Toán 11 - Hàm số liên tục

Chia sẻ: Nguyen Duy Thanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

658
lượt xem 164
download

Toán 11 - Hàm số liên tục

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo giáo án toán học lớp 11 - Hàm số liên tục

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán 11 - Hàm số liên tục

Ch : HÀM S LIÊN T C Ch bám sát (l p 11 ban CB) Biên so n: THANH HÂN ----------------------- A/ M C TIÊU: - Cung c p cho h c sinh m t s d ng bài t p th ng g p có liên quan n s liên t c cu hàm s và ph ng pháp gi i các d ng bài ó. - Rèn k n ng bi n i, di n t ch t ch . - Góp ph n xây d ng n ng l c t duy lôgic, t duy c l p sáng t o. B/ TH I L NG: 3 ti t C/ N I DUNG: Ch g m có 3 ph n: - Ph n A: Tóm t t lí thuy t. - Ph n B: Các d ng bài t p th ng g p. - Ph n C: Câu h i tr c nghi m. D/ CHÚ THÍCH V M C YÊU C U: - Ch này thu c lo i ch bám sát, nh m h th ng m t s d ng bài t p c b n và k n ng gi i các d ng bài ó, giúp nâng cao kh n ng t h c c a h c sinh d i s h ng d n c a giáo viên. - ây là tài li u t h c có h ng d n nh m t c m c tiêu nh ã nêu trên. - Có b sung m t s ít bài t p nâng cao giúp các em h c sinh khá có thêm tài li u tham kh o. ------------- Hàm s liên t c 1
A/ TÓM T T LÍ THUY T: I. nh ngh a hàm s liên t c: 1) nh ngh a 1: Gi s! hàm s f ( x ) xác "nh trên kho ng ( a; b ) và x0 ∈ ( a; b ) . Hàm s f c g i là liên t c t i i#m x0 n u lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Hàm s không liên t c t i i#m x0 c g i là gián o n t i x0. 2) nh ngh a 2: Hàm s f liên t c trên kho ng ( a; b ) n u nó liên t c t i m i i#m thu c kho ng ó. Hàm s f liên t c trên o n [ a; b ] n u nó liên t c trên kho ng ( a; b ) và lim f ( x ) = f ( a ) , lim f ( x ) = f ( b ) . x →a + x →b − II. M t s nh lí c b n v hàm s liên t c: 1) nh lí 1: a) Hàm a th$c liên t c trên t p R. b) Hàm phân th$c h%u t& và các hàm s l ng giác liên t c trên t'ng kho ng cu t p xác "nh c a chúng. 2) nh lí 2: Gi s! y = f ( x ) và y = g ( x ) là hai hàm s liên t c t i i#m x0. Khi ó: a) Các hàm s y = f ( x ) + g ( x ) , y = f ( x ) − g ( x ) , y = f ( x ) .g ( x ) liên t c t i i#m x0. f ( x) b) Hàm s y = liên t c t i i#m x0 n u g ( x0 ) ≠ 0. g ( x) 3) nh lí 3: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì t n t i ít nh t m t i#m c ∈ ( a; b ) sao cho f ( c ) = 0 . Nói cách khác: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( a; b ) . Hàm s liên t c 2
B/ CÁC D NG BÀI T P TH NG G P: D ng1: Xét tính liên t c c a hàm s t i i m x0. Ph ng pháp gi i: • Tính f ( x0 ) . • Tìm lim f ( x ) và áp d ng "nh ngh a 1). x → x0 Ví d 1: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 2. x3 − 8 khi x ≠ 2 f ( x) = x − x − 2 2 10 khi x = 2 3 L i gi i: 10 Ta có f ( 2 ) = 3 lim f ( x ) = lim x3 − 8 = lim ( ( x − 2) x2 + x + 4 = lim ) x 2 + x + 4 10 = = f ( 2) . x→2 x→2 x 2 − x − 2 x →2 ( x + 1)( x − 2 ) x→2 x +1 3 V y hàm s f liên t c t i i#m x0 = 2. --------------- Ví d 2: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 1. x −1 khi x ≠ 1 f ( x) = x −1 1 khi x = 1 L i gi i: Ta có f (1) = 1 x −1 x −1 1 1 lim f ( x ) = lim = lim = lim = ≠ f (1) . x →1 x →1 x −1 x →1 ( )( x −1 ) x +1 x →1 x +1 2 V y hàm s f không liên t c t i i#m x0 = 1. --------------- Ví d 3: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 2. x2 − x − 2 khi x > 2 f ( x) = x−2 5− x khi x ≤ 2 L i gi i: Ta có f ( 2 ) = 3 lim+ f ( x ) = lim+ x2 − x − 2 ( x − 2 )( x + 1) = lim x + 1 = 3 . = lim+ ( ) x →2 x→2 x−2 x →2 ( x − 2) x → 2+ Hàm s liên t c 3
lim f ( x ) = lim− ( 5 − x ) = 3 . x → 2− x→ 2 Suy ra lim f ( x ) = f ( 2 ) x→2 V y hàm s f liên t c t i i#m x0 = 2. --------------- Bài t p t gi i: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 x2 − 2 x − 3 khi x ≠ 3 f ( x) = x2 − 9 a) 1 (x0 = 3). khi x = 3 4 x+3 −2 khi x ≠ 1 f ( x) = x −1 b) 1 (x0 = 1). khi x = 1 4 x −5 khi x > 5 f ( x) = 2x −1 − 3 c) (x0 = 5). ( x − 5) 2 + 3 khi x ≤ 5 -------------------------------- D ng2: nh f ( x0 ) hàm s f liên t c t i i m x0 . Ph ng pháp gi i Tìm lim f ( x ) và l y f ( x0 ) = lim f ( x ) . x → x0 x → x0 Ví d 1: "nh f ( 0 ) # hàm s sau liên t c t i x = 0. 2− 4− x f ( x) = ( x ≠ 0) x L i gi i: 2− 4− x 4 − (4 − x) 1 1 Ta có lim f ( x ) = lim = lim = lim = . x →0 x →0 x x→0 ( x 2+ 4− x ) x →0 2 + 4 − x 4 1 V y hàm s ã cho liên t c t i x = 0 khi f ( 0 ) = . 4 --------------- x +1 − 2 khi x ≠ 3 f ( x) = x−3 Ví d 2: Cho hàm s a khi x = 3 "nh a # hàm s ã cho liên t c t i x = 3. Hàm s liên t c 4
L i gi i: Ta có f ( 3) = a x +1 − 2 ( x + 1) − 4 1 1 lim f ( x ) = lim = lim = lim = . x →3 x →3 x −3 x →3 ( ( x − 3) x + 1 + 2 x →3 )x +1 + 2 4 1 V y hàm s ã cho liên t c t i x = 3 khi a = . 4 --------------- Bài t p t gi i: a) "nh f ( 9 ) # hàm s sau liên t c t i x = 9 3− x f ( x) = ( x ≠ 9). x−9 x2 + x + 1 −1 khi x ≠ 0 f ( x) = 3x b) Cho hàm s a khi x = 0 "nh a # hàm s ã cho liên t c t i x = 0. -------------------------------- D ng 3: Xét tính liên t c c a hàm s trên kho ng, o n. Ph ng pháp gi i: • Dùng "nh ngh a. • Dùng "nh lí c b n. Ví d 1: Ch$ng minh hàm s f ( x ) = 8 − 2 x 2 liên t c trên o n [ −2; 2] . L i gi i: Hàm s f ( x ) = 8 − 2 x 2 xác "nh trên o n [ −2; 2] . ∀x0 ∈ ( −2; 2 ) ta có lim f ( x ) = lim 8 − 2 x 2 = 8 − 2 x0 2 = f ( x0 ) x → x0 x → x0 V y hàm s ã cho liên t c trên kho ng ( −2; 2 ) . M t khác: lim f ( x ) = lim + 8 − 2 x 2 = 0 = f ( −2 ) x →( −2) + x →( −2) lim f ( x ) = lim− 8 − 2 x 2 = 0 = f ( 2 ) x → 2− x →2 Do ó hàm s ã cho liên t c trên o n [ −2; 2] . --------------- Hàm s liên t c 5
x3 − 1 khi x ≠ 1 f ( x ) = x −1 Ví d 2: Ch$ng minh hàm s liên t c trên R. 3 khi x = 1 L i gi i: Hàm s xác "nh trên R. x3 − 1 f ( x) = + N u x ≠ 1 thì x −1 Do f ( x ) là hàm phân th$c có t p xác "nh D = ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) nên f ( x ) liên t c trên các kho ng ( −∞;1) ; (1; +∞ ) . + N u x = 1 thì f (1) = 3 x3 − 1 lim f ( x ) = lim x →1 x →1 ( ) = lim x 2 + x + 1 = 3 = f (1) x − 1 x →1 Suy ra f ( x ) liên t c t i x = 1 . T' hai k t qu trên ta có f ( x ) liên t c trên R. --------------- Bài t p t gi i: 1 a) Ch$ng minh hàm s f ( x) = liên t c trên kho ng ( −∞; 2 ) . 2− x x 2 − 3x + 2 khi x ≠ 2 f ( x) = x−2 b) Ch$ng minh hàm s liên t c trên R. 1 khi x = 2 c) Ch$ng minh hàm s f ( x ) = x − 3 + 1 liên t c trên kho ng [3; +∞). x2 − x − 2 khi x ≠ −1 f ( x) = x +1 d) Cho hàm s a khi x = -1 "nh a # hàm s ã cho liên t c trên R. --------------- D ng 4: Ch ng minh m t ph ng trình có nghi m. Ph ng pháp gi i: S! d ng k t qu : N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( a; b ) . Hàm s liên t c 6
Ví d 1: Ch$ng minh r ng ph ng trình x 7 + 3 x5 − 2 = 0 có ít nh t m t nghi m. L i gi i: Xét hàm s f ( x ) = x 7 + 3x5 − 2 Ta có f ( x ) liên t c trên R f ( 0 ) = −2 < 0 Và f ( 0 ) . f (1) < 0 f (1) = 2 > 0 Nên ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( 0;1) , v y bài toán c ch$ng minh. --------------- Ví d 2: Ch$ng minh ph ng trình x 2 sin x + x cos x + 1 = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( 0; π ) . L i gi i: Ta có hàm s f ( x ) = x 2 sin x + x cos x + 1 liên t c trên R f (0) = 1 > 0 Và f ( 0 ) . f (π ) < 0 f (π ) = −π + 1 < 0 Nên ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( 0; π ) . ( pcm) --------------- Ví d 3: Ch$ng minh ph ng trình m ( x − 1) ( x − 2 ) + 2 x − 3 = 0 luôn có 3 nghi m v i m i giá tr" c a m. L i gi i: Ta có hàm s f ( x ) = m ( x − 1) ( x − 2 ) + 2 x − 3 liên t c trên R 3 f (1) = −1 < 0 Và f (1) . f ( 2 ) < 0 ∀m ∈ R f ( 2) = 1 > 0 Nên ph ng trình m ( x − 1) ( x − 2 ) + 2 x − 3 = 0 luôn có nghi m v i m i giá 3 tr" c a m. ( pcm) --------------- Ví d 4: Ch$ng minh ph ng trình 2 sin x + m sin 2 x + 1 = 0 luôn có nghi m v i m i giá tr" c a m. L i gi i: Ta có hàm s f ( x ) = 2sin x + m sin 2 x + 1 liên t c trên R π f =3>0 2 π π Và f − .f
Nên ph ng trình 2sin x + m sin 2 x + 1 = 0 luôn có nghi m v i m i giá tr" c a m. ( pcm) --------------- Bài t p t gi i: 1) Ch$ng minh ph ng trình x3 − 3x + 1 = 0 có 3 nghi m phân bi t. 2) Ch$ng minh ph ng trình x 4 − x − 3 = 0 có nghi m x0 ∈ (1; 2 ) và x0 > 7 12. 3) Ch$ng minh v i m i giá tr" c a m, các ph ng trình sau luôn có nghi m: a) m ( x − 1) ( x + 2 ) + 2 x + 3 = 0 3 b) x 4 + mx 2 − 2mx − 2 = 0 c) 2 cos x + m cos 2 x − 1 = 0 --------------- Chú ý: N u i u ki n liên t c c a hàm s f trên o n [ a; b ] không còn thì không th# k t lu n v s t n t i nghi m c a ph ng trình f ( x ) = 0 trên kho ng ( a; b ) . 1 1 Ví d : Hàm s f ( x) = có f ( −1) . f (1) = −1 < 0 , nh ng ph ng trình =0 x x vô nghi m. --------------- C/ CÂU H I TR C NGHI M: x + 1 −1 1) Cho hàm s f ( x) = ( x ≠ 0 ) . Hàm s ó liên t c t i x = 0 khi x f ( 0 ) có giá tr" là: 1 A. -1 B. C. 1 D. 2 2 3− x khi x≠3 2) Cho hàm s f ( x) = x +1 − 2 . Hàm s ó liên t c t i m khi x=3 x = 3 khi m có giá tr" là: A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 1 khi x
4) Hàm s nào trong các hàm s sau ây không liên t c trên R? A. f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 1 B. f ( x ) = sin x + 2cos x x −1 x2 − 1 khi x ≠1 khi x ≠ −1 C. f ( x ) = x −1 D. f ( x ) = x + 1 2 khi x =1 2 khi x = −1 5) Hàm s nào trong các hàm s sau ây gián o n t i x = 0 ? x khi x≥0 f ( x) = A. f ( x ) = cot x B. − x khi x