Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Cơ học: Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Cơ học "Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số" được nghiên cứu với mục tiêu: Tổng hợp và khảo sát chi tiết một số trường hợp của bài toán đặt ra, đề xuất hoặc áp dụng một số phương pháp đặc trưng. Ngoài ra, luận án này cũng khảo sát kỹ lưỡng về sự tương tác dao động giữa dầm và môi trường đàn nhớt bên ngoài mà đều tính đến thành phần cản có cấp phân số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Cơ học: Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phạm Thành Chung TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG UỐN PHI TUYẾN CỦA DẦM ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ Ngành: Cơ học Mã số: 9440109 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội - 2024
Công trình được hoàn thành tại: Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TSKH. Nguyễn Văn Khang 2. TS. Nguyễn Minh Phương Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Đại học Bách khoa Hà Nội họp tại Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi …….. giờ, ngày ….. tháng ….. năm ……… Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu - ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
MỞ ĐẦU Bài toán dao động của một vật thể liên tục trong một môi trường nào đó đã được nghiên cứu ngày càng sâu rộng trong những năm gần đây. Khi đó, người ta quan tâm đến các mô hình giảm chấn trong nghiên cứu sự tương tác giữa vật thể với môi trường và ngay trong nội tại vật thể. Kỹ thuật hiện đại ngày nay sử dụng nhiều mô hình giảm chấn đàn nhớt để thiết kế máy móc và công trình. Các mô hình phổ biến bao gồm Kelvin-Voigt, Maxwell và mô hình tuyến tính tiêu chuẩn. Tuy nhiên, sự phát triển của khoa học công nghệ nói chung và cơ học nói riêng đã dẫn đến sự nghiên cứu nhiều vật liệu có tính chất mới (như cao su tổng hợp, silicone, mô của động vật, hỗn hợp nhựa đường, đất,…) mà các mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên không thể mô tả đầy đủ tính chất của chúng. Do đó, các mô hình đàn nhớt cấp phân số đã được phát triển để giải quyết vấn đề này [107], [132]. Các bài toán thực tế cho thấy rằng khi biến dạng lớn xảy ra, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện, đồng thời quy luật dao động của hệ thống không còn tuyến tính mà trở thành phi tuyến. Do đó, nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của hệ thống có đạo hàm cấp phân số là rất quan trọng để thiết kế các công trình và máy móc tối ưu cho nhu cầu cuộc sống. Việc thiết lập và giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả đặc tính dao động phi tuyến của hệ thống là rất cần thiết trong kỹ thuật hiện đại. 1. Sự cần thiết của đề tài nghiên cứu Nghiên cứu dao động của hệ thống liên tục bằng mô hình lý thuyết đóng vai trò quan trọng trong việc giảm chi phí chế tạo, dự đoán sự cố, chẩn đoán lỗi và tìm tần số riêng để tránh cộng hưởng. Ví dụ điển 1
hình là câu chuyện về đoàn quân làm sập cầu do bước đều, tạo ra lực kích động trùng với tần số riêng của cầu. Một số mô hình vật liệu mới trong thực tế với quan hệ ứng suất biến dạng cổ điển đã không còn đúng. Do đó các nhà nghiên cứu đã tìm đến những liên hệ toán học phức tạp hơn giữa ứng suất và biến dạng để qua đó thử nghiệm và so sánh với kết quả thực nghiệm. 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài Kế tiếp hướng nghiên cứu của nhóm mà tác giả luận án này đã tham gia với các công bố trước đây về hệ dao động hữu hạn bậc tự do, đề tài này tính đến dao động của một số hệ liên tục. Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu và đưa ra một số kết quả mới về đáp ứng của dầm, một trong các hệ liên tục điển hình, trong đó dầm dao động trong môi trường mà cả dầm và môi trường đều có tính đến yếu tố đàn nhớt cấp phân số. Các mô hình đó có kể đến tính phi tuyến hình học khi có lực dọc trục hoặc tính phi tuyến vật lý khi quan hệ ứng suất – biến dạng phức tạp, cả hai trường hợp đều xét đến các phần tử cản từ môi trường ngoài có chứa đạo hàm cấp phân số. Nghiên cứu này sẽ tổng hợp và khảo sát chi tiết một số trường hợp của bài toán đặt ra, đề xuất hoặc áp dụng một số phương pháp đặc trưng. Ngoài ra, luận án này cũng khảo sát kỹ lưỡng về sự tương tác dao động giữa dầm và môi trường đàn nhớt bên ngoài mà đều tính đến thành phần cản có cấp phân số. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các mô hình dầm phi tuyến đàn nhớt cấp phân số được biểu diễn bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng có chứa đạo hàm cấp phân số. Dầm chịu lực phân bố ngang trên 2
toàn bộ chiều dài hoặc chịu lực dọc trục ở một đầu, điều kiện biên được xét đơn giản với hai đầu bản lề. 4. Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp giải tích Sử dụng phương pháp tách biến để giải bài toán tìm tần số riêng và dạng dao động riêng của một số mô hình có kể đến tính chất phi tuyến hình học hoặc phi tuyến vật lý. Sau đó đưa phương trình vi phân đạo hàm riêng về phương trình vi phân thường, sử dụng phương pháp tiệm cận để khảo sát hệ phi tuyến yếu. Phương pháp số Sử dụng phương pháp số (Runge-Kutta) và công cụ phần mềm tính toán số (MATLAB), kết hợp với biến đổi giải tích để đưa ra kết quả. Trên cơ sở các phương pháp trên thực hiện phép so sánh và đưa ra những giải pháp tin cậy và toàn diện: tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng và biến đổi về phương trình vi phân phi tuyến của hệ có đạo hàm cấp phân số, từ đó tìm ra tính chất dao động mới của cơ hệ. 5. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tế của đề tài Ý nghĩa khoa học: Luận án nghiên cứu về dao động phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số, một lĩnh vực khoa học đang được quan tâm của nhiều nhà cơ học. Dầm đàn nhớt phi tuyến là một hệ dao động phức tạp. Trong luận án đã nghiên cứu hiện tượng dao động phi tuyến yếu khi xét đến môi trường cản nhớt và nội ma sát cấp phân số. Trên cơ sở nghiên cứu bài toán này, các mô hình ứng dụng thực nghiệm và so sánh có thể được đề xuất để chọn tham số tối ưu trước khi chọn vật liệu để thiết kế chi tiết chịu tải như mong muốn. 3
Ý nghĩa thực tế: Với các chi tiết chịu biến dạng lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện đồng thời sự phức tạp của liên hệ ứng suất biến dạng cũng được phản ánh thông qua đo đạc thực nghiệm. Thông qua việc nghiên cứu mô phỏng số này thì quá trình thí nghiệm với những vật liệu hiếm và có giá trị cao sẽ có thể giảm thiểu chi phí. 6. Bố cục của luận án Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận án gồm 3 chương như sau: Chương 1 trình bày tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước của vấn đề liên quan đến đề tài. Trong đó, các mốc hình thành và phát triển cũng như một số ứng dụng trong cơ học của đạo hàm cấp phân số đã được liệt kê. Chương 2 có hai mục nội dung. Thứ nhất là tập trung vào việc trình bày một số cơ sở tính toán dao động của hệ có đạo hàm cấp phân số. Nội dung cơ sở này sẽ được sử dụng để tính toán trong chương cuối sau khi sử dụng phương pháp tách biến được phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số. Thứ hai là đưa ra việc thiết lập phương trình dao động uốn của dầm có kể đến tính phi tuyến hình học khi kể đến lực dọc ở mỗi phân tố của nó hoặc tính phi tuyến vật lý khi kể đến quan hệ ứng suất – biến dạng phi tuyến. Nội dung này sẽ được kế thừa ở các chương tiếp theo khi đưa thêm yếu tố cản cấp phân số và khảo sát kỹ lưỡng hơn. Chương 3 là chương nội dung chính của luận án. Nó có ba mục nội dung. Mục thứ nhất trình bày về dao động uốn của dầm Euler- Bernoulli đàn nhớt cấp phân số. Nội dung này nhằm đưa đạo hàm cấp phân số vào một mô hình dầm tuyến tính đơn giản để kiểm nghiệm. Những trường hợp phi tuyến phức tạp hơn sẽ được khảo sát ở các mục 4
tiếp theo. Mục thứ hai trình bày về dao động uốn của dầm phi tuyến hình học chịu tác dụng của lực dọc trục và lực cản ngoài cấp phân số. Đây là một trong hai nội dung chính yếu nhất trong luận án. Mục thứ ba trình bày về dao động uốn tham số phi tuyến vật lý của dầm khi xét đến cả quan hệ ứng suất – biến dạng phi tuyến và lực cản ngoài cấp phân số. Equation Chapter 1 Section 1 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1. Tình hình nghiên cứu trên thế giới Leibniz đã đề cập đến lý thuyết đạo hàm cấp không nguyên trong ghi chú gửi tới L’Hospital vào ngày 30 tháng 9 năm 1695. Ghi chú này đánh dấu lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp ½ được thảo luận. Trả lời thắc mắc của L’Hospital về ý nghĩa của biểu thức đạo hàm d n / dx n khi n = 1/2, Leibniz khẳng định rằng điều này sẽ dẫn đến một nghịch lý. Ông dự đoán rằng từ nghịch lý này sẽ phát sinh những kết luận hữu ích trong tương lai. a) Các mốc hình thành: - 1695: Leibniz đề cập đến đạo hàm cấp ½. - 1819: Khái niệm đạo hàm cấp n với n là số bất kỳ được giới thiệu lần đầu tiên bởi Lacroix. - 1832 - 1835: Liouville công bố các bài báo đầu tiên về đạo hàm cấp phân số. - 1847: Riemann xây dựng định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa trên công trình của Liouville. - 1967: Caputo đề xuất một định nghĩa mới về đạo hàm cấp phân số. 5
b) Các mốc phát triển: - Niềm hy vọng ban đầu: Nutting (1954), Gemant (1935, 1936) đặt nền móng cho ứng dụng đạo hàm cấp phân số trong mô hình hóa vật liệu, đặc biệt là hiện tượng chùng ứng suất. - Sự phát triển: Caputo (1967, 1968, 1969), Caputo & Mainardi (1971, 1973) tiên phong trong việc sử dụng đạo hàm cấp phân số để mô tả tính chất đàn hồi và cơ học của vật liệu. - Mở rộng: Bagley & Torvik (1983) tổng hợp các nghiên cứu về ứng dụng đạo hàm cấp phân số trong vật liệu đàn hồi, khẳng định tính hợp lý của mô hình này. - Mô hình hóa vật liệu: Mô tả trạng thái cơ học của vật liệu đàn hồi và nhớt dẻo (Chern, 1980; Diethelm & Freed, 1999, 2000; Freed & Luchko, 2003); Mô hình hóa hiện tượng tắt dần trong hệ cơ học (Gaul, Klein & Kempfle, 1991); Mô tả mối quan hệ ứng suất - biến dạng trong vật liệu đàn hồi (Scott Blair & Caffyn, 1973); Mô tả tính chất đàn hồi và cơ học của tầng địa chất và kim loại (Caputo, 1967, 1968, 1969; Caputo & Mainardi, 1971, 1973). - Phân tích động lực học: Nghiên cứu tính chất va chạm, dao động và tắt dần của hệ dao động (Caputo, 1969; Bagley & Torvik, 1983; Sakakibara, 1992; Zhang & Shimizu, 1994); Phân tích đáp ứng động lực học của bộ dao động phân số (Sakakibara, 1992; Zhang & Shimizu, 1994); Nghiên cứu mô hình thanh đàn hồi (Baker, 2000). - Vật liệu phi tuyến: Mô phỏng hành vi của vật liệu polymer (Sugimoto, 1990, 1991, 1992, 1993); Phát triển vật liệu giảm chấn 6
(Sackman & Kelly, 1964; Papoulia & Kelly, 1988); Nghiên cứu động lực học phi tuyến trong vật liệu đàn hồi (Rossikhin & Shitakova, 2000); Mô hình hóa vật liệu cao su phi tuyến (Gil- Negrete, 2009). 1.2. Tình hình nghiên cứu trong nước Cho đến nay ở trong nước, một số tạp chí chuyên ngành Toán và Cơ học có đăng một số ít công trình nghiên cứu toán học về đạo hàm cấp phân số. Vài năm gần đây, nhóm của GS. Nguyễn Văn Khang cùng các cộng sự đã có các công bố về dao động của một số mô hình cơ học phi tuyến hữu hạn bậc tự do có tính đến yếu tố cản cấp phân số hoặc mô hình vô hạn bậc tự do chưa kể đến cấp phân số. 1.3. Xác định vấn đề nghiên cứu của luận án Trên cơ sở các phân tích trên đây về tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới về lĩnh vực nghiên cứu của đề tài cũng như đối tượng và phạm vi nghiên cứu đã nêu từ phần mở đầu, tác giả đưa ra các lý do lựa chọn đề tài như sau: - Tiếp nối nghiên cứu trước của nhóm nghiên cứu mà tác giả đã và đang tham gia về các hệ dao động hữu hạn bậc tự do có đạo hàm cấp phân số, đề tài này tính đến dao động của một số hệ liên tục có đạo hàm cấp phân số. - Luận án này muốn khảo sát một dầm dao động khi nó được đặt trong một môi trường đặc biệt, đó là môi trường có cản cấp phân số và 7
chịu tác động của tải trọng phức tạp. Các yếu tố đặc biệt này bao gồm cả tính chất phi tuyến của vật liệu và phi tuyến hình học của dầm. Đây cũng là những vấn đề hiện đang được quan tâm từ một số nhóm nghiên cứu trên thế giới. Trong luận án này, tác giả áp dụng một số phương pháp giải tích và phương pháp số để tính toán dao động phi tuyến của cơ hệ dầm đàn nhớt có đạo hàm cấp phân số. Kết luận chương 1 Chương này trình bày tổng quan, cập nhật tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước về vấn đề nghiên cứu dao động với đạo hàm cấp phân số nói chung cũng như hệ liên tục có đạo hàm cấp phân số nói riêng. Trên cơ sở đó nhấn mạnh vấn đề được nghiên cứu trong luận án. CHƯƠNG 2. CƠ SỞ TÍNH TOÁN VÀ THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM PHI TUYẾN CÓ CẢN CẤP PHÂN SỐ Equation Chapter 2 Section 1 Các phương pháp gần đúng tính toán đạo hàm cấp phân số để giải phương trình vi phân có hệ số chứa đạo hàm cấp phân số được phân thành các phương pháp số và các phương pháp giải tích gần đúng. Trong phần đầu chương này trình bày tập trung vào cơ sở của phương pháp số dùng để tính toán trong chương chính của luận án. Nhiều bài toán vật lý và kỹ thuật được mô tả bởi phương trình vi phân cấp phân số. Phần sau của chương này giới thiệu việc thiết lập phương trình dao động uốn của dầm phi tuyến (phi tuyến vật lý và phi tuyến 8
hình học) cấp phân số chịu tác dụng của lực dọc trục và tương tác trong môi trường đàn nhớt. Các kết quả này sẽ được sử dụng cho chương cuối. 2.1. Tính toán dao động của hệ có đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp số Một lớp các phương trình dao động của cơ hệ cấp hai có đạo hàm cấp phân số là các phương trình vi phân có dạng như sau. mx + cx + β ( x ) D p x ( t ) + kx + g ( t ,= r ( t ) , 0 < p < 1   x, x )  (2.1) Trong đó g ( t , x, x ) là hàm phi tuyến. Ta xét bài toán tìm nghiệm của  phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số (2.1) với các điều kiện đầu như sau: x ( 0) 0 , x ( 0)  = x= x0  (2.2) Trong (2.2), x0 và x0 là các số thực tùy ý.  Một lớp các phương trình dao động của cơ hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số là các phương trình vi phân dạng như sau mx + bx + cx + kx + β ( x ) D p x ( t ) + g ( t , x,= r ( t ) , 0 < p < 1 (2.3)    x, )  x Trong đó g ( t , x, x, ) là hàm phi tuyến. Ta xét bài toán tìm nghiệm  x của phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số (2.3) với các điều kiện đầu như sau x ( 0 ) 0 , x ( 0 ) 0 , ( 0 ) x = x= x= 0  x (2.4) Trong (2.4) x0 , x0 và 0 là các số thực tùy ý.  x 9
Trong các phương trình vi phân (2.1) và (2.3) toán tử D p x ( t ) là đạo hàm cấp phân số theo nghĩa Caputo với p là số không nguyên p ∉  . 1 t x (τ ) dτ  C Dap x ( t ) = ∫ (t − τ ) p (2.5) Γ (1 − p ) a 2.2. Thiết lập phương trình dao động uốn phi tuyến của dầm chịu tác dụng của lực dọc ở đầu dầm Trong mục này, ta thiết lập phương trình dao động uốn của dầm khi chú ý đến tính phi tuyến hình học, tính phi tuyến vật lý và lực dọc tác dụng ở đầu dầm (như hình dưới). p(x , t ) P0 (t) x z Phương trình dao động phi tuyến của dầm ∂2w  ∂w  ∂ M y 2 ρ A( x) + ρ A( x)  c  − + ∂t 2  ∂t  ∂x 2   EA  ∂w  2  ∂2w 2 ∫  ∂x  +  P0 (t ) −   dx  2 = p ( x, t ) (2.6)   0  ∂x  Trường hợp tính phi tuyến vật lý tuân theo quy luật đàn hồi tuyến tính, chỉ kể đến tính phi tuyến hình học và dầm không chịu lực dọc tác dụng ở đầu trục ∂2w ∂4w ρ A( x) + EI 0 4 = ∂t 2 ∂x 10
 ∂4w ∂2w  ∂3w   ∂ 2 w 2 = 3a3 E 3 I 2  4 + 2  3   2 + p ( x, t ) (2.7)  ∂x ∂x  ∂x   ∂x 2   Kết luận chương 2 Nhiều mô hình hệ thống động lực được mô tả bởi các phương trình vi phân bao gồm các thành phần tuyến tính với hệ số hằng và các thành phần phi tuyến nhỏ hơn so với thành phần tuyến tính. Chương này trình bày một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích phân cấp phân số. Chương này cũng áp dụng phương pháp Runge – Kutta để tính toán dao động của hệ động lực có chứa đạo hàm cấp phân số. Phương pháp Runge – Kutta có ưu điểm trong việc tính toán và lập trình trên phần mềm MATLAB. Việc thiết lập phương trình dao động của dầm phi tuyến chịu lực dọc trục đã mô tả rõ những chỗ đưa yếu tố phi tuyến vật lý và phi tuyến hình học vào phương trình mô tả dao động. Trên cơ sở đó, chương tiếp theo sẽ khảo sát kỹ lưỡng hơn trường hợp đưa yếu tố cản cấp phân số. CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG UỐN TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CỦA DẦM ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ Equation Chapter 3 Section 1 Dựa theo kết quả từ chương 2, mục 3.1 của chương này xây dựng một quy trình tính toán dao động của dầm Euler-Bernoulli đàn nhớt cấp phân số. Cuối mục này nghiên cứu dao động của dầm đàn nhớt dựa trên hai gối đỡ giản đơn, chịu tác dụng của một lực điều hòa tập trung và chịu tác dụng của lực di động với vận tốc không đổi. 11
Mục 3.2 sẽ áp dụng phương pháp tiệm cận của lý thuyết dao động phi tuyến [78, 80] tính toán dao động uốn của dầm phi tuyến hình học chịu tác dụng của lực cản ngoài cấp phân số. Mục 3.3 sẽ áp dụng phương pháp tiệm cận của lý thuyết dao động phi tuyến tính toán dao động uốn của một mô hình dầm phi tuyến vật lý chịu tác dụng dọc trục điều hòa và lực cản ngoài cấp phân số. 3.1. Dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli đàn nhớt cấp phân số Phương trình dao động uốn của dầm đàn nhớt cấp nguyên Từ chương 3 xét trường hợp tuyến tính không ảnh hưởng của lực dọc, ta có  ∂4w ∂5 w  ∂2w ∂w EI  4 + bi 4  + ρ A 2 + be ρ A = p ( x, t ) (3.1)  ∂x ∂t ∂x  ∂t ∂t Phương trình dao động uốn của dầm đàn nhớt cấp phân số  ∂4w d α  ∂ 4 w  ∂2w dβw EI  4 + µα α  4   + ρ A 2 + ρ Aµ β β =p ( x, t ) (3.2)  ∂x dt  ∂x   ∂t dt ∂2w ∂4 ρA + µα EI 4  Dtα w( x, t )  =  p ( x, t ) (3.3) ∂t 2 ∂x  Biến đổi phương trình đạo hàm riêng về hệ phương trình vi phân thường Xét trường hợp tổng quát khi quan hệ ứng suất - biến dạng dầm cấp phân số, lực cản ngoài cấp phân số, bỏ qua cản trong, phương trình dao động uốn của dầm có dạng ∂2w d α  ∂4w  dβw ρA + EI µα α  4  + ρ Aµ β β =p ( x, t ) (3.4) ∂t 2 dt  ∂x  dt 12
Áp dụng phương pháp Bernoulli, ta tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (3.4) dưới dạng ∞ w( x, t ) = ∑Wi ( x)qi (t ) (3.5) i =1 Trong đó Wi ( x) là các hàm riêng (eigenfunctions), còn qi (t ) là các tọa độ dạng (the modal coordinates). Sau khi biến đổi ta được hệ phương trình vi phân thường có đạo hàm cấp phân số qk (t ) + µα ωk2 Dtα [qk (t )] + µ β Dtβ [qk (t )] =(t ), k =  hk 1, 2,... (3.6) l Ký hiệu h (t ) = ∫ 0 p ( x, t )Wk ( x)dx (3.7) k l ρ A∫ Wk2 ( x)dx 0 3.2. Dao động uốn của dầm phi tuyến hình học chịu tác dụng của lực dọc trục và lực cản ngoài cấp phân số Biến đổi phương trình dao động đạo hàm riêng về hệ phương trình vi phân Phương trình dao động của dầm chú ý đến tính phi tuyến hình học có dạng ∂4w ∂2w ∂2w ∂w ∂α w EI − N 2 + ρA 2 + β + βα α + k f w = t ) p ( x, (5.1) ∂x 4 ∂x ∂t ∂t ∂t Trong (5.1) thành phần lực dọc N có dạng 2 EA L  ∂w  2 L ∫0  ∂x  N=   dx (5.2) Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin ta tìm nghiệm của phương trình vi - tích phân (5.1) dưới dạng 13
∞ = w( x, t ) ∑Φ n =1 n ( x)qn (t ) (5.3) Khảo sát cộng hưởng chính Để nghiên cứu dao động cộng hưởng chính của hệ ω0 2 β β p ∂ p q1 (t ) q1 (t ) + ω0 q1 (t ) −kω0 q1 (t ) −  = 2 2 q13 (t ) −  q1 (t ) − + h1 (t ) 2R2 ρA ρ A ∂t p khi Ω ≈ ω0 , ta đặt Ω 2= ω0 + εσ 2 (5.4) Trong đó, ε là tham số bé, σ thể hiện sự sai lệch giữa Ω với ω0 . Đường cong biên độ - tần số (đường nét đứt thể hiện điều kiện ổn định) 14
3.3. Dao động uốn tham số phi tuyến của dầm trong một mô hình lưu biến chịu tác dụng của lực dọc trục điều hòa và lực cản ngoài cấp phân số Thiết lập phương trình vi phân dao động Phương trình dao động uốn của dầm P (t ) x dx z,w ∂3w ∂2w ∂4w ∂5 w + β 2 + k 4 + h 4 =t ) ε p ( x, (3.8) ∂t 3 ∂t ∂x ∂x ∂t Áp dụng Ritz – Garlerkin biến đổi phương trình đạo hàm riêng về phương trình vi phân thường Để tìm nghiệm dao động tham số của phương trình, trước hết ta tìm các hàm riêng bằng cách xét dao động tự do tương ứng. ∂3w ∂2w ∂4w ∂5 w +β 2 +k 4 +h 4 = 0 (3.9) ∂t 3 ∂t ∂x ∂x ∂t Áp dụng phương pháp Ritz – Garlerkin, ta tìm nghiệm riêng của phương trình (3.9) có dạng wn ( x, t ) = Φ n ( x)qn (t ) (3.10) Thế (3.10) vào (3.9) ta được Φ n + βΦ n qn + k Φ n ( IV ) qn + hΦ n ( IV ) qn = qn   0 15
Tính toán dạo động tham số phi tuyến bằng phương pháp tiệm cận Trong đó β , ω , k3e , h3e , b, δ , Ω, Pe là những tham số. D p q1 ( t ) ; D p +1q1 ( t ) là đạo hàm cấp phân số của q1 ( t ) . Để đơn giản hóa các biểu thức toán học ta kí hiệu q = q1 ( t ) . Giả thiết hệ có cộng hưởng tham số Ω ≈ 2ω Ω εσ = (1 − η 2 ) , η = ω2 (3.11) 2ω Vẽ đồ thị đường cong biên độ tần số, mô phỏng số Xây dựng đường cong biên độ tần số thể hiện sự phụ thuộc biên độ a Ω2 vào ν , với ν η= = 2 . Với bộ số liệu được sử dụng cho phương 4ω 2 trình như sau: ω =1, ε =0.01, p =e = 3e = 1, β = δ = 0.5, k3 −0.1, h 1, 0.05, = 0.05, b 1 Pe = (3.12) Đường cong biên độ tần số kết hợp mô phỏng số 16
Kết luận chương 3 Mục 3.1 trình bày việc tính toán dao động của dầm Euler-Bernoulli đàn nhớt cấp phân số. Một vài kết quả mới là: - Khảo sát dao động của dầm Euler-Bernoulli đàn nhớt cấp phân số dựa trên quan hệ ứng suất – biến dạng cấp phân số. - Tính toán dao động của dầm đàn nhớt dựa trên hai gối đỡ giản đơn, chịu tác dụng của một lực điều hòa tập trung hoặc chịu tác dụng của lực điều hòa di động với vận tốc không đổi. Các mô phỏng số cho trường hợp tải tĩnh có sự so sánh giữa phương pháp số và phương pháp giải tích. Sự thay đổi phức tạp khi có tải trọng di động cũng được thể hiện trong các đồ thị. Mục 3.2 đi sâu vào việc nghiên cứu ứng dụng mô hình được giới thiệu ở chương 2 khi bổ sung yếu tố cản cấp phân số. Cùng với mục 3.3, đây là một trong những nội dung cốt lõi của luận án. Nội dung chính của mục này bao gồm việc đưa ra phương trình dao động cho dầm phi tuyến hình học, tính đến cả nội lực dọc và tác động của môi trường ngoại lực do nền đàn nhớt cấp phân số gây ra. Bài toán phức tạp này được đưa về giải quyết một lớp bài toán quen thuộc là khảo sát dao động cộng hưởng của hệ Duffing cấp hai có chứa đạo hàm cấp phân số sử dụng phương pháp tiệm cận. Nội dung này đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển mô hình toán học toàn diện cho dầm phi tuyến hình học chịu tác động bởi nền đàn nhớt cấp phân số. Nhờ đó, chúng ta có thể dự đoán đáp ứng dao động của dầm dưới các điều kiện tải trọng và kích động khác nhau. 17
Mục 3.3 đã trình bày việc phân tích dao động uốn của dầm phi tuyến vật lý dưới tác động tải trọng dọc trục điều hòa và lực cản ngoài cấp phân số. Nội dung của mục này tập trung vào việc áp dụng phương pháp tiệm cận để nghiên cứu dao động của đối tượng. Nội dung chi tiết đã trình bày bao gồm: - Mô hình hóa dao động của dầm phi tuyến bằng phương trình vi phân mô tả mối quan hệ giữa chuyển động, lực tác dụng và đặc tính vật liệu lưu biến của dầm. - Biến đổi phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả dao động dầm về dạng phương trình vi phân thường thông qua phương pháp Ritz-Galerkin. - Sử dụng phương pháp tiệm cận để tìm lời giải cho phương trình vi phân thường, từ đó xác định dao động uốn phi tuyến của dầm. - Biểu diễn kết quả tính toán dưới dạng đồ thị đường cong biên độ - tần số và mô phỏng số để minh họa cho dao động uốn phi tuyến của dầm. Mục 3.3 này đã cung cấp một cách tiếp cận hiệu quả để nghiên cứu dao động uốn của dầm phi tuyến vật lý dưới tác động của tải trọng phức tạp, đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết dao động phi tuyến và ứng dụng của nó trong một số lĩnh vực kỹ thuật. 18