10 Dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại học – Cao đẳng

Chia sẻ: Dinh Chien | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:115

Thêm vào BST

Báo xấu

750
lượt xem 280
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ở bài viết nhỏ này sẽ cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( và đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này). Với cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Chúc các em thành công!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 10 Dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại học – Cao đẳng

GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Trong các các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân luôn mặc định xuất hiện trong đề thi môn Toán. Tích phân không phải là câu hỏi khó, đây là một bài toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm”. Vì vậy việc mất điểm sẽ trở nên “vô duyên” với những ai đã bỏ chút thời gian đọc tài liệu. Ở bài viết nhỏ này sẽ cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( và đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này). Với cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Mong rằng sau khi đọc tài liệu, việc đứng trước một bài toán tích phân sẽ không còn là rào cản đối với các em . Chúc các em thành công ! Trong bài viết này sẽ giới thiệu tới các em 8 phần: Trang I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN …………………………… 1 II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… 2 III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN….. 3 –12– 26 IV. 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG... 27 – 81 V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………….. 82 – 93 VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI……..94 – 102 - 106 VII. DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA k Cn ……...107 - 110 VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC ………………111- 114 I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN Trang 1
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ Điều kiện tiên quyết để làm tốt phần tích phân là chúng ta phải nhớ và hiểu được cách vận dụng các công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu 8 công thức thì sẽ biết cách suy luận ra các công thức còn lại)   1   x dx  x 1  1  ax  b   C ;   ax  b  dx  . C u 1  1 a  1 1)  u du   C (  1)     1  du  u  C ; du 1 du 1   u 2   u  C;  u   C     1 u 1  dx   ln x  C du 2)   ln u  C   x  u  dx  1 ln ax  b  C   ax  b a   x ax  a dx   C;  eu du  eu  C au  ln a 3)  au du  C   ln a  e x dx  e x  C ; ax  b 1 axb    e dx  a e  C    sin xdx   cos x  C 4)  sin udu   cos u  C    1   sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C  a   cos xdx  sin x  C 5)  cos udu  sin u  C    1   cos( ax  b)dx  sin( ax  b)  C  a  dx du   sin 2 x   cot x  C 6)  2   cot u  C    sin u  dx 1 2   cot(ax  b)  C  sin (ax  b)  a  dx du   cos 2 x  tan x  C 7)  2  tan u  C    cos u  dx 1 2  tan(ax  b)  C  cos (ax  b) a   du 1 ua   a 2  u 2   2a ln u  a  C du 1 1 1  1 ua 8)  2 2      u  a  u  a  du  2a ln u  a C   u  a 2a    dx 1 xa  ln C   x 2  a 2 2a  xa Trang 2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ  CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ I   f ( x) dx (*)  g ( x) Chú thích: Sơ đồ trên được hiểu như sau : Khi đứng trước một bài toán tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc của tử số và mẫu số. *) Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, khi đó ta chú ý tới bậc dưới mẫu số. Cụ thể: ++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 1 ta có luôn công thức trong bảng nguyên hàm và đưa ra được đáp số. ++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 2 ta quan tâm tới  hay “tính có nghiệm” của phương trình dưới mẫu. +) Nếu   0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành tích và dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành hai biểu thức có mẫu bậc 1 (quay về trường hợp mẫu số có bậc bằng 1 ). +) Nếu   0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành hằng đẳng thức và dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tích phân về dạng đã biết. +) Nếu   0 tức khi đó ta không thể phân tích dưới mẫu số thành tích và hằng đẳng thức được. -) Nếu trên tử là hằng số khác 0 ta sẽ dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển về dạng cơ bản ( theo cách đổi biến ở sơ đồ trên). -) Nếu trên tử có dạng bậc nhất ta sẽ chuyển về bậc 0 ( hằng số hay số tự do) bằng kĩ thuật vi phân như cách trình bày ở sơ đồ và quay về trường hợp trước đó (tử là hằng số khác 0 ). ++) Nếu bậc của mẫu số lớn hơn 2 ta sẽ tìm cách giảm bậc bằng phương pháp đổi biến hoặc các kĩ thuật: Nhân, chia, tách ghép (đồng nhất hệ số), vi phân… *) Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số thì ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2). Trang 3
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHÚ Ý : Việc đồng nhất hệ số dựa theo cách phân tích sau: f ( x) A1 A2 Am B1 x  C1 B2 x  C 2 Bn x  Cn m n    ...  m    ...  2 ( ax  b) (cx  dx  e) ( ax  b ) (ax  b) 2 ( ax  b ) 2 (cx  dx  e) 2 (cx  dx  e) 2 (cx 2  dx  e) n Sau đó quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức bằng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau” từ đó tìm được các Ai , B j , C j (i  1, m; j  1, n) hoặc có thể dùng cách chọn x để tìm các Ai , B j , C j . Các ví dụ minh họa 2 dx 3 Ví dụ 1. Tính tích phân I   2 với : 1) k  2) k  1 3) k  4 0 x  2x  k 4 3 Giải: 1) Với k  thì : 4 2 2 2 2 2 dx 4dx (2 x  3)  (2 x  1)  2 2  2x 1 15 I  2  2 dx      dx  ln  ln 0 x2  2x  3 0 4 x  8x  3 0 (2 x  1)(2 x  3) 0 2 x 1 2x  3  2x  3 0 7 4 2 2 2 dx dx 1 2 2) Với k  1 thì : I   2  2   0 x  2 x  1 0 ( x  1) x 1 0 3 2 2 dx dx 3) Với k  4 thì : I    0 x  2 x  4 0 ( x  1) 2  3 2    3dt   Đặt x  1  3 tan t với t    ;   dx  2  3.(1  tan 2 t ) dt và x : 0  2 thì t :   2 2 cos t 6 3   3 2 3.(1  tan t )dt 3 3  3 3 Khi đó I    2 3.(tan t  1)  3  dt  3 t 63  18  6 6 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 2 0 1 1 3 dx dx dx 1) I1   dx 2) I 2   2 3) I 3   2 4) I 4   2 1 4x 1 1 2x  x  3 0 x  6x  9 0 x  2x  2 1 2 2 4x  5 3x  2 x 3 5) I 5   dx 6) I 6   dx 7) I 7  x dx 0 x2  x  2 1 2 4x  4 x  1 1 2  2x  4 Trang 4
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2 2 3 3 3 7 Giải: 1) I1   dx  ln 4 x  1  ln 1 4x 1 4 1 4 3 0 0 0 dx dx 1 (2 x  3)  2( x  1) 2) I 2  1 2 x 2  x  3  1 ( x  1)(2 x  3)  5  dx  1 ( x  1)(2 x  3) 0 0 1  1 2  1 x 1 1 1 ln 6  1  x  1  2 x  3  dx  5 ln 2 x  3  ln   5   1 5 6 5 1 1 1 dx dx 1 1 3) I3   2  2   0 x  6 x  9 0 ( x  3) x  3 0 12 1 1 dx dx 4) I 4    0 x  2 x  2 0 ( x  1) 2  1 2    dt  Đặt x  1  tan t với t    ;   dx  2  (1  tan 2 t )dt và x : 0  1 thì t :   0  2 2 cos t 4 0 0 (1  tan 2 t )dt 0  Khi đó I 4     dt  t    tan 2 t  1   4 4   4 4 1 1 1 4x  5 ( x  1)  3( x  2)  1 3  1 5) I 5   2 dx   dx      dx   ln x  2  3ln x  1  0  4 ln 2 0 x  x2 0 ( x  1)( x  2) 0 x  2 x 1  Chú ý: Việc phân tích 4 x  5  x  1  3( x  2) có được là do ta đi tìm hệ số a , b thỏa mãn: a  b  4 a  1 4 x  5  a ( x  1)  b( x  2)  4 x  5  ( a  b) x  a  2b khi đó    a  2b  5 b  3 3 7 2 2  2 x  1  2 6) I 6   2 3x  2 dx   2 2 dx   3 7  1 4x  4x 1 1 (2 x  1) 2   2(2 x  1)  2(2 x  1)2  dx 1  2 3 7  3 7   ln 2 x  1    ln 3  4 4(2 x  1)  1 2 6 1 2 x 3 2  2 x  2  4 1 2 (2 x  2) 2 dx 1 7) I 7   2 dx   2 2 dx   2 dx  4  2  A  4 B (*) 1 x  2x  4 1 x  2x  4 2 1 x  2 x  4 1 x  2x  4 2 2 2 (2 x  2) d ( x 2  2 x  4) 2 2 +) Tính A  1 x 2  2 x  4 1 x  2 x  4  ln x  2 x  4 dx   2  2 ln 2 (1) 1  2 2 dx dx +) Tính B  1 x 2  2 x  4  1 ( x  1) 2  3     3dt  Đặt x  1  3 tan t với t    ;   dx  2  3.(1  tan 2 t ) dt và x : 1  2 thì t : 0   2 2 cos t 3   3 3.(1  tan 2 t )dt 3  3 4 3 B 2  3  dt  3 t 03   (2) . Thay (1) và (2) vào (*) ta được: I 7  ln 2   0 tan t  1 0 3 3 Trang 5
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: 2 1 2 2 x3  x 2  2 x  4 x 4  2 x3  4 x 2  x  2 4 x3  4 x 2  7 x  2 1) I1   dx 2) I 2   dx 3) I3   dx 1 2x 1 0 x2  2x  3 1 4x2  4 x  1 1 2 2 2 ( x  1) 2x  x 1 4) I 4   dx ( D – 2013) 5) I 5   dx 0 x2  1 0 x2  2x  4 Giải: 2 2 2 2 x3  x 2  2 x  4  2 5   x3 5  10 5 1) I1   dx    x  1   dx    x  ln 2 x  1    ln 3 1 2x 1 1 2x 1   3 2 1 3 2 1 1 1 x 4  2 x3  4 x 2  x  2  x5   2( x  1)  ( x  3)  2) I 2   dx    x 2  1  2  dx    x 2  1  dx 0 2 x  2x  3 0 x  2x  3  0  ( x  1)( x  3)   1 1   2 1   x3  2    x2 1     dx    x  2 ln x  3  ln x  1   2 ln 3  ln 2  0   x  3 x  1   3 0 3 2 2 2 2 4 x3  4 x 2  7 x  2  6x  2   3(2 x  1)  1   3 1  3) I3   2 dx    x  2  dx    x  2  dx    x   2 dx 1 4x  4 x  1 1 4x  4 x 1  1  (2 x  1)  1  2 x  1 (2 x  1)  2  x2 3 1  11 3    ln 2 x  1     ln 3  2 2 2(2 x  1)  1 6 2 1 ( x  1) 2 4) I 4   dx ( D – 2013) 0 x2  1 1 1 1 1 1 1 x2 1  2x  2x  2x d ( x 2  1) 1 I4   2 dx    1  2  dx   dx   2 dx   dx   2   x  ln( x 2  1)   1  ln 2 0 x 1 0 x 1  0 0 x 1 0 0 x 1 0  3  2 2 2 (2 x  2)  6  2x2  x 1  3x  9   2 5) I5   2 dx    2  2  dx    2  2  dx 0 x  2x  4 0 x  2x  4  0 x  2x  4    2 2 2 2 3 d ( x 2  2 x  4) dx  3  3  2  dx   2  6 2   2 x  ln( x 2  2 x  4)   6I  4  ln 3  6 I (*) 0 2 0 x  2x  4 0 x  2x  4  2 0 2 2 2 dx dx Tính I    0 x  2 x  4 0 ( x  1) 2  3 2  3     dx  2 dt  3(1  tan 2 t )dt   Đặt x  1  3 tan t (với t    ;  )   cos t và x : 0  2 thì t :   2 2 ( x  1)2  3  3(1  tan 2 t ) 6 3     3 2 3 3(1  tan t )dt 3 3 3 3 3 3 I  2   dt  t  (2*). Thay (2*) vào (*) ta được: I5  4  ln 3   3(1  tan t ) 3  3  18 2 3 6 6 6 Trang 6
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: 1 1 2 x3 x7 x2  1 1) I1   4 dx (B – 2012) 2) I 2   dx 3) I3   dx 0 x  3x 2  2 0 (3  2 x 4 ) 2 1 x( x 4  3x 2  2) 2 1 2 2 2x  3 x 1 dx 4) I 4   dx 5) I5  2 x 4  4 x3  6 x 2  4 x  1 dx 6) I 6   1 ( x  2 x)( x 2  4 x  3) 2  1 x  x5 3 1 2 0 x dx x 2 dx 7) I 7   dx 8) I8   9) I9   (1  x)8 0 (1  2 x) 3 1 x 1  x 2014  1 1 x3 dt Giải: 1) I1   dx (B – 2012) Đặt t  x 2  dt  2 xdx hay xdx  0 x 4  3x 2  2 2 1 1 1 1 x 2 .xdx 1 t.dt 1 2(t  1)  (t  2) 1  2 1  và x : 0  1 thì t : 0  1  I1   4 2   2   dt      dt 0 x  3 x  2 2 0 t  3t  2 2 0 (t  1)(t  2) 2 0  t  2 t 1  1  1  3   ln t  2  ln t  1   ln 3  ln 2  2 0 2  3 3 1 1 x7 dt  8 x dx  x dx   8 dt  2) I 2   dx Đặt t  3  2 x 4   và x : 0  1 thì t : 3  1 0 (3  2 x 4 ) 2  x4  3  t   2 3t 1 7 1 4 1 3 x x 1 1 3t Khi đó I 2   dx   .x3 dx    2 dt   2 dt 0 (3  2 x 4 ) 2 0 (3  2 x 4 ) 2 8 3 t2 16 1 t 3 3 1  3 1 1 3  2  ln 3    2   dt     ln t   16 1  t t  16  t 1 16 2 x2  1 dt 3) I3   dx Đặt t  x 2  dt  2 xdx  xdx  và x :1  2 thì t :1  2 1 x( x 4  3 x 2  2) 2 2 2 ( x 2  1) 1 t 1 Khi đó I3   2 4 2 .xdx   2 dt 1 x ( x  3 x  2) 2 1 t (t  3t  2) t 1 Lúc này ta sẽ phân tích 2 thành tổng các phân thức có mẫu bậc 1 bằng phương pháp đồng nhất t (t  3t  2) t 1 t 1 A B C hệ số . Cụ thể: 2     t (t  3t  2) t (t  1)(t  2) t t  1 t  2  t  1  A(t  1)(t  2)  Bt (t  2)  Ct (t  1) (*) Việc tìm A, B, C có thể làm theo 2 cách :  1 A  B  C  0 A   2 2   Cách 1: (*)  t  1  ( A  B  C )t  (3 A  2 B  C )t  2 A khi đó 3 A  2 B  C  1   B  2  2 A  1  3  C    2 Trang 7
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 Cách 2: +) Chọn t  0 thì (*) có dạng: 1  2 A  A   2 +) Chọn t  1 thì (*) có dạng: 2   B  B  2 3 +) Chọn t  2 thì (*) có dạng: 3  2C  C   2 2 2 1  1 2 3   1 3  7 ln 3  11.ln 2 Vậy I3        dt    4 ln t  ln(t  1)  4 ln(t  2)   2 1  2t t  1 2(t  2)  4  1 2 2 2 2x  3 2x  3 2x  3 4) I 4   2 2 dx   dx   2 dx 1 ( x  2 x)( x  4 x  3) 1 x( x  2)( x  1)( x  3) 1 ( x  3x)( x 2  3x  2) Cách 1: (đổi biến) Đặt t  x 2  3 x  dt  (2 x  3) dx và x :1  2 thì t : 4  10 10 10 10 dt 1 1 1  1 t 1 15 Khi đó I 4       dt  ln  ln 4 t (t  2) 2 4  t t  2  2 t2 4 2 12 Cách 2: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân) 2 2 1 ( x  3 x  2)  ( x  3 x)  (2 x  3) 2 2 2 1  (2 x  3) dx (2 x  3) dx  I4    2 2  dx    2  2  21 ( x  3 x)( x  3 x  2) 2  1 x  3x 1 x  3x  2  2 2 2 1  d ( x 2  3 x) d ( x 2  3 x  2)  1 x 2  3x 1 15   2  2   ln 2  ln 2  1 x  3x 1 x  3x  2  2 x  3x  2 1 2 12 1 2 x 1 5) I5  x 4 dx Chia cả tử và mẫu trong biểu thức tích phân cho x 2 ta được: 2  4 x  6 x2  4x  1 3 1  1  1 1 1  2  dx 1 I5   x2 dx    x  2 x 2  4 x  6  4 1 2  x 2  1   1  2  2   4 x    6 x x  x   x   1  1 dt  1  x 2  dx  5 Cách 1: (đổi biến) Đặt t  x      và x : 2  1 thì t :   2 x t 2  x 2  1  2 2   x 2 2 2 2 2 dt dt dt 1 1 Khi đó I5   2  2  2   5 (t  2)  4t  6 5 t  4t  4 5 (t  2) t  2  5 36    2 2 2 2 Cách 2: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho những ai có kĩ năng phân tích tốt) 1  1  1  1 1  2  dx 1 d  x   2 1 1 I5    x    x    2 2 2  1  1 2  1  1 36 x 2  x    4 x    4  x   2 x  x  x  x  2 Trang 8
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2 2 dx dx 6) I 6   3 5  3 1 x x 1 x (1  x 2 ) Cách 1: (đổi biến) dt Đặt t  x 2  dt  2 xdx  xdx  và x :1  2 thì t :1  4 2 2 4 4 4 4 xdx 1 dt 1 (t  1)  t 1 1 1  1  1 (t  1)  t  Khi đó I 6   4   2   2 dt    2  dt    2  dt 1 x (1  x 2 ) 2 1 t (t  1) 2 1 t (t  1) 2 1  t t (t  1)   2 1 t t (t  1)   4 4 1 1 1 1  1 1 t 1  3 1 5   2    dt  2   t  ln t   8  2 ln 8 2 1  t t t 1  1 Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép) 2 2 2 2 (1  x 2 )  x 2 1 1   1 (1  x 2 )  x 2  1 1 x  I6   dx   3  2  dx    3  2  dx    3    dx 1 3 x (1  x )2 1  x x(1  x )  1  x x(1  x )  1 x x 1  x2  2 2 2  1 1 1 d (1  x 2 )  1 1  3 1 5 3 1 5    3   dx   2    2  ln x  ln(1  x 2 )    ln 2  ln   ln 1 x x 2 1 1 x  2x 2 1 8 2 2 8 2 8 1 1 1 1 x 1 1 2x 1 1  1 1  1 1 1  1 7) I 7   3 dx   3 dx    2  3 dx     2  0 (1  2 x) 2 0 (1  2 x) 2 0  (1  2 x) (1  2 x)  2  2(1  2 x) 4(1  2 x)  0 18 2 dx 8) I8   1 x 1  x 2014  dt Đặt t  1  x 2014  dt  2014 x 2013 dx  x 2013dx  và x :1  2 thì t : 2  1  2 2014 2014 2 1 22014 1 2 2014 x 2013dx 1 dt 1  1 1 Khi đó I8   2014        dt 1 x 1  x  2014 2014 2 (t  1)t 2014 2  t 1 t  1 22014 1 t 1 2015ln 2  ln(1  2 2014 )  ln  2014 t 2 2014 0 2 x dx 9) I9   (1  x) 8 Đặt t  1  x  dt  dx và x : 1  0 thì t :1  2 1 2 2 2 2 (1  t )2 dt 1  2t  t 2 1 2 1  1 1 1  33 Khi đó I9   t 8  t 8 dt   t 8  t 7  t 6  dt    7t 7  3t 6  5t 5  1  4480 1 1 1    2 ln 2 x2  1 3 Ví dụ 5. Tính các tích phân sau: 1) I1   dx 2) I 2   e x  1dx 1 x3 0 Giải: 2 x2 1 tdt  xdx 1) I1   dx Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1   2 2 và cận t : 0  3 1 x3 x  t 1 2 2 3 3 x2  1 x 2  1.xdx t.tdt t2  I1   dx       dt 1 x3 1 x4 0 (t  1)2 2 0 (1  t 2 )2 Trang 9
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 du  Đặt t  tan u  dt  2  (1  tan 2 u)du và cận u : 0  cos u 3     3 2 2 3 2 3 2 3 tan u.(1  tan u )du tan u sin u  I1   2 2  2 du   2 .cos 2 udu   sin 2 udu 0 (1  tan u ) 0 1  tan u 0 cos u 0   3 1  cos 2u 1 1 3  3 4  3 3  du   u  sin 2u     0 2 2 4 0 6 8 24 ln 2 3t 2 dt  e x dx  2) I 2   3 e x  1dx Đặt t  3 e x  1  t 3  e x  1   x 3 và cận t : 0  1 0 e  t  1  ln 2 ln 2 3 1 1 1 3 e x  1.e x dx t.3t 2 dt t 3dt  1   I2   e x  1dx   x  3  3 3  3  1  3 dt 0 0 e 0 t 1 0 t 1 0 t 1  Ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số: 1 1 A Bt  C 3  2   2  1  A.(t 2  t  1)  ( Bt  C )(t  1) t  1 (t  1)(t  t  1) t  1 t  t  1 A  B  0 2  1 1 2  1  ( A  B ) t  (  A  B  C )t  A  C    A  B  C  0  A  ; B   ; C  A  C  1 3 3 3  ( Có thể chọn t  0 và t   1 được ba pt 3 ẩn A, B, C rồi giải tìm được A, B, C (máy tính có thể giúp ) ) 1 1 t  2 1 1 t 2  Vậy ta có: 3   2    2  t  1 3(t  1) 3(t  t  1) 3  t  1 t  t  1   1  1 1 (2t  1)  1  1 1 1  1 t2   1  1  1 d (t 2  t  1) dt  I2    3   2 dt    3  2 2 dt    3  dt   2  2 0 t 1 t  t 1  0 t 1 t  t 1  0 t 1  2 0 t  t 1 0 t  t 1   1 1 1  1  dt dt   3t  ln(t  1)  ln(t 2  t  1)   J  3  ln 2  J (*) với J     2 0 0 t  t  1 0  1   3 2 2 2 t       2  2   3 3(1  tan 2 u )  dt  du  du 1 3  2 cos 2 t 2   Đặt t   tan u   2 2 và t : 0  1 thì cận u :   2 2  t  1    3   3 (1  tan 2 u ) 6 6  2   2     4       6 2 6 3(1  tan u ) 4 2 3 2 3 6 2 3 J   . 2 du   du  u  (2*)  2 3(1  tan u ) 3 3  9   6 6 6 2 3 Thay (2*) vào (*) ta được : I 2  3  ln 2  9 Trang 10
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Nhận xét: Trong các bài toán đổi biến các em sẽ nhận ra một điều (rất quan trọng trong phần đổi biến), khi chúng ta đổi biến thì bước tiếp theo là bước vi phân cả 2 vế. Sau khi làm xong điều này các em sẽ biết ngay là bài toán chúng ta đi có đúng hướng hay không. Cụ thể: Nếu sau khi vi phân ta có: f (t ) dt  g ( x) dx thì xảy ra 2 khả năng: +) Trong đề bài có chứa g ( x) dx (có thể phải thêm bước tách ghép, thêm bớt để nhìn thấy nó) và phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân (nếu có) còn chứa biến x mà ta rút được theo t . Khi đó xác suất ta đi theo hướng này đúng là cao. +) Trong đề bài không có lượng g ( x) để ta chỉnh (vì dx đi một mình lúc này “không ổn” phải có mặt g ( x ) đi cùng hay phải có g ( x ) dx thì ta mới chuyển được theo f (t ) dt ). Khi đó các em nên nghĩ tới việc tự nhân thêm vào (đề bài không cho thì ta tự cho) và chỉnh bằng cách nhân với lượng tương ứng ở dưới mẫu số và phần phát sinh thêm sau khi nhân cùng với biểu thức trước đó sẽ rút được theo t (ở cả hai bài toán trên ta đã tự nhân cả tử và mẫu lần lượt với x và e x ) Bài luyện 1 1 dx 1 1 4 x  11 9 Tính các tích phân sau: 1) I   2 ( Đs: ln ) 2) I 2   2 dx ( Đs: ln ) 0 x x2 3 4 0 x  5x  6 2 3 3 x 3 9 x3dx 3 3) I 3   2 dx ( Đs: 3ln 4  ) 4) I 4   2 ( Đs:  ln 2 ) 0 x  2x 1 4 0 x 1 2 1 1 xdx 1 3 x 2  3 x  10 1 4 5) I 5   4 2 ( Đs: ln ) 6) I 6   2 dx ( Đs:1  ln ) 0 x  4x  3 4 2 0 x  2x  9 2 3 1 0 2 dx 1 3 1 dx 1 1 7) I 7   (x ( Đs: ln  ) 8) I 8   ( Đs:  ln 3 ) 1 2  4 x  3)( x 2  4 x  4) 2 2 6 0 x  2 x2  1 4 3 4 1 1 dx   ln 3 dx (9  2 3) 9) I 9   ( Đs:  ) 10) I10   ( Đs: ) 0 x 4  3x 2  4 20 0 x4  4 x2  3 72 1 1 1 x 1 dx  2 x3 dx 1 ln 3 11) I11   3 dx ( Đs: ) 12) I12   2 ( Đs: ) 13) I13   2 ( Đs:  ) 0  x  1 x  4 0 (1  3 x) 8 2 8 0 8 96 128 6  10 1 1 dx 1  3 2 1 x2 2 1  x4  14) I14   ( Đs: ln 2  ) 15) I15   dx ( Đs: ) 16) I16   dx (Đs: ) 0 1 x 3 3 18 1 1 x4 6 0 1 x 6 3 1 1 x2  2 3 2x  5 1 5 17) I17   4 3 2 ( Đs:  ) 18) I18   2 2 dx ( Đs: ln ) 1 x  2 x  5x  4x  4 44 0 ( x  3 x  2)( x  7 x  12) 2 4 2 1 2 2x 1 3 x2  3 13 21 19) I19   dx ( Đs: ln ) 20) I 20   dx ( Đs: ln 3  ln 2 ) 0 x 4  2 x3  3x 2  2 x  3 5 1 4 2 x( x  3x  2) 4 4 1 1 xdx  3 2 x 2  5x  2 1 3 21) I 21   2 ( Đs:  ln 2 ) 22) I 22   dx ( Đs:  ln ) 0 ( x  1)( x  2) 20 5 0 x3  2 x 2  4 x  8 6 4 2 3 2 5 x  x  4x  1 8 15 4 x3  2 x 2  x  1 15 2 23) I 23   4 3 dx ( Đs: ln  ) 24) I 24   2 2 dx ( Đs: ln  ) 1 x x 3 7 3 x ( x  1) 2 15 Trang 11
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2. TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trước khi đi vào 10 dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng các em cần nắm được cách tính các tích phân lượng giác cơ bản qua các ví dụ sau: Ví dụ 1. Tính các tích phân sau với k  1;5 (có 40 câu tích phân trong ví dụ này) :     2 2 4 2 A   sin k xdx B   cos k xdx C   tan k xdx D   cot k xdx 0 0 0  4     2 6 4 3 1 1 1 1 E   k dx F dx G dx H  dx  sin x 0 cos k x  tan k x  cot k x 3 6 4 Giải: *) Với k = 1 . Ta có:   2  2  +) A1   sin xdx   cos x 2 0 1 +) B1   cos xdx  sin x 02  1 0 0    4 4 4  sin x d cos x 2 1 +) C1   tan xdx   dx      ln cos x 4 0   ln  ln 2 0 0 cos x 0 cos x 2 2    2 22  cos x d sin x 2 1 +) D1   cot xdx   dx    ln sin x 2    ln  ln 2   sin x  sin x 4 2 2 4 4 4  2 1 +) E1   dx  sin x 3    2 2 2 1 sin x sin x Cách 1: E1   dx   2 dx   2 dx . Lúc này ta có 2 cách trình bày  sin x  sin x  1  cos x 3 3 3   1 Cách trình bày 1: Đặt t  cos x  dt   sin xdx và x :  thì t :  0 3 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 dt dt 1 (1  t )  (1  t ) 1  1 1  1 1 t 2 1 Khi đó E1   2    dt      dt  ln  ln 3 0 1  t 0 (1  t )(1  t ) 2 0 (1  t )(1  t ) 2 0  1 t 1 t  2 1 t 0 2 Cách trình bày 2:    2 2 d cos x 1  1 1  1 1  cos x 2 1 E1         d cos x   ln  ln 3  (1  cos x )(1  cos x ) 2   1  cos x 1  cos x  2 1  cos x  2 3 3 3 Trang 12
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2 x x x x x  x      2 2 sin  cos 2 sin dx cos dx 2 d cos 2 d sin 1 2 2 dx  12 12 Cách 2: E1   sin x dx    2sin x x  2  2  2x   x2   x2 2  cos x  cos sin cos  sin 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2    x x 2 x 2 1    ln cos  ln sin   ln tan  ln 3  2 2  2  2 3 3     x  2 2 2 2 d tan 1 1 1 dx 2  ln tan x 2 Cách 3: E1   dx   dx     ln 3  sin x  2sin x x x 2 x x 2  2 cos  2 tan cos  tan 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2    6 6 6 1 cos x cos x +) F1   dx   2 dx   dx ( tính tương tự như E1 - hoặc đổi biến hoặc vi phân) 0 cos x 0 cos x 0 1  sin 2 x    6 6 1 d sin x 1  1 1  1 1  sin x 6 1       d sin x  ln  ln 3 2 0 (1  sin x)(1  sin x) 2 0  1  sin x 1  sin x  2 1  sin x 0 2     4 4 4 4  1 cos x d sin x 1 +) G1   dx   cot xdx   dx    ln sin x 4   ln 2  ln 2  tan x   sin x  sin x 6 2 6 6 6 6     3 3 3 3  1 sin x d cos x 3 2 1 +) H1   dx   tan xdx   dx      ln cos x    ln  ln 2  cot x   cos x  cos x 4 2 2 4 4 4 4 *) Với k = 2 . Ta có:    2 2 12 1 1 2  +) A2   sin xdx   (1  cos 2 x)dx   x  sin 2 x   0 20 2 2 0 4    2 12 1 1 2  +) B2   cos 2 xdx   (1  cos 2 x)dx   x  sin 2 x   0 20 2 2 0 4   4 4   1  4  +) C2   tan 2 xdx    2  1 dx   tan x  x  0  4 0 0 cos x  4   2 2   1  4  +) D2   cot 2 xdx    2  1 dx    cot x  x    2    sin x  4 4 4 4  2  1 3 +) E2   2 dx   cot x   2  sin x 3 3 3  6  1 3 +) F2   2 dx  tan x 0  6 0 cos x 3 Trang 13
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3    4 4 4  1  1   +) G2   2 dx   cot xdx    2  1 dx    cot x  x    3  1  2 4  tan x    sin x  6 12 6 6 6    3 3 3  1  1   +) H 2   2 dx   tan 2 xdx    2  1 dx   tan x  x    3  1  3  cot x    cos x  4 12 4 4 4 *) Với k = 3 . Ta có:     2 2 2 3 2  cos3 x  2 2 2 +) A3   sin xdx   sin x.sin xdx    (1  cos x)d cos x    cos x    (có thể đặt t  cos x ) 0 0 0  3 0 3     2 2 2  sin 3 x  2 2 +) B3   cos3 xdx   cos 2 x.cos xdx   (1  sin 2 x)d sin x   sin x    (có thể đặt t  sin x ) 0 0 0  3 0 3     4 4 4 4  tan x  +) C3   tan 3 xdx    tan x  tan 3 x  tan x  dx    tan x(1  tan 2 x)  tan x  dx    2  tan x  dx   0 0 0 0  cos x      4 tan x 4 4 tan 2 x 4 1 1  2 dx   tan xdx   tan xd tan x  C1   C1   ln 2 0 cos x 0 0 2 0 2 2 1 ( các em có thể xem lại cách tính C1  ln 2 đã tính ở trước đó với k = 1 ) 2     2 2 2 2  cot x  +) D3   cot 3 xdx    cot x  cot 3 x  cot x  dx   cot x(1  cot 2 x)  cot x  dx    2  cot x  dx        sin x  4 4 4 4     2 2 2 cot x cot 2 x 1 1 2  2 dx   cot xdx    cot xd cot x  D1    D1   ln 2  sin x   2  2 2 4 4 4 4 1 (các em có thể xem lại cách tính D1  ln 2 đã tính ở trước đó với k = 1 ) 2    2 2 2 1 sin x sin x 1 +) E3   3 dx   4 dx   2 2 dx Đặt t  cos x  dt   sin xdx và t : 0  sin x  sin x  (1  cos x ) 2 3 3 3 1 1 1 2 dt2 1  (1  t )  (1  t )  dt 1 2 (1  t ) 2  (1  t ) 2  2(1  t ).(1  t ) 2 Khi đó E3       dt 0 (1  t 2 ) 2 4 0 (1  t ) 2 .(1  t ) 2 40 (1  t )2 .(1  t )2 1 1 2 2 1  1 1 2  1  1 1 1 1     (1  t ) 2  (1  t )2  (1  t ).(1  t )  dt  4   (1  t )2  (1  t ) 2  1  t  1  t  dt 40  0  1 1 1 1 1 t  2 1 1     ln   4 ln 3  3 4  1 t 1 t 1 t  0 Trang 14
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3    6 6 6 1 cos x cos x +) F3   3 dx   4 dx   dx 0 cos x 0 cos x 0 (1  sin 2 x)2  1 Đặt t  sin x  dt  cos xdx và x : 0  thì t : 0  6 2 1 1 1 2 2 dt 1  (1  t )  (1  t )  dt 1 2 (1  t ) 2  (1  t ) 2  2(1  t ).(1  t ) 2 Khi đó F3       dt 0 (1  t 2 ) 2 4 0 (1  t ) 2 .(1  t ) 2 40 (1  t ) 2 .(1  t ) 2 1 1 2 2 1  1 1 2  1  1 1 1 1     (1  t ) 2  (1  t )2  (1  t ).(1  t )  dt  4   (1  t )2  (1  t ) 2  1  t  1  t  dt 40  0  1 1 1 1 1 t  2 1 1     ln   4 ln 3  3 4  1 t 1 t 1 t  0     4 4 4 4 1 +) G3   3 dx   cot 3 xdx    cot x  cot 3 x  cot x  dx   cot x(1  cot 2 x)  cot x  dx    tan x    6 6 6 6      4 4 4 4 4  cot x cos x  cot x cos x d sin x   2   dx   2 dx   dx    cot xd cot x     sin x sin x   sin x  sin x   sin x 6 6 6 6 6   cot 2 x 4 1    ln sin x   1  ln 2  2  2 6     3 3 3 3 1 +) H 3   3 dx   tan 3 xdx    tan x  tan 3 x  tan x  dx    tan x(1  tan 2 x)  tan x  dx    cot x    4 4 4 4      3 3 3 3 3  tan x sin x  tan x sin x d cos x   2   dx   2 dx   dx   tan xd tan x     cos x cos x   cos x  cos x   cos x 4 4 4 4 4   tan 2 x 3 1   ln cos x   1  ln 2  2  2 4 *) Với k = 4 . Ta có:     2 2 2 2 2  1  cos 2 x  1 1  1  cos 4 x  +) A4   sin 4 xdx     dx   1  2cos 2 x  cos 2 x  dx   1  2 cos 2 x  2  dx 0 0 2  40 4 0 2    2 1 3 1  13 1  2 3     2 cos 2 x  cos 4 x  dx   x  sin 2 x  sin 4 x   4 02 2  42 8  0 16 Trang 15
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3     2 2 2 2 2  1  cos 2 x  1 1  1  cos 4 x  +) B4   cos 4 xdx     dx   1  2cos 2 x  cos 2 x  dx    1  2 cos 2 x  2  dx 0 0 2  40 4 0 2    1 23 1  13 1  2 3     2 cos 2 x  cos 4 x  dx   x  sin 2 x  sin 4 x   4 02 2  42 8 0 16     4 4 4  tan 2 x  4 +) C4   tan 4 xdx    tan 2 x  tan 4 x  tan 2 x  dx    tan 2 x(1  tan 2 x)  tan 2 x  dx    2  tan 2 x  dx   0 0 0 0  cos x      4 tan 2 x 4 4 tan 3 x 4 1 4   3  8  2 dx   tan 2 xdx   tan 2 xd tan x  C2   C2    0 cos x 0 0 3 0 3 4 12 4  (các em có thể xem lại cách tính C2  đã tính ở trước đó với k = 2 ) 4     2 2 2  cot 2 x  2 +) D4   cot 4 xdx    cot 2 x  cot 4 x  cot 2 x  dx    cot 2 x(1  cot 2 x)  cot 2 x  dx    2  cot 2 x  dx        sin x  4 4 4 4     2 cot 2 x 2 2 cot 3 x 2 1 4   3  8  dx   cot 2 xdx    cot 2 xd cot x  D2    D2     sin 2 x   3  3 4 12 4 4 4 4 4  (các em có thể xem lại cách tính D2  đã tính ở trước đó với k = 2 ) 4     2 2 2 3 1 1 1  cot x  10 3 2 +) E4   4 dx   2 . 2 dx    1  cot 2 x  .d cot x    cot x     sin x  sin x sin x   3  27 3 3 3 3     6 1 16 1 6  tan 3 x  6 10 3 +) F4   dx   . dx   1  tan 2 x  .d tan x   tan x    0 cos 4 x 0 cos 2 x cos 2 x 0  3 0 27     4 4 4 4 1 +) G4   4 dx   cot 4 xdx    cot 2 x  cot 4 x  cot 2 x  dx   cot 2 x(1  cot 2 x)  cot 2 x  dx    tan x    6 6 6 6      4  cot 2 x  cot 2 x 4 4 4 4  1     2  cot 2 x  dx   2 dx   cot 2 xdx    cot 2 xd cot x    2  1  dx   sin x   sin x     sin x  6 6 6 6 6   cot 3 x  4 8    cot x  x    3  12 6 Trang 16
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3     3 3 3 3 1 +) H 4   4 dx   tan 4 xdx    tan 2 x  tan 4 x  tan 2 x  dx    tan 2 x(1  tan 2 x)  tan 2 x  dx    cot x    4 4 4 4      3 2 3 2 3 3 3  tan x  tan x  1     2  tan 2 x  dx   2 dx   tan 2 xdx   tan 2 xd tan x    2  1 dx   cos x   cos x     cos x  4 4 4 4 4   tan 3 x  3 8   tan x  x    3  12 4 *) Với k = 5 . Ta có:     2 2 2 2 +) A5   sin 5 xdx   sin 4 x.sin xdx   (1  cos 2 x) 2 .sin xdx    (1  2cos 2 x  cos 4 x).d cos x 0 0 0 0   2 1 2 8    cos x  cos 3 x  cos5 x   (có thể đặt t  cos x )  3 5  0 15     2 2 2 2 +) B5   cos 5 xdx   cos 4 x.cos xdx   (1  sin 2 x) 2 .cos xdx   (1  2sin 2 x  sin 4 x).d sin x 0 0 0 0   2 1 2 8   sin x  sin 3 x  sin 5 x   (có thể đặt t  sin x )  3 5 0 15     4 4 4  tan 3 x  4 +) C5   tan 5 xdx    tan 3 x  tan 5 x  tan 3 x  dx    tan 3 x(1  tan 2 x)  tan 3 x  dx    2  tan 3 x  dx   0 0 0 0  cos x      3 4 tan x 4 4 tan 4 x 4 1 1 1  1 1  2 dx   tan 3 xdx   tan 3 xd tan x  C3   C3     ln 2   ln 2  0 cos x 0 0 4 0 4 2 2  2 4 1 1 ( các em có thể xem lại cách tính C3   ln 2 đã tính ở trước đó với k = 3 ) 2 2     2 2 2 2  cot 3 x  +) D5   cot 5 xdx    cot 3 x  cot 5 x  cot 3 x  dx   cot 3 x(1  cot 2 x)  cot 3 x  dx    2  cot 3 x  dx        sin x  4 4 4 4     2 cot 3 x 2 2 cot 4 x 2 1 1 1  1 1   2 dx   cot 3 xdx    cot 3 xd cot x  D3    D3     ln 2   ln 2   sin x   4  4 2 2  2 4 4 4 4 4 1 1 ( các em có thể xem lại cách tính D3   ln 2 đã tính ở trước đó với k = 3 ) 2 2 Trang 17
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3    2 2 2 1 sin x sin x +) E5   5 dx   6 dx   2 3 dx  sin x  sin x  (1  cos x ) 3 3 3 1 2   1 dt Đặt t  cos x  dt   sin xdx và x :  thì t :  0 . Khi đó E5   3 2 2 0 (1  t 2 )3 3 1 1  (1  t )  (1  t ) 1 (1  t )3  (1  t )3  6(1  t ).(1  t ) Ta có:  .  . (1  t 2 )3 8 (1  t )3 .(1  t )3 8 (1  t )3 .(1  t )3 2 1 1 1 6  1 1 1 3  (1  t )  (1  t )          .  8  (1  t )3 (1  t )3 (1  t )2 .(1  t )2  8  (1  t )3 (1  t )3 2 (1  t ) 2 .(1  t )2     1 1 1 3 (1  t ) 2  (1  t ) 2  2(1  t ).(1  t )      .  8  (1  t )3 (1  t )3 2 (1  t )2 .(1  t ) 2  1 1 1 3 1 1 2    3  3   2  2   8  (1  t ) (1  t ) 2  (1  t ) (1  t ) (1  t ).(1  t )   1 1 1 3 1 1 1 1    3  3   2  2    8  (1  t ) (1  t ) 2  (1  t ) (1  t ) 1  t 1  t   1 2 1  1 1 3 1 1 1 1  Suy ra E5    (1  t )3  (1  t )3  2  (1  t )2  (1  t )2  1  t  1  t dt 80   1 1 1 1 3 1 1 1  t  2 1 3        ln    ln 3 8  2(1  t )2 2(1  t ) 2 2  1  t 1  t 1  t   0 12 16     6 6 6 1 cos x cos x 1 +) F5   5 dx   6 dx   dx Đặt t  sin x  dt  cos xdx và t : 0  . 0 cos x 0 cos x 0 (1  sin 2 x)3 2 1 2 dt 1 3 Khi đó F5   2 3   ln 3 (xem cách tính E5 ở ý trên) 0 (1  t ) 12 16     3 3 3 3 1 +) H 5   5 dx   tan 5 xdx    tan 3 x  tan 5 x  tan 3 x  dx    tan 3 x(1  tan 2 x)  tan 3 x  dx    cot x    4 4 4 4     3 3 3 3 3 3  tan x 1  tan x 1   2  3  dx   2 dx   3 dx   tan 3 xd tan x  H 3   cos x cot x   cos x  cot x  4 4 4 4  tan 4 x 3  1  1   H 3  2  1  ln 2   1  ln 2 4   2  2 4 1 ( các em có thể xem lại cách tính H 3  1  ln 2 đã tính ở trước đó với k = 3 ) 2 Trang 18
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHÚ Ý: 1 +) Sẽ có nhiều em thắc mắc là biểu thức dưới dấu tích phân  tan k xdx tương tự với  cot k dx và x k 1  cot xdx tương tự với dx . Nếu đi tính nguyên hàm (tích phân bất định ) chúng có sự giống nhau  tan k x (tính nguyên hàm được hiểu là tính trên tập xác định của hàm). Nhưng nếu đi tính tích phân xác định thì sẽ   4 4 1 có sự khác biệt . Ví như tính C1   tan xdx và H1   dx thì C1  1 như cách chúng ta đã làm. Còn H1 0 0 cot x trong tình huống này với kiến thức toán sơ cấp sẽ không tính được vì hàm số dưới dấu tích phân không xác định với cận x  0 . +) Để đưa ra công thức tổng quát cho các tích phân trên các em sẽ tìm hiểu rõ hơn ở mục VI trong phần tích phân truy hồi. Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:    2 2 2 dx dx dx 1) I1   2) I 2   3) I3   0 1  cos x 0 2  cos x 0 1  sin x    4 4 3 x x 4) I 4   sin 2 x cos 3 x cos 5 xdx 5) I 5   (1  2sin 2 x)  sin 6 x  cos 6 x  dx 6) I 6   sin 3 cos dx 0 0 0 2 2 Giải:    x  2 2 2 d dx dx 2  tan x 2  1 1) I1     0 1  cos x  2 cos 2 x  cos 2 x 0 0 20 2 2   2dt 2 dx x  dx  1  t 2   2) I 2   Đặt t  tan   2 và x : 0  thì t : 0  1 0 2  cos x 2 cos x  1  t 2   1 t 2 2dt  3 1 1 1  t 2  2dt  dt  du  3(1  tan 2 u )du   I2   2  t2  3 Đặt t  3 tan u   cos 2 u và t : 0  0 1 t t 2  3  3(1  tan 2 u ) 6 2 2 0  1 t    6 2 6 2 3(1  tan u )du 2 3 2 3 6 3 Khi đó I 2   2   du  u  0 3(1  tan u ) 3 0 3 0 9  2 dt x dx  1  t 2  CHÚ Ý: Khi đặt t  tan   2 2 sin x  2t ; cos x  1  t   1 t 2 1 t2 Trang 19
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3     2 2 2 dx dx dx x 2 3) I3    2    cot     1 1  sin x 0  x x 0 2sin 2  x  2 40    0  sin  cos   2 4  2 2 1 1 1 ( hoặc biến đổi   ) 1  sin x   2 x  1  cos  x   2sin     2 2 4    4 4 4 1 1 4) I 4   sin 2 x cos 3 x cos 5 xdx  sin 2 x  cos8 x  cos 2 x dx    sin 2 x cos 8 x  sin 2 x cos 2 x dx 0 20 20   4 1 1 1 1 1  4 13    sin10 x  sin 6 x  sin 4 x dx    cos10 x  cos 6 x  cos 4 x   40 4  10 6 4  0 120  4 5) I 5   (1  2sin 2 x)  sin 6 x  cos 6 x  dx 0 1  2sin 2 x  cos 2 x  Ta có:  6 6 2 2 3 2 2 2 2 3 2 sin x  cos x  (sin x  cos x)  3sin x.cos x(sin x  cos x)  1  sin 2 x  4    4 4  3  1  3  1 1 4 3 Khi đó I5   cos 2 x  1  sin 2 x  dx   1  sin 2 2 x  d sin 2 x   sin 2 x  sin 3 2 x   0  4  2 0 4  2 4 0 8    3 3 x x x x 1 x3 1 6) I 6   sin cos dx  2  sin 3 d sin  sin 4 3  0 2 2 0 2 2 2 20 4 Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:   3 4 3 4 cos x  sin x sin x dx 1) I1   dx 2) I 2   k dx với k  1;3 3) I 3   0 1  sin 2 x 0  3 sin x  cos x   4 2  sin x  cos x    4 4 sin 4 x 4) I 4   cos3 x.cos 3 xdx 5) I5   cos 2 x.(sin 3 x sin 3 x  cos3 x cos 3 x)dx 6) I 6   dx 0 0 0 sin 4 x  cos 4 x Giải:    4 4 cos x  sin x d (sin x  cos x) 1 4 2 1) I1   dx   2   1 0 1  sin 2 x 0 (sin x  cos x) sin x  cos x 0 2 Trang 20