T ng h p các bài s h c hayổ ợ ố ọ
Đoàn Thành Đtạ
1. Tìm t t c s th c ấ ả ố ự , sao cho là s nguyên v i .ố ớ
(Romani 2004)
2. Cho là s nguyên t và là s th c d ng sao cho ố ố ố ự ươ . Ch ng minh r ngứ ằ
V i t t c s nguyên ớ ấ ả ố .
3. Cho s nguyên là s nguyên không âm sao cho là s chính ph ng v i m i . ố ố ố ươ ớ ọ
Ch ng minh r ng .ứ ằ
(2001 Polish MO)
4. Cho là s nguyên l n h n 1. Th a mãn ố ớ ơ ỏ . Ch ng minh r ng ứ ằ .
5. Tìm t t c các c p không âm sao cho :ấ ả ặ
6. Ch ng minh r ng vô s s nguyên d ng th a mãn .ứ ằ ố ố ươ ỏ
7. Tìm t t c s nguyên d ng th a mãn .ấ ả ố ươ ỏ
8. Cho là s nguyên t d ng . Cho ph ng trình sau :ố ố ạ ươ
Ch ng minh r ng ph ng trình vô s nghi m và n u ứ ằ ươ ố ệ ế
9. Cho s bi u di n d ng c s 10 v i . Ch ng minh r ng ố ể ễ ạ ơ ố ớ ứ ằ
10. Cho s nguyên t và là 2 s th a mãn . Ch ng minh r ng :ố ố ố ỏ ứ ằ
11. Cho s nguyên d ng b t k . Ch ng minh r ng luôn t n t i ố ươ ấ ỳ ứ ằ ồ ạ không nguyên sao
cho m i s nguyên ta có .ọ ố
12. Ch ng minh r ng luôn có nghi m nguyên d ng v i là s nguyên t .ứ ằ ệ ươ ớ ố ố
13. Cho là s nguyên t l và . Ch ng minh r ng luôn có nghi m nguyên d ng .ố ố ẻ ứ ằ ệ ươ
14. Cho ph ng trình Diophantineươ
Luôn có c p nghiêm v i ặ ớ
15. Cho là s nguyên t l và ố ố ẻ l p thành c p s c ng công sai , . Ch ng minh ậ ấ ố ộ ứ
r ng .ằ
16. Cho hai dãy s nguyên th a mãn :ố ỏ
Ch ng minh r ng có ít nh t m t s nguyên t trong kho ng ứ ằ ấ ộ ố ố ả v i ớ.
17. Cho , sao cho . Và . Tìm t t c s sao cho .ấ ả ố
18. Ch ng minh r ng vô s sao cho ứ ằ ố
Đu là s nguyên v i vô s nguyên d ng ề ố ớ ố ươ .
19. Tìm t t c b s nguyên ấ ả ộ ố sao .
20. Tìm t t c các b s nguyên ấ ả ộ ố sao cho :
21. Cho
22. Ch ng minh r ng ứ ằ là 2 s nguyên t khi và ch khi ố ố ỉ
23. Cho là s nguyên t th a mãn t n t i ố ố ỏ ồ ạ sao cho . Ch ng minh r ng .ứ ằ
24. Ch ng minh r ng là 2 b s Pytago v i thì ho c ứ ằ ộ ố ớ ặ là s chính ph ng.ố ươ
25. Ch ng minh r ng ứ ằ khi v i là hai s nguyên t và , ớ ố ố
26. Cho . Ch ng minh r ng t n t i s th c d ng , sao cho .ứ ằ ồ ạ ố ự ươ
27. Tìm t t c các b v i là s nguyên t th a mãn .ấ ả ộ ớ ố ố ỏ
28. Cho là s nguyên t l và s t nhiên l th a mãn ố ố ẻ ố ự ẻ ỏ . Ch ng minh r ng .ứ ằ
29. Cho dãy s ố. Tìm s nguyên t và .ố ố
30. Tìm t t c s nguyên d ng sao cho luôn t n t i sao cho .ấ ả ố ươ ồ ạ
31. Cho hai dãy s ố th a mãn và ỏ
Tìm t t c s nguyên t sao cho ấ ả ố ố .
32.