Hình h c không gianọ
HÌNH CHÓP TAM GIÁC (T DI N)Ứ Ệ
*****
D06: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh ề ạ a, SA = 2a và SA vuông góc v i m t ph ngớ ặ ẳ
(ABC). G i M và N l n l t là hình chi u vuông góc c a A trên các đ ng th ng SB và SC. Tính th tíchọ ầ ượ ế ủ ườ ẳ ể
c a kh i chóp A.BCNM theo ủ ố a.
ĐS:
3
3 3
50
a
V=
A11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2ạa; hai m t ph ng (SAB)ặ ẳ
và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M là trung đi m c a AB; m t ph ng qua SM vàớ ặ ẳ ọ ể ủ ặ ẳ
song song v i BC, c t AC t i N. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60ớ ắ ạ ế ữ ặ ẳ ằ o. Tính th tíchể
kh i chóp S.BCNM và kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB và SN theo ố ả ữ ườ ẳ a.
ĐS:
3
3V a=
và
2 39
13
a
d=
D11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, BA = 3ạa, BC = 4a; m t ph ng (SBC)ặ ẳ
vuông góc v i m t ph ng (ABC). Bi t SB = ớ ặ ẳ ế
2 3a
và
ﾷ
o
SBC 30=
. Tính th tích kh i chóp S.ABC vàể ố
kho ng cách t đi m B đ n m t ph ng (SAC) theo ả ừ ể ế ặ ẳ a.
ĐS:
3
2 3V a=
và
6 7
7
a
d=
A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh ề ạ a. Hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ngế ủ ặ ẳ
(ABC) là đi m H thu c c nh AB sao cho HA = 2HB. Góc gi a đ ng th ng SAO CHO và m t ph ngể ộ ạ ữ ườ ẳ ặ ẳ
(ABC) b ng 60ằo. Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA và BC theo ể ố ả ữ ườ ẳ a.
ĐS:
3
7
12
a
V=
và
42
8
a
d=
B12: Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC v i SA = 2ề ớ a, AB = a. G i H là hình chóp vuông góc c a A trênọ ủ
c nh SC. Ch ng minh SC vuông góc v i m t ph ng (ABH). Tính th tích kh i chóp S.ABH theo ạ ứ ớ ặ ẳ ể ố a.
ĐS:
3
7 11
96
a
V=
B07 (d b ): ự ị Trong m t ph ng (P) cho n a đ ng tròn đ ng kính AB = 2ặ ẳ ử ườ ườ R và đi m C thu c n a đ ngể ộ ử ườ
tròn đó sao cho AC = R. Trên đ ng th ng vuông góc v i (P) t i A l y đi m S sao cho góc gi a hai m tườ ẳ ớ ạ ấ ể ữ ặ
ph ng (SAB) và (SBC) b ng 60ẳ ằ o. G i H, K l n l t là hình chi u c a A trên SB, SC. Ch ng minh r ngọ ầ ượ ế ủ ứ ằ
tam giác AHK vuông và tính th tích hình chóp S.ABC theo ểR.
ĐS:
A07 (d b ): ự ị Cho hình chóp S.ABC có góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60ữ ặ ẳ ằ o. Các tam giác
ABC và SBC là nh ng tam giác đ u c nh ữ ề ạ a. Tính kho ng cách t B đ n m t ph ng (SAC) theo ả ừ ế ặ ẳ a.
ĐS:
3 / 13d a=
D08 (d b ): ự ị Cho t di n ABCD và các đi m M, N, P l n l t thu c các c nh BC, BD, AC saoứ ệ ể ầ ượ ộ ạ
cho
BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN. M t ph ng (MNP) c t AD t i Q. T nh t s ặ ẳ ắ ạ ỉ ỷ ố
AQ
AD
và t s th tích haiỷ ố ể
ph n c a kh i t di n ABCD đ c phân chia v i m t ph ng (MNP).ầ ủ ố ứ ệ ượ ớ ặ ẳ
ĐS:
AQ 3
AD 5
=
;
1
2
V 7
V 13
=
tambatsinh@gmail.com
Hình h c không gianọ
B08 (d b ): ự ị Cho t di n ABCD có các m t ABC và ABD là các tam giác đ u c nh ứ ệ ặ ề ạ a, các m t (ACD) vàặ
(BCD) vuông góc v i nhau. Hãy tính th tích c a kh i t di n ABCD theo ớ ể ủ ố ứ ệ a và s đo c a góc gi a haiố ủ ữ
đ ng th ng AD và BC.ườ ẳ
ĐS:
3
2
12
=a
V
và
( )
o
AD,BC 60=
A08 (d b ): ự ị Cho hình chóp S.ABC mà m i m t bên là m t tam giác vuông, SA = SB = SC = ỗ ặ ộ a.
G i N, M, E l n l t là trung đi m c a các c nh AB, AC, BC; D là đi m đ i x ng c a S qua E; I là giaoọ ầ ượ ể ủ ạ ể ố ứ ủ
đi m c a đ ng th ng AD v i m t ph ng (SMN). Ch ng minh AD vuông góc v i SI là tính th tích c aể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ ứ ớ ể ủ
kh i t di n MBSI theo ố ứ ệ a.
ĐS:
3
36
=a
V
Chuyên Lý T Tr ng - C n Th :ự ọ ầ ơ Cho hình chóp S.ABC có m t ph ng (SAC) vuông góc v i m tặ ẳ ớ ặ
ph ng (ABC), SA = AB = ẳa, AC = 2a và
ﾷ
ﾷ
o
ASC ABC 90= =
. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo ể ố a và
cosin c a góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC).ủ ữ ặ ẳ
ĐS:
3
4
a
V=
và
105
cos 35
α =
Toán h c & Tu i tr : ọ ổ ẻ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A, BC = a và ạ
ﾷ
o
ABC 30=
.
Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i đáy m t góc 60ặ ẳ ạ ớ ộ o. Bi t r ng hình chi u vuông góc c a S trênế ằ ế ủ
m t ph ng (ABC) thu c c nh BC. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo ặ ẳ ộ ạ ể ố a.
ĐS:
( )
3
3 3
32
a
V−
=
Trung Giã - Hà N i: ộCho t di n ABCD có BCD là tam giác đ u c nh ứ ệ ề ạ a. G i O là trung đi m BD, E làọ ể
đi m đ i x ng v i C qua O. Bi t AE vuông góc v i m t ph ng (ABD) và kho ng cách gi a AE và BDể ố ứ ớ ế ớ ặ ẳ ả ữ
b ng ằ
3
4
a
. Tính th tích kh i t di n ABCD theo ể ố ứ ệ a cùng tang c a góc gi a AC và m t ph ng (BCD).ủ ữ ặ ẳ
ĐS:
3
3
32
a
V=
và
( )
3
tan AC,(BCD) 7
=
Chuyên Lam S n - Thanh Hóa: ơCho t di n ABCD có AD vuông góc v i m t ph ng (ABC), AD = 3ứ ệ ớ ặ ẳ a,
AB = 2a, AC = 4a,
ﾷ
o
BAC 60=
. G i H, K l n l t là hình chi u vuông góc c a B trên AC và CD. Đ ngọ ầ ượ ế ủ ườ
th ng HK c t đ ng th ng AD t i E. Ch ng minh r ng BE vuông góc v i CD và tính th tích kh i tẳ ắ ườ ẳ ạ ứ ằ ớ ể ố ứ
di n BCDE theo ệa.
ĐS:
Chuyên Vĩnh Phúc: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh ề ạ a. Tam giác SAB cân t i S vàạ
thu c m t ph ng vuông góc v i m t ph ng (ABC). Hai m t ph ng (SAC) và (SBC) h p v i nhau m tộ ặ ẳ ớ ặ ẳ ặ ẳ ợ ớ ộ
góc 60o. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo ể ố a.
ĐS:
3
2
32
a
V=
Chu Văn An - Hà N i: ộCho hình chóp S.ABC có
ﾷ
ﾷ
ﾷ
o o o
ASB 60 ;BSC 90 ;CSA 120= = =
, SA = a, SB = b,
SC = c. Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo ể ủ ố a, b, c.
ĐS:
2
12
abc
V=
Chuyên Đ i h c S ph m Hà N i: ạ ọ ư ạ ộ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh ề ạ a. M t bênặ
(SBC) vuông góc v i đáy, hai m t bên còn l i t o v i m t đáy m t góc ớ ặ ạ ạ ớ ặ ộ
α
. Tính th tích kh i chópể ố
S.ABC theo a và
α
.
tambatsinh@gmail.com
Hình h c không gianọ
ĐS:
3
tan
16
a
Vα
=
Tr n Quang Kh i - H ng Yên: ầ ả ư Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh ề ạ a. Hình chi u vuôngế
góc c a S trên m t ph ng (ABC) thu c c nh AC. Góc gi a m t ph ng (SAB), (SBC) v i m t ph ngủ ặ ẳ ộ ạ ữ ặ ẳ ớ ặ ẳ
(ABC) l n l t b ng 30ầ ượ ằ o và 60o. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo ể ố a.
ĐS:
3
3
32
=a
V
Chuyên Vĩnh Phúc: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 4, BC = 2, SA =
4 3
,
ﾷ
ﾷ
o
SAB SAC 30= =
.
Tính th tích kh i chóp S.ABC.ể ố
ĐS:
4=V
Chuyên Đ i h c S ph m Hà N i: ạ ọ ư ạ ộ Cho hình chóp S.ABC có hình chi u vuông góc c a S trên m tế ủ ặ
ph ng đáy n m trong tam giác ABC. Các m t bên t o v i đáy m t góc b ng 60ẳ ằ ặ ạ ớ ộ ằ o. Bi t ế
ﾷ
o
ABC 60=
, AC =
2 7a
, AB = 4a. Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo ể ủ ố a.
ĐS:
( )
3
2 3 5 7V a= −
Mai Thúc Loan - Hà Tĩnh: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = AC = BC = a, AB =
2a
. M t ph ngặ ẳ
(SAB) t o v i đáy m t góc b ng 60ạ ớ ộ ằ o. Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo ể ủ ố a và cosin c a góc gi a haiủ ữ
đ ng th ng SA và BC.ườ ẳ
ĐS:
3
6
24
a
V=
và
1
cos 4
α =
Y n Khê - Phú Th :ể ọ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh ề ạ a. M t bên (SAB) vuông góc v iặ ớ
đáy. Hai m t bên còn l i t o v i đáy m t góc 30ặ ạ ạ ớ ộ o. Tính th tích c a kh i chóp S.ABC và kho ng cáchể ủ ố ả
gi a hai đ ng th ng SA và BC theo ữ ườ ẳ a.
ĐS:
3
3
48
a
V=
và
3
4
a
d=
Chuyên Đ i h c S ph m Hà N i: ạ ọ ư ạ ộ Cho t di n ABCD có AB = 6, CD = 8 và các c nh còn l i b ngứ ệ ạ ạ ằ
74
. Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n ABCD.ệ ặ ầ ạ ế ứ ệ
ĐS:
100S= π
Chuyên Nguy n Quang Diêu - Đ ng Tháp: ễ ồ Cho t di n ABCD có ba c nh AB, BC, CD đôi m t vuôngứ ệ ạ ộ
góc v i nhau, AB = BC = CD = ớa. G i C’ và D’ l n l t là hình chi u c a đi m B trên AC và AD. Tínhọ ầ ượ ế ủ ể
th tích c a t di n ABC’D’ theo ể ủ ứ ệ a.
ĐS:
3
36
a
V=
Chuyên Lê Quý Đôn - Qu ng Tr : ả ị Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC c nh đáy b ng ề ạ ằ a. G i M và Nọ
l n l t là trung đi m c a SB và SC. Bi t r ng m t ph ng (AMN) vuông góc v i m t ph ng (SBC).ầ ượ ể ủ ế ằ ặ ẳ ớ ặ ẳ
Tính th tích c a kh i chóp S.AMN theo ể ủ ố a.
ĐS:
3
5
96
a
V=
--------------------------------------------------------------
HÌNH CHÓP T GIÁCỨ
*****
tambatsinh@gmail.com
Hình h c không gianọ
B06: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = ữ ậ ớ a, AD =
2a
, SA = a và SA vuông
góc v i m t ph ng (ABCD). G i M và N l n l t là trung đi m c a AD và SC; I là giao đi m c a BM vàớ ặ ẳ ọ ầ ượ ể ủ ể ủ
AC. Ch ng minh r ng m t ph ng (SAC) vuông góc v i m t ph ng (SMB). Tính th tích c a kh i tứ ằ ặ ẳ ớ ặ ẳ ể ủ ố ứ
di n ANIB theo ệa.
ĐS:
3
2
36
a
V=
A07: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh ạa, m t bên SAD là tam giác đ u và n mặ ề ằ
trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M, N, P l n l t là trung đi m c a các c nh SB, BC, CD.ặ ẳ ớ ọ ầ ượ ể ủ ạ
Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t di n CMNP theo ứ ớ ể ủ ố ứ ệ a.
ĐS:
3
3
96
a
V=
B07: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy là hình vuông c nh ứ ề ạ a. G i E là đi m đ i x ng c a D quaọ ể ố ứ ủ
trung đi m c a SA, M là trung đi m c a AE, N là trung đi m c a BC. Ch ng minh MN vuông góc v iể ủ ể ủ ể ủ ứ ớ
BD và tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng MN và AC theo ả ữ ườ ẳ a.
ĐS:
2 / 4d a=
D07: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
ﾷ
ﾷ
o
ABC BAD 90= =
, BA = BC = a, AD = 2a.
C nh bên SA vuông góc v i đáy và SA = ạ ớ
2a
. G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SB. Ch ngọ ế ủ ứ
minh tam giác SCD vuông và tính kho ng cách t H đ n m t ph ng (SCD) theo ả ừ ế ặ ẳ a.
ĐS:
/ 3d a=
B08: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh 2ạa, SA = a, SB =
3a
và m t ph ngặ ẳ
(SAB) vuông góc v i m t ph ng đáy. G i M, N l n l t là trung đi m c a các c nh AB, BC. Tính theo ớ ặ ẳ ọ ầ ượ ể ủ ạ a
th tích c a kh i chóp S.BMDN và tính cosin c a góc gi a hai đ ng th ng SM, DN.ể ủ ố ủ ữ ườ ẳ
ĐS:
3
3
3
a
V=
và
5
cos 5
ϕ =
A09: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D; AB = AD = 2ạa, CD = a; góc
gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 60ữ ặ ẳ ằ o. G i I là trung đi m c a c nh AD. Bi t hai m t ph ngọ ể ủ ạ ế ặ ẳ
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD), tính th tích kh i chóp S.ABCD theo ớ ặ ẳ ể ố a.
ĐS:
3
3 15
5
a
V=
A10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh ạa. G i M và N l n l t là trung đi m c aọ ầ ượ ể ủ
các c nh AB và AD; H là giao đi m c a CN v i DM. Bi t SH vuông góc v i m t ph ng (ABCD) và ạ ể ủ ớ ế ớ ặ ẳ
SH =
3a
. Tính th tích kh i chóp Sể ố .CDNM và tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng DM và SC theoả ữ ườ ẳ
a.
ĐS:
3
5 3
24
a
V=
và
2 3
19
a
d=
D10: hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh ạa, c nh bên SA = ạa; hình chi u vuông góc c aế ủ
đ nh ỉS lên m t ph ng (ABCD) là đi m H thu c đo n AC, AC = 4AH. G i CM là đ ng cao c a tam giácặ ẳ ể ộ ạ ọ ườ ủ
SAC. Ch ng minh M là trung đi m c a SA và tính th tích kh i t di n SMBC theo ứ ể ủ ể ố ứ ệ a.
ĐS:
3
14
48
a
V=
A06 (d b ): ự ị Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = ữ ậ ớ a, AD = 2a, SA = a và
SA vuông góc v i đáy, c nh SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 60ớ ạ ạ ớ ặ ẳ ộ o. Trên c nh SA l y đi m M sao cho ạ ấ ể
tambatsinh@gmail.com
Hình h c không gianọ
AM =
3
3
a
. M t ph ng (BCM) c t c nh SD t i đi m N. Tính th tích c a kh i chóp S.BCNM theo ặ ẳ ắ ạ ạ ể ể ủ ố a.
ĐS:
3
10 3
27
a
V=
B06 (d b ): ự ị Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh ạa,
ﾷ
o
BAD 60=
, SA vuông góc v iớ
đáy, SA = a. G i C’ là trung đi m c a SC. M t ph ng (P) đi qua AC’ song song v i BD, c t các c nh SB,ọ ể ủ ặ ẳ ớ ắ ạ
SD c a hình chóp l n l t t a B’, D’. Tính th tích c a kh i chóp S.AB’C’D’ theo ủ ầ ượ ị ể ủ ố a.
ĐS:
3
3
18
a
V=
D06 (d b ): ự ị Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy là hình vuông c nh ứ ề ạ a. G i SH là đ ng cao c aọ ườ ủ
hình chóp. Kho ng cách t trung đi m I c a SH đ n m t ph ng (SBC) b ng ả ừ ể ủ ế ặ ẳ ằ b. Tính th tích kh i chópể ố
S.ABCD theo a và b.
ĐS:
3
2 2
2
3 16
a b
V
a b
=−
B07 (d b ): ự ị Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh ạa, tâm O. C nh bên SA vuông góc v iạ ớ
đáy và SA =
2a
. G i H, K l n l t là hình chi u c a A trên SB, SD. Ch ng minh SC vuông góc v iọ ầ ượ ế ủ ứ ớ
m t ph ng (AHK) và tính th tích t di n OAHK theo ặ ẳ ể ứ ệ a.
ĐS:
3
2 / 27=V a
B08 (d b ): ự ị Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh ạa. C nh bên SA vuông góc v i m tạ ớ ặ
ph ng đáy và SA = ẳa
3
. Tính th tích c a kh i t di n SACD theo ể ủ ố ứ ệ a và cosin c a góc gi a hai đ ngủ ữ ườ
th ng SB và AC.ẳ
ĐS:
3
3
6
=a
V
và
( )
2
cos SB,AC 4
=
L ng Th Vinh - Hà N i: ươ ế ộ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t v i AB = ữ ậ ớ a. SA vuông góc
v i đáy, SC t o v i m t ph ng đáy m t góc 45ớ ạ ớ ặ ẳ ộ o và t o v i m t ph ng (SAB) m t góc 30ạ ớ ặ ẳ ộ o. Tính th tíchể
c a kh i chóp S.ABCD theo ủ ố a.
ĐS:
3
2
3
=a
V
Đ ng Thúc H a - Ngh An: ặ ứ ệ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, AC =
2 3a
, BD = 2a.
Hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Bi t kho ng cách t đi m Oặ ẳ ớ ặ ẳ ế ả ừ ể
đ n m t ph ng (SAB) b ng ế ặ ẳ ằ
3
4
a
, tính th tích kh i chóp S.ABCD theo ể ố a.
ĐS:
3
3
3
a
V=
T Kỳ - H i D ng: ứ ả ươ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh ạa, hình chi u vuông góc c a đ nhế ủ ỉ
S trên m t ph ng (ABCD) là trung đi m H c a AB. G i M là trung đi m c a c nh CD và AM = ặ ẳ ể ủ ọ ể ủ ạ
3
2
a
.
Góc gi a hai m t ph ng (SCD) và (ABCD) b ng 30ữ ặ ẳ ằ o. Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo ể ố a.
ĐS:
3
3
12
a
V=
Chuyên Phan B i Châu - Ngh An: ộ ệ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh ạa, tam giác SAB
đ u và tam giác SCD vuông cân t i S. G i I, J l n l t là trung đi m c a c nh AB, C C Đ I. Tính thề ạ ọ ầ ượ ể ủ ạ ự ạ ể
tích kh i chóp S.AICJ theo ốa.
tambatsinh@gmail.com