Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
VIDEO và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
[Link khóa học: Toán cơ bản và Nâng cao 11]
I. CÁC QUY TẮC VÉC TƠ
Quy tắc véc tơ đối :
Với mọi hai điểm A, B cho trước ta luôn có
AB BA AB BA 0
= − ⇔ + =
Quy tắc cộng véc tơ :
Cho tr
ướ
c hai
đ
i
ể
m A, B. V
ớ
i m
ọ
i các
đ
i
ể
m M1, M2...Mn ta luôn có h
ệ
th
ứ
c sau:
1 1 2 2 3 n
AB AM M M M M ... M B
= + + + +
Quy tắc trừ hai véc tơ :
Cho tr
ướ
c hai
đ
i
ể
m A, B. V
ớ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m M ta luôn có
AB MB MA
= −
Quy tắc hình bình hành :
Cho hình bình hành ABCD, khi
đ
ó
AB DC
+ =
=
Quy tắc trung tuyến:
Cho hai
đ
i
ể
m A, B. N
ế
u M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB thì ta có
h
ệ
th
ứ
c
MA MB 0
AM BM 0
+ =
+ =
Quy tắc trung tuyến:
Cho tam giác ABC, g
ọ
i M và N theo th
ứ
t
ự
là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a BC và AC. Khi
đ
ó
AB AC 2AM
BA BC 2BN
+ =
+ =
Quy tắc trọng tâm:
Cho tam giác ABC có tr
ọ
ng tâm G nh
ư
hình v
ẽ
.
Khi
đ
ó ta có
GA GB GC 0
2
AG AM 2GM
3
+ + =
= =
Nhận xét:
+ V
ớ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m I thì ta luôn có
IA IB IC 3IG
+ + =

+
Đ
i
ể
m G
đượ
c g
ọ
i là tr
ọ
ng tâm t
ứ
di
ệ
n ABCD khi
GA GB GC GD 0
+ + + =
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho tứ diện ABCD. Xác định các điểm M, N thỏa mãn:
a)
= + +
AM AB AC AD
b) = + −
AN AB AC AD
Hướng dẫn giải:
01. VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a)
AM AB AC AD
= + +
G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, khi
đ
ó
AB AC 2AI
+ =
G
ọ
i J là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a A qua I, khi
đ
ó ta có
2AI AJ AB AC AJ
= → + =
T
ừ
đ
ó
AB AC AD AJ AD 2AE
+ + = + =
, v
ớ
i E là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a DJ.
Theo bài,
AM AB AC AD 2AE
= + + =
V
ậ
y M là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a A qua E.
b)
AN AB AC AD
=+−
Theo a, ta có
AB AC 2AI AJ
+ = =
G
ọ
i J là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a A qua I, khi
đ
ó ta có
AN AB AC AD AJ AD DJ
→ = + − = − =
V
ậ
y trong tam giác ADJ ta t
ạ
o ra hình bình hành
ADJN thì
đ
i
ể
m N th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u này chính là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của MN và
G
1
là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
+ = +
AC BD AD BC
b)
( ) ( )
= + = +
1 1
MN AC BD AD BC
2 2
c)
+ + + =
GA GB GC GD 0
d)
4
NA NB NC ND NG, N.
+ + + = ∀
+ + + = ∀+ + + = ∀
+ + + = ∀
e) + + =
1
AB AC AD 3AG
Hướng dẫn giải:
a)
AC BD AD BC
+ = +
S
ử
d
ụ
ng quy t
ắ
c c
ộ
ng véc t
ơ
ta có
( )
AC AD DC
AC BD AD BC DC CD
BD BC CD
= +
→ + = + + +
= +
Mà
DC CD 0 AC BD AD BC.
+ = → + = +
b)
( ) ( )
1 1
MN AC BD AD BC
2 2
= + = +
Chứng minh:
( )
1
MN AC BD AC BD 2MN
2
= + ⇔ + =

Theo quy tắc cộng ta có
AC AM MN NC
BD BM MN ND
=++
= + +
(
)
(
)
AC BD AM BM 2MN NC ND
→ + = + + + +
Theo quy t
ắ
c trung
đ
i
ể
m ta l
ạ
i có
AM BM 0
NC ND 0
+ =
+ =

T
ừ
đ
ó ta
đượ
c
(
)
AC BD 2MN dpcm .
+ = →
Chứng minh:
( )
1
MN AD BC
2
= +

Ta có th
ể
ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên, ho
ặ
c s
ử
d
ụ
ng kêt qu
ả
câu a là
AC BD AD BC
+ = +
ta c
ũ
ng
đượ
c
đ
i
ề
u ph
ả
i
ch
ứ
ng minh.
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
c)
GA GB GC GD 0
+ + + =
Theo quy tắ
c trung
đ
i
ể
m trong
∆
GAB và
∆
GCD ta có
( )
GA GB 2GM
GA GB GC GD 2 GM GN
GC GD 2GN
+ = → + + + = +
+ =
Mà G là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a MN nên
GM GN 0 GA GB GC GD 0.
+ = → + + + =
d)
NA NB NC ND 4NG, N.
+ + + = ∀
Ta có
( )
0
NA NG GA
NB NG GB
NA NB NC ND 4NG GA GB GC GD 4NG
NC NG GC
ND NG GD
= +
= + → + + + = + + + + =
= +
= +

e)
1
AB AC AD 3AG
+ + =
S
ử
d
ụ
ng quy t
ắ
c trung tuy
ế
n cho ∆ACD ta
đượ
c
AC AD 2AN
+ =
G
ọ
i I là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a A qua N, khi
đ
ó
2AN AI AC AD AI
= → + =
Ta có
(
)
AB AC AD AB AC AD AB AI 2AE,
+ + = + + = + =
v
ớ
i E là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BI.
Xét trong ∆ABI có BN và AE là các
đườ
ng trung tuy
ế
n, gi
ả
s
ử
BN ∩ AE = G′ thì G′ là tr
ọ
ng tâm ∆ABI.
Khi
đ
ó
1 1
2
BG BN BG G G
3
′ ′
= = → ≡
.
Mà
1 1
2 2AE AB AC AD
AG AE AB AC AD 3AG
3 3 3
+ +
= = = ←→ + + =
II. PHÉP PHÂN TÍCH, CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VÉC TƠ
Ba véc tơ đồng phẳng:
Cho ba véc t
ơ
đồ
ng ph
ẳ
ng
a, b, c.
Khi
đ
ó, t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t phép phân tích
c ma nb
= +
.
Ba véc tơ không đồng phẳng:
Cho ba véc t
ơ
đồ
ng ph
ẳ
ng
a, b, c.
Khi
đ
ó, v
ớ
i m
ỗ
i véc t
ơ
d
thì t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t phép phân tích
d ma nb pc
= + +
.
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hãy phân tích các véc tơ
SA, SB, SC, SD
theo
AB, AC, SO.
Hướng dẫn giải:
Phân tích
SA
:
Ta có 1 1
SA SO OA SO CA SO AC
2 2
= + = + = −
1
SA SO AC
2
→ = −
Phân tích
SB
:
( )
1
SB SO OB SO OA AB SO AC AB
2
= + = + + = − +
1
SB SO AC AB
2
→ = − +
Phân tích
SC
:
1
SA SC 2SO SC 2SO SA 2SO SO AC
2
+ = → = − = − −
1
SC SO AC
2
→ = +
Phân tích
SD
:
1
SB SD 2SO SD 2SO SB 2SO SO AC AB
2
+ = → = − = − − +
1
SD SO AC AB
2
→ = + −
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Ví dụ 2: [ĐVH].
Cho tứ diện ABCD, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng ba véc
tơ
MN, BC, AD
đồ
ng ph
ẳ
ng.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để chứng minh ba véc tơ
MN, BC, AD
đồ
ng ph
ẳ
ng ta
đ
i
ki
ể
m tra xem có
đẳ
ng th
ứ
c véc t
ơ
nào liên quan
đế
n ba
véc t
ơ
trên hay không. B
ằ
ng tr
ự
c quan hình h
ọ
c, ta th
ấ
y
MN
ở
gi
ữ
a BC và AD nên ta s
ẽ
xu
ấ
t phát t
ừ
véc t
ơ
MN
đ
i
theo hai h
ướ
ng là BC và AD.
Ta có
MN MA AD DN
MN MB BC CN
= + +
= + +
(
)
(
)
(
)
0 0
2MN MA MB BC AD DN CN
→ = + + + + +

T
ừ
đ
ó ta có
( )
1
MN BC AD
2
= +
, tức là ba véc tơ đồng
phẳng.
Ví d
ụ
3:
[
Đ
VH].
Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên
đ
o
ạ
n SA l
ấ
y
đ
i
ể
m M sao cho
= −
MS 2MA
và trên
đ
o
ạ
n
BC l
ấ
y
đ
i
ể
m N sao cho
= − 1
NB NC.
2
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ba vect
ơ
AB, MN, SC
đồ
ng ph
ẳ
ng.
Hướng dẫn giải:
Tương tự như ví dụ trên, chúng ta phân tích
MN
theo hai
hướ
ng.
Ta có
( )
( )
MN MA AB BN, 1
MN MS SC CN, 2
= + +
= + +
Nhân c
ả
hai v
ế
c
ủ
a (1) v
ớ
i 2 r
ồ
i c
ộ
ng v
ớ
i (2) ta
đượ
c
(
)
(
)
(
)
3MN 2MA MS 2AB SC 2BN CN
= + + + + +

T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
MS 2MA
2MA MS 0
1
NB NC
2NB NC 0
2
= −
+ =
←→
= −
+ =
2 1
3MN 2AB SC MN AB SC
3 3
→ = + ⇔ = +
V
ậ
y ba véc t
ơ
AB, MN,SC
đồ
ng ph
ẳ
ng.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [
Đ
VH]. Cho các
đ
i
ể
m
A, B, C, D, E, F
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
AB DC AC BD
+ = +
b)
AB CD EF AF ED CB
+ + = + +
Bài 2: [
Đ
VH]. Cho hình h
ộ
p
ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
' '
AB AD AA AC
+ + =
b)
' ' ' '
A B BC D D A C
+ + =
c) G
ọ
i
O
là tâm c
ủ
a hình h
ộ
p. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
' ' ' ' 0
OA OB OC OD OA OB OC OD
+ + + + + + + =
Bài 3: [
Đ
VH]. Cho t
ứ
di
ệ
n
S.ABC
. G
ọ
i
G
là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác
ABC
.
a) Phân tích vect
ơ
SG
theo các ba véc t
ơ
, , .
SA SB SC
b) G
ọ
i
D
là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n
S.ABC
. Phân tích vect
ơ
SD
theo ba vect
ơ
, , .
SA SB SC
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Bài 4: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có
' , , .
= = =
AA a AB b AC c
a)
Hãy phân tích các vect
ơ
,
′ ′
B C BC
theo các vect
ơ
, ,
a b c
.
b)
G
ọ
i G′ là tr
ọ
ng tâm tam giác A′B′C′. Bi
ể
u di
ễ
n véc t
ơ
′
AG
qua các véc t
ơ
, ,
a b c
.
Bài 5:
[ĐVH].
Cho t
ứ
di
ệ
n
ABCD
có trung tuy
ế
n qua
đỉ
nh
A
c
ủ
a tam giác
ABC
là
AN
. L
ấ
y
đ
i
ể
m
M
trên
AN
sao cho
3
.
7
AM
MN
=
Phân tích véc tơ
DM
theo
; ;
DA DB DC