) và tập sinh bởi đa thức
Tính chất phổ của hàm trong không gian Lp (
) and set generated by polynomial
Spectral properties of the function space Lp (
Nguyễn Kiều Hiên
Email: nguyenkieuhien@gmail.com
Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 08/10/2021 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 21/3/2022 Ngày chấp nhận đăng: 30/6/2022
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về phép biến đổi Fourier (xem [2]), tính chất phổ của hàm trong không
) và ). Đưa ra kết quả mở rộng cho định lý Paley-Wiener-L.Schwartz cho các hàm trong không gian Lp( gian Lp( tập sinh bởi đa thức.
Từ khóa: Biến đổi Fourier; hàm nguyên dạng mũ; tập sinh bởi đa thức; phổ.
Abstract
). Give results ) set generated by polynomial.
n
x
x
,
2 1/2 ) j
= =
x x
,..., ,...,
) )
= (
, ( x x x x , ( 1 2 2 1
x x n n
= 1
j
n n �
n
)
In this paper, we study the Fourier transform (see [2]), spectral properties of the function space Lp( that expand the theorem Paley-Wiener-L.Schwartz for the functions space Lp( Keywords: Fourier transform; exponential function natural; set generated by polynomial; spectral. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
x
= . x j j
j
n
n
(
,
p
p
+
=
dx
}.
|
|
( ) u x
n
Và tích vô hướng
= 1 p , ký hiệu. → )1/ pu Với p = , ký hiệu.
)
Với mỗi số thực 1 u= ) { : pL (
Trong đó:
)
Năm 1934, R.Paley và N.Wiener đã tìm được điều kiện cần và đủ để một hàm nguyên dạng mũ có ảnh L với giá nằm trong 2 ( Fourier là một hàm thuộc đoạn [-σ, σ]. Định lý Paley-Wiener lần đầu tiên được L.Schwartz phát biểu khi ảnh Fourier là hàm suy rộng có giá nằm trong một hình cầu đóng. Sau đó, đến năm 1983 L.Hormander đã mở rộng được định lý Paley- Wiener-L.Schwartz cho trường hợp ảnh Fourier là hàm suy rộng có giá nằm trong một tập compact lồi bất kỳ. Năm 1996 Hà Huy Bảng đưa ra kết quả mở rộng cho định lý Paley-Wiener-L.Schwartz cho các hàm L và tập compact bất kỳ. Việc 2 ( trong không gian nghiên cứu về tính chất của hàm số thông qua giá của ảnh Fourier có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Đặc biệt hữu ích trong việc giải các bài toán trong lý thuyết mạch, bài toán xử lý hình ảnh và xử lý tín hiệu truyền thông.
L và tập sinh bởi đa thức. 2 (
f ) là ˆ f là giá của ảnh Fourier
, supp
Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra kết quả mở rộng cho định lý Paley-Wiener-L.Schwartz cho các hàm trong không gian
,.
) 2. ĐỊNH LÝ PALEY-WIENERL-SCHWARTZ CHO CÁC HÀM TRONG KHÔNG GIAN Lp (
P x ( )
a x
,
=
Ký hiệu là phép biến đổi Fourier, ˆf (hay f ảnh Fourier của hàm (gọi là phổ) của hàm f . Định nghĩa 1 (xem [2]). Cho ( )P x là một đa thức n biến và có bậc q trong
| |
q
Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng các không gian hàm sau đây: n là không gian Euclid n chiều, với chuẩn Euclid.
Trong đó:
Người phản biện: 1. PGS. TS. Khuất Văn Ninh 2. TS. Nguyễn Viết Tuân
61
,...,
i
=
) x , n D D ,n ...
n
D i j
x D , j
1 1
Ta định nghĩa ( = x D i 1 =
=
Định nghĩa 4 (xem [1]). Một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trong không gian hàm cơ bản được gọi là một hàm suy rộng xác định trên không gian hàm . Tập hợp tất cả các hàm suy rộng xác cơ bản gọi là không định trong không gian hàm cơ bản
và các
được xác định như sau:
=
,
)
) − P D f
(
a D f
)i D f − là đạo hàm cấp α của f ) ˆ ( ) P D f P D f , ( − i
q
hàm Với j 1, 2,..., n . Khi đó, ( ( −
.
a D f
) ˆ ( P D f
p , f Lp( ), là một đa thức n biến.
=
q
1/
m
−
,
P
gian hàm suy rộng với giá compact. Ký hiệu là Định lý dưới đây mô tả dáng điệu của dãy các đạo hàm ), chỉ ra mối liên hệ của toán trong không gian Lp( với phổ của hàm f trong không gian một tử Pm (-D)f chiều Lp( ). Định lý 1 (xem [4]). Cho 1
p
lim → m
1/
m
m
−
=
P
.
) (1
Khi đó, giới hạn ) ( m D f Định nghĩa 2 (xem [2]). Cho ( )P x là một đa thức với hệ số thực. Ta định nghĩa.
( ) P x
p
l im → m
sup ˆ supp f x
Luôn tồn tại và ) ( D f (1)
( ) P x
,
nếu và chỉ nếu với mỗi
f Q P
K
(
)
Q (P) Giả thiết rằng Q (P)r ta thấy rằng Q (P) là tập compact nếu Q (x). được gọi là tập sinh bởi đa thức ≠ ∅. Rõ ràng Q (P)r là tập đóng và = . lim → x
( )P x là đa Định lý 2 (xem [5]). Cho thức với hệ số thực và Q(P) là tập compact. Khi đó = 0 supp : đều tồn tại hằng số C sao cho.
) = Q P Q P
(
)1.
ˆ 0 ( )
( ) mP D f
Chú ý rằng tất cả các hình cầu đều là trường hợp riêng của tập sinh bởi đa thức. Ta sẽ ký hiệu (
f C
m
+
( )P x
C
x
,
m
Z
.
(2)
) ( + 1
sup x K
m
+
và hàm (2)
m
).
Z .
)n ( ( ) Như vậy, với mọi đa thức ta xác định được dãy các P - đạo hàm của hàm f là toán tử vi phân Pm (-D)f ( với m Z+). Ta có kết quả sau cho dáng điệu của dãy P - đạo hàm trong không gian một chiều Lp( Ta định nghĩa hàm suy rộng với giá compact Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm hội tụ trong không gian
=
x sin ,
x=
.
( ) + 1 C 1n = và ( ) P x
2 1. +
0 , supp
f
là không Định nghĩa 3 (xem [1]). Không gian
) =
1,1 ,
= −
k
k
m
+
= 0
m
( )0
với khái niệm các hàm trong không gian = gian tôpô tuyến tính các hàm hội tụ như sau: Dãy 1 được gọi là hội tụ đến hàm nếu. Nhận xét 1. Định lý 2 không đúng nếu ta thay điều kiện (2) bởi. ˆ 0 ( ) ) ( mP D f Thật vậy, xét ˆ ( ) f x Khi đó. ( Q P Và ˆ ( ) mP D f
Z .
) ( + 1 C p ,
k
D f
f
x
nếu và chỉ nếu với mỗi Định lý 3 (xem [1]). Cho 1 và G là tập compact bất kỳ trong . Khi đó 0 đều tồn Khi đó, ta viết tại hằng số C sao cho.
. (3)
được gọi là một dãy Cauchy trong =
C
k
p
p
sup x G
Với dãy hàm 1 không gian hàm cơ bản
p ,
+ Z (3) nếu.
−
P
P
f
,
để có khi G là tập compact bất kỳ
) D f
(
C
p
p
sup x G
( )P x .
Nhận xét 2. Cho 1 khẳng định trong ta phải kiểm tra đánh giá. ( ) x là không gian là tập trù mật trong không gian Khi đó, không gian hàm cơ bản đầy đủ và tập hàm cơ bản . với tất cả các đa thức
62
f Q P
supp
= :
K
(7)
( )P x là Định lý 4 (xem [5]). Cho một đa thức với hệ số thực và G là tập compact trong ) . Khi đó nếu và chỉ nếu với
(4)
.
( 0 đều tồn tại hằng số C sao cho. ) − P D f
( ) P x
( ) 0
C
p
sup x G
Trong đó: mỗi ( (4)
Theo định nghĩa ta có:
Với Nhận xét 3. Định lý 4 vẫn đúng nếu ta thay thế các đa thức với hệ số phức, ở định lý này bởi các đa thức với hệ số thực. Định lý 4 vẫn đúng nếu ta thay thế các đa thức với hệ số phức, ở định lý này bởi các đa thức có dạng Qp(x)xα, trong đó Q (x) là các đa thức bất kì có bậc 1, dẫn đến điều sau đây: hoặc bậc 2, .
( )P x là Định lý 5 (xem [3]). Cho một đa thức với hệ số thực và Q(P) là tập compact. = : K
f Q P
supp
)
nếu và chỉ nếu với mỗi
( Khi đó 0 đều tồn tại hằng số C sao cho.
( )0
m
+
+ Z
.
(5)
) D f )
( ) P x
( mP − ( C r
sup x K
nếu và chỉ nếu với mỗi
K
(
)
p , và là một đa thức, Q(P) là tập compact. Khi đó 0 f Q P
(5) Áp dụng công thức Leibniz, có
m
+
m
−
+
P
D
f
r
Kết quả chính của bài báo được trình bày trong định lý sau đây. Định lý 6. Cho 1 ( )P x = supp : đều tồn tại hằng số C sao cho. (8)
m
Z
.(6)
(
)
(
)
C f
p
p
(6)
thỏa mãn
(
4G
,
.
Chứng minh Điều kiện cần. Chọn hàm ) 1 g = nếu
( ) P x
( ) 9
) 0 g = nếu
K
2G
sup x G
sup | x G
2
2
Mặt khác, tồn tại hằng số Kd không phụ thuộc vào ( )P x thỏa mãn: ( ) | P x D Và ( (9)
Với mọi .
D f
ˆ f
F
+ Z
( = −
)
Từ (8) và (9), ta suy ra
)
=
F
P
+ Z
.
( ) f
)
=
F
f
h
+ Z
.
) − P D f
)
(10) suy ra: ( ) ( ) P
D |
g
( ) | d .
Vì ( Ta được ( ( ) − P D f Từ đây và ( ( Và do đó:
G
2
Với: = x C a : m (2,2,..,2) Điều này dẫn đến
63
ˆ suppf
K nếu và chỉ nếu với mỗi
0 đều
Ngoài ra.
(11)
m P 1 1
( ) qm ... x P q
p
...
m 1
+
r
Khi đó tồn tại hằng số C sao cho. ( ) x f Kết hợp (10) và (11), ta suy ra:
(
+ + )
( ) P x
C f
H
,
( 12
)
( ) P x
C
p
1
m uq s p G
sup G
+
,...,
.
Z
( 5 1 )
m q
m 1
(15) (12)
(
)
,f x .
f supp ,
. G
( ) P x
Ở đây: C không phụ thuộc vào Từ (7) và (12), suy ra (6), (đpcm). để có khẳng định khi G là tập compact bất kỳ trong ta - Điều kiện đủ
(
fC
p
p
Cho ˆ K suppf phải kiểm tra đánh giá ) − P D f
G Q P
(
) .r
Giả sử ngược lại, tức Do =
Và Với tất cả các đa thức hợp riêng G = Q (
sup x G ( )P x , trong khi đó với trường )r là tập sinh bởi đa thức thì ta chỉ ) − P D f với
( ) P x
(
fC
p
p
sup x G
cần kiểm tra
các đa thức
m
1
−
+
mP
r .
3
3. KẾT LUẬN Sao cho. ( ) r . P Từ công thức (6) ta có:
(
) D f
( 1
)
li m → m
p
m
1
m
=
−
D
P
f
.
(13)
(
( ) P x
lim → m
p
sup ˆ x f upp s
Theo định lý (1) ta có: )
supp f
nên.
m
1
m
−
P
D
f
P
.
) (14
Bài viết trình bày tính chất của dãy các đạo hàm trong ), chỉ ra mối liên hệ của toán tử Pm (-D)f không gian Lp( với phổ của hàm f trong không gian một chiều Lp( ). Khi nghiên cứu hàm số qua hình học của phổ còn tính chất của dãy p- đạo hàm trong không gianLp( n). Tuy nhiên, do khuôn khổ bài báo, chúng tôi không đề cập ở đây. Vì do
(
)
( )
im l → m
p
(14) TÀI LIỆU THAM KHẢO
P
+ ,
( ) r
Kết hợp (13) và (14), ta thu được.
P
+ ,
Cho
( ) 0 → , ta thấy r Điều này mâu thuẫn cho được chứng minh.
r
,...,
10,
( ) P x q
suy ra định lý [1]. N.B. Andersen, M. de Jeu (2010), Real Paley- Wiener theorems and local spectral radius formula, Trans. Amer. Math. Soc., 362, pp. 3613-3640. [2]. V.S. Vladimirov (2012), Methods of the Theory of Generalized Functions, Taylor Francis, London, New York.
...
.
(
)
. [3]. V.K. Tuan (1999), On the supports of functions, Numer. Funct. Anal. Optim., 20, pp. 387-394. [4]. Ha Huy Bang (1995), Functions with bounded spectrum, Trans. Amer. Math. Soc., 347, pp. 1067-1080.
[5]. L.Hormander (1954), A new generalization of an inequality of Bohr, Math. Scand, 2, pp.33-45
( ) là các đa thức P x Hệ quả 1. Cho với hệ số thực và Q (P1)r,...,Q(Pq)r là các tập compact, G là tập compact và cho Đặt = K G Q P 1
( Q P q
)
r
r
THÔNG TIN TÁC GIẢ
Nguyễn Kiều Hiên
- Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sỹ ngành Toán Giải tích, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ. - Lĩnh vực quan tâm: Toán Giải tích. - Điện thoại: 0985330644 Email: nguyenkieuhien@gmail.com
64
