Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
TUYỂN TẬP P ƢƠ R
B P ƢƠ R - H P ƢƠ R A
- Trang | 1 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Ơ –
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Bài 1. Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Sử dụng bất đẳng thức cho hai số không âm ta có:
Vì vậy ta phải có:
Vậy phương trình đầu của hệ tương đương với:
Thay vào phương trình thứ 2 của hệ ta được:
Do nên ta phải có: ( do )
Khi đó phương trình (*) tương đương với:
( do
- Trang | 2 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Bài 2 (THPT Minh Châu).
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
ĐK
Nếu y= 0 thì (1) (vô lý)
Tương tự x= 0 không thỏa mãn, vậy x,y >0.
Đặt phương trình đầu trở thành:
Ta có
Đặt
Bổ đề:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schawarz ta có:
Tương tự
- Trang | 3 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Cộng vế với vế ta được đpcm. Dấu “=” xảy ra
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
( Do ĐK
nên )
Cộng vế (5) với (6) ta được:
Vậy hê phương trình đã cho có tập nghiệm
Bài 3 (THPT Phù Cừ).
Giải hệ phương trình
Lời giải:
ĐK:
Trường hợp 1: từ (1)
Thử lại vào phương trình (2) thấy thỏa mãn. Suy ra là nghiệm HPT.
Trường hợp 2:
- Trang | 4 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Ta có:
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Vì
Nên
Do đó PT (*) vô nghiệm.
Suy ra .
Thế vào phương trình (2) ta được:
Điều kiện . Đặt
Phương trình trở thành:
Từ đó ta có
. Thử lại HPT thấy thỏa mãn.
Thử lại không thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
- Trang | 5 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Bài 4 ( P thanh chƣơng ). Giải hệ phương trình
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Lời giải:
ĐK:
Ta có
Đặt
Khi đó trở thành :
Với ta có thay vào (2) ta được:
( vì )
Với y= 2 thì x= 5. Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của hệ PT là (5;2).
Bài 5 ( P hanh hƣơng ).
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Từ PT (2) ta có hệ PT có nghiệm khi đặt
,PT(2) trở thành:
- Trang | 6 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Với thay vào PT (1) ta được
PT – HPT – BPT
Nguyễn Bá Tuấn
ĐK: . Khi đó PT
Với là nghiệm của phương trình.
Cách khác:
Với ta có:
Bài 6 (THPT Lý Thái Tổ).
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Điều kiện:
PT (1)
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình
Suy ra (3)
Thay vào PT (2) ta được:
- Trang | 7 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Xét hàm số
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Ta có:
Hàm số f(t) đồng biến trên R
Do đó, (4)
Đặt trở thành:
Với
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 7 (THPT Nghèn). Giải hệ phương trình
Lời giải:
Điều kiện:
Xét PT (1) xem là ẩn chính ta có :
. Do đó
Thay vào (2) ta có:
Xét . Hàm số này đồng biến do đó
Thay vào giải ra ta có
Vậy hệ đã cho có nghiệm
Bài 8 ( P hƣ hanh). Giải phương trình
- Trang | 8 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Lời giải:
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
+ Điều kiện
+ Phương trình tương đương với
Với (*), áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
Tương tự ta có
Từ (1) và (2) ta có
Mặt khác ta lại có
+ Vậy PT đã cho
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Bài 9 ( P chuyên ĩnh Phúc )
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
+ ĐK:
Khi hệ có nghiệm
Ta thấy dấu bằng xảy ra khi thật vậy
(*) luôn đúng với moi
Tương tự (**) dấu bằng xảy ra
Từ (*) và (**)
Dấu đẳng thức xảy ra khi
- Trang | 9 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Thế (3) vào (2) ta được: (4) đk
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
(4)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
Bài 10. Giải hệ phương trình
Lời giải:
ĐK:
(1)
Với thay vào (2) ta được
Từ đó tìm được các nghiệm
- Trang | 10 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Với thay vào (2) ta được
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Từ đó tìm được các nghiệm là là
Bài 11 (THPT Hậu Lộc).
Giải hệ phương trình
Lời giải:
+ ĐK:
PT (1)
Với , thay vào PT (2) ta được:
+ Do
+ Xét hàm số trên đoạn
Có
Do hàm số f(x) liên tục trên đoạn và
Suy ra
Hay
- Trang | 11 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
+ Xét hàm số trên đoạn
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Có
Do hàm số g(y) liên tục trên đoạn và
Suy ra
Hay
+ Từ (a) và (b) suy ra PT (3)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Bài 12. Giải hệ phương trình
Lời giải:
Vì
Nên ta có (1)
Thế vào PT (2), ta có:
Xét hàm số . Ta có:
đồng biến trên R
Vậy hệ có nghiệm
Bài 13 (Chuyên Hạ Long). Giải hệ phương trình:
- Trang | 12 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Lời giải:
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
ĐK:
Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2)
Xét hàm số trên R hàm số đồng biến trên R
thế vào (1)
Đặt
Phương trình (**) trở thành
- Với :
- Với : , phương trình VN vì vế trái
Bài 14 ( huyên à ĩnh).
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
ĐK:
( Do )
- Trang | 13 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Thay vào PT thứ hai của hệ ta được pt sau với ĐK:
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Ta thấy:
Đặt . Khi đó (**) trở thành
Đúng
Suy ra (*) vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Bài 15 ( P hu ăn An)
Giải bất phương trình:
Lời giải:
ĐK: Với điều kiện đó
Xét hàm số với Ta có
-
- Bảng xét dấu
0 1 0
- Trang | 14 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Suy ra Dấu “=” xảy ra
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Do
Dấu “=” xảy ra khi
Khi đó:
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
Bài 16 (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1)
Giải hệ phương trình
Lời giải
ĐK:
Phương trình
Xét hàm đặc trưng
Hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên R. Suy ra
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
Hoặc
Giải phương trình
- Trang | 15 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Đặt
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Ta được phương trình:
Với
Với
Vậy hệ phương trình đã cho có ba cặp nghiệm
Bài 17(chuyên Đ inh lần 3 2015)
Giải phương trình
Lời giải
ĐK:
đồng biến trên Ta có
nên trường hợp này vô nghiệm Từ đó
Đáp sô:
- Trang | 16 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Lưu ý:
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
+ Học sinh chỉ tìm được 1 nghiệm cho điểm
+ Học sinh tìm được 2 nghiệm mà không chứng minh được phần còn lại vô nghiệm cho điểm
Có thể CM như sau:
Có thể nhẩm nghiệm và tách thành tích:
rồi CM vô nghiệm
Bài 18 (chuyên Đ inh lần 4 2015)
Giải phương trình
Lời giải
*) Điều kiện :
Phương trình đã cho tương đương với
Ta có = , với mọi .
Suy ra , với mọi
Dấu đẳng thức ở xảy ra khi và chỉ khi
Đặt .Dễ dàng ta có được , với mọi
Khi đó vế phải của chính là
Ta có
Hơn nữa , ta lại có
Suy ra ,với mọi
- Trang | 17 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Do đó
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
,với mọi
Dấu đẳng thức ở xảy ra khi và chỉ khi
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Bài 19 (THPT Trần ƣng Đạo)
Giải hệ phương trình
Lời giải
ĐK:
+ Từ PT (2) ta có:
+ Thay vào PT (1) ta được:
- Trang | 18 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
+ Xét hàm số ta có:
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
+ Vậy ta sẽ có
Kết luận nghiệm duy nhất của hệ là
Bài 20 (THPT Lý Thái Tổ)
Giải hệ phương trình
Lời giải
ĐK:
Nhận thấy không là nghiệm của hệ phương trình
Khi đó, PT (1):
Thay vào PT (2) ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .
- Trang | 19 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Bài 21 (THPT Quỳnh ƣu 2015)
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Giải hệ phương trình
Lời giải
Giải hệ phương trình
ĐK: .Nếu thì vô nghiệm nên
nên suy ra
Thay vào phương trình (1) ta được
Với thì .Vậy hệ có nghiệm
Bài 22 (Đặng Thúc Hứa)
Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện
- Trang | 20 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Với ,thay vào (2) ta có ( do )
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Trường hợp này hệ có các nghiệm
Với , ta có:
Từ phương trình
Từ cho ta
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là
Bài 22 (Chuyên à ĩnh)
Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện
Với điều kiện ta có :
Do đó
Thế vào (2) ta được :
Vì không phải là nghiệm của (3) nên (4)
Xét hàm số trên
Ta có
- Trang | 21 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Suy ra hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Lập BBT ta thấy phương trình
có tối đa 2 nghiệm
Ta lại có suy ra là các nghiệm của phương trình
Với
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình có 2 nghiệm:
Bài 23 (Thanh Hóa)
Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện : .Gọi 2 phương trình lần lượt là (1) và (2)
Xét hàm số có
Do đó
Thế vào (1) ta được
Do đó hệ đã cho tương đương với
. Do nên hoặc
Với .Với
Vậy hệ đã cho có nghiệm
Bài 24 (Lào Cai)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực
- Trang | 22 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Lời giải
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
- Điều kiện
và
-Với điều kiện trên :
( Vì với x, y thỏa mãn và thì
Thế vào (1) ta có
Ta thấy :
Nên (3) có nghiệm duy nhất .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Bài 25 ( Nguyễn Công Trứ 2015)
Giải phương trình
Lời giải
Nhận xét : không thỏa mãn phương trình cho
Chia hai vế của phương trình cho , ta được
Đặt , phương trình trở thành
với
- Trang | 23 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Ta có : nên f đồng biến trên R , vì vậy :
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Bài 25 ( P Phan Đình Phùng à ội)
Giải hệ phương trình
Lời giải
Ta có , nhân hai vế phương trình (1) với
Xét hàm số trên R , có
đồng biến trên R .
Vậy
Thay vào (2) ta có
- Trang | 24 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Từ điều kiện vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ là
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Bài 26 (THPT Thuận Thành số 2 Bắc Ninh)
Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Xét y = 0 , hệ vô nghiệm nên y khác 0 . Chia cả 2 vế của (1) cho y ta được:
Đặt
PT:
Với thế vào (2) ta được:
Xét hàm số với , có , mọi => hàm số đồng biến
Từ (3)
Hệ có nghiệm duy nhất (2,1).
Bài 27 (THPT Lạng Giang số 1)
Giải hệ phương trình
- Trang | 25 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Lời giải:
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
+ Với y= 2 thay vào (2) ta được phương trình
+ Với Suy ra
Xét hàm số và hàm số
Tìm được và
Tức là ta có: .
Từ đó
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là (0;2) và (0;-1).
Bài 28 ( P ùng ƣơng Phú họ 2015)
Giải bất phương trình sau:
Lời giải
ĐK: , Phương trình tương đương với :
Mặt khác ta có
Theo bất đẳng thức cosi:
Do vậy ta có:
Điều này chứng tỏ phương trình (*) vô nghiệm
Kết luận phương trình có 1 nghiệm duy nhất x=1.
- Trang | 26 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Cách khác: có thể chứng minh (*) vô nghiệm như sau:
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Mặt khác
Bài 29 (Quảng Nam thi thử THPT Quốc Gia 2015)
Giải phương trình .
Lời giải
Điều kiện:
Đặt ta có hệ phương trình :
Suy ra:
Xét hàm số với .
và liên tục trên nửa khoảng nên đồng biến trên nửa khoảng
.
Từ đó: (thỏa (*))
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm: và
Bài 30 ( P ĩnh ong)
Giải bất phương trình (1)
Lời giải:
+ ĐK: . Ta có
1) trở thành (2)
- Trang | 27 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
+ Do nên
PT – HPT – BPT
Nguyễn Bá Tuấn
(2)
+
+
So với điều kiện và suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
Bài 31 ( THPT Võ Nguyên Giáp)
Giải bất phương trình
Lời giải
+ ĐK:
Đối chiếu với điều kiện ta được tập nghiệm là .
Bài 32 (THPT Việt Trì)
Giải hệ phương trình:
Lời giải:
- Trang | 28 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
+ĐK
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
+
Xét hàm số
=> . Thay vào (2) ta được phương trình:
do vì
Vậy hpt có nghiệm và
Bài 33 (THPT Hậu Lộc 2 lần 1- 2016)
Giải hệ phương trình
Lời giải
Ta thấy không phải là nghiệm của hệ
- Trang | 29 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Chia cả hai vế của (1) cho ta được
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Xét hàm luôn đồng biến trên R
Thế (3) vào (2) ta được:
Vậy hệ đã cho có nghiệm
Bài 34 (Sở GD-Đ ĩnh Phúc lần 1-2016)
Giải hệ phương trình
Lời giải
ĐK:
Xét trên R
Suy ra hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên R
- Trang | 30 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Suy ra
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Suy ra
thay vào (2) ta có phương trình
Kết hợp với điều kiện ta có
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Bài 35 (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1)
Giải hệ phương trình
Lời giải
ĐK:
- Trang | 31 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
Phương trình
Nguyễn Bá Tuấn
PT – HPT – BPT
Xét hàm đặc trưng
Hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên R. Suy ra
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
Hoặc
Giải phương trình
Đặt
Ta được phương trình:
Với
Với
Vậy hệ phương trình đã cho có ba cặp nghiệm
- Trang | 32 -
Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
A Đ A A – Ƣ . Đ Đ A R Ể RƢ Đ - Đ Ƣ NH YÊU Đ Ể CAO.
