zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Tuyển tập các bài bất đẳng thức thi vào lớp chuyên toán năm học 2009-2010

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Báo xấu

309
lượt xem 53
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức là một trong năm bài toán chính thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào các lớp chuyên tóan của các trường trung học phổ thông chuyên của tất cả mọi tỉnh thành trên cả nước. Dưới đây là "Tuyển tập các bài bất đẳng thức thi vào lớp chuyên toán năm học 2009-2010", mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập các bài bất đẳng thức thi vào lớp chuyên toán năm học 2009-2010

TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF DIễN DI N ĐÀN ÀN BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C VIệT VI T NAM ============================================ The Vietnam Inequality Mathematic Forum http://ddbdt.tk TÁC GIả: MESSI_NDT *** ∇∇∇∇∇ TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CHUYÊN TOÁN NăM HọC 2009-2010 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page1- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF Như các bạn ñã biết, Bất ñẳng thức là một trong năm bài toán chính thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào các lớp chuyên tóan của các trường THPT chuyên của tất cả mọi tỉnh thành trên cả nước. Trong lúc bấy giờ, không ít người từ học sinh cho tới sinh viên rất nhiều người yêu bất ñẳng thức bởi vẻ ñẹp và những sự mới lạ và nét ñẹp trong phương pháp giải nó. Xin nói thêm bất ñẳng thức là bông hoa ñẹp nhất trong vườn hoa tóan học ngày nay rất hay xuất hiện trong mọi kì thi tóan học từ thấp ñến cao. Và cùng vs xu thế ñó, các cao thủ cũng xuất hiện nhiều, các phương pháp cũng ngày càng cải tiến,sáng tạo và mạnh mẽ cũng như hiệu qủa cao trong việc giải bất ñẳng thức. Tuy nhiên trong kì thi tuyển sinh vào lớp chuyên tóan THPT thì các bạn lại không ñược sử dụng những phương pháp mạnh mà trong SGK, SBT không nêu ra. Chính vì thế các bạn chỉ ñược dùng những gì có trong SGK,SBT trong khi làm bài thi. Nhằm giúp các bạn có thêm chút tài liệu ñể ôn tập trước kì thi quan trọng này,mình ñã tuyển tập một số bài BĐT tiểu biểu xuất hiện trong các ñề thi vào lớp chuyên tóan THPT năm qua ñồng thời thêm vào một số ví dụ năm trước và tự tạo nhằm giúp các bạn ôn ñược kĩ hơn. Cũng xin bình, các bài BĐT xuất hiện trong ñề thi thường không qúa khó và không qúa chặt như những bài chúng ta thảo luận hằng ngày trên Forum chính vì thế file của mình cũng không cần có nhiều bài khó và chặt lắm, chỉ những bài vừa với trình mà ñề ra yêu cầu. Chúc các bạn bỏ túi câu bñt trong ñề thi của mình ! Tác giả chém gió. Messi_ndt. Trong File của mình ñể cho gọn thì kí hiệu ∑ thay cho tổng hóan vị . Ví dụ : ∑ ab = ∑ ab 2 cyc 2 = ab 2 + bc 2 + ca 2 . ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page2- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF Phần I: Một số bài tập. Bài1: (Chuyên Phan Bội Châu,Nghệ An) Cho a,b,c là các số thực dương thay ñổi thoã mãn: a + b + c = 3 ab + bc + ca Tìm Min của P = a 2 + b 2 + c 2 + 2 . a b + b2c + c2a Bài2:(Chuyên Quang Trung,Bình Phước) 4 Cho các số x, y ≥ 0 .Chứng minh rằng: T = x + ≥ 3. ( x − y )( y + 1)2 Bài3: (Chuyên Vĩnh Phúc,Vĩnh Phúc) a2 b2 c2 Cho ba số a, b, c ñôi một phân biệt.CMR: + + ≥ 2. . (b − c) 2 (c − a) 2 (a − b) 2 Bài 4: (Chuyên Trần Phú,hải Phòng)  1 1 1 1)Cho các số thực dương a, b, c .CMR: ( a + b + c )  + +  ≥ 9. a b c 2)Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn 1 2009 a + b + c ≤ 3 .CMR: 2 + ≥ 670 a +b +c2 2 ab + bc + ca Bài5: (Khối THPT chuyên,ĐH Vinh) Cho các số thực dương x, y, z thõa mãn x + 2 y + 3 z = 18 . 2 y + 3 z + 5 3 z + x + 5 x + 2 y + 5 51 Chứng minh rằng: + + ≥ 1+ x 1+ 2 y 1 + 3z 7 Bài6: (Chuyên Lê Khiết,Quãng Ngãi) x Cho x > 0. Tìm giá trị của x ñể biểu thức N = ( x + 2010) 2 Bài7: (Chuyên Lam Sơn,Thanh Hoá) Cho biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd ,trong ñó ad − bc = 1. Chứng minh rằng: P ≥ 3 Bài8: (Chuyên Lê Hồng Phong,Nam Định) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = 2 x + 1 − 4 x − x 2 Bài9: (Chuyên Hưng Yên,Hưng Yên) 2 3 Cho a, b > 0 và a + b = 1 .Chứng minh rằng: + 2 ≥ 14 . ab a + b 2 Bài10: (Chuyên Nguyễn Trãi,Hải Dương) Tìm GTLN của biểu thức: P = x 2 − 4 x + 5 − x 2 + 6 x + 13 Bài11: (Chuyên Hùng Vương,Phú Thọ) 5 4 1 1)Cho x, y là các số thực dương thõa mãn x + y = .Tìm Min: A = + 4 x 4y 2)Cho các số thực không âm a, b, c thõa mãn ab + bc + ca = 3 1 1 1 Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 ≤ 1. a +2 b +2 c +2 Bài12: Cho ba số a, b, c dương và ab + bc + ca = 3. Chứng minh bất ñẳng thức sau : ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page3- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF a b c + 2 + 2 ≥ abc. 2a + bc 2b + ca 2c + ab 2 Bài13: (Chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM) 1) Cho ba số thực a, b, c .CMR: (a − b) 2 (b − c) 2 (c − a )2 a 2 + b 2 + c 2 + ≥ ab + bc + ca + + + . 26 6 2009 1 2 8 2) Cho a > 0; b < 0; a + b ≥ 0. .Chứng minh rằng: ≥ + . a b 2a − b a 2b 1 3) Cho a, b dương thõa mãn: + = 1. CMR: ab 2 ≤ . 1+ a 1+ b 8 a b c 3 Bài14: Cho a, b, c > 0; abc = 1 .Chứng minh rằng: + + ≥ . ab + 1 bc + 1 ca + 1 2 a b c 3 Bài 15: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3 .Chứng minh rằng: + + ≥ . ab + 1 bc + 1 ca + 1 2 3 b+c  Bài16: Cho a, b, c > 0. CMR: a + b + c − 3abc ≥ 2  3 3 3 − a .  2  Bài17:Cho a, b, c là các số thực dương.Chứng minh rằng: 3 2 a 3 + b3 + 3 b3 + c3 + 3 c3 + a 3 ≥ 2 ( a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a 2 ) Bài18:Cho các số dương a, b, c .Chứng minh rằng: 4a 2 4b 2 4c 2 3 4(a 3 + b3 ) + 3 4(b3 + c3 ) + 3 4(c3 + a 3 ) ≤ + + . a+b b+c c+a Bài19:Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn ñiều kiện: a 2 + b 2 + c 2 = 1 a2 b2 c2 Chứng minh rằng: + + ≥ 1. 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c Bài20: 1 1 1 1)Cho ba số a, b, c dương thõa mãn ( a + b + c )  + +  = 11. a b c  1 1 1 ( ) Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất: A= a 2 + b 2 + c 2  2 + 2 + 2  . a b c  1 1 1 1 2) Cho bốn số a, b, c, d dương thõa mãn ( a + b + c + d )  + + +  = 20. a b c d  1 1 1 1  ( ) Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2  2 + 2 + 2 + 2  ≥ 36. a b c d  Bài21: Cho các số dương a, b, c .Chứng minh rằng: 2(a 2 + 1)(b 2 + 1)(c 2 + 1) ≥ (a + 1)(b + c)(c + 1)(abc + 1) . Bài22:Cho các số dương a, b, c .Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 + + ≤ . (2a + b )(2a + c ) (2b + c )(2b + a ) (2c + a )(2c + b ) a + b + c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài23: a) Cho a, b, c > 0 .CMR: 3(1 − x − x 2 )(1 − y − y 2 )(1 − z − z 2 ) ≥ 1 + xyz + ( xyz ) 2 . ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page4- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF a+b b+c c+a a b c b) Với a, b, c, .l à ba số dương. Chứng minh rằng: + + ≤ + + . a+c b+a c+b b c a 6 2 Bài24: Cho ba số x, y, z thõa mãn x ≥ y ≥ z; xyz = 6; ≤ y ≤ . x z. 9 4 5 Chứng minh rằng : + + ≥ 1. . 4 x 2 3 y 2 12 z 2 Bài25: (Chuyên Lê Qúy Đôn,Bình Định) 1 1 1 Cho A = + + ..... + . 1+ 3( ) ( 5+ 7 ) 97 + 99( ) 9 .CMR: A > . 4 a b c Bài26: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 .Tìm Min của P = + 2 + 2 + abc . a +1 b +1 c +1 2 Bài27: Cho các số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng. x 2 + y 2 + z 2 + 3 xyz ( x + y + z ) ≥ 2 ( xy + yz + zx ) . Bài28: (Khối AO,Hà Nội) Cho ba số x, y, z thõa mãn 2 ≥ x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 3 .Tìm Min,Max của biểu thức T = x 4 + y 4 + z 4 + 12(1 − x)(1 − y )(1 − z ). Bài29: (Khối THPT chuyên ĐHKHTN,ĐHQG HN) Vòng 1) Cho hai số a,b dương . a+b Tìm Giá trị Nhỏ Nhất của : P = . a(4a + 5b) + b(4b + 5a) Vòng 2) Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ . 3a + 8b + 14ab 2 2 3b + 8c + 14bc 2 2 3c + 8a + 14ca 2 2 5 1 1 1 1 1 1 Bài30: Cho a, b, c > 1 và 2 + 2 + 2 = 1 .CMR: + + ≤1 . a −1 b −1 c −1 a +1 b +1 c +1 Bài31: Chứng minh rằng với hai số thực dương a, b thì ta có bất ñẳng thức sau: a b a+b  + +4 2 ≥ 10. b a a 2 + b2 Bài32:. Cho a, b, c > 0 thõa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng: 2 a 2 1 − bc + b 2 1 − ca + c 2 1 − ab ≥ . 3 Bài33: Cho a, b, c > 0 thõa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 + + ≤ . 1 − bc 1 − ca 1 − ab 2 Bài34: Cho 3 số a, b, c ≥ 0 .& a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≥ ab + 2c + 2c bc + 2a + 2a ca + 2b + 2b ab + bc + ca 2 2 2 Bài35: Cho ba số a,b,c dương. Chứng minh rằng: 2 ( ) a 2 − ab + b 2 + b 2 − bc + c 2 + c 2 − ca + c 2 ≥ a 2 + ab + b 2 + b 2 + bc + c 2 + c 2 + ca + c 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page5- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF : Bài36: Cho ba số thực dương a, b, c thõa mãn: a + b + c = 4abc . 1 1 1 Chứng minh rằng : + + ≥ 3 . a b c Bài37: Cho hai số thực a, b thõa mãn : ab + a + b = 3 .Chứng minh rằng:  a b  ab 3 3 + + ≤ a2 + b2 + .  b +1 a +1  a + b 2 Bài38: Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 .Chứng minh rằng : a b c + + ≤ 3. a2 + b + c b2 + c + a c2 + a + b Bà39: Cho a, b, c, d > 0 .Chứng minh rằng: a 2 + b2 + c2 b2 + c2 + b2 c2 + d 2 + a 2 d 2 + a 2 + b2 + + + ≥ a 2 + b2 + c2 + d 2 b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c Bài40: Cho a, b, c > 0; abc ≥ 1 .Chứng minh rằng : x y z 3 A= + + ≥ . 1+ x 1+ y 1+ z 2 ab + bc + ca (a + b + c)3 Bài41: Cho a, b, c > 0 .CMR: + ≥ 28. a 2 + b2 + c2 abc Bài 42:Cho ba số dương a,b,c bất kì.Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+b+c + ≥ . 2a + b 2 2 2b + c 2c + a 2 2 2 2 3 Bài43: Cho a, b, c là 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:  a b c  1+ a 1− b 1− c 2 + +  ≥ + +  b c a  1− a 1+ b 1+ c Bài44: Cho các số thực a, b, c thõa mãn a 2 + b 2 +c 2 = 1. Tìm Giá Trị Lớn Nhất Của Biểu thức P = ( c − a )( b − c )( a − b )( a + b + c ) . Bài45: Cho các số thực không âm a, b, c .Chứng minh rằng bất ñẳng thức sau luôn ñúng: 1 1 1 8 a) + 2 + 2 ≥ . 2a + bc 2b + ca 2c + ab ( a + b + c ) 2 2 1 1 1 1 b) + + ≥ . 22a + 5bc 22b + 5ca 22c + 5ab ( a + b + c ) 2 2 2 2 Bài46: Chứng minh rằng : n n n n n n 1+ + 1− < 2. n n Bài47: Cho các số thực dương a, b, c .Chứng minh rằng : a (b + c) b (c + a ) c ( a + b)  1 1  a + bc 2 + b + ca 2 + c 2 + ab ≤ ( a+ b+ c   a ) + 1 b +  c Bài48: Cho các số thực dương a, b, c .Chứng minh rằng : ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page6- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF a b c + + ≥ 2. 1 1 1 b + bc + c 2 2 c + ca + a 2 2 a + ab + b 2 2 4 4 4 PhầnII: Lời giải: Bài1: Lời giải: Ta sẽ chứng minh: A= a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 .(1) Thật vậy , 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) = a 3 + b3 + c3 + ab 2 + bc 2 + ca 2 + a 2b + b 2c + c 2 a Áp dụng AM-GM ta có: a 3 + c 2 a ≥ 2 a 4c 2 = 2ca 2 ; b3 + a 2b ≥ 2 b 4 a 2 = 2ab 2 ; c3 + b 2 c ≥ 2 c 4b 2 = 2bc 2 ; Nên 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 3 ( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) . Suy ra (1) ñúng. BĐT cần chứng minh tở thành: ab + bc + ca 2(ab + bc + ca ) 9− A 9 1 A 9 1 A A+ 2 ≥ A+ = A+ = A+ − = + − + ab + bc + ca 2 2 2A 2A 2A 2 2 2A 2 2 1 A 5 (a + b + c) 2 ≥ 3− + ≥ + = 4. Hay P ≥ 4 . 2 2 2 6 Vậy Min P=4 ⇔ a = b = c = 1. Bài2:Lời Giải: 4 y +1 y +1 4 Ta có: T = x + = ( x − y) + + + −1 ( x − y )( y + 1) 2 2 2 ( x − y )( y + 1) 2  y + 1  y + 1  4 Áp Dụng AM-GM ta có T ≥ 4 4 ( x − y )    − 1 = 4 − 1 = 3.  2  2  ( x − y )( y + 1) 2 y +1 4 Vậy Min T =3 tại x − y = = ↔ x = 2; y = 1. 2 ( x − y )( y + 1) 2 Bài3:Lời Giải: a b c Đặt x = ;x = ;z = . b−c c−a a −b Dễ thấy: ∑ xy = ∑ ab ∑ ab(a − b) = −1. = (b − c)(c − a )∏ ( a − b) Do ñó: LHS = ∑ x = ( ∑ x ) − 2∑ xy ≥ −2∑ xy = 2. 2 2 Q.E.D ( a + b) 2 Mở rộng: Với ba số thực bất kì a, b, c :1) ∑ ≥ 2. ( a − b) 2  1  9 a2 ( ) 2) a 2 + b 2 + c 2  ∑ 2  ≥ . 3) Với a + c ≥ 2b. thì ∑ ≥ 2.  (a − b)  2 (a − b) 2 Bài4:Lời Giải: By AM-GM Inequality ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page7- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ( a + b + c )  1 1 1 1 a) + +  ≥ 3 3 abc .3 3 =9. a b c abc b) Ta Áp dụng câu a thì LHS= 1 1 1 2007 9 2007 + + + ≥ + a +b +c 2 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca (a + b + c) ab + bc + ca 2 3.2007 ≥ 1+ ≥ 670. (a + b + c)2 Q.E.D Bài5:Lời Giải: Đặt a = x; b = 2 y; c = 3 z thì theo bài ra ta có: a + b + c = 18. b + c + 5 51 Ta cần chứng minh : ∑ ≥ . cyclic 1 + a 7 b+c+5 (b + c + 5) 2 (2a + 2b + 2c + 15) 2 Áp Dụng Schwar ta có : ∑ = ∑ ≥ cyclic 1 + a cyclic (1 + a )(b + c + 5) ∑ (1 + a)(b + c + 5) (18.2 + 15)2 512 51 = ≥ = . 6(a + b + c) + 2(ab + bc + ca ) + 15 2(a + b + c) 2 7 6.18 + 15 + 3 Q.E.D . Dấu “=” xảy ra a = 6; b = 3; c = 2 . Bài6:Lời Giải: Áp Dụng BĐT (a + b) 2 ≥ 4ab thì ( x + 2010 ) ≥ 4.x.2010 . 2 x x 1 Khi ñó : N = ≤ = . ( x + 2010) 2 8080 x 8010 Q.E.D Dấu = tại x=2010 Bài 7:Lời Giải: ( Ta có: 1 + (ac + bd )2 = (ad − bc) 2 + ( ac + bd ) = a 2 + b 2 c 2 + d 2 2 )( ) Áp Dụng BĐT AM-GM ta có: (a 2 ) ( + b2 + c2 + d 2 ≥ 2) (a 2 )( ) + b 2 c 2 + d 2 = 2 1 + (ac + bd ) 2 Khi ñó Chuyển ac + bd = x thì P ≥ 2 1 + x 2 + x → P 2 = 4(1 + x 2 ) + x 2 + 4 x 1 + x 2 = 3 + [(2 x) 2 + 4 x 1 + x 2 + (1 + x 2 )] ( ) 2 → P2 = 3 + 2 x + 1 + x2 ≥ 3 → P ≥ 3 → P ≥ 3 (Q.E.D) Bài8:Lời Giải: 1 − 4 x − x2 x2 Áp Dụng AM-GM ta có: P = 2 x + ( ) 1 − 4 x − x 2 .1 ≤ 2 x + 2 = 1 − ≤ 1. 2 Dấu = xảy ra tại x = 0. Bài9: Lời Giải: 1 1 4 Áp dụng BĐT quen thuộc + ≥ , ∀a, b > 0 ta có: a b a+b ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page8- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF 2 3 1 3 3 1 3.4 2 12 LHS = + 2 = + + 2 ≥ + 2 ≥ + = 14. ab a + b 2 2ab 2ab a + b 2 2ab a + b + 2ab (a + b) (a + b)2 2 2 1 Q.E.D Dấu = xảy ra tại a = b = . 2 Bài10:Lời Giải: Bổ ñề: (a − c) 2 + (b − d ) 2 ≥ a 2 + b 2 − c 2 + d 2 . Áp dụng BĐT trên ta có: P= x 2 − 4 x + 5 − x 2 + 6 x + 13 = ( x − 2)2 + 12 − ( x + 3) 2 + 2 2 ≤ . ( x − 2 − x − 3) 2 ≤ + (1 − 2) 2 = 26 = 26. Đẳng thức xảy ra tại x = 7. Bài11: Lời Giải: 1) Dùng CBS : 54 1  4 1    2  2  1  2  ( ) ( ) 2  2 2  ≥ ( 2 + 1/ 2 )2 = 5 2 .  +  = ( x + y) + = x + y  +   x   2 y  4  x 4y   x 4 y        4 4 1 5 1 → + ≥ . Đẳng thức xảy ra tại x = 2; y = . x 4y 4 2 2 a2 2) Bất ñẳng thức tương ñương ∑ a2 + 2 ≤ 2 ⇔ ∑ a 2 + 2 ≥ 1. ( ∑ a ) = ( ∑ a ) = 1. 2 2 a2 Áp dụng BĐT CBS: ∑ 2 = a +2 ∑ a + 6 ∑ a + 2∑ ab 2 2 Q.E.D Bài12: Lời Giải: 1 1 1 3 Từ GT ab + bc + ca = 3 ↔ + + = . a b c abc 1 1 1 Đặt x = ; y = ; z = . Khi ñó x + y + z = 3 xyz. a b c 1 1 9 Khi ñó : LHS = ∑ x =∑ ≥ 2 + 1 2 x + 1 1 1  x y z  2 2 + +  +  + +  x yz x yz  x y z   yz zx xy  9 9 1 = 2 = = = abc. ( Q.E.D) x + y + z + 2 xy + 2 yz + 2 zx 9( xyz ) 2 2 2 xyz xyz xyz Đẳng thức xảy ra tại x = y = z = 1. ↔ a = b = c = 1. Bài13:Lời Giải: (a − b) 2 (b − c) 2 (c − a ) 2 1) Ta có, BĐT tương ñương: ∑ a 2 − ∑ ab − + + ≥ 0. 26 6 2009 12(a − b)2 2(b − c) 2 2007(c − a ) 2 ↔ + + ≥ 0. 13 3 2009 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page9- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF Vì S a ; Sb : Sc > 0. nên BĐT hiển nhiên ñúng. 2) Vì a > 0; b < 0. nên suy ra a; −b > 0. BĐT cần chứng minh tương ñương với 1 2 8 1 1 1 9 + ≥ . Áp dụng BĐT quyen thuộc + + ≥ . a −b 2 a − b x y z x+ y+ z 1 1 1 9 ta có: + + ≥ .Khi ñó ta chỉ cần chứng minh cho : a a −b 2 a − b 1 + 1 −b 2 a − b a 1 ( ≥ . ⇔ 2a 2 ≥ b 2 . ⇔ a 2 ≥ −b ⇔ a + b + a 2 − 1 ≥ 0. ) Đúng vì a > 0; a + b > 0. Do ñó bất ñẳng thức ñược chứng minh hòan tòan. Đẳng thức xảy ra tại a = −b . 1 2 3) Từ GT + = 2. ta dễ dàng suy ra: ( Dùng AM-GM) . a +1 b +1 1 2 2b = 2− = . và a +1 b +1 b +1 1 1 1 a b ab = 2− − = + ≥2 b +1 a +1 b +1 a +1 b +1 (a + 1)(b + 1) 2 1 2b  ab  8ab 2 Nhân vế vs vế ta có: ≥ .  2  = . (a + 1)(b + 1)2 b + 1  (a + 1)(b + 1)  (a + 1)(b + 1) 2 1 Suy ra 8ab 2 ≤ 1 ↔ ab 2 ≤ . Q.E.D . Đẳng thứ cxảy ra tại a = b = c = 1 / 2. 8 Bài14: Lời Giải: x y z Vì theo giã thiết abc = 1. Đặt a = ; b = ; c = . y z x x x a y y xz Khi ñó: = = = . ab + 1 x y . +1 x + 1 yz + xy z y z xy yz zx 3 BĐT cần chứng minh trở thành: + + ≥ . yz + zx zx + xy xy + yz 2 Đây chính là BĐT Netbit quen thuộc . BĐT ñúng với mọi xy = yz = zx. hay a = b = c = 1. Bài15:Lời Giải: Cách 1: a + a 2b − a 2b 3 a 2b 3 BĐT cần chứng minh tương ñương : ∑ ≥ ↔ a+b+c−∑ ≥ . ab + 1 2 ab + 1 2 2 ab 3 ↔ ≥ . Áp dụng AM-GM ở mẫu ab + 1 ≥ 2 ab. ta chỉ cần chứng minh: ab + 1 2 3 1 ∑ a 2 b 2 ≤ 3. Đến ñây cho a = x 2 ; b = y 2 ; z = c 2 thì ta có ngay bài quyen thuộc : (∑ x ) 2 2 1 ≥ 3∑ x3 y ⇔ ∑ ( ) 2 x 2 − y 2 − xy − zx + 2 yz ≥ 0. Đúng. 2 Vậy bài tóan ñược giải quết xong, Đẳng thức tại tâm a = b = c = 1. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page10- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF Cách2: a 3  a 2a (b + c) − bc  ⇔∑ − ≥ 0 ⇔ ∑ − ≥0 a + bc 2  a + bc 2(ab + bc + ca )  ( 3a + bc − 2ab − 2ac ) bc ≥ 0 ⇔ ( a + b + c ) a + bc − 2ab − 2ac  bc BĐT ⇔ ∑ 2(ab + bc + ca )(a + bc) ∑ 2(ab + bc + ca )(a + bc) ≥0 (a − b)(a − c) ⇔∑ ≥ 0. a 2 + abc 1 1 Không mất tính tổng quát giã sử a ≥ b ≥ c khi ñó ≥ 2 > 0. c + abc b + abc 2 Đúng theo tiêu chuẩn II Voirnicu Schur.Suy ra BĐT ñược chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra tại tâm a = b = c. Bài16:Lời Giải: Để cho dễ ñánh giá ta xét hai trường hợp: 3 b+c  TH1: b + c ≤ 2a . Khi ñó RHS = 2  − a  ≤ 0.  2  Còn LHS = a + b + c − 3abc ≥ 0∀a, b, c > 0. ⇒ BDT hiển nhiên ñúng . 3 3 3 3 b+c  TH2: b + c > 2a .Khi ñó BĐT trở thành a + b + c − 3abc − 2  3 3 3 − a  ≥ 0.  2  Đặt b = a + x và c = a + y. với x, y > 0 . Khi ñó BĐT cần chứng minh thành: 3( x + y )( x − y )2 3( x + y )( x − y )2 ( ) 3a x 2 − xy + y 2 + 2 ≥ 2 ≥ 0. ( True) Vậy BĐT ñược chứng minh. Bài17:Lời Giải: 2 Ta sẽ chứng minh : 3 a 3 + b3 ≥ a 2 + b2 . 2 ( ) ( ) ≥ 3a 2b 2 ( a − b ) 2 2 ⇔ a 6 + b6 + 4a 3b3 ≥ 3a 2b 2 a 2 + b 2 ⇔ a 3 − b3 ⇔ (a − b) 2 [(a 2 + b 2 + ab) 2 − 3a 2b 2 ] ≥ 0 ⇔ (a 2 + b 2 + ab) 2 − 3a 2b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 + ab − 3ab ≥ 0 ↔ (a − b) 2 ≥ 0.(True) 2 Do ñó: → ∑ 3 a 3 + b3 ≥ ∑ a 2 + b2 . 2 Q.E.D Dấu = xảy ra tại a = b = c. Bài18:Lời Giải: Ta có RHS = 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 = ( 2 a 2 + b2 + ) 2 b2 + c 2 + ( 2 c2 + a 2 ) ( ) a+b b+c c+a a+b b+c c+a BĐT cần chứng minh trở thành: ∑ 3 4(a 3 + b3 ) ≤ ∑ 2 a +b2 2 . ( ) a+b 2(a 2 + b 2 ) Ta sẽ chứng minh: 3 4(a 3 + b3 ) ≤ a+b . ⇔ ( a + b ) 3 4(a 3 + b3 ) ≤ 2 a 2 + b 2 ( ) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page11- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ( ⇔ ( a + b ) .4(a 3 + b3 ) ≤ 8 a 2 + b 2 ) 3 3 ⇔ 2a 6 + 2b6 + 6a 4b 2 + 6a 2b 4 ≥ a 6 + b 6 + 2a 3b3 + 3ab5 + 3a 5b + 3a 4b 2 + 3a 2b 4 ( ) ⇔ ( a − b ) a 2 + ab + b 2 ≥ 0∀a, b ∈ R. 4 Tương tự và cộng lại ta có Q.E.D Đẳng thức xảy ra tại a=b=c Bài19:Lời Giải: a2 a4 b4 a4 Ta có: LHS = ∑ = + + 1 + b − a a 2 + a 2b − a 3 b 2 + b 2 c − b 3 c 2 + c 2 a − c 3 Áp dụng BĐT CBS: ∑ 2 a4 ≥ (∑ a ) 2 2 1 = a + a 2b − a 3 ∑ a − ∑ a + ∑ a b 1 − ∑ a + ∑ a 2b 2 3 2 3 Khi ñó ta chỉ cần chứng minh : ∑ a ≥ ∑ a b . Nó ñúng theo BĐT hóan vị . 3 2 Hoặc dùng AM-GM: a 3 + a 3 + b 3 ≥ 3a 2b; b3 + b3 + c 3 ≥ 3b 2c; c 3 + c3 + a 3 ≥ 3c 2 a. Cộng lại ta có Q.E.D Bài20:Lời Giải: 1 1 1 a b c b c a 1) Ta có ( a + b + c )  + +  = 11 ↔ + + + + + + 3 = 11. a b c b c a a b c a b c b c a Đặt + + = x và + + = y. Khi ñó x + y = 8. b c a a b c Suy ra: 2  1 1 1 a2 b2 c2 b2 c 2 a 2 ( ) A = a +b + c  2 + 2 + 2  = 3+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 2 a b c  b c a a b c 2 2 a b c b c a b c a a b c = 3 +  + +  − 2  + +  +  + +  − 2  + +  = x2 + y2 − 2x − 2 y + 3 b c a a b c a b c b c a Thay y = 8 − x vào A ta có : A = x 2 − 2 x + 3 + (8 − x) 2 − 2(8 − x) = 2 x 2 − 16 x + 51 = 2( x − 4) 2 + 19 ≥ 19. a b c b c a Đẳng thức xảy ra tại x = y = 4 ↔ + + = + + = 4. b c a a b c 3+ 5 Chẳng hạn a = b = 1 và c = . 2 1 1 1 1 a+b+c 2) từ GT ( a + b + c + d )  + + +  = 20. ta có ↔ ∑ = 16. a b c d d Áp dụng BĐT CBS ta có: 2 2    b+c+d −a   a+b+c  1  ∑ (b + c + d − a )   ∑ 2 2  ≥ ∑  = ∑ − 4  = 122 = 144.  a  a   d   1  144 Mặt khác ∑ (b + c + d − a) 2 = 4∑ a 2 nên ( ∑ a 2  ∑ a 2  ≥ 4 = 36. ) Vậy Min B = 36. Bài21:Lời Giải: ( ) Ta sẽ chứng minh: 2 a 3 + 1 ≥ (1 + a ) 1 + a 3 ( ) 3 3 BĐT tương ñương với 2(a + 3a + 3a + 1) ≥ a 6 + 3a 5 + 3a 4 + 2a 3 + 3a 2 + 3a + 1 9 6 3 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page12- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ↔ 2a 9 + 5a 6 − 3a 5 − 3a 4 − 4a 3 − 3a 2 − 3a + 1 ≥ 0. ↔ (a − 1) 4 (a 2 − a + 1) ≥ 0. (True). Do ñó: 8 ( a 2 + 1) . ( b 2 + 1) . ( c 2 + 1) ≥ (1 + a 3 )(1 + b3 )(1 + c 3 ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 3 3 3 3 3 3 ≥ (1 + abc ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) .(BĐT Holder). 3 3 3 3 Căn bậc 3 2 vế suy ra: 2(a 2 + 1)(b 2 + 1)(c 2 + 1) ≥ (a + 1)(b + c)(c + 1)(abc + 1) Q.E.D Dẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1. Bài22:Lời Giải: Áp dụng bất ñẳng thức CBS: ( )( ) ( )( ) 2a 2 + b 2 2a 2 + c 2 = a 2 + b 2 + a 2 a 2 + a 2 + c 2 ≥ (a 2 + ab + ac)2 = a 2 (a + b + c)2 . 3 3 a a a Do ñó: ≤ 2 = (2a + b )(2a + c ) a (a + b + c) 2 2 2 2 2 (a + b + c) 2 a3 a+b+c 1 Tương tự ta có: ∑ (2a 2 + b2 )(2a 2 + c 2 ) ≤ a + b + c 2 = a + b + c . (Q.E.D) ( ) Đẳng thức xảy ra tại a = b = c. Bài23:Lời Giải: ( ) 2 a) Ta áp dụng Bổ ñề sau ñể ñánh giá: 3 a 2 − a + 1 ≥ a 6 + a 3 + 1. Thật vậy bất ñẳng thức trên tương ñương với : ( a − 1) 2a 2 − a + 2 ≥ 0 (True) 4 ( ) Nên bổ ñề ñược chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại a = 1. Áp dụng bổ ñề trên ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 LHS 3 = 3(1 − x − x 2 )(1 − y − y 2 )(1 − z − z 2 )  = 3 x 2 − x + 1 3 y 2 − y + 1 3 z 2 − z + 1 ( )( ⇒ LHS 3 ≥ x 6 + x3 + 1 y 6 + y 3 + 1 z 6 + z 3 + 1 )( ) Lại dùng BĐT holder ta có: (x )( )( ) 3 + x 3 + 1 y 6 + y 3 + 1 z 6 + z 3 + 1 ≥ ( xyz ) + xyz + 1 = RHS 3 . Suy ra Q.E.D. 6 2   Đẳng thức xảy ra tại x = y = z = 1. a b c c + a 1 + xy 1− x b)Đặt = x; = y; = z. thì có ngay xyz = 1. Khi ñó : = = x+ . b c a c + a 1+ y 1+ y 1− x x −1 Khi ñó BĐT cần chứng minh trở thành: ∑ + x + y + z ≤ x + y + z ↔∑ ≥ 0. y +1 y +1 ( ) ( Bất ñẳng thức ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + x 2 y + y 2 z + z 2 x ≥ x + y + z + 3. ) ( x + y + z)2 3 Mà x 2 + y 2 + z 2 ≥ ≥ xyz ( x + y + z ) = x + y + z. & ∑ x 2 y ≥ 3xyz = 3. 3 Cộng vế với vế ta có ñiều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại x = y = z = 1 ↔ a = b = c. a + kb b + kc c + ka a b c Mở rộng: Với a,b,c dương thì : + + ≤ + + . a + kc b + ka c + kb b c a Bài 24:Lời giải: Từ Giã Thiết ta dễ dàng có : xy ≥ yz ≥ zx; xy ≥ 6; yz ≤ 2; z ≤ 1; xyz = 6. Vì thế ta dự ñóan dấu “=” tại x = 3; y = 2; z = 1. Theo ñó ta dễ dàng có: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page13- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF 9 4 5 1 9 4 1  1  4 1  1 3 36 1 1 3 1 1 2 + 2 + 2 =  2 + 2 + 2 +  2 + 2 + 2 ≥ 3 2 + + 2 ≥ + + = 1. 4x 3y 12z 4  x y z  12  y z  12z 4 ( xyz) 3 yz 6z 4 6 12 (BĐT AM-GM cho ba số ) Đó chính là ĐPCM. Đẳng thức xảy ra tại x = 3; y = 2; z = 1. Bài 25: Lời Giải: 1 1 1 Ta có : A = + + ..... + . 1+ 3 5+ 7 97 + 99 1 1 1 Đặt S = + + ... + . 3+ 5 5+ 7 99 + 101 Dễ thấy: A > S ⇒ 2 A > A + S . Ta có : 1 1 1 1 A+ S = A = + + ..... + + 1+ 3 3+ 5 97 + 99 99 + 101 3− 1 5− 3 101 − 99 101 − 1 100 − 1 9 9 → + + ... + = > = .→ A> . 2 2 2 2 2 2 4 Q.E.D. Bất ñẳng thức ñược chứng minh xong. Bài 26: Lời Giải: Ta dự ñóan cực trị của biểu thức tại tâm a = b = c. Ta sẽ chứng minh hai BĐT: 3 1  a+b+c 1 abc ≤ . .Thật vậy dùng AM-GM ta có: abc ≤   = . 27  3  27 a b c 9 Và 2 + 2 + 2 ≤ . Thật vậy,không mất tính tổng quát giã sử a ≥ b ≥ c a + 1 b + 1 c + 1 10 1 Vì a + b + c = 1 ⇒ a ≥ ≥ c. .Ta xét hai trường hợp: 3 −3 Trường hợp 1: c ≥ . ta có theo U.C.T ta chứng minh ñược như sau: 4 ( 3a − 1) (4a + 3) 2 9  a b c   18a 5 a  − 2 + 2 + 2  = ∑ + − 2 =∑ ≥ 0. 10  a + 1 b + 1 c + 1   25 30 a + 1  50 a 2 + 1 ( ) −3 Trường hợp2 : c ≤ . Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM a 2 + 1 ≥ 2a; b 2 + 1 ≥ 2b. suy ra : 4 a b c −1 −3 + 2 ≤ 1. Khi ñó nếu 2 ≤ ⇔ −5 − 2 6 ≤ c ≤ . khi ñó cộng vế với a +1 b +1 2 c + 1 10 4 vế ta có ngay ñiều phải chứng minh. Nên chỉ phải xét trường hợp −5 − 2 6 ≥ c nữa. Mà theo vận dụng GT a+b+c=1. Suy ra 2a + c ≥ a + b + c = 1 ⇒ 2a ≥ 1 − c ≥ 6 + 2 6 ⇒ a ≥ 3 + 6. a 1 a 1 1 7 9 Suy ra 2 ≤ .⇒ ∑ 2 ≤ + + 0 = < . (Điều phải chúng minh) a +1 5 a +1 5 2 10 10 Bài tóan này có nnhiều lời giả thế nhưng vs kiến thức THCS mình chỉ nêu ra cách này 1 thôi. Đẳng thức xảy ra tại a = b = c = . 3 Bài 27: Lời Giải: Áp dụng bñt CBS ta có: 3xyz ( x + y + z ) = ( xyz + xyz + xyz )( x + y + z ) ≥ x yz + y zx + z xy . ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page14- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF Sử dụng bất ñẳng thức Schur bậc hai ta có: ( x x− y )( x− z +y y− z ) ( )( y− x +z ) ( z− y )( ) z − x ≥ 0. ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + x yz + y zx + z xy ≥ ( y + z ) yz + ( z + x ) zx + ( x + y ) xy ≥ xy .2 xy + yz .2 yz + zx .2 zx = 2 ( xy + yz + zx ) . Đẳng thức xảy ra tại x = y = z. Bài 28: Lời Giải: Đặt a = 1 − x; b = 1 − y; c = 1 − z. tacó: a + b + c = 0; −1 ≤ a, b, c ≤ 1. ( Khi ñó: a 3 + b3 + c 3 − 3abc = ( a + b + c ) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = 0.) Suy ra: ( ) ( P = x 4 + y 4 + z 4 + 12(1 − x)(1 − y )(1 − z ) = ∑ (a − 1)4 + 4 a 3 + b3 + c3 + 6 a 2 + b 2 + c 2 ) ( ) = a 4 + b 4 + c 4 + 6 a 2 + b 2 + c 2 + 3. Thấy ngay Min P=3 ↔ x = 0. Vì a + b + c = 0; −1 ≤ a, b, c ≤ 1. ⇒ a 2 ≤ 1 ⇒ a 4 ≤ a 2 . Hay ∑a ≤ ∑a . 4 2 ( Khi ñ ó: P ≤ 7 a 2 + b 2 + c 2 + 3 . ) Mặt khác: Theo Dirichlet trong ba số a,b,c luôn có 2 số cùng dấu.Giã sử ñó là a, b → ab ≥ 0. a 2 + b 2 + c 2 ≤ a 2 + b 2 + 2ab + c 2 = ( a + b ) + c 2 = ( −c ) + c 2 = 2c 2 ≤ 2. 2 2 ⇒ P ≤ 7.2 + 3 = 17. Q.E.D Bài 29: Lời Giải: Vòng 1: Áp dụng bất ñẳng thức CBS ta có: Tương tự với mẫu còn lại . 2  a (4a + 5b) + b(4b + 5a )  ≤ ( a + b )( 9a + 9b ) = [3(a + b)]2 .   a+b a+b 1 → a(4a + 5b) + b(4b + 5a ) ≤ 3(a + b). → ≥ = . a(4a + 5b) + b(4b + 5a) 3(a + b) 3 Vòng 2: Ta có: Áp dụng BDT CBS: 1 3a 2 + 8b 2 + 14ab = (a + 4b)(3a + 2b) ≤ ( 4a + 6b ) . 2 2 a a2 (BĐT CBS) .Do ñó ta ⇒ ≥ . 3a 2 + 8b 2 + 14ab 2a + 3b Tương tự với mẫu còn lại suy ra: a2 a2 (a + b + c) 2 a + b + c ⇒∑ ≥∑ .≥ = . (Q.E.D) 3a 2 + 8b 2 + 14ab 2a + 3b 5(a + b + c) 5 Đẳng thức xảy ra tại a = b = c. Bài30:Lời Giải: Ta có theo giã thiết 1 1 1  1  1   1  1   1   1  + 2 + 2 =1↔   +  +   = 1. a −1 b −1 c −1 2  a − 1  a + 1   b − 1  b + 1   c − 1   c + 1  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page15- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF  1 1 1   1 1 1  Giã sử a ≥ b ≥ c khi ñó:  ; ;  và  ; ;  là hai bộ ñơn ñiệu  a −1 b −1 c −1   a +1 b +1 c +1 cùng chiều nên áp dụng bdt Chebuyshev ta có:  1   1   1   1   1   1   1 1 3 = 3   +  +   ≥ ∑ ∑ .  a − 1   a + 1   b − 1   b + 1   c − 1   c + 1   a −1 a +1 1 1 1 1 1 1 Để chứng minh + + ≤ 1. ta sẽ chứng minh: + + ≤ 3. a +1 b +1 c +1 a −1 b −1 c −1 Thật vậy : 1 91 1  a − 2 3(a − 2)(a + 2) a − 2 3(a − 2)(a + 2) 1− −  − 2  == − = − = a −1 4  3 a −1  a −1 4(a 2 − 1) a −1 4(a 2 − 1)  1 3(a + 2)   4a 2 − 4 − 3(a + 2)(a − 1)  (a − 2) 2 = ( a − 2)  −  ( = a − 2 ) = ≥ 0.  a − 1 4(a − 1)  4(a − 1)(a 2 − 1)  4(a − 1) 2 2  Tương tự ta có:  1  9 1 1  1 9 1  1 ∑ 1 − a − 1  − 4 ∑  3 − a2 − 1  ≥ 0. ↔ 3 − ∑ a − 1 − 4 1 − ∑ a2 − 1  ≥ 0 ↔ ∑ a − 1 ≤ 3. Q.E.D . Bài trên chỉ dùng hai công cụ sơ cấp Chebuyshev & U.C.T và cho kết qủa ñẹp. Đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 2. Bài31:Lời Giải: Để ý rằng ta có hai bất ñẳng thức ngược chiều sau ñây a b a+b + ≥ 2; 4 2 ≤ 4 2. 2 = 8. b a a 2 + b2 a b  a+b  Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với + −2≥ 4 2 2 − . b a  a2 + b2  ⇔ ( a − b) 2 ≥ ( ) 2 a 2 + b 2 − ( a + b) ⇔ (a − b) 2 ≥ (a − b) 2 4 2ab (a 2 + b2 ) 4 2ab  ( )  2 a 2 + b 2 + ( a + b)   (a 2 + b2 ) ( ) ⇔  2 a 2 + b 2 + (a + b)  a 2 + b 2 ≥ 4 2ab.   ( ) Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM ta có:  ( )  ( ) (  2 a 2 + b 2 + (a + b)  a 2 + b 2 ≥ 4ab + 2 ab 2ab = 4 2ab. ) Suy ra ñiều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại a = b. Bài32:Lời Giải: a2 a2 a2 Ta có : a 1 − bc = 2 . 2 − 2bc ≥ 1+ a + b + c − b − c = 2 2 2 2 2 1 + a2 . 2 2 2 2 1   a  a+ 3 Áp dụng bất ñẳng thức CBS ta có:  + 1 a 2 + 1 ≥  3  ( ) + 1 → a 2 + 1 ≥ .  3  2 Do ñó: a2 . 1 + a2 ≥ a 2 (a + 3) . Tương tự ta có: ∑ a2 1 + a2 ≥ ∑ a 2 (a + 3) . 2 2 2 2 2 2 Dễ dàng chứng minh ∑ a ≥ ∑ a . Thật vậy. Áp dụng CBS ta có: 3 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page16- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ( ∑ a ) ( ∑ a ) ≥ ( ∑ a ) .Mà theo Chebuyshev 3∑ a ≥ ( ∑ a ) ( ∑ a ) . 2 3 2 3 2 .Nhân vế với vế ta có: 9 ( ∑ a ) ( ∑ a ) ≥ ( ∑ a ) ( ∑ a ) → ∑ a ≥ ∑ a . 2 2 3 2 3 2 a2 ∑a 3 + 3∑ a2 ( 3 +1)∑a3 +1 2 Suy ra: ∑ 2 1 + a2 ≥ 2 2 ≥ 2 2 2 2 . = Bất ñẳng thức ñược chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1 . 3 Bài33:Lời Giải: bc ca ab 3 BĐT ⇔ + + ≤ . 1 − bc 1 − ca 1 − ab 2 Áp dụng bất ñẳng thức CBS ta có: bc (b + c) 2 (b + c)2 1 (b + c) 2 1  b2 c2  ≤ ≤ = . ≤  +  1 − bc 4 − 4bc 4 − 2(a 2 + b 2 ) 2 2a 2 + b 2 + c 2 2  a 2 + b 2 a 2 + c 2  ca 1  c2 a 2  ab 1  a2 b2  Tương tự ta có: ≤  2 +  ; ≤  +  1 − ca 2  c + b 2 a 2 + b 2  1 − ab 2  a 2 + c 2 c 2 + b 2  Cộng vế với vế ta có suy ra Q.E.D 1 Đẳng thức xảy ra rại a = b = c = . 3 Bài34:Lời Giải: Ta có: Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM thì : 1 1 1 LHS = + + ab + 2c + 2c bc + 2a + 2a ca + 2b 2 + 2b 2 2 1 1 1 + + ab + 2c + (a + b + c)c bc + 2a + (a + b + c)a ca + 2b + (a + b + c)b 2 2 2 1 1 1 = + + ( a + 2c )( b + 2c ) ( a + 2b )( c + 2b ) ( c + 2a )( b + 2a ) ab ab bc = + + (ab + 2bc)(ab + 2ca) (ca + 2bc)(ca + 2ab) (bc + 2ab)(bc + 2ca) ab ab bc ab + bc + ca 1 ≥ + + = = . ( ab + bc + ca ) ab + bc + ca 2 2 2 2  2(ab + bc + ca)   2(ab + bc + ca )   2(ab + bc + ca)         2   2   2  Bất ñẳng thức ñược chứng minh hòan tòan. Bài35:Lời Giải: Ta có: Biến ñổi tương ñương. ( ) 2 ( a − b ) ≥ 0 ↔ 3 a 2 − ab + b 2 ≥ a 2 + ab + b2 . → 3(a 2 − ab + b 2 ) ≥ (a 2 + ab + b 2 ) 2 ∑ 3(a 2 − ab + b 2 ) ≥ ∑ (a 2 + ab + b 2 ) Mặt khác BĐT hiển nhiên : ∑ 3(a2 − ab + b2 ) ≤ ∑ 4(a2 − ab + b2 ) = LHS. Suy ra Q.E.D. Bài36:Lời Giải: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page17- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF C1:Chú ý ab + bc + ca = a + b + c nên BDT cần Cm ñược viết lại như sau: ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) + ( ab + bc + ca ) ≥ 4abc(a + b + c)3 . 2 2 3 Bất ñẳng thức chứng minh trở thành: ( ab + bc + ca ) 4(a + b + c) ∑a ∑ (b − c) 2 2 2 (b − c) 2 2 ≥ ⇔ ≥ . 3abc(a + b + c) 3 ( a + b + c ) + ab + bc + ca  2 3abc(a + b + c) 3(a = b + c)2 + 3∑ ab   Phân tích SOS tuy ền th ống,ta ñược: a2 1 a2 1 Sa = − ≥ − . abc(a + b + c) ( a + b + c ) + ab + bc + ca abc(a + b + c) (a + b + c) 2 2 b2 1 c2 1 tương tự Sb ≥ − ; S ≥ − abc(a + b + c) (a + b + c) abc(a + b + c) (a + b + c)2 2 c Giả sử a ≥ b ≥ c thì dễ thấy S a & Sb ≥ 0. Nên chỉ cần Cm b 2 Sc + c 2 Sb ≥ 0 nữa là ñược,ñến ñây thì ñơn giãn rùi , Dành phần cho bạn ñọc tự chứng minh. :D C2: 2 1 1 1  1 1 1  3(a + b + c)  1  Ta có:  + +  ≥ 3  + +  = = 3 4 −  a b c  ab bc ca  abc  abc  1 Mà ta lại có 4abc = a + b + c + 1 ≥ 4 4 abc ⇔ ( abc ) ≥ abc ⇔ 4 ≤ 1. abc −1  1  ⇔ ≥ −1 ⇒ 3  4 −  ≥ 3 ( 4 − 1) = 9 . abc  abc  1 1 1 Suy ra + + ≥ 3.(Q.E.D) .Đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1. a b c Bài37:Lời Giải: Cách1: Theo giả thiết của bài tóan : ab + a + b = 3. ↔ ab + a + b + 1 = 4 ↔ (a + 1)(b + 1) = 4. Trường hợp cả hai số a + 1; b + 1 ñều âm thì a, b < 0 . Trường hợp cả hai số a + 1; b + 1 > 0. Suy ra a + b + 2 > 0 Khi ñó áp dụng bất ñẳng thức AM-GM cho hai số dương ta có : 2  a+b+2 a+b+2 4 = ( a + 1)( b + 1) ≤   ⇒ ≥ 2 ⇒ a + b + 2 ≥ 4 ⇒ a + b ≥ 2.  2  2 x−2 Do ñó ta có 0 < a + b ∨ a + b ≤ 2. Đặt a + b = x thì 0 < x ∨ x ≥ 2. ⇔ ≥ 0. x BĐT cần chứng minh là 3  a b  ab 3 a2 + b2 + a + b ab a 2 + b2 + ≥ 3  +  + ⇔ a 2 + b 2 + ≥ 3 + . 2  b +1 a +1  a + b 2 (a + 1)(b + 1) a + b 5 a 2 + b 2 + a + b ab + a + b a2 + b2 + a + b 3 ⇔ a 2 + b2 + ≥3 + =3 + . 2 (a + 1)(b + 1) a+b (a + 1)(b + 1) a + b Ta có: a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab = ( a + b ) − 2(3 − a − b) = x 2 + 2 x − 6. 2 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page18- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF 5 3( x 2 + 3 x − 6) 3 Thay vào BĐT cần chứng minh ta ñược x 2 + 2 x + ≥ + . 2 4 x x − x + 4 x − 12 3 2 ( x − 2)( x + x + 6) 2 x−2 ⇔ ≥0⇔ ≥0⇔ ≥ 0. (True) 4x x x Vậy bài tóan ñược chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại a = b = 1. Bài38:Lời Giải: Áp dụng bất ñẳng thức CBS ta có: (a 2 ) + b + c (1 + b + c ) ≥ ( a + b + c ) 2 1 1+ b + c a2 a 2 (1 + b + c ) ⇒ ≤ ⇒ ≤ a 2 + b + c (a + b + c) 2 a 2 + b + c (a + b + c) 2 a a ⇒∑ ≤ ∑( 1+ b + c ) a +b+c 2 a+b+c a b c Giã sử a ≥ b ≥ c thì ; ; và 1 + b + c ≤ 1 + c + a ≤ 1 + a + b . a+b+c a+b+c a+b+c là hai bộ ñơn ñiệu cùng chiếu nên Áp dụng BĐT Chebuyshev ta có: a ∑(a + b + c 1+ b + c ) ≤ 1 ∑ a ∑ a + b +1 = ∑ a + b +1 3 a+b+c 3 Áp dụng bdt CBS ta có: ∑ a + b +1 ≤ 3(3 + 2a + 2b + 2c) 3 3 3 3 + 2 3(a 2 + b 2 + c 2 )  3(3 + 2 3.3)   ⇒ LHS ≤ = = 3, (Q.E.D) 3 3 Bài39:lời Giải:  1 1 1  a3 LSH = ∑ a 3  + +  ∑ ≥ 9 b+c+d b+a +b a+b+c  2a + 3b + 2c + 2d 9 ∑ a2 ( ) 9 ∑ a2 ( ) 2 a4 = 9∑ ≥ = = ∑ a 2 = RHS . a ( 2a + 3b + 2c + 2d ) 2∑ a 2 + 5∑ ab + 4(ca + bd ) 9∑ a 2 vì ∑ a ≥ ∑ ab; ∑ a 2 2 ≥ ac + bd . ñúng theo AM-GM. 1 Bất ñẳng thức ñược chém tan. Đẳng thức tại ; a = b = c = d = . 2 Bài40:lời Giải: ( ) ( ) 2 2 x+ y+ z x+ y+ z Áp dụng BĐT Schwarl ta có: A ≥ ≥ x +1 + y +1 + z +1 3( x + y + z ) ( ) 2 Vì theo CBS x +1 + y +1 + z +1 ≤ 3(3 + x + y + z ) Lại dùng AM-GM: xy + yz + zx ≥ 3 6 xyz ≥ 3. ⇒ 3(3 + x + y + z ) ≤ 3 ( xy + yz + zx + x + y + z ) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page19- http://ddbdt.tk
TUYểN TUY N TậP T P CÁC BÀI BấT B T ĐẳNG NG THứC TH C THI VÀO LớP L P CUYÊN TOÁN 2009- 2009-2010 DIễn DI Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ( ) 2 x+ y+ z t t Do ñó : A ≥ = ≥ 3 ( xy + yz + zx + x + y + z ) ( 3 t − ∑ xy ) 3(t − 3) ( ) t 3 2 Với t = x + y + z .Cuối cùng ta sẽ chứng minh: ≥ 3(t − 3) 2 ( ∑ x ) ≥ (3 ) 2 2 BĐT ñó tương ñương với ( t − 9 )( 2t − 9 ) ≥ 0. Nó ñúng vì t = 6 xyz ≥ 9. Vậy bất ñẳng thức ñược chứng minh hòan tòan. Đẳng thức xảy ra tại x = y = z = 1. Mở rộng: Cho ba số a,b,c dương và abc ≥ 1 .Chứng minh rằng: a16 + b16 ∑ 1 + ab ≥ 3. Bài41:Lời Giải: Theo AM-GM ta có: ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9 3 abc 3 a 2b 2c 2 = 9abc. ab + bc + ca ( a + b + c ) ( ∑ a + 2∑ ab ) 2 Khi ñó: P = + = a 2 + b2 + c2 abc  ab + bc + ca ∑ a ∑ a 2  8∑ a ∑ a 2 2∑ a ∑ ab = 2 +  + +  a + b2 + c2 9 abc 9 abc abc   ≥2 ∑ a∑ ab + 8∑ a∑ a 2 + 2∑ a ∑ ab ≥ 2 + 8 + 18 = 28. 9abc 9abc abc Q.E.DĐẳng thức xảy ra tại a = b = c. Bài42:Lời Giải: Áp dụng bất ñẳng thức CBS ta có:  a3  ∑ 2 2  ∑ ( ) (∑ a + 2∑ ab 2 ) 2 a(2a 2 + b 2 )(2c + a) 2 ≥ 3  2 a + b  Như thế cần chứng minh rằng: (∑ a + 2∑ ab 2 ) ≥ ( ∑ a ) ( ∑ a(2a ) 2 3 3 2 + b 2 )(2c + a ) 2 (*) Không mất tính tổng quát giã sử c = min{a, b, c} . Đặt a = c + x; b = c + y. với x, y ≥ 0 . Khi ñó (*) tương ñương với Ac 4 + Bc3 + c 2 + Ec + F ≥ 0. ( ) Trong ñó A = 18 x 2 − xy + y 2 ; B = 3 7 x3 + 18 x 2 y − 15 xy 2 + 7 y 3( ) D = 14 x + 53 x y + 24 x y − 46 xy + 14 y ≥ 0 ; 4 3 2 2 3 4 E = 6 x 4 + 3 x 4 y + 50 x3 y 2 − 29 x 2 y 3 − 6 xy 4 + 6 y 5 ≥ 0. F = x 6 − 2 x5 y + 11x 4 y 2 − 3 x 3 y 3 − 2 x 2 y 4 + 2 xy 5 + y 6 ≥ 0. Do cả A, B, D, E , F ≥ 0 ⇒ (*) ñúng hòan tòan. Bất ñẳng thức ñược chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra tại a = b = c. Bài43:Lời Giải: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page20- http://ddbdt.tk

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.