Bài tập: Giải tích 1 – Ngành: Sư phạm Vật lý và Vật lý học 1
GV bộ môn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Tổ bộ môn Toán lý – Khoa Vật lý – ĐH Sư phạm TpHCM
VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
Bài 1: Giả sử 0(f(x)) là VCB bậc cao hơn so với f(x) khi x a; còn O(f(x)) là VCB cùng
bậc với f(x) khi x a. Hãy chứng minh rằng:
a. 0(0(f(x))) = 0(f(x)) b. O(O(f(x))) = O(f(x))
c. O(0(f(x))) = 0(f(x)) d. O(f(x)) + 0(f(x)) = O(f(x))
e. 0(O(f(x))) = 0(f(x)) f. O(f(x)).O(g(x)) = O(f(x).g(x))
Bài 2: Giả sử x 0 và n > 0. Hãy chứng minh rằng:
a. c.0(xn) = 0(xn) (c – hằng số) b. 0(xn) + 0(xm) = 0(xn) với (n < m)
c. 0(xn).0(xm) = 0(xm+n)
Bài 3: Giả sử x 0. Chứng minh rằng:
a. 2x – x2 ~ 2x b. 1
ln 0 ( 0)
xx
c.
3
2
sin ~
x x x
d. 8
~
x x x x
e.
(1 ) 1 0( )
n
(n N)
Bài 4: Giả sử x +. Chứng minh rằng:
a. 2x3 + 106.x ~ 2x3b.
ln 0( )( 0)
x x
c. 2
1 1
~
1
x
x x
d.
3 3
.cos 0( )
x x x x
e.
3 3
arctan ~
1 2
x
x x
f. ~
x x x x
Bài 5: So sánh bậc của các VCB sau đây:
a.
( ) 1 cos
x x
và 2
( ) sin
x x
, khi x 0
b. ( ) 1
f x x x
và
1
( )g x
x
, khi x +
c. ( )
x
f x e
và
1
( )g x
x
, khi x +
d.
1 1
( ) sin
u x
x x
và
2
1
( )v x
x
, khi x
Bài 6: Trong quá trình x 0, các đại lượng sau đây có bậc cao hơn hay thấp hơn so với x?
x3 ;
(1 )
x x
; sin5x ; x.e2x ; 2
3
2 .cos . tan
x x x
;
Bài 7: Tìm bậc của các VCB sau đây đối với VCB x khi x 0:
2 1
x
; 1 1
x x
; tanx – sinx ;
sin 2 2
x ; 1 2cos
3
x
; x.cosx – sinx
Bài tập: Giải tích 1 – Ngành: Sư phạm Vật lý và Vật lý học 2
GV bộ môn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Tổ bộ môn Toán lý – Khoa Vật lý – ĐH Sư phạm TpHCM
Bài 8: Cho 2
1
( ) 1 cos
u x x
x
. Chứng minh u(x) là VCB khi x 0. Có thể nói nó là
VCB bậc 2 hay không?
Bài 9: Tìm các giới hạn sau đây bằng cách thay VCB tương đương:
1. 0
sin( )
lim
sin
n
m
x
x
x
(m, n là số nguyên) 2. 0
arctan
lim
tan
2
x
x
x
3.
2
03
sin(3 ).arcsin(5 )
lim
x
x x
x x
4.
1
sin
lim sin
x
x
x
5.
2
2
ln(sin )
lim
2
x
x
x
6.
2
0
sin
lim
ln(cos )
x
x
x
7.
2
0
1 cos
lim
.arctan 2
x
x
x x
8.
2
arctan
0
sin 2 2sin
lim
ln 1 cos 3 3
x
x
x x
e x x
9.
2
1
sin 2
lim
ln cos 2
x
x
x
10.
2 2
3 3
2
3
0
1 tan 1 arctan
lim
x
x x
x x
11. 1
1
lim
1
m
n
x
x
x
l2. 0
1 . 1 1
lim
ln(cos sin )
mn
x
x x
x x
13.
3
1
1
1 1 ... 1
lim 1
n
n
x
x x x
x
14.
3
2
0
cos cos
lim
sin
x
x x
x
15.
2 arcsin3
2 2
0
1 2
lim
sin( ) ln (1 3 )
x
x
x e x
x x
16.
3
cot
0
1 sin cos 2
lim 1 sin cos3
x
x
x x
x x
17. 2
0
1 cos
lim
x
x
x
18.
2
2
2
0
cos
lim
x
x
e x
x
19.
22
4
0
.cos 1
lim
x
x
e x
x
20.
2
1 sin
lim ( , 0)
1 sin 1 sin
x
x
x x
Đáp số bài 9: 1. 0 (n > m) ; 1 (n = m) ; + (n < m) ; 2.
2
; 3. 15 ; 4.
; 5.
1
2
; 6. -2 ;
7.
1
2
; 8.
4 3
; 9. -2 ; 10. 0 ; 11.
m
n
; 12.
m n
; 13.
1
!
n
; 14.
1
12
; 15.
1
60
; 16.
5
2
e
;
17.
2
; 18.
2
1
2
; 19.
2
; 20.
