các biên có thể dễ dàng được lưu ở dạng ﬁle Excel. Điều này tạo thuận lợi cho việc nhập dữ liệu xây dựng bề mặt đã cho và các đường cong biểu diễn biên của các vùng trên bề (a) mặt bằng các phần mềm CAD như Catia, Creo, NX, SolidWorks,… Trong môi trường CAD, các đường cong biên sẽ được sử dụng làm công cụ xén bề mặt để chia bề mặt nguyên thành các vùng riêng biệt. Để tăng độ chính xác của các đường cong biên, có thể tạo ma trận điểm lưới bề mặt với mức độ điểm dày hơn. Khi đó số lượng các điểm trên các biên sẽ tăng. Tuy nhiên, lúc này máy tính sẽ tính toán lâu hơn. Ở ví dụ này, với ma trận điểm 41´41 thì thời gian chạy chương trình là 0,35 giây. Thời gian chạy chương trình khi ma trận điểm 201´201 là 5,7 giây. Bề mặt có kích thước càng lớn thì thời gian chạy chương trình của máy tính sẽ càng lâu. (b) (c) Hình 6. Minh họa tọa độ các điểm biên trên các vùng lồi (a) và lõm (b, c) TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG • 69