Tổng ôn tập luyện bồi dưỡng học sinh giỏi hình học không gian: Phần 1

Chia sẻ: Liên Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

164
lượt xem 48
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 tài liệu Ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi hình học không gian cung cấp cho người đọc các kiến thức: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song, quan hệ vuông góc. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng ôn tập luyện bồi dưỡng học sinh giỏi hình học không gian: Phần 1

TRUdNG TRUNG HQC PH(f THONG CHUYEN CHU VAN AN - HA NOI 0454 L PHANHUYKHAIICHUBIEN) CHlf XUAN DONG - HOANG VAN PHU - CU PHUQNG ANH On • BOI DUONG HOC SINH GIOI NHA XUAT BAN TONG HOP THANH PHO HO CHf MINH
Cty TNTIII MTV DWII Khimg Viel ' oCdrl not ctdu ' DU6NG T H A N G V AWAT F H A N G T R O N G K H O N G GIAN N h a m giup c a c em hoc sinh trung hoc pho thong noi chung, c a c ban hoc sinh QUAN H E SONG SONG gidi Toan noi rieng c6 them tai lieu de hoc t^p tot mon Toan trong nha trUdng, cung nhi/chuan bj day du kien thufc phuc vu cho c a c ki thi tuyen sinh vao D a i hoc, Cao I. T O M T A T L i T H U Y E T d^ng va c a c ki thi O l y m p i c ve Toan c a c c a p , nhom giao vien Toan trudng P T T H 1, C a c tien de ciia hinh hoc khong gian: C h u V a n An - H a Noi chung toi bien soan hai bo sach sau: _ Qua hai d i e m p h a n b i c t trong k h o n g gian c 6 m o t va c h i m o t du'cfng thang - Bo sach chung gom 6 cuon: ma t h o i . /. O n \uyen boi dudng hoc sinh gidi hinh hoc khong gian. _ Qua ba d i e m khong thang hang c6 mot va chi mot mat phang ma thoi. 2. On luy$n boi difdng hoc sinh gidi hcim so. _ M o t du'cfng thang co hai d i e m chung v d i mot mat phang thi n a m tron trong 3. On luySn boi difdng hoc sinh gidi phuang trlnh bat phuang trlnh. mat phang ay.;,'., .•„;-
Bdi dUctttg IISG Hinh hoc khong glan - Plum Ilutj Khdi Ctij TNIIII MTV DWH Khang Vm 3. Q u a mot d i e m M ngoai dtfdng thang a da cho c6 mot v a c h i mot diTcfng do (P) va ( Q ) se la hai mat phang t h i n g song song, v d i a m a Ihoi. song song (hinh 6) Id' Dfnh li 2: N e u (P) va DViduQ ^' ' (Q) la hai mat phang 3^,!%,^ song song, va (R) la mot mat phang sao d'n ii>)~ \ cho (R) cat (P). K h i Hliili 2 • ,-MA i f i O i b lid !M(,) do (R) cung cat (Q) Hinh 3 va giao tuyc'n A cua (R) v d i (P) se song 4. Di]f(Vng thang song song V(?i mat phang: song v d i giao tuyen iif^hTa: Di/dng t h i n g a g o i la song song v d i mat phang (P) va k i hieu A' cua (R) v d i (Q) a // (P) neu nhiT a va (P) khong c6 diem chung. (hinh 7) , ! D i n h l i 1: ( T i e u chuan song song) 11)^4 B i n h l i 3: Cac mat phang song song djnh ra tren hai cat tuyc'n nhffng doan Difdng thang a (khong nam trong mat phang (P)) song thang ti le (hinh 8) , song v d i (P) khi a song
Boi ditOtig HSG lUnh hoc khong ginii - Phan Hug Khdi Ctg TNHH MTV D \ yjl Khang ViH II. C A C D A N G T O A N B a i 3. Cho ba du'dng thang a, b, c doi mot cheo nhau va mot d i e m M tren a. L o a i 1. Di/ng du'dng thang d qua M va cat b, c. C A C BAI T O A N D A I C U a N G V E DL/CfNG T H A N G V A M A T P H A N G Giai B a i 1. Cho hai diTcing lhang song song a, b v;i di/dng lhang d cal b l a i m p l diem G o i ( P ) la mat phang xac dinh bdi M va b. K h i do ( P ) luon UiTng diTdc va la M nhiTng d khong cat a. mat ph^ng duy nhat. D o c va b chcSo nhau ma b G ( P ) nen c € ( P ) . C 6 hai kha 1. Chitng minh a va d la hai diTdng thang cheo nhau V. a c n a n g x a y ra: , 2. ChiJng minh rang m o i diTdng thang cat d va song song v d i a deu nam tren m5t xac dinh b d i d va b. Giai B a i toan v6 nghiem N 1. Do qua M chi co mot difdng (hinh 11) Q Ihiing song song vcHi a ma b // a, nen d khong song song v d i 2. N e u c n ( P ) = N . ' : „ Hinh 10 a. Hdn nffa d khong cat a, vay d cheo nhau v d i a. K h i do l a i xay ra hai ' :^ ^ , :uS\:}A:iki^. ^.
Doi dudiig IISG IRnh hoc khong gian - Phan Ilnij Khdi Cty TNIIII MTV DVVII Khang Viet Giai Giai Gia sur ( M ; a) n ( M ; b) = A G o i P va Q la hai mat phang tu-dng iJng xac V i a n b = 0, nen A chinh djnh b d i a, c va b d i b, d. < m'hih tOni KIH» th 'v la difdng thang no'i O, M Do c, d khong c6 d i e m chung (P) va (Q) la hai Gpi Q = (O; d) la mat mat phang phan biet. M a t khac (P) va (Q) c6 phang xac dinh b d i O d i e m chung la M , nen (P) n (Q) = A, d day va dirdng thang d. M e A.Trong (P), ta co a // c ma a n A = M , Khi do (Q) la mat Hlnh 13 nen c n A = I . TiTdng tif trong (Q), ta c6 d // b phang CO dinh. - ' ma b n A = M , nen d n A = J. V i c va d khong Ttf do suy ra cac giao tuyen A luon nam trcn (Q) => D p c m . CO d i e m chung nen hien nhien >,V, q : B a i 5. Cho ba d i e m A , B, C cung phia doi v d i mat phang (P). DiTc^ng thang BC Ta CO c e (P), d n (P) = J va J ?t c, nen c va d la hai d^dng thang cheo nhau cii (?) tai mot d i e m D . ChiJng m i n h rang it nha't mot trong hai diTdng thang => dpcm. j/[ DfU r / . v i j Qn;:;fk-) isucj ujit uU:j.; J € ( A B N ) (2) I khac (Q) va (P) c6 chung Ml, DTnhien A e ( A B N ) (3) nhau d i e m D , nen (Q) n T i r ( l ) , (2), (3) suy r a O , , J , A (P) = A va D e A. R6 rang ^ cung thuoc ( A B N ) (4) I, trong (Q) thi A C va AB von TiTdng tir, 0 | G D M O, e ( A D M ) ( 5 ) khong the ciing song song J G L M =^ J e ( A D M ) (6) v d i A (do qua mot d i e m A O , , J, A c i : m g t h u o c ( A D M ) (7) CO duy nha't mot dufdng Hai mat phang ( A B N ) va ( A D M ) c6 chung thang song song v d i A ) . I nhau d i e m A , nen chac chan ( A B N ) n ( A D M ) = A fg^j n >f dpcm. Tir (4), (7) suy ra A , 0|, J thang hang. B a i 6. Cho hai du-dng thang a, b cat nhau tai d i e m M . Hai du-dng thang c, d khong CO d i e m chung va tu-cJng iJng song song \6i a, b. Chrfng m i n h c va d B a i 8. Trong msil phSng (P) cho hinh thang A B C D (BC // A D ) va mot d i e m S € cheo nhau. . ; \i , -v H*II»UJ ^iuj' y i « (P). M a t phcing (Q) di dong chiifa diTcJng thang SB va gia su" cat SC, SD tifdng . i ' 'I ' I , t i.rvi . ' i l l , . ' ! .' I , I,
Boi diCdng HSG Ilinh hoc khoruj cjian - Phan IIiuj Khdi CUj TNIin MTV nVVII Khancj Viet dng tai M , N . Mat phang (R) di dpng chita diTdng thang CD vii gia su" ciit SA, Bai 9. Cho tiJ dien ABCD. Goi A , , B,, C,, D, tu-dng tfug ha trong tiim cua cac SB tiTdng iJng tai P vii Q. tam giac BCD, ACD, ABD va ABC. ChiJng minh rang A A , , BB,, CC,, DD, 1. Chi?ng minh M N , PQ luon di qua mot dicm co' djnh khi (Q) vii (R) di dong dong qui tai diem G vii ta co: fb'ruA. > ; nhu" tren. / / ,^ AG BG CG DG 3 ' 2. Goi I = A N n B M , J = CQ n DP. ChiJng minh duTdng thang noi I , J luon di AA, BB, CC, DD, 4 qua mot diem CO djnh. ':].*••!> • • * v., Giai • ( 3. Goi K = A M n BN, L = CP n DQ. ChiVng minh r^ng cac diTcJng thang noi K, Goi A | , B | IMng rfng lii cac trong lam cac L cung luon di qua mot diem co dinh. • ivfi :;i, dpcm. 1. Diim G noi tren goi lii "trong tam ciia Itf dien ABCD". No lii sir md rong 3. Giii su" AC n BD = O => O co dinh. cua khai niem trong lam ciia tam giac. Vi A M n BN = K ^ K e A M => K e (SAC) 2. Ta CO each khac xac dinh trong tiim ciia K e BN => K e (SBD), vay K nam tren giao tuye'n cija hai mat phang (SAC) lufdien ABCD nhiTsau: va (SBD). Tu-dng tir, do CP n DQ = L cung nam tren giao tuye'n cua (SAC) Cho {({ dien ABCD. Goi I , J, E, F, K, H vii (SBD), con O cung thuoc giao tuye'n cua (SAC) vii (SBD) (do AC n BD = liin lircn lii trung diem ciia AB, CD, AC, O) => K, L , O thang hang. Noi each khac cac du^dng thang noi K, L luon di BD, AD, BC. qua diem co dinh O ==> dpcm. ''• W''^^ • •- , Khi do IJ, EF, K H dong qui lai G vii G ' ' chinh lii trong tam cua liJdien ABCD.
Cty TNHH MTV DWH Khang Viet Boi (hcdng IISG Hhih hoc khong gian - Phan Iluy Khdi 4. G o i M , N la diem bat k i tiTcJng uTng tren A B , C D . T i m giao diem cua M N v d i ofc:De thiiy I K J H la hinh binh hanh va '{ (UK). .-.l^; lEJF la hinh binh hanh. .V •.>i • Giai Tir do IJ va EE cung nhiT IJ va K H a t t 1. Trong ( B C D ) gia s C r C D n K J = E , •r,^, ^^l^ „,^n, n, nhau tai trung d i e m cua m o i du"5ng. i ^CDn(UK) = E , ^^^^ ^ l s m i L u u i \ ( > NhU" vay IJ, H K , EE dong quy tai mot ,j Theo dinh l i M e n e l a u y t trong N, V \ oho (•.V'' : d i e m G => dpcm. tam giac B C D , ta c6: B a y gicf ta chtfng minh G la trpng tarn , D K BJ C E \ cua turdien A B C D . • = 1. (1) iD \ -"mXi in K B • JC • E D Trong ( A B J ) , gia sur A G n BJ = A ) . ^ DK 1 , BJ ,, , , . . Do = - v a — = I ( g / t ) nen t u ' ( I ) suy ra A p dung djnh l i Menelauyt trong tarn KB 2 JC ^ g.acABA,.tac6:^.-?i.M.i ' ; f A M : ,BU CF . I B JA, G A ^-f^^^.^' — =2 CE = 2ED ED BJ A , G A AI , D E = D C •dpcm. =1 do — = 1 (1) JA, GA 2. V i E e D C => E e ( A D C ) . C IB Trong ( A D C ) , gia s^ E I n A D = F F e E I => F e ( U K ) ^ A D n (UK) = F. L a i ap dung dinh l i Menelauyt trong A BIJ, ta c6: BA, JG lA Trong tam giac A D C l a i theo dinh 11 Menelauyt, ta c6: * =1 0,A CE DF A I A.J GI A B £ 1 '^^^ =1 (2); 'hh ltd J •iiirMiMrAiA'^i;'^ EDFAIC JG , . lA 1 . BA, ^ Do — = 1 va — = -,nen ^- = 2 (2) AI T i r c a u l , t a c 6 • ^ = 2 , c 6 n ^ = l (g/t), nen tif (2) c6: ^^'^7 "f''^ GI AB 2 A,J ED IC „(in j ^ > < M s A , i M , A o5do.§fi«*Wt>:iaff'Bril (1) chu'ng to A | la trong tam cua tarn giac B C D . — - i F A = 2FD => dpcm. R I A G I AG aci FA 2 „. , Tir (2) suy ra — = 3, v i the iCf (1) c6 = -: JA, GA 3 AA, l_ 3. T h e o c a u 2 t h i — = - FA 2 , V a y theo bai 9, G la trong tam cua tiJ dien A B C D => dpcm. DK 3. Nhiic h i i dinh l i Menelauyt (xem hinh hoc Idp 10). , . ^: Theo gia thie't ta c6 - ^ ^ K B ' 21 FA DB Cho tam giac A B C . M , N , P Ian dao), ma IJ // A B => F K // IJ => dpcm. _ lifdt la ba d i e m tren cac du'dng n 0 m a i O .1 4. L a ' y M e A B , N e C D . '''^ j thang A B , B C , C A sao cho M , N , Trong ( D A C ) gia suf A N n I F = A ' . P thang hang. K h i do ta c6: ' f. Trong ( D B C ) gia suf B N n K J = B ' . AM B N CP , " * Trong ( N A B ) gia stir A ' B ' n N M = P. M B N C PA Do P G A ' B ' P e ( U K ) , ma P e M N , dieu do c6 nghla la M N n ( U K ) = P. B a i 10. Cho ttf d i c n A B C D . G o i I va J Ian lu-dt la trung d i e m cua A C va BC. B a i 1 1 . Cho ti? dien A1A2A3A4. G o i G,, G2, G3, G4 Ian liTcft la trong tam cua cac T r e n B D lay d i e m K sao cho B K = 2 K D . mat A2A3A4, A1A3A4, A1A2A4, A1A2A3. M la mot d i e m bat k i trong khong 1. Xac dinh giao diem E ciia dUc^ng thang C D vcti ( U K ) va chu'ng minh D E = DC. gian. G o i M | , M2, M 3 , M 4 liTdng i?ng la cac d i e m doi xiifng ciia M qua G i , G2, 2. Xac djnh giao diem F ciia du'dng thang A D vdi ( U K ) va chu'ng minh F A = 2FD. 5. C h u - n g m i n h E K / Z U 13
(litdhuj IISG llinh hoc khoiuj gian - Phan Buy Khdi Ctfj TNim MTV DWH Khang Viet Gj, G 4 . ChuTng minh A | M | , A2M2, A 3 M 3 , A 4 M 4 la bo'n diTdng thang dong qui Giai lai mot diem. yil!; Trong (ACD) di/ng hinh binh hanh ACED. Giai Vi J la trung diem CD ncn A, J, E thang hang Goi N la trung diem cua A 3 A 4 , the thi ta va CO AJ = JE. CO (do G|, G2 lU'dng iJng la cac trong Trong (ABE) de thay BE = 2IJ . lam ciia cac tam giac A2A3A4, A 1 A 3 A 4 ) Do AB va CD cheo nhau, nen B, D, E khong thing hang. Tu" do ta co: BE < BD + DE ] ^ . ^ . i ^ G , G 2 / / A , A 2 , NA2 NA, 3 =>2IJ< BD + AC. ; va theo dinh li Ta-lct cung c6: Bai 13. Cho hai mat phang (P) va (Q) cat nhau theo giao tuyen A. Lay M (P), N 6 (Q) sao cho M va N deu khong thuoc A. ^ = 1. (1) Tim tren A diem I sao cho MI + IN la be nhat. A,A2 3 Giai Mat khac trong A M M 2 M 1 , ta c6 G1G2 Trong (Q) ha NA 1 A (A e A). • ti/A la diTcfng trung binh, nen: Tren (P) difng tren niJa mat phang M,M2 = 2G|G2. (2) bcf khong chiJa doan NA| 1 A vii AN| - AN Tur(l), ( 2 ) s u y r a : M | M 2 = jA,A2 (3) Noi MN, cat A tai diem I can di/ng. ;> That vay do hai tam giac vuong L\, ,.:0 NiAI va NAI bing nhau, nen IN] = IN Vay A1A2M1M2 la hinh thang vdti hai day la A1A2, M1M2 c6: !•)! AH. (B Lay diem K tuy y tren A (K ?t I). M1M2 = - A j A j Trong tam giac KMN, ta co: d j j, .^j ; ,3 . • Vi the hai di/cJng cheo A,M|, A2M2 c^t nhau tai mot diem S, trong do: MK + KN| > M N , =MI + IN| , SM, _ S M 2 ^ ^ 22 ^ hayMK + KN, > M I + IN. (1) SA| S A 2 3 DoAN,AK = ANAKnenN|K = NK(2). TiTdng tir cac doan th^ng A , M , , A,M,; A | M , , A 4 M 4 c^t nhau tiTc^ng tfng tai S', TCr (1), (2) suy ra: MK + KN > MI + IN dpcm. ,i S " t r o n g d 6 : ^ . ^ . S ; : M , _ S ; ; M ^ _ 2 '^^^ ••• S'A, S'A, S"A, S"A, ..Big .jKfudi gnfi'i Loai 2. C A C B A I T O A N V E THIET DIEN TCr (5) noi rieng suy ra: SM| S'M, S"M| 2 A, Phrfcfng phap xac djnh giao tuyen bSng hai diem chung, Nhu" ta da biet de xac dinh giao tuyen cua hai mat phang, ta chi can xac djnh Dicu do CO nghla la AiMi, dong quy tai mot diem S, va A2M2, A3M3, A4M4 hai diem chung A, B cua chiing. DU"dng thing di qua A, B chinh la giao tuyen can tim. Xac djnh thiet dien vdi mot khoi da dien thiTc chat la viec tim giao t-' ^ u- w .u SM, S M 2 SM^ SM4 2 ^ tuye'n cua thiet dien can tim vdi cac msit cua khoi da cho. diem nay chia chung theo ti so: = = = = —. Do la dpcm. Thi dy 1. Cho hinh ch6p tam giac S.ABC. Goi M, P Ian lifdt la cac trung diem SA, S A 2 SA3 SA4 3 AN 1 cua SA, SB con N la diem tren AB sao cho: = - AB 4 Bai 12, Cho hai doan th^ng ch^o nhau AB, GD. Goi I va J Ian liTdt \h cic trung Ve thiet dien tao bdi (MNP). :* :^ diem cua AB va CD. rt* Hay so sanh AC + BD va 2IJ. «» * a„.(i*.
Cty TNHH MTVDVVII Khang Viet Boi (hcclng IISG IRnh hoc khoiig gian - Pluin IIuij Khni AN BP C E ^ C E AM SQ Giai Trong (ABC): NP n AC = E. N B P C C A C A M S Q C Trong (SAC): E M n SC = Q AN ^ SQ BP _ A M do =1 Khi do MQPN la thiet dien phai dyng. NB QC PC " M S Bay gid ta xac djnh vi tri cua Q tren SC. AN Trong tam giac ABC, theo AB SC ..I,.,,.,.,,.,, djnh l i Menelauyt, ta c6: 4. Thifc ra neu N la trung diem AB, thi ta van thu lai ke't qua tren. Tuy nhicn AN BP CE _ j N each di/ng thie't dicn la khac vdi each tim giao diem ciia cac di/dng nhu" trong NB ' PC • EA bai tren! AN__1_ ' . A N _1_^ BP CE Thi du 2. Cho hinh chop ti? giac S.ABCD, Do VI NB ~3 AB 4 . PC = 1, nen thay vao (1), ta c6: = 3 (2) day ABCD la hinh binh hanh. Gpi M , fi"'5^ A)Mm «.rf ( Q ) 3no-!T AB, A D v a S C . =1 (3) EA• MS •QC Ve thiet dien tao bdi (MNP), i Giai ^ Tir (2) v h ^ = l nen thay vao (3) c6 = 1, hay ^ = - MS , QC 3 ^ SC 4 'ilo ..^4 Trong (ABCD): M N n CD = E MNnBC = F 1. Viec diTng thie't dicn vdi mot khoi da dien da cho di/cJc tie'n hanh theo 2 biTdc: Trong (SDC): EP n SD = Q - Birdc 1: Ve thie't dien. -- < i v'- - ' ^"-^ Trong (SBC): FP n SB = R - Birdc 2: Xac djnh chinh xdc vi tri c^c dinh ciia thiet dien. De lam dieu n^y Vay MNQPR la thie't dien phai diTng. A ngirdi ta thirdng sijT dung hai dinh li cd ban la djnh l i Ta-let va djnh l i Menelauyt. Ta thay ba dinh M , N , P da hoan loan xac dinh (vi chung la trung diem cua cac 2. Cc1n lull y cac dieu sau day khi giai mot bai todn ve thie't dien: ^' ' canh AB, AD va SC tufdng itng). Con lai ta phai xac dinh vi tri cua Q va R. - Phai luon coi mSt phang la v6 han, thi du (ABC) chiJ khong phai la tam giac Do ABCD la hinh binh hanh va tiTgia ihie'l suy ra ED = A M = ^ = ^ . ABC. Ap dung djnh l i Menelauyt trong lam giac SDC, c6: - Trong khong gian de tim giao diem cua hai du'dng thang trufdc het phai lim DE CP SQ xem chung c6 ciing d trong mot mat phang hay khong? Thi du trong bai loan -=I (1) ECPSQD , tren, ta phai trinh bay: 3 ^. Trong (ABC), ta c6 NP n AC = E ^. 4' ( Do Ih dieu can thie't, neu khong la rat de bj ngp nhan. AN SQ SR. 3 3. Ketqua Lap luan tuTdng tiT c6 trong bai tren van dung, neu N la diem bat ki tren A B SDi 4' AB SC Vi tri cac dinh cua ngu giac thiet dien phai diTng diTdc xac djnh hoan loan. (mien la N khong phai la trung diem cua A B ) . Thi du 3. Cho hinh chop tiJ gidc S.ABCD day la hinh binh hanh. Gpi M , N tiTdng That vay theo dinh l i Menelauyt, trong cac tam giac A B C va S A C , ta c6: A N B P CE iJng la cac trung diem cua AD va DC. Keo dai SD ve phia D mot doan DE = CE A M SQ = 1; = 1 i NB PC CA CA'MS QC SD. Xac dinh thie't dien tao bd ^ :—•—y-::^ 17
rioi (iKctmj HSG innh hoc khSng ginn - Phan Iluy Khdi Cty TNHH MTV DWH Khang Viet Giai Giai Trong ( S C D ) : E N n S C = P. Goi M ' = C O n A B . Trong ( S A B ) : E M n S A = R. Trong ( C ' M M ' C ) : MP n C ' C = Q. ^, Trong ( A B C D ) : M N n B C = F. Trong ( B B ' C ' C ) ; Q N o B ' B = E . Trong ( S B C ) : FP n S B = Q. ' Trong ( A B B ' A ' ) : E M n A B = R. Khi do M N P Q R la ngu Trong ( B C C ' B ' ) : E Q n B ' C = F. .15 Trong ( A ' B ' C ) : M F o A ' C = S . giac thiet dien phai diTng. .'3 Khi do M S Q N R la ngu giac thiet Ta chi con phai xac dinh vj dien phai diTng. tri cua cac dinh P; Q; R. »j f^) < Bay gicJ xac dinh vi tri cac dinh Trong tarn giac S D C , theo dinh li Mcnelauyt, ta c6: cua thiS'tdien. SE DN C P = 1. (1) Do = - ma theo dinh li T a - l e t , ta c6: EDNCPS O'O 6 SE DN , ^ CP 1 SP 2 O'P MO" 1 _ ..^ , Vi -^77 = 2;—— = r, n e n t u f ( l ) c o : — = -hay — = - = = - => Q la trung diem cua C C . ED NC , PS 2 ^ SC 3 C'Q MC 3 ..'ti.v; SR 2 'If' i Hit Ttfctng lif C O De thay B E = Q C = - C C ' = - B B ' . ^ V H - M M .i " SA 3 ' , „ ,1, 2 2 \M r 1'] De thay do A B C D la hinh binh hanh, nen lir giii Ihict suy ra: BR _ E B _ 1 BR _ 1 Theo dinh l i T a l e t , thi C F = DM = - A D = - B C 1 I op 2 2 • . Do F C = N C = - B C = - B ' C =^ = 3. m s^^^ A p dung dinh li Mcnelauyt trong lam giac S B C la c6: ; SQ B F C P n ii.,/ iu,i>\ hhH M dnlh ac, > f.T Ap dung djnh li Menelauyt trong tam giac A ' B ' C , ta c6: ^ .^j.,,.,] |.{ g = 1. (2) : QBFCPS BF C S A'M (1) FC SA' MB ... BF CP 1 SQ 2 , i.', >!lijfj"iy iy'Jp l-U V i — = 3; = = _ (suy iir 2) BF ' A ' M , CS 1 CS 1 FC PS 2 QB 3 SO 2 FC MB SA' 3 CA' 4 Vay SB 5 V a y vi tri cdc dinh cua ngu giac thiet dien hoan to^n xdc dinh. Nlian xet: Vi tri cac dinh cua ngii giac ihict dien hoan loan xac djnh. .... r.- 1. Qua vi du nay, ta thay viec xac dinh giao diem " d a u tien" la rat quan trong Chiiy: Co the thay M N , A B va R Q dong qui lai mot diem. ,5V J V (d day do la giao diem Q). TiT giao diem Q nay, cac giao diem con lai di/dc (cac ban tuT gisii ihich vi sao?) xac dinh mot each khong lay gi lam kho khan. T h i du 4. Cho lang tru tarn giac A B C . A ' B ' C day la lam giac deu. Goi O va O ' 2. Nhtf da noi den 5 phan tren viec lim giao diem ciia hai diTcfng thc^ng trong Ian hMl la cac lam cua day A B C . A ' B ' C ' . Gia su- M vii N Ian Imi la trung khong gian triTdc het phai xem chiing c6 d trong ciing mot mat phing nao O'P 1 hay khong? Trong cac bai loan trifdtc dieu nay de nhan thay. d bai tap nay diem cua A ' B ' va B C , con P la diem nhm ircn O ' O sao cho O'O 6 de tim giao diem cua MP va C C ta phai nhin ra chiing d trong cung mot mat Difng thiet dien tao bdi (MNP). 'f T^t^ityT phang (do la ( M C C M ' ) ) . Dieu nay khong phai de dang nhin thay ngay. 1Q
Boi du ( M N Q ) n ( A B C ) = NP trong do NP // BC (P e A C ) OE CO SPn Q'O V a y M N P Q la thiet dien phai diTng. Trong tam giac SOC theo dinh Ii Menclauyt, thi: .—. = 1 (1) V i M N // SA => M N // (SAC) =^ ( M N P Q ) n (SAC) = M Q , trong do M Q // NP. EC QS PO V i the M N P Q la hinh binh hanh. D« ? | = T; = 1. n c n tir (1) suy ra ^ =3 ^ = -i . HH ^MiMj EC 3 PO ^ QS SC 4 2. Tir cau 1. suy ra thiet dien M N P Q la hinh thoi k h i va chi k h i : M Q = M N (1) 1 'Yiff MQ SM SM.BC De thay F D = A M = - A B = - D C . T h e o dinh l i T a l e t , ta cd: MQ = (2), 2 2 BC SB SB CO SR DF MN BM SA.BM SA(SB-SM) •MN = (3) Trong tam giac SDC, theo dinh l i Meneiauyt, t h i . = 1 (2) SA SB SB SB QS RD FC TiS (2) (3) suy ra (1) o SM.BC = SA(SB - SM) >ijfii i) lib iv iff'- Vay R la trung d i e m cua SD. TiTdng tiT K la trung d i e m cua SB. SA.SB o SM = . . (4) Nhqnxet: (I) - . | . , . . 2 ™ BC + SA 1. M o t Ian nffa qua v i du tren, ta thay ro vai tro quan trpng cua viec xac dinh Tir (4) suy ra M hoan loiin xac dinh. . ,.1 day . giao d i e m " d a u t i e n " (c( day la giao d i e m Q). - -_ - i, ^ 2. V d i bai toan nay, ta c6 each khac de xac djnh thiet dien (xem phan sau). 3. T a c d : SMNPQ = MN.NP.sinMNP (5) "AM; • Do M N P = a , d d a y a l a goc giffa S A va BC l a hang so. B. SiJ dung tinh song song de xac dinh giao tuyfin cua hai mat phang. Tir ( 5 ) suy r a : SMNpgniax M N . N P m a x PhiTcfng phap xac dinh giao tuyen giffa hai mat phang bang each suT dung tinh MN NP •max r;,jit*; (6) song song diCa tren menh de cd ban sau: SA BC Neu a // (P), thi moi mat phdn}^ ^ MN NP ^ +^ = 1, nen tir (6) suy ra: (Q) chiia a ma cat (P) thi neu goi Do + SB SB SA BC A la giao tuyen cua (P) va (Q), ta M N NP . max » — = — = - o M la trung d i e m cua SB. CO A //a. SA BC SA BC 2 u u . ' j fta-Hj rJUSi i i y i ! .('! '''.V ghbij - tri-'i f'i'is ns>!^nBfi nsriq 6'> v • 21
Boi diKJiig IISG Hinh hoc khdng ginii - Phan liny Khdi CUj TNIIIl MTVDVVII Klutng ViH Nhdn xet: ' 3. Qua v i du nay ta thay trong mot bai toan xac dinh thiet dien, ngu'di ta thuTcJng 1. K h i M \h. trung diem cua A B , ta nhac lai Irong v i du cua muc A . X e t thiet dien ket hdp mot each nhuan nhuyen ca hai phU'cfng phap da neu. -/••. , tao bcfi ( M N P ) , k h i M , N , P tiTdng uTng la trung d i e m cua SB, A B , A C . Luc nay T h i du 2. Cho hinh hop A B C D . A ' B ' C ' D ' . Goi O va O ' Ian liTOt la tam ciia hai ta khong the t i m giao tuyen bang phu'dng phap xac dinh cac giao d i e m cua hai day A B C D , A ' B ' C ' D ' . P la d i e m tren 0 0 ' sao cho — = i. during th^ng nhu- trong muc A , v i ly do d day M N // SA, NP // BC. T a phai suf dung phiTdng S f Di/ng thiet dien qua P song song vdi A C va song song v d i B ' D . ' phap diing tinh song song £v ,'JIA M) A 3 'A ; / / \ Giai nhu- da trinh bay nhiT tren. • IX MN//(A'B'C'D') Vv;.?*;),,- A?,; CO he thu^c: giao tuyen cua thiet dien vdi ( A ' B ' C ' D ' ) sc qua E va // M N (tiJc la // A ' C ) mi (NA = N B ) V i the trong ( A ' B ' C ' D ' ) qua E kc RQ // A ' C (R e A ' B ' ; Q e B ' C ) . , , , , ^ 2. V d i VI du 5, (5 muc A ta c6 the suT M R Q N F la thiet d i e n phai diTng. 1^^; dung phU'cfng phap trong muc B nay Bay g i d la xac djnh vi tri cac dinh cua ihie't dien. dc giai l a i no nhiT sau: -\ A ' M _ C N _ Q'P _ 1 Ta c6: V i M N // B D => M N // ( S B D ) A'A CC O'O ~ 4 ' • =^ ( M N P ) n ( S B D ) = A, Gia O ' O n B ' D = I =:> O'P = PI .DF = Pl=ioO'=>-5ta trong do A qua P va A // B D . ,1 4 DD' 4 V i the trong S B D qua P ke X R // B D . Ro rang do E la trung d i e m ciia B O ' R, Q Wdng u'ng la cac Irung d i e m ciia Do P la trung d i e m cua SO, nen A'B'va B'C. " ^ 'iH':'-- • X , R tUdng i^ng la trung d i e m cua ^ Cac dinh ciia ngu giac thiet dien M R Q N F hoan loan xac dinh. n ;! SB,SD. ' f h i d u 3. Cho hinh hop A B C D . A ' B ' C ' D ' . G o i O la giao d i e m cua hai difdng Trong ( A B C D ) ta c6 M N n DC = E . -J - cheo A ' C va B ' D con M , N Ian liTdt la trung d i e m ciia A D va B ' C . Difiig Trong (SCD) ta c6 ER n SC = Q. thiet dien tao bdi ( O M N ) . . SQ 1 Giai " M N R Q X la ngu giac thiet dien phai difiiii de thay USC 4j Trong ( A ' B ' C ' D ' ) : M O n B ' C = P. K h i d 6 ( M O N ) n ( A ; B ' C ; p ' ) = NP. ^ ^ .ujTiil- • Lcfi giai nay c6 phan nao ddn gian nhu" IcJi giai da diTng trong v i du 5 muc A .
Cti) TNHH MTV DWH KItang Viet Boi dUt'mg IISG IRnh hoc khdng gian - Phan Iliiy Khdi Vi (ABCD) // ( A ' B ' C ' D ' ) .^.5- Vay 5 dinh cua thiet dicn xac dinh theo vj tri cua M nhif sau: ^ Nen (MON) n (ABCD) = MQ, AE SP S Q S R A F T A M ^ trong do MQ // NP. A' AD SD SC SB AB AC D6 tha'y P va Q tifdng iJng la trung 2. Neu M e (OC) ( M ^ O; M ;^ C) V! r-. diem cua B ' C va AB. Lap luan nhu" tren, ta difng thie't dien nhU' sau: Trong (ABCD): QM n CD = E. Trong (ABCD) ke qua M : Trong (DCC'D'): NE n D ' D = R. E F / / B D ( E G CD, F e BC). Trong (ABCD): QM n BC = F. Trong (SAC) qua M ke MQ // SA (Q G SC) Trong (BCC'B'): EP n B B ' = X. Khi do QEF la tarn giac thie't dien phai difng Khi do MRNPXQ la luc giac lliici dien pfiiii dtJn^, . u -r^ , ' DE A M CF CM SQ AB CD Theo dinh l i Talet, ta co: = ; = ; = -AC De thay ED = AQ = = D'N R la irung diem cua D D ' . F 2 2 DC AC CB AC SC ;'>tKji(i.j . w i i n - a i u > i ; i i ' H u l l .U'fcl \ 3. Tu-clng tiT X la trung diem B B ' . NeuM^O. - ..v.^ nc, J
Bdi cliitJng IISG IRnh hoc klioncj fjicm - Ptuin Hutj Khni Ctij TNHH MTV DVVII Khang Viet T h c o dinh l i Talet, ta c6: .j •am ft, f h i d y 3. TCf cac dinh ciia tarn giac A B C , ta ke cac doan thiing A A ' , B B ' , C C .song MA' ^ N M MB' _ PM M C _ Q M song C l i n g chieu, bang nhau va khong nam U-ong mSt phang ciia tam giac ABC. SA N A ' SB ~ P B ' " S ^ " QC", Goi I , G, K Ian IiTdt ia trong tam cua cac tam giac A B C , A C C va A ' B ' C . NM PM Q M 1. Chu-ng m i n h ( I G K ) // ( B B ' C C ) . Trong tarn giac A B C , theo dinh l i X e - v a , ta c6 + + = 1, v i the A' 2. Churngminh(A'GK)//(AIB'). NA PB QC ,;, MA' MB' M C , Giai 1. G o i M va M ' tifdng iJng la trung d i e m + + = 1 - const => dncm. cua A B , A ' B ' . 1=: + M^ ^SB + M^>3 .JMA' MB' M C Theo tinh chat trong tam tam giac, ta c6: SA SC SA SB SC , SA I , ta SBc6: • SC 2. T h e o ba't dang thiJc Cosi va can C'K _ C I 2 MA' MB' M C =o 1 > 2 7 MA' MB' M C 1 CM C M ~ 33 SA • SB • SC SA SB ' SC < 27 V i ( A B C ) // ( A ' B ' C ) , nen ( C M M ' C ) . „ „ , MA' MB' M C 1 NM PM QM 1 c^t hai mat phang ( A B C ) va ( A ' B ' C ) Dau " = " trong ( 1 ) xay ra = = =- » = = —Tr = r theo hai giao tuyen song song ^ ^ SA SB SC 3 NA PB QC 3 =:>CM' //CM. ' o M = G, v d i G la trong tarn cua lam giac A B C . Tir(l)suyraKI//CC (2) MA' MB' M C ., , . V 1 ,.• V u'lu- G o i E va F ttfdng vlng la cac trung diem V a yladtrong M a i liTdng . gidc tarn cua tarn . A B Cnhan . gia I n Idn n h a l bang — k m va c m k m cua B C va C C . • i, . S A SB SC ' 27 T h i d u 2. Cho hinh hop A B C D . A ' B ' C D ' . H a i d i e m M . N I a n liTcJt n a m tren h a i V i I , G tuTdng iJng la trong tam cua cac canh A D va C C sao cho j^M = .£!!L Chtfng m i n h r^ng diTdng th^ng M N tam giac A B C va A C C , nen ta c6: *^ MD NC AI AG 2 .• song song v d i m a t p h a n g ( A C B ' ) ^ AE AF 3 , A . Giai Vay theo dinh l i Talet dao, ta c6: I G // EF (3) V e M P // A C (P e C D ) Tir (2), (3) suy ra ( I K G ) // ( B C C B ' ) => dpcm. T h c o dinh l i Talet, ta c6 2. D o A I n B C = E, nen ( A I B ' ) chinh la ( A E B ' ) . G o i N la trung d i e m cua A C , thi trong MD PD hinh binh hanh A A ' C C de thay A ' , V I the tu" gia thie't suy ra: G, C thang hang. „j^../..,f; CP CN -^-.^ — =— :^PN//DC (2) •««•> Do v a y ( A ' K G ) chinh la ( A ' C J ) (J la PD NC trung d i e m ciia B ' C ) . ji; Theo tinh chat hinh hop, ta c6 D C // A B Ro rang A ' J // A E ; JC // B ' E , do do ( A ' J C ) // ( A B ' E ) , nen tir,(2) ta co P N // D C ^ PN // A B ' nen ta co ( A ' K G ) // ( A I B ' ) => dpcm. Tir (3) va M P // A C => ( M N P ) // ( A C B ' ) T h i d u 4. Cho hai nu^a dUcfng thang chco nhau A x va B y . M va N la hai diem d i D o M N e ( M N P ) , nen tiT (4) suy ra M N // ( A C B ' ) => dpcm. dong tren A x va B y sao cho A M = B N . DiTng mat phc^ng (P) qua B y va song song v d i A x . DiTcfng thang qua M va song song v d i A B cat (P) tai M ' . G o i I la trung d i e m cua M ' N . Chiang m i n h rling I nam tren du^dng thang co djnh. 27
Bdi dudng HSG Hinh hoc khdng gian - Phnn Hug Khdi Cty TNHII MTV DWH Khang V,v, Giai IM > K e B x ' // A x . K h i do B x ' la dtfdng IG ^GBC thang c6' djnh. M a t p h i n g xac djnh A Do G la trong t a m tam giac B C D ncn ta co: bdi By, B x ' chinh la mSt phang (P), BCD (4) 3GBC vay (P) = (By, B x ' ) , Ke M M ' / / A B ( M ' e Bx'). ihu* B Thay (4) vao (3), ta c6: :/'''A Ta CO AM = BM' IM _ 3S[y|[jC (5) Tir A M = B N => B M ' = B N . IG 'BCD M!rfnit/-'"ni. MP Trong tam giac can M ' B N (xet trong (P), do I M ' = I N => I nam tren Bt, d Do G A // M x , nfen theo dinh l i Talet, ta co: IG GA day Bt la tia phan giac cua x ' B y . R6 rang Bt co dinh => dpcm. T h i d u 5. Cho ttf d i c n A B C D . G o i G la trong tam tam giac B C D va M la diem Tir(5)va(6)suyra:^^3-^^'^c GA 'BCD nam ben trong tam giac B C D . Du'dng thang qua M vsi song song v d i G A Ian g ci:! 1 t .«Da A ) \i ^ :>! 5 r V . MQ ^ liTdt cat cac mat phang ( A B C ) , ( A C D ) , ( A D B ) tai P, Q, R. Hoan toan tiTdng liT, ta co: =3 GA ^BCD 1. ChiJng m i n h rang k h i M di dong trong tam giac B C D , d a i liTc^ng: \m-i i^v A mp aftvA ^'nob ib {''1; MP+MQ+MR MR = 3 la hang so'. "^n W FA ir. GA SBCD GA 2. Xac djnh v i t r i cua M , de tich M P . M Q . M R dat gia trj Idn nha't va hay tinh gia Cong tCfng ve (7), (8), (9) v d i Im y SMBC + SMCD + SMBD = SBCD, ta c6: trj ay. MP+MQ+MR - = 3 = const => dpcm. i' •, Giai GA 1. L a y M ben trong tam giac B C D . 2. Theo bat dang thiJc C o - s i , ta co: Gia .sij^ M G n B C = I ; M G n C D = J; M G n D B = K. M P + M Q + M R > 3. ^ M P . M Q . M R , | vj Qua M ke M x // G A A p diing cau 1, ta co: ' ' Trong (AIJ): M x n A I = P - ('.Q GA > ^MP.MQ.MR MP.MQ.MR < G A ' ..'•c. ^ (10) (do chinh la d i e m M x cat ( A B C D ) . ,f;,yfi. Do dd tir (10) ta C O max ( M P . M Q . M R ) = G A I ' ^'^^ ^ * "^'"^ Tifdng tir trong (AIJ): M x n A K = R, D i e u nay xay ra k h i va chi k h i M P = M Q = M R o M la trong t a m A B C D Mx n A J = Q. \ O M = u. T r e n mat phang ( B C D ) , ta c6: Thi d y 6. Cho tiJ d i c n S.ABC v d i cac d i e m M , N , P di dong tren SA, SB, SC -IM.ICsinJIC e SM 1 SN 1 SP 1 tiTdng ufng sao cho vdi k = 2, 3... SA k ' S B k + l'SC k+ 2 IG 1 -IG.ICsinJIC ''Gic ChiJng m i n h c i c giao tuyen cua (MNP) vdi (ABC) k h i k thay d o i luon luon song song v d i m o t du'dng thang co dinh. IM S MIB Ti/dng liT, ta c6 Giai IG 'GIB Dirng hinh b i n h hanh S A B I va SBCK. Tir (1), (2) va theo tinh cha'l cua day t i so bang nhau, ta c6: Gia sijf tren (SAB) thi SB n M I = N ' '^^.^ .^^^^ ^5„,f^ ,,,,.|, • . Theo dinh l i Talet, ta c6:
B6i (iKcifng IISG Ilinh hoc kitong gian - Pluin Hug Khni Cty TNIIH MTV DVVII Khang VuH SN' SM ^ 4 ( d o B I = SA) X h i d u 8. Cho hinh chop tiJ giac S.ABCD va d i e m M S nhm cung phia S doi N'B BI BI k v d i mat phang ( A B C D ) . Goi I , J, K, L Ian lUOt la trung d i e m ci'ia A B , BC, SN' I SN' 1 CS, D A . Goi (P), (Q), (R), (1) Ian lUdt la cac mat phang qua SI va song song TO do: N'B + SN' k +1 SB k +1 v d i M K , qua SI va song song v d i M L , qua SK va song song vcti M I , qua SL S N ' = SN. va song song v d i M J . ChiJng minh rang cac mat phang (P),^(Q), (R), (T) cung V i N ' nam giffa SB nen N ' s N. di qua mot diTdng thang. . , NhiTvay ( M N P ) luon di qua I co'dinh Giai TOdng tir ( M N P ) luon di qua K co dinh. Do IJ la dU^ng trung binh trong tam giac A B C , Vay ( M N P ) luon di qua diTdng thang co' dinh I K . AC D o SK // B C ; SI // A B ^ (KSI) // ( A B C ) . nen IJ // A C va IJ = Lai CO ( M N P ) n (SKI) = K I , 'If/' AC TOdng t i r L K / / A C va L K = (MNP) n ( A B C ) = A. V i ( K S I ) / / ( A B C ) =^ A / / K I => dpcm. V i the I J K L la hinh binh hanh. ml Jis T h i d u 7. Cho hinh chop S.ABCD, day la hinh binh hanh tSm O. M o t mat phang Gia sur I K n JL = O, thi O la (P) di dong luon qua A va song song v d i B D . (P) cat SB, SC, SD Ian liTcJt tai trung d i e m cua I K vii JL. E, F, G. M a t phang (Q) qua EG va song song v d i B D c^t SA tai H . Trong ( M I K ) ve hinh binh hanh M I N K , , , i ! 1. Chtfng m i n h E G / / B D . thi O cung la U-ung d i e m cua M N , do vay i i 2. ChiJng minh H F luon song song v d i mot diTdng thang c d d j n h . L J M N cung la hinh binh hanh nen - Giai fi.;;':.:,; . • I N // K M ; I M // K N ; JN // L M ; J M // L N . 1. D o B D // (P) n e n (SBD) chiJa B D va c^t (P) theo giao tuyen EG, do d6: M a t khac M K // (P) va I N // M K , hdn the do I e (P) (do (P) qua SI) nen suy EG//BD. r a I N e ( P ) = > N e (P). • .^Miii"/ \f I e S G c ( S A C ) = > I e (SAC). Do S, M nam cung phia v 6 i ( A B C D ) => N va S nam khac phia d o i v d i M a t khac I e EG c (P) => I e (P). ( A B C D ) , tir do suy ra N ; t S. TO do suy ra I e A F = (SAC) n (P). V a y di/dng thang qua S, N chinh la diTcJng thang thuoc ca bon mat phang (P), TOdng tir cung co: I e C H = (SAC) n (Q). (Q), (R), (T). D o la dpcm. ; , ; V a y I la giao d i e m cua SO, A F , C H tren (SAC). A p dung dinh l i X e v a trong tarn giac SAC ta co: ' ) \ t i l , I' ' ' SF CO AN , . CO . FC O A HS = l , m a - ^ — - \ [1,1 U f,' . .1 I' OA I / ' I!' f ' ^f' SF SH \\ I FC HA ' TO do theo dinh l i Talet dao suy ra F H // CA, tiJc la H F luon song song v d i du'dng thang co djnh dpcm. 31
B()i dicoiuj IISG Ilhih hoc khong gian - Phan IIuij Khdi Cty TNHH MTV DWH Khnng ViH * Neu dU'dng thang a vuong goc vdi mat phang (P) thi la noi goc giffa a va Cnirc?N€ 2 . (P) bang 90". QUAN HE VUONG GOC -J J * Neu dudng thang a khong vuong goc I. TOM TAT LY THUYET 1. Goc giS-d hai duTcfng thang trong khong gian vdi mat phang (P) thi ta goi goc giiJa • ^ Cho a va b la hai diTdng thang trong khong gian. a va hinh chieu a' cua no tren (P) la Lay mot diem M trong khong gian. goc giffa a va (P) (hinh 6). i;.*'--''' Hinh 6 Qua M ve hai du'cfng thang a' // a va b' // b Mat phang vu6ng goc vdi mat phang Khi do neu gia tri a (a < 90") la goc tao bSi Goc giiJa hai mat phing la goc giffa hai hai dUdng thang a', b' thi ta cung noi a va b dirdng thang Ian lU'dt nam trong hai mat tao vdi nhau mot goc a. Khi a = 90", ta noi phang va vuong goc vdi giao tuye'n cua rkng a va b vuong goc vdi nhau. hai mat phang ay (hinh 7) 2. Dufcifng thang vuong goc vdi mat phang Hai mat phang gpi la vuong goc neu goc - Dudng thang a gpi la vuong goc vdi mat phfing (P), ne'u a vuong goc vdi mpi giffa chung bang 90". mAA -jpil lab iuw, nc dirdng thang cua (P) (hinh 1). Hai mat phang vuong goc vdi nhau khi va chi khi mot trong chung chu'a du"dng thang vuong goc vdi mat phang con lai. Neu (P) 1 (Q), thi bat cur di/dng thang a nao thupc (P) ma vuong goc vdi giao tuyen cua (P) va (Q) se vuong goc vdi Hinh 1 Hinh 2 (Q) (hinh 8). .^'^'^ v i : , •.;:::v-.,:v Hinh 8 - Neu dudng thang d vuong goc vdi hai dU'dng thang cat nhau a va b eijng nam Hai mat phang (P), (Q) c^t trong mat phang (P), thi d vuong goc vdi (P) (hinh 2). > nhau Cling vuong goc vdi ji 11/' - Qua mot diem O cho trUdc c6 duy •"J . 0 (R), thi giao tuyen cua (P) nha't mot mat phang (P) chu'a O va (Q) se vuong goc vdi ^ 4'' vuong goc vdi mot dU'dng thang d (R) (hinh 9) cho trUdc. (hinh 3) . Khoang each Hinh 9 d Hinh 10 Hinh 3 Cho hai duTdng thang cheo nhau a va b. Khi do O - Qua mot diem O cho trUdc cd duy nhat neu M e a, N G b va MN 1 a, MN 1 b, thi MN mot dudng thang d di qua O vuong goc vdi gpi la dU'dng vuong goc chung cua a va b. mot mat phang (P) cho tru'dc (hinh 4). :> \j Luc do MN chinh la khoang each giffa a va b (hinh 10). ^ Hinh 4 Neu b nam trong (P, ^ n X b va a // (P), thi d(a; b) = d(a; (P)). - Dinh li ba dU'dng vuong goc: Cho dU'dng Neu a // (P) va M la diem luy y nam M thang a c6 hinh chie'u a' tren mSt phang tren a, thi d(a; (P)) = d(M; (P)). CJ (P). Khi ay dU'dng th^ng b nkm trong (P) day d(a; (P)), d(M; (P)), Ian liTdt vuong goc vdi a khi va chi khi no vuong Hinh 5 la khoang each giffa a va (P), goc vdi a' (hinh 5). giffa M va (P) (hinh 11). Hinh 11 - Goc gii?a dU'dng thang va mat phang: :?3
Boi dicSng ITSG Htnh hoc klionfj niitu - Plum Hiiij Khdi Cty TNHH MTV DWH Khang Vm 11. C A C B A I T O A N V E K H O A N G C A C H a2 a^73 = iBC.D'C = -.-N/D'D2+DC2 = - — + — A . K h o a n g each tuf m y t d i e m t d i m o t dUofng t h a n g , hoac tiif m y t d i e m t(Ji SpBC 2 2 2 4 mat phang. ',1, Tir do suy ra h = d ( A , ( B C D ' ) ) = , Cho d i e m M va diTcfng lhang A ( M g A ) . G o i ifti I H la hinh chie'u ciia M tren A. K h i do M H Cac ban hay so sanh tinh hieu qua cua hai phu'dng phap. !•< > chinh la khoang each i\i M t d i diTdng thang A. M H = d ( M , ( A ) ) „,,„„^^,,.„^,,^„_^„, , . , ;,.i...>.„^,;,.u.. T h i d u 2 . (De thi tuyen sinh D a i hoc k h o i B - 2011) >' • ' • Cho hinh lang tru A B C D A i B i C D , co day A B C D la hinh chff nhat v d i A B = a; Cho d i e m M va mat phang (P). G o i H la hinh A D = aVs. H i n h chieu vuong goc cua A| tren ( A B C D ) triing v d i giao d i e m chieu cua M tren (P). K h i do M H ehlnh la O cija hai du'cJng cheo A C , B D cua day. Bie't rang hai mat phang ( A D D | A i ) va khoang each tiJf M t d i mat phang (P). ( A B C D ) tao vcti nhau goc 60". T i m khoang each tCf B, den mat phang ( A , B D ) . „• M H = d ( M , ( P ) ) * • '•>6'9 uhn o?'.? Giai T i l l d u 1 . (De thi tuycn sinh dai hoe khoi D - 2012) Do tinh chat cua hinh hop, nen ta co: ]J2 ^ ^ Cho hinh hop du'ng A B C D A ' B ' C ' D ' c6 day la hinh vuong, tam giac A ' A C AiBiCDlahlnhbinhhanh ^''^ Sik^ ^^^'M:.; i A, vuong can, A ' C = a. T i m khoang each tiif A de'n ( B C D ' ) theo a. i. u/.i => B , C / / A , D B,C//(A,BD). Giai , Vithe "w)i./fv* T a m giac A ' A C vuong can l a i A d(B,,(A,BD)) = d(C,(A,BD)). (1) va A ' C = a => A A ' = A C = Taco: A | 0 1 (ABCD) , 'W^u => ( B A , D ) 1 ( A B C D ) . iV2 72 V i (BA|D) n ( A B C D ) = B D , cho nen neu ke C H 1 B D ( H e B D ) AB = 2 2 2 ^•••r.vrM?-, yvi =>CH1(A,BD). h Ke A H l A ' B ( H ' e A B ) >'-r.j4;':>i'L; Tir do d i den d(C, A , B D ) ) = C H (2) ill ^ V i A H 1 B C (do BC l(ABB'A') Trong tam giac vuong B C D , ta co: => A H 1 ( B C D ' A ' ) , tu-c la A H 1 ( B C D ' ) 1 1 1 I 1 aV3 • C H - ^ CH = (3) T r o n g tam giac vuong A B A ' , ta co: CH^ BC^ CD^ 3a^ 3a^ 2 1 1 1 4 2 6 01 AH = T- + T i r ( l ) ( 2 ) (3) suy ra d ( B , , ( A , B D ) ) = AH^ AB' A'A^ a^^^ a^ 1^6 ^hqn xet: T r o n g viee tinh khoang each tif B, den (A|BD), ta k h o n g can sit dung Vay d ( A , ( B C D ' ) ) = den gia thiet: ( ( A D D , ) , ( A B C D ) ) = 60". (*) Nhdn xet: X e t each gitii khac sau day (bhng phu'dng phap the tich) I Gia thiet nay diing de tinh the tich cua lang tru A B C D . A . B i C i D , . . w 1 r^.^c 1 asjl 1a a -d^^ urn V i e c tinh the tich nay la phan dau trong de thi n o i tren. vil T a c o : Vp,. . R C = - D ' D . S A O P = . = (1) D.ABC 3 ^'^'^ 3 2 222 48 T h i d u 3. (De thi tuyen sinh D a i hoc k h o i D - 2011) ' ^ Ta c6: D ' B C h\m giac vuong tai B, nen Cho hinh chop tam gide S.ABC day la tam giac vuong A B C tai B va A B = 3a, V A . D ' B C = ^ h . S D . B c , ^ d a y h - d(A, ( B C D ' ) ) . BC = 4a. Bie't rhng m5t p h i n g (SBC) vuong g6e v d i ( S A C ) . . ,, Gia sur SB = 2aVs va SBC = 30". T i m khoang each tiir B den ( S A C ) . Ta CO D ' B C la tam giac vuong lai C, n e n
Bdi ditdiuj HSG ITinh hoc khdng girui - Phan Huy Khdi Ctij rmiH MTV DWII Khamj VH't- Giai - V U.'JH Giai Ta CO ( S B C ) _L ( A B C ) v i ( S B C ) n ( A B C ) = B C , J KeOHl(ABC) . do d o n c i i k c S H 1 B C ( H e B C ) , t h i S H 1 ( A B C ) . A H n BC = M •j/ii>oBB' = 4 H P = (3) V7- => A B C la l a m g i a c v u o n g l a i A . •,(a:>?i)»- .Ji'ignJsorl)! fnf"" Nhir vay do A D 1 ( A B C ) 'V gncn'' T i r (1), ( 3 ) s u y r a d ( B ; ( S A C ) ) = B B ' = 1 =>AD1AB; A D I A C . T W d u 4. ( B a i l o a n e d b a n ) Ttr do ap d u n g k e l qua tren la c6: C h o li? d i c n O A B C , t r o n g d o O A , O B , O C d o i m o t v u o n g g o c v d i n h a u . K c 1 1 OH 1 (ABC). ' rf!Or :.h'»f|- A H ' AB' +A C ' A D ' " 9 ^ 1 6 16 1. C h i J n g m i n h H l a triTc t a m t a m g i a c A B C . rfi&t qMvn 6x/34 => A H = 17 2. C h t f n g m i n h h e thiJc: = —L. + _ i _ + _ L ^ 3^^'' i'^'^^^ = 3a OH' OA' O B ' OC' •
Cty TNHII MTV DVVII Khnng Viet Bdi dUf'Jntj IISG IFmh hoc khong gian - Phan Ilutj Khdi Vi BC 1 (SAC)=> (SDC) ± (SAC). -r.; ; Thi du 5. Cho hinh king tru diJng ABCA'B'C'day la tam giac ABC vuong taj Do (SDC) n (SAC) = SC, nen neu ke P ^ ! i a / , \ >;?/, ] /, , B. Gia siir AB = a, A A ' = 2a, A'C = 3a. Goi M la trung diem cua A ' C va I l;i AK 1 SC => AK ± (SCD) •..'« H A giao diem cua A M va A'C. Tim khoang each tiT A den mat phang IBC. => d(A, (SCD)) = AK. j tm^m^'i Giai I Ta CO AB n (SCD) = E Q; • • Trong tam vuong A ' A C , ta c6: ' ' f^"'^^'k-^-My => d(A, (SCD)) = 2d(B, (SCD)) (2) AC = V A ' C ^ - A ' A ^ = V9a^-4a^ = aVs . (do AB = BE) W/3 _ 3 d(H,(SCD))-|d(B,(SCD)). (3) u =>d(A;(A'BC) = AK. (1) .t » d(H, (SCD)) ~ HS ~ l^S " 2 Trong tam giac vuong A ' A B , ta c6: 1 1 1 1 1 5 1 • 1 • • •! T i r ( l ) ( 2 ) (3) suy ra ti; AK' A'A' AB' 4a' 4a' 2 'V - + a- 'HO AO 1 (4) d (H, (SCD)) = (A. (SCD)) = ^ d (A, (SCD)) = - AK . . 2aV5 AK = - 5 111,1 I I I r- r ^ (5) Do SA = AC = aV2 => A K = ' W 2 . — = a . '• • I 2a75 Tir(l).suy rad(A, (ICB)) = 5 T i r ( 4 ) ( 5 ) s u y r a d(H,(SCD)) = |. . Thi du 6. Cho hinh chop It? giac S.ABCD c6 day ABCD la hinh thang vuong, trong do ABC = BAD = 90"; BA = BC = a; AD = 2a. Gia sijT SA = aV2 va Trong ihi dii n^y de tinh d(H,(SCD)) la da hai Ian thong qua tinh khoang vuong goc vdi day (ABCD). Goi H lii hinh chieu cua A trcn SB. ''* Tim khoang each tiT H den (SCD). s - • ;; *r each tCr diem khac den (SCD). ,^ a„ , Giai Trirdc het d (H, (SCD)) = | d (B, (SCD)) De tha'y trong hinh thang vuong ABCD, :) hit ti'Y ta c6: AC = a>/2. Do AB = 2a Sau do .siir dung d(B, (SCD)) = ^cl(A, (SCD)) 4- ' ' • => ABC la tam giac vuong can tsii C 4 Thi du 7. Cho lang tru di^ng A B C . A ' B ' C c6 day la tam giac vuong lai B co =>BC1AC. AB = a; AC = nS. Mat phang A'BC tao vdi day ABC goc 60". Goi M , N Theo djnh li ba du'cJng vuong goc ta c6: AI^VTV- " \ SCI CD. • ,1/!:,,;^.;'^^^^i,, , tiTdng tfug la trung diem cua B B ' vii BC. Tim khoang each tCf B' den mat Gia sijf DC n AB = E. . v^^'-' phang AMN. ^ . N^, • , .^^ " S J ^ , O.--"- Ta CO B la trung diem cua AE. • 391