Bài tập: Giải tích 1 – Ngành: Sư phạm Vật lý và Vật lý học
1
VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
Bài 1: Giả sử 0(f(x)) là VCB bậc cao hơn so với f(x) khi x a; còn O(f(x)) là VCB cùng bậc với f(x) khi x a. Hãy chứng minh rằng:
a. 0(0(f(x))) = 0(f(x)) c. O(0(f(x))) = 0(f(x)) e. 0(O(f(x))) = 0(f(x))
b. O(O(f(x))) = O(f(x)) d. O(f(x)) + 0(f(x)) = O(f(x)) f. O(f(x)).O(g(x)) = O(f(x).g(x))
b. 0(xn) + 0(xm) = 0(xn) với (n < m)
Bài 2: Giả sử x 0 và n > 0. Hãy chứng minh rằng: a. c.0(xn) = 0(xn) (c – hằng số) c. 0(xn).0(xm) = 0(xm+n)
Bài 3: Giả sử x 0. Chứng minh rằng:
a. 2x – x2 ~ 2x
b.
3 2
c.
d.
~
x
x
sin
x
x
x
8~
x
e. (1
ln x 0 0) 1 ( x
x nx )
(n N)
nx x 0( ) 1
Bài 4: Giả sử x +. Chứng minh rằng: a. 2x3 + 106.x ~ 2x3
b. ln
3
3
c.
d.
x 0( 0) x )(
x x .cos x 0( x ) ~ 1 x
e.
f.
x
x
x
~
x
x ~ 3 2 x 1 x 2 x 1 arctan 3 x 1
Bài 5: So sánh bậc của các VCB sau đây:
2
a.
và
x ( ) 1 cos
x
và
b.
( )g x
f x ( )
1
x
, khi x +
x
sin ( ) x
x
c.
và
x , khi x 0 1 x
d.
và
f x ( ) ( )g x e , khi x + 1 x
, khi x
u x ( ) sin v x ( ) 1 x 1 x 1 2 x
Bài 6: Trong quá trình x 0, các đại lượng sau đây có bậc cao hơn hay thấp hơn so với x?
2
3
x3 ;
; sin5x ; x.e2x ;
x
(1
)
x 2 .cos .
x
tan
x ;
x
Bài 7: Tìm bậc của các VCB sau đây đối với VCB x khi x 0:
; x.cosx – sinx
2
sin
2
; 1 2cos
1x ; 1
x 2
1 x x ; tanx – sinx ;
GV bộ môn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Tổ bộ môn Toán lý – Khoa Vật lý – ĐH Sư phạm TpHCM
x 3
Bài tập: Giải tích 1 – Ngành: Sư phạm Vật lý và Vật lý học
2
2
Bài 8: Cho
. Chứng minh u(x) là VCB khi x 0. Có thể nói nó là
u x ( ) x 1 x
1 cos VCB bậc 2 hay không?
Bài 9: Tìm các giới hạn sau đây bằng cách thay VCB tương đương:
n
1.
(m, n là số nguyên)
2.
lim 0 x
x sin( m sin
) x
sin
x sin(3 ).arcsin(5 )
3.
4.
lim 0 x
lim 1 x
3
sin
x
x
2
2
lim x 0 tan
5.
6.
x x ln(sin ) 2
x
x
7.
8.
2
sin 2 x
arctan
lim x 0
lim x 0
lim x x 2 2 2 1 cos x x x .arctan 2
e
x
x
cos
3
3
arctan x x 2 x x sin lim x 0 x x ln(cos )
x
2
3
2
3
2
sin
x
2sin 1 arctan
x
ln 1 1 tan
9.
10.
x
2
3
lim 1 x
lim x 0
x
x
m
1
11.
l2.
n
lim x 0
x 1 ln(cos
2 ln cos 2 m 1 1
. 1 x n sin ) x x
3
n
3
x
x
cos
cos
x
x lim x 1 x 1
... 1
13.
14.
n
1
lim 0 x
lim 1 x
x 2 sin
x
1 1
x x
3cot
x
2
3
x
arcsin
15.
16.
lim 0 x
lim x 0
1 2 x 2 x sin( )
x x
x e 2 ln (1 3 ) x
2
1 sin cos 2 x x 1 sin cos3 2 x
e
x
x
17.
18.
lim x 0
lim x 0
2
2
x e
x
19.
20.
0)
( ,
1 cos 2 x .cos 4 x
x
x
lim x 2
cos 2 x 1 sin 1 sin
1 sin
; 3. 15 ; 4.
; 5.
Đáp số bài 9: 1. 0 (n > m) ; 1 (n = m) ; + (n < m) ; 2.
x 1 lim x 0
; 9. -2 ; 10. 0 ; 11.
; 12.
; 13.
; 14.
; 15.
; 16.
7.
5 2e ;
; 8. 4 3
; 6. -2 ; 1 2 2
17.
; 18.
; 19.
1
2 ; 20.
m n 1 !n 1 12 1 60
2 2
GV bộ môn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Tổ bộ môn Toán lý – Khoa Vật lý – ĐH Sư phạm TpHCM
1 2 2 m n
