Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán THCS từ năm 1962 - 1968

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

414
lượt xem 190
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp THCS từ năm 1962 - 1968 dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ kiểm tra, qua đó các em sẽ được làm quen với cấu trúc đề thi và củng cố lại kiến thức căn bản nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán THCS từ năm 1962 - 1968

♥ Đ THI CH N H C SINH GI I TOÁN Trung H c Cơ S (T Năm h c 1961–1962 đ n Năm h c 1985–1986) 2005 1
1 Năm h c 1961–1962 Bài 1: Tìm s b chia và thương s trong phép chia sau đây: * * * * * * * * * * * * * 0 8 0 * * 0 * * * * * * * * * * 0 Bài 2: Trong m t trư ng c p II–III 1 có b n h c sinh l p V, VI, VII và VIII. Bi t r ng: a) H ng không h c đ i s . b) Cúc và Nguy n cu i năm nay không thi h t c p. c) Mai h c trên an m t l p. d) H ng và Lê là ngư i cùng t nh. đ) Ph m năm ngoái h c c p I và năm nay vào h c cùng trư ng v i Tr n. e) H ng năm nay dùng sách giáo khoa năm ngoái c a Cúc đ l i. Hãy tìm tên h cùng ngư i và l p h h c. (H ng, Cúc, Mai, Lan là tên; Nguy n, Lê, Tr n, Ph m là h ). (Chú ý: L p V chưa h c đ i s , thi h t c p l p VII) Bài 3: Phân tích thành th a s : A = (b − c)3 + (c − a)3 + (a − b)3 Bài 4: Các c nh đ i c a t giác l i ABCD c t nhau t i M và N. Ch ng minh r ng các đư ng tròn ngo i ti p b n tam giác t o thành c t nhau t i m t đi m. (Đi m Miquel). Bài 5: D ng m t đư ng tròn ti p xúc v i ba đư ng th ng cho trư c. 1 Trư c đây, c p I g m các l p I–IV; c p II: l p V–VII; c p III: l p VIII–X. 2
2 Năm h c 1962–1963 (a) Bài 1: Th c hi n phép tính: 1 1, 5 1 1 + 1 · 0,25 2 1 A = 6 : − 0, 8 : 3 50 + + 46 3 2 · 0, 4 · 1: 1 4 6 − 1+2,2·10 2 Bài 2: Song song v i m i c nh c a tam giác ABC ta k 35 đư ng th ng cách đ u nhau. Nh ng đư ng th ng này chia tam giác ABC thành nhi u tam giác nh b ng nhau. Em hãy tính xem có t t c bao nhiêu tam giác nh y. Bài 3: Ch ng minh đ ng th c: a2 +3ab 2a2 −5ab−3b2 a2 +an+ab+bn a 2 −9b2 + 6ab−a2 −9b2 = 3bn−a2 −an+3ab Bài 4: Th c hi n phép tính: 1 1 1 a(a−b)(a−c) + b(b−a)(b−c) + c(c−b)(c−a) Bài 5: T ngo i khóa Sinh v t c a l p em đã cưa m t s ván m ng thành nh ng t m hình ch nh t đ chu n b làm khay đ ng đ m . N u không dùng êke, thư c vuông, thư c đo góc, compa v.v.. mà ch v i s i dây có s n trong tay, em có th ki m tra xem nh ng t m y có ph i là hình ch nh t đư c không ? N u đư c em hãy trình bày cách làm c a em. D a vào đâu mà em có th tin r ng cách làm y là đúng ? Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB.T C ta h CE vuông góc v i AB. N i E v i đi m gi a 2 M c a AD. T M h MF vuông góc v i CE, c t BC t i N. 1. T giác MNCD là hình gì ? 2. N i M và C. Tam giác EMC là tam giác gì ? 3. Ch ng minh r ng BAD g p đôi AEM . 2 đi m gi a = trung đi m (t dùng cũ) 3
3 Năm h c 1962–1963 (b) Bài 1:Th c hi n phép tính: 0,8:( 4 ·1,25) (1,08− 25 ): 4 2 4 A= 5 0,84− 25 1 + 7 5 −3 1 )·2 2 +(1,2.0,5): 5 (6 9 4 17 Bài 2: M t đám ru ng hình ch nh t có di n tích là 976,91 m2 trư c đây tr ng lúa, nhưng vì h n không có nư c đ c y lúa chiêm nên đã đư c chuy n sang làm hoa màu. Nó đư c chia làm hai ph n, m i ph n cũng là m t hình ch nh t n m d c theo c nh dài c a đám rư ng. Ph n trên tr ng ngô, ph n dư i tr ng khoai. Chi u r ng c a ph n đ t tr ng ngô là 10,5 m, di n tích ph n đ t tr ng khoai là 482,57 m2 . Em hãy tính chu vi đám ru ng y. (Chú ý gi i b ng phương pháp s h c). 3 Bài 3: Rút g n và tìm s tr c a bi u th c sau v i x = −1, 76 và y = 25 : x−y x2 + y 2 + y − 2 4x4 + 4x2 y + y 2 − 4 x+1 A= ( − 2 2 ): 2 + y + xy + x : 2 2y − x x − xy − 2y x 2x + y + 2 Bài 4: Trên m t t m ván hình ch nh t các em h c sinh trong t m c đã n y ba đư ng m c th ng d1 , d2 , d3 song song v i c nh dài, và b n đư ng m c th ng khác t1 , t2 , t3 , t4 song song v i c nh c a chi u r ng t m ván y; r i theo nh ng đư ng m c y cưa thành nh ng mi ng ván nh đóng h p đ ng ph n. Bi t r ng d1 cách c nh dài th nh t m t kho ng là a, d2 cách d1 m t kho ng là b, d3 cách d2 m t kho ng là c và cách c nh dài th hai m t kho ng là a. t1 cách c nh th nh t c a chi u r ng m t kho ng là a, t2 cách t1 m t kho ng là b, t3 cách t2 m t kho ng là a, t4 cách t3 m t kho ng là c đ ng th i cách c nh th hai c a chi u r ng m t kho ng là b. N u không d a vào hình v ho c không đ m s miêng ván đã cưa đư c thì làm th nào đ bi t đư c t m c y đã cưa t m ván nói trên ra thành m y mi ng hình vuông b ng nhau, và m y mi ng hình ch nh t b ng nhau ? Bài 5: Cho m t hình vuông và m t hình ch nh t cùng n i ti p trong m t đư ng tròn tâm O. Em hãy so sánh xem di n tích c a hình nào l n hơn và ch ng minh đi u đó. Bài 6: Cho m t n a đư ng tròn đư ng kính MON. T m t đi m A b t kỳ trên MN ta v đư ng vuông góc v i MN. Đư ng vuông góc y g p n a đư ng tròn t i B. Trên OB ta l y OC = AB. Tìm qu tích c a đi m C khi A chuy n đ ng trên MN. 4
4 Năm h c 1963–1964 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: C n may m t cái màn dài 2m, r ng 1,6m, cao 2m v i kh r ng 0,8m và giá 0,65đ m i mét. Hai mép c a màn ch ng lên nhau 0,8m. Đ nh màn cũng may b ng v i màn. H i ph i mua bao nhiêu mét v i màn, và t n bao nhiêu ti n ? (không tính mép vi n và mép khâu). Bài 2: Gi i phương trình: (x − 4 1 ) : 0, 003 2 (0, 3 − 20 ) : 1 1 3 2 1 1 1 − 3 1 : 62 + 17, 81 : 0, 0137 − 1301 = 0 [(3 20 − 2, 65)4] : 5 (1, 88 + 2 25 ) : 8 20 Bài 3: Có 472 lít nư c m m đ ng trong hai cái thùng ch a l n. N u l y b t thùng th nh t ra 50 lít và đ vào thùng th hai, thì lúc y thùng th hai ch a nhi u hơn thùng th nh t là 24 lít. H i lúc đ u m i thùng đ ng bao nhiêu lít nư c m m? (Gi i b ng phương pháp đ i s hay s h c tùy ý). Bài 4: Cho tam giác ABC mà đ dài c a m t c nh đáy b ng 3p + 2t + u và chi u cao tương ng b ng 2p - 2t. Ta chia tam giác ABC thành các tam giác nh b ng cách như sau: n i các trung đi m M, N, P c các c nh AB, BC, CA, ta có tam giác MNP; l n th hai ta l i n i trung đi m c a các c nh cu tam giác MNP ta có tam giác STR; l n th ba, n i trung đi m c a các c nh c tam giác STR, ta có tam giác GHE; l n th tư, n i trung đ m c a các c nh c a tam giác GHE, ta có tam giác IKL . . . a) Như v y đ n l n n i th tư, tam giác đã đư c chia ra làm bao nhiêu tam giác nh ? (ch tính các tam giác riêng bi t không ch ng lên nhau). b) Tính di n tích tam giác IKL. c) N u ta ti p t c n i trung đi m c a các c nh c a tam giác m i t o thành đ n l n th 20 thì tam giác lúc b y gi đư c chia ra làm bao nhiêu tam giác nh ? L p lu n như th nào đ đăt phép tính? Bài 5: M t khu công nghi p có 4 nhà máy A, B, C, D. Nhà máy A cách nhà máy B là 3,7 km; cách C 6,8 km. Nhà máy B cách C 4,5 km; cách D 6 km; nhà máy C cách D 3 km. Ngơ i ta đã tính r ng 4 nhà máy trên có th chung m t cái còi bào gi làm vi c mà ti ng còi ch nghe đơ c xa không quá 4 km. 1. D ng hoành đ v trí các nhà máy v i t xích 1:100000. 2. Ch rõ trên hoành đ ph m vi có th đ t cái còi dùng chung cho c 4 nhà máy nói trên. 3. Trong ph m vi y, nên d t còi v trí K nào thì c 4 nhà máy có th cùng lúc nghe đư c tương đ i rõ hơn là khi đ t còi m t nơi khác. D a vào hoành đ , xem K cách các nhà máy bao nhiêu km ? Bài 6: a) Cho tam giác ABC v i ba trung tuy n AM, BN, CI. Ch ng minh r ng sáu tam giác do các trung tuy n t o thành trong tam giác ABC đ u có di n tích b ng nhau. b) D ng tam giác PQR vuông góc P bi t c nh huy n QR = 5,5 cm và đư ng cao PH = 2 cm. (Hai ph n c a bài 6 đ c l p v i nhau ) 5
5 Năm h c 1964–1965 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: M t cán b k toán c a h p tác xã đã làm xong m t phép nhân trên gi y nhưng vì không c n th n anh ta đ t gi y y th m nư c làm cho nhi u ch s b nhòe đi, trông không rõ n a. Phép tính đó đư c chép l i sau đây, v i nh ng d u h i đ t ch nh ng ch s b nhòe. B n hãy tìm giúp nh ng ch s b nhòe trông không rõ trên, ch c n nói rõ cách tìm ch s hàng đơn v và hàng ch c c a s b nhân (đ i v i các ch s khác không yêu c u nói rõ cách tìm ). 7 8 ? ? ? 8 5 3 ? ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 8 ? ? ? 6 9 ? Bài 2: Th c hi n phép tính sau đây: 4 0, 8 : ( 5 · 1, 25) (100 − 2 ) : 4 5 7 3 1 + 5 1 2 + (1, 2.0, 5) : 0, 64 − 25 (6 9 − 3 4 ) · 2 17 5 Bài 3: Các cán b lâm nghi p đã dùng công th c 0, 08C 2 (C là chu vi c a hình tròn) đ tính di n tích các hình tròn. B n hãy ch ng minh công th c y là công th c tính g n đúng di n tích hình tròn. Bài 4: Phân tích đa th c sau thành th a s : x8 + x4 + 1 Bài 5: D ng m t tam giác vuông bi t m t c nh góc vuông và hi u gi a c nh huy n và c nh kia c a góc vuông. 6
6 Năm h c 1965–1966 *3 * Bài 1: M t toán quân đ ch g m 20 tên xâm lư c M , 20 tên lính ng y, 20 tên lính P c Chung Hi và 10 tên lính Úc. Trong toán này có 44 tên b di t. Hãy ch ng t r ng, trong s đó ch c ch n s b di t c a ít nh t m t trong ba lo i: xâm lư c M , lính ng y, lính P c Chung Hi ph i l n hơn ho c b ng 12. Bài 2: 1. Hãy phân tích bi u th c: (x2 − yz)(y − xyz) − (y 2 − xz)(x − xyz) thành th a s . 2. Ch ng minh r ng: x2 −yz y 2 −xz n u x(1−yz) = y(1−xz) v i x = y; yz = 1; x = 0; z = 0 1 1 1 thì x+y+z= x + y + z Bài 3: Cho hai vòng tròn (O) và (O’) c t nhau A và B sao cho O, O’ hai phía đ i v i AB. Xét cát tuy n PQ đi qua A và c t hai vòng tròn (O) và (O’) P và Q. 1. Khi nào thì P và Q hai phía đ i v i A ? 2. Xác đ nh v trí c a cát tuy n PQ sao cho cát tuy n đó có đ dài l n nh t. 3. Xác đ nh v trí c a cát tuy n PQ sao cho PA = QA. 4. Xác đ nh v trí c a PQ sao cho PQ = l, l là đ dài cho bi t. (Trong các câu 2, 3, 4 ch xét trư ng h p P và Q hai phía đ i v i A) Bài 4: Gi i phương trình: 6b + 7a 3ax ax − 2 =1− 2 6b 2b b − ab 4 V i nh ng đi u ki n nào thì phương trình có m t nghi m s ? 3 Đ thi trên đây d n theo [3], Theo [1] thì năm này B không t ch c thi (chung kh o toàn mi n B c). 4 D n theo [4]. [3] không th y chép bài này 7
7 Năm h c 1966–1967 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: V đông xuân năm nay m t h p tác xã nông nghi p đã dành ra m t khu đ t đ tr ng ngô, khoai và đ . Trong khu đ t y đã tr ng đư c 215 ha khoai, 175 ha ngô và 92 ha đ ; trong s đó co 12 ha đ tr ng xen v i ngô, 35 ha đ tr ng xen v i khoai, 5 ha ngô tr ng xen v i khoai và 2 ha tr ng xen c ba th . Tính xem di n tích c a khu đ t mà h p tác đã dành tr ng ngô, khoai, đ nói trên. Bài 2: Phân tích đa th c sau ra th a s : a16 + a8 b8 + b16 Bài 3: Cho m t đi m M b t kì trên đo n th ng AB. L y AM làm c nh ta v hình vuông AMCD và l y MB làm c nh ta v hình vuông th hai MBEG (ba đi m M, C, G th ng hàng). Hai hình vuông này đ u cùng v m t phía c a AB. Các đư ng tròn (O) và (O’) ngo i ti p hai hình vuông y c t nhau t i m t đi m th hai N. a) Ch ng minh r ng các đư ng th ng AG và BC đi qua N. b) Tìm qu tích trung đi m c a đo n n i tâm OO’ khi M chuy n đ ng trên AB. 5 5 D n theo [1] . [3] bài 1 và 3 chép khác: Bài 1: M t trư ng c p II nh n đư c 5 đám ru ng A, B, C, D, E đ tr ng lúa thí nghi m . Di n tích các đám ru ng y không b ng nhau. Trong gi th c hành toán, cô giáo b o: “M i em ư c lư ng di n tích b t kì hai trong năm đám ru ng trên.” Năm em tr l i trư c: Ái: “Di n tích c a B là 250m2 , c a C là 400m2 .” Bích: “Di n tích c a D là 450m2 , c a B là 300m2 .” Chi: “Di n tích c a A là 450m2 , c a E là 350m2 ” Đ t: “Di n tích c a D là 350m2 , c a C là 300m2 .” Hoa: “Di n tích c a B là 200m2 , c a E là 250m2 .” Cô giáo nh n xét: “M i em đã ư c lư ng đúng di n tích m t đám ru ng.” Tính xem m i đám ru ng nói trên có di n tích là bao nhiêu ? Bài 3: Trên hai c nh c a m t góc vuông xOy ta l y hai đi m A và B sao cho OA = OB. M t đư ng th ng đi qua A c t OB t i M (M trong đo n OB). T B h đư ng vuông góc v i AM t i H, c t AO kéo dài t i I. a. Có nh n xét gì v hai đo n OI và OM, v t giác OMHI ? Ch ng minh nh ng nh n xét đó. b. T O k đư ng vuông góc v i BI t i K. Ch ng minh OK = KH. Tìm qu tích đi m K khi M chuy n đ ng trên OB. 8
8 Năm h c 1967–1968 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: S gi c M b tiêu di t trong m t cu c t n công c a quân và dân thành ph Hu là m t s có ba ch s , trong đó ch s hàng trăm b ng 2 ch s hàng đơn v , ch s hàng ch c b ng 7 1 3 t ng hai ch s hàng đơn v và hàng trăm. Tìm s gi c M b tiêu di t. Bài 2: Cho các phương trình: a) |x| = 2x − 1 b) |x| = −x − 5 1. Gi i phương trình th nh t. 2. Ch ng minh r ng phương trình th hai vô nghi m 3. Dùng đ th đ tìm l i k t qu câu h i s 1 và câu h i s 2 trên đây. Bài 3: Cho tam giác vuông t i A và đư ng cao AH. V hai đư ng th ng b t kỳ vuông góc v i nhau t i H. Đư ng th ng th nh t c t AC kéo dài tr i F’ và c t AB t i E. Đư ng th ng th hai c t AC t i F và c t AB kéo dài t i E’. N i E và F. 1. Tìm trong hình v nh ng nhóm tam giác có hai góc b ng nhau (t ng đôi m t ) 2. V trí EH và HF ph i như th nào đ cho đ dài c a EF là nh nh t. 9 Năm h c 1968–1969 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: M t t gi y hình ch nh t dài 1,6m r ng 0,96m đư c c t ra thành nh ng mi ng nh hình ch nh t dài 5cm, r ng 3cm. Hãy tìm cách c t t gi y l n y sao cho v a l i gi y v a l i công c t gi y. Bài 2: B n A h i b n B: “Năm nay b m c a anh bao nhiêu tu i.” B tr l i: “B tôi hơn m tôi 4 tu i, trư c đây khi t ng s tu i c a b và m chúng tôi là 104 tu i, thì tu i c a ba anh em chúng tôi là 14, 10 và 6. Hi n nay t ng s tu i c a b m tôi g p hai l n t ng s tu i c a ba anh em chúng tôi.” Tính xem tu i c a b và c a m b n B là bao nhiêu ? Bài 3: Phân tích đa th c sau thành th a s : A = bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b). Bài 4: Tìm m t hình ch nh t n i ti p trong đư ng tròn có chu vi l n nh t. Ch ng minh r ng hình ch nh t y có di n tích l n nh t. 9
10 Năm h c 1969–1970 (Th i gian: 270 phút) I. Đ I S và S H C (Thòi gian 150 phút) Bài 1: Ch ng minh r ng l p phương c a m t s nguyên b t kì (a>1) tr đi 13 l n s nguyên đó thì luôn luôn chia h t cho 6. Bài 2: Cho n là m t s t nhiên b t kì. Hãy ch ng minh phân th c 21n+4 không th gi n ư c 14n+3 đư c. Bài 3: Rút g n phân th c: a3 +b3 +c3 −3abc a 2 +b2 +c2 −ab−bc−ca a c a4 +b4 Bài 4: Ch ng minh: n u b = d thì ( a−b )4 = c−d c4 +d4 II. HÌNH H C (Th i gian: 120 phút) Bài 5: Cho tam giác ABC (AB = AC) n i ti p trong đư ng tròn tâm O và m t đi m M chuy n đ ng trên đư ng tròn đó. G i D là hình chie u c a B trên AM và P là giao đi m c a BD và CM. a) Ch ng minh tam giác BPM cân. b) Xác đ nh v trí c đi m M trên đư ng tròn tâm O đ cho đi m P cũng n m trên đư ng tròn đó. c) Tìm qu tích c a đi m D khi M chuy n đ ng trên đư ng tròn. 6 6 Đ trên đây d n theo [1]. [3] đ thi năm 1969–1970 chép hoàn toàn khác: Bài 1: Phân tích đa th c ra th a s : x3 + 4x2 − 29x + 24 1 Bài 2: Ch ng minh r ng n u: a +1+ b 1 c = 2 và a + b + c = abc thì 1 1 1 a2 + b2 + c2 = 2 Bài 3: Xem v trí b n kho ch a d u như b n đ nh c a m t tam giác l i ABCD, xác đ nh v trí c a kho chính ch a d u M sao cho t ng đ dài các ng d n d u t M t i các kho ph là bé nh t, t c là xác đ nh đi m M sao cho t ng MA + MB + MC + MD là bé nh t. Bài 4: Cho tam giác ABC. T trung đi m D c a BC ta k m t đơ ng vuông góc v i phân giác góc A. Đư ng vuông góc đó c t c nh AB t i M và AC t i N. a. Ch ng minh r ng BM = CN. b. G i AB = c; AC = b. Tính AM và BM theo b và c. 10
11 Năm h c 1970–1971 (Th i gian: 270 phút) I. S và Đ I S (Th i gian 150 phút) Bài 1: Cho bi u th c M = (8x6 − 27) : (4x4 + 6x2 + 9) và N = (y 4 − 1) : (y 3 + y 2 + y + 1). Tính t s M:N khi x = 8 và y = 251. 219 .273 +15.49 .94 Bài 2: Rút g n: 69 .210 +1210 Bài 3: Ch ng minh r ng m t s có d ng n4 − 4n3 − 4n2 + 16n (n là s t nhiên ch n l n hơn 4) thì chia h t cho 384. Bài 4: M t chi c mô tô và m t chi c ô tô đi t M t i K, v n t c môtô là 62km/h, v n t c ôtô là 55km/h. Đ hai xe cùng t i đích m t lúc ngư i ta đã tính toán cho ôtô ch y trư c m t th i gian. Nhưng vì lí do đ c bi t, khi ch y đư c 2/3 đo n đư ng MK, xe ôtô bu c ph i ch y v i v n t c 27,5km/h. Nh th khi còn cách K 124km thì môtô đã đu i k p ôtô. Tìm kho ng cách t M đ n K. II. HÌNH H C (Th i gian: 120 phút) Bài 5: Trong hình vuông ABCD v n a đư ng tròn đư ng kính AD và v cung AC mà tâm là D. N i D v i đi m P b t kì trên cung AC, DP c t n a đư ng tròn đư ng kính AD K. Ch ng minh r ng PK b ng kho ng cách t P đ n c nh AB. Bài 6: Cho m t đo n th ng AB và m t đi m M b t kì trên đo n th ng y. T M v n a đư ng th ng vuông góc v i AB. Trên n a đư ng th ng y l y hai đi m C và D sao cho MC = MA và MD = MB. Đư ng tròn tâm O1 đi qua ba đi m A, M, C và đư ng tròn tâm O2 đi qua ba đi m B, M, D c t nhau t i m t đi m th hai N (khác đi m M). 1. Ch ng minh r ng ba đi m A, N, D th ng hàng và ba đi m B, C, N th ng hàng. 2. Có nh n xét gì v m t trong b n đi m A, B, C, D đ i v i ba đi m còn l i ? 3. Ch ng minh r ng đư ng th ng MN luôn đi qua m t đi m c đ nh khi M ch y trên đo n th ng AB. 11
12 Năm h c 1971–1972 I. S VÀ Đ I S (Th i gian 150 phút) Bài 1: Tìm các s t nhiên đ khi nhân m i s y v i s 12345679 thì đư c m t tích g m toàn ch s 9 (trư c h t tìm s t nhiên nh nh t, sau đó tìm d ng t ng quát). x2 −yz 2 z 2 −xy Bài 2: Ch ng t n u ta có a = y −zx b = c a2 −bc b2 −ca 2 thì suy ra đư c x = y = c −ab . z Bài 3: Nhân ngày 1–6, m t phân đ i thi u niên đư c t ng m t s k o. S k o này đư c chia h t và chia đ u cho m i đ i viên trong phân đ i. Đ b o đ m nguyên t c chia y phân đ i trư ng đ xu t ra cách chia như sau: 1 – B n th nh t nh n m t cái k o và đư c l y thêm 11 s k o còn l i. Sau khi b n th nh t đã 1 l y ph n mình, b n th hai nh n 2 cái k o và đư c l y thêm 11 s k o còn l i. C ti p t c như 1 th đ n b n cu i cùng, th n, nh n n cái k o và đư c l y thêm 11 s k o còn l i. H i phân đ i y có bao nhiêu đ i viên và m i đ i viên nh n bao nhiêu cái k o ? II. HÌNH H C (Th i gian: 120 phút) Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) và đư ng tròn đi qua ba đ nh c a tam giác. V đư ng kính PQ song song v i BC. T P và Q v dây PN và QM n m cùng phía đ i v i đư ng kính PQ và theo th t song song v i các c nh b ng nhau c a tam giác ABC. a) T giác có đ nh là M, N, P, Q là hình gì ? T i sao ? b) Ch ng minh r ng kho ng cách gi a MN và PQ b ng m t n a c nh đáy BC c a tam giác ABC. Bài 5: Tìm qu tích nh ng đi m M mà t ng nh ng kho ng cách t đi m đó t i hai đư ng th ng c t nhau b ng đ dài m t đo n th ng cho trư c. N u trong gi thi t thay t ng nh ng kho ng cách b ng hi u nh ng kho ng cách thì qu tích ph i tìm s là gì ? 12
13 Năm h c 1972–1973 *7 * Bài 1: V đ th hàm s y = |x − |x||. Bài 2: Hi u bình phươg c a hai s t nhiên b ng 169. Tìm hai s đó. Bài 3: Đư ng tròn n i ti p tam giác ABC có tâm là O, bán kính b ng đơn v và ti p xúc v i c nh AB D, v i c nh AC E. 1. Tính kho ng cách t O đ n tâm đư ng tròn n i ti p tam giác ADE. 2. Các phân giác trong c a góc B và C c t đư ng th ng DE theo th t t i M và N. Ch ng minh 4 đi m B, C, M, N n m trên đư ng tròn. 7 D n theo [3]. Theo [1] năm này B Giáo d c không t ch c thi. 13
14 Năm h c 1973–1974 (Th i gian: 360 phút) I. S H C Bài 1: Cho s n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 99 100 (các d u ch m ch t t c các s t 12 đ n 98 vi t ti p sau s 11 và trư c s 99 theo th t t nh đ n l n). Ph i xóa b 100 các s nào đ các ch s còn l i, (v n gi nguyên th t như trư c) t o thành m t s l n nh t. Bài 2: Hãy ch ng t r ng k t qu c a dãy tính: 0, 3 · (19831983 − 19171917 ) là m t s nguyên. II. Đ I S Bài 3: Cho hình vuông ABCD có c nh dài a mét, a là m t s dương cho trơ c. Hãy tìm trên c nh BC m tđi m M sao cho t s c a di n tích tam giác ABM và di n tích hình thang AMCD là m t s dương cho trư c m. Tìm đi u ki n c a m đ cho bài toán có l i gi i. V đi m M trong các trư ng h p sau đây: m = 7 , m = 3 1 5 Bài 4: Phân tích đa th c ra th a s : A = x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + 1. III. HÌNH H C Bài 5: D ng hai đư ng tròn ti p xúc ngoài v i nhau, có tâm là hai đi m c đ nh cho trư c sao cho m t trong hai ti p tuy n chung ngoài c a chúng đi qua m t đi m c đ nh cho trư c. Bài 6: Cho tam giác ABC vuôn A, c nh huy n BC dài g p hai l n c nh AB; D là m t đi m trên c nh AC sao cho ABD = 1 ABC, E là m t đi m trên c nh AB sao cho ACE = 3 ACB. G i 3 1 F là giao đi m c a BD và CE; G và H là các đi m đ i x ng c a F theo th t qua các c nh BC và CA. Ch ng minh r ng H, D, G th ng hàng. 14
15 Năm h c 1974–1975 I. S H C và Đ I S (Th i gian 180 phút) Bài 1: Ch ng minh r ng n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia h t cho 24 v i m i s t nhiên n. 2 2 Bài 2: Gi i phương trình: x − a2 x - b2 −x2 + a = x2x 2 b −b Bài 3: Tìm s có hai ch s mà bình phương c a s y b ng l p phương c a t ng các ch s c a nó. II. HÌNH H C (Th i gian: 180 phút) Bài 4: M t t ph lão đ nh tr ng 10 cây chu i theo 5 hàng, m i hàng 4 cây. Sau khi bàn các c th y r ng ít nh t có 6 cách tr ng theo đúng yêu c u đ ra. Em hãy nêu 6 cách đó b ng sơ đ (không c n gi i thích, ch ng minh) theo quy ư c sau đây: – M i hàng cây bi u th b ng m t đo n th ng. – M i g c cây bi u th b ng m t d u ch m tròn Bài 5: D ng hình bình hành ABCD theo c nh AB = a, t ng c a hai đư ng chéo AC + BD = m và góc α t o b i hai đư ng chéo y. Bài 6: Tam giác DNM n i ti p trong tam giác nh n 8 ABC cho trư c. Trong s t t c nh ng tam giác n i ti p DNM y, hãy tìm m t tam giác sao cho có chu vi nh nh t. 8 D n theo [3]. [1] vi t tam giác ABC - không có t nh n, nhưng có l do in sót. Vì n i dung bài 6 này th c ra là đ nh lí Fagnano 15
16 Năm h c 1975–1976 VÒNG I (Th i gian: 180 phút) Bài 1: Tìm nh ng s t nhiên có ba ch s mà khi chia cho 11 ta đư c thương là m t t ng các bình phương c a các ch s c a s đó. Bài 2: V i nh ng giá tr nào c a a và b thì đa th c x3 + ax2 + 2x + b chia h t cho đa th c x2 + x + 1? Hãy gi i bài toán b ng hai cách khác nhau. Bài 3: M t tam giác cân, m t hình thang cùng n i ti p trong m t đư ng tròn, trong đó các c nh bên c a tam giác cân song song v i các c nh bên c a hình thang và m t trong nh ng c nh đáy c a hình thang là đư ng kính c a hình tròn đã cho. Tính chi u cao hình thang, bi t r ng đư ng trung bình c a hình thang b ng 1 và di n tích c a tam giác đã cho b ng S. VÒNG II (Th i gian: 180 phút) Bài 4: N u đem s A g m b n ch s nhân v i s B cũng g m b n ch s y nhưng đư c vi t theo th t ngư c l i (so v i s A) thì tích thu đư c là m t s g m tám ch s , trong đó ba ch s cu i cùng đ u là ch s 0. Tìm t t c các c p s A, B. Bài 5: Hai v t th I và II cùng chuy n đ ng trên m t đư ng tròn. N u c hai chuy n đ ng cùng chi u thì sau m i kho ng th i gian 56 phút chúng l i g p nhau m t l n. N u c hai chuy n đ ng v i t c đ cũ nhưng ngư c chi u nhau thì sau m i kho ng th i gian 8 phút chúng l i g p nhau m t l n. Ngơ i ta còn th y r ng khi kho ng cách gi a chúng là 40m thì sau đó 24 giây chúng ch còn cách nhau 26m. Tìm t c đ (theo mét/phút) c a m i v t th bi t r ng trong kho ng th i gian 24 giây nói trên chúng không g p nhau. Bài 6: Trong m t m t ph ng ngư i ta k m t tri u đư ng th ng t ng đôi m t không song song v i nhau. Qua giao đi m c a hai đư ng tă ng b t kì (trong s đư ng th ng đã k ) ít ra còn có m t đư ng th ng n a (trong s đư ng th ng đã k ) đi qua. Ch ng minh r ng t t c nh ng đư ng th ng đã k đ u đi qua m t đi m. Bài 7: Cho ba đư ng tròn cùng n m trên m t m t ph ng cùng có bán kính r. Tâm c a đư ng tròn này là giao đi m c a hai đư ng tròn kia. B n Toàn cho r ng di n tích ph n chung C c a c 1 ba hình tròn đã cho l n hơn 4 di n tích m t hình tròn đã cho; b n Th ng cho r ng di n tích ph n 1 chung C nh hơn 4 di n tích m t hình tròn đã cho. Còn b n Nam cho r ng di n tích ph n chung C b ng 1 di n tích m t hình tròn đã cho. 4 H i b n nào nói đúng, gi i thích t i sao ? 16
17 Năm h c 1976–1977 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Tìm t t c nghi m nguyên dương c a phương trình sau: xy 2 + 2xy − 243y + x = 0 Bài 2: Tìm s có hai ch s mà s y là b i c a tích hai ch s c a chính s đó. Bài 3: Cho tam giác trong đó có m t góc tù. B n Thành cho r ng trung tuy n k t đ nh góc nh n c a tam giác đ ng th i có th là đư ng phân giác c a góc nh n đó. B n Công cho r ng đi u đó không th có đư c. H i b n nào nói đúng, vì sao ? Bài 4: Cho m t tam giác có đ dài các c nh là a, b, c; đ ng th i th a mãn đ ng th c a−b = b−c. G i M là giao đi m các trung tuy n, P là giao đi m các đư ng phân giác trong c a tam giác đã cho. Ch ng minh r ng MP song song v i c nh có đ dài là b. 18 Năm h c 1977–1978 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Tìm nh ng b g m ba s t nhiên có tính ch t: tích c a hai s b t kì thêm 1 chia h t cho s còn l i Bài 2 G i n là s t nhên, tính tích sau đây theo n: 1 1 1 1 (1 − )(1 − )(1 − ) . . . (1 − ) 2 3 4 n+1 Bài 3: Cho tam giác ABC v i AB = AC và ABC = 800 . L y m t đi m I trong tam giác y sao cho IAC = 100 và ICA = 300 . Hãy tính góc AIB. Bài 4: Cho m t đư ng tròn, m t đi m A b t kì n m trên đư ng tròn y và m t đi m M trong hình tròn. Tìm hai đi m B và C trên đư ng tròn y sao cho: a) M là giao đi m c a các trung tuy n c a tam giác ABC; b) M là tr c tâm c a tam giác ABC. 17
19 Năm h c 1978–1979 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Gi i phương trình: |x + 1| + 3|x − 1| = x + 2 + |x| + 2|x − 2| Bài 2: Ch ng minh r ng s đư c thành l p b i 3n ch s gi ng nhau thì chia h t cho 3n , trong đó n là s t nhiên. Bài 3: B n Th ng sau khi v m t hình tròn n i ti p tam giác ABC, l i v thêm hình vuông DEFG ngo i ti p v i hình tròn O đó thì rút ra nh n xét: ph n chu vi c a hình vuông DEFG n m trong tam giác ABC bao gi cũng l n hơn m t n a chu vi hình vuông đó. Nh n xét c a b n Th ng đúng hay sai, vì sao? Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên đư ng phân giác c a góc A l y m t đi m D. Kéo dài BD c t AC t i B1 . Kéo dài CD c t AB t i C1 . Ch g minh n u CC1 = BB1 thì tam giác ABC là tam giác cân. 20 Năm h c 1979–1980 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Cho A = m + n và B = m2 + n2 , trong đó m, n là các s t nhiên nguyên t cùng nhau. Tìm oc s chung l n nh t c a A và B Bài 2: G i O là tâm đư ng tròn n i ti p tam giác ABC. T O h các đư ng vuông góc v i các c nh BC, CA, AB l n lư t t i D, E, F. K BB’ vuông góc v i AO, AA’ vuông góc v i BO. Ch ng minh A’, B’, D, E th ng hàng. Bài 3: B t đ ng th c sau đúng hay sai, vì sao? 106 106 + 1
21 Năm h c 1980–1981 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Tìm s có 4 ch s abcd bi t r ng abca = (5c + 1)2 . Bài 2: Ch ng minh ch s t n cùng cua các s t nhiên N và N 5 là như nhau. Bài 3: R và r là đ dài bán kính các hình tròn ngo i ti p và n i ti p tam giác ABC. d1 , d2 , d3 l n lư t là các kho ng cách t tâm hình tròn ngo i ti p t i các c nh BC, CA, AB. Tính t ng R + r theo d1 , d2 , d3 bi t r ng trong m t t giác n i ti p đư c, t ng các tích c a hai c nh đ i di n b ng tích hai đư ng chéo. Bài 4: Cho 4 đư ng tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ), (O4 ). Hãy d ng hình vuông mà m i c nh (hay c nh kéo dài) c a nó ti p xúc v i m t trong 4 đơ ng tròn đã cho. 22 Năm h c 1981–1982 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Cho t giác l i ABCD ngo i ti p hình tròn tâm O. Ch ng minh đư ng tròn n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i đư ng tròn n i ti p tam giác ACD Bài 2: Cho A là s chính phương có 4 ch s . N u ta thêm vào m i ch s c a A m t đơn v thì đư c m t s B cũng là m t s chính phương. Tìm các s A và B Bài 3: Cho tam giác đ u ABC n i ti p trong đư ng tròn bán kính R. M t đi m M ch y trên cung bé AB. Ch ng minh t ng các kho ng cách t M đ n A và B không l n hơn đư ng kính c a đư ng tròn đó. Bài 4: Tìm các nghi m nguyên c a phương trình: (x − z)(x2 + xz + z 2 ) = xy 3 + 3z 3 19
23 Năm h c 1982–1983 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Trên các c nh c a AOB l y các đo n OA và OB, v i OA > OB. Trên OA l y đi m M, trên đo n OB l y đi m N sao cho AM = BN = x. Tìm tr s c a x đ MN = y đ t giá tr nh nh t. Bài 2: Cho ba đi m A, B, C cùg n m trên đư ng th ng a (B n m gi a a và C). L y AB làm c nh, d ng tam giác đ u ABE; l y BC làm c nh, d ng ram giác đ u BCF. (E và F cùng v m t phía đ i v i a). G i M là trung đi m cu AF và N là trung đi m c a CE. Ch ng minh tam giác BMN là tam giác đ u. Bài 3: Ch ng minh r ng trong các s t nhiên th nào cũng có s k sao cho s 1983k − 1 chia h t cho 105 Bài 4: Trong m t tr n thi đ u c qu c t c a trư ng ph thông cơ s Quang Trung có hai b n h c sinh l p B y và m t s h c sinh l p Tám tham d . Theo đi u l cu c thi hai đ u th b t kì đ u ph i đ u v i nhau m t tr n; ngư i th ng đư c 1 đi m, ngư i thua đư c 0 đi m; n u hòa thì 1 m i ngư i đư c 2 đi m. H i có bao nhiêu b n l p Tám tham d ? Bi t r ng t ng s đi m nh n đư c c a c hai b n h c sinh l p B y là 8, còn t t c các b n l p Tám đ u nh n đư c s đi m b ng nhau. 24 Năm h c 1983–1984 (Th i gian: 180 phút) Bài 1: Ba đư ng tròn cùng có bán kính b ng r, cùng đi qua m t đi m O và đôi m t c t nhau t i ba đi m A, B, C. Ch ng minh đư ng tròn đi qua ba đi m A, B, C cũng có bán kính r. Bài 2: Trên m t ph ng cho trư c hai đi m A và B. Hãy d ng hình vuông sao cho m i đi m A, B n m trên m t c nh nào đó c a nó và t ng các kho ng cách t A đ n các đ nh c a hình vuông là bé nh t. Bài 3: Có bao nhiêu s g m b n ch s mà t ng hai ch s đ u b ng t ng hai ch s cu i ? Bài 4: Cho 2n = 10a + b. Ch ng minh n u n > 3 thì tích ab chia h t cho 6. đây a, b, n là các s nguyên dương và b < 10. 20