Ứng dụng phương pháp FDTD 2 chiều trong mô phỏng trường điện từ

Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> øng dông ph­¬ng ph¸p fdtd 2 chiÒu<br /> trong m« pháng tr­êng ®iÖn tõ<br /> NGUYỄN HUY HOÀNG, NGUYỄN VĂN TRUNG, NGUYỄN THÙY LINH<br /> <br /> Tóm tắt: Bài báo giới thiệu tóm tắt việc ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn trong<br /> miền thời gian (Finite difference Time Domain - FDTD) hai chiều trong mô phỏng trường điện<br /> từ với các nội dung chính: Trình bày tóm tắt các vấn đề về rời rạc hóa các phương trình<br /> Macxoen bằng phương pháp FDTD và điều kiện biên hấp thụ trong mô phỏng 2 chiều hay còn<br /> gọi là lớp hấp thụ (Perfect Matched Layer - PML); trên cơ sở đó tiến hành mô phỏng 2 chiều<br /> với mô hình sóng điện từ phẳng và đưa ra các nhận xét từ kết quả mô phỏng. Các chương trình<br /> mô phỏng được thực hiện trên phần mềm Matlab và kết quả mô phỏng thu được phù hợp với lý<br /> thuyết trường điện từ.<br /> <br /> Từ khóa: FDTD, Trường điện từ, Phương trình Macxoen, PML, Mô phỏng.<br /> <br /> 1. MỞ ĐẦU<br /> Phương pháp FDTD được Kane Yee người Nhật giới thiệu vào năm 1966, phương<br /> pháp này được đưa ra nhằm mục đích giải trực tiếp bằng số các phương trình Macxoen<br /> trong các môi trường và các miền không gian khác nhau trong miền thời gian. Trong<br /> phương pháp này, điện trường và từ trường được rời rạc hóa trong phép lấy vi phân các<br /> phương trình Macxoen theo phương pháp sai phân trung tâm và sau đó các giá trị rời rạc<br /> của chúng sẽ được tính toán bằng máy tính.<br /> Trong các phương pháp được sử dụng để tính toán số và mô phỏng trường điện từ như<br /> phương pháp mô men, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp FDTD thì phương<br /> pháp FDTD được sử dụng phổ biến hơn cả vì nó cho phép giải quyết được số lượng lớn<br /> các bài toán điện từ, đặc biệt là các bài toán liên quan đến các vật thể có cấu trúc phức tạp<br /> (2D và 3D) hay các bài toán có liên quan đến các vật thể có kích thước so sánh được với<br /> bước sóng cũng như các bài toán yêu cầu miền tần số cần khảo sát lớn. Với các ưu điểm<br /> như vậy, phương pháp FDTD hiện là một công cụ rất mạnh mẽ và hữu hiệu được ứng<br /> dụng rộng rải khi giải các bài toán phức tạp liên quan đến điện từ trường trong nhiều lĩnh<br /> vực như thiết kế anten, kỹ thuật siêu cao tần, radar...<br /> Cơ sở lý thuyết và nội dung của phương pháp FDTD đã được trình bày chi tiết trong [4,<br /> 7], bài báo này tập trung vào nghiên cứu ứng dụng phương pháp FDTD để mô phỏng 2<br /> chiều sóng điện từ phẳng trong cả 2 trường hợp không và có thiết lập lớp hấp thụ PML.<br /> <br /> 2. RỜI RẠC HÓA PHƯƠNG TRÌNH MACXOEN VÀ LỚP HẤP THỤ<br /> 2.1 Rời rạc hóa phương trình Macxoen z<br /> Trong mô phỏng hai chiều ta chọn một trong hai nhóm gồm 3 vectơ sau để mô phỏng<br /> [6]: Trường từ ngang (TM), gồm các thành phần E~z , H x , H y hoặc trường điện ngang (TE)<br /> gồm các thành phần H z , E~x , E~y . Ta sẽ làm việc với trường TM. Với trường TM, phương<br /> trình Macxoen [1] được tiến hành rời rạc hóa tương tự như trường hợp mô phỏng một<br /> chiều bằng phương pháp FDTD như sau:<br /> Dzn 1/2 (i, j )  Dzn 1/2 (i, j ) 1  H yn (i  1/ 2, j )  H yn (i  1/ 2, j ) H xn (i, j  1/ 2)  H xn (i, j  1/ 2) <br />     (1)<br /> t  0 0  x y <br /> H xn 1 (i, j  1/ 2)  H xn (i, j  1/ 2) 1 Ezn1/ 2 (i, j  1)  Ezn 1/ 2 (i, j )<br />  (2)<br /> t  0 0 y<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 31, 06 - 2014 109<br />  Khoa hoc máy tính<br /> <br /> Hyn1(i 1/ 2, j)  Hyn (i 1/ 2, j)<br /> Ezn1/2 (i 1, j)  Ezn1/2 (i, j)<br /> 1<br />  (3)<br /> t 00 x<br /> ở đây, ta vẫn sử dụng điều kiện ổn định nghiệm như trong mô phỏng một chiều [4, 7], đó<br /> là: t  x / 2.c0 , với c0 là vận tốc ánh sáng trong chân không và để đơn giản ta<br /> chọn y  x . Các phương trình rời rạc hóa (1), (2), (3) sẽ được sử dụng để viết mã mô<br /> phỏng FDTD 2 chiều.<br /> 2.2. Lớp hấp thụ<br /> Giả sử ta đang mô phỏng một sóng điện từ phát ra từ một nguồn điểm truyền trong<br /> không gian tự do. Sóng sẽ lan truyền ra xung quanh, đến biên của vùng không gian mô<br /> phỏng và bị phản xạ lại không như ý tại biên, lúc đó ta sẽ không xác định được đâu là sóng<br /> thực và đâu là sóng phản xạ. Đây chính là lý do phải xác lập điều kiện biên hấp thụ trong<br /> phương pháp FDTD.<br /> Một trong những điều kiện biên hấp thụ hiệu quả và linh hoạt nhất trong mô phỏng<br /> FDTD 2 chiều đó là tầng phối hợp trở kháng hay lớp hấp thụ (PML) do Berenger xây dựng.<br /> Ý tưởng cơ bản để xây dựng nên PML là, khi sóng truyền từ môi trường A sang môi trường<br /> B thì hệ số phản xạ của sóng sẽ phụ thuộc vào trở sóng của hai môi trường đó [2, 3, 6]:<br /> ZCA  ZCB<br /> R<br /> ZCA  ZCB<br /> Trở sóng của môi trường lại phụ thuộc vào hằng số điện môi và độ từ thẩm của môi<br /> trường theo công thức:<br /> ZC  <br /> <br /> Nếu ta cho  thay đổi theo  sao cho trở sóng của hai môi trường luôn bằng nhau thì sẽ<br /> không xảy ra hiện tượng phản xạ tại mặt phân cách, hay hệ số phản xạ bằng 0. Tiếp theo ta<br /> sẽ tạo ra một môi trường tổn hao sao cho khi sóng truyền vào sẽ bị suy giảm hoàn toàn trước<br /> khi tới được biên. Điều này được thực hiện khi chúng ta coi  và  là các số phức vì phần<br /> ảo của chúng thể hiện sự suy giảm như đã biết từ lý thuyết trường điện từ [2].<br /> Sau một vài phép biến đổi bằng cách sử dụng thêm các hằng số  và  ảo, ký hiệu là<br /> * * *<br />  Fz , Fx , Fy , hệ phương trình Macxoen [1] sẽ có dạng như sau:<br /> <br />  H H <br /> *<br /> i Dz . Fz *<br /> ( x). Fz ( y)  c0 . y  x  (4)<br />  x y <br /> Dz ()   '*().Ez () (5)<br /> * * Ez<br /> i H x . Fx ( x). Fx ( y )  c0 . (6)<br /> y<br /> * * Ez<br /> i H y .Fy ( x).Fy ( y)  c0 . (7)<br /> x<br /> Các hằng số ảo  F* và  F* trong các công thức trên phụ thuộc vào cả hai hướng x, y và<br /> chúng không ảnh hưởng đến các hằng số thực của môi trường. Đây là các đại lượng phức<br /> và chúng có dạng như sau:<br /> *  Dm * <br />  Fm   Fm  ;  Fm   Fm  Hm<br /> i 0 i0<br /> <br /> <br /> <br /> 110 N. H. Hoµng, N. V. Trung, N. T. Linh,“øng dông ph­¬ng ph¸p FDTD… tr­êng ®iÖn tõ.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br />  Hm  Dm  D<br /> trong đó,  Dm và  Hm là các tham số thỏa mãn điều kiện [6]:   với<br /> 0 0 0<br />  D là độ dẫn điện của môi trường đang xét; m = x hoặc y.<br /> Ta xây dựng PML theo phương x. Sử dụng điều kiện ổn định nghiệm<br /> (  t .c 0 ) /  x  1 / 2 , phương trình (4) được biến đổi thành:<br /> D zn 1/ 2 ( i , j )  gi 3( i ). D zn 1/ 2 ( i , j ) <br />  gi 2( i ).0.5.  H yn ( i  1 / 2, j )  H yn ( i  1 / 2, j )  H xn ( i , j  1 / 2)  H yn ( i , j  1 / 2)  (8)<br /> Các tham số gi2 và gi3 có dạng sau:<br /> 1<br /> gi 2( i )  (9)<br /> 1   D ( i ). t / (2 . 0 )<br /> 1   D ( i ). t / (2. 0 )<br /> gi 3( i )  (10 )<br /> 1   D ( i ). t / (2 . 0 )<br /> Ta biến đổi tương tự đối với phương trình (7):<br /> H yn 1/ 2 ( i  1 / 2, j )  fi 3( i  1 / 2). H yn ( i  1 / 2, j ) <br />  fi 2( i  1 / 2).0.5.  E zn ( i  1, j )  E zn 1/ 2 ( i , j )  (11)<br /> trong đó,<br /> 1<br /> fi 2(i  1 / 2)  (12)<br /> 1   D (i  1 / 2).t / (2. 0 )<br /> 1   D (i  1 / 2).t / (2. 0 )<br /> fi 3(i  1 / 2)  (13)<br /> 1   D (i  1 / 2). t / (2. 0 )<br /> Phương trình (6) được biến đổi thành:<br /> c0 .t c .t  ( x).t n1 / 2<br /> H xn 1 (i, j  1 / 2)  H xn (i, j  1 / 2)  rotE  0 . D I Hx (i, j  1 / 2) <br /> x x 0<br /> c0 .t  ( x ).t n1 / 2<br />  H xn (i, j  1 / 2)  rotE  D I Hx (i, j  1 / 2)<br /> x 2 0<br /> T<br /> n 1 / 2 rotE<br /> Ở đây, ta ký hiệu I Hx (i, j  1 / 2)  n  0 x<br /> . Do vậy khi viết chương trình mô phỏng<br /> <br /> phương trình (6) sẽ được thực hiện thông qua các phương trình dưới đây:<br /> rotE  E zn 1/ 2 (i, j )  E zn 1/ 2 (i, j  1) (14)<br /> n 1/ 2 n 1/ 2<br /> I Hx (i, j  1/ 2)  I Hx (i, j  1 / 2)  rotE (15)<br /> H xn 1 (i, j  1 / 2)  H xn (i, j  1 / 2)  0.5.rotE  fi1(i ).I Hx<br /> n 1/2<br /> (i, j  1 / 2) (16)<br /> trong đó,<br />  D (i).t<br /> fi1(i) <br /> 2 0<br /> Giá trị biến thiên của các tham số như sau [6]:<br /> fi1(i) : (0 ÷ 0.333); gi2(i) : (1 ÷ 0.75); gi3(i) : (1 ÷ 0.5)<br /> Ở trên ta đã xây dựng PML theo phương x. Một cách tương tự ta hoàn toàn có thể xây<br /> dựng theo phương y. Ta có phương trình cho Dz:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 31, 06 - 2014 111<br />  Khoa hoc máy tính<br /> <br /> D zn 1/ 2 (i , j )  gi 3(i ). gj 3( j ) D zn 1/ 2 (i ) <br />  gi 2(i ). gj 2( j ).0.5.  H yn (i  1 / 2, j )  H yn (i  1 / 2, j )  H xn (i , j  1 / 2)  H xn (i , j  1 / 2)  (17)<br /> và<br /> rotE  Ezn 1/2 (i  1, j )  Ezn 1/ 2 (i, j ) (18)<br /> n 1/2 n 1/ 2<br /> I Hy (i  1/ 2, j )  I Hy (i  1/ 2, j )  rotE (19)<br /> H yn 1 (i  1 / 2, j )  fi 3(i  1 / 2).H yn (i  1 / 2, j ) <br /> n 1/ 2<br />  fi 2(i  1 / 2).0.5.rotE  fi1( j ).I Hy (i  1 / 2, j ) (20)<br /> cuối cùng, Hx theo phương x có dạng như sau:<br /> rotE  Ezn1/2 (i, j)  Ezn1/2 (i, j  1)<br /> n 1/2 n 1/2<br /> I Hx (i, j  1/ 2)  I Hx (i, j  1/ 2)  rotE<br /> H xn1 (i, j  1/ 2)  fj3( j  1/ 2).H xn (i, j  1/ 2) <br /> n1/2<br />  fj 2( j  1/ 2).0.5.rotE  fi1(i).I Hx (i, j  1/ 2)<br /> Kết hợp tính toán theo cả 2 phương x và y, ta đã có đủ các tham số của môi trường<br /> PML với các giá trị biến thiên của các tham số như sau [6]:<br /> fi1(i) và fj1(j): (0 ÷ 0.333); fi2(i), gi2(i), fj2(j) và gj2(j) : (1 ÷ 0.75)<br /> fi3(i), gi3(i), fj3(j) và gj(3) : (1 ÷ 0.5)<br /> Lưu ý rằng ta có thể “tắt” môi trường PML trong miền không gian khảo sát bằng cách<br /> cho hai tham số fi1 và fj1 bằng 0 còn các tham số khác bằng 1.<br /> <br /> 3. MÔ PHỎNG SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG<br /> 3.1. Mô hình sóng điện từ phẳng<br /> Mô hình sóng phẳng thường được sử dụng trong mô phỏng trường điện từ [4, 7]. Nhiều<br /> bài toán thực tế, ví dụ như tính toán diện tích phản xạ hiệu dụng trong radar..., sử dụng mô<br /> hình sóng phẳng. Hơn nữa, tại khoảng cách xa cỡ chục lần bước sóng thì trường bức xạ<br /> của hầu hết anten có thể coi là sóng phẳng [2, 3]. Để mô phỏng sóng phẳng trong chương<br /> trình FDTD 2 chiều, không gian mô phỏng được chia làm 2 vùng: Vùng trường tổng hợp<br /> và vùng trường tán xạ [6]. Vùng trường tổng hợp là vùng mà trong đó giá trị của trường là<br /> sự tổng hợp của sóng tới và sóng tán xạ đi ra từ vật thể đặt trong vùng này. Vùng trường<br /> tán xạ là vùng mà giá trị của trường chính là của sóng tán xạ ra từ vật thể đặt trong vùng<br /> trường tổng hợp. Nếu trong vùng trường tổng hợp không đặt vật thể nào thì trường tổng<br /> hợp chính là sóng tới, còn trường tán xạ khi đó không tồn tại.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 1. Vùng trường tổng hợp và vùng trường tán xạ trong mô phỏng sóng phẳng.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 112 N. H. Hoµng, N. V. Trung, N. T. Linh,“øng dông ph­¬ng ph¸p FDTD… tr­êng ®iÖn tõ.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> Hình 1 minh họa cho điều này. Sẽ có một ma trận sóng tới một chiều tạo ra sóng<br /> phẳng, một điểm trong ma trận đóng vai trò là nguồn và trường Ez sẽ được tạo ra tại điểm<br /> đó. Khi đó sóng sẽ lan truyền về cả hai phía không gian. Vì PML thực tế không lý tưởng,<br /> nên trước khi sóng phẳng truyền đến lớp này sẽ bị làm suy giảm để sao cho khi đi vào<br /> PML hoàn toàn không xảy ra hiện tượng phản xạ.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 2. Vùng trường tổng hợp và vùng trường tán xạ trong mô phỏng sóng phẳng.<br /> Minh họa trên hình 2 cho thấy, mỗi điểm trong không gian mô phỏng 2 chiều chỉ có thể<br /> nằm trong vùng trường tổng hợp hoặc ngoài vùng đó, không có điểm nào nằm trên biên<br /> cả. Do đó, nếu có một điểm trong vùng trường tổng hợp sử dụng các điểm ở ngoài để tính<br /> giá trị của nó thì điểm đó phải được tính toán lại và ngược lại. Đây chính là nguyên nhân<br /> phải có ma trận sóng tới, nó chứa các giá trị cần thiết để tạo ra sự thay đổi này.<br /> Có ba vị trí cần phải tính toán lại đó là:<br /> - Giá trị Dz tại j = ja hoặc j = jb:<br /> Dz(i, ja) = Dz(i, ja) + 0.5.Hxt( ja – 1/2);Dz(i, jb) = Dz(i, jb) - 0.5.Hxt( jb + 1/2)<br /> - Giá trị Hx ngay ở ngoài j = ja và j = jb:<br /> Hx(i, ja – 1/2) = Hx(i, ja – 1/2) + 0.5.Ezt( ja);Hx(i, jb + 1/2) = Hx(i, jb + 1/2) - 0.5.Ezt( jb)<br /> - Giá trị Hy ngay ở ngoài i = ia và i = ib:<br /> Hy(i – 1/2, j) = Hx(i – 1/2, j) - 0.5.Ezt( j); Hy(i + 1/2, j) = Hx(i + 1/2, j) + 0.5.Ezt( j)<br /> Với ja, jb và ia, ib lần lượt là giới hạn vùng không gian mô phỏng theo các trục y và x;<br /> còn Et và Ht là ký hiệu các thành phần của sóng tới.<br /> 3.2. Mô phỏng 2 chiều FDTD khi chưa thiết lập PML<br /> PhÇn nµy tr×nh bµy kÕt qu¶ m« pháng 2 chiÒu mét xung Gauss truyÒn trong m«i tr­êng<br /> kh«ng khÝ b»ng ph­¬ng ph¸p FDTD khi ch­a thiÕt lËp PML.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 3. Xung Gauss được tạo ra tại Hình 4. Xung lan truyền ra<br /> tâm của không gian mô phỏng tại T=10. xung quanh tại T=50.<br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 31, 06 - 2014 113<br />  Khoa hoc máy tính<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 5. Xung bắt đầu truyền Hình 6. Hình ảnh xung bị giao thoa do phản<br /> đến biên tại T=64. xạ nếu không thiết lập PML tại T=100.<br /> C¸c h×nh 3 ®Õn h×nh 6 thÓ hiÖn kÕt qu¶ víi c¸c chØ sè b­íc thêi gian T kh¸c nhau, ta<br /> thÊy r»ng xung bÞ ph¶n x¹ l¹i vµ giao thoa víi xung tíi khi ®i ra biªn.<br /> <br /> 3.3. Mô phỏng 2 chiều FDTD có thiết lập PML<br /> Phần này trình bày kết quả mô phỏng 2 chiều một xung hình sin có dạng:<br /> sin(2 1500106  dtT ) , chiều dài của lớp PML được thiết lập bằng 20 lần kích thước<br /> cell, môi trường là không khí. Kết quả mô phỏng trong các hình 7 đến hình 10 với các chỉ<br /> số bước thời gian T khác nhau chỉ ra rằng, xung không bị phản xạ lại khi đi ra biên mà bị<br /> hấp thụ và suy giảm khi đi vào lớp PML và cuối cùng bị triệt tiêu tại biên.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 7. Xung được tạo ra tại tâm của Hình 8. Xung truyền ra biên có thiết<br /> vùng không gian mô phỏng tại T=10. lập PML tại T=50.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 9. Xung truyền vào PML và không bị Hình 10. Xung tiếp tục truyền vào<br /> phản xạ lại tại T=70. PML và bị hấp thụ tại T=100.<br /> <br /> 114 N. H. Hoµng, N. V. Trung, N. T. Linh,“øng dông ph­¬ng ph¸p FDTD… tr­êng ®iÖn tõ.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> <br /> 3.4. Mô phỏng 2 chiều FDTD sóng phẳng có thiết lập PML<br /> Sóng phẳng 2 chiều được mô phỏng trong phần này có dạng:<br /> sin(2  400106  dt  T ) , truyền trong không khí, lớp hấp thụ PML cũng được thiết lập<br /> với chiều dài bằng 20 lần kích thước cell. Kết quả chỉ ra trong các hình 11 đến hình 14 với<br /> các chỉ số bước thời gian T khác nhau, cho thấy sóng bắt đầu hình thành từ 1 biên và lan<br /> truyền đến biên kia, khi ra biên không bị phản xạ lại mà bị hấp thụ và suy giảm khi đi vào<br /> lớp PML và cuối cùng bị triệt tiêu.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 11. Sóng bắt đầu hình thành Hình 12. Sóng tiếp tục lan truyền<br /> từ một biên tại T=20. đến biên kia tại T=50.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 13. Sóng bị triệt tiêu khi đến Hình 14. Sóng tiếp tục bị triệt tiêu<br /> biên tại T=120. khi đến biên tại T=150.<br /> <br /> 4. KẾT LUẬN<br /> Bài báo đã giới thiệu tóm tắt về cách rời rạc hóa các phương trình Macxoen cho mô<br /> phỏng FDTD 2 chiều, phương pháp thiết lập PML và mô hình mô phỏng sóng phẳng đơn<br /> giản. Việc thiết lập PML chủ yếu dựa vào các tham số f và g, và cách lựa chọn giá trị của<br /> chúng phụ thuộc vào từng bài toán mô phỏng cụ thể, việc thiết lập chiều dài của lớp PML<br /> cũng đóng một vai trò quan trọng để sao cho khi sóng truyền ra biên không bị phản xạ lại.<br /> Mô hình sóng phẳng trong phương pháp FDTD 2 chiều cũng được thực hiện dựa trên sự<br /> thiết lập PML và việc phân chia không gian mô phỏng làm 2 vùng là vùng trường tổng<br /> hợp và vùng trường tán xạ. Để tạo ra sóng phẳng trong không gian 2 chiều ta chỉ đơn giản<br /> sử dụng một ma trận sóng tới 1 chiều. Tất cả kết quả mô phỏng đều được thực hiện trên<br /> phần mềm Matlab minh họa cho việc trường điện từ lan truyền trong không gian 2 chiều<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 31, 06 - 2014 115<br />  Khoa hoc máy tính<br /> <br /> khi có và không có PML, cũng như mô phỏng sự lan truyền sóng phẳng trong không gian<br /> 2 chiều bằng phương pháp FDTD.<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> [1]. J. C. Maxwell, “A Treatise on Electricity and Magnetism”, Clarendon Press Series<br /> (1873).<br /> [2]. J. A. Straton, “Electromagnetic Theory”, McGraw-Hill Book Company, Inc. (1941).<br /> [3]. C. A.Balanis, “Advanced Engineering Electromagnetics”, John Wiley & Sons Inc.<br /> (1989).<br /> C. K. S. Kunz, R. J. Luebbers, “Finite Difference Time Domain Method for<br /> [4].<br /> Electromagnetics”, CRC Press (1993).<br /> [5]. A. Taflove, S. C.Hagness, “Computational Electrodynamics The Finite-Difference<br /> Time-Domain Method”, Artech House (2005).<br /> [6]. D. M. Sullivan, “Electromagnetic Simulation Using The FDTD Method”, IEEE Press<br /> Series on RF and Microwave Technology (2000).<br /> [7]. S. D.Gedney, “Introduction to the Finite-Difference Time-Domain (FDTD) Method<br /> for Electromagnetic”, Morgan & Claypool Publishers (2001).<br /> <br /> ABSTRACT<br /> APPLICATION OF 2D FINITE-DIFFERENCE TIME DOMAIN (FDTD) METHOD TO<br /> ELECTROMAGNETIC FIELD SIMULATION.<br /> The paper introduces briefly the application of 2D FDTD to simulating<br /> Electromagnetic Field with several main contents: Present concisely the process of<br /> discreting Maxwell field equations by using FDTD method and the absorbing bound<br /> condition in 2D simulation, also called Perfect Matched Layer (PML); Carry out the<br /> 2D simulation with simple plane wave and give some remarks based on the<br /> simulated results.<br /> Keywords: FDTD, Electromagnetic field, Field Maxwell equation, PML, Simulation.<br /> <br /> <br /> Nhận bài ngày 19 tháng 12 năm 2013<br /> Hoàn thiện ngày 20 tháng 5 năm 2014<br /> Chấp nhận đăng ngày 28 tháng 5 năm 2014<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Địa chỉ: Học viện Kỹ thuật quân sự<br /> Email: hoangnh@mta.edu.vn, trungcs2@mta.edu.vn, truonglinh0808@gmail.com<br /> Di động: 0902146368<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 116 N. H. Hoµng, N. V. Trung, N. T. Linh,“øng dông ph­¬ng ph¸p FDTD… tr­êng ®iÖn tõ.”<br />