Xử lý tín hiệu số_Chương II (Phần 1)

Chia sẻ: Le Ngoc Thin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

265
lượt xem 82
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kỹ thuật biến đổi là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu và hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian. Chương II sẽ tập trung vào việc giới thiệu phép biến đổi -Z, khai thác các tính chất cũng như tầm quan trọng của phép biến đổi này trong việc phân tích và mô tả đặc điểm của các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xử lý tín hiệu số_Chương II (Phần 1)

Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Chöông II BIEÅU DIEÃN TÍN HIEÄU VAØ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC TRONG MIEÀN Z 2.1 Môû Ñaàu Kyõ thuaät bieán ñoåi laø moät coâng cuï quan troïng trong phaân tích tín hieäu vaø heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian (LTI). Chöông II seõ taäp trung vaøo vieäc giôùi thieäu pheùp bieán ñoåi - Z, khai thaùc caùc tính chaát cuõng nhö taàm quan troïng cuûa pheùp bieán ñoåi naøy trong vieäc phaân tích vaø moâ taû ñaëc ñieåm cuûa caùc heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian. Khi phaân tích caùc tín hieäu rôøi raïc theo thôøi gian vaø heä thoáng LTI, bieán ñoåi - Z ñoùng vai troø töông töï nhö bieán ñoåi Laplace trong vieäc phaân tích caùc tín hieäu vaø heä thoáng lieân tuïc theo thôøi gian. Nhôø coù pheùp bieán ñoåi - Z maø quaù trình phaân tích ñaùp öùng cuûa heä thoáng ñoái vôùi caùc tín hieäu vaøo khaùc nhau ñöôïc ñôn giaûn hoùa ñi raát nhieàu. Theâm vaøo ñoù, bieán ñoåi - Z coøn cung caáp cho ta phöông tieän moâ taû heä thoáng LTI, ñaùp öùng cuûa heä thoáng ñoái vôùi caùc tín hieäu vaøo khaùc nhau qua caùc ñieåm cöïc_khoâng cuûa heä thoáng 2.2 Bieán Ñoåi - Z 2.2.1 Ñònh Nghóa Bieán Ñoåi - Z Hai Phía Vaø Moät Phía a. Bieán Ñoåi - Z Hai Phía : Bieán ñoåi - Z cuûa tín hieäu rôøi raïc theo thôøi gian ñöôïc ñònh nghóa qua moät daõy luyõ thöøa ∞ X(z) = ∑ x (n )z n = −∞ −n (2.1) trong ñoù z laø 1 bieán soá phöùc. Quan heä treân ñöôïc goïi laø bieán ñoåi - Z tröïc tieáp bôûi vì noù bieán ñoåi tín hieäu trong mieàn thôøi gian x(n) thaønh vieäc bieåu dieãn tín hieäu X(z) trong mieàn Z (töùc laø trong maët phaúng phöùc Z vì z laø bieán soá phöùc) vaø X(z) laø moät haøm phöùc cuûa bieán soá z Bieán ñoåi z cuûa x(n) ñöôïc moâ taû bôûi : X(z) = Z {x (n )} (2.2) Z ÔÛ ñaây quan heä giöõa x(n) vaø X(z) ñöôïc moâ taû bôûi : x(n) ← → X(z)  Ta thaáy raèng bieán ñoåi - Z laø moät chuoãi luõy thöøa voâ haïn, noù toàn taïi chæ ñoái vôùi caùc giaù trò z maø taïi ñoù chuoãi naøy hoäi tuï. Mieàn hoäi tuï ROC (Region of Convergence) cuûa X(z) bao goàm taát caû caùc giaù trò cuûa z maø ôû ñoù X(z) hoäi tuï. Ví duï 2.1 : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 45
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Haõy xaùc ñònh bieán ñoåi z cuûa caùc tín hieäu vôùi ñoä daøi höõu haïn sau : (a) x1(n) = { 2, 1, 3, 5} (b) x2(n) = {5, 2, 1, 4, 3} (c) x3(n) = δ (n ) (d) x4(n) = δ (n–no) (no > 0) (e) x5(n) = 3 δ (n+ 4) + δ (n+1) Giaûi : Töø ñònh nghóa (2.1) ta coù : (a) X1(z) = 2 + z-1 + 3z-2 + 5z-3 ROC toaøn boä maët phaúng Z, tröø z=0 (b) X2(z) = 5z2 + 2z1 + 1 + 4z–1 + 3z-2 ROC toaøn boä maët phaúng Z, tröø z = 0 vaø z = ∞ ∞ (c) X3(z) = ∑ δ (n) z −n = 1z0=1 n = −∞ ROC toaøn boä maët phaúng Z ∞ (d) X4(z) = ∑ δ (n-no)z −n = 1z n = −∞ −n o = z −n o (no > 0) ROC toaøn boä maët phaúng Z, tröø Z = 0 ∞ (e) X5(z) = ∑ [3δ (n + 4) + δ (n + 1)] z n = −∞ −n = 3z 4 + z1 ROC toaøn boä maët phaúng Z, tröø z= ∞ Nhaän xeùt : • Trong caùc ví duï treân ta coù theå thaáy caùc heä soá cuûa z-n ñöôïc ñöa ra trong pheùp bieán ñoåi chính laø caùc giaù trò cuûa tín hieäu ôû taïi thôøi ñieåm thöù n. Noùi moät caùch khaùc, soá muõ cuûa z trong pheùp bieán ñoåi coù chöùa thoâng tin veà thôøi gian xaùc ñònh maãu cuûa tín hieäu. • Trong raát nhieàu tröôøng hôïp, bieåu thöùc cuûa bieán ñoåi z döôùi daïng toång cuûa caùc chuoãi voâ haïn hoaëc höõu haïn coù theå ñöôïc bieåu dieãn baèng moät bieåu thöùc ôû daïng ngaén goïn. Haõy xeùt ví duï döôùi ñaây : Ví duï 2.2 : Haõy tìm bieán ñoåi Z cuûa tín hieäu Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 46
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z n 1 x(n) =   u(n)  2 Im(z) Giaûi : Ta xaùc ñònh tín hieäu x(n). Maët phaúng Z  2  1 1 1 3 n 1   ROC x(n) = 1, ,   ,   , L ,   ... 1/2  2  2  2   2   Re(z) 1 1 2 n  1  -n 0 X(z) = 1+   z-1 +   z-2 +   z …  2  2  2 ∞ n ∞ n 1 1  = ∑   z-n = ∑  2 z −1  n =0  2  n =0   Hình 2.1 1 1 Vôùi caùc giaù trò cuûa z ñeå cho z −1 < 1 hay z > thì 2 2 X(z) seõ hoäi tuï ñeán hình 2.1 1 1 X(z)= ROC z > 1 2 1 − z −1 2 b. Bieán ñoåi - Z moät phía : Bieán ñoåi - Z moät phía cuûa daõy x(n) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : ∞ X(z) = ∑ x(n)z-n (2.3) n =0 Söï khaùc nhau giöõa bieán ñoåi Z moät phía vaø hai phía : • Toång theo n chæ chaïy töø 0 ñeán ∞ • Khoâng bieãu dieãn ñöôïc tín hieäu x(n) ñoái vôùi mieànbieán soá ñoäc laäp aâm (n< 0) Ví duï 2.3: Tìm bieán ñoåi Z moät phía cuûa tín hieäu sau : x(n) = 2 δ (n+2)+ δ (n)+ 3 δ (n-1) ∞ X(z) = ∑ x(n) z-n = 1+ 3z-1 ROC : z ≠ 0 n =0 2.2.2 Söï Toàn Taïi Cuûa Bieán Ñoåi Z Theo ñònh nghóa ROC ôû treân, taäp hôïp taát caû caùc giaù trò cuûa z maø taïi ñoù chuoãi : ∞ X(z) = ∑ x(n)z-n hoäi tuï ñöôïc goïi laø mieàn hoäi tuï ROC cuûa bieán ñoåi Z. n = −∞ Ñeå tìm mieàn hoäi tuï, ta thöôøng söû duïng tieâu chuaån Cauchy. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 47
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z a. Phaùt bieåu tieâu chuaån Cauchy : Tieâu chuaån Cauchy khaúng ñònh raèng moät chuoãi ∞ coù daïng : ∑ xn = x0 + x1 + x2 + . . . (2.4) n =0 hoäi tuï neáu ñieàu kieän sau ñaây ñöôïc thoaû maõn : 1 lim n →∞ xn n R x töùc laø beân ngoaøi voøng troøn, taâm laø goác toïa ñoä − coù baùn kính laø R x trong maët phaúng phöùc Z nhö hình 2.2 − −1 Xeùt chuoãi : X1(z) = ∑ x(n)z n = −∞ −n Ñaët m = – n Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 48
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z ∞ ∞ X1(z) = ∑ x(−m)z m =1 m = – x(0) + ∑ x ( − m) m =0 Im(z) Ñieàu kieän hoäi tuï cuûa chuoãi X1(z) laø : Rx + 1 ROC2 Re(z) lim x(−m)z m m
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z N2 α N −α N 1 2 +1 Duøng coâng thöùc : ∑α k = k = N1 1−α Vì N2 laø ∞ neân muoán chuoãi hoäi tuï ta phaûi coù ñieàu kieän α < 1 nghóa laø : 1 az −1 < 1 hay a < z . Luùc naøy X(z) = . 1 − az −1 1 Vaäy X(z) = vôùi ROC a < z . 1 − az −1 Ví duï 2.6 : Tìm bieán ñoåi Z cuûa tín hieäu x(n) x(n) = – an u[–n–1] n ∑ (a.z ) −1 −1 X(z) = ∑ − a n .Z−n = – n = −∞ n = −∞ −1 Ta thaáy ngay muoán chuoãi soá hoäi tuï thì ta phaûi coù ñieàu kieän a.z −1 > 1 hay laø a > z luùc 1 naøy X(z) = . 1 − az −1 Töø 2 ví duï treân, ta coù keát quaû sau : 1 x(n) = anu(n) → X(z) = 1 − az −1 ROC z > a 1 x(n) = –anu(–n–1) → X(z) = 1 − az −1 ROC z < a 2.2.3 Cöïc Vaø Khoâng Trong thöïc teá, ta thöôøng gaëp caùc bieán ñoåi Z laø moät haøm höõu tyû cuûa z : N(z) X(z) = (2.7) D( z ) a. Ñònh nghóa khoâng (zeros) Taïi caùc ñieåm z = zor ta coù z(zor) = 0 thì caùc ñieåm ñoù goïi laø caùc khoâng cuûa X(z). Vaäy nghieäm cuûa töû soá N(z) chính laø khoâng cuûa X(z). Neáu N(z) laø ña thöùc baäc M thì X(z) coù M khoâng. b. Ñònh nghóa cöïc (poles) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 50
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Taïi caùc ñieåm z = zpk ta coù X(zpk) = ∞ thì caùc ñieåm ñoù goïi laø cöïc cuûa X(z).Vaäy nghieäm cuûa maãu soá D(z) chính laø cöïc cuûa X(z). Neáu D(z) laø ña thöùc baäc N thì X(z) coù N cöïc. Ví duï 2.7 : Cho tín hieäu x(n) = δ (n) + 3 δ (n-1) +2 δ (n-2). Haõy tìm X(z), mieàn hoäi tuï, caùc cöïc vaø caùc khoâng cuûa X(z). Giaûi : ∞ X(z) = ∑ x(n)z-n = 1 + 3z-1 + 2z-2 ROC: z ≠ 0 n = −∞ Tìm cöïc vaø khoâng : Im(z) z 2 + 3z + 2 (z + 1)(z + 2) X(z) = = zp1 = zp2 z2 z2 Vaäy X(z) coù 2 khoâng taïi: z01 = -1 ; z02 = -2 Z02 Z01 Re(z) X Vaø coù 1 cöïc keùp taïi: z = 0 ; zp1 = zp2 = 0 –2 –1 Vò trí cuûa caùc cöïc vaø khoâng cho bôûi hình 2.4 : Hình 2.4 Nhaän xeùt : • Mieàn hoäi tuï cuûa X(z) khoâng chöùa cöïc cuûa X(z) vì taïi caùc cöïc X(z) khoâng xaùc ñònh. • Trong maët phaúng phöùc Z caùc cöïc seõ ñöôïc kyù hieäu baèng daáu gaïch cheùo (X), coøn caùc khoâng ñöôïc kyù hieäu baèng caùc khuyeân nhoû (o). ° X(z) coù theå ñöôïc bieåu dieãn chính xaùc bôûi caùc cöïc vaø khoâng. 2.3 Caùc Tính Chaát Cuûa Bieán Ñoåi Z Bieán ñoåi Z laø moät coâng cuï ñöôïc söû duïng raát hieäu quaû khi nghieân cöùu tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc theo thôøi gian. Taàm quan troïng cuûa pheùp bieán ñoåi Z xuaát phaùt töø moät soá tính chaát raát quan troïng cuûa noù. Trong phaàn naøy ta seõ nghieân cöùu moät soá tính chaát cuûa bieán ñoåi naøy. 2.3.1 Tính Tuyeán Tính z neáu x1(n) ← → X1(z)  z x2(n) ← → X2(z)  z thì x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) ← → X(z) = a1X1(z) + a2X2(z)  (2.8) vôùi a1 , a2 laø 2 haèng soá baát kyø ROC cuûa X(z) laø phaàn giao cuûa ROC cuûa X1(z) vaø X2(z). Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 51
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Ví duï 2.8 : Xaùc ñònh bieán ñoåi z vaø ROC cuûa tín hieäu x(n) = [ 3(2n) – 4(3n) ]u(n) Neáu ta ñònh nghóa caùc tín hieäu : x1(n) = 2nu(n) vaø x2(n) = 3nu(n) Thì x(n) coù theå bieåu dieãn döôùi daïng x(n) = 3x1(n) - 4x 2 (n) Theo tính chaát tuyeán tính bieán ñoåi Z cuûa x(n) seõ laø: X(z) = 3X1(z) - 4X2(z) * Xaùc ñònh X1(z) : 1 x1(n) = 2nu(n) → X1(z) = vôùi ROC1: z > 2 1 − 2z −1 * Xaùc ñònh X2(z) : 1 x 2 (n) = 3nu(n) → X2(z) = vôùi ROC2: z > 3 1 − 3z −1 Giao cuûa hai mieàn hoäi tuï cuûa X1(z) vaø X2(z) laø z > 3, nhö vaäy : 3 4 X(z) = −1 - vôùi ROC: z > 3 1 − 2z 1 − 3z −1 Chuù yù raèng neáu coù caùc ñieåm “khoâng” xuaát hieäntrong quaù trình toå hôïp tuyeán tính, maø caùc ñieåm khoâng naøy laïi buø vaøo moät soá ñieåm cöïc cuûa X1(z) hay X2(z), luùc ñoù mieàn hoäi tuï cuûa X(z) coù theå seõ lôùn hôn, nhö ví duï sau: Ví duï 2.9 : Xaùc ñònh bieán ñoåi Z vaø ROC cuûa tín hieäu sau x(n) = anu(n) – anu(n – 1) ;a>0 1 Ñaët x1(n) = anu(n) → X1(z) = ;ROC1: z > a 1 − az −1 ∞ ∞ x2(n) = anu(n – 1) → X2(z) = ∑n =1 an z-n = ∑ n =0 an z-n – 1 1 az −1 = -1= ;ROC2: z > a 1 − az −1 1 − az −1 AÙp duïng tính chaát tuyeán tính ta coù : 1 az −1 X(z) = X1(z) - X2(z) = - =1 ;ROC toaøn boä maët phaúng Z 1 − az −1 1 − az −1 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 52
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 2.3.2 Tính Dòch Chuyeån Theo Thôøi Gian z Neáu x(n) ← → X(z)  z Thì x(n – k) ← → z-kX(z)  (2.9) Mieàn hoäi tuï cuûa z-kX(z) cuõng gioáng nhö mieàn hoäi tuï cuûa X(z) ngoaïi tröø z = 0 neáu k > 0 vaø z = ∞ neáu k < 0 ∞ z Chöùng minh : x(n – k) ← → Y(z) =  ∑ x(n – k)z-n n = −∞ ∞ =z -k ∑ n = −∞ x(n – k) z-(n – k) = z-k X(z) Tính chaát tuyeán tính vaø tính chaát dòch chuyeån theo thôøi gian ñöôïc xem nhö chìa khoùa cô baûn ñeå thöïc hieän bieán ñoåi Z khi phaân tích caùc heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian. Ví duï 2.10 : Tìm bieán ñoåi Z cuûa tín hieäu sau : x(n) = anu(n – 1) 1 Ta bieát raèng x1(n) = anu(n) → X1(z) = vôùi ROC1: z > a 1 − az −1 Nhö vaäy x(n) = anu(n – 1) = a an-1 u(n – 1) x(n) = a x1(n – 1) Theo tính dòch chuyeån theo thôøi gian, ta coù az −1 X(z) = a z-1 X1(z) = vôùi ROC: z > a 1 − az −1 2.3.3 Nhaân Vôùi Haøm Muõ an z Neáu x(n) ← → X(z)  vôùi ROC : r1 < z < r2 z Thì an x(n) ← → X(a-1 z)  vôùi ROC : ar1 < z < ar2 (2.10) Chöùng minh : ∞ ∞ z an x(n) ← → Y(z) =  ∑ an x(n) z-n = ∑ x(n) (a-1 z)-n = X(a-1 z) n = −∞ n = −∞ Neáu ROC cuûa X(z) laø : r1 < z < r2 Ta suy ra ROC cuûa X(a-1 z) laø : r1 < a −1z < r2 hay ar1 < z < ar2 Ví duï2.11 : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 53
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Tìm bieán ñoåi Z cuûa tín hieäu x(n) = an(cosωon) u(n) Tröôùc heát ta tìm bieán ñoåi Z cuûa tín hieäu x1(n) = (cosωon) u(n) Theo coâng thöùc Euler, ta coù: 1 ejωon 1 e− jω o n x1(n) = (cosωon) u(n) = u(n) + u(n) 2 2 1  1  1  1  Vaäy X1(z) = . jω o −1  + . − jω o −1  ;ROC z > 1 2 1 − e z  2 1 − e z  1 − z −1 cos ω o X1(z) = ;ROC z > 1 1 − 2z −1 cos ω o + z −2 Töø ñoù ta suy ra X(z) = X1(a-1 z) 1 − az −1 cos ω o X(z) = ;ROC z > a 1 − 2az −1 cos ω o + a 2 z −2 2.3.4 Ñaïo Haøm Cuûa Bieán Ñoåi Z Neáu x(n) ← z X(z) → ;ROC : r1 < z < r2 dX (z) Thì n x(n) ← z -z → ;ROC : r1 < z < r2 (2.11) dz Chöùng minh : ∞ X(z) = ∑ x(n) z-n n = −∞ dX (z) ∞ ∞ = ∑ x(n)(-n) z-n-1 = -z-1 ∑ n x(n) z-n dz n = −∞ n = −∞ dX (z) ∞ Vaäy -z = ∑ n x(n) z-n dz n = −∞ Ví duï 2.12 : Haõy xacù ñònh bieán ñoåi Z cuûa tín hieäu x(n) = n an u(n) Giaûi : Ta ñaõ bieát raèng : 1 x1(n) = an u(n) ↔ X1(z) = vôùi ROC: z > a (1 − az −1 ) 2 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 54
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Vaäy x(n) = nanu(n) = n.x1(n) dX1 (z) az −1 Suy ra X(z) = -z = vôùi ROC: z > a dz 1 − az −1 2.3.5 Laáy Bieán Ñaûo z Neáu x(n) ← → X(z)  vôùi ROC: r1 < z < r2 z 1 1 Thì x(-n) ← → X(z-1)  vôùi ROC: < z< (2.12) r2 r1 Chöùng minh : Töø ñònh nghóa ta coù : ∞ z x(-n) ← → X1(z) =  ∑ x(-n) z-n n = −∞ ∞ ∞ Ñaët m = -n → X1(z) = ∑ m = −∞ x(m) zm = ∑ m = −∞ x(m) (z-1)-m = X(z-1) ROC cuûa X1(z) laø r1 < z −1 < r2 1 1 hay < z < r2 r1 2.3.6 Daõy Lieân Hôïp Phöùc Giaû söû ta coù hai daõy sau ñaây x(n) vaø x*(n), ôû ñaây daáu * coù nghóa laø lieân hôïp phöùc. Ta phaûi tìm moái quan heä bieán ñoåi Z cuûa 2 daõy naøy ∞ Ta coù X(z) = ∑ n = −∞ x(n) z-n ∞ x 1 (n) = x*(n) ↔ X1(z) = ∑ n = −∞ x*(n)z-n ∗  ∞  ∞ X (z) =  ∑ x (n )z − n  = ∑ x*(n) (z*)-n *  n = −∞  n =−∞ ∞ X*(z*) = ∑ n = −∞ x*(n) z–n = X1(z) Vaäy x*(n) ← z X*(z*) → (2.13) AÙp duïng tính chaát 2.3.5 ta cuõng coù keát quaû sau : 1 x*(-n) ← z X*( → ) z∗ 2.3.7 Tích Chaäp Cuûa Hai Daõy Neáu x1(n) ← z → X1(z) x2(n) ← z → X2(z) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 55
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Thì x(n) = x1(n)* x2(n) ← z X(z) = X2(z).X1(z) → ROC cuûa X(z) ít nhaát seõ laø giao cuûa caùc mieàn hoäi tuï cuûa X1(z) vaø X2(z). Mieàn naøy coù theå roäng hôn neáu caùc ñieåm khoâng cuûa X1(z) buø cho caùc cöïc cuûa X2(z) hoaëc ngöôïc laïi Chöùng minh : Theo ñònh nghóa, tích chaäp cuûa x1(n) vaø x2(n) laø ∞ x(n) = ∑ k = −∞ x1(k) x2(n – k) ∞ ∞ ∞ Vaäy X(z) = ∑ n = −∞ x(n) z-n = ∑ ∑ n = −∞ k = −∞ x1(k) x2(n – k) z-n Neáu thay ñoåi thöù töï cuûa caùc toång, ta nhaän ñöôïc ∞ ∞ ∞ ∞ X(z) = ∑ k = −∞ x1(k) ∑ n = −∞ x2(n – k) z = -n ∑ k = −∞ -k x1(k) z ∑ n = −∞ x2(n – k) z-(n-k) = X1(z).X2(z) Ví duï 2.13 : x1(n) = { 1, -2, 1 } 1 khi 0 ≤ n ≤ 5 x2(n) = 0 n coøn laïi Tìm tích chaäp cuûa hai tín hieäu treân. Giaûi : → X1(z) = 1 – 2 z-1 + z-2 x1(n) = { 1, -2, 1 } ← z x2(n) ← z X2(z) = 1 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + z-5 → Vaäy x(n) = x1(n)*x2(n) ← z X(z) = X2(z) X1(z) → X(z) = (1 – 2 z-1 + z-2) (1 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + z-5) = 1 - z-1 - z-6 + z-7 Vaäy x(n) = { 1, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 1 } Tính chaát naøy laø moät trong nhöõng tính chaát quan troïng cuûa bieán ñoåi Z bôûi vì noù cho pheùp chuyeån tích chaäp cuûa 2 tín hieäu trong mieàn thôøi gian thaønh tích cuûa caùc bieán ñoåi Z cuûa chuùng. Phöông phaùp naøy trong raát nhieàu tröôøng hôïp seõ cho pheùp xaùc ñònh tích chaäp cuûa 2 tín hieäu moät caùch deå daøng hôn so vôùi vieäc söû duïng coâng thöùc cuûa tích chaäp trong mieàn thôøi gian. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 56
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z 2.3.8 Tích Cuûa Hai Daõy Neáu x1(n) ← z X1(z) → x2(n) ← z X2(z) → 1  z  −1 Thì x(n) = x1(n).x2(n) ← z → X(z) = ∫C X1 (v)X 2  v v dv (2.14) 2πj   Chöùng minh : ∞ ta coù x(n) ← z X(z) = → ∑ n = −∞ x1(n) x2(n) z-n 1 n-1 maø x1(n) = X 1 (v) v dv 2πj ∫C trong ñoù C laø ñöôøng cong kheùp kín bao quanh goác toïa ñoä cuûa maët phaúng phöùc Z theo chieàu döông. (Xem phaàn bieán ñoåi Z ngöôïc) Vaäy ∞ ∞ 1 1 X(z)= ∑ n = −∞ 2πj ∫C n-1 -n X 1 (v) v dv x2(n) z = 2πj ∫C X 1 (v) ∑ v x2(n) z dv n = −∞ n-1 -n ∞ −n 1  z  -1 = ∫c X1 (v) ∑ x2(n)   v dv 2πj n = −∞  v ∞ −n z z nhöng ∑ n = −∞ x2(n)   = X2    v  v 1  z  -1 Vaäy X(z) = ∫C X1 (v) X2  v  v dv 2πj   Ñeå tìm ñöôïc ROC cuûa X(z) ta löu yù laø : Neáu * ROC1 cuûa X1(v) laø r1l < v < r1u z * ROC2 cuûa X2  z  laø r2l <   < r2u  v v * ROC cuûa X(z) laø r1lr2l < z < r1ur2u Maëc duø tính chaát naøy khoâng söû duïng ngay nhöng sau naøy chuùng ta seõ duøng tôùi noù khi xöû lyù vieäc thieát keá caùc maïch loïc cô baûn baèng kyõ thuaät cöûa soå. 2.3.9 Ñònh Lyù Giaù Trò Ñaàu Neáu x(n) laø daõy nhaân quaû nghóa laø x(n) = 0 vôùi n< 0) thì x(0)= lim X(z) z→∞ Chöùng minh : vì x(n) laø daõy nhaân quaû neân ta coù Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 57
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z ∞ X(z) = ∑ x(n) z-n = x(0) + x(1) z-1 + x(2)z-2 + . . . n =0 Roõ raøng khi z→∞ thì z-n→ 0 vôùi n> 0 Vaäy lim X(z) = x(0) z→∞ 2.3.10 Caùc Tính Chaát Quan Troïng Cuûa Bieán Ñoåi Z Baûng 2.1 • Baûng 2.1 : Caùc tính chaát cuûa bieán ñoåi Z Tính chaát Mieàn thôøi gian Mieàn Z ROC x(n) X(z) r2 < z < r1 Kyù hieäu x1(n) X1(z) ROC1 x2(n) X2(z) ROC2 Tuyeán tính a1x1(n) + a2x2(n) a1X1(z) + a2X2(z) ROC1 I ROC2 Gioáng nhö cuûa X(z) Tính dòch -k x(n - k) z X(z) tröø z=0 neáu k> 0 vaø chuyeån z=∞ neáu k< 0 Nhaân vôùi anx(n) X(a-1 z) a r2 < z < a r1 haøm muõ Tính ñaûo thôøi 1 1 x(-n) X(z-1) < z < gian r1 r2 Lieân hôïp x* (n) X*(z*) ROC phöùc Ñaïo haøm nx(n) -z dX(z) r2 < z < r1 trong mieàn Z dz Tích chaäp x1(n) * x2(n) X1(z) X2(z) ROC1 I ROC2 1  z  -1 Pheùp nhaân x1(n) x2(n) 2πj ∫C X1 (v) X2  v  v dv   r1lr2l < z < r1ur2u x(n) laø tín hieäu x(0) = lim X(z) Giaù trò ñaàu nhaân quaû z→∞ 2.3.11 Moät Vaøi Caëp Bieán Ñoåi Z Thoâng Duïng Ñöôïc Cho Trong Baûng 2.1 Baûng 2.2 : Moät vaøi caëp bieán ñoåi Z thoâng duïng Tín hieäu x(n) Bieán ñoåi Z, X(z) ROC Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 58
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z δ(n) 1 Toaøn boä maët phaúng Z 1 u(n) z >1 1 − z −1 1 anu(n) z > a 1 − az −1 az −1 n na u(n) z> a (1 − az ) −1 2 1 – anu(–n–1) z < a 1 − az −1 az −1 n – na u(–n–1) z < a (1 − az ) −1 2 1 − z −1 cos ω o (cosωon)u(n) z >1 1 − 2z −1 cos ω o + z −2 z −1 sin ω o (sinωon)u(n) z >1 1 − 2 z −1 cos ω o + z − 2 1 − az −1 cos ω o n (a cosωon)u(n) z > a 1 − 2az −1 cos ω o + a 2 z − 2 az −1 sin ω o n (a sinωon)u(n) z > a 1 − 2az −1 cos ω o + a 2 z − 2 2.4 Bieán Ñoåi Z Ngöôïc Thoâng thöôøng, khi chuùng ta coù bieán ñoåi Z cuûa moät daõy naøo ñoù, töùc laø chuùng ta ñaõ bieåu dieãn daõy x(n) trong mieàn Z. Sau khi khaûo saùt giaùn tieáp daõy trong mieàn Z, chuùng ta caàn phaûi ñöa noù trôû veà mieàn bieán soá ñoäc laäp töï nhieân, töùc laø chuùng ta phaûi tìm x(n) töø bieán ñoåi Z cuûa noù. Bieán ñoåi Z ngöôïc seõ giuùp chuùng ta thöïc hieän coâng vieäc naøy. Ñònh lyù Cauchy, moät ñònh lyù quan troïng trong lyù thuyeát bieán soá phöùc seõ cho ta coù cô sôû ñeå xaây döïng coâng thöùc cuûa bieán ñoåi Z ngöôïc. 2.4.1 Ñònh Lyù Cauchy Ñònh lyù naøy ñöôïc phaùt bieåu qua coâng thöùc : 1 1 vôùi n = 0 ∫Cz .dz =0 n −1 (2.15) 2πj  vôùi n ≠ 0 ÔÛ ñaây C laø ñöôøng cong kheùp kín bao quanh goác toïa ñoä cuûa maët phaúng phöùc Z theo chieàu döông (ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà). Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 59
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z ∞ z Ta coù x(n) ← → X(z) =  ∑ x(k) z-k k = −∞ Nhaân 2 veá cuûa X(z) vôùi zn-1 vaø laáy tích phaân theo chieàu daøi ñöôøng cong (C) bao quanh goác toïa ñoä vaø naèm trong mieàn hoäi tuï cuûa X(z) hình 2.5, ta coù : (C) ∞ ∫ ∑ n-1 ∫ X (z) z dz = x(k) z-k zn-1 dz r2 C C k = −∞ ∞ = ∫ ∑ C x(k)zn-1-k dz r1 k = −∞ Hình 2.5 Bôûi vì tích phaân laáy trong mieàn hoäi tuï cuûa X(z) do vaäy chuoãi treân laø hoäi tuï. Ta coù theå vieát laïi: ∞ ∫C X (z) z n-1 dz = ∑ x (k ) ∫ z k = −∞ C n −1− k dz Theo ñònh lyù Cauchy thì: 1 1 vôùi n = k ∫Cz dz =0 n −1− k 2πj  vôùi n ≠ k Töø ñoù ta coù : n-1 ∫ X (z) z C dz = 2πjx(n) Suy ra 1 n-1 x(n) = ∫C X(z) z dz 2πj Trong thöïc teá coâng thöùc naøy haàu nhö ít ñöôïc söû duïng do tính chaát phöùc taïp cuûa pheùp laáy tích phaân. Trong thöïc teá coù 3 phöông phaùp thöôøng ñöôïc söû duïng ñeå tính bieán ñoåi Z ngöôïc. 2.4.2 Phöông Phaùp Thaëng Dö : Phöông phaùp tính tröïc tieáp tích phaân baèng caùch söû duïng lyù thuyeát thaëng dö. Ñònh lyù thaëng dö : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 60
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Giaû söû raèng f(z) laø haøm cuûa bieán soá phöùc z vaø C laø ñöôøng cong kheùp kín trong maët df (z) phaúng Z. Neáu toàn taïi ôû treân vaø beân trong ñöôøng cong naøy vaø f(z) khoâng coù cöïc dz taïi z = zo thì : 1 f (z) f (z ) neáu z0 naèm trong C (2.16) 2πj ∫C z − z o dz =  0 0 neáu z0 naèm ngoaøi C Trong tröôøng hôïp toång quaùt, neáu toàn taïi ñaïo haøm baäc (k – 1) cuûa f(z) vaø f(z) khoâng coù cöïc taïi z = zo thì :  1 d k −1f (z) 1 f (z)  neáu z0 naèm trong C ∫C (z − z o ) k dz =  (k − 1)! dz k −1 z =z0 (2.17) 2πj 0  neáu z0 naèm ngoaøi C Giaù trò beân veá phaûi cuûa caùc coâng thöùc treân ñöôïc goïi laø giaù trò thaëng dö taïi z = zo. f (z) Giaû söû haøm bò laáy tích phaân laø P(z) = trong ñoù f(z) khoâng coù caùc cöïc naèm beân g (z) trong C vaø g(z) coù caùc nghieäm zi trong C thì : 1 f (z) 1 n A i (z) 2πj ∫C g(z) dz = 2πj ∫C ∑z−z i =1 dz i n = ∑ A i (zi ) i =1 f (z) n A i (z i ) Trong ñoù Ai(zi) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : g (z) = ∑ z−z i =1 i f (z) Suy ra ngay : Ai(zi) = (z – zi) laø giaù trò thaëng dö cuûa cöïc z = zi g(z) z =zi Vaäy giaù trò cuûa tích phaân theo ñöôøng cong kheùp kín seõ baèng toång caùc giaù trò thaëng dö cuûa taát caû caùc cöïc beân trong ñöôøng cong C. Trong tröôøng hôïp g(z) coù nghieäm boäi thì : 1 f (z) 1 n A (z) n 1 d k −1A i (z) 2πj ∫C g(z) dz = 2πj ∫C ∑ (z −i z ) k dz = i =1 ∑ (k − 1)! dz k−1 i =1 (2.18) i z = zi Vaäy giaù trò thaëng dö taïi cöïc zi trong tröôøng hôïp naøy laø : 1 d k −1A i (z) f (z) lim Vôùi Ai = (z – zi)k z→zi ( k − 1)! dz k −1 g (z) Ví duï 2.14 : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 61
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z Tìm bieán ñoåi ngöôïc cuûa haøm soá sau : 1 X(z) = vôùi ROC: z > a 1 − az −1 1 1 z n −1 1 zn Ta coù x(n) = X(z)z n −1 dz = dz = dz 2πj ∫C 2πj ∫C 1 − az −1 2πj ∫C z − a C laø moät ñöôøng cong kín bao quanh goác toaï ñoä cuûa maët phaúng phöùc naèm trong ROC nghóa laø beân ngoaøi ñöôøng troøn baùn kính z = a. Ta phaân bieät hai tröôøng hôïp : *Tröôøng hôïp 1 : n≥ 0 zn Haøm soá coù cöïc z = a. Giaù trò thaëng dö taïi z = a laø : z−a zn A(a) = lim (z – a) = an z→ a z−a Vaäy x(n) = an u(n) *Tröôøng hôïp 2 : n< 0 zn 1 1 Haøm soá ñöôïc vieát laïi : −n = n' (n’ = -n) z−a z (z − a ) z (z − a ) Vaäy ta coù cöïc ñôn z = a, cöïc boäi baäc n’, z = 0. → Giaù trò thaëng dö taïi cöïc ñôn z = a : 1 1 A(a) = lim (z – a) = n ' = an z →a z (z − a ) n' a → Giaù trò thaëng dö taïi cöïcboäi baäc n’, z= 0 laø : 1 d n ' −1 1 lim z →0 (n '−1)! dz n '−1 z − a d n ' −1  1  n’-1 ( n '−1)! maø n ' −1   = (-1) dz  z−a  (z − a ) n ' Vaäy giaù trò thaëng dö taïi z = 0 laø : 1 (n '−1)! (−1) n ' −1  1  n’ lim (-1)n’-1 = =-   = -a n z →0 (n '−1)! (z − a ) n ' ( −a ) n '  a → Vaäy x(n) = (giaù trò thaëng dö taïi z = a + giaù trò thaëng dö taïi z = 0) = an- an=0. Toùm laïi : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 62
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z x[n] = an u[n] 2.4.3 Xaùc Ñònh Bieán Ñoåi Ngöôïc Baèng Phöông Phaùp Khai Trieån Thaønh Phaân Thöùc Toái Giaûn Trong phöông phaùp naøy, X(z) ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng toå hôïp tuyeán tính X(z) = α1X1(z) + α2X2(z) + . . . + αkXk(z) (2.19) Trong ñoù X1(z), X2(z), . . .Xk(z) laø bieåu thöùc vôùi bieán ñoåi ngöôïc x1(n), x2(n). . .xk(n) ñaõ ñöôïc cho tröôùc trong baûng bieán ñoåi Z. Luùc naøy x(n) laø bieán ñoåi ngöôïc cuaû X(z) seõ ñöôïc xaùc ñònh thoâng qua tính chaát tuyeán tính : x(n) = α1 x1(n) + α2x2(n) +. . . . + αkxk(n) (2.20) Treân thöïc teá phöông phaùp naøy ñöôïc söû duïng raát hieäu quaû neáu X(z) ñöôïc bieåu dieãn 1 qua cacù phaân thöùc −1 vôùi pk laø ñieåm cöïc thöù k cuûaX(z), vì ta bieát bieán ñoåi 1 − pkz ngöôïc cuûa phaân thöùc treân laø : (pk)nu(n) neáu ROC z > p k (tín hieäu nhaân quaû) n -(pk) u(-n-1) neáu ROC z < p k (tín hieäu khoâng nhaân quaû) ta coù daïng khai trieån cuûa X(z) laø : N (z) b 0 + b 1 z −1 + ... + b M z − M X (z) = = (2.21) D( z ) 1 + a 1 z −1 + ... + a N z − N * aN ≠ 0 vaø M < N nhaân hai veá cho zN ta coù : b 0 z N + b 1 z N −1 + ... + b M z N − M X (z) = (2.22) z N + a 1 z N −1 + ... + a N * N > M : chia hai veá phöông trình cho z X( z) b 0 z N −1 + b1 z N − 2 + ... + b M z N − M −1 = (2.23) z z N + a 1 z N −1 + ... + a N Giaû söû haøm X(z) coù chöùa ñieåm cöïc p1, p2, … , pN. Ta coù : X( z) A1 A2 A = + + ... + N z z − p1 z − p 2 pN 1 1 1 hay X(z) = −1 A1 + A2 + . . . . + An 1 − p1z 1 − p2z −1 1 − p n z −1 nhaân hai veá phöông trình cho (z - pk), vôùi k = 1, 2, … , N, suy ra Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 63
Chöông 2 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Z (z − p k )X(z) (z − p k )A 1 (z − p k )A N = + A k + ... + (2.24) z z − p1 z − pN khi z = pk , heä soá thöù k laø (z − p k )X(z) Ak = k = 1, 2, ..., N z z = pk ROC cuûa x(n) seõ ñöôïc xaùc ñònh töø ROC chung cuûa caùc tín hieäu x1(n), x2(n). . . xn(n) → Tröôøng hôïp X(z) coù caùc cöïc boäi. Tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát laø cöïc boäi baäc 2, thì pz −1 caùc phaân thöùc coù daïng : coù bieán ñoåi ngöôïc laø npn u(n) vôùi ROC laø (1 − pz ) −1 2 z>p. Ví duï 2.15 : Cho bieåu thöùc sau 1 + z −1 X (z) = 1 − z −1 + 0,5z − 2 Giaûi : Nhaân hai veá cuûa phöông trình cho z2. Ta coù X( z) z +1 = z 1 − z + 0,5z − 2 −1 1 1 1 1 cöïc cuûa X(z) laø daïng phöùc p 1 = + j vaø p 2 = − j 2 2 2 2 khi p1 ≠ p2, töø coâng thöùc (2.14), ta coù : X( z) (z + 1) A1 A2 = = + z (z − p1 )(z − p 2 ) z − p1 z − p 2 ta tính giaù trò A1 vaø A2. 1 1 + j +1 (z − p1 )X(z) z +1 2 2 1 3 A1 = = = = −j z z = p1 z - p 2 z = p1 1 1 1 1 2 2 −j − −j 2 2 2 2 1 1 − j +1 ( z − p 2 )X (z) z +1 2 2 1 3 A0 = = = = +j z z = p2 z - p1 z = p1 1 1 1 1 2 2 −j − −j 2 2 2 2 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 64