Các đặc trưng của PC2 − môđun

58

Trương Thị Thúy Vân

MÔĐUN

CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA SOME CHARACTERIZATIONS OF

MODULES

Trương Thị Thúy Vân1,2* 1Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng 2Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long

to satisfy the condition:

with

and

and

thỏa mãn điều kiện: “Nếu với mọi sao cho

“Whenever is a direct summand of

are submodules of then

cũng là một hạng tử trực tiếp của

” and the author call this condition is

*Tác giả liên hệ: vanttt@vlute.edu.vn (Nhận bài: 20/12/2022; Chấp nhận đăng: 20/3/2023)

Tóm tắt - Xét môđun là các môđun con của của thì gọi điều kiện này là số đặc trưng của môđun thỏa mãn điều kiện

-module. Module

-môđun. Môđun

là

where

some characterizations of the module to satisfy the condition also known as the and only if an of

is a direct summand of In this paper, we give is a -module if is a direct summand , exists

-monic and

satisfies

Abstract - Considering module là hạng tử trực tiếp ” và Trong bài báo này, tác giả đưa ra một , còn gọi là -môđun khi và chỉ khi với mỗi là một hạng tử trực tiếp của thì tồn tại

, trong đó

-đơn cấu

thỏa mãn

và

with

sao cho

satisfies condition

also satisfies condition

mỗi môđun thỏa mãn điều kiện và mỗi môđun thỏa mãn điều kiện

The author also show that each and every module satisfying condition module satisfying condition At the same time, the article also mentions some characterizations of -

ring if and only if every

is a right

ring.

. Tác giả cũng đã chỉ ra rằng thì thỏa mãn điều kiện cũng thỏa mãn điều kiện Đồng thời, bài báo cũng đề cập đến một số đặc trưng của phải khi và chỉ khi mọi đẳng

là vành

Vành

vành

isomorphism

,

,

extends to

cấu

,

,

đều mở rộng đến

Từ khóa -

-môđun;

-môđun;

môđun

Key words -

-module;

-module;

module

1. Giới thiệu vấn đề

trong điều kiện nếu với mọi

là hạng tử trực tiếp của

Khái niệm môđun nội xạ được Baer giới thiệu đầu tiên vào năm 1940. Những năm sau đó, khái niệm này và các khái niệm mở rộng của nó đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài nước. Nhiều tác giả đã nghiên cứu cấu trúc vành và các lớp môđun liên quan thông qua các điều kiện ([1], [2], [3], [4]). Theo đó, điều kiện như sau: phải nếu cũng là hạng tử trực tiếp của môđun nếu được gọi là vành Mọi môđun con của đều cốt yếu trong một

hạng tử trực tiếp của và Nếu là các môđun con của , với môđun thỏa mãn điều kiện và vành thì B cũng là hạng tử trực và A là hạng tử trực tiếp của tiếp của đặc trưng của môđun chứng minh được mọi môđun thỏa mãn điều kiện thì cũng thỏa mãn điều kiện Nếu và mỗi môđun và hạng tử trực tiếp của thì là các hạng tử trực tiếp của cũng là một hạng tử trực tiếp của

được gọi là được gọi là Môđun

phải thì là vành Môđun điều kiện thỏa mãn điều kiện thành công nhất về môđun cũng là tương đương của đương của vành Hơn nữa, nếu phải với

Việc nghiên cứu điều kiện

([2]). Các kết quả của họ đã đóng góp cho sự phát triển của lý thuyết vành và môđun. Trong bài báo này, tác giả xét thêm giả thiết và gọi là các môđun con là điều kiện của sao cho Môđun thì thỏa mãn điều kiện được gọi là Vành là môđun. Mục đích nghiên cứu trong bài báo là nghiên cứu mối liên hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện ; Làm rõ Tác giả đã môđun là môđun môđun; Đồng thời đưa ra các điều kiện môđun. Các điều kiện tương được trình bày trong Mệnh đề 9. cũng là vành là phần tử lũy đẳng thỏa mãn có điều kiện ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành và môđun. Điều này tạo nên động lực thúc đẩy các nhà nghiên cứu quan tâm đến sự mở rộng của lớp môđun này. và môđun nếu thỏa mãn môđun nếu Trong các tác giả nghiên cứu thỏa mãn điều kiện phải kể đến Utumi, Yousif, Oshiro,... Họ đã đưa ra nhiều đặc trưng của các lớp vành cổ điển thông qua . Tác giả Utumi đã chứng minh các điều kiện vành tự nội xạ thỏa mãn cả 3 điều kiện ([4]). thì cũng thỏa điều kiện Mọi môđun thỏa điều kiện

1 The University of Danang – University of Science and Education (Truong Thi Thuy Van) 2 Vinh Long University of Technology Education (Truong Thi Thuy Van)

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 21, NO. 3, 2023

59

là Hệ quả 4. Nếu là môđun thì Bài báo này, tác giả luôn giả thiết vành và mọi môđun. để chỉ là Chứng minh. Theo Mệnh đề 3, hợp có đơn vị unita. Ta ký hiệu không sợ nhầm lẫn gì về phía của môđun, viết môđun thì môđun; Nếu là môđun (theo [5]). Vậy là là môđun khi là (tương ứng Ký hiệu ) để chỉ là môđun. môđun con của (tương ứng là vành kết môđun được xét là môđun môđun phải. Khi thay cho là là hạng tử trực tiếp của ). Các khái niệm và ký hiệu được dùng trong bài báo mỗi môđun tham khảo từ các tài liệu ([2], [5], [6], [7]). Nhận xét 5. Từ định nghĩa môđun là môđun nên ta được mối liên hệ giữa môđun, môđun và môđun như sau: 2. Kết quả môđun môđun môđun. Trước hết, định nghĩa môđun và vành như sau: môđun cũng là một môđun. Ta xét điều kiện Mệnh đề 6. Hạng tử trực tiếp của một môđun. là một Định nghĩa 1. Cho sau: môđun và là : Nếu và Ta cần chứng minh là là các môđun con của thì cũng là là hạng tử môđun. và và A là hạng tử trực tiếp của hạng tử trực tiếp của Chứng minh. Giả sử trực tiếp của Gọi với là hạng tử trực tiếp của , ta cần chứng minh sao cho được gọi là Vì nên với Mà môđun nếu được gọi là vành thỏa Môđun mãn điều kiện là phải nếu . Một vành môđun. nên với Từ đó suy ra

nên và (do ). Vì Ví dụ 2. (1) Mỗi môđun không phân tích được là môđun. là môđun và nên Do đó Theo luật modular ta có: Thật vậy, giả sử Vì không

phân tích được nên Do đó

Đặc biệt, môđun thỏa mãn điều kiện Do đó Vậy là môđun. nhưng không thỏa mãn điều kiện Định lý sau đây cho ta các điều kiện cần và đủ để một (2) Vành địa phương có 2 lũy đẳng là 0 và 1 nên môđun là môđun. là môđun không phân tích được. Vậy là vành Định lý 7. Cho môđun và Khi đó, Tiếp theo, tác giả đưa ra mối liên hệ giữa điều kiện các điều kiện sau tương đương: và như sau: (1) là môđun; thì Mệnh đề 3. Nếu môđun thỏa mãn điều kiện thỏa mãn điều kiện . (2) Với là hạng tử trực tiếp của là đẳng cấu thì và mở rộng Chứng minh. Giả sử và nếu ; tới Ta cần chứng minh là Nếu hoặc thì (3) Nếu tử trực tiếp của và là một hạng sao cho Nếu và thì và , trong đó đơn cấu với thì tồn tại là đồng cấu nhúng; nên là đơn cấu với Vì chiếu với Xét phép (4) Nếu tử trực tiếp của và là một hạng thỏa trong đó với . Với mọi ta có: mãn thì tồn tại sao cho .

Chứng minh. nên Cho là hạng tử trực tiếp của

là đẳng cấu, là Rõ ràng, đồng cấu là đẳng cấu. Do đó,

và môđun nên Do đó, tồn tại để chứng minh ta sẽ chứng minh Xét đồng cấu Vì thỏa mãn điều kiện và với mọi thỏa xác định bởi ta có nên Mà . Vậy là mở rộng của nên với Suy ra, Giả sử là đơn cấu với Vậy thỏa mãn điều kiện .

60

Trương Thị Thúy Vân

là một hạng tử trực tiếp của Khi đó, là một vành. Khi đó, các điều kiện sau

với , là đẳng Mệnh đề 9. Cho tương đương với nhau: là một vành (1) phải; cấu. Theo (2), mở rộng đến Khi đó, với mọi , , ta có: (2) Mọi đẳng cấu đều mở rộng tới

thì nên (3) Nếu

Giả sử là đơn cấu với thì (4) Nếu là một hạng tử trực tiếp của trong đó Khi đó, tồn tại là đồng cấu thì (5) Nếu sao cho nhúng. Suy ra với mọi ta có:

(6) Nếu là xạ ảnh, và thì là Vì vậy . một hạng tử trực tiếp của .

Chứng minh. Giả sử với

đẳng cấu. Ta chứng minh là Gọi là đẳng cấu. Ta có

gọi Vì nên tồn tại nên Hơn nữa, là một vành Bởi (4), tồn tại sao cho sao cho Đặt với phải nên là phép chiếu chính tắc. Khi đó, và vì Đặt . Với mọi ta có vậy là mở rộng của .

và Với

với ta chứng minh Xét Suy ra, . Từ đó suy ra Ta kiểm tra được là đồng cấu.

Với mọi thỏa mãn Do đó, Khi ra nên suy đó, Lại có và

ta có Do đó là đơn cấu. Với mọi hay Vậy nên là toàn cấu. Do đó Vậy Ta có và nên và là đẳng cấu. suy ra Vậy Theo (2) thì tồn tại sao cho Ta có là môđun.

Sau đây là đặc trưng của vành

là một vành. Khi đó, các điều kiện sau Với và Hệ quả 8. Cho tương đương: ta được nên Lại có (1) là vành phải; Do đó Vậy nên (2) Mỗi đẳng cấu đều mở rộng đến tự đồng cấu trong đó của là hạng tử trực tiếp thật sự của là iđêan phải của và Với đơn cấu Từ Ta chứng minh ta được (3) Với mỗi của sao cho luôn tồn tại tự là hạng , trong đó nên Mà đồng cấu tử trực tiếp thật sự của là đồng cấu nhúng; Do đó Theo (4), ta được (4) Với mỗi đơn cấu là tự Nếu là xạ ảnh, và thì thỏa mãn điều kiện , toàn cấu với chẻ ra. Suy ra là một hạng tử trực tiếp thật sự của Mà đồng cấu của trong đó tồn tại tự đồng cấu của sao cho luôn

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 21, NO. 3, 2023

61

Ta có nên với suy ra nên, suy ra tồn tại phần tử lũy đẳng sao cho . Đặt thì

với (do ). Suy ra (do với mọi ). Do đó, Vậy nên . Do đó . Mặt khác, nên Từ đó ta được Với mọi hay Vì nên . Theo (5), ta được . Lại có nên Do nên và suy

ra nên Khi đó và

Do đó Mà nên , suy ta được Lại có Đặt

nên . Mặt khác, ra (do Vậy nên Suy ra hay Vậy là một hạng tử trực tiếp của phải nên theo Mệnh đề 9 ta được Giả sử với Ta là vành Mà chứng minh

Gọi

suy ra Vậy cũng là vành phải. vậy, nếu là đẳng cấu. Đặt Ta kiểm tra được thì hay là đơn cấu nên suy ra Định lý 11. Cho môđun và Khi Ngược lại, nếu Do đó thì đó, các điều kiện sau được thỏa mãn: Do đó ta được Thật Mà hay Suy ra nên 1. Nếu là vành phải thì là

môđun. Nếu thì Suy ra 2. Chiều ngược lại trong (1) đúng nếu được sinh nên ra bởi với nên Suy ra Mà nên Chứng minh. . Từ (6), ta được (mâu thuẫn giả thiết). Do đó là vành Vậy 1. Gọi là đơn cấu với

và thỏa Do là vành phải thì phải. Mệnh đề 10. Nếu vành cũng là là phần tử lũy đẳng thỏa nên . Khi đó, với phải với Ta định nghĩa bởi Chứng minh. Đặt Giả sử với suy ra Ta có Cần chứng minh

Trước tiên, chứng minh Thật vậy, với

ta có Lại có nên mọi

suy ra với mọi ta có với Vì là đơn cấu nên suy ra

nên Do đó, Và Khi đó, Lại có nên với suy

ra

Trương Thị Thúy Vân

62

nên tồn tại sao cho trong đó

là phép nhúng. Ta chứng minh Nếu thì là vành phải nên , suy ra suy ra Nếu Với mọi Vì với thì

Theo Định lý 7, là môđun. ta được với 2. Giả sử trong đó Với mọi và ,

. Để chứng minh là vành . phải ta chứng minh

Do đó Vậy là vành phải. Tác giả sẽ chỉ ra Ta có

nên suy ra hay 3. Kết luận Bài báo đã trình bày một số kết quả về Lấy ta có nên

hay Do đó Mỗi môđun cũng là Ngoài ra, các điều kiện tương đương của

Mặt khác, môđun. môđun (Mệnh đề 3). môđun, vành được trình bày trong Định lý 7, Hệ quả 8, vành khi Mệnh đề 9. Đồng thời, vành là

là môđun. Hơn nữa, với là phần tử lũy đẳng vành khi sẽ là Với mọi ta có nên thỏa mãn điều kiện vành. là

Suy ra Do đó, TÀI LIỆU THAM KHẢO nên Do đó,

[1] S. H. Mohamed, B. J. Muller, Continuous and Discrete Module, London Math. Soc. Lecture Notes Ser, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

[2] W. K. Nicholson and M. F. Yousif, Quasi-Frobenius rings,

Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.

Vậy

[3] W. K. Nicholson and M. F. Yousif, “Weakly continuous and

Mặt khác nên Giả sử Đặt suy ra

ring”, Communications in Algebra, 29(6), 2001, pp. 2429-2446. [4] Y. Utumi, “On continuous regular rings”, Canad. Math. Bull, 4,

nên . Do đó (mâu

1961, pp. 63-69.

[5] Lê Văn Thuyết và Trương Công Quỳnh, Giáo trình Môđun và Vành,

Nhà xuất bản Đại học Huế, 2019.

[6] F. W. Anderson and K. R. Fuller, Rings and categories of Modules,

Spinger - Verlag, New York, 1974.

[7] F. Kasch, Modules and Ring, L.M.S Monograph No. 17, Academic

thuẫn). Vì vậy nên Do đó

Press, New York, 1982.

Suy ra, là đơn cấu. Vì thỏa mãn điều kiện