Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
214
TRẬT TỰ TỪ TRONG MÔ HÌNH HEISENBERG PHẢN SẮT TỪ
VỚI TƯƠNG TÁC BẤT ĐẲNG HƯỚNG TRONG KHÔNG GIAN
SPIN TRÊN MẠNG TAM GIÁC
Phạm Thị Thanh Nga
Bộ môn Vật lý, Khoa Năng lượng - Trường Đại học Thủy lợi
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Mô hình Heisenberg phản sắt từ đẳng
hướng trên mạng tam giác từ lâu đã là một
đối tượng được nghiên cứu nhiều cả về lý
thuyết lẫn thực nghiệm bởi người ta cho rằng
ở đây có thể tồn tại pha chất lỏng spin do sự
cạnh tranh của thăng giáng và vấp từ hình
học. Tuy nhiên, các kết quả nghiên cứu lý
thuyết và thực nghiệm không khẳng định giả
thiết này. Vì vậy, mô hình Heisenberg được
đề xuất mở rộng khi tính tới các tương tác xa
hơn tương tác lân cận gần nhất, khi có từ
trường... Mô hình Heisenberg bất đẳng hướng
trong không gian spin cũng là một sự mở rộng
tất yếu đang được nhiều người quan tâm, đặc
biệt trong thời gian gần đây một số vật liệu
có cấu trúc mạng tam giác với tương tác bất
đẳng hướng đã được phát hiện như
Ba3CoSb2O9. Nhiều phương pháp lý thuyết
khác nhau đã được áp dụng, tuy nhiên các
phương pháp này đều phải xử lý điều kiện
ràng buộc trên mỗi nút liên quan tới tính
không chính tắc của các toán tử spin ở gần
đúng trường trung bình. Trong công trình
này, chúng tôi sử dụng phương pháp tích
phân phiếm hàm do Popov-Fedotov đề xuất
để nghiên cứu trật tự từ trong mô hình
Heisenberg bất đẳng hướng kiểu mặt từ dễ
trong không gian spin trên mạng tam giác.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Hệ các mô men từ định xứ có thể được mô
tả bằng Hamiltonian Heisenberg có dạng sau:
ij i j ij
ij
H J S .S (J 0)
r r
(1)
Khi tương tác trao đổi Jij không chỉ phụ
thuộc vào khoảng cách giữa hai nút i,j mà còn
phụ thuộc hướng của đoạn thẳng nối chúng
với nhau thì được gọi là bất đẳng hướng trong
không gian toạ độ. Khi tương tác trao đổi ứng
với các thành phần khác nhau của tích vô
hướng hai spin cũng khác nhau
x y z
ij ij
ij
J J J
thì được gọi là bất đẳng hướng trong không
gian spin mà ở dạng đơn giản nhất là khi
xyz
ij ij
ij
J J J
. Khi đó mô hình Heisenberg
được gọi là mô hình XXZ. Dạng cụ thể trong
gần đúng lân cận gần nhất như sau:
x x z z y y
i j i j
i j
ij
H J S S S S S S
(2)
Người ta phân biệt hai trường hợp khác
nhau tùy theo giá trị của
. Nếu Δ < 1 thì
được gọi là bất đẳng hướng mặt từ dễ bởi vì
lúc này trong gần đúng cổ điển tất cả các spin
đồng phẳng trong mặt Oxy. Nếu Δ > 1 thì
được gọi là bất đẳng hướng trục từ dễ hay
còn gọi là bất đẳng hướng Ising. Trạng thái
cơ bản của hệ bất đẳng hướng Ising trên
mạng tam giác cũng là đồng phẳng trên một
mặt phẳng đi qua trục Oz trong không gian
spin. Trong bài này ta sẽ nghiên cứu trường
hợp bất đẳng hướng kiểu mặt từ dễ
0 1
trên mạng tam giác.
Mỗi nút mạng có 6 nút lân cận gần nhất,
được nối bởi 6 véc tơ lân cận gần nhất, với a
là khoảng cách giữa hai nút liền kề:
1,4
,2,5
1 3
a, a
2 2
r
3,6
1 3
a, a
2 2
r (3)
Các tính toán trong bài này được thực
hiện tương tự như đã làm trong các công
trình, theo các bước sau đây:
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
215
i) Tham số trạng thái cơ bản cổ điển bằng
véc tơ sóng trật tự
Ta có thể tìm trạng thái cơ bản cổ điển bằng
cách tham số hoá trạng thái đó qua các véc tơ
trật tự như trình bày dưới đây. Vì các trạng
thái trật tự từ được đặc trưng bằng một véc tơ
trật tự Q chung cho tất cả các nút nên tính toán
sẽ đơn giản hơn. Nếu ở trạng thái cơ bản các
véc tơ spin là đồng phẳng thì ta có thể tham số
hoá trạng thái cơ bản bằng véc tơ trật tự
Q
r
:
i i 1 i 2
ˆ ˆ
S S cos Qr n sin Qr n
r r r
r r
(4)
với
1 2
ˆ ˆ
,n n
là hai vec tơ đơn vị trực giao trong
không gian spin
l m lm
ˆ ˆ
n .n , l,m 1, 2
.
Chọn hai vector cơ sở
1 2
ˆ ˆ
,n n
dọc theo trục Ox
và Oz. Thay (4) vào (2) rồi cực tiểu hoá (2)
theo
Q
r
ta thu được:
2 2
Q ,
3
3
r
(5)
ii) Chuyển sang hệ tọa độ định xứ
Thực hiện phép quay trong không gian
spin quanh trục Oy để chuyển từ hệ quy chiếu
định xứ (Ox’z’) sao cho tại mỗi nút i hướng
của spin
i
S
r
trùng với hướng Oz’ trong gần
đúng cổ điển. Ta thu được các thành phần
của tương tác giữa các nút như sau:
xx zz yy
ij ij ij j ij ij ij
ij
zx zx
ij ij ij j ij
J J J cos Q X ;J J Y
J J J sin Q W

r r
r r (6)
Trong biểu diễn Fourier theo tọa độ, cho
mạng tam giác, từ (6), ta thu được:
X(q) 3J (q)
(7)
Y(q) 6 J (q)
(8)
w
W(q) 3iJ (q)
(9)
trong đó:
x
x y
1 q 3
(q) cosq 2cos cos q
3 2 2
(10)
x
w x y
1 q 3
(q) sinq 2sin sin q
2 23
(11)
iii) Phương pháp Popov-Fedotov
Trước hết biểu diễn toán tử spin
S 1/ 2
:
l l
i i i
1
S f ( ) f ,
2


(12)
trong đó là các ma trận Pauli,
, , 
là
các chỉ số spin.
i
f
,
i
f
lần lượt là các toán tử
sinh và hủy fermion. Vì mỗi nút luôn có một
spin nên các toán tử spin phải thoả mãn điều
kiện ràng buộc i
n 1.
(13). Tính chính xác
điều kiện ràng buộc nói chung là rất khó khăn.
Ở gần đúng đơn giản nhất - gần đúng trường
trung bình, thì ràng buộc một hạt trên một nút
được thay bằng ràng buộc trung bình nhiệt
động: i i i
n f ,f 1
(14). Để tính
chính xác điều kiện ràng buộc có một fermion
trên mỗi nút. Popov-Fedotov đưa vào toán tử
chiếu
ˆ
i N
2
N
1
ˆ
e ,
i
(15), trong đó
i i
i
ˆ
N f f
là toán tử số hạt. Việc đưa vào toán tử chiếu
(15) tương đương với việc gán cho hệ một thế
hóa học ảo
i
2
. Nếu chuyển sang biểu diễn
Fourier theo thời gian ảo thì điều đó có nghĩa
là thay vì tần số Matsubara thông thường cho
Fermion
F
2n 1
, ta sẽ làm việc với
tần số Matsubara cải biến
PF F
2 1
n
2 4
. Việc áp dụng
phương pháp Popov-Fedotov được thực hiện
theo sơ đồ sau: một là, viết tổng thống kê Z
dưới dạng tích phân phiếm hàm; hai là, thực
hiện biến đổi Hubbard-Stratonovich. Ba là,
tính nhiễu loạn theo trường phụ. Sau khi tính
được tổng thống kê, ta có thể tính được năng
lượng tự do B
F k T ln Z.
Từ tổng thống kê
có thể tính được các đại lượng vật lý đặc trưng
của hệ từ như: độ từ hóa tự phát, năng lượng
trạng thái cơ bản, nhiệt dung riêng, độ tự cảm.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Momen từ mỗi phân mạng và nhiệt độ
chuyển pha ở gần đúng trường trung bình
Mô men từ trên mỗi nút trong gần đúng
trường trung bình được cho bởi:
0 0
1 3
m tanh Jm ,
2 2
(16) khi lấy
i2
,
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
216
tức là khi điều kiện ràng buộc lấy chính xác
còn: 0 0
1 3
m tanh Jm ,
2 4
(17) khi
0
,
tức là khi điều kiện ràng buộc lấy trung bình.
Từ (16) và (17) ta suy ra nhiệt độ chuyển pha
c
T
: c
T 3J / 4
, (18) nếu điều kiện ràng buộc
lấy chính xác và c
T 3J / 8,
%
(19) khi điều
kiện ràng buộc lấy trung bình.
3.2. Phổ magnon
Phổ magnon được cho bởi biểu thức sau:
3Jm
(20), với
2
q
1 (q) 1 2 (q)
 (21), trong đó
0
m
thoả mãn (16) còn (q) được cho bởi (10).
3.3. Năng lượng tự do và năng lượng
trạng thái cơ bản
Năng lượng tự do của hệ gồm đóng góp từ
gần đúng trường trung bình, thăng giáng dọc
và thăng giáng ngang (so với hướng từ hoá
cổ điển):
MF zz
F F F F
(22)
2
MF o o
N N 3
F 3Jm ln(2cosh Jm )
2 2
(23)
zz o
k
F 1/ 2 ln A
r (24)
o
k
k
3Jm
1
F lnsh lnsh
2 2

(25)
2 zz
zz
2
o 2
3 J (q)K
A 1 3 J (q)K
1 (q)
(26)
zz 2
2 o
K 1 4m / 4
(27)
ở đây,
(q)
được cho bởi (10). Ở nhiệt độ T
= 0K,
0
m
=1/2,
zz
2
K
0 nên thăng giáng
lượng tử dọc không cho đóng góp. Ngoài ra,
ln(2cosh
x) = ln(2sh
x) =
x nếu T = 0K và
x >0. Vì vậy, ta có năng lượng trạng thái cơ
bản của hệ khi chú ý tới đóng góp của thăng
giáng lượng tử (ngang):
gr k
k
1
E 3JN / 8 1 2 1 N
(28)
Ta thấy ngay khi
=1 thì kết quả đưa về
trường hợp đẳng hướng [4].
4. KẾT LUẬN
Phương pháp Popov-Fedotov do tính được
một cách chính xác điều kiện ràng buộc trên
mỗi nút nên cho ta một số kết quả khá thú vị
như sau:
i) Ở gần đúng trường trung bình nhiệt độ
chuyển pha khi tính chính xác điều kiện ràng
buộc lớn gấp đôi so với khi tính gần đúng là
phù hợp với các tác giả khi xét các mạng
khác. Kết quả này cho thấy tính bất đẳng
hướng kiểu mặt từ dễ không làm thay đổi mô
men từ trên mỗi nút và nhiệt độ chuyển pha
khi so với trường hợp đẳng hướng.
ii) Khác với độ từ hoá ở gần đúng trường
trung bình, phổ magnon phụ thuộc tham số
bất đẳng hướng
vì nguồn gốc của magnon
là do thăng giáng thành phần ngang của các
spin, trong đó có thành phần theo trục Oy, tức
là thành phần bất đẳng hướng. Kết quả trên
đưa về kết quả thu được bằng các phương
pháp sử dụng biểu diễn boson cầm tù nếu đặt
0
m
= S =1/2 [1]. Như vậy trong hình thức
luận Popov-Fedotov thì phổ magnon cũng
phụ thuộc nhiệt độ. Khi
= 1 thì kết quả đưa
về trường hợp đẳng hướng.
iii) Từ năng lượng tự do có thể thu được
biểu thức giải tích cho nội năng, nhiệt dung
riêng, độ từ hoá tự phát trên mỗi nút khi chú ý
tới ảnh hưởng của thăng giáng. Từ các biểu
thức này có thể khảo sát số để tìm sự phụ
thuộc của các đại lượng trên vào tham số bất
đẳng hướng. Các tính toán được thực hiện
tương tự như trong. So sánh với kết quả thu
được bằng phương pháp sử dụng biến đổi
Holstein-Primakov, ta thấy ở T = 0K kết quả
của chúng ta trùng với, nghĩa là phương pháp
Popov-Fedotov không cho thấy sự ưu việt so
với các phương pháp hạt phụ cầm tù khi nhiệt
độ bằng không.Tuy nhiên có thể thấy khi xét ở
nhiệt độ khác không thì phương pháp Popov-
Fedotov cho kết quả khác biệt đáng kể so với
các phương pháp khác.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. L. Chernyshev and M. E. Zhitomirsky,
Phys. Rev, B79, 144416 (2009), Erratum:
Phys. Rev. B 91, 219905 (2015).