PHẦN I: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
CHƯƠNG I: ĐƯỜNG THẲNG
I) CÁC KHÁI NI M C B N:Ệ Ơ Ả
Bài1: Cho véct ơ
m
= (1; 2)
n
= (-2; 3)
1) Tìm góc gi a các c p véct sau: ữ ặ ơ
m
và
n
; 3
m
+
n
và
m
- 2
n
2) Tìm a và b sao cho a
m
+ b
n
⊥
n
Bài2: Cho ba đi m A(0; 1)ểB(-1; -1) C(-1; 2)
1) Ch ng minh r ng: Ba đi m A, B, C không th ng hàng.ứ ằ ể ẳ
2) Tính chu vi và di n tích c a ệ ủ ∆ABC.
3) Tìm to đ tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ng tròn ngo i ti p c a ạ ộ ọ ự ườ ạ ế ủ ∆ABC.
II) PH NG TRÌNH Đ NG TH NG:ƯƠ ƯỜ Ẳ
Bài1: Vi t ph ng trình đ ng th ng d trong các tr ng h p sau:ế ươ ườ ẳ ườ ợ
1) Đi qua đi m A(1; 1) có h s góc k = 2.ể ệ ố
2) Đi qua đi m B(1; 2) và t o v i h ng d ng c a tr c Ox 1 góc 30ể ạ ớ ướ ươ ủ ụ 0.
3) Đi qua C(3; 4) và t o v i tr c Ox m t góc 45ạ ớ ụ ộ 0.
Bài2: Vi t ph ng trình các c nh và đ ng trung tr c c a ế ươ ạ ườ ự ủ ∆ABC bi t trung đi m c a 3 c nh AB, AC, BCế ể ủ ạ
theo th t là M(2; 3) N(4; -1) P(-3; 5). ứ ự
Bài3: Cho ∆ABC v i tr c tâm H. Bi t ph ng trình c nh AB là: x + y - 9 = 0, các đ ng cao qua đ nh Aớ ự ế ươ ạ ườ ỉ
và B l n l t là (dầ ượ 1): x + 2y - 13 = 0 và (d2): 7x + 5y - 49 = 0.
1) Xác đ nh to đ tr c tâm H và ph ng trình CH.ị ạ ộ ự ươ
2) Vi t ph ng trình c nh BC.ế ươ ạ
3) Tính di n tích c a tam giác gi i h n b i các đ ng th ng AB, AC và Oy. ệ ủ ớ ạ ở ườ ẳ
Bài4: L p ph ng trình các c nh c a ậ ươ ạ ủ ∆ABC. Bi t đ nh C(3; 5) đ ng cao và đ ng trung tuy n k tế ỉ ườ ườ ế ẻ ừ
đ nh A có ph ng trình là: (dỉ ươ 1): 5x + 4y - 1 = 0 (d2): 8x + y - 7 = 0
Bài5: Ph ng trình hai c nh c a m t tam giác là: 3x - y + 24 = 0 ; 3x + 4y - 96 = 0. Vi t ph ng trìnhươ ạ ủ ộ ế ươ
c nh th 3 c a tam giác bi t tr c tâm Hạ ứ ủ ế ự
3
32
0;
.
Bài6: Cho đ ng th ng d có ph ng trình: 3x + 4y - 12 = 0.ườ ẳ ươ
1) Xác đ nh to đ các giao đi m A, B c a d l n l t v i Ox, Oy.ị ạ ộ ể ủ ầ ượ ớ
2) Tìm to đ hình chi u H c a g c O trên đ ng th ng d.ạ ộ ế ủ ố ườ ẳ
3) Vi t ph ng trình đ ng th ng d' đ i x ng v i d qua O. ế ươ ườ ẳ ố ứ ớ
Bài7: Cho ∆ABC v i A(2 ; 2) B(-1; 6) C(-5; 3).ớ
1) Vi t ph ng trình các c nh ế ươ ạ ∆ABC.
2) Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a đ ng cao AH c a ế ươ ườ ẳ ứ ườ ủ ∆ABC.
3) CMR: ∆ABC là tam giác vuông cân.
Bài8: Cho ∆ABC v i A(1; -1) B(-2; 1) C(3; 5).ớ
1) Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a trung tuy n BI c a ế ươ ườ ẳ ứ ế ủ ∆ABC.
2) L p ph ng trình đ ng th ng qua A và ậ ươ ườ ẳ ⊥ BI.
III) CHÙM Đ NG TH NG:ƯỜ Ẳ
Bài1: Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua giao đi m c a hai đ ng th ng (dế ươ ườ ẳ ể ủ ườ ẳ 1): x + 3y - 9 = 0 và (d2):
3x - 2y - 5 = 0 đ ng th i đi qua đi m A(2; 4). ồ ờ ể
Bài2: Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua giao đi m c a hai đ ng th ng (dế ươ ườ ẳ ể ủ ườ ẳ 1): 3x + y - 0 = 0 và (d2):
3x + 2y - 5 = 0 và đ ng th i song song v i đ ng th ng (dồ ờ ớ ườ ẳ 3): x - y + 4 =0
Bài3: Vi t ph ng trình đ ng th ng (ế ươ ườ ẳ ∆) đi qua giao đi m c a hai đ ng th ng (dể ủ ườ ẳ 1): x+ y - 2 = 0 và (d2):
3x - 4y + 1 = 0 đ ng th i ch n trên hai tr c to đ nh ng đo n b ng nhau. ồ ờ ắ ụ ạ ộ ữ ạ ằ
Bài4: Cho ∆ABC có ph ng trình c nh AB là: x + y - 9 = 0 đ ng cao qua đ nh A và B l n l t là (dươ ạ ườ ỉ ầ ượ 1): x +
2y - 13 = 0 và (d2): 7x + 5y - 49 = 0. L p ph ng trình AC, BC và đ ng cao th ba. ậ ươ ườ ứ
IV) GÓC VÀ KHO NG CÁCH:Ả
Bài1: Vi t ph ng trình đ ng th ng (ế ươ ườ ẳ ∆) qua đi m M(5; 1) và t o thành m t góc 45ể ạ ộ 0 v i đ ng th ng (d)ớ ườ ẳ
có ph ng trình: y = 2x + 1. ươ
Bài2: Cho 2 đ ng th ng (dườ ẳ 1): x + 2y + 1 = 0 ; (d2): x + 3y + 3 = 0.
1) Tính kho ng cách t giao đi m c a (dả ừ ể ủ 1) và (d2) đ n g c to đ .ế ố ạ ộ
2) Xác đ nh góc gi a (dị ữ 1) và (d2).
3) Vi t ph ng trình đ ng phân giác c a các góc h p b i (dế ươ ườ ủ ợ ở 1) và (d2).
Bài3: Cho ∆ABC, các c nh có ph ng trình: x + 2y - 5 = 0; 2x + y + 5 = 0; 2x - y - 5 = 0.ạ ươ
1) Tính các góc c a ủ∆ABC.
2) Tìm ph ng trình đ ng phân giác trong c a các góc A và B.ươ ườ ủ
3) Tìm to đ tâm, bán kính các đ ng tròn n i ti p và ngo i ti p ạ ộ ườ ộ ế ạ ế ∆ABC.
Bài4: Cho 2 đi m A(1; 3) và B(3; 1). L p ph ng trình đ ng th ng qua A sao cho kho ng cách t B t iể ậ ươ ườ ẳ ả ừ ớ
đ ng th ng đó b ng 1. ườ ẳ ằ
Bài5: Cho P(1; 1) và 2 đ ng th ng (dườ ẳ 1): x + y = 0; (d2): x - y + 1 = 0. G i (d) là đ ng th ng qua P c tọ ườ ẳ ắ
(d1), (d2) l n l t t i A, B. Vi t ph ng trình c a (d) bi t 2PA = PB. ầ ượ ạ ế ươ ủ ế
Bài6: Cho 2 đ ng th ng (dườ ẳ 1) và (d2) có ph ng trình (dươ 1): 2x + y + 1 = 0; (d2): x + 2y - 7 = 0. L p ph ngậ ươ
trình đ ng th ng (d) đi qua g c to đ sao cho đ ng th ng (d) t o v i (dườ ẳ ố ạ ộ ườ ẳ ạ ớ 1) và (d2) m t tam giác cân cóộ
đ nh là giao đi m c a (dỉ ể ủ 1) và (d2). Tính di n tích tam giác cân đó. ệ
V) ĐI M LIÊN QUAN Đ N Đ NG TH NG VÀ M T S BÀI TOÁN KHÁC:Ể Ế ƯỜ Ẳ Ộ Ố
Bài1: Cho ∆ABC. A(4; 3) B(2; 7) C(-3; -8)
a) Tìm to đ tr ng tâm G, tr c tâm H và tâm I c a đ ng tròn ngo i ti p ạ ộ ọ ự ủ ườ ạ ế ∆ABC.
b) CMR: I, G, H th ng hàng.ẳ
c) Tính di n tích ệ∆ABC.
Bài2: Tìm trên (d): x + y = 0 đi m P sao cho t ng kho ng cách t P t i các đi m A và B là nh nh t v i:ể ổ ả ừ ớ ể ỏ ấ ớ
1) A(1; 1) B(-2; 4) 2) A(1; 1) B(3; -2)
Bài3: Cho ∆ABC có M(-2; 2) là trung đi m BC, c nh AB, AC có ph ng trình: x - 2y - 2 = 0, 2x + 5y + 3 =ể ạ ươ
0. Hãy xác đ nh to đ các đ nh ị ạ ộ ỉ ∆ABC.
Bài4: Trong m t ph ng Oxy cho A(3; 1).ặ ẳ
1) Tìm to đ đi m B và C sao cho OABC là hình vuông và B thu c góc ph n t th nh t.ạ ộ ể ộ ầ ư ứ ấ
2) Vi t ph ng trình 2 đ ng chéo và tâm c a hình vuông.ế ươ ườ ủ
3) Tìm to đ đi m B và C sao cho OBAC là hình vuông. ạ ộ ể
Bài5: Trong m t ph ng v i h to đ Đ các vuông góc Oxy cho hình ch nh t ABCD có tâm Iặ ẳ ớ ệ ạ ộ ề ữ ậ
0
2
1;
,
ph ng trình đ ng th ng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm to đ các đ nh A, B, C, D bi t r ngươ ườ ẳ ạ ộ ỉ ế ằ
đ nh A có hoành đ âm.ỉ ộ
Bài6: Trong m t ph ng v i h to đ Đ các vuông góc Oxy xét ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ề ∆ABC vuông t i A, ph ng trình đ ngạ ươ ườ
th ng BC là: ẳ
033 =−− yx
, các đ nh A và B thu c tr c hoành và bán kính đ ng tròn n i ti p b ngỉ ộ ụ ườ ộ ế ằ
2. Tìm to đ tr ng tâm G c a ạ ộ ọ ủ ∆ABC.
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG BẬC HAI
I) Đ NG TRÒN:ƯỜ
Bài1: L p ph ng trình đ ng tròn trong các tr ng h p sau:ậ ươ ườ ườ ợ
1) Đi qua A(3; 4) và tâm là g c to đ .ố ạ ộ
2) Đi qua A(3; 1) B(5; 5) và tâm I n m trên tr c tung.ằ ụ
3) Đi qua A(1; 2) B(2; 1) và tâm I n m trên đ ng th ng (d): 3x + 4y + 7 = 0ằ ườ ẳ
4) Đi qua A(-2; 4) B(6; -2) C(5; 5).
5) Tâm I(-1; 2) và ti p xúc v i đ ng th ng (d): x - 2y - 2 = 0.ế ớ ườ ẳ
6) Đ ng kính AB v i A(1; 1) B(3; 3). ườ ớ
Bài2: L p ph ng trình đ ng tròn ti p xúc v i hai tr c to đ và đi qua A(4; 2). ậ ươ ườ ế ớ ụ ạ ộ
Bài3: Vi t ph ng trình đ ng tròn ngo i ti p ế ươ ườ ạ ế ∆ABC. Bi t AB: 2x - y + 4 = 0ế
BC: x + y - 1 = 0 AC: x + 4y + 2 = 0
Bài4: L p ph ng trình đ ng tròn có tâm thu c đ ng th ng (d): 2x + y + 2 = 0 và vuông góc v i haiậ ươ ườ ộ ườ ẳ ớ
ti p tuy n c a đ ng tròn (Cế ế ủ ườ 1): x2 + y2 - 4 x = 0 (C2): x2 + y2 + 2y = 0 t i giao đi m c a (d) v i (Cạ ể ủ ớ 1) (C2).
Bài5: 1) L p ph ng trình đ ng tròn đi qua đi m A(1; -2) và các giao c a đ ng th ng (d): x - 7y + 10 =ậ ươ ườ ể ủ ườ ẳ
0 v i đ ng tròn (S): xớ ườ 2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0.
2) Vi t ph ng trình đ ng tròn qua giao đi m c a hai đ ng tròn (Cế ươ ườ ể ủ ườ 1): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và
(C2): x2 + y2 + 2x - 2y - 14 = 0 và đi qua M(0; 1)
3) L p ph ng trình đ ng tròn qua giao đi m c a hai đ ng tròn (Cậ ươ ườ ể ủ ườ 1): x2 + y2 - 2x + 2y - 2 = 0
(C2): x2 + y2 - 6y = 0 và ti p xúc v i đ ng th ng d: x + y + 1 = 0 ế ớ ườ ẳ
II) TI P TUY N Đ NG TRÒN:Ế Ế ƯỜ
Bài1: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ ng tròn (C): xế ươ ế ế ủ ườ 2 + y2 - 2x - 6y - 6 = 0 bi t:ế
1) Ti p tuy n đi qua M(1; -1).ế ế
2) Ti p tuy n đi qua M(4; -1) ế ế
Bài2: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C): xế ươ ế ế ủ 2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 bi t:ế
1) Ti p tuy n // (d): x + y = 0.ế ế
2) Ti p tuy n ế ế ⊥ (d): x + y = 0
3) Ti p tuy n t o v i (d): x + y = 0 m t góc 60ế ế ạ ớ ộ 0
Bài3: Vi t ph ng trình ti p tuy n chung c a hai đ ng tròn sau:ế ươ ế ế ủ ườ
1) (C1): x2 + y2 - 1 = 0 (C2): x2 + y2 - 4x - 4y - 1 = 0
2) (C1): x2 + y2 - 6x + 5 = 0 (C2): x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = 0
Bài4: Cho đ ng tròn (C): xườ 2 + y2 = 4 và m t đi m M(2; 4). T M k 2 ti p tuy n MTộ ể ừ ẻ ế ế 1, MT2 v i đ ngớ ườ
tròn, trong đó T1, T2 là ti p đi m.ế ể
1) Vi t ph ng trình đ ng th ng Tế ươ ườ ẳ 1T2.
2) Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a (C) song song v i Tế ươ ế ế ủ ớ 1T2.
III) ELÍP:
1) L P PH NG TRÌNH ELÍPẬ ƯƠ
Bài1: Cho (E) có ph ng trình: 9xươ 2 + 4y2 = 36.
1) Tìm to đ các đ nh, to đ các tiêu đi m, tìm tâm sai c a (E) đó.ạ ộ ỉ ạ ộ ể ủ
2) Cho M(1; 1). L p ph ng trình đ ng th ng qua M c t (E) t i 2 đi m A, B sao cho MA = MB. ậ ươ ườ ẳ ắ ạ ể
Bài2: L p ph ng trình chính t c c a (E) bi t:ậ ươ ắ ủ ế
1) Tr c l n thu c Ox có đ dài b ng 6, tr c nh thu c Oy có đ dài b ng 4.ụ ớ ộ ộ ằ ụ ỏ ộ ộ ằ
2) Tr c l n thu c Oy có đ dài b ng 6. Tiêu c e = 4.ụ ớ ộ ộ ằ ự
3) Đ dài tr c l n b ng 16, tâm sai e = ộ ụ ớ ằ
8
5
, hai tiêu đi m thu c Ox.ể ộ
4) Đi qua M
và N
. Tìm M ∈ (E) sao cho MF2 = 2MF1
2) TI P TUY N C A ELÍP, QU TÍCH ĐI MẾ Ế Ủ Ỹ Ể
Bài1: Cho (E):
1
49
2
2
=+ y
x
. Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a (E) bi t:ế ươ ế ế ủ ế
1) Đi qua A(3; 0)
2) Ti p tuy n đi qua B(4; 2)ế ế
3) Ti p tuy n song song (ế ế ∆): x - y + 6 = 0
4) Ti p tuy n vuông góc (ế ế ∆): 2x - y + 2 = 0
5) Ti p tuy n v i (d): x + 2y = 0 m t góc 45ế ế ớ ộ 0.
Bài2: Vi t ph ng trình ti p tuy n chung c a:ế ươ ế ế ủ
(E1):
1
45
2
2
=+ y
x
(E2):
1
54
2
2
=+ y
x
Bài3: Bi t (E): ế
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
nh n các đ ng th ng (dậ ườ ẳ 1): x - 2y - 4 = 0 và (d2): 2x +
3
y - 5 = 0 làm ti pế
tuy n.ế
1) Xác đ nh aị2 và b2, t đó tìm to đ các tiêu đi m c a (E).ừ ạ ộ ể ủ
2) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (E) đi qua A(2; 0).ế ươ ế ế ủ
3) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (E) đi qua B(0; 4). ế ươ ế ế ủ
Bài4: Cho (E):
1
1224
2
2
=+ y
x
. Vi t ph ng trình các c nh c a hình vuông ngo i ti p (E). ế ươ ạ ủ ạ ế
Bài5: Cho (E1):
1
36
2
2
=+ y
x
(E2):
1
4
2
2=+ y
x
Vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua giao đi m c a hai Elíp. ế ươ ườ ể ủ
Bài6: CMR: tích các kho ng cách t các tiêu đi m t i m t ti p tuy n b t kỳ c a m t Elíp b ng bìnhả ừ ể ớ ộ ế ế ấ ủ ộ ằ
ph ng n a đ dài tr c nh c a Elíp. ươ ử ộ ụ ỏ ủ
Bài7: Cho hai đi m M, N trên m t ti p tuy n c a Elíp (E): ể ộ ế ế ủ
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, sao cho m i tiêu đi m Fỗ ể 1, F2
c a (E) nhìn đo n MN d i m t góc vuông. Hãy xác đ nh v trí c a M, N trên ti p tuy n y. ủ ạ ướ ộ ị ị ủ ế ế ấ
Bài8: Cho Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
. Tìm t p h p các đi m t đó k đ c hai ti p tuy n vuông góc v iậ ợ ể ừ ẻ ượ ế ế ớ
nhau t i (E). ớ
Bài9: Trong m t ph ng v i h to đ đ các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có ph ng trình: ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ề ươ
1
916
2
2=+ y
x
.
Xét đi m M chuy n đ ng trên tia Ox và đi m N chuy n đ ng trên tia Oy sao cho đ ng th ng MN luônể ể ộ ể ể ộ ườ ẳ
ti p xúc v i (E). Xác đ nh to đ c a M, N đ đo n MN có đ dài nh nh t. Tính giá tr nh nh t đó. ế ớ ị ạ ộ ủ ể ạ ộ ỏ ấ ị ỏ ấ
Bài10: Trên m t ph ng to đ v i h to đ Đ các vuông góc Oxy, cho elip có ph ng trình: 4xặ ẳ ạ ộ ớ ệ ạ ộ ề ươ 2 + 3y2 -
12 = 0. Tìm đi m trên elip sao cho ti p tuy n c a elip t i đi m đó cùng v i các tr c to đ t o thành tamể ế ế ủ ạ ể ớ ụ ạ ộ ạ
giác có di n tích nh nh t. ệ ỏ ấ
Bài11: Trong m t ph ng v i h t a đ Đ cac Oxy cho elip (E): ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ề
1
49
2
2
=+ y
x
và đ ng th ng dườ ẳ m: mx - y
- 1 = 0.
1) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m, đ ng th ng dứ ằ ớ ọ ị ủ ườ ẳ m luôn c t elíp (E) t i hai đi m phân bi t.ắ ạ ể ệ
2) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (E), bi t r ng ti p tuy n đó đi qua đi m N(1;-3) ế ươ ế ế ủ ế ằ ế ế ể
Bài12: Trong m t ph ng v i h t a đ Đ cac Oxy cho elip (E): ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ề
1
14
2
2
=+ y
x
, M(-2; 3), N(5; n). Vi tế
ph ng trình các đ ng th ng dươ ườ ẳ 1, d2 qua M và ti p xúc v i (E). Tìm n đ trong s các ti p tuy n c a (E) điế ớ ể ố ế ế ủ
qua N và có m t ti p tuy n song song v i dộ ế ế ớ 1 ho c dặ2
Bài13: Cho elip (E) có hai tiêu đi m là Fể1(
03;−
);
( )
03
2;F
và m t đ ng chu n có ph ng trình: x =ộ ườ ẩ ươ
3
4
.
1) Vi t ph ng trình chính t c c a (E).ế ươ ắ ủ
2) M là đi m thu c (E). Tính giá tr c a bi u th c: ể ộ ị ủ ể ứ
P =
MF.MFO MMFMF 21
22
2
2
13−−+
3) Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) song song v i tr c hoành và c t (E) t i hai đi m A, B sao choế ươ ườ ẳ ớ ụ ắ ạ ể
OA ⊥ OB.
Bài14: Cho Elíp (E):
1
14
2
2
=+ y
x
; Tr c l n AA' = 2a. Hai tiêu đi m là F và F'. D là m t ti p tuy nụ ớ ể ộ ế ế
chuy n đ ng c a elíp. D c t các ti p tuy n c a elíp t i A và A' M và M'.ể ộ ủ ắ ế ế ủ ạ ở
1) Ch ng minh: AM.A'M' không đ i.ứ ổ
2) Ch ng minh tích các kho ng cách t F và F' t i D không đ i.ứ ả ừ ớ ổ
3) Tìm qu tích giao đi m N c a A'M và AM'. ỹ ể ủ
4) Ch ng minh r ng khi D chuy n đ ng đ ng tròn đ ng kính MM' luôn đi qua các tiêu đi m F vàứ ằ ể ộ ườ ườ ể
F'.
IV) HYPEBOL: