k
VII. DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA
Trang 1
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Trong các các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân luôn mặc định xuất hiện trong đề thi môn Toán. Tích phân không phải là câu hỏi khó, đây là một bài toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm”. Vì vậy việc mất điểm sẽ trở nên “vô duyên” với những ai đã bỏ chút thời gian đọc tài liệu. Ở bài viết nhỏ này sẽ cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( và đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này). Với cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Mong rằng sau khi đọc tài liệu, việc đứng trước một bài toán tích phân sẽ không còn là rào cản đối với các em . Chúc các em thành công ! Trong bài viết này sẽ giới thiệu tới các em 8 phần: Trang I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN …………………………… 1 II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… 2 III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN….. 3 –12– 26 IV. 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG... 27 – 81 V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………….. 82 – 93 VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI……..94 – 102 - 106 nC ……...107 - 110 VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC ………………111- 114 I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
1
x dx
C
;
.
C
ax b dx
1 x
1
1 a
(
1)
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ Điều kiện tiên quyết để làm tốt phần tích phân là chúng ta phải nhớ và hiểu được cách vận dụng các công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu 8 công thức thì sẽ biết cách suy luận ra các công thức còn lại)
1 )
u du
C
1 u
1
du u C
;
C
;
C
du 2 u
1 u
du u
1 u
ax b 1 1 1
ln
x C
ln
u C
2 )
du u
ln
ax b C
dx x dx ax b
x
u
x a dx
C
;
u e du e C
u
1 a a ln
a
u a du
C
3 )
a ln
a
ax b
ax b
x e dx
x e C
;
e
dx
e
C
1 a
sin
xdx
cos
udu
cos
u C
4 ) sin
sin(
ax b dx
)
cos(
ax b C )
x C 1 a
cos
xdx
sin
udu
sin
u C
5 ) cos
cos(
ax b dx
)
sin(
) ax b C
x C 1 a
cot
x C
dx 2 sin
cot
u C
6 )
du 2 sin
u
cot(
) ax b C
2 sin (
x dx ax b )
1 a
tan
x C
dx 2 cos
tan
u C
7 )
du 2 cos
u
tan(
ax b C )
2 cos (
x dx ax b )
1 a
ln
C
2
a
8 )
du
ln
C
2
du 2 a
u
1 a 2
1
1 a 2
u a u a
ln
C
2
2
du 2 u dx a
x
1 a 2 1 a 2
u a u a x a x a
u a u a 1
Trang 2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ
(*)
CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
I
dx
( ) f x g x ( )
0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành tích và dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành
0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành hằng đẳng thức và dùng kĩ thuật tách ghép để
0 tức khi đó ta không thể phân tích dưới mẫu số thành tích và hằng đẳng thức được.
Chú thích: Sơ đồ trên được hiểu như sau : Khi đứng trước một bài toán tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc của tử số và mẫu số. *) Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, khi đó ta chú ý tới bậc dưới mẫu số. Cụ thể: ++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 1 ta có luôn công thức trong bảng nguyên hàm và đưa ra được đáp số. ++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 2 ta quan tâm tới hay “tính có nghiệm” của phương trình dưới mẫu. +) Nếu hai biểu thức có mẫu bậc 1 (quay về trường hợp mẫu số có bậc bằng 1). +) Nếu đưa tích phân về dạng đã biết. +) Nếu -) Nếu trên tử là hằng số khác 0 ta sẽ dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển về dạng cơ bản ( theo cách đổi biến ở sơ đồ trên). -) Nếu trên tử có dạng bậc nhất ta sẽ chuyển về bậc 0 ( hằng số hay số tự do) bằng kĩ thuật vi phân như cách trình bày ở sơ đồ và quay về trường hợp trước đó (tử là hằng số khác 0 ). ++) Nếu bậc của mẫu số lớn hơn 2 ta sẽ tìm cách giảm bậc bằng phương pháp đổi biến hoặc các kĩ thuật: Nhân, chia, tách ghép (đồng nhất hệ số), vi phân… *) Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số thì ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2).
Trang 3
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
...
...
2
f x ( ) 2
B x C 2
B x C 2
2
n
m
n
)
(
)
(
)
e
cx
dx
m ) (
ax b
A 1 ax b
A 2 ax b
B x C 1 2
1
2
n
2
dx
dx
dx
cx
cx
cx
e
e
(
)
(
)
(
)
(
n 1, )
m j ;
1,
i
CHÚ Ý : Việc đồng nhất hệ số dựa theo cách phân tích sau:
A B , ,i j
A B , ,i j
jC (
hoặc có thể dùng cách chọn x để tìm các
A n m e ax b ) ( Sau đó quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức bằng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng bằng jC . nhau” từ đó tìm được các Các ví dụ minh họa
2
I
4
k 2)
1k 3)
k
2
dx x 2
x
k
3 4
0
Ví dụ 1. Tính tích phân với : 1)
k thì :
3 4
2
2
2
2
2
dx
I
2
dx
dx
ln
ln
2
2
15 7
4 dx x 8
3
4
x
x (2 (2
3) 1)(2 x
(2 x
x
1) 3)
2 x
2
1 2
2 x
3
2 x x 2
1 3
0
0
0
0
0
x
2
x
3 4
2
2
2
I
1k thì :
Giải: 1) Với
2
2
2 3
dx x 2
x
1
dx
1)
(
x
1
x
1
0
0
0
2
2
I
k thì : 4
2) Với
2
x
4
(
x
3
dx 2 1)
dx x 2
0
0
2
dx
3.(1 tan )
t dt
x
1
3 tan
t
t
t
:
x thì 2
: 0
3) Với
Đặt
với
và
3 6
dt 3 2 t cos
; 2 2
3
2
3
I
dt
t
3 18
t dt 3.(1 tan ) 2 3.(tan 1)
t
3 3
3 3
3 6
6
6
1
1
2
0
Khi đó
dx I
2)
1)
3)
4)
I
I
2
3
4
2
2
2
dx x 2
x
2
dx x 6
x
9
0
0
1
1 2
1
2
2
I 1 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 3 x 1 4 x dx x 3
I
dx
6) I dx I dx
5)
5
6
7
2
4 x 5 2 x
x
2
0
1
1
Trang 4
7) 3 2 x 4 2 x 4 x 1 x 3 2 x 4 x
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
ln
dx
ln 4
x
1
I 1
3 4
7 3
3 x
1
4
3 4
1
1
0
0
0
Giải: 1)
2
2
1 5
1 2
1 (
1
0
0
dx
ln
ln
ln 6 5
1
x
1 2
2 x
3
1 5
1 x x 2 3
1 5
1 6
1 5
1
1
1
1
1
1) 2) I dx x dx x 3 dx 1)(2 x x 3) x (2 x ( 3) 2( x x 1)(2 3)
I
3
2
2
1 12
dx x 6
x
9
dx
3)
(
x
1
x
3
0
0
0
1
1
I
3)
4
2
dx x 2
x
2
(
x
1
dx 2 1)
0
0
2
t
dx
(1 tan )
t dt
t
:
0
x
1 tan
t
x thì
: 0
1
4)
Đặt
với
và
; 2 2
dt 2 cos
t
4
0
0
2
0
I
dt
t
4
4
4
(1 tan ) t dt 2 1
tan
t
4
4
1
1
1
1
(
2)
Khi đó
4 ln 2
I
dx
dx
dx
ln
x
2
3ln
x
1
5
0
4 x 5 2 x
x
2
x (
1) 3( x x 1)(
x
2)
1
x
2
3
x
1
0
0
5)
x
x
1 3(
5
x
,a b thỏa mãn:
0 2)
có được là do ta đi tìm hệ số Chú ý: Việc phân tích 4
x
5
a x (
1)
b x (
4
5 (
2)
x
a b x a )
b 2
2
2
2
khi đó 4 a b 2 b a 4 5 1 3 a b
1
6
2
2
1
1
1
ln 3
ln 2
x
1
3 2
7 6
7 x
4(2
1)
3 4
1
2
2
2
2
2 x 3 2 7 2 6) I dx dx dx 3 2 x 4 2 x 4 x 1 (2 x 1) 3 x 2(2 1) 2(2 7 x 1) 2
2 x 2 4 1 2 7) I dx dx dx 4 A 4 B
(*)
7
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2 ln 2 (1)
x 3 2 x 4 x x 2 x 4 1 2 2) x (2 2 2 x x 4 dx x 2 x 4 1 2
A dx ln x 2 x 4
+) Tính
1
1
1
2
2
(2 x 2 2 x 2) x 4 ( d x 2 x x 4) 2 4 2 x
2
1
1
2
dx
3.(1 tan )
t dt
x
1
3 tan
t
t
t
: 0
x thì
: 1
2
+) Tính B dx x 2 x 4 dx 2 1) ( x 3
Đặt
với
và
3
dt 3 2 t cos
; 2 2
3
2
3
ln 2
B
3
dt
3
t
(2) . Thay (1) và (2) vào (*) ta được:
7I
3 0
4 3 3
3.(1 tan ) 2 t
tan
t dt 1
3 3
0
0
Trang 5
1
2
2
4
3
2
3
2
3
2
2
x
dx
I
4 2 4 2 x x x dx dx I
2)
3)
1)
3
2
x 4 2 x
x 3
2 x 2 x
1
1 1
0 2
2
2
(
I 1 4 2 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: x x 2 7 x 1 4 x 4 x 2 1 x
I
dx
I
dx
4
5
x x
1) 2 1
x 2 2 x
x 2 x
1 4
0
0
4) ( D – 2013) 5)
Giải:
2
2
2
3
2
3
2
x
x
4
2
dx
x
1
dx
x
ln 2
x
1
ln 3
I 1
1)
10 3
5 2
x x 2
2 1
5 x
1
2
x 3
5 2
1
1
1
1
1
1
4
3
2
x
2
3)
2
2
I
dx
x
1
dx
x
1
dx
2
2
2 x 2 x
x 4 2 x
x 3
x
2
5 x
3
x
x 2( x (
1) ( x 1)(
x
3)
0
0
0
1
1
3
2
x
1
dx
x
2 ln
x
3
ln
x
1
2 ln 3 ln 2
2 3
2
x
3
1
x
1
x 3
0
0
2
2
2
2
3
2
2)
3
2
1
1
1
1
2
2
ln 3
ln 2
x
1
1 x
2(2
1)
3 2
x 2
11 3 2 6
1
1
2
(
4 x 2 3) I dx x dx x dx x dx 4 2 6 2 4 x x 4 x x 7 1 x 4 2 x 4 x 1 x 3(2 x (2 1) 1 2 1) 3 x 2 1 (2 x 1 1)
dx
I
4
x x
1) 2 1
0
1
1
1
1
1
1
2
2
1
x
x
2
1 ln 2
I
dx
1
dx
dx
dx
dx
x
ln(
x
1)
4
2 2
2 2
0
1 2 2 x 1
x
x
1
x
x
1
d x ( 2 x
1) 1
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
(2
x
2) 6
( D – 2013) 4)
I
dx
2
dx
dx
5
2
2
3 2 x
2
x
4
x 2 2 x
x 2 x
1 4
9 x 3 2 x
4
x
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
(*)
2
x
ln(
x
2
x
4)
6
I
4
ln 3 6
I
2
dx
6
2
d x ( 2 x
4) x 2 4 2 x
dx x 2
x
4
3 2
3 2
3 2
0
0
0
0
2
2
5)
I
2
dx x 2
x
dx 2 1)
4
(
x
3
0
0
2
dx
dt
3(1 tan )
t dt
x
1
3 tan
t
t
Tính
t
:
x thì 2
: 0
; 2 2
6 3
2
3 2 cos 2 1)
t 3 3(1 tan ) t
( x
2
3
3
3
4
ln 3
dt
t
I
Đặt (với ) và
2
3 2
3 3
3(1 tan ) t dt t 3(1 tan )
3 3
3 3
3 18
6
6
6
Trang 6
(2*). Thay (2*) vào (*) ta được: 5I
2
1
1
2
7
I
dx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: 3
(B – 2012) 2)
3)
1)
dx
I
dx
3
2
I 1
4 2
4
2
4
x
x x 3
x
2
x x (
x
1 2 3 x
2)
x 0 (3 2 )
0
1
1
2
2
2
5) I dx I dx I
4)
6)
4
5
6
2
4
3
3
5
1 1
2 2
1 0
I
dx
I
2 x 2 x x 2 )( 3 ( x 4 x 3) x 1 2 6 x x 4 x 4 x 1 x x
I
8)
9)
7
9
8
3
8
2014
dx x
x
x 0 (1 2 ) x
1
1 (1
1
1
3
2
7) dx 2 x dx x )
t
x
xdx
dt
2
xdx
hay Giải: 1)
(B – 2012) Đặt
dx
I 1
4
2
x x 3
x
2
dt 2
0
1
1
1
2)
x thì 1
t : 0
1
dt
dt
I 1
4
2
2 x xdx . 2 x 3
2
x
1 2
t dt . t 3
t
2
1 1 2( t t ( 2
1) 1)( t 2)
( t
1 2
2
t
1
t
1
2
0
0
0
0
1
ln 3
ln 2
ln
t
2
ln
t
1
3 2
1 2
0
dt
8
3 x dx
3 x dx
dt
1
7
4
1 8
và : 0
t
3 2
x thì 1
t : 3 1
I
dx
2
4 2
x
3
t
4
x 0 (3 2 )
x
x
2
3
t
3
1
1
1
7
4
t
2) và : 0 Đặt
I
dx
3 x dx
.
dt
dt
2
1 16
x 4 2 (3 2 )
x
x 4 2 (3 2 )
x
2 2 t
1 8
3 2 t
1
0
0
3
3
3
dt
ln
t
2 ln 3 16
1 16
3 2 t
1 t
1 16
3 t
1
1
2
2
2
Khi đó
I
dx
t :1 2
x thì
2
t
dt
x
2
xdx
xdx
3
4
dt 2
x
1 2 3 x
x x (
2)
1
2
2
2
3) Đặt và :1
I
.
xdx
dt
3
2
x ( 4 2 x x (
1) 2 3 x
2)
1 2
t
1 3 t
2)
t t (
1
1
Khi đó
2
t
1 3 t
2)
t t (
Lúc này ta sẽ phân tích thành tổng các phân thức có mẫu bậc 1 bằng phương pháp đồng nhất
2
1 t 3 t t t ( t 1
2) A t (
t 1 1)( t t t ( 2) Bt t t 1)( ( 2)
A t
B 1 t Ct t ( 2)
C t 2 (*) 1)
hệ số . Cụ thể:
,A B C có thể làm theo 2 cách :
,
Việc tìm
2
(*)
t
1 (
A B C t )
(3
A
2
B C t )
2
A
A 0 1 2 Cách 1: 1 B C B 2
khi đó
Trang 7
A 2 1 A B C 3 2 A 3 2 C
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
A
A
1 2
t thì (*) có dạng:
0
Cách 2: +) Chọn
t thì (*) có dạng: 2
1
B
B
+) Chọn
C
C
t thì (*) có dạng:
2
1 2 2 3 3 2 2
2
2
I
dt
ln
t
ln(
t
1)
ln(
t
2)
+) Chọn
Vậy
3
7 ln 3 11.ln 2 4
1 2
1 t 2
2
t
1 2(
t
3
2)
1 4
3 4
1
1
2
2
2
4
2
2
1
1
1
2 3
x
x
t
4) I dx dx dx 2 x 2 x x 2 )( 3 ( x 4 x 3) x x ( x 2 x 2)( 3 1)( x 3) 2 x 2 x x 3 )( 3 ( x 3 x 2)
x thì 2
t : 4 10
dt
(2
x
3)
dx
10
10
10
Cách 1: (đổi biến) Đặt và :1
ln
I
dt
ln
4
1 2
15 12
dt
t t (
2)
1 2
1 t
1
t
2
1 2
t
t
2
4
4
4
Khi đó
2
2
2
2
2
(
x
3
x
2)
(
x
x
x
3)
I
dx
4
2
2
1 2
(
x
3 )(
x x
3 ) (2 2)
x
3
1 2
(2 x 2 x
3) dx x 3
(2 2 x
x
3
3) dx x 2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ln
ln
1 2
15 12
1 2
d x ( 2 x
x 3 ) 3 x
d x ( 2 x
2) x 3 2 3 x
1 2
x 2
x 3 3 x
x
2
1
1
1
1
2
Cách 2: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân)
2x ta được:
5
4
3
2
1
dx
1
1
1
1 2 x
1 2 x
I
dx
5
2
2
2
2
x
4
x
6
x
4
x
6
4 x
1 2 x
1 2 x
1 x
dt
dx
1
5) I dx Chia cả tử và mẫu trong biểu thức tích phân cho x 1 2 6 x x 4 x 4 x 1
x
t
t : 2
x thì
1
1 x
5 2
2
2
x
2
1 2 x 1 2 x
t
2
2
2
2
Cách 1: (đổi biến) Đặt và : 2
I
5
2
2
2
dt t 4
dt 2) 4 t
(
t
6
t
4
dt
2)
t (
1
t
2
1 36
5 2
5 2
5 2
5 2
1
dx
1
2
1
1
Khi đó
1 2 x
d x
I
5
2
2
1 36
2
2
x
2
x
4
x
4
x
2
1 1 x
2
1 x
1 x
1 x
Trang 8
Cách 2: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho những ai có kĩ năng phân tích tốt) 1 x
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
6
3
5
3
2
1
1
I 6) x x x x )
2
t
x
x thì 2
t :1 4
dt
2
xdx
xdx
dx dx (1 Cách 1: (đổi biến)
Đặt
và :1
dt 2
2
4
4
4
6
2
4
2
4 1 ( 1) t t 2 t 2 t 1) (
1
1
1
1
1
4
4
t
dt
ln
ln
3 8
1 2
5 8
1 2
1 2 t
1 t
t
1 2
1 t
1 1
1 t
1
1
t Khi đó I dt dt dt xdx x (1 ) x 1 2 dt t ( t 1) 1 2 1 2 t 1 t t ( 1) 1 2 t 1) t ( t t ( 1) 1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép)
dx
dx
6
2
2
1 3 x
) (1 x 2 x (1 x
x )
1 3 x
1 x
x x
1
1
1
1
1
2
2
2
2
dx dx I (1 3 x x (1 ) 2 x x ) 1 3 x 1 x (1 x )
2
ln
ln
x
ln(1
x
)
ln 2
ln
2
3 1 2 8
5 8
1 x 2
1 2
3 8
1 2
5 2
1
1
1
1
1
1
1
) d dx 1 3 x 1 x 1 2 (1 x 2 x 1
I
dx
dx
dx
7
3
1 3
2
3
2
1 18
x (1 2 ) x
x 1 1 2 2 (1 2 ) x
1 2
1 (1 2 ) x
1 (1 2 ) x
1 2
1 2(1 2 ) x
1 4(1 2 ) x
0
0
0
0
2
7)
I
8
2014
dx x
x
1
1
2014
2013
2013
2014
t : 2
1 2
8)
x thì 2
t
1
x
dt
2014
x
dx
x
dx
và :1
Đặt
dt 2014
2014
2014
2
1 2
1 2
2013
I
dt
8
2014
1 2014
dt
t (
1)
t
1 2014
t
1
1
1 t
dx x
x
1
2
2
x 2014 1
2014
1 2
2014
)
t
1
ln
2015ln 2 ln(1 2 2014
1 2014
t
2
0
Khi đó
1t
và : 1
x thì
dx
dt
0
x
t :1 2
I
Đặt
9
8
2 x dx x )
1 (1
2
2
2
2
2
(1
t
Khi đó
dt
dt
I
9
33 4480
2 t dt ) 8 t
1 2 t 8 t
1 8 t
2 7 t
1 6 t
1 7 t 7
1 6 t 3
1 5 t 5
1
1
1
1
2
ln 2
2
1
3
9)
dx
I
e
1x
dx
I 1
2
3
x x
0
1
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau: 1) 2)
2
2
xdx
1
2
2
2
Giải:
dx
t : 0
3
t
x
1
t
x
1
I 1
3
2
2
x x
x
t
1
1
tdt
2
2
3
3
2
2
2
1
x
xdx
dx
dt
I 1
3
1. 4
2
x x
x
t tdt . 2 1)
t (
t
(1
t
2 2 )
1
1
0
0 Trang 9
Đặt và cận 1)
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
t
tan
u
dt
(1 tan
u du )
u
: 0
du 2 cos
u
3
3
2
2
2
3
2
3
3
tan
2
2
du
.cos
udu
sin
udu
I 1
2
u du ) 2
2
.(1 tan u u (1 tan
)
tan u 2 1 tan
u
sin cos
u u
0
0
0
0
3
3
3 3
du
u
u sin 2
4 24
u 1 cos 2 2
1 2
1 4
6
3 8
0
0
ln 2
x e dx
3
x
3
x
3
t
e
1
t
e
Đặt và cận
t : 0
1
I
e
1x
dx
2
x
3 t
1
0
2 3 t dt 1 e
ln 2
ln 2
1
1
3
x
e
x e dx
t
3
x
e
dx 1
I 2
3
3
1. x e
.3 3 t
2 t dt 1
3 t dt 3 t 1
1
1
t
dt
0
1 3 1 0
0
0
2
1
A t .(
1)
t
(
Bt C t )(
1)
3
0 Ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số: Bt C 2 t 1
1 2 t 1)(
A 1
1
t
1)
1
(
t
t
t
t
0
A B
2
1 (
A B t )
A B C t A C )
(
A B C
A
0
;
B
;
C
1 3
1 3
2 3
1
2) Đặt và cận
t và 0
t được ba pt 3 ẩn
1
A C ,A B C rồi giải tìm được
,
,A B C (máy tính có thể giúp ) )
,
2
( Có thể chọn
1
1
1
3(
t
1)
3(
2 t 2 t t
1)
1 3
1
t
1
2 t t
1
t
1
1
1
1
1
2
t (2
1) 1
1 2
Vậy ta có: 3 t
3
3
I
3
2
2
2
2
1
t
1
2 t t
1
t
1
t
1
1 2
( d t 2 t
t 1) 1 t
dt t
1
t
t
t
1
1
t
1
dt
dt
0
0
0
0
0
dt
1
1
1
2
t 3
ln(
t
1)
ln(
t
t
1)
J
(*) với
J
2
2
dt 2
1 2
dt t
1
t
0
0
0
t
1 2
3 2
2
u
)
dt
du
du
2
t
3(1 tan 2
3 ln 2 J
t
tan
u
t thì cận : 0 1
2
u
:
3 2 cos 2
6 6
1 2
3 2
2
(1 tan
u
)
1 2
3 2
3 4
t
6
2
6
6
u
)
4
Đặt và
J
.
du
du
u
2
3(1 tan 2
3(1 tan
u
)
2 3 3
2 3 3
2 3 9
6
6
6
3 ln 2
(2*)
2I
2 3 9
Trang 10
Thay (2*) vào (*) ta được :
g x dx ( )
t dt ( )
f
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Nhận xét: Trong các bài toán đổi biến các em sẽ nhận ra một điều (rất quan trọng trong phần đổi biến), khi chúng ta đổi biến thì bước tiếp theo là bước vi phân cả 2 vế. Sau khi làm xong điều này các em sẽ biết ngay là bài toán chúng ta đi có đúng hướng hay không. Cụ thể: Nếu sau khi vi phân ta có: thì
( )g x để ta chỉnh (vì dx đi một mình lúc này “không ổn” phải có mặt
( )
( )g x dx thì ta mới chuyển được theo
t dt ). Khi đó các em nên nghĩ tới việc tự ( )
f
xe )
xảy ra 2 khả năng: ( )g x dx (có thể phải thêm bước tách ghép, thêm bớt để nhìn thấy nó) và phần còn +) Trong đề bài có chứa lại của biểu thức dưới dấu tích phân (nếu có) còn chứa biến x mà ta rút được theo t . Khi đó xác suất ta đi theo hướng này đúng là cao. +) Trong đề bài không có lượng
g x đi cùng hay phải có nhân thêm vào (đề bài không cho thì ta tự cho) và chỉnh bằng cách nhân với lượng tương ứng ở dưới mẫu số và phần phát sinh thêm sau khi nhân cùng với biểu thức trước đó sẽ rút được theo t (ở cả hai bài toán trên ta đã tự nhân cả tử và mẫu lần lượt với x và Bài luyện
1
1
ln
ln
I
I
dx
2
2
1 3
1 4
9 2
dx x
2
x
4 x 2
11 5 x
x
6
0
0
3
3
3
Tính các tích phân sau: 1) ( Đs: ) 2) ( Đs: )
I
3ln 4
) 4)
ln 2
dx
I
4
3
2
9 4
3 2
x 2
x
x
1
3 x dx 2 x 1
0
1
0 1
2
( Đs: ( Đs: ) 3)
ln
1
ln
I
I
dx
5
6
4
2
1 4
3 2
4 3
1 2
xdx 2 x 4
x
3
x x
10 3 x x 2 9
0
0
0
1 2
5) ( Đs: ) 6) ( Đs: )
ln 3
ln
) 8)
I
8
7
4
2
2
2
1 4
1 3
1 2
3 2
1 6
dx x 2
x
1
0
1 (
1
1
ln 3
( Đs: ) 7) ( Đs: I dx x 3)( x 4 x 4 x 4)
I
9
I 10
4
2
4
2
20
x
3
dx x 3
x
4
(9 2 3) 72
0
0
dx x 4 1
1
1
2
3 x dx
dx
( Đs: ) 9) ( Đs: ) 10)
dx
I 12
I 13
I 11
2
2
3
8
2
1 ln 3 96 128
1 8
8
x 0 (1 3 ) x
0
0
x
4
x
1
6
10
1
1
2
2
4
ln 2
( Đs: ) 11) ( Đs: ) 12) ( Đs: ) 13)
dx
dx
I 14
I 16
I 15
4
6
3
1 1
x x
3
2 6
1 3
3 18
1 1
x x
0
dx 0 1 x
1
1
1
2
14) ( Đs: ) 15) ( Đs: ) 16) (Đs: )
ln
dx
I 17
I 18
4
3
2
5 2
3 44
5 4
1 2
(
x
3
x
7
x
12)
x 2 2)( x
x
2
x
4
x
4
x
2 2 5 x
0
1 2
1
2
2
17) ( Đs: ) 18) ( Đs: )
ln
ln 3
ln 2
dx
I
dx
I 19
20
4
3
4
3 5
13 4
21 4
1 x 2 2 3 x
x
2
x
2
x
3
x
3 2 3 x
x x (
2)
1 1
0 1
2
( Đs: ) 20) ( Đs: ) 19)
ln
ln 2
dx
I
I
22
21
3
2
1 6
20
3 5
3 4
2 x 2
2 x
2 5 x 4 x
8
x
xdx x 1)(
x
2)
0
5
2
3
2
2
3
4
x
( Đs: ) ( Đs: ) 22) 21)
0 ( x
ln
ln
I
1 dx
23
24
8 15 7 3
15 2
2 15
2 x 2 2 x x (
x 1)
3
1
Trang 11
1 dx ( Đs: ) 24) ( Đs: ) 23) I x 4 x 4 x 3 x
Trước khi đi vào 10 dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng các em cần nắm GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2. TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN được cách tính các tích phân lượng giác cơ bản qua các ví dụ sau:
k
1;5
2
2
2
4
A
sin k
xdx
B
cosk
xdx
C
tan k
xdx
D
cot k
xdx
0
0
0
2
4
4 3
6
E
dx
G
dx
H
dx
F
dx
1 cot k
x
1 sin k
x
1 tank
x
1 cosk
x
0
3
6
4
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau với (có 40 câu tích phân trong ví dụ này) :
Giải: *) Với k = 1 . Ta có:
2
2
sin
xdx
cos
x
cos
xdx
sin
x
1 +)
1
A 1
B 1
2 0
2 0
0
0
4
4
4
tan
xdx
dx
ln cos
x
ln
+)
ln 2
C 1
4 0
1 2
sin cos
x x
cos x d x cos
2 2
0
0
0
2
2
2
+)
cot
xdx
dx
ln sin
x
ln
ln 2
D 1
1 2
cos sin
x x
sin x d x sin
2 2
2 4
4
4
4
2
+)
dx
E 1
1 sin
x
3
2
2
2
+)
dx
dx
dx
E 1
1 sin
x
sin 2 sin
x x
sin x 2 1 cos
x
3
3
3
Cách 1: . Lúc này ta có 2 cách trình bày
t : 0
dt
sin
xdx
thì 2 3
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
)
Cách trình bày 1: Đặt và : x t cos x
ln 3
dt
dt
ln
E 1
2
1 2
dt t
1
dt t )(1
(1
t
)
1 2 1 (1 (1 t (1 t )(1 2
) t
t )
1 2
1
t
1
1
t
1
1 2
1 1
t t
0
0
0
0
0
Khi đó
2
2
2
d
ln 3
d
cos
x
ln
E 1
1 2
cos x (1 cos )(1 cos ) x
x
1 1 cos
x
1 1 cos
x
1 2
1 cos 1 cos
x x
1 2
3
3
3
Trang 12
Cách trình bày 2:
2
2
2
2
2
2
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
3
3
3
3
3
sin cos sin dx cos dx d cos d sin x 2 x 2 x 2 x 2 Cách 2: dx dx E 1 1 sin x 1 2 1 2 cos sin cos sin 3 x 2sin cos 2 x 2 x 2 x 2 x 2
ln 3
ln cos
ln sin
ln tan
1 2
x 2
x 2
x 2
3
2
2
2
2
x 2 2 x 2 x 2 2
2
ln 3
ln tan
2
1 2
x 2
3
3
3
3
3
3 x 2 x 2
6
6
6
d tan Cách 3: dx dx E 1 1 sin x tan 1 x 2sin cos 2 x 2 dx x 2 tan cos 2 x 2
dx
dx
dx
1E - hoặc đổi biến hoặc vi phân)
F 1
1 cos
x
cos 2 cos
x x
cos x 2 1 sin
x
0
0
0
6
6
6
ln 3
d
sin
x
ln
1 2
sin d 1 2 (1 sin )(1 sin ) x x
x
1 1 sin
x
1 1 sin
x
1 sin 1 sin
x x
1 2
1 2
0
0
0
4
4
4
4
+) ( tính tương tự như
ln 2
dx
cot
xdx
ln sin
x
ln 2
dx
G 1
1 2
cos sin
x x
sin x d x sin
1 tan
x
4 6
6
6
6
6
3
3
3
3
+)
ln 2
dx
tan
xdx
dx
ln cos
x
ln
H
1
1 2
sin cos
x x
cos x d x cos
2 2
1 cot
x
3 4
4
4
4
+)
4 *) Với k = 2 . Ta có: 2
2
2
2
sin
xdx
(1 cos 2 )
x dx
x
sin 2
x
A 2
4
1 2
1 2
1 2
0
0
0
2
2
2
2
+)
cos
xdx
(1 cos 2 )
x dx
x
sin 2
x
B 2
4
1 2
1 2
1 2
0
0
0
4
4
4
2
+)
tan
xdx
1
dx
tan
x
x
C 2
4 0
4
1 2 cos
x
0
0
2
2
4
2
+)
cot
xdx
1
dx
cot
x
x
D 2
4
1 2 sin
x
2 4
4
4
2
+)
dx
cot
x
E 2
3 3
1 2 sin
x
2 3
3
6
+)
dx
tan
x
F 2
6 0
3 3
1 2 cos
x
0
Trang 13
+)
4
4
4
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
dx
cot
xdx
1
dx
cot
x
x
3 1
G 2
12
1 2 tan
x
1 2 sin
x
4 6
6
6
6
3
3
3
2
+)
H
dx
tan
xdx
1
dx
tan
x
x
3 1
2
12
1 2 cot
x
1 2 cos
x
3 4
4
4
+)
4 *) Với k = 3 . Ta có: 2 2
2
3
2
x
3
2
2
sin
xdx
sin
x .sin
xdx
(1 cos
x d ) cos
x
cos
x
A 3
2 3
cos 3
0
0
0
0
3
2
2
2
2
x
3
2
2
+) (có thể đặt t cos x )
cos
xdx
cos
x .cos
xdx
(1 sin
x d ) sin
x
sin
x
t
sin
x
B 3
sin 3
2 3
0
0
0
0
4
4
4
4
3
3
2
+) (có thể đặt )
tan
xdx
tan
x
tan
x
tan
tan (1 tan
x
x
)
tan
tan
C 3
x dx
x dx
tan 2 cos
x x
x dx
0
0
0
0
2
4
4
4
4
x
ln 2
dx
tan
xdx
tan
xd
tan
C 1
x C 1
1 2
1 2
tan 2
tan 2 cos
x x
0
0
0
0
+)
ln 2
C 1
1 2
2
2
2
2
3
3
2
cot
xdx
cot
x
cot
x
cot
cot
x
(1 cot
x
) cot
cot
( các em có thể xem lại cách tính đã tính ở trước đó với k = 1 )
D 3
x dx
x dx
cot 2 sin
x x
x dx
4
4
4
4
2
2
2
2
2
x
dx
cot
xdx
cot
xd
cot
ln 2
D 1
x D 1
1 2
1 2
cot 2
cot 2 sin
x x
4
4
4
4
+)
ln 2
D 1
1 2
2
2
2
(các em có thể xem lại cách tính đã tính ở trước đó với k = 1 )
t : 0
dx
dx
dx
t
cos
x
dt
sin
xdx
E 3
2
1 2
1 3 sin
x
sin 4 sin
x x
x sin 2 (1 cos
x
)
3
3
3
2
2
2
1 2
1 2
(1
dt
t
)
t
).(1
t
)
dt
+) Đặt và
E 3
2
1 4
dt t
(1
2 2 )
t ) t (1 2 t ) .(1 (1
)
) t
1 2 1 (1 4
(1 t ) 2 ) .(1 t (1
2(1 2 ) t
0
0
0
1 2
1 2
dt
dt
2
2
2
2
1 4
1 t
)
(1
1 t
)
(1
2 ).(1
(1
t
t
)
1 4
1 t
)
(1
1 t
)
1
t
1
(1
1
t
1
0
0
1 2
ln 3
ln
1 4
1 3
1
t
1
t
1
1 1
1 4 1
t t
0
Trang 14
Khi đó
6
6
6
dx
dx
dx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
F 3
x 2
2
1 3 cos
x
cos 4 cos
x x
cos (1 sin
x
)
0
0
0
+)
t
sin
x
dt
cos
xdx
thì 6
1 t : 0 2
2
2
2
1 2
1 2
(1
dt
t
)
t
).(1
t
)
Đặt và : 0 x
dt
F 3
2
dt t
(1
2 2 )
t ) t (1 2 t ) .(1 (1
)
) t
1 2 1 (1 4
(1 t ) 2 ) .(1 t (1
2(1 2 ) t
1 4
0
0
0
1 2
1 2
dt
dt
2
2
2
2
1 t
)
(1
1 t
)
(1
2 ).(1
(1
t
t
)
1 4
1 t
)
(1
1 t
)
1
t
1
(1
1
t
1
1 4
0
0
1 2
ln 3
ln
1 4
1 3
1
t
1
t
1
1 1
1 4 1
t t
0
4
4
4
4
3
3
2
Khi đó
dx
cot
xdx
cot
x
cot
x
cot
cot
x
(1 cot
x
) cot
G 3
x dx
x dx
1 3 tan
x
6
6
6
6
4
4
4
4
4
dx
dx
cot
xd
cot
x
dx
cot 2 sin
x x
cos sin
x x
cot 2 sin
x x
cos sin
x x
sin x d x sin
6
6
6
6
6
2
4
x
ln sin
x
1
ln 2
1 2
cot 2
6
3
3
3
3
3
3
2
H
dx
tan
xdx
tan
x
tan
x
tan
tan (1 tan
x
x
)
tan
+)
3
x dx
x dx
1 3 cot
x
4
4
4
4
3
3
3
3
3
dx
dx
dx
tan
xd
tan
x
tan 2 cos
x x
sin cos
x x
tan 2 cos
x x
sin cos
x x
x d cos x cos
4
4
4
4
4
2
3
x
1
ln 2
ln cos
x
1 2
tan 2
4
+)
2
2
2
2
2
x
x
4
sin
xdx
dx
x
2 cos 2
1 2 cos 2
x
dx
*) Với k = 4 . Ta có:
A 4
1 2cos 2
x dx
1 cos 2 2
1 4
1 cos 4 2
1 4
0
0
0
0
2
2
2 cos 2
x
cos 4
x
sin 2
x
sin 4
x
3 16
1 4
3 2
1 2
1 8
x dx
1 3 4 2
0
0
Trang 15
+)
2
2
2
2
2
x
x
4
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
dx
cos
xdx
dx
x
2 cos 2
1 2 cos 2
x
B 4
1 2cos 2
x dx
1 cos 4 2
1 cos 2 2
1 4
1 4
0
0
0
0
2
2
2 cos 2
x
cos 4
x
sin 2
x
sin 4
x
3 16
1 8
1 4
3 2
1 2
x dx
1 3 4 2
0
0
2
4
4
4
4
2
4
2
4
2
2
2
2
+)
tan
tan
xdx
tan
x
tan
x
tan
tan
x
(1 tan
x
)
tan
C 4
2
x dx
x dx
tan cos
x x
0
0
0
0
x dx
2
3
4
4
4
4
4
8
x
2
2
dx
tan
xdx
tan
xd
tan
x C
C
2
2
2
1 3
4
3 12
tan cos
x x
tan 3
0
0
0
0
4
+)
C
2
4
2
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
2
(các em có thể xem lại cách tính đã tính ở trước đó với k = 2 )
cot
xdx
cot
x
cot
x
cot
cot
x
(1 cot
x
) cot
cot
D 4
2
x dx
x dx
cot sin
x x
x dx
4
4
4
4
2
3
2
2
2
2
x
4
8
2
2
dx
cot
xdx
cot
xd
cot
x D 2
D 2
2
1 3
4
3 12
cot sin
x x
cot 3
4
4
4
4
4
+)
D 2
4
3
2
2
2
2
x
2
(các em có thể xem lại cách tính đã tính ở trước đó với k = 2 )
dx
.
dx
. cot
x
cot
x
E 4
1 cot
x d
10 3 27
1 4 sin
x
1 2 sin
1 2 sin
x
x
cot 3
3
3
3
3
3
6
6
6
6
x
2
+)
dx
.
dx
tan
x
tan
x
F 4
1 tan
x d .
x
tan 3
1 4 cos
x
1 2 cos
1 2 cos
x
10 3 27
0
0
0
0
4
4
4
4
4
2
4
2
2
2
2
dx
cot
xdx
cot
x
cot
x
cot
cot
x
(1 cot
x
) cot
+)
G 4
x dx
x dx
1 4 tan
x
6
6
6
6
4
2
2
4
4
4
4
2
2
2
dx
cot
xdx
cot
xd
cot
x
cot
1
dx
2
2
cot sin
x x
cot sin
x x
1 2 sin
x
x dx
6
6
6
6
6
3
4
x
cot
x
x
8 12
cot 3
6
Trang 16
+)
3
3
3
3
4
2
4
2
2
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
H
dx
tan
xdx
tan
x
tan
x
tan
tan
x
(1 tan
x
)
tan
4
x dx
x dx
1 4 cot
x
4
4
4
4
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
dx
tan
xdx
tan
xd
tan
x
tan
1
dx
2
2
tan cos
x x
tan cos
x x
1 2 cos
x
x dx
4
4
4
4
4
3
3
x
tan
x
x
8 12
tan 3
4
+)
2
2
5
4
2
2
4
sin
xdx
sin
x .sin
xdx
(1 cos
x
2 ) .sin
xdx
(1 2cos
x
cos
x d ). cos
x
A 5
0
0
0
0
2
3
5
*) Với k = 5 . Ta có: 2 2 +)
cos
x
cos
x
cos
x
8 15
2 3
1 5
0
2
2
2
2
5
4
2
2
4
cos
xdx
cos
x .cos
xdx
(1 sin
x
2 ) .cos
xdx
(1 2sin
x
sin
x d ). sin
x
(có thể đặt t cos x )
B 5
0
0
0
0
2
3
5
+)
sin
x
sin
x
sin
x
t
sin
x
8 15
2 3
1 5
0
3
4
4
4
4
5
3
5
3
3
2
3
3
(có thể đặt )
tan
xdx
tan
x
tan
x
tan
tan
x
(1 tan
x
)
tan
tan
C 5
2
x dx
x dx
tan cos
x x
0
0
0
0
x dx
3
4
4
4
4
4
x
3
3
ln 2
ln 2
dx
tan
xdx
tan
xd
tan
x C
C
3
3
2
1 2
1 4
1 4
1 2
1 2
tan cos
x x
tan 4
0
0
0
0
+)
ln 2
C
3
1 2
1 2
3
2
2
2
2
5
3
5
3
3
2
3
3
cot
xdx
cot
x
cot
x
cot
cot
x
(1 cot
x
) cot
cot
( các em có thể xem lại cách tính đã tính ở trước đó với k = 3 )
D 5
2
x dx
x dx
cot sin
x x
x dx
4
4
4
4
3
4
2
2
2
2
x
3
3
ln 2
ln 2
dx
cot
xdx
cot
xd
cot
x D 3
D 3
2
1 2
1 4
1 4
1 2
1 2
cot sin
x x
cot 4
4
4
4
4
+)
ln 2
D
3
1 2
1 2
Trang 17
( các em có thể xem lại cách tính đã tính ở trước đó với k = 3 )
2
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
dx
dx
dx
E 5
3
1 5 sin
x
sin 6 sin
x x
x sin 2 (1 cos
x
)
3
3
3
1 2
+)
t
cos
x
dt
sin
xdx
t . Khi đó :
0
E 5
thì 2 3
1 2
2 3 )
dt 0 (1 t
3
3
t
)
t
).(1
t
)
3
Đặt và : x
1 t
(1
2 3 )
(1 1 . 8 (1
t ) t (1 ) 3 3 ) .(1 t ) t
1 (1 . 8
t ) (1 3 ) .(1 t (1
6(1 3 ) t
2
3
3
2
3
3
1 t
)
1 t
)
(1
(1
t
t
)
1 t
)
1 t
)
(1
(1 3 . 2 (1
(1 ) t 2 t ) .(1
t ) 2 t )
6 2 ) .(1
1 8 (1
1 8 (1
2
2
t
)
t
).(1
t
)
3
3
1 t
)
1 t
)
(1
3 (1 . 2
(1 t ) 2 ) .(1 t (1
2(1 2 ) t
1 8 (1
3
3
2
2
1 t
)
1 t
)
(1
1 t
)
1 t
)
(1
2 ).(1
(1
t
t
)
3 2 (1
1 8 (1
3
3
2
2
1 t
)
1 t
)
(1
1 t
)
1 t
)
1
t
1
1
t
1
(1
3 2 (1
1 8 (1
1 2
Ta có:
E 5
3
3
2
2
1 t
)
(1
1 t
)
(1
1 t
)
1 t
)
1
t
1
1
t
1
(1
1 8
0
3 2 (1
dt
1 2
ln 3
Suy ra
2
2
1 3 12 16
0
6
6
6
ln 1 t ) 2(1 t ) 1 1 t 1 t 1 1 1 3 2 1 t t 1 8 2(1
dx
dx
dx
t
sin
x
dt
cos
xdx
F 5
x 2
3
1 t . : 0 2
1 5 cos
x
cos 6 cos
x x
cos (1 sin
x
)
0
0
0
1 2
+) Đặt và
ln 3
5E ở ý trên)
F 5
1 3 12 16
2 3 )
dt 0 (1 t
3
3
3
3
5
3
5
3
3
2
3
Khi đó (xem cách tính
H
dx
tan
xdx
tan
x
tan
x
tan
tan
x
(1 tan
x
)
tan
5
x dx
x dx
1 5 cot
x
4
4
4
4
3
3
3
3
3
3
3
dx
dx
dx
tan
xd
tan
x H
3
2
2
tan cos
x x
1 3 cot
x
tan cos
x x
1 3 cot
x
4
4
4
4
4
3
x
H
2
1
ln 2
1
ln 2
3
tan 4
1 2
1 2
+)
H
1
ln 2
3
4 1 2
Trang 18
( các em có thể xem lại cách tính đã tính ở trước đó với k = 3 )
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHÚ Ý:
dx
tan k xdx
1 cot k
x
+) Sẽ có nhiều em thắc mắc là biểu thức dưới dấu tích phân tương tự với và
dx
cot k xdx
1 tan k
x
(tính nguyên hàm được hiểu là tính trên tập xác định của hàm). Nhưng nếu đi tính tích phân xác định thì sẽ 4
4
tương tự với . Nếu đi tính nguyên hàm (tích phân bất định ) chúng có sự giống nhau
tan
xdx
H
dx
1H
C 1
1
1 1C như cách chúng ta đã làm. Còn
1 cot
x
0
x . 0
có sự khác biệt . Ví như tính và thì
0 trong tình huống này với kiến thức toán sơ cấp sẽ không tính được vì hàm số dưới dấu tích phân không xác định với cận +) Để đưa ra công thức tổng quát cho các tích phân trên các em sẽ tìm hiểu rõ hơn ở mục VI trong phần tích phân truy hồi.
2
2
2
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
I
I
1)
2)
3)
I 1
2
3
x
x
x
dx 0 1 cos
dx 0 2 cos
dx 0 1 sin
4
3
4
2
6
6
3
I
sin 2 cos 3 cos 5
x
x
xdx
I
(1 2sin
x
x
cos
I
sin
cos
dx
6) 4)
5)
4
5
6
) sin
x dx
x 2
x 2
0
0
0
Giải:
2
2
2
2
1
2
2
0
0
0
0
dx
2
t
tan
I
d dx x 2 1) tan I 1 dx 1 cos x x 2 2 cos cos x 2 x 2
t : 0 1
x
: 0
và 2)
Đặt
2
2
x 2
thì 2
x
dx 0 2 cos
cos
x
2
2 dt 2 t 1 1 1
t t
1
1
2
dt
du
3(1 tan
u du )
t
: 0
t
3 tan
u
Đặt
và
I
2
2 2
2
dt 3
t
6
0
0
2
2
2
u
)
2
3 2 u cos t 3 3(1 tan
t t
2
dt 2 2 t 1 1 1 6
6
6
I
du
u
2
2 3(1 tan 2 3(1 tan
u du ) u )
2 3 3
2 3 3
3 9
0
0
0
dx
t
tan
Khi đó
CHÚ Ý: Khi đặt
2
x 2
x
;
cos
x
2
2
dt 2 2 t 1 2 t t
1
1 1
t t
sin
Trang 19
2
2
2
2
dx
I
cot
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
3)
1
3
2
dx 1 sin
x
x 2
4
2
0
0
0
0
2sin
sin
cos
4
dx x 2
x 2
x
x 2 1 1 sin
2
1 cos
x
2sin
2
4
1
1 x 2
4
4
4
I
sin 2 cos 3 cos 5
x
x
xdx
sin 2
x
cos8
x
cos 2
x sin 2 cos 8
x
x sin 2 cos 2
( hoặc biến đổi )
x dx
x dx
4
1 2
1 2
0
0
0
4
4
sin10
x
sin 6
x
sin 4
cos10
x
cos 6
x
cos 4
x
x dx
13 120
1 4
1 10
1 6
1 4
1 4
0
0
4
2
6
6
4)
I
(1 2sin
x
x
cos
5
) sin
x dx
0
2
x
cos 2
x
5)
6
6
2
2
3
2
2
2
2
x
cos
x
(sin
x
cos
x
)
3sin
x .cos
x
(sin
x
cos
x
) 1
2 sin 2
x
1 2sin sin
3 4
4
4
4
2
Ta có:
I
cos 2
x
1
sin
1
2 sin 2
sin 2
x
sin 2
x
3 sin 2
x
5
3 8
3 4
1 2
3 4
1 2
1 4
x dx
x d
0
0
0
3
3
3
3
4
I
sin
cos
dx
d
sin
sin
Khi đó
6
1 4
x 2
x 2
x 2
1 2
x 2
x 2
0
3 2 sin 0
0
6)
3
3 4
4
sin
x
x
I
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
I
dx
k
1;3
dx
3
2
I 1
k
cos sin x 1 sin 2 x
dx x
2 sin
cos
x
0
0
3 sin
x
cos
x
4
4
4
4
3
3
3
1) 2) với 3)
I
x cos 2 .(sin
x
sin 3
x
cos
x
cos 3 )
x dx
I
dx
4)
5)
6)
I
cos
x .cos 3
xdx
4
5
6
4
4
sin x
x cos
x
sin
0
0
0
Giải:
4
4
4
x
1
dx
I 1
2 2
cos sin x 1 sin 2 x
d (sin
(sin x
x
cos ) x 2 cos ) x
1
sin
x
cos
x
0
0
0
Trang 20
1)
3
sin
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
dx
k
1;3
2
k
0
3 sin
x
cos
x
2) với
Cách trình bày 1:
sin
x
sin
x
cos
x
3
3
3
sin
x
6 6
3 2
6
6
I
dx
dx
dx
2
k
k
1 k 2
k
0
0
0
3 sin
x
cos
x
k
sin
2
sin
x
cos
x
1 2 6
x
3 2
1 2
cos
dx
d
sin
3
3
3
3
6
x
3 1
k
2
1 1 k 2
1 1 k 2
k
1
k
k
k
1
0
0
0
0
x
sin
sin
x
sin
x
x
sin
6
6 6
6
6
dx
x
dx 3
3
d
sin
3
3
Ta có:
I
cot
x
k 3
2
3 16
6
1 16
3 16
2
2
3
3 32
0
0
32sin
x
sin
sin
x
x
6
6 6
6
1
x
dx
0
d
sin
3
3
dx
+) Với
I
A
B
k khi đó
2
2
3 8
1 8
2
1 8
3 8
0
0
x
sin
sin
x
6 6
6
x
sin
x
sin
x
3
3
3
dx
6
+) Với (1)
A
dx
dx
2
2
0
0
0
sin
x
sin
x
1 cos
x
6
6
6 6
d
cos
3
3
6
d
cos
1 2
6
x
0
0
1 cos
x
1 cos
x
x
1 cos
x
6
6
6
6
1
1
x
1 cos
3
3
1 cos
d
sin
3
1
*) Ta có:
ln
ln
3 2
1
B
1 2
2
0
1 cos
sin
x
sin
x
6 6
6
6 6
x
x x
0
0
3 ln
3 2
1
(3) (2) *) Ta có:
d
sin
3
3
3
Thay (3); (2) vào (1) ta được: 2I
I
dx
x
ln sin
x
ln 2
1k
2
3 4
1 4
3 4
1 4
6
3 12
1 4
0
0
0
sin
8 6 6
x x
Trang 21
+) Với
3
sin
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
dx
k
1;3
2
k
0
3 sin
x
cos
x
3
3
3
sin
x
sin
x
x
Cách trình bày 2: với
I
dx
dx
dx
2
k
k
1 k 2
k
0
0
0
3 sin
x
cos
x
k
sin
2
sin
x
cos
x
6
sin x
3 2
1 2
Ta có:
t
dt
x
dx
x
: 0
t
:
6
thì 3
2 6
Đặt và
2
2
2
2
k
k
6
6
6
2
2
2
2
t
ln 2
sin t sin t cos t t 6 3 2 Khi đó I dt dt dt 1 k 2 sin t 1 k 2 1 2 t sin 1 1 k 2 3 sin k t sin cos k sin t t
I
dt
dt 3
t 3
ln sin
t
3
1k
2
3 12
1 4
cos sin
t t
1 4
sin d t sin
1 4
1 4
6
6
6
6
2
2
2
t
d
+) Với
k 2
I
dt
3
2
3 sin 2 t sin
cos 2 sin
t t
cos t (1 cos )(1 cos ) t
t
d sin
sin t 2 t
1 8
1 8
6
6
6
2
3 ln
3 2
1
ln
3 16
1 cos 1 cos
t t
1 8sin
t
8
6
2
2
2
2
+) Với
I
dt
3
3 cot
t
k 3
2
2
3 32
1 16
3 2 sin
t
cos 3 sin
t t
1 16
dt 2 sin
t
d sin
sin t 3 t
1 16
1 2sin
t
6
6
6
6
3 4
3 4
3 4
3 4
dx
I
+) Với
3
2
dx x
2 sin
cos
x
1 2
1 2 2
2
2 cos
x
1 cos
x
sin
4
4
4
4
4
4
8
dx
dx x 2
d
3 4
3 4
cot
x 2
8
2
2 2
1 2
1 2
sin
4
4
8 8
x 2 x 2
x
cos 4
x
cos 2
x
3
2
3
3)
cos
x .cos 3
x
cos
x .(cos .cos3 ) x x
.
I
cos
x .cos 3
xdx
4
1 cos 2 2
2
0
cos 4
x
cos 2
x
x cos 2 .cos 4
x
2 cos 2
x
cos 6
x
3cos 2
x
1
cos 6
x
x
x
1 4 cos 2
cos 4
x
cos 2
x
1 4
2
1 cos 4 2
x 3cos 4 8
Trang 22
4) Ta có:
x
x
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
(cos 6
x
3cos 4
x
3cos 2
x
1)
dx
x
I 4
1 8
1 sin 6 6 8
3sin 4 4
3sin 2 2
8
0
0
3
=
cos 3
x
4 cos
3cos x
Chú ý: Bài toán trên ta có thể có cách biến đổi : Xuất phát từ công thức nhân 3 của cos: x
x cos 2 )
3
3
2 cos 3
x
4cos
x .cos 3
x
x 3cos .cos3
x
4 cos
x .cos 3
x
x 1 cos 6 2
x 2 3cos 2
x
1
cos 6
x
x .cos3
x
( sau đó nhân cả 2 vế với cos 3x ) 3(cos 4
x 3cos 4 8
4
3
3
3 cos
I
x cos 2 .(sin
x
sin 3
x
cos
x
cos 3 )
x dx
5
0
2
2
3
3
x
x
x
sin
cos
sin 3
cos 3
sin (1 cos
x
x
) sin 3
x
x
x
x sin cos 3
x
x sin sin 3
x
x cos cos 3
x
x cos sin 3 x
x sin cos
x
) cos 3 x
cos (1 sin
x
sin cos .sin 4
x
x
x
2
5)
2
x
x cos 2 x cos 2
x 2 sin cos .sin 2 cos 2 x x x sin 2 cos 2
x x x cos 2 2 cos 2 (1 sin 2 ) x
x
x sin 2 cos 2 3 x cos 2
2
4
4
4
4
x
3
Ta có: = x = = cos 2
I
x cos 2 .cos 2
xdx
4 cos 2
xdx
dx
x
2 cos 4
5
1 2 cos 4
x dx
1 4
1 cos 4 2
0
0
0
0
4
4
4
x
1 2 cos 4
x
dx
2cos 4
x
cos 8
x
sin 4
x
sin 8
x
3 32
1 4
1 cos 8 2
1 4
3 2
1 2
1 2
1 16
x dx
1 3 4 2
0
0
0
2
2
2
Khi đó:
4
4
4
I
dx
x 1 cos 2 2 cos 2 x 2 sin 2 2cos 2 x x 1 cos 2 2 x 4 x 4 6)
Ta có:
6
4
4
2
sin x
x cos
x
sin
0
4
4
2 sin 2
2
4
4
4
4
x
x x cos x 1 x sin sin 1 2 2 sin 2 2
I
dx
1
dx
x
dx
I
6
2
1 2 sin 2 2
x 2 sin 2
2 cos 2 x
1 2
2 cos 2 x 2 2 sin 2
x
1 2
cos 2 x 2 2 sin 2
x
8
0
0
0
0
4
Khi đó:
t , suy ra: : 0
1
t
sin 2
x
dt
2 cos 2
xdx
cos 2
xdx
I
dx
dt 2
x
0
1
1
1
1
Tính Đặt và
x cos 2 2 2 sin 2
2
2 1
0
0
0
ln
2 2 dt dt ln ln I dt t 1 4 2 1 2 t 1 2 t 1 4 2 2 2 t t 1 2 2 1 4 2 2 t 2 1 2 2 0 t
6I
t t 2 1
8
1 2 2
Vậy
2
2
2
2
4
4
4
4
4
sin
x
cos
sin
x
cos
x
x
sin
x
cos
x
4
4
4
sin
sin x
x cos
x
1 2
1 2
cos 2 x 2 2 sin 2
x
sin x x cos
cos 2 sin
x 4 x
2 sin 2
x
1 2
2 1
Trang 23
Chú ý: Bài toán trên ta có thể có cách biến đổi :
2
4
I
dx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: 1)
2)
I 1
2
dx x
cos
x
2sin 3sin
x x
x 11cos x 4cos
0 1 sin
0
0
3
2
I
dx
I
dx
I
3)
4)
5)
4
3
5
2
x sin x 7 cos 6 x x 4sin 3cos 5
x sin 2 x (2 sin )
0
2
6
x sin .sin 6 dx x
Giải:
2
2
2
2
1 tan dx 1 x 2 dt dx dx dx 2 t 2 2 dt 2 t 1 2cos t tan 1)
Đặt
I 1
dx x
cos
x
0 1 sin
2
x 2 x 2
2
2
1
1
1
2
x
: 0
ln
t
1
1
x ; cos x 2 t t 1 1 1 t t sin
t , khi đó : 0
ln 2
I 1
0
thì 2
dt 1
t
2
0
0
t
1
2
1
dt 2 t t
1
1 1
2 t 2 t
4
và
x
cos
x A
(3sin
x
x 4 cos )
B
(3 cos
x
x 4 sin )
I
dx
2)
Ta phân tích: 2 sin
2
2sin 3sin
x x
0
2sin
x
11cos
x
(3
A
4 ) sin
B
x
(4
A
3 ) cos
B
x
11cos x x 4cos
Đồng nhất hệ số ta được:
4
4
4
2(3sin
x
x
x 4sin )
d
A A 4 3 B B 2 11 A B 2 1 3 4
I
dx
2
dx
2
4cos ) (3cos x 4 cos x x 3sin
x x 4 cos ) (3sin 4 cos x x 3sin
0
0
0
2
x
ln 3sin
x
4 cos
x
ln
4
0
2
7 2 8
2
Khi đó :
x
7 cos
x
6
A
(4 sin
x
3cos
x
5)
B
(4 cos
x
3sin )
x C
I
dx
3)
Phân tích: sin
3
6 7 cos x sin x x x 4sin 3cos 5
0
x
7 cos
x
6 (4
A
3 ) sin
B
x
(3
A
4 ) cos
B
x
5
A C
4
A
3
B
1
A
4
B
A B C
7
1
sin
A C
6
3 5
2
2
2
Đồng nhất hệ số ta được:
I
dx
dx
dx
3
4sin 4sin
x x
3cos 3cos
x x
5 5
4cos x
4sin
x
3cos
3sin x
x
5
4sin
x
x
5
1 3cos
0
0
0
2
2
d
Khi đó :
dx
I
x
ln 4sin
x
3cos
x
5
I
ln
I
2 0
x x 5) 3cos (4sin 5 x 3cos x 4sin
2
9 8
0
0
Trang 24
(*)
dx
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
t
tan
I
dx
2
1 3cos
4sin
x
x
5
x 2
0
;
cos
x
x
2
2
1 1
t t
dt 2 2 t 1 2 t t
1
sin
1
1
1
1
dt 2 2 t 1
Tính Đặt
x
: 0
I
t . Suy ra : 0
1
2
2
2
thì 2
dt t 4
t
4
dt
2)
(
t
1
t
2
1 6
0
0
0
0
3.
5
4.
2
2
1 1
t t
ln
(2*) và
2 t t 1 1 6
9 8
2
0
I
dx
Thay (2*) vào (*) ta được: 3I
4
2
x sin 2 x (2 sin )
2
4)
0
0
0
0
x
x
I
dx
dx
2
dx
4
dx
4
2
2
2
sin 2 x x (2 sin )
x 2 cos (2 sin ) 4 cos x (2 sin )
cos x 2 sin
x
cos x x (2 sin )
2
2
2
2
0
0
0
d
2 ln 2 2
4
2
2ln 2 sin
x
x (2 sin ) 2 sin x
x d (2 sin ) 2 (2 sin ) x
4 2 sin
x
2
2
2
Cách 1: (Phân tích, kết hợp kĩ thuật vi phân)
Cách 2: (Đổi biến)
t
2 sin
x
dt
cos
xdx
t :1 2
x
:
thì
0
2
2
2
2
0
Đặt và
2 ln 2 2
4
2
1
1
1
2
3
3
3
dx
2
dx
2( 2) Khi đó I cos xdx dt dt 2 ln t t 2 t 2 t 4 2 t 4 t x 2sin x (2 sin )
I
5
5
x sin .
3 sin
x
cos
x
x sin .
sin
x
cos
x
6
6
6
3 2
1 2
3
3
3 cot
dx
2 ln
2 ln 3 cot
x
2
3 2
sin
x .
3 cot
x
3 cot
x
3 6
x
d
2 6
2 6
sin
x
x
sin
x
cos
x
cos
sin
x
x
3
3
6
6
5) Cách 1: I x sin .sin 6 dx x
I
dx
dx
5
sin
x sin .sin
x
x sin .sin
x
2 6
. 6
1 6
6
6
6
3
cos
x
d
sin
x
3
3
6
x
dx
2
2ln
2 ln
cos sin
x x
x d sin x sin
3 2
sin
x
sin
x
x
sin
2 6
6
6
6 6
6
6 6
sin
6
Trang 25
Cách 2:
Khi gặp tích phân
mà
là các hàm bậc nhất theo
và
thì ta có thể dùng phương
dx
I
cos x
sin x
h x g x ( )
( ),
( ) f x g x ( )
*)
. Khi đó:
A
B
a sin c sin
( ) h x g x ( )
cos cos
x x
c c
sin sin
x x
x d x d
c c
cos sin
x d x d
sin cos
x x
pháp đồng nhất hệ số: x b x d
A x B
.
c ln sin
x d
cos
x
?
c c
cos sin
x d x d
sin cos
x x
d c ( sin c sin
x d x d
x cos ) x cos
I A dx B
cos
sin
*)
.Khi đó:
A
B
C
( ) h x g x ( )
x b x d
a sin c sin
cos cos
x e x h
cos cos dx A dx B x d x d
cos cos
sin sin
c c
x h x h
c sin
x x h
cos
c
1 x d
c
sin
cos
x h
x d x d
và ta tính
bằng hai cách:
I
I
Ax B
c ln sin
x d
cos
x h
C I .
3
3
c
sin
dx x d
cos
x h
C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển về các công thức lượng giác trong bảng nguyên hàm .
2
C2: Đặt
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHÚ Ý :
t
tan
dx
sinx
cos
x
;
và
2
2
2 t t
1
1 1
t t
x 2
2 dt 2 t 1
Bài luyện
4
2
4
Tính các tích phân sau:
6 tan xdx
28 15
56 15
13 15
4
dx 6 sin
x
dx 6 cos
x
0
4
2
4 6
2
(2
3)
( Đs: ( Đs: ( Đs: ) 1) 1I ) 2) 2I ) 3) 3I
ln
sin sin 2 sin 3
x
x
xdx
4I
1 6
1 4
3
dx x
sin
x
0
0 3 cos 2
2
2
2
4) ( Đs: ( Đs: ) ) 5) 5I
x sin 2 cos 3
x
2sin
cos
x .cos 4
xdx
) 7) 7I
x dx
2
2 5
0
0
3
3
2
2
( Đs: ( Đs: 0 ) 6) 6I
) 1
2
2
1 2
2
4 3 3
sin 1 cos
xdx x
sin 1 sin
xdx x
dx x cos
x
sin
0
0
6
4
4
2
3
ln
( Đs: ( Đs: ( Đs: 8) 8I ) 9) 9I ) 10) 10I
dx
42 3 2 ) 12) 12I
2
4
sin x
x
cos
cos x
x
sin
3
dx x
sin
cot
x
0
3
6 2
( Đs: ( Đs: ) 11) 11I
ln
ln 2
dx
1 6
9 8
4 3 3
4sin 4sin
x x
3cos 3cos
x x
1 5
0
0 cos .cos x
Trang 26
dx ( Đs: ( Đs: ) 13) 13I ) 14) 14I x 3
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 IV. 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG n
(*)
DẠNG 1:
( ),
g x
g x dx '( )
I 1
f g x
( ) .
CÁCH GIẢI CHUNG
Các ví dụ minh họa
4
1
4
2
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
dx
x
2
2 x dx
dx
2I
I 1
x 4 1 x 2 1 2
x 2
x
1
1
1
0
0
0
2 3
0
2
4
dx
x
x
1) (B – 2013) 2) (D – 2011) 3) 3I
4)
dx
4I
6I
5
3
xdx 1 2
x
x
1
x
2 x x
4
1
5
1
1 1
31 2
4 7
1
2
2
(A – 2003) 6 ) 5) 5I
I
dx
9
3
3
2
x
1
x
3 x dx 3 4 x
1
1
1
0 1
1 2
dx 9) 10) I 10 7) 7I 8) 8I xdx 2 x x 1 x 4 x
1
Giải:
x
2
2 x dx
I 1
0
2
2
2
1) (B – 2013)
x thì 1
: 0
t
: 2
1
t
2
tdt 2
2
x
x
t
2
xdx
xdx
tdt
2
1
2
3
Đặt và
t tdt .
2 t dt
I 1
2 2 1 3
t 3
1
2
1
4
2
2
t
2
x
1
t
2
x
tdt
1
dx
Khi đó
dx
x thì 4
: 0
t :1 3
x 2
x
1
1
1
0
3
3
3
2
2
2 ln 2
tdt .
t
1
t
t ln(
1)
I 2
3 1
t
t
1
t
t
dt 1
1
t
1
t 2
dt
1
1
1
Trang 27
Đặt và 2) 2I
4
dx
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
x thì
: 0
4
t :1 3
t
2
x
1
t
2
x
1
dx
2
2
x
t
1
x 4 1 1 2 x 2
0
tdt
3
3
3
2
3
3
10
t 2
t 2(
2
2
t 2
t 4
5
dt
t 2
t 5
10 ln(
t
2)
tdt .
dt
10 ln
I 3
3 1
t
2
3
1) 1 2
t
t 2 t
t 3 2
1
40 3
5 3
1
1
2
2
2
2
4
4
x
x
x
x
1 1
(D – 2011) Đặt và 3) 3I
I
dx
dx
dx
A B
4
3
3
3
dx 3 x
x x
1
1
x
1
x
x
x
1
x
x
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
2
4) (*)
1
2
+) Tính (1) B dx 3 x 21 2 1 x 2 3 8
1 1
dx
2
dx +) Tính A x x 1
t
x
1
1
t
x thì
:1
2
t : 0 1
tdt 2 2
x
t
1
x
1
1
1
2
3
3
2
1
t (
tdt
2
4ln 2
Đặt và
A
2
dt
2
t
2
t
dt
2
t 2
t 2 ln(
1)
1).2 1 t
t t
t 1
2
t
1
t 3
t 2
0
11 3
0
0
0
(2)
4 ln 2
4I
97 24
2 3
dx
Thay (1); (2) vào (*) ta được:
2 x x
4
5
xdx
2
2
2
(A – 2003) 5) 5I
t : 3 4
x
: 5
2 3
t
x
4
t
x
2
2
x
t
4
tdt 4
2 3
2 3
4
4
dx
xdx
t
dt
Đặt và thì
I
5
2
2
2
2
2
tdt
t (
t 4).
dt
t
4
4 1 [( 4
( t
2)
( t t 2)(
2)] 2)
3
3
3
x x
4
x
x
4
5
5
4
4
ln
dt
ln
1 4
1
t
1
t
2
2
1 4
t t
2 2
3
1 4
5 3
3
dx
dx
2
4 t dt
0
2 5
5
t
5 1 2
x
Khi đó
6)
Đặt
x
t
t : 2 1
4 5 t dt 1 2
6I
5
5
1
xdx 1 2
x
31 2
x
t 2
5
1
.
4 t dt
1
2
4
9
t 2
2 5
3
t (
8 t dt )
I 6
2 1
t
1 5
t 4
t 9
1909 36
2
1
4 7
3
4
3
4
3 x dx
t dt
và cận
t
x
1
t
x
1
2 t dt 3
4
3 x dx
t :1
2
23 4
3 x dx 3 4 x
1
0 1
2
2
2
2
ln
t
1
dt
t
t ln(
1)
I 7
2 t dt t
3 4
1
t
1
1
3 3 8 4
3 2
3 4 1 1
1
t 3 4 2
Trang 28
Đặt và cận 7) 7I
2
dx
5 t dt 6
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
6
6
t
6 x
x
t :1
2
3
2
3
2
4
3
x
t
;
x
t
1
t
6
6
6
2
2
2
2
6
2
3
6
6
6
t
1
dt
6
t
t ln(
1)
3 2 6 2 3 6 ln
I 21
5 t dt 6 3 4 t t
2 t dt t 1
1
t
1
t 2
6 1 2
2 1
1
1
1
dx Đặt và cận 8) 8I x 4 x
6
t
6 x
Nhận xét: Trong bài toán trên đồng thời xuất hiện căn bậc 2 và căn bậc 3 nên chúng ta đã tìm cách đổi biến để đồng
x
t ( ở đây 6
BCNN
(2;3)
b
k
m
n
t
g x ( )
thời mất cả hai căn. Khi đó chúng ta sẽ nghĩ tới việc đặt hay ) .
I
f
(
g x
( ),
g x dx ( ))
a
1
1
1
1
2
x
1
x
Như vậy khi gặp thì ta đặt với k là BCNN của m và n.
I
dx
dx
dx
dx
9
3
x
1
x
3
3
x
1
x
1
x
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 3 x
1 3 x
1 3 x
2
3
9)
2 x dx
2 x dx
2
2
2
2
Đặt t 1 1 x t 3 dt dt 1 3 x 2 t 2 1) ( t 1 3 x 1 1 t 2 . t 3 ( t 1)
t . Khi đó : : 3
2
x thì
1
:
1 2
3
3
3
3
2
tdt
2 2 1
dt
ln
I
ln
9
2
2 3
dt 2
2 1 3
t
dt t 1)(
(
t
1)
1 3
1
1
t
1
t
1
1 3
t t
1 1
2 3
1 3
2
2
3
2
2
2
(
t
2 1) .
t .
2
1
1
t
2
và
1
2
2
2
xdx
tdt
1
1
x
x
t
t
10) I 10 xdx 2 x x 1
nhưng ta không chuyển được x theo t
Nhận xét: Nếu đặt Khi đó ta nghĩ tới việc nhân liên hợp. Cụ thể ta có lời giải:
2
2
2
2
2
2
x x
x
1
dx
2
2
x x
x
1
dx
2 x dx
x x
dx 1
I 10
xdx 2
2
2
x
x
1
1
1
1
1
1
x
x
1
x
x
1
I
x
(1) I
3 2 1
7 3
1 3
2
2
1
2
2
2
Tính I x x dx 1
t : 0 3
t
x
1
t
x
tdt
1
xdx
x thì
:1
2
3
3
3
Đặt và
I
t tdt .
2 t dt
3
t 3 3 0
0
0
(2) .
3
10I
7 3
Trang 29
Từ (1) và (2)
2
2
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
dx
dx
I 1
sin 2 2
2
sin 2 x 1 3cos
sinx x
0
0
cos
x
4sin
x
2
2
6
3
5
sin
x
1 cos
x
sin
xdx
1 cos
x
x sin cos
xdx
1) (A – 2005) (A – 2006) 2) 2I
0
0
3) 3I 4) 4I
Giải:
2
sin 2
x
dx
I 1
2
2
0
cos
x
4sin
x
2
2
2
2
t
cos
x
4sin
x
1 3sin
x
2
1 3sin
t
x
tdt 2
x 6sin cos
xdx
sin 2
xdx
tdt
1)
Đặt
2 3
2
2
t :1
2
2 3
1
1
2
và cận dt t I 1 2 1 2 3 tdt t 2 3 2 3
dx
x sin 2 1 3cos
sinx x
0
tdt 2
3sin
xdx
sin
xdx
tdt
2 3
(A – 2005) 2) 2I
t
1 3cos
x
2
1 3cos
t
x
t : 2 1
2
t
1
cos
x
3
2
t
1
2
3
2.
2
x
2
1 .
tdt
t (2
1)
dt
t
dx
I 2
2 1
1 3 t
2 3
2 9
34 27
(2 cos x 1 3cos
1)sin x
0
2
1
2 2 t 3 9
2
2
2
2
Đặt và
sin
x
1 cos
x
sin
xdx
sin
xdx
1 cos
x
sin
xdx A B
0
0
0
2
2
x
x
2
(*) 3) 3I
A
sin
xdx
dx
1 cos 2 2
x 2
sin 2 4
0
0
2 4 0
2
t
1 cos
x
2
1 cos
t
x
tdt 2
sin
xdx
+) Tính (1)
t
: 2
1
B
1 cos
x
sin
xdx
0
2
2
3
B
2
t tdt .
2
2 t dt
+) Tính Đặt và cận
4
4 2 2 3
t 2 3
4 2 2 3
2 1
1
1
2
2
2
2
x
2
(2) .Thay (1), (2) vào (*) ta được: 3 I
I
sin
xdx
1 cos
x
sin
xdx
dx
1 cos
xd
x (1 cos )
3
1 cos 2 2
0
0
0
0
x
3
(Các em có thể trình bày :
x (1 cos )
4
4 2 2 3
x 2
sin 2 4
2 3
2 0
Trang 30
)
2
6
3
5
1 cos
x
x sin cos
xdx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
0
2
2
3cos
x
sin
xdx
x sin cos
xdx
5 t dt 2
6
3
3
t
1 cos
x
6
1 cos
t
x
4) 4I
t 1 : 0
3
6
x
1
t
5 6 t dt cos
1
2
7
13
1
6
3
3
2
6
6
12
1 cos
x
cos
x
x sin cos
xdx
t
(1
t
).2
5 t dt
t
)
dt
I 4
t 7
t 13
0
6 91
0
0
1 2 ( t 0
Đặt và cận
e
x
x
dx
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
dx
2I
e 3
1 3ln ln x
3 2ln x 1 2 ln
x
x
1
1
e
ln(
ex
)
x
(B – 2004) 2) 1) 1I
I
dx
I
dx
3
4
2 x 1 ln ( 1) x 1).ln( x 1)
(
ln
x
x
1
3 1 1 e
e x x x 1
ln
3) 4)
tdt
tdt 2
e
x
x
dx x
2 3
Giải:
t
1 3ln
x
2
1 3ln
t
x
và cận:
Đặt
t :1 2
dx
2
1 3ln ln x
t
1
1
ln
x
dx 3 x 3
2
2
2
5
3
2
t
4
t
.
tdt
(
t
2 t dt )
I 1
3
1 2 . 3
2 9
t 3
1
116 135
1
1
t 2 9 5
1) 1I
dx
t
1 2 ln
x
2
1 2 ln
t
x
t :1 2
e 3
3 2 ln x 1 2ln
x
x
2
1
2ln
dx x
x
t
1
tdt
2
2
2
3
2
1)
tdt .
(4
2 t dt )
t 4
I 2
3 ( t t
5 3
1
1
t 13
e
Đặt và cận 2) 2I
I
dx
3
2 1) 1 ln ( x x 1).ln( x 1)
(
3 1 1 e
2
3)
t
2 1 ln (
x
t
1)
2 1 ln (
x
tdt
1)
dx
x e :
3 thì
1
1
e
t
: 2
2
x 1) ln( 1 x
2
2
2
e
2
Đặt và
I
dx
tdt .
dt
dt
3
2
t 2
2
2 1 ln ( x 2 1) ln ( x
1) ln( x 1) . 1 x
t
1
t
t
1
1
1
t
1
3 1 1 e
2
2
2
2
2
2
2 2 1
dt
.
dt
t
ln
2
2
ln
t ( t 1 ( 1) 1) . t t 2 ( 1) 1)(
1 2
t
1
1
1
t
1
1 2
t t
3
1 2
1
1 1
1
2
2
2
Trang 31
Khi đó
ln(
ex
)
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
dx
4
ln
x
x
1
e x x x 1
ln
x
1
2
t
:1
1
t
x
ln
ln
x
x
x
t
tdt 2
1
dx
dx
4)
e
:1x
e thì
1 x
x
e
e
e
1
e
1
2
3
1
x 1 ln )
x
x
x
Đặt và
I
dx
.
dx
.2
tdt
2
dt
4
x
t 1
t
t 1
t
ln x
x ln
x
1
x
x
x
ln
1
1
1
1
x x ( 1
ln
e
1
e
1
3
2
2(
e
e
1
e 3
2
1
1
2
2 ln
2
t
1
t
dt
2
t
ln 1
t
3
e 2
2) 3
1
t 3
t 2
1 t
1
1
1
Khi đó
1
ln 5
2
x
2
x
2
x
x e dx
(
x
(1
x e )
I
I
dx
I
dx
4
3
2
x
x
x
x
2 x e dx x
e 2 4 x
) 4
x 2 e
e 1
0
0
2
1
xe
0 (
e
1)
e
1
ln 2
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: ln 3 2) 1) 3) 4) I 1 e 1
ln 5
tdt 2
x e dx
x
2
x
t
e
1
t
e
Giải:
x
: ln 2
thì ln 5
t :1 2
x
2 x e dx x
e
2 t
1
ln 2
1
2
2
3
2
x x e e dx .
t (
tdt
2
t
1)
dt
2
t
I 1
x
1).2 t
t 3
1
20 3
ln 2
1
2 2 ( 1
e
1
ln 3
x e dx
x
2
x
1) và Đặt I 1 e 1 ln 5
I
t
e
1
t
e
1
tdt 2
x e dx
x thì
ln 3
: 0
t
: 2
2
2
x
x
0 (
e
1)
e
1
2
2
2
2 1
2
I 2
2 tdt 2 t . t
dt 2 t
2 t
2
2
2
1
2
x
2
x
2
(
x
2
2
x
2
2
2
x
2
x
2
2) Đặt và
t
x
e
t
x
tdt
e
(
x
e
)
dx
I
dx
t
:1
1
e
4
x
e 2 4 x
) 4
x 2 e
e 1
0
2
2
2
1
e
1
e
1
e
2
4) Đặt và
I
dt
dt
4
t tdt . 2 t 4
1
1 4
t 4 t 4
1 1 2 1
1 4
1 t 1)(2
t (2
1)
1
1
1
1
2
1
2 e
1
e
2
2
1
1
6 1
e
3
dt
t
ln
ln
2
1 4
1 1 2 t
1
1 4
1 4
t 2 t 2
1 16
e 4
1 1 2 2 t
1
1 1
1
2 1
e
1
1
1
6
Khi đó
I
dx
I 1
2
3
cos 2
cos x
x cos 2
x
0 (1
dx 33 ) 1
x
x
0
1
Ví dụ 5. Tính tích phân : 1) 2)
I 1
3
dx 33 ) 1
x
x
0 (1
3
3
3
3
1)
t
1
1
2 t dt
x
x
t
2 x dx
Trang 32
Phân tích: Nếu đặt:
1
1
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
3
3
2
3
dx 3 ) 1
(1
x
x
x
(1
2 x dx 3 3 ) 1
x
x
0
0
Vậy để chỉnh được vi phân ta phải biến đổi
2x dưới mẫu số không rút được theo t và giá như không có
2x dưới mẫu số song vẫn có
2x dx để ta
x
nhưng
nhưng do cận
x ta không tìm được cận t tương ứng
0
1 t
dt
dx
chỉnh vi phân. Từ đây ta nghĩ tới việc đặt
I
dx
x
I
3
3
3
1 t
2
(1
x
)
(1
x
)
3
1
t
1
1 3 t
1 3 t
3
3
3
3
I
Giải: Tính nguyên hàm: Đặt nên ta “khắc phục” bằng cách tính nguyên hàm rồi sau đó mới thế cận. dt 2 t
u
t
1
u
1
t
2 u du
2 t dt
3
3
t
t
1
2 t dt 3 1
1
hay Đặt:
x
1
I 1
3
3
3
3
3
2 u du 3 u u .
1
x
0
3
3
4 3
I
(
t
1)
d t (
1)
C
x I C C C 1 3 du 2 u 1 u t 1 1 x
3
3
1 3
3
1 3
t
t
1
t
1
2 t dt 3 1
x
(có thể dùng kĩ thuật vi phân để tính : )
I
n
1 t
dx ) nn
(
a bx
a bx
6
CHÚ Ý : Dạng tổng quát của bài toán trên và ta giải bằng cách đặt
I
dx
2
cos x
x cos 2
x
cos 2
0
cos 2
x
t
2)
thì sẽ không ổn.
6
6
cos
x
cos
x
Phân tích: Tương tự như ý 1) nếu bài toán này ta đặt Nên trước tiên ta sẽ biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân. Cụ thể ta có lời giải như sau:
I
dx
dx
2
2
2
cos 2
x
cos 2
x
(1 2sin
x
) 1 2sin
x
0
0
1 2
dt
Giải: +) Ta có:
t
sin
x
dt
cos
xdx
I 2
2
1 t : 0 2
2 0 (1 2 ) 1 2 t t
+) Đặt và (*)
2
2 t (1 2 ) 1 2
2
udu
d u (
du
I
dt +) Ta sẽ đi tính nguyên hàm I t
t
dt
2
2
2) 2
2
1 2
1 u
du 2 u
2
(
u
2)
u
2
(
u
2)
u
2
u
1
1
2 2 u
2 2 u
t
2
2
3 2
u (
2)
d u (
2)
C
C
C
1 2
2
1 2
u
2
1 2 t
2
1 1 2 t
1 2
1 2
dt
t
I 2
2
2
2 2
2 t (1 2 ) 1 2
t
1 2 t
0
0
Trang 33
Đặt
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
n
1 . t
dx ) nn
(
a bx
a bx
CHÚ Ý : +) Dạng tổng quát của (*) là và ta giải bằng cách đặt
+) Dạng tích phân trên các em sẽ được tìm hiểu kĩ hơn ở Dạng 9.
3
4
1
1
2 x dx
dx
dx
Ví dụ 6. Tính tích phân :
I
I
I
2
I 1
3
4
2
2
dx
x
x
1
x
1
x
0 1
0
1 1
x
4
x
3
0 1
x x
1) 2) 3) 4)
4
2 x dx
t
1
x x
2
1
t
x x
Giải:
I 1
0 1
x x
2
3
2
2
2
x x
t
1
x
t (
2
1)
3
2 x dx
t t 4 (
dt
1)
2 x dx
t t (
1)
dt
4 3 3
3
3
2
3
t t (
1)
dt
2
Đặt 1)
x thì
: 0
4
t , khi đó: :1
3
(
t
1)
dt
t
I 1
80 9
4 3
t
4 3
1
1
t 4 3 3
1
3
dx
và
I
2
2
1
x
1 1
x Cách 1: (Nhân liên hợp)
3
3
3
3
2
2
2
dx
x
1
x
1
I
dx
dx
1
dx
2
2
2
1 x 2 ) x (1
1 x (1 x
)
x 2
1 x
1 2
1 x
x
1
1
1
1
1
x
1
x
3
3
2
x
1
2)
ln
x
x
dx
I
1 2
1 2
x
ln 3 4
3 1 1 2 2
1
1
3
2
2
2
2
:1
3
(*)
x thì
I
dx
t
: 2
2
t
1
1
tdt
x
x
t
xdx
1 x x
1
3
2
2
2
2
2
x
t
Tính Đặt và
I
xdx
tdt .
dt
dt
2
2
1 2 x
t
1
t
1 1 2 1
t
1
1
t
1
1
2
2
2
2
2
dt
t
ln
1 2
t
1
1
1
t
1
1 2
t t
1
1 1
2
2
Khi đó
2
2 ln( 2 1)
ln 3
1 2
3
2 3 ln(3 2 3)
(2*)
2I
2
Thay (2*) vào (*) ta được:
2
2
t
1
1
t
2
2
2
2
Cách 2:
t
x
1
t
x
x
1
x
t
tx 2
x
2
1
x
x
dx
dt
2 t
2 t 2
Đặt
x thì
:1
3
t :1 2
2
3
Trang 34
và , khi đó:
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
1
t
t
I
dt
dt
dt
dt
2
1
t . 2 t 1 2
t
1 2
t 2 (
t
1 1)
t
1 2
t ( 1) 2 t ( t 1)
1 2
1
t
1
1 2 t
1
t t (
1)
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
2
3
dt
dt
1 2
t
1
1
1 2 t
1 t
1
t
1
1 2
t
2
1
1 2 t
1 t
1
2
1
2
2
3
3
2 3 ln(3 2 3)
2 ln
t
1
ln
t
2
1 2
1 t
1
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
A C
1
1
A
2
2
(
CHÚ Ý: Các em có thể sử dụng kĩ thuật đồng nhất hệ số để biến đổi :
A B
B
0
1
2
t 2 (
t
1 1)
t
A B 2 t t
C
t
1
A C t ) t
( A B t B ) 1) ( t
B
1
2
C
2
, đồng nhất hệ số :
t 2 t (
1 1)
t
1 t
1 2 t
2
1
t
1
Khi đó ta được:
I
3
dx
x
x
1
0 1
2
t
x
x
1
3)
2 t
2
x
1 2
x x (
1)
2
x x (
1)
t
(2
x
1)
2
t
2
4
2
2
4
2
4 x
4
x
t
2(2
x
1)
t
4
x
4
x
1
2 t x 4
t
t 2
1
x
2 1 t 2
2
2
2
2
1
t
t
1
t (
1)
Đặt
x thì
: 0
1
dx
2.
.
dt
dt
t :1
1
2
2 t
2 t 2
1)( t 3 t 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
3
t (
1)
t (
1)
t
1
t
t
Suy ra và
I
.
dt
dt
dt
3
1
1
t
1 2
t 1)( 3 t
t 1)( 3 t 2
2 3 t
1 2
1
1
1
1
2
1
2
3
2 ln( 2 1)
1
dt
t
ln
t
2
1 2
1 t
1 2 t
1 3 t
1 2
1 t
1 2 t 2
1
1
Khi đó
1
x
1
x
1
CHÚ Ý:
1
2
1 2
x
1
x
x
1
1
1 (1
x x )
1 x x ( 1)
x 2
x
1 x
1
Nếu ta biến đổi và áp dụng
0x .
I
3
dx
x
x
1
0 1
1
1
dx
để giải thì phép biến đổi trên không chính xác do không xác định tại cận tại
t
x
1
x
3
I
4
2
(
x
x
3)
dx 1)(
0
0
x
4
x
3
dt
dx
dx
t .
2 dt t
1 x
2
1 x
1
2
3
x 2 (
1 x
1)(
x 3 3) x
dx 1)(
2 (
x
x
3)
(
x
x
3)
dx 1)(
2
2
2
2
4) Đặt
I
2
2ln
t
t :1 3
2
2
x thì 1
: 0
4
1
3
dt t
1
3
Trang 35
và . Khi đó: 2 ln 2 1 2 3
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Bài luyện
2
1
2 5
3
2
3
x
2 5
xdx
Tính các tích phân sau:
x
1
2 x dx
x
x
dx 1
52 9
2 15
3 50
0
0
1 5
1
2
( Đs: ( Đs: ( Đs: ) 1) 1I ) 2) 2I ) 3) 3I
dx
dx
4I
4 2 2 3
11 6
x 4
x
1
1
x x
1
0
0
10
6
4) (CĐ – 2012) ( Đs: ( Đs: ) ) 5) 5I
ln
1 3 2 12
dx x 2
x
1
5
2 2 2
2
2
dx ( Đs:1 2 ln 2 ( Đs: ) 6) 6I ) 7) 7I x 1 4 x 1
4 ln 2
3 2 ln(2
3)
dx
4 x x
11 3
1
1 1 3
3
2 2
2
(A – 2004) ( Đs: ( Đs: ) dx 8) 8I ) 9) 9I x x 1
dx
dx
1
ln
dx
3
12 5
3 2
1 2
1 x x
xdx x 2
2
x 2 x
1
0
3
1 2
1
1
3
3
2
x
x
x
( Đs: (Đs: ) 10) 10I ( Đs: 1) 11) 11I ) 12) 12I
3 3
2 ln 2
dx
dx
2
2
11 6
16 3
0
1
x
x
1 7
0 4 1
x
1
( Đs: ( Đs: ) 13) 13I ) 14) 14I
dx
x
3
dx
ln
2
2
46 27
3 4
3 2
3 2
1 1 3
x
4
x
0
3 x
1
1
0 1 2
7
x
( Đs: ( Đs: ) 15) 15I ) 16) 16I
ln
dx
3
4
2 3
2 1 2
4 2 2 9
1
x
1
0 1 64
x
dx ( Đs: ) ( Đs: 17) 17I ) 18) 18I x 1 x
dx
I
11 6 ln
20
3
2
2 2 2 3
2 3
0
1
x
x
1
0
1
dx
) ( Đs: ) 20) ( Đs: 19) 19I dx x x
17 9 3 9
8 4 2 3
xdx 1
x
2
x
1
1
x
1 1 2
0 3 1 2
dx
( Đs: ( Đs: ) 21) 21I ) 22) 22I
dx
ln
2
28 27
2 3
3 2
sin 2 1
x s inx 1 3cos x
0
x (3 2 ) 5 6
x
2
x
1 2
e
ln 6
3
2
1
x
.ln
x
ln (Đs: ( Đs: ) 23) 23I ) 24) 24I 2 2 2 2 5 17 1
dx
ln(2
3)
6 2 3 8
1 ln x
3
0
1
3
e
e
1 3xe 2
ln
xdx
3
2 ln( 2 1)
( Đs: ( Đs: ) 25) 25I ) 26) 26I
dx
2
4
76 15
ln x 1 ln
x
x
1
1
x
1 ln
x
1 ln
x
( Đs: ) ( Đs: 27) 27I ) 28) 28I
1
3
2
8
x
6
x
5
x
1
dx
54 ln 2
2
95 3
0
2
x
x
1
( Đs: ) 29) 29I
ln
x
x
ln(
ex
dx
2
x
ln
x
1
3 e x 2 x 1
)
Trang 36
7 (3 2 ) 3 e 2 ln ( Đs: ) 30) 30I e 3 2 e 1 3
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
DẠNG 2:
(2*)
I
f x
,n
ax bx c dx
2
CÁCH GIẢI CHUNG
CHÚ Ý:
dx 2
x
k
*) Với tích phân có dạng
2
2
dx
(
x
x
k dx )
d x (
x
k
)
2
ln(
x
x
k
)
...
2
2
2
2
(
x
x
k
)
x
k
(
x
x
k
)
x
k
2
thì ta có thể không dùng tới phương pháp trên. Cụ thể ta biến đổi:
t
(
x
x
k
)
2
2
2
2
mà
thì đặt
( hoặc
)
Hoặc một cách trình bày khác: Đặt (phương pháp đổi biến)
I
f
(
ax
bx
c dx )
2ax
bx c
=
u u
u
sin
t
u
cos
t
*) Với tích phân
thì đặt
I
f
dx
.
x m
cos 2
t
m x m x
*) Với tích phân
Các ví dụ minh họa
2
2
2
1
2
I
dx
x
4
2 x dx
2
I 1
2
x x
0
1
3
2
2
2
2 2
x
dx
2 x dx
Ví dụ . Tính các tích phân sau: 1) 2)
I
dx
I
4
3
dx 2
2
2
2
x
1
3
x
0
0
0
x
2
x
4
2
2
e
2
1 2
dx
3) 4) 5) 5I 6) 6I 1 x
dx
7I
2
2
1 2 x
2 2
x x
cos xdx 7 cos 2
x
x
x
1
1
0
1 4
Trang 37
dx 8) 8I 9) 9I 10) 10I x 1 3ln x 7)
2
dx
2cos
tdt
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Giải:
t
t
: 0
x thì
: 0
2
x
2 sin
t
x
4
2 x dx
I 1
2
; 2 2
2
4
x
2 cos
t
0
2
2
2
2
2
4sin .2 cos .2 cos
t
t
tdt
tdx
t dt
2
t
I 1
4 sin 2
2 (1 cos 4 )
t sin 4 4
0
0
0
2 0
2
2
dx
1
sin cos
tdt 2 t
t
0;
1) Đặt với và
x
t
: 0
I
dx
x thì
:1
2
2
2
1 cos
t
3
2
3 2
x x
;
2
1
x
1
tan
t
3
2
3
2
3
3
3
3
3
sin
t
t tan .
dt
dt
cos
tdt
dt
cos
tdt
I 2
2
t cos 2 1 sin
t
sin cos
t t
1 cos cos t
dt cos
t
0
0
0
0
0
0
0
cos
t
.
2
tdt 1 cos
t
3
3
3
ln(2
3)
d
sin
t
cos
tdt
sin
t
ln
2) với và Đặt
=
3 2
1 1 sin
t
1 1 sin
t
1 2
1 sin 1 sin
t t
0
0
0
2
2
dx
dx
I
3
2
2
(
x
1)
3
0
0
x
2
x
4
dx
dt
3 2 cos
t
3)
t
t
:
x
1
3 tan
t
x thì 2
: 0
Đặt
; 2 2
3 6
2
(
x
1)
3
3 t cos
3
3
3
3
3
3
(với ) và
2
6
6
6
6
6
6
dt 3 sin t ln I 3 dt cos t cos cos tdt 2 t sin d t (1 sin )(1 sin ) t t 1 2 1 1 sin t 1 1 sin t 1 2 1 sin 1 sin t t d cos t . 3 t cos
ln(2
3)
ln 3 2
2
I
4
dx 2
x
1
2
dx
sin cos
tdt 2 t
t
0;
4)
x
: 2
thì 2
x
t
:
1 cos
t
3 4
2
3 2
;
2
x
1
tan
t
3
3
Cách 1: Đặt với và
I
4I ta có thể đổi biến hoặc dùng kĩ thuật vi phân. Cụ thể:
4
sin 2 t
tdt .tan
t
cos
dt cos
t
4
4
t
:
x
:
Khi đó . Để giải tiếp
u
sin
t
du
cos
tdt
thì 3 4
2 2
3 2
Trang 38
Cách 1.1: Đặt và
3
3
3 2
3 2
3 2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
du
4
tdt 2
2
cos cos
tdt 2 t
cos 1 sin
t
du u
1
du u )(1
(1
u
)
1 2
1
1
u
1
u
1
4
4
2 2
2 2
2 2
3 2
ln(2 2
6
3 2)
ln
1 2
1 1
u u
2 2
3
3
3
3
3
t (1 sin )
t (1 sin ) cos
tdt
Suy ra
I
4
cos cos
tdt 2 t
cos t
tdt
t (1 sin )(1 sin )
1 2
t (1 sin )(1 sin )
t
1 2
cos tdt t 1 sin
cos tdt t 1 sin
4
4
4
4
4
3
3
3
d
d
ln
ln(2 2
6
3 2)
1 2
t (1 sin ) 1 sin
t
t (1 sin ) 1 sin
t
1 2
1 sin 1 sin
t t
4
4
4
Cách 1.2:
2
2
2
2
2
2
dx
(
x
x
1)
dx
d x (
x
1)
2
ln(2 2
6
3 2)
I
ln(
x
x
1)
4
2
2
2
2
2
x
1
(
x
x
1)
x
1
(
x
x
1)
2
2
2
Cách 2:
2
1
t
dx
dt
2
2 t 2
t
1
2
2
2 x
t 1 (
1
x
x
x
x
)
t
Cách 3: (Cách trình bày khác của Cách 2 ) Cách trình bày 3.1:
t
x
x
2 1
2
2
2
2 t
t
t
1
2
x
1
1
2 t
1 t 2
t
:1
3
2
2
Đặt
x
: 2
thì 2
2
1
t
2
3
2
3
dt
2
3
ln
t
I
và , khi đó :
6
3 2)
4
1
2
2 t 2 2 t
1
dt t
1
2
1
2
2 t
ln(2 2
2
x
1
Cách trình bày 3.2:
dt
1
dx
dx
dx
t
x
x
2 1
x 2
x 2
t 2
dx 2
dt t
x
1
x
1
x
1
x
1
2
3
2
3
Đặt
I
ln
t
t :1 2
2
3
x
: 2
thì 2
ln(2 2
6
3 2)
4
1
2
dt t
1
2
2 2
dx
cos
tdt
2 x dx
t
và , khi đó :
x
sin
t
2
2
; 2 2
1 sin
t
cos
t
0
4
4
4
2
tdt
x
x
2
sin
tdt
dt
x
I 5
8
2 t sin .cos t cos
1 cos 2 2
1 2
sin 2 4
0
0
0
4 0
Trang 39
Đặt với và cận t : 0 5) 5I 4 1 x
dx
dt
3
2
3 2 cos
t
x
dx
x
3 tan
t
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
2
; 2 2
2
2
3
x
0
3
x
t 3(1 tan )
3 t cos
3 t cos
2
2
4
4
3 tan
t
Đặt với t 6) 6I
.
dt
3
dt
I 6
3
3 2 cos
t
sin cos
t t
0
0
3 t cos
2
4
4
2
t
và cận t : 0 4
u
sin
t
du
cos
tdt
u
: 0
3
dt
3
3
I 24
4
2 2
2 t sin .cos cos
t
2 sin .cos tdt t 2 2 t (1 sin )
2 u du 2 2 u )
(1
0
0
0
2
2
u (
u
(
2
Đặt và cận
.
1) 2
2
2
u u
(1
2 2 )
u u (
1 1 2 2 1)
1 2
1 1 4
u
u (
1) 2 u 1) (
1)
1 2
1 1)
u
(
u
1 1)
2 2
1
u
1 1 4 ( u
Mà ta có:
2
2
2
2
2
2
2
2
ln
2 2
du
ln
I 6
2
2
3 2
2
2 2
u
1 (
u
1 1)
u (
1 1)
3 4
u u
1 1
1
u
1
u
1
1
3 4
0
0
e
1 2 u 2( 1) u 1 1) u ( 1 1) 1 4 (
2
1
1
dt
dx 7) 7I x 1 3ln x
I
t
dt
ln
x
:1x
e thì
t . Khi đó : 0
1
7
2
0 1 3 t
2
1
du 3 cos
Đặt và dx x
u
t
tan
u
u
: 0
t thì : 0 1
3
; 2 2
3
2
1 3 t
dt
u 1 cos
u
3
3
3
3
d
sin
u
I 7
du u cos
cos cos
udu 2 u
sin d u (1 sin )(1 sin ) u
u
1 1 sin
u
1 1 sin
u
1 3
1 3
1 3
1 2 3
0
0
0
0
3
1
1
ln
ln(2
3)
1 sin 1 sin
u u
2 3
3
0
2
2
t
t
t
1
1
1
1
1 3
dt
1 3
Cách 1: Đặt với và
dt
I
7
2
1 3
1 3
1 3
2
1 3 t
0
0
0
0
2
2
2
t
t
t
t
t
t
dt 1 3
1 3
1 3
1 3
d t
1
1
2
ln
t
t
ln(2
3)
1 3
1 3
3
0
Trang 40
Cách 2:
1 2
dx
t 2sin cos
tdt
dx
2
x
sin
t
t
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
2
2
2
2
0; 2
x
x
sin (1 sin ) t
t
t sin cos
t
x
x
1 4
4
4
dt
2
Đặt với 8) 8I
I 8
t 2sin cos t sin cos
tdt t
4 6
6
2
6
6
dx
4sin 2
tdt
2
2
và cận t : 4 6
x
t 2 cos 2
t
dx
1 2 x
2 2
x x
0; 2
1
2
2 2
x x
2 2cos 2 t t 2 2 cos 2
4sin 4cos
t t
sin cos
t t
6
6
2
2
6
6
1
Đặt với 9) 9I
.
.4sin 2
tdt
dt
dt
1
I 9
sin 2 4 cos 2 cos
t
t t
t 2sin 2 t cos 2
t 1 cos 2 2 cos 2 t
1 2 t cos 2
dt
0
0
0
0
t
t tan 2 2
3 3 6
6 0
2
và cận 0 t : 6
cos xdx 7 cos 2
x
0
2
2
10) 10I
7 cos 2
x
6 2 cos
x
8 2sin
x
1
2
cos
dt
Ta có:
t
sin
x
dt
cos
tdt
t : 0 1
I 10
xdx 2
2
1 2
0
0
8 2sin
x
4
t
2cos
udu
u
Nên đặt và cận
t
2 sin
u
2
; 2 2
4 4sin
u
2cos
u
dt
6
6
du
I 10
2 12
2cos 2 cos
udu u
1 2
1 2
0
0
u 6 2 0
Đặt với và cận u : 0 6
Bài luyện
2014
2
dx
2
2014
2 x dx
2)
2I
I 1
2
2014 4
3
x
0
0
1
1
2
x
xdx
Tính các tích phân sau: 3 1) ) 2) ( Đs: ) ( Đs: ln(1
dx
2
2
6
3
3 2
x
0 3 2
x
x
ln
x
0 4 3 2
3 2
e
1
( Đs: ) ( Đs: 3 2 3) 3I ) 4) 4I
dx
dx
x
2
x
6
3 2
3
x 1 (2 x
x
)
1
0
e 2
e
Trang 41
( Đs: ( Đs: ) 5) 5I ) 6) 6I
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
DẠNG 3:
(3*) Với
I
f x , ( )
( )g x là hai trong bốn hàm:
f x g x dx ( ). ( )
3
logarit (log), đa thức (đa) (hoặc kể cả phân thức), lượng giác (lượng) và mũ (mũ).
CÁCH GIẢI CHUNG
6
2 4
n
CHÚ Ý: +) Như vậy khi kết hợp hai trong bốn hàm trên cho ta một bài toán. Vì vậy về mặt lí thuyết ta có thể tạo ra được C bài toán của Dạng 3. Song trên thực tế, trong phạm vi kì thì Đại Học – Cao Đẳng thì thường xuất hiện 4 dạng là : (loga, đa thức); (đa thức, lượng giác); (đa thức, mũ) và (lượng giác, mũ) – dạng này chưa xuất hiện (kể từ kì thi 3 chung). +) Khi gặp lượng giác và mũ ta có thể đặt “u→dv” theo thứ tự “lượng giác → mũ” hoặc ngược lại đều được và phải sử dụng hai lần tích phân từng phần. Cả hai lần tích phân từng phần trong trường hợp này phải thống nhất theo cùng thứ tự. Nếu không sẽ xảy ra hiện tượng I = I. +) Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức. Cụ thể: *) Nếu trong biểu thức tích phân có
log
ln
n
a f x ( )
n f x ( ) n
n
1
f x ( )
a x n
a 0
tích phân từng phần (hoặc lần. )
... lần.
a x 1 n tích phân từng phần n
*) Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n: (không có hàm logarit)
( ) ax b f x e
dx
I
f x ( )
n
2n
+) Nếu mà có bậc (theo CHÚ Ý trên ta phải tính tích phân từng phần
x f x e C
f x ( )
'( )
( )
f
(trong bài các em phải CM). n lần) song trong trường hợp này có thể có cách “khắc phục” (không phải tính tích phân từng phần) bằng x x e dx việc tách ghép và sử dụng công thức:
udv
f
'( )
x và
( )g x dx
+) Các em tham khảo thêm kĩ thuật chọn hệ số qua 5 câu tích phân ở Ví dụ 4. +) Về mặt ý tưởng, việc dùng phương pháp tích phân từng phần là việc ta chuyển từ tích phân ban đầu đơn giản hơn bằng cách đặt mà thông thường thì về tích phân vdu ( ) f x g x dx ( ) u dv
còn sử dụng cho cùng một dạng hàm, nhiều hơn hai hàm….
Trang 42
dễ tính. Vì vậy phạm vi áp dụng phương pháp này không chỉ dừng lại ở hai hàm khác tên gọi mà
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Các ví dụ minh họa
1
1
3
2
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
(
e
2 x
x x e dx )
(
x
2)
2 x e dx
0
2
2
2
e
2
0 1
ln( x x dx ) (D – 2006) 1) 1I (D – 2004) 2) 2I (CĐ – 2009) 3) 3I
3
2
6
1
1
1
x (D – 2008) 6) (A, A1 – 2013 ) x ln xdx dx ln xdx I 4) 4I (D – 2007) 5) 5I 2 ln x x 3 x
3
2
du
x
)
2
Giải :
2 x 2 x
1 x
2
ln( u x dv dx
x
v
3
3
3
3
2
(D – 2004) Đặt ln( x x dx ) 1) 1I
3ln 3 2
2
2
2
2
1
x ln( x x ) dx 3ln 6 2 ln 2 2 dx 3ln 6 2ln 2 2 x ln x 1 I 1 x 1 2 1 x 1 x 1
(
e
2 x
x x e dx )
0
1
1
1
2
x
x
(CĐ – 2009) 2) 2I
I
(
e
x x e dx )
x e dx
xe dx A B
2
0
0
0
1
1
1
e
1
x
Ta có: (*)
A
x e dx
x e d
(
x
)
e
0
e
0
0
1
+) Tính (1)
B
x xe dx
0
1
x
du
dx
1
1
x
x
+) Tính
B xe
x e dx
e e
1
x
0
0
dv
x e dx
v
e
0
u
Đặt (2)
1e 2 e
1
Thay (1), (2) vào (*) ta được: 2I
(
x
2)
2 x e dx
0
1
1
du
dx
1
2
2
x
2
2
x
u
(
x
e
2
(D – 2006) 3) 3I
2 x e dx
I 3
2
x
2) 2
1 2
e 2
e 4
e 5 3 4
v
e
dv
2 x 2 x e dx
0
0
0
1 2
e
3
2
Đặt
1
x
e
dx
du
2
e
e
4
2
4
ln
x
x
x
2 ln x
3
3
x ln xdx (D – 2007) (Vì hàm lnx có dạng bậc 2 nên phải từng phần 2 lần) 4) 4I
x
ln
xdx
I
I 4
4
3
ln 4
1 2
e 4
1 2
x
1
1
1
u dv
v
x 4
Trang 43
+) Đặt (1) Với I x ln xdx
e
e
du
e
4
4
4
4
ln
x
x
1
dx x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
3 x dx
x 3
4
ln 4
1 4
e 4
x 16
e 3 16
dv
x
1
1
1
u
v
x 4
1
+) Đặt (2)
45 e 32
2
2
ln
x
du
2
2
Thay (2) vào (1) ta được: 4I
I 5
2
dv
x ln 2 x 2
1 2
dx 3 x
ln 2 8
1 x 4
3 2 ln 2 16
1
1
1
1
dx 3 x
u
2
dx x 1 x 2
v
ln
x
du
2
2
(D – 2008) Đặt dx 5) 5I ln x x 3
dx x
2
x
1
6
dx
dx
dv
1
2
x
x
1 2 x
1
u
1 x
v
2
2
2
2
x
ln
x
x
.
ln 2
1
dx
ln 2
x
ln 2
I 6
5 2
3 2
1 x
1 x
dx x
5 2
1 2 x
5 2
1 x
1
1
1
1
x 1 6) (A, A1 – 2013 ) Đặt I ln xdx 2 x
e
3
3
x
1
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
dx
x cos
sin 2 x
1
1
0
1
3
dx (2 x ) ln xdx (B – 2011) 1) 1I (B – 2009) 2) 2I (D – 2010) 3) 3I 3 x
x
(1 sin 2 )
x dx
5 x x e dx
I
6
0
0
1
x 3 ln 2 x 1) ( 4 1) (A, A1 – 2012) 6) dx 4) 4I (D – 2012) 5) 5I 1 ln( x 2 x
3
Giải :
1
dx (B – 2009) 1) 1I
3
3
2
2
3
1
1
1
3
3
A
3 ln x 2 x 1) ( 3 Ta có: dx dx 3 A B (*) I 1 3 ln x 2 x 1) ( dx 1) ( x ln x ( x 1) 3
2
1) 2
dx 1)
(
x
d x ( x (
1)
1 4
1
x
1
1
1
1
ln
x
du
3
+) Tính (1)
2
dv
2
1
dx
1)
(
x
u
dx x 1
x
1
e
3
3
v 3
3
2
2
+) Tính B dx Đặt ln x x 1) (
B
dx
ln
ln 3 ln 2
ln x x 1
dx
x x (
1)
e 2
x 4
ln 3 4
1 x
1
x
1
x
x
1
3 4
1
1
1
1
1
ln 3 ln 2
(2)
ln 3 4 3 4
3 4
Trang 44
Thay (1), (2) vào (*) ta được: 1I
e
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
1
e
e
e
(2 x ) ln xdx (D – 2010) 2) 2I 3 x
1
1
1
du
e
dx x
x (2 x ) ln xdx 2 x ln xdx 3 dx 2 A 3 B (*) I Ta có: 2 ln x 3 x
2
x xdx
ln u dv
1
x 2
e
e
e
v 2
2
2
2
2
2
x
x
e
1
e
1
+) Tính Đặt A x ln xdx
A
xdx
1 2
e 2
x 4
e 2
4
4
1
1
1
(1)
ln 2 lne x
1
e
e
e
2
x
x
x +) Tính B dx
B
dx B
ln
xd
x (ln )
ln x
ln 2
1 2
1
1
1
1
1
2
t
dt
ln
x
C1: (Sử dụng kĩ thuật vi phân) (2)
B
tdt
t : 0
1
t 2
dx x
0
0
1 2 (thực chất C2 là cách trình bày khác của C1)
ln
e
e
du
(2) C2 : Đặt và cận
2
1
dv
1
dx x x
ln
x dx x
u
v
2
e
x C3: Đặt (2) B ln x dx B 2 B B 1 1 1 2 ln x
I
2.
2
4
1 3 2
2 2 e 2
3
x
1
Thay (1), (2) vào (*) ta được:
dx
sin 2 x
0
x cos 3
3
3
1
x
(B – 2011) 3) 3I
I
dx
dx A B
3
x cos
sin 2 x
dx 2 cos
x
x sin 2 cos
x x
0
0
0
3
3
Ta có: (*)
A
tan
x
3
0
x
x
du
dx 2 cos 0 3
B
dx
+) (1)
x sin 2 cos
x x
dv
dx
v
dx
0
sin 2 cos
x x
dx x sin 2 x cos
(cos ) x d 2 x cos
1 cos
x
u
3
3
3
3
+) Đặt
dt
cos
xdx
t : 0
B
I
I
t
sin
x
2
x cos
x
dx cos
x
2 3
x
0
0
dx 0 cos
3
3
3
3
2
2
với Đặt và cận
I
ln
ln(2
3)
B
ln(2
3)
2 3
dx cos
x
cos 1 sin
xdx 2 x
dt 2
t
1
1 2
t t
1 1
0
0
0
0
3
ln(2
3)
(2)
2 3
Trang 45
Thay (1), (2) vào (*) ta được: 3I
4
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
x
(1 sin 2 )
x dx
2
0 4
4
4
4
I
x
(1 sin 2 )
x dx
xdx
x
sin 2
xdx
I
I
4
2 32
x 2
0
0
0
0
du
4
x
I
x
sin 2
xdx
(D – 2012) 4) 4I
x
sin 2
xdx
v
0
u dv
dx cos 2 2
4
x
x
x
x
dx
0
I
4I
1 4
cos 2 2
cos 2 2
sin 2 4
2 32
1 4
2 8 32
0
4 0
4 0
3
3
3
3
3
1)
ln(
1)
Tính Đặt
I
dx
dx
I
I
5
2
1 ln( x 2 x
dx 2 x
x x
1 x
2 3
1
1
1
1
1
ln(
x
1)
du
3
1) (A, A1 – 2012) dx 5) 5I 1 ln( x 2 x
Tính
Đặt
dv
1
dx 2 x
u
dx x 1 1 x
v
3
3
3
ln( 1) I dx 2 x x
ln 3
ln 2
2 3
1
1
1
dx
dx
du
1
x
1)
1
x
1
x x
2 1
ln 3
ln 2
ln( 1) ( I dx ln 3 1 3 1 x x dx x x ( 1) ln 2 3 1) x x x x 1) ( ln 2 3 1 x 1 x 1 x x 1 ln 2 3
dv
2 3
2 3
1 ln( dx 2 x
u
1 x
(Các em có thể đặt luôn: …) 5I
1
dx v
I
5 x x e dx
6
0
6)
x
f x ( )
'( )
x f x e C
( )
Nhận xét 1: Về mặt lí thuyết bài toán này ta hoàn toàn có thể giải theo phương pháp tích phân từng phần. 5x là 5 – khá dài ). Lúc này ta sẽ có Song ta phải sử dụng tới 5 lần tích phân từng phần (vì bậc của đa thức cách “khắc phục như sau”:
f x e dx
x
x
x
( )
'
f x e '( )
f x e ( )
f x ( )
Thật vậy:
Ta luôn có (*)
f x e '( )
x f x e C
5x về dạng trên )
(đpcm)
1
1
5
4
4
3
3
2
2
I
5 x x e dx
(
x
5 ) 5(
x
x
4 ) 20(
x
x
3 ) 60(
x
x
2 ) 120(
x
x
1) 120
x e dx
6
0
0
1
1
1
5
4
3
2
(
x
4 x x e dx 5 )
x
3 x x e dx 4 )
x
2 3 )
x x e dx
x
2 )
x x e dx
x
1)
x e dx
120
x e dx
120 (
1 60 ( 0
0
0
0
1 5 ( 0
1 20 ( 0
1
5
4
3
2
(
x
5
x
20
x
60
x
120
x
120) x e
120 44e
0
Trang 46
( Vì vậy để áp dụng (*) chúng ta sẽ phải tách ghép Áp dụng (*) ta được:
n
n
1
n
2
n
1
n
x
I
n x x e dx
x
nx
n n (
1)
x
( 1)
...
n x !
( 1)
?
! n e
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Nhận xét 2: *) Như vậy qua bài toán trên ta thấy việc sử dụng công thức (*) sẽ giúp giảm bớt thao tác lập đi lập lại phương pháp tích phân từng phần (nếu bậc của đa thức lớn) . *) Và từ bài toán trên chúng ta có thể đưa ra đáp số tổng quát cho như sau:
3
2
4
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
I
sin .ln(1 cos )
x dx
x
I
dx
I 1
2
3
x
ln(sin ) x 2 x cos
0
x 0 1 cos 2
0
6 2 e
2
2
x
I
xe
cos
xdx
1) 2) 3)
I
2 cos (ln )
x dx
5
4
6
3
2 x dx 2 1)
0
1 ( x
1
4) 5) I 6)
3
du
dx
cot
xdx
Giải :
x x
I 1
ln(sin ) x 2 x cos
dv
cos sin x
tan
x ln(sin ) dx 2 cos
x
u
v
6
3
x tan ln(sin )
x
dx
3 ln
ln
x
1) Đặt
3 ln
ln 2
I 1
3 2
3 3
6
3 2
3 3
1 2
3 6
3 6
6
2
du
dx
Khi đó
I
sin .ln(1 cos )
x dx
x
2
0
ln(1 cos ) u x dv xdx sin
x sin 1 cos x cos
x
v
2
2) Đặt
I
cos
x
ln 1 cos
x
dx
ln 2
I
2
2 0
sin cos x x x 1 cos
0
2
Khi đó (*)
x
: 0
I
sin
xdx
t
cos
x
dt
sin
xdx
t : 2 1
thì 2
x
0
2
2
2
cos x 1 cos t
Tính Đặt và
t
1
1
1 Thay (2*) vào (*) ta được:
1 dt 1 Suy ra I t ln 1 ln 2 (2*) t 1 t
x
4
4
dt 2I 2 ln 2 1
I
dx
dx
3
du v
dx tan x
x 1 cos 2
x
x
dv
0
x 1 2 2 cos 0
dx 2 cos
x
u
4
4
ln 2
x
tan
x
tan
xdx
dx
ln cos
x
I 3
4 0
4 0
8
1 4
1 2
x x
8
1 2
8
cos x d x cos
8
1 2
4 1 sin 2 cos 0
0
0
Trang 47
3) Đặt
2 e
2 e
2 e
2 e
e 2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
2 cos (ln )
x dx
dx
x
cos(2 ln )
x dx
I
4
x 1 cos(2ln ) 2
1 2
1 2
2
1 1 2
1
1
1
1
du
dx
I
cos(2 ln )
x dx
4) (*)
2sin(2 ln ) x x
2 e
1
u x cos(2 ln ) dv dx
x
v
2 e
2
I
x
x cos(2ln )
2
sin(2 ln )
x dx
e
1 2
J
+) Tính Đặt
1
2 e
1
du
dx
(1)
J
sin(2ln )
x dx
2cos(2ln ) x x
2 e
1
u x sin(2ln ) dv dx
x
v
2 e
+) Tính Đặt
J
x
x sin(2 ln )
2
cos(2 ln )
x dx
2
I
1
2 e
1
1
e 2
2
(2)
I
e
1 4
I
I
2
e
e 2
1
1
3
(2*) Từ (1) và (2) ta được:
I
4
2
10
5 e 22 5 dx
du
x
0
2
Thay (2*) vào (*) ta được:
5
3
dv
2 x dx 2 1)
3
1 ( x
3
2
xdx 2
1)
(
x
xdx 2
1)
(
x
1 2 (
( d x 2 x
1) 3 1)
1 2
4(
x
1)
u
v
0
0
5) I Đặt
(*)
I
I 5
2
2
x 2
4(
x
1)
dx 2
1)
1 16
1 4
1 4 ( x 1
1
0
2
Tính
Đặt
và
x
tan
t
dt
(1 tan )
t dt
t
:
0
x thì
: 1
0
2
4
dt 2 cos
t
1 ( x
0
0
0
0
0
2
2
Khi đó
(2*)
I
cos
tdt
(1 cos 2 )
t dt
t
2
t dt (1 tan ) 2 2 t (1 tan )
dt 1 tan
t
1 2
t sin 2 2
8
1 4
1 2
4
4
4
4
Thay (2*) vào (*) ta được:
I
5
1 16
4 1 4
32
1 4 8
2
2
x
I dx 2 1)
I
xe
cos
xdx
6
0
6)
2
2
x
Nhận xét: Vì dưới dấu tích phân xuất hiện đồng thời ba hàm ( đa thức , lượng giác, mũ) nên chúng ta sẽ tính tích phân từng phần theo cụm (quan niệm lượng giác và mũ là một hàm) . Trước khi đi
A
xe
x 2 cos
xdx
xe
cos
xdx
I
6
0
Trang 48
tính ta sẽ đi tính nguyên hàm
du
dx
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
2
x
2
x
v
e
cos 2
xdx
I
dv
e
cos 2
xdx
u
I
e
x 2 cos 2
xdx
Đặt (*)
du
2 sin 2
xdx
2
x
2
x
x
e
x
e
x
2
x
+) Tính
I
e
sin 2
xdx
J
2
x
e
v
cos 2 2
cos 2 2
dv
cos 2 2 x e dx
u
1 2
J
e
x 2 sin 2
xdx
Đặt (1)
du
2 cos 2
xdx
2
x
2
x
x
e
x
e
x
2
x
+) Tính
J
e
cos 2
xdx
I
2
x
sin 2 2
cos 2 2
v
e
dv
sin 2 2 x e dx
u
1 2
2
x
2
x
2
x
e
x
e
x
e
(sin 2
x cos 2 )
I
I
I
Đặt (2)
cos 2 2
sin 2 2
x 4
2
x
xe
x cos 2 )
2
x
A
(sin 2
x
cos 2 )
x dx
e
Thay (2) vào (1) (2*)
x (sin 2 4
1 4
2
x
2
x
e
x
e
x
2
x
2
x
2
x
Từ (*) và (2*) (3*)
e
cos 2
xdx
e
(sin 2
x
cos 2 )
x dx
e
sin 2
xdx
J
sin 2 2
sin 2 2
Thay (4*) vào (3*) ta được:
2
x
2
x
2 (2 sin 2 xe x
x
x
x cos 2 )
xe
x cos 2 )
e
x
2
x
.
A
xe
cos
xdx
x 2 cos 2 8
x (sin 2 4
1 4
cos 2 2
2
2
xe 2
(2 sin 2
x
x
x
x cos 2 )
e (1
) 1
2
x
I
xe
cos
xdx
(4*) Mà theo (2) :
6
x 2 cos 2 8
8
0
0
Suy ra
2
1
1
4
x
8
x
3
ln(sin
ln 4
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
x
ln(2
2 x dx )
I
dx
I
dx
I 1
3
2
3
2 cos ) x x
(
x
1)
0
0
0
4
0
1) 2) 3)
5
4
3
x 2 cos dx 1
1
1
1 dx 5) I 1 ln x x 4) I 3 x 2 x 28 1 65 4 x x 50 2 x
1
Giải :
x
ln(2
2 x dx )
I 1
0
1)
1
dx
du
1
2
2
3
2
x
)
2
x x
2
Cách giải thứ nhất (Cách giải “thông thường”)
ln(2
x
)
dx
ln 3
I
I 1
2
2 2
x 2
x 2
x
1 2
0
0
u ln(2 xdx dv
v
x 2
Trang 49
+) Đặt , khi đó (*)
1
3
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
t
2
dt
2
x
2
xdx
xdx
I
dx
x thì
: 0
1
t : 2 3
2
dt 2
x
x 0 2
3
1
3
3
2
t
2
+) Tính Đặt và
.
I
xdx
1
dt .
2 ln
t
ln
t
2
x
x
2
t
dt 2
1 2
1 2
3 2
2 t
1 2
2
0
2
2
I
ln 3
ln
Khi đó (2*)
ln 3 ln 2
1 2
3 2
1 2
1 2
3 2
Thay (2*) vào (*) ta được:
dx
du
2
2
2
2
ln(2
x
)
2
x x
Cách giải thứ hai (Sử dụng “kĩ thuật chọn hệ số”)
v
xdx
C
v
) 1
1C nên
2
2 2
x 2
x 2
x
2
xdx
u dv
1
2
v
x 2 1
1
1
2
2
x
2
2
Đặt ( ở đây và ta chọn
ln 3 ln 2
ln(2
x
)
xdx
ln 3 ln 2
I 1
3 2
2
x 2
3 2
1 2
0
0
0
Khi đó
du
f
'( )
x dx
CHÚ Ý : Qua câu tích phân đầu tiên ở Ví dụ 4 các em được làm quen thêm một kĩ thuật chọn hệ số cho phương pháp tích phân từng phần . Kĩ thuật này được hiểu như sau: Khi đi tính tích phân từng phần,
( ) f x g x dx ( )
v
g x dx G x C
( )
( )
u dv
ở khâu đặt với C là hằng số bất kì (chọn số nào cũng được)
0C ( Cách giải thứ nhất cho 1I trong Ví dụ 4 đi
Và theo một “thói quen” thì chúng ta thường chọn
0C lại làm cho tích phân vdu
theo cách chọn này). Nhưng đôi khi việc chọn không được “đẹp” cho
2
1
x
8
x
3
ln 4
lắm . Vì ta có quyền chọn C là số thực bất kì nên ta sẽ chọn hệ số C thích hợp mà ở đó biểu thức vdu là đơn giản nhất. Các em hãy theo dõi tiếp Cách giải thứ hai này ở các ý tiếp theo của Ví dụ 4.
I
dx
2
3
(
x
1)
0
2
dx
du
ln(4
3)
8
x
2)
4
3
dv
3
2
x dx
(
x
1)
u
8 x 2 x 1 x 1)
2(
v
1
1
2
3)
Cách giải thứ nhất (Cách giải “thông thường”) 8 8 x +) Đặt
4
I
4
I
2
x 2
x ln(4 x 2(
8 1)
(
x
1)(4
8
x
3)
ln15 8
ln 3 2
dx 2 x
0
0
1
Khi đó (*)
I
x
1)(4
8
x
3)
dx 2 x
0 (
+) Tính
1 2 x
(
x
1)(4
8
x
3)
(
x
1)(2
x
1)(2
x
3)
A
x
1 2
B x
1 2
C x
3
1
Trang 50
Ta phân tích:
(2*)
1
A x (2
1)(2
1)(2
1)(2
C x (
B x (
3)
3)
1)
x
x
x
1;
;
thay vào (2*) ta được:
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
1 2
3 2
1
1
2
Chọn x lần lượt các giá trị 1 A B C 1
I
dx
ln
x
1
ln 4
x
8
x
3
ln 2
ln
1 x
1 2
1 x
3
1 2
1 2
15 3
1 1 2 x
0
0
4
I
ln 2
ln
Khi đó (3*)
ln15
ln 3 4 ln 2
2
ln15 8
ln 3 2
1 2
15 3
15 8
3 2
Cách giải thứ hai (Sử dụng “kĩ thuật chọn hệ số”)
2
dx
du
ln(4
x
8
x
3)
8
8 x
3
4
Thay (3*) vào (2*) ta được:
v
C
2C )
2
3
2
4
3
dv
dx
1)
(
x
1 x 1)
2(
3
2
dx
1)
(
x
2
u
8 x 2 x 1 x 1)
2(
x 2(
x
8 x 2 1)
v
1
1
2
1
4
3
2
Đặt ( và chọn
ln15
ln 3 4 ln 2
ln(4
x
8
x
3)
4
ln15
ln 3 4 ln
x
1
I
2
0
15 8
3 2
dx x 1
15 8
3 2
x 2(
x
x 8 2 1)
0
0
4
ln(sin
Khi đó
I
dx
3
x 2 cos
x 2cos ) x
0
x
dx
du
3)
x x
x x
dv
cos sin x
tan
ln(sin dx 2 cos
x
u
v
4
I
x tan ln(sin
x
x 2 cos )
dx
Đặt Cách giải thứ nhất (Cách giải “thông thường”) x 2sin 2 cos ) 2cos
3
4 0
tan (cos x x 2 cos x sin
2sin ) x x
0
4
dx
x x tan (cos 2 cos x sin
x 2sin ) x
0
x 2 cos )
x
du
dx
cos sin
x x
Khi đó việc đi tính tích phân sẽ trở nên phức tạp .
x
dv
2
tan
x
ln(sin dx 2 cos
u
x
Đặt
2 cos x
v
4
4
sin
x
cos
x
Lúc này cần sự “lên tiếng” của kĩ thuật chọn hệ số Cách giải thứ hai (Sử dụng “kĩ thuật chọn hệ số”) x 2sin x 2 cos x sin cos
I
ln(sin
x
x 2 cos )
dx
3
x cos
2cos x
x cos
2sin x
0
0
4
4
3ln 3
ln 2
dx
2
cos x d x cos
7 2
0
0
3ln 3
ln 2
x
2ln cos
x
3ln 3
ln 2
4
0
5 2
4
7 2
Trang 51
Khi đó
0
0
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
4
3
2
1
1
4) I dx dx x 3 2 x 28 1 65 4 x x 50 1 x 3 2)(2 x 5) ( x
Cách giải thứ nhất (Cách giải “thông thường”)
2
2
1 x 3 2)(2 x
5)
A
x
2
(
x
5
(2
x
5)
C
B x 2 2
x
1
3
A x (2
5)
B x (
2)(2
x
5)
C x (
2)
A
A
5
Ta phân tích:
2;
; 0
5 2
10 13
B C
A
C 2 10
B
C 2
5 13 2 1 25
0
0
ta được: Lần lượt ta chọn x bằng
I
5ln
5ln
4
2
5 13 6 15
5 x 2
10 x
2
5
(2
13 x
5)
x 5 2 2 x
13 x
2(2
5)
1
dx
1
Vậy
du
dx
2
5
(
x
Cách giải thứ hai (Sử dụng “kĩ thuật chọn hệ số”)
dv
v
2
x 1 3 2 x dx x
(2
5)
2(2
5)
1 2
x 2 x 2 5
2) 1 x
u
0
0
0
0
Đặt
5
dx
5ln
5ln
I
5
4
13 15
5 6
13 15
1
x
2
2 x
2
5
13 15
x 2 x 2 5
3 x x 2
1 5
dx 2)(2
(
x
x
5)
1
1
1
1
4
Khi đó
5
dx 1
1
1 5) I 1 ln x x 2 x
Cách giải thứ nhất (Cách giải “thông thường”)
x thì 4
:1
t :1 5
5
5
du
5
5
1 Đặt t x x dt 1 dx và 2 x 1
5ln 5 4
dt t
5
1
1
1
1
ln u t dv dt
t
v
Khi đó Đặt ln tdt I t ln t dt 5ln 5 t I 5
1
1
ln
x
x
1
x
1
du
dx
dx
Cách giải thứ hai (Sử dụng “kĩ thuật chọn hệ số”)
x
2 x
x
1
2
x
1
2 x x
1
dv
1
dx
2
x
u
v
x
x
1
4
4
4
2
x
1
5ln 5
x
x
Đặt
5ln 5 4
I
x
x
x
x
1 dx
5ln 5
5
1 ln
1
4
1
1
2
x
2
x
1
dx
1
1
3
2
4
Khi đó
I
2
2
2
2 x dx x
x cos )
0 ( sin x
2
Trang 52
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau: 1) 2) dx I 1 x x ( x 3 3 1)
3
3
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Giải :
dx
dx
I 1
2
x x (
x 3 3 1)
( x x 2 x (
3) 3 1)
2
2
dx
dx
x
3
2
1)
dv
v
3
3
1) 3
2
xdx 2
1)
(
x
xdx 2
1)
(
x
1 2 (
( d x 2 x
1)
1 2
1)
4(
x
u
3
3
+) Đặt
I
I 1
2
2
x 3 2 x 1)
4(
dx 2
x
1)
133 1152
1 4
1 4 ( 2
2
3
Khi đó (*)
2
2 (
2
2
2
2
2
2
2
1
(
x
1)
x ( 1 . x 4 (
1) ( x 2 x 1) .(
1) 2 1)
x
1 1)
1 1)
(
x
2 1)(
(
x
x
1)
x
1 1)
1
(
x
1)
x
1
1
x
1
1
1 4 (
1 4 (
3
3
+) Tính Ta có: I dx 2 x 1)
I
ln
ln
2
2
7 48
2 3
1 4
1 4
1 1)
1 1)
(
x
(
x
1
x
1
1
x
1
1 4
1
x
1
1
x
1
x x
1 1
2
dx
2
ln
ln
Khi đó = (2*)
1 175 1152 16
2 3
133 1152
1 4
2 3
7 1 4 48
4
4
I
.
dx
Thay (2*) vào (*) ta được: 1 I
2
2
2 x dx x
x ( sin
x cos )
x cos x x ( sin
x x 2 cos ) cos
x
x
0
0
cos
x
du
dx
x 2
x cos
x
2)
dv
dx
v
2
cos x x x ( sin
x x cos )
( sin d x x x ( sin
x
cos ) x 2 cos ) x
x cos ( sin d x x x ( sin
sin x x cos ) x 2 cos ) x
1 x
x
sin
cos
x
u
4
4
Đặt
I
tan
x
1
2
4 0
4 4
x ( sin
x
x x cos ) cos
x
dx 2 cos
x
2 4
2 4
0
0
x
sin
x
cos
x
sin
x
x
cos
x
sin
x
x
cos
x
'
Khi đó
2
.
Nhận xét: Do
2
2
x ( sin
x
x cos )
cos x x x ( sin
x x cos )
x cos
x
x
nên ta tách
1
1
2
x
2
2
x
(
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau:
1 x
dx
1 x 1)
2)
x e dx
I
3)
4)
I
1
x
dx
e
I
dx
2
3
4
I 1
e 2
x (1
1) x )
xx e (1 sin ) 1 cos x
1 x
0
0
1
1 2
x ln x
x
x
x
2
2
2
Giải :
1)
(*)
dx
dx
dx
I 1
(1 sin ) x e 1 cos x
e 1 cos
x
e sin 1 cos
x x
0
0
0
Trang 53
2
x
sin
x
du
dx
dx
2
cos (1 cos ) x 2 (1 cos ) x
1 cos x x (1 cos )
dx 1 cos
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
Đặt
x
x
dv
x sin 1 cos x e dx
e
u
v
x
x
x
x
2
2
2
2
dx
dx
e
dx
e sin 1 cos
x x
e sin 1 cos
x x
e 1 cos
x
e 1 cos
x
0
0
0
0
x
x
2
2
e
Suy ra (2*)
dx
e
dx
I 1
e 1 cos
x
e 1 cos
x
0
0
2
2
2
x
Thay (2*) vào (*) ta được:
x
1 x
(*)
x e dx
2
1
1
1
2
2
2
x
x
2
ln
x
du
x
x
2
e
ln
xdx
e
ln
x
dx
e
ln 2
dx
2) dx e ln xdx I ln x x e x
dx x
1
e x
e x
dv
x e dx
x
1
1
1
u
e
v
2
2
x
x
2
Đặt (2*)
Thay (2*) vào (*) ta được:
e
2 ln 2
2
1
1
2
1
1
x
x
x
1 x
1 x
1 x
I dx e ln 2 dx e x e x
I
1
x
dx
e
dx
x
dx
e
e
3
1 x
1 x
1 2
1 2
1 2
x
x
1 x
1 x
e
dx
1
du
e
3) (*)
1 2 x
dv
dx
u
x
v
1
1
2
2
2
x
x
x
x
e
(2
e
)
1 x
1 x
1 x
1 x
e
dx
x e
x
e
dx
x
e
dx
Đặt
(2*)
1 x
1 x
2
1
1
1 2
1 2
1
2
2
x
x
e
2 (2
)
e
(2
e
)
1 x
1 x
I
x
e
dx
x
e
dx
3
e 2
2
1 x
1 x
1
1 2
2
x
1
1
1
1
x
x
2
(1
x
)
2
(
x e
Thay (2*) vào (*) ta được:
I
dx
dx
x e dx
2
dx
4
2
e 2
2
xe x
)
(1
x (1
1) x )
(1
x
)
0
0
0
0
1
1
1
x
x
x
1
e
(1
x
4)
(*)
dx
1 2
e
dx
dx
e
2
2
0
e
1
x
e
(1
x
)
1) x 2 (1 x )
0
0
0
1
1
1
1
x
x
x
x
du
2
dx x
(1
)
dx
dx
1
dx
2
2
e
1
x
e
1
x
e
(1
x
)
e 2
e
(1
x
)
x
0
0
0
0
dv
1 x 1 x e dx
e
u
v
1
1
x
x
Đặt (2*)
1
I
1 2
e
1
dx
dx
4
2
2
e 2
e
(1
x
)
e
(1
x
)
0
0
Thay (2*) vào (*) ta được:
Nhận xét: Bốn câu tích phân ở Ví dụ 6 đều có đặc điểm chung là tích phân xuất hiện lượng triệt tiêu.
Trang 54
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
DẠNG 4:
(4*1) hoặc
(4*2)
I
I
u f e u dx ( ) '
f
(sin ,cos ).
u u dx '
u
4
4
Trong đó u ax b
a 0)
(
CÁCH GIẢI CHUNG
ax b
( nghĩa là u u . Sau đó đưa về các
Chú thích: Nếu dưới dấu tích phân có hàm lượng giác và hàm mũ có dạng sin u và ue mà u không là hàm bậc nhất hoặc bậc không ) thì việc đầu tiên ta phải làm là đổi biến t tích phân cơ bản. Ví dụ minh họa
1
2
2
1 1
2
sin
x
3
sin
x
dx
Ví dụ Tính các tích phân sau:
(
e
x cos ) cos
xdx
(cos
x
e
).sin 2
xdx
I 1
2
x xe 2
x
x
1
0
0
0
2
1
4
4
1) (D – 2005) 2) 2I 3) 3I
I
sin
xdx
dx
I
x xe dx
6
5
xe x
1
0
0
1
2
2
2
sin
x
3
4
5) 6) 4) 4I
I
cos 1
xdx
I
e
x sin cos
xdx
I
sin 2 cos (sin )
x dx
x
7
8
9
0
0
1
2 4
2
2
2
sin
x
sinx
2
7) 8) 9)
(
e
x cos ) cos
xdx
e
cos
xdx
cos
xdx A B
I 1
I 1
0
0
0
2
2
x
2
Giải : 1) (D – 2005) Ta có: (*)
2
B
cos
xdx
dx
x
sin 2
x
1 cos 2 2
1 2
1 4
4
0
0
0
1
2
1
t
sin
x
+) Tính (1)
A
t e dt
e
e
1
A
e
cos
xdx
t
sin
x
dt
cos
xdx
1
0
0
0
1
e
I Thay (1), (2) vào (*) ta được: 1
4
2
2
sin
x
sin
x
sin
x
+) Tính Đặt (2) và cận t : 0
A
e
cos
xdx
e
d
x (sin )
e
e
1
2 0
0
0
Trang 55
) ( Ta có thể sử dụng kĩ thuật vi phân để tính A :
2
2
3
sin
x
(cos
x
e
).sin 2
xdx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
0
2
2
2
2
2
3
sin
x
sin
x
4
2) 2I
I
cos
x
sin 2
xdx
e
.sin 2
xdx
x
sin
xdx
e
.sin 2
xdx
2
A B
2
0
0
2 2 cos 0
0
1
5
2
4
Ta có : (*)
A
cos
x
sin
xdx
A
4 t dt
dt
sin
xdx
t :1
0
1 t 05
1 5
0
0
2
2
5
x
4
4
+) Tính Đặt t cos x và cận (1)
A
cos
x
sin
xdx A
cos
xd
x (cos )
cos 5
1 5
0
0
2 0
2
2
sin
x
2
) ( Ta có thể sử dụng kĩ thuật vi phân để tính A :
B
e
.sin 2
xdx
t
sin
x
dt
x 2sin cos
xdx
sin 2
xdx
1
0
1
3
t
B
t e dt
e
e
1
I (2) Thay (1), (2) vào (*) ta được: 2
1 0
e 5 5
0
1
1 1
t
dt
dx
+) Tính Đặt và cận t : 0
dx
t : 1 0
2
2
2
x x
1 1
2 1)
(
x
2
dx x 2
x
1
x xe 2
x
x
1
0
0
t
Đặt và cận 3) 3I
I
t e dt
3
0 1
e 2
1 2
1 e 2
1 2
1 e 2 e
1
4
2
x
dx
t
tdt 2
x
2
dx
xe x
1
2
2
t
t
I
.2
tdt
2
t e dt
2
e
Đặt t và cận t : 0 4) 4I
22 e 2
4
2 0
e t
0
0
1
2
x
dx
t
tdt 2
x
1
x xe dx
I
5
0
1
1
t
du
t
t
5) Đặt t và cận t : 0
1
t te dt
te
t e dt
e
e
e
(
e
1)
5
I 5
dt t
1 0
1 0
I
dv
t e dt
v
e
0
0
u
2
4
2
x
dx
t
tdt 2
Đặt
sin
xdx
I
x
6
0
2
và cận 6) Đặt t t : 0 2
t 2 cos
t
tdt
0 2sin
t
2
t
sin
tdt
I 6
6
I 2
2 2 cos 0
0
2 0
2 0
1
t
1
2
1
x
x
t
tdt 2
dx
Đặt sin tdt du v dt cos t t u dv
I
cos 1
xdx
7
1
2 4
0
2
7) Đặt và cận: 0 t : 2
t cos .( 2
tdt
)
2
t
cos
tdt
I 7
0
2
Trang 56
Đặt t cos tdt dt sin t u du du u
2
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
2
0
0
0
2
2
sin
x
3
2
2 t sin t sin tdt 2 cos t I 7 2
t
sin
x
dt
x 2 sin cos
xdx
I
e
x sin cos
xdx
1
8
0
1
2
2
2
2
2
sin
x
2
sin
x
I
cos
x e .
x .sin cos
xdx
t e (1 sin ).
x .2sin cos
xdx
(1
t t e dt )
8
1 2
1 2
0
0
0
1
1
t
t
du
dt
2
t
8) Đặt và cận t : 0
(1
t e )
t e dt
I 8
t
1 0
e 2
1 2
1 2
e 2
dv
1 t e dt
v
e
0
0
u
2
4
Đặt
I
sin 2 cos (sin )
x dx
x
t
sin
x
dt
cos
xdx
1
9
0
1
2
2
4
4
sin 2 cos (sin )
x dx
x
x
x
xdx
tdt
I 8
4 2 sin .cos (sin ).cos
2 .cos t
0
0
0
dt
du
t
2
9) Đặt và cận t : 0
t 1 2cos 2
4
4
dv
cos
tdt
t 1 cos 4 2
u
cos
tdt
dt
dt
t
3 8
t sin 2 4
t sin 4 32
4
1 cos 2 t 2
v
1
2
1
2
t sin 2
t sin 4
t
dt
I 9
0
3 4
t sin 2 2
t sin 4 16
t 3 8
t 4
t 32
0
2
1
0
12 8sin 2 sin 4 12
t 3 8
t cos 2 4
t cos 4 64
12 8sin 2 sin 4 12
41 16cos 2 cos 4 64
Đặt
69 128sin 2 16sin 4 48cos 2 3cos 4 192
DẠNG 5:
(5*)
I
)x f e dx (
5
CÁCH GIẢI CHUNG
Trang 57
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Các ví dụ minh họa
ln5
1
3
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
I
I
2
3
x
x
2
dx e 2
e
3
dx 5x
ln 3 1
1
e 0 ln 2
1 1
3
2
x
)x
(1
I
dx
dx
dx
4
x
e 2 x
x
x e dx e x
e
e x e
e
2
e
0
0
0
e 0 1
1) (D – 2009) 2) (B – 2006) 3) I 1 e dx 1x 2 x 4) 5) 5I 6) 6I 7) 7I x e 3 x 3 e
3
Giải :
1
x
1) (D – 2009) I 1 dx 1x e
t
e
dt
x e dx
:t e
3 e
x thì
:1
3
3 e
3
3
3 e
e
2
e
1
t
1
Đặt và
dt
ln
ln
I 1
x e dx x x e e (
1)
dt
t t (
1)
1
1 t
t
e 2 e
1 t
1
e
e
e
ln5
Khi đó:
I
2
x
x
dx e 2
e
3
ln 3
x
2) (B – 2006)
t
e
dt
x e dx
x
: ln 3
thì ln 5
t : 3 5
5
ln 5
5
5
5
ln
Đặt và
I
dt
ln
2
2
x
x
2
e
x e dx
e 2 3
dt t 3
t
2
t (
2)
dt t 1)(
1
t
2
1
t
1
t t
2 1
3 2
ln 3
3
3
3
3
1
Khi đó:
I
3
2
dx 5x
e
0
2
x
3)
t
dt
e
:1t
2 e
: 0
1
2
2
x thì 2
e
1
e
e
2
Đặt và x 22 e dx
I
ln
ln
3
2
x
2 x e dx 2 x e (
5)
e
1 2
dt
t t (
5)
1 10
1 t
1
t
5
1 10
t
t
5
1 10
e 6 2 e
5
dt
0
1
1
1
1
2
x
x
t
e
dt
x e dx
Khi đó:
I
dx
4
x
e
e 0 1
1
1
1
1
x
e
1
e
e
ln
dt
dt
1
dt
t
ln
t
1
I 4
1
e
x . e dx x e
1
t
t
1
t
t
1
1
t
1
2
1 1 e
1
1
0
1
e
e
1
1
2
x
4) Đặt và cận :1t 1 e
t
dt
e
x 22 e dx
:1t
2 e
x
x e dx x e
e
2 x e dx 2 x e 1
0
0
2
2 e
1
ln
t
1
ln
I 5
1 2
2 e 2
1 2
e dt t 1
1 2
1
1
Trang 58
và cận 5) 5I Đặt
1
3
x e dx
)x
(1
x
t
1
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
t
: 2
e
1
dx
x
e x e
t
1
0
1
1
e
3
x
x
3
(1
e
Đặt và cận 6) 6I
dx
dt
I 6
) x
2
e 2 e
t (
t
1)
0
2
2
dt e e e 1
1
e
1
1
e
e
2
3
e
2
2
t
2
t 2
3ln
t
1
2
t 3( t (
1) 1 2 1)
3
t
1 ( t
1 1)
t 2
1
t
1
26 e e e 2
2
2
t
dt
dt
2
ln 2
2
x
x
dx
t 2 t 2 3 dt 2 1) t (
e 2 x
e
e 3 x 3 e
2
0
ln 2
2
x
x
x
t
e
dt
x e dx
7) 7I
2
dx
dt
I 7
e ( x 2
2
t :1
3) x 3 e
e
e
2
t
3 3 t
2
t
0
1
2
2
2
2
2
2
2
Đặt và cận (*)
2
1
1
1
1
2
2
t ln(
t 3
2)
ln
3ln 3 4 ln 2
1 2
3 2
t t
1 2
1
t (2 3) 1 2 3 2 dt dt = t t 3 2 1 2 d t ( 2 t 2) t 3 2 3 t dt t 1)( t 2) 1 2 d t ( 2 t 2) t 3 2 3 t 3 2 1 t 1 1 t 2 3 2 ( 1
t
2
3 t 1)( t
2)
A 1
t
B
2
t
t
A t (
B t (
3 3 t ( (2*)
1)
(Từ (*) các em có thể dùng phương pháp đồng nhất hệ số: 2 t
t ,A B theo 2 cách: C1: chọn
3 2) và chọn
A
1
2
t
t
B 1
2
Ta tìm
2
2
C2: (2*) t 3 ( A B t ) 2 A B A B 2 A B 1 3 A B 2 1
3 ln 3 4 ln 2
1
1
1
ln 2
ln 5
dt 2 ln t 1 ln t 2 I 8 ) 2 1 t 1 t 2
x
x
x
2
x
3
x
x
2 x e
e
dx
I
dx
2
I 1
3
e 3
2 x e dx x
e 2 x 1 2 e
e 2 2 (1
e
x )
0
0
ln 2 ln 3
ln 3
1
dx
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 2 (A – 2010) 2) I 3) 1) e
3
2
x
x
(
1)
0
0
dx 1x e
0 2
e
e 2
1
4) 4I 5) 5I 6) 6I 1 x e dx x e
1
2
x
x
x
2 x e
Giải :
dx
I 1
e 2 x 1 2 e
0
1) (A – 2010)
1
1
1
1
2
x
3
x
e
dx
2 x dx
I
I
I 1
x
x (1 2 ) e x 1 2 e
x e dx 1 2 e
x 3
1 3
0
0
0
0
Trang 59
Nhận xét: Vì biểu thức dưới dấu tích phân có cả phần đa thức liên hệ bởi phép toán cộng nên ta sẽ nghĩ tới việc “triệt tiêu” nó bằng cách cô lập (tách) thành hai tích phân để tính.
1
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
t
x e
1 2
dt
2
x e dx
x e dx
I
x thì 1
: 0
t
: 3
1 2
e
x
dt 2
x e dx 0 1 2 e
1 2
e
Tính Đặt và
1
1
I
ln
t
ln
1I
e dt t
1 2
1 2
1 2
e 2 3
1 1 2 3
e 2 3
3
3
1
1
1
d
1
x
1 2 ln Khi đó:
I
ln 1 2
e
ln
x
0
x e dx 1 2 e
1 2
x (1 2 ) e x 1 2 e
1 2
1 2
e 2 3
0
0
(Các bạn có thể tính I theo kĩ thuật vi phân: )
1
1
1
1
2
x
x
3
1
x
e
1)
x
ln
dx
2 x dx
e ln 2
1
I 1
x (1 2 ) e x 1 2 e
1 2
(2 d e 1 2
x e
x 3
1 2
1 1 2 3
e 2 3
0
0
0
0
ln 5
CHÚ Ý: Bài toán trên các bạn có thể trình bày theo cách ngắn gọn sau:
2
2 x e dx x
ln 2
tdt 2
x e dx
x
2
x
t
e
1
t
e
2) I e 1
x
: ln 2
thì ln 5
t :1 2
x
e
2 t
1
1
2
ln 5
2
2
x
2
3
2
e
t
1
2
Đặt và
I
x e dx .
.2
tdt
2
t
2
2
t dt
x
t
t 3
t 2
23 3
ln 2
1
1
e
1
1
ln 2
x
2
x
3
x
e
Khi đó:
I
dx
3
e 3
2 e 2 (1
e
x )
0
x
3
x
x
2
3)
x : 0
ln 2
t : 8 27
t
(1
e
)
dt
3(1
e
2 ) .
x e dx
x e
(1
e
)
dx
dt 3
27
ln 2
ln 2
27
x
2
x
x
x
2
1)
Đặt và thì
I
dx
ln
t
2
ln
3
x
x
1 3
29 10
x e e ( e 2 2 (1 e
3 )
e e (1 2 (1
) e
dx 3 )
dt
t
1 3
8
0
0
1 3 2 8
ln 3
tdt 2
x e dx
x
2
x
t
e
1
t
e
Khi đó:
t
: 2
2
x
2
t
1
0
dx 1x e
1 e
2
ln 3
2
2
x e dx
Đặt cận 4) 4I
ln 3
2
ln
I 4
x
x
tdt 2 2 t 1)
(
t
dt 2
t
1
t t
1 1
0
e
e
1
2
2
2
4
ln 3
4
4
3
2
t
e
1x
dt
x e dx
= 2 ln( 2 1)
t
dt .
2 2
t : 2 4
I 5
3
dt 3
2 t
x e dx x e
(
1)
0
t
2
2
2
1
dx
Đặt và cận 5) 5I
2
x
x
e 2
1
6) 6I
0 2 e Nhận xét:
2
x
x
2
2
x
x
2
x
t
e 2
e 2
1
t
e 2
2
e
tdt
1
(2
e
x e dx )
1
2
x
Nếu bài toán này ta đặt khi đó chúng ta phải
I
6
2
x
e (2 x
x e dx ) 2 x
x
e (2
e
e ) 2
2
e
1
0
2
x
x
nhưng ta chỉnh lại tích phân ( để rút được theo tdt ) bằng cách biến đổi:
(2
e
e
)
Trang 60
không rút được biểu thức dưới mẫu số theo t được . Như vậy hướng đi này không khả thi. Nếu
1
e
x e dx
dt
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
t
e
6
x
2
x
x
2
0
1
e
2
e
e 2
1
t
t 2
1
t 2 x
2
x
x
2
x
ta chuyển sang hướng khác bằng cách đặt thì nếu làm tiếp
2
e
2
e
1 (1
e
)
e
2
2
thì sẽ khá dài và phức tạp. Nhưng chúng ta hãy quan sát kĩ lại biểu thức : giá
u
2
x
2
x
x
x
2
x
x
2
2 xe
như nó có dạng .
a Điều giá như này gợi ý chúng ta nhân thêm
e
(2
e
e 2
e 2 2
1)
e
(1
e
)
. Và
1
1
dt
x e dx
t
: 2
e 1
:
(1
e
)x
t
2
2
1
1
2
dt
1
t (
t
1)
dt
.
khi đó ta có lời giải bài toán như sau: Đặt và cận
I 6
2
2
2
x e dx 2 x
x e dx x
2
x
x
2
t
1
t (
t
1)
t
1
0
0
e
(2
e
e 2
1)
(1
e
)
1
1
1
1 e
1 e
2
2
2
d t (
t
1)
(2
5)
e
2
ln
t
t
1
ln
2
2
1
1 e
1
t (
t
1)
e
1
2
e
e 2
1
1
e
'
f
=
DẠNG 6:
I
I
dx
f
(ln )
u dx
(6*) (TỔNG QUÁT :
)
6
6
u u
x (ln ) x
CÁCH GIẢI CHUNG
CHÚ Ý:
log
u
u
a
e log .log a
e
Nếu trong bài có loga u ta nên chuyển về ln u bằng công thức:
ln ln
u a
Các ví dụ minh họa
e
e
e
x
x
dx
2I
2
2
1 3ln ln x
3 2 1 3ln
1
1
1
3
1
e
e
ln
x log dx (B – 2010) 2) dx (B – 2004) 3) 3I I 1) 1 x x x
x
dx
6)
I
dx
4I
6
5
2
2
1 ln x x ln
9
1
0
e
Trang 61
4) 5) I Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: ln x (2 ln ) x x 3 3 x dx x x 1 ln x
e
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Giải :
:1x
e thì
t : 2 3
2 ln
x
t
2
1
x
dx x t
2
dt ln
3
3
3
t
2
ln
dt
ln
t
I 1
2 t
1 t
2 2 t
2 t
1 3
3 2
dt
2
2
2
e
x
x
(B – 2010) Đặt và dx 1) 1 I ln x x (2 ln ) x
dx
1 3ln ln x
1
tdt 2
tdt
dx x
t
1 3ln
x
2
1 3ln
t
x
(B – 2004) 2) 2I
:1x
e thì
t 2 :1
2
2
t
1
3 2 t
1
ln
x
ln
x
dx 3 x 3
3
2
2
2
2
5
3
t
4
I
t
.
tdt
t (
2 t dt )
Đặt và
2
3
1 2 . 3
2 9
t 3
1
1
116 135
t 2 9 5
1
e
2
3 2 1 3ln
1
x
x
tdt 2
dx
dx
ln x
2
2
x log dx 3) 3I x x
t
1 3ln
x
2
1 3ln
t
x
:1x
e thì
t :1 2
2
t
1
t
2
2
ln
x
ln
x
6 ln x 2 3
tdt 3 1 3
2
t
2
e
e
2
x
ln
x
x
e log .ln 2
I
dx
.
dx
3
2
2
1 3 ln 2
ln x
1 3 . t
tdt 3
1 3 ln 2
x
1 3ln
3 x
1 3ln
x
1
1
1
2
2
3
2
(
t
1)
dt
t
3
1 3 9ln 2
t 1 3 9 ln 2 3
4 27 ln 2
1
1
1
ln
Đặt và
x x dx
t : 0
ln 2
2
2
2
3 3
x
9
0
ln 2
ln 2
2
tdt
I 4
1 6
t 12
0
0
3
e
tdt 2
x
2
Đặt t ln dt dx và cận : 4) 4I 3 3 x x (3 6 x ) 3 3 x x 6 dx x 9
5)
Đặt
t
1 ln
1 ln
x
x
t
I
dx
t
: 2
2
5
1 ln x x ln
e
x
t
2ln 2 12 dx x 2
1
ln
2
2
2
2
2
4 2 2 2 ln( 2 1)
ln 3
.2
tdt
2
dt
2
1
dt
2
t
ln
I 5
2
t 2
2
t
1
t
t
1
1
1
t
1 2
t t
1 1
2
2
2
2
Trang 62
và cận
e
dx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
Đặt
t
ln
dt
x
t : 0
:1x
e thì
và
I 6) 6
2
dx x
1 2
x
1 ln
x
1
1 2
dt
cos
udu
dt
u
t
sin
u
t thì : 0
u
: 0
I 6
2
2
; 2 2
1 2
6
1
t
cos
u
0 1
t
6
6
và Đặt với với
I
du
u
6
6 0
6
cos cos
udu u
0
0
Khi đó
2
e
e
e
2
x
ln
x
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
dx
I
dx
I
dx
3
2
1 ln x
ln(ln ) x x
3 2 ln x 1 2 ln
x
x
1
1
e
2 e
e
e
3
2
2) 3) 1) 1 I
3 ln . 1 ln
x
x
I
dx
ln x x 4) 5) I dx
6)
I
dx
6
5
4
x
x 1 2 ln 2 8ln x
x
3
x
8ln
1
2 x
1
1
2log 2 x 1 3ln
Giải :
e
t
1 2 ln
x
2
1 2 ln
t
x
dx
t :1 2
Đặt và cận
I 1) 1
3 2 ln x 1 2 ln
x
x
2
1
2ln
dx x
x
t
1
tdt
2
2
2
2
3
1)
tdt .
4
t 4
I 1
2 t dt
10 2 11 3
3 ( t t
t 3
1
1
1
2
e
t
dt
ln
x
t :1
2
I
dx
2
ln(ln ) x x
dx x
e
2
2
2
du
2
2) Đặt và cận
2ln 2 1
t
ln
t
dt
t
ln
t
t
dt t
I 2
2
1
1
1
1
ln u t dv dt
t
v
e
2
x
ln
x
Đặt ln tdt I
I
dx
3
1 ln x
1
2
2
3
x
2
2
t
1 ln
x
2
1 ln
t
x
tdt
dx
3)
t tdt .
t :1
2
I 3
2 2 1 3
t 3
ln x
1
1
e
2
3 ln . 1 ln
x
x
Đặt và cận
I
dx
4
x
1
x
3
2
2
3
4)
t
1 ln
x
3
1 ln
t
x
2 t dt 3
dx
dx
2 t dt
t :1 2
2 ln x
ln x x
3 2
3
3
3
2
e
2
2
ln
3
2
4
1 ln
x
.
t
.
3 t dt
t
I 4
26 2 3 8
xdx x
3 2 t dt 2
3 2
3 8
1
1
1
1
Trang 63
Đặt và cận
e
3
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
5
2 x
1
x
x
tdt 2
dx
dx
tdt
ln x
1 3
2
2
ln x x 5) I dx 2log 2 x 1 3ln
t :1 2
t
1 3ln
x
2
1 3ln
t
x
t
1
2
ln
x
6 ln x 2 3
2
t
1
2
e
e
e
3
3
2
ln
x
2 log
x
ln
x
x
e
ln
x
2 log
e
x
3
2 ln 2 .
dx
dx
.
dx
I 5
2
2
2
ln x
t
1 tdt 3
1
1
1
1
x
1 3ln
2 x
2 log .ln 2 1 3 ln
x
x
1 3ln
2 x
2
3
2
2
t
1
dt
t
t
1
4 27
2 3ln 2
6 ln 2
6 ln 2
1 9
1
t 1 9 3
2
2
e
e
2 ln
x
Đặt và cận
I
dx
dx
6
2
2 ln x 1 2 8ln x
x
8ln
x
3
1
1
x
1 1
. 2 2 ln x 1)
x
2 ln
1 1
2
:1x
6)
Đặt
2 e thì
t :1 9
dx
t
(2 ln
x
dt
1)
dx
x x
dt 4
4(2 ln x
9
9
và
ln
I
t ln 2
1
6
1 8
19 3
1
1 8
1
dt 1 4 2 t 1
f
Khi đó
DẠNG 7:
I
I
(7*1) hoặc
(7*2)
dx
dx
2
2
x f (tan ) x cos
x (cot ) x sin
7 7
CÁCH GIẢI CHUNG
CHÚ Ý:
+) Khi gặp tích phân
I
dx
2
2
a
sin
x b
x
c
cos
x
x f (tan ) x sin cos
t
tan
x
dt
thì ta phân tích
I
dx
2
f tan
x (tan ) 2 x b
cos
x a (
tan
x
c
)
dx 2 cos
x
0
sau đó đặt
I
dx
2
f
( ) t bt
c
at
0
; để biến đổi hợp lý về (7*1) hoặc (7*2).
( tích phân hữu tỉ - các bạn xem lại ở lớp tích phân hữu tỉ )
Trang 64
+) Các bạn có thể sử dụng kĩ thuật vi phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân “đơn giản” . +) Chú ý cận
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Các ví dụ minh họa
3
6
4
4
4
x
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
dx
I
dx
I
dx
3
2
I 1
2
2
tan cos2
x x
x sin (2 sin 2 ) 3 cos
x
x tan 3 x sin 2 3cos
x
sin
x
0
0
4
2
3
3
sin
xdx
I
I
1) (A – 2008) 2) 3)
5
6
4
3
3
dx x sin .cos
x
sin
x
cos
x
4
4
6
5) 6) 4) I x sin .sin 6 dx x
4
4
4
6
6
6
x
Giải :
dx
dx
dx
I 1
I 1
2
2
2
tan cos2
x x
tan 2 x
x sin
x
cos
tan .(1 tan x
x
)
cos
0
0
0
t
tan
x
dt
1) (A – 2008)
x
: 0
thì 6
3 t : 0 3
x
3 3
3 3
4
dx 2 cos 3 3
2
2
Đặt và
2
2
0
0
0
3
3 3
t
ln
ln(2
3)
t 3
1 2
t t
10 3 27
1 2
1 1
0
3
4
dt t 1 dt t 1 dt I 1 1 1 t 1 2 t 1 t 1 1 t t 1 1
I
dx
2
2
2
3 tan x x sin 2 3cos
x
sin
x
0
3
4
t
tan
x
dt
2)
t : 0 1
x
: 0
I
dx
2
2
thì 4
tan 2 x .(tan
x 3 2 tan x
cos
x
3)
dx 2 cos
x
0
1
1
1
1
3
dt
t
2
dt
t
2
dt
t
2
dt
I 2
2
2
t
2 t
3
3
t
t 7
2 t
3
3
t
t 6( t (
3 1) 1)( t 3)
t
6
t
3
1
t
1
0
0
0
0
1
2
7 ln 2 6 ln 3
t 2
6 ln
t
3
ln
t
1
t 2
5 2
0
2
4
4
4
x
2sin
x
2
I
dx
dx
2
dx
xdx
Ta có: . Đặt và
3
x sin (2 sin 2 ) 3 cos
x
2sin 3 cos
x x
x 3 cos
cos x
tan 2 cos
x x
4
4
4 2 tan 4
4
2
4
x
xd
x (tan ) 2
1
dx
2
tan
x
x
4
tan 2
1 2 cos
x
4 4
4 2 tan 4
4
Trang 65
3)
3
3
3
3
dx
2
dx
dx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
4
2
x sin .
3 sin
x
cos
x
sin
x .
3 cot
x
x sin .sin
x
x sin .
sin
x
cos
x
6
6
6
2 6
6
dx
3 2
1 2
3
3 cot
2
2 ln 3 cot
x
2 ln
3 2
3 cot
x
3 6
d
x
6
2
2
2
2
sin
xdx
xdx
xdx
dx
I
4)
5
3
3
3
3
3
2
sin
x
cos
x
x
sin
sin
x
x
sin
x
sin . 1 cot x
. 1 cot x
sin 1 cot
4
4
4
4
2
2
1
(1 cot
2
3 8
x
x
d 1 cot
x ) 3
2 1 cot
4
4
2
2
2
sin
xdx
sin
xdx
xdx
I
5)
5I theo Cách 2 như sau :
5
3
3
3
1 2 2
sin
x
cos
x
sin
2 sin
4
4
4
4
sin x
4
x
( Ta có thể tính
t
dt
x
dx
x
:
t
:
. Khi đó:
4
thì 2 4
2
3 4
sin
3 4
3 4
3 4
3 4
3 4
sin
t
Đặt và
I
dt
dt
cot
t
5
3
2
t 4 sin
t
1 4
1 4
t sin
cos 3 t
dt 2 sin
t
d sin
sin t 3 t
1 4
1 2sin
t
3 8
1 2 2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3
x
)
I
.
.
.
6
3
4
dx x sin .cos
x
dx x tan .cos
x
1 tan
1 2 cos
dx 2 cos
x
x
x
1 tan x tan
dx 2 cos
x
4
4
4
t
tan
x
dt
6)
t :1 3
x
:
4 thì 4 3
dx 2 cos
x
3
3
3
2
2
1
t
Đặt và
1
ln 3
I
dt .
ln
t
6
1 2
t
1 t
t 2
t dt
1
1
1
,
I
,
Khi đó
I Nhận xét: +) Ba ý 3
4
I do biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, nên ta đã sử dụng kĩ thuật vi phân. 5
4
5
3
0
4
4
sin
xdx
xdx
sin xdx I thì cách làm đầu tiên bằng việc biến +) Ở tích phân 5I nếu đổi lại đề (đổi lại cận) sin x cos x
I
0x tại
0x . Lúc này ta biến
5
3
3
sin
x
cos
x
0
0
x
sin
x
sin 1 cot
4
4
4
4
sin
xdx
xdx
xdx
xdx
đổi sẽ không chính xác vì sin
I
5
3
3
3
3
sin
x
cos
x
x
cos
x
cos
0
0
0
0
x
cos
sin 3
tan 1
tan 2
tan 1
sin
tan 1
Trang 66
… đổi theo cos x như sau
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
5
3
0
sin xdx Nếu tiếp tục đổi lại cận I thì cách biến đổi theo cos x khi đó cũng không chính xác. sin x cos x
Song Cách 2 vẫn phát huy tác dụng . Ngoài ra ta còn cách giải khác (sẽ được nói kĩ hơn ở các lớp tích phân đặc biệt).
3
4
3
4
tan
x
I
dx
I
dx
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
dx
2
3
I 1
5
sin 2
2
sin 2 x
x 3 ) .cos
x
(2 tan
x x
x 5sin cos
2cos
x
cos . 1 2cos
x
x
0
6
4
3
3
4
4
1) 2) 3)
dx
dx
I 1
5
2
sin 2 x
x 3 ) .cos
x
(2 tan
tan 2 x
x 3 ) .cos
x
(2 tan
0
0
2
Giải : 1)
t
2 tan
x
dt
dx
dx
x
: 0
t . Khi đó: : 2
1
2 tan 2 cos
x x
tan 2 cos
x x
dt 2
4
2
2
2
2
4
.
dx
dt
I 1
x 2
3
1 8
tan (2 tan
x
)
tan 2 cos
x x
2 3 t
t dt . 2
1 2
2 3 t
1 2 t
1 2
1 2 t
1 t
0
1
1
1
3
3
3
tan
x
tan
x
tan
x
Đặt và thì
I
dx
dx
dx
2
2
2
2
cos . 1 2 cos
x
x
cos
. 3 tan x
x
2
x cos . cos
x
2
4
4
4
1 2 cos
x
2
2
6
2)
t . : 2
t
3 tan
x
2
3 tan
t
x
tdt
dt
x
:
t tan 2 t cos
4 3
6
6
6
Đặt và thì
6 2
I
dt
t
2
2
tdt t
2
2
4
4
x
Khi đó:
I
dx
dx
3
sin 2
2
x x
x 5sin cos
2 cos
x
3
sin
x
5
.
2
6
6
cos 2 sin
cos sin
x x
1 2 sin
x
sin x x
4
4
dx
2
3
2
2
2
2
sin
x
2 cot
x
dx 5cot
x
2 cot
x
sin
x
5cot
x
2 cot
x
x
1 cot
6
6
3
t
: 3
1
3)
. Khi đó :
I
t
cot
x
dt
x
:
3
2
3
dx 2 sin
x
6 4
dt t 5
t 2
t 1 2
Đặt và thì
1
A t (
t 2)(2
1)
Bt
t (2
1)
Ct t (
2)
3
2
t 2
t 2
t t (
1 t 5
1 t 2)(2
1)
A t
B
1
2
0; 2;
ta được:
C , suy ra:
Ta phân tích
1 2
t 1 A ; 2
C 2 t 1 B và 6
4 3
3
3
ln 3
ln( 3 2)
ln(2 3 1)
I
ln
t
ln
t
2
t ln 2
1
3
3 4
1 6
2 3
1 t 2
t 6(
1
4 2) 3(2 t
1)
1 2
1 6
2 3
1
dt
1
Trang 67
Lần lượt chọn x bằng
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Bài luyện
Tính các tích phân sau:
6
4
3
3
ln
I 1
2
3
x
sin
cos
x
dx x
0 cos
0 cos .sin x
1) ( Đs: ) 2) ( Đs: 2 ln 2 ) I
3
2
3
sin
x
dx
4 dx x
dx
I
3
3
6
3 32
42 3 8 15
sin cos
x x
0
3 sin
x
cos
x
6
( Đs: ( Đs: ) 3) ) 4) 4I
kg x ( )
DẠNG 8:
I
(8*)
dx
8
f g x g x '( ) ( ) . g x ( )
CÁCH GIẢI CHUNG
Các ví dụ minh họa
2
4
2
x
dx
I
dx
I 1
2
1 2sin 1 sin 2
x x
sin 2 .cos x x 1 cos
0
0
1
2
x
x
4
x
2 x e
x
x
I
dx
(B – 2003) 2) (B – 2005) Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: 1)
I
dx
3
4
2 e x 1 2 e
sin x
x sin
( x
x 1) cos cos x
0
0
3) (A – 2010) 4) (A – 2011)
2
4
4
Giải :
dx
dx
t
1 sin 2
x
I 1
I 1
1 2sin 1 sin 2
x x
x cos 2 1 sin 2
x
0
0
2
2
1) (B – 2003) Ta có: Đặt
ln
t
t :1 2
dt
2 cos 2
xdx
cos 2
xdx
x
: 0
ln 2
I 1
1
dt 2
thì 4
1 2
1 2
dt t
1 2
1
Trang 68
và
2
2
2
x
x
I
dx
I
2
dx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
2
2
x sin 2 .cos 1 cos x
x cos .sin 1 cos x
0
0
2) (B – 2005) Ta có:
t
1 cos
x
dt
sin
xdx
t : 2 1
x
: 0
thì 2
1
2
2
2
2
(
t
1)
1 2 ln 2
2
.(
dt
) 2
t
2
dt
2
t 2
ln
t
I 2
t
1 t
t 2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
x
x
2
x
3
x
2 x e
x
e
Đặt và
I
dx
I
dx
2 x dx
I
I
3
3
x
2 e x 1 2 e
x (1 2 ) e x 1 2 e
x e dx 1 2 e
x 3
1 3
0
0
0
0
0
1
3) (A – 2010) Có :
x thì
: 0
1
t
: 3
e 1 2
t
x e
1 2
dt
2
x e dx
x e dx
I
x
dt 2
x e dx 0 1 2 e
1 2
e
1 2
1
1
ln
Tính Đặt và
ln
I
ln
3I
1 2
e dt t
1 2
1 2
e 2 3
1 1 2 3
3
3
4
x
x
dx
I
Khi đó: t e 2 3
4
sin x
x sin
( x
x 1) cos cos x
0
4
4
4
x ( sin
cos
x
I
dx
1
dx
I
(A – 2011) 4)
x
I
I
4
4 0
4
x sin x
cos ) x cos x
x x
x sin
cos x
x cos
x
x
dx
0
0
0
4
t
:1
1
I
dx
+)
t
x
sin
x
cos
x
dt
x
cos
xdx
x
: 0
2 2
thì 4
x sin
cos x
x cos
x
x
4
0
2 2
1 4
2 2
1 4
+) Tính Đặt và
I
ln
ln
x
1
ln
1
4I
1
4
2 2
4
dx x
2 2
4
1
3
4
e
2
2
x
1
x
x
1 ln
I
dx
2
e x
x
2
ln
x
1
1
e
e
e
2
x Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 1) 2) dx I 1 1 ( 1 x x ln 1) ln x
(*)
e x
1
1
1
1
e
e
e
2
e
e
1
x x (1 x Giải : 1) dx dx x xdx I I 1 1 ( 1 x x ln 1) ln x ln ) 1 ln x ln x 1 x x 1 ln x x x ln 1 dx
(1) +)
(2)
xdx
1
2 ex 1 2
2
1
1
1
e
d +) I dx ln 1 x ln x ln( e 1) x 1 ln x x ln 1 x x ln ) (1 x x ln 1
ln(
e
1)
1I
2 1 2
3
4
e
e
e
3
2
x
1
x
x
x
x
(2
1 ln
3
Thay (1), (2) vào (*)
I
dx
dx
x
2
x
2
ln
x
x 2
ln ) 1 ln x
x x ln
1 ln x x x ln 2
dx
1
1
1
e
e
4
e
e
2
3 x dx
ln 2
x
ln
x
ln
e d
(2 ln ) x x x x ln 2
x 4
2 1 4
2
1
1
1
Trang 69
2)
'
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHÚ Ý: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, các em có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kĩ thuật vi
I
dx
ln
u
?
1I
u u
du u
3
3
(
x
sin
x
x
x
phân. Ở và 2I ta đã sử dụng :
dx
I
dx
I 1
2
1)sin 2 x x 1 2 cos x
2sin .(cos x 1 sin sin 3 x
2 sin ) x x x
0
0
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: 1) 2)
3
3
3
3
(
x
x
sin
x
x
x
sin 2
x
Giải :
dx
dx
x
sin
xdx
dx A B
I 1
1) sin 2 x 1 2 cos x
sin .(1 2 cos ) x x 1 2 cos
sin 2 x 1 2 cos
x
0
0
0
0
3
1) (*)
A
x
sin
xdx
0
3
+) Tính Đặt xdx du v dx cos x x u dv sin
A
x
cos
x
cos
xdx
sin
x
3 0
3 0
6
3 2
6
0
3
3
Khi đó (1)
B
dx
dx
sin 2 x 1 2 cos
x
2sin cos x x x 1 2 cos
0
0
+) Tính
t : 3
2
t
1 2 cos
x
dt
2 sin
xdx
sin
xdx
x
: 0
dt 2
thì 3
3
3
3
t
1
Đặt và cận
B
.
1
dt .
ln
t
t
ln
2
t
dt 2
1 2
1 t
1 2
1 2
1 2
3 2
2
2
ln
Khi đó (2)
3 1 2 6
1 2
3 2
3
x
x
Thay (1), (2) vào (*) ta được: 1I
I
dx
2
2sin .(cos x 1 sin sin 3 x
2 sin ) x x x
0
2
x
x 2 sin )
x
x .(4sin
x
1)
sin 2
x
x 2sin .(cos
2
2
2
1 cos 4
x
1 cos 2
x
2 sin 2
x
cos
x
(4sin
x
1) cos
x
x
1
cos 4
x
cos 2
x
x 1 sin sin 3 x
1 2
4
2
4
3
2
3
3
x
2) Ta có:
I
4
dx
4
dx
dx
4
A B
2
2
2
x .(4sin (4sin
x x
1) 1) cos
sin 2 2 x
x 2 cos
x
sin 2 2 x
x 1) cos
x
(4sin
0
0
0
x
6
A
dx
Khi đó (*)
du v
dx tan x
x
dv
x 2 0 cos
x
u
dx 2 cos 3
3
+) Tính Đặt
(1)
A x
tan
x
dx
ln cos
x
ln 2
3 0
3 0
cos x d x cos
sin cos
x x
3
3
3
0
0
Trang 70
Khi đó
x
3
3
3
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
B
dx
2
dx
2
d
tan
x
2
2
2
sin 2 2 x
x 1) cos
x
(4sin
1
2
x
0
0
0
x tan 1 5 tan
.cos
x
x sin cos cos x x 2 x
2
3
3
+) Tính
2
2
0
0
(2) ln 1 5 tan x ln 2 1 5 1 5 4 5 x x
ln 2
2
4 3 3
4 5
4sin cos d 1 5 tan 1 5 tan 3
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
sin
2sin
x
Thay (1) và (2) vào (*) ta được: ln 2 I 4 ln 2 4 5
dx
I
dx
I 1
2
sin x
sin x cos x
x x
3cos 2 cos
x x
0
0
e
2
2
2
ln
x
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: 1) 2)
I
dx
3
4
2
2
e x 2
2
1
1
ln
x
x
x
(1 2 ln )
x x
3) I dx 4) 1 x x x ln ln x x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
cos
x
sin
x
sin
x
(
x
x
Giải :
dx
dx
dx
I 1
sin x
sin x cos x
cos x
x cos
x
cos )( x x x
cos ) 1 sin cos
x x
0
0
0
2
2
(
x
cos )
x dx
dx
1 sin x cos
x x
0
0
2
2
(
x
cos )
x dx
d x cos ) x ( cos x x
0
0
2
2
1 ln
sin
x
ln
x
cos
x
x 2
2 8
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
sin
2sin
x
x
4 cos
x
x
2sin
x
I
dx
dx
1)
2
x x
3cos 2cos
x x
sin x
x 2 cos
cos x
0
0
2
(
x
x
dx
x x 2 cos )( x
2 cos ) 1 2sin 2 cos
x x
0
2
2
(
x
2 cos )
x dx
dx
1 2sin x 2 cos
x x
0
0
2
2
(
x
2cos )
x dx
d x x 2cos ) ( 2 cos x x
0
0
2
2
2 ln
2sin
x
ln
x
2cos
x
x 2
2 8
4
0
Trang 71
2)
e
e
e
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
3
2
1
1
1
e
ln
x
e
e
e
ln(
e
1)
dx
1
x
ln
ln
x
e d
1 x
1
1
1
1
ln
ln
x
1 2 x 1 x
1 x 1 x
1 x dx x
2
2
2
2
e
e
e
2
2
x
x 2 ln
ln
x
x
x
1)
2
x
ln
x
( x x 3) I dx dx 1 x x x ln ln x x x x x ln ) 1 2 x x ln 1 2 x x ln x x 1 dx
I
dx
dx
dx
4
2
2
2
ln 2
2
x
x
.
x
ln
.
x
x
ln
x
1
1
1
ln
x
x
x
x
x
x x .( 2
x
(1 2 ln )
x x
e
e
e
e
2
1
ln
x
1
dx
dx
2
2
1 2 x
dx 2 x
1 x
1 ln
x
x
1 2 x
e 2 2 e
1 e
ln
x
ln
x
1 x x ln
x
1
1
1
1
1
x x
e d x x
x 2
m
n
4)
DẠNG 9:
m n
)
,
I
(9*) (
sin
x .cos
xdx
hoặc
I
I
9
(9*1) ;
(9*2)
f
x (sin ).cos
xdx
f
x (cos ).sin
xdx
9.1 9.2
CÁCH GIẢI CHUNG
Trang 72
CHÚ Ý: +) Các em xem thêm DẠNG 7 cho đầy đủ các trường hợp. +) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, các em có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kĩ thuật vi phân.
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Các ví dụ minh họa
3
2
2
3
2
3
4
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
I
(cos
x
1) cos
xdx
x sin 2 cos
xdx
I
3
2
I 1
2
4
sin
dx x cos
x
0
0
4
2
3
4
3
3
I
dx
1) (A – 2009) 2) 3)
I
x sin 2 .(sin
x
sin 3
x
cos
x
cos 3 )
x dx
5
4
cos 2 sin
x x
0
6
4) 5)
2
2
2
3
2
5
2
Giải :
(cos
x
1) cos
xdx
cos
xdx
cos
xdx A B
I 1
I 1
0
0
0
2
2
2
2
1) (A – 2009) Ta có :
B
cos
xdx
(1 cos 2 )
x dx
x
sin 2
x
1 2
1 2
4
1 2
0
0
0
2
5
+) Tính
x
: 0
A
cos
xdx
t
sin
x
dt
cos
xdx
t : 0 1
m
n 0;
) Đặt
5
thì 2
0
1
1
1
5
2
2
4
2
4
2
3
+) Tính ( ở đây và
2 ) cos
2 2 )
0
0
0
0
0
1I
8 15
4
2
3
4
3
7
Khi đó : A cos x cos xdx (1 sin x xdx (1 t dt ( t t 2 1) dt t t t 5 2 3 8 15
m
n 3;
) 7
I
x sin 2 cos
xdx
x
cos
xdx
2
2 8 sin 0
0
2) ( ở đây
t
cos
x
dt
sin
xdx
t : 0
1
x
: 0
thì 2
1
1
8
10
2
2
7
2
7
7
I
x
) cos
x
sin
xdx
t
)
t
.(
dt
9 t dt )
Đặt và
8
2
8 (1 cos
) 8 ( t
1 5
t 8
t 10
0
0
0 8 (1 1
0
2
2
3
3
3
3
3
)
Khi đó
I
dx
.
3
2
4
2
2
sin
dx x cos
x
(sin sin
x cos 2 4 cos x
x x
1 4 cos
x
sin
1 x cos
x
1 2 cos
dx 2 cos
x
x
dx 2 sin 2
x
dx
4
4 4
4
4
4
3
3
3
x
2
tan
x
x 2 cot(2 )
1 tan
x d
8 3 4 3
(2 ) x d 2 x sin 2
tan 3
3 4
x . (tan ) 2 4
4
Trang 73
3)
4
3
3
I
x sin 2 .(sin
x
sin 3
x
cos
x
cos 3 )
x dx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
4
0
3
3
2
2
x
x
x
sin
cos
4)
sin (1 cos
x
x
)sin 3
x
x
x
) cos 3
x sin sin 3
x
x cos cos 3 x
x sin cos 3
x cos sin 3
x sin cos
x
x
x
cos (1 sin
x (áp dụng công thức hiệu của cos và tổng của sin )
x
sin cos .sin 4
x
x
x
2
2
x
=
x x
2 sin cos .sin 2 cos 2 x x x x x sin 2 cos 2
x x x cos 2 x sin 2 cos 2 2 3 cos 2 (1 sin 2 ) x cos 2
x
4
3
I
x sin 2 cos 2
xdx
Ta có: sin 3 cos 3 x = = cos 2 cos 2 cos 2
2
0
1
4
Khi đó:
t
cos 2
x
dt
2 sin 2
xdx
t 0 :1
3 t dt
I 2
1 0
1 2
t 8
1 8
0
Đặt và cận
4
4
x
3
)
I
x sin 2 cos 2
xdx
3 cos 2
xd
x (cos 2 )
4
1 2
4 cos 2 8
1 8
0
0
4 0
(Trong trường hợp này các em có thể sử lý nhanh bằng kĩ thuật vi phân
3
2
I
dx
Nhận xét : Nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, các bạn có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kĩ thuật vi phân.
x
:
t : 1
t
sin
x
dt
cos
xdx
5
thì 2 6
1 2
cos 2 sin
x x
6
1
1
1
2
2
2
2
2
x
1
I
cos
xdx
cos
xdx
dt
t
5) Đặt và
Khi đó
5
1 2 t
1 t
1 2
cos 2 sin
x x
1 sin 2 sin
x
t 2 t
1 dt
1 2
6
6
1 2
1 2
2
4
4
2
I
dx
I
dx
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
I 1
2
3
sin 1 cos
xdx 2 x
sin 4 6 sin
x x
cos 2 x 6 x cos
1 2sin 1 sin 2
x x
0
0
0
0
6
2
x
1) 2) 3) (B – 2003)
I
dx
I
dx
I
dx
4) (B – 2005) 5)
6)
5
4
6
2
x sin 2 x (2 sin )
x sin 2 cos 1 cos x
cos 2
cos x
x cos 2
x
0
0
2
3
4
2
2
dx
I
I
dx
I
8
9
7
3sin 2 3sin
x x
4 cos 4 cos
x 2 x
sin 4 1 cos
xdx 2 x
x cos sin 2 1 cos 2
x x
0
0
0
8) 9) 7)
2
Giải :
t
cos
x
dt
sin
xdx
sin
xdx
và cận
dt
t :1
0
I 1
sin 1 cos
xdx 2 x
0
Trang 74
1) Đặt
2
0
1
dt
(1 tan
u du )
u
: 0
t
tan
u
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I 1
2
2
dt t
1
dt t
1
4
2
2
1
0
du 2 cos u 1 tan
t
u
1
2
4
4
du u
I 1
4 0
(1 tan 1 tan
u du ) 2 u
4
0
0
6
6
4
sin
x
cos
x
1
2 sin 2
x
Đặt và cận
I
dx
2
sin 4 6 sin
x x
x cos 2 6 x cos
0
sin 4
x
cos 2
x
x
1) cos 2
x
3 4 (2sin 2
4
4
1) cos 2
x
x
I
dx
4
dx
2) Ta có:
t
sin 2
x
dt
2 cos 2
xdx
t : 0
1
2
(2sin 2
x 4 3sin 2
1) cos 2 2 x
0
0
1
2 sin 2
x
x (2sin 2 3 4
1
1
1
1
1
2
t .6
2
2)
t ( 3
2)
I
2
dt
dt
2
dt
2
2
2 1 t 2 4 3 t
4
dt 2
4
t 3
2 3
(3 d t 2 t 3
4) 4
1 1 ( 3 t 2
2 3 t 3
4
t ( 3
t 2)( 3
2)
0
tdt 6 2 2 3 3 t 0
0
0
0
0
1
1
1
2
3
t ln 3
4
ln 2
ln
ln 2 ln 2
1 2
4 3
1 2
2 3
4 3
1 t 3
2
1 t 3
2
t 3 t 3
2 2
0
dt
0
0
2
4
4
Đặt và
I
dx
I
dx
3
3
1 2sin 1 sin 2
x x
x
0
0
3) (B – 2003) Ta có:
x
: 0
dt
2 cos 2
xdx
cos 2
xdx
t : 0 1
t
sin 2
x
x cos 2 1 sin 2 dt 2
thì 4
1
ln 2
ln 1
t
I 3
1 0
1 2
1 2
t
1 dt 2 1 0 Cách 2 : (Theo góc nhìn của DẠNG 8)
2
2
và Cách 1 : Đặt
t
1 sin 2
x
t :1
2
ln
t
x
: 0
ln 2
I 3
1
thì 4
1 2
1 2
dt t
1 2
1
2
2
2
x
I
dx
I
.sin
xdx
2
Đặt và
4
4
sin 2 cos x x 1 cos
0
4) (B – 2005) Ta có:
x
: 0
t
cos
x
dt
sin
xdx
t :1 0
x cos 1 cos x 0 thì 2
0
1
2
2
1
1 2 ln 2
2
.(
dt
) 2
t
1
dt
2
t
ln
t
1
I 4
t 1
t
1
t
1
t 2
0
1
0
Cách 1 : Đặt và
Cách 2 : (Theo góc nhìn của DẠNG 8)
x
: 0
t
1 cos
x
dt
sin
xdx
t : 2 1
thì 2
1
2
2
2
2
(
t
1)
1 2 ln 2
2
.(
dt
) 2
t
2
dt
2
t 2
ln
t
I 4
t
1 t
t 2
1
2
1
Trang 75
Đặt và
0
0
I
dx
cos
xdx
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
5
2
2
x sin 2 x (2 sin )
x 2sin x (2 sin )
2
2
5)
t
2 sin
x
dt
cos
xdx
t 2 :1
x
:
thì
0
2
2
2
2
2(
2)
2 ln 2 2
Đặt và
dt
2ln
t
I
dt
5
2
4 t
t t
2 t
4 2 t
1
1
1
6
Khi đó
I
dx
6
cos x
x cos 2
x
cos 2
0
6
6
cos
x
cos
x
6)
I
dx
dx
6
2
2
cos 2
x
cos 2
x
(1 2sin
x
) 1 2sin
x
0
0
1 2
dt
+) Ta có:
t
sin
x
dt
cos
xdx
I 6
2
1 t : 0 2
2 0 (1 2 ) 1 2 t t
+) Đặt và (*)
2
2 t (1 2 ) 1 2
2
du
udu
d u (
dt +) Ta sẽ đi tính nguyên hàm I t
I
t
dt
2
2
2) 2
2
1 u
du 2 u
1 2
2
(
u
2)
u
2
(
u
2)
u
2
u
1
1
2 2 u
2 2 u
1
t
2
2
3 2
u (
2)
d u (
2)
C
C
C
2
2
1 2
u
2
1 2 t
2
1 1 2 t
1 2
1 2
dt
t
I 6
2
2
2 2
2 t (1 2 ) 1 2
t
1 2 t
0
0
x
Đặt
.
I
n
1 t
dx ) nn
(
a bx
a bx
2
2
2
CHÚ Ý : Dạng tổng quát của (*) là và ta giải bằng cách đặt
I
dx
3
dx
4
dx
3
A
4
B
7
2
2
2
2
3sin 2 3sin
x x
4cos 4cos
x 2 x
sin x
x 4 cos
x
3sin
cos x
x 4 cos
x
3sin
0
0
0
2
2
2
7) (1)
A
dx
dx
dx
2
2
2
sin x
x 4 cos
x
3sin
sin 2 x
x ) 4cos
x
sin x 2 3 cos
x
3(1 cos
0
0
0
*) Tính
x
: 0
t
cos
x
dt
sin
xdx
t :1
0
thì 2
2
1
Đặt và
u du
u
: 0
t thì : 0
1
A
2
6
2
dt 0 3 t
dt du Khi đó Đặt và t 3 tan u
3 1 tan
t 3 2 cos 2 u 3
u 3 1 tan Trang 76
2
6
6
6
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
2
0
0
3 1 tan 3 1 tan
u du u
0
2
A du u (2) 3 3 3 3 3 18
A
dx
x
3 tan
u
x sin 2 3 cos
x
0
2
2
2
( Việc tính , thực chất là việc gộp 2 cách đặt trên ) các em có thể đặt cos
B
dx
dx
dx
2
2
2
2
cos x
x 4 cos
x
3sin
cos
x 4(1 sin
x
)
x cos 2 4 sin
x
3sin
x
0
0
0
*) Tính
x
: 0
t
sin
x
dt
cos
xdx
t : 0
1
thì 2
1
1
1
Đặt và
B
dt
dt
ln
ln 3
2
dt t
4
1 1 ( 2) t t ( 4 2)(
t ( t
2) 2)
1 4
1
t
1
t
2
2
1 4
t t
2 2
1 4
0
0
0
0
ln 3
3
A
4
B
I Thay (2), (3) vào (1) ta được: 7
3 6
4
4
4
x
I
4
dx
Khi đó (3)
8
xdx x
sin 4 1 cos
xdx 2 x
x sin 2 cos 2 x 3 cos 2
0
0
0
1
2sin 2 cos 2 x 1 cos 2 2
8)
t
cos 2
x
dt
2sin 2
xdx
t :1 0
sin 2
xdx
dt
x
: 0
thì 4
1 2
0
1
1
1
4
.
dt
2
dt
2
1
dt
2
3 ln
t
3
t
2 6 ln
I 8
0
t
t
3
1 2
t
t
3
3
t
3
4 3
1
0
0
t
3 cos 2
x
dt
2sin 2
xdx
sin 2
xdx
dt
Cách 1 : Đặt và
1 2
3
4
4
t
Cách 2 : (Theo góc nhìn của DẠNG 8) Đặt
4
dt
2
1
dt
2
3ln
t
t
x
: 0
2 6 ln
t : 4 3
I 8
3
1 2
3 t
4 3
thì 4
3 . t
4
3
3
2
2
2
2
sin
x
x
x
và
I
dx
dx
dx
9
2
sin x cos 2 1 cos 2
x x
x x .sin cos 2 1 cos 2
x
1 (1 cos 2 ).sin 2 4
1 cos 2
x
0
0
0
9)
t
cos 2
x
dt
2 sin 2
xdx
sin 2
xdx
x
: 0
t :1 1
thì 2
dt 2
1
1
1
Đặt và
9
2
2
1
2
Khi đó (*) I A B dt t tdt t 1 8 t dt 1 1 . 2 4 1 t 2 1 1 8 1 1 1 8 1 1
t thì : 1
1
t
tan
u
dt
(1 tan
u du )
u
:
2
4 4
dt 2 cos
u
1
1
1
2
4
2
4
)
d
2
A
du
u
+) Tính A Đặt và dt 11 t
B
ln 1
t
0
2
t 2
(1 tan 1 tan
u du ) 2 u
2
tdt t 1
1 2
(1 t 1
1 2
1
4 4
1
1
4
4
(1) +) Tính (2)
16
Trang 77
Thay (1), (2) vào (*) ta được: 9I
2
4
(
x
x
(
x
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
dx
I
dx
2
I 1
x 2 cos )sin 2 x cos
x 2sin 3 sin
3) cos x
0
4
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: 1) 2)
4
4
4
4
4
(
x
x
Giải :
dx
dx
2
dx
dx
2
A
2
B
I 1
2 cos ) sin x 2 x cos
x sin 2 cos
x x
sin cos
x x
x sin 2 cos
x x
cos x d x cos
0
0
0
0
0
x
du
4
1) (*)
A
dx
x sin 2 cos
x x
dv
dx
v
dx
0
cos 2
d cos
x x
1 cos
x
u
x sin 2 x cos 4
dx x sin 2 x cos 4
4
4
+) Tính Đặt
A
dx cos
x
2 4
cos cos
xdx 2 x
2 4
d sin (1 sin
x 2 x
)
x cos
x
0
0
0
0
4
4
Suy ra
ln(2
2)
ln 2
sin
x
ln
2 4
1 2
2 4
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin
x
2 4
1 2
1 sin 1 sin
x x
d
0
0
4
(1)
ln(2
2)
ln 2
B
ln cos
x
ln 2
4 0
2 4
3 2
x d cos x cos
1 2
0
2
2
2
(
x
3) cos
x
(2sin
x
+) Tính (2) . Thay (1), (2) vào (*) : 1I
I
dx
dx
dx A B
2
x 2sin 3 sin
x
x x cos 3 x sin
3) cos x 3 x sin
4
4
4
x
du
2
2) (*)
A
dx
x x cos 3 x sin
dv
dx
v
dx
sin 3
2
cos 3 sin
x x
dx cos 3 sin
x x
d sin
x x
1 2sin
x
u
4
2
2
2
+) Tính Đặt
A
0
cot
x
2
x 2sin
x
x
1 2
1 2
4
4
dx 1 2 2 sin 4
2
2
2
(2sin
x
Suy ra (1)
B
dx
d
sin
x
2 2 2 (2)
2
3) cos x 3 x sin
2 2 sin
3 3 sin
x
x
2 sin
x
3 2sin
x
4
4
4
+) Tính
2 2
2I
3 2
Thay (1) và (2) vào (*) ta được:
Bài luyện
3
3
2
5
4
sin
x
cos
xdx
I
dx
2
I 1
5
9 4
8 315
sin cos
x x
0
0
2
4
2
2
4
2
Tính các tích phân sau: 1) ( ) 2) ( )
ln
sin
x
cos
xdx
I
dx
x
3 ) .sin 2
xdx
I
4
3
(1 sin
64
1 48
4 3
15 4
x sin 2 2 4 cos
x
0
0
0
Trang 78
( ) 4) ( ( ) 3) ) 5) 5I
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
DẠNG 10 :
(10*)
f
(sin
x
x cos ,sin cos )(cos
x
x
x
sin )
x dx
I 10
CÁCH GIẢI CHUNG
Các ví dụ minh họa
sin
4
4
dx
I
dx
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
1)
I 1
2
sin 4 3cos 2 x x x 2 sin x cos
sin 2
x
x 4 2(1 s inx cos ) x
0
0
(B – 2008) 2)
4
4
4
x
(3 2sin 2 )(cos
x
x sin )
Giải :
dx
dx
dx
I 1
sin 4 3cos 2 x x x 2 sin x cos
(3 2sin 2 ) cos 2 x x
2 sin
cos
x
x x 2 (sin
x
sin )(cos x x cos )
0
0
0
(cos
x
sin )
x dx
dt
1)
x
: 0
t
sin
x
cos
x
t :1 2
2
thì 4
x
t
1
sin 2
2
2
2
2
3
1)].
t
2
dt
dt
t 2
t 4
3
dt
I 1
t [3 2( 2
t
t 2 t
t 5 2
6
t
2
1
1
1
3
2
2
6 ln(2
2)
Đặt và
1
13 2 5 3
sin
4
t t 2 t 3 6ln t 2 2 3
I
dx
2
sin 2
x
x 4 2(1 s inx cos ) x
0
(cos
x
sin )
x dx
2 sin
x
dx
dt
4
2) (B – 2008)
t
sin
x
cos
x
t :1 2
x
: 0
thì 4
2
x
t
1
sin 2
2
2
.
I 2
2
2
2 1
4 3 2 4
dt 1 2(1
t
t
)
2 2
dt
1)
t (
2 2
t
1
1
1 2
1
1
Trang 79
Đặt và
4
4
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
dx
I
dx
I 1
2
4(sin x
2(sin
x
cos
x cos ) cos 2 1)
x sin 2
x
x
x cos 2 1 sin x
2
cos
x
0
0
2) Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 1)
4
4
Giải :
dx
dx
I 1
cos 2 x x 1 sin
2
cos
x
x (cos 2
sin )(cos x 1 sin
x
x cos
sin ) x x
0
0
2
t
1 sin
x
cos
x
1)
2
1 sin
t
x
cos
x
x
: 0
t : 0 1
thì 4
cos x t sin ) x x dx
1 tdt 2
sin x (cos
1
1
1
2
3
3
1
1)
2
12 ln 2
.2
tdt
2
dt
2
t
t 2
3
dt
2
2 t
t 3
6 ln
t
2
I 1
0
26 3
t ( 2
t
t t
t 2
6
t
2
t 3
0
0
0
Đặt và
t
sin
x
cos
x
t
1 sin
x
cos
x
u
1
t
4
4
(sin
cos 2
CHÚ Ý : Việc đặt và ở 1I là ta đã gộp 2 công đoạn đặt
I
dx
dx
2
4(sin x
2(sin
x
cos
cos ) x 1) x
x sin 2
x
x 2(sin
cos ) 1 (sin x x sin 2 x cos 1)
cos ) x x
x
0
0
(sin
x
cos )
x dx
dt
2
2)
x
: 0
t
sin
x
cos
x
t : 1 0
1
thì 4
x
sin 2
t 2
0
0
0
0
0
4
Đặt và
I
dt
dt
dt
dt
dt
2
2
2
2
t 1
t 8 2 4 t
5
t
t 12 (2 2 t 4
t
4) 5
12 t 1)(
(
t
5)
t 2
4 t
4
5
t
1
1
1
1
1
2(
t
1)
t 2
0
0
0
2
2
2
dt
2ln
ln
t
t 4
5
5ln 2 3ln 5
1
1
t
1
t
5
( d t 2 t
t 5) 4 5 t 4
t t
1 5
1
1
1
Suy ra
8 2
t A t (
5)
B t (
1)
2
8 2 t t 4
5
t
8 2 t t 1)(
(
t
5)
A 1
t
B
5
t
( Các em có thể phân tích
2
t 8 2 t 4
5
t
1
t
1
t
5
3
2
cos
4
4
hay ) Chọn t lần lượt bằng 1; 5 ta được 1 3 A B
I
dx
2
x 8 cos 2 2 sin 2
x
x
0
0
1 sin 2
4
4
4
cos 2 x dx 2) Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: 1) I 1 x cos 4 x
2
2
0
0
0
1 sin 2
4
4
cos 2 x (cos x cos x sin Giải : 1) dx dx 2 dx I 1 sin x cos x x sin x x cos . x cos 4 sin ) x x sin )(cos x x sin x cos 2 x
2 1 (các em có thể đặt
t
sin
x
cos
x
sin
0
0
Trang 80
sin x cos ) 2 sin x 2 cos x x cos x d x 2
2
cos
1 cos 2
x
4
4
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
dx
dx
2
1 2
x 8 cos 2 2 sin 2
x
x
2 sin 2
x
4 cos 2
x
0
0
x
4
4
cos 2
dx
A B
1 2
1 2
dx x 2 sin 2
4 cos 2
x
cos 2
x
2 sin 2
x
0
0
tan
4
4
4
4
2)
2
8 2
0
0
0
0
x
x
4
4
4
cos 2
cos 2
+) tan x A 8 1 2 2 dx x 2 sin 2 cos 2 x 1 2 1 2 1 cos 2 x 2 cos x 8 4 dx dx
B
dx
dx
2 sin 2
x
4 cos 2
x
0
0
2
2 sin 2
x
4
+)
dt
x
t
2 cos 2
x
dx
x
dx
Ta sẽ chỉ ra
0B theo các cách sau : 4
4
dt 2
4
sin 2
cos 2
Cách 1 : Đặt
x
: 0
, suy ra
t
:
t
:
0B ( vì
thì 4
2 2
2 2
2 2
2 ) 2
và
t
và
dt
dt
x
t
:
, suy ra
0
4
4
cos
t 2
4
4
3 4
cos 2 t
dt
dt
B
B
B
B
0
B
t 2 cos 2
4 sin 2 t
0
0
2 sin
t 2
cos
t 2
2
2
x
4
4
cos 2
Cách 2 : Đặt
dx
B
dx
1 2
sin 2 cos 2 x 2 sin 2 x
x cos 2
x
2 sin 2
x
4 cos 2
x
0
0
4
4
d
ln
2 sin 2
x
cos 2
x
0
1 2
x ( 2 sin 2 x cos 2 ) cos 2 x x 2 sin 2
1 2
0
0
tan
2
2
.
I Khi đó 2
4
1 2
8 2
Cách 3 :
2
) 0
2
8
2 1 2 2 8 8
Trang 81
2 tan ( Do 1 tan tan 2 tan 1 0 tan 2 1 vì tan 4 8 8 8 1 tan
CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
Nếu dưới dấu tích phân có dấu trị tuyệt đối
thì tìm cách phá trị tuyệt đối bằng cách đi xét dấu
I
f x dx ( )
của
; . Cụ thể:
f x trong đoạn ( )
B1: Giải phương trình
rồi chuyển sang:
và chọn các ? ( ) 0
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ở phần ứng dụng tích phân chúng ta sẽ đi giải quyết hai bài toán về tính diện tích hình phẳng và tính thể tích khối tròn xoay . Để làm tốt được điều này các em cần làm được 2 việc: CÔNG VIỆC 1 : Biết cách tính tích phân chứa trị tuyệt đối .
ix ] [
)
B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu:
B3: Ta dựa vào công thức
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
(
) để tách :
x i
x i
.
I
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
x i
x i
f x ; x i
VÍ DỤ MINH HỌA
5
2
1
2
Tính các tích phân sau:
x
x dx
x
2
x
2
dx
1I
2I
3I
x dx
3
0
2
1
1
2
(D – 2003) 2) 1x 3) 1)
4I
4
1
1
1
3
1
2
2
3
2
4) x x 1 x 2 dx 2 x dx 5) 5I 6) 6I x dx 2 x x 12
4
x
4
x
dx 1
x
2
x
xdx
1 sin 2xdx
0
0
0
2
2
2
3
2
2
sin x dx 7) 7I 8) 8I 9) 9I 10) 10I
1 sin xdx
2
0
6
2 x x 1 dx tan x cot x 2 dx 11) 11I 12) 12I 13) 13I
2
2
2
x
x dx
Giải:
0;2 :
0 ( Để xét dấu của
x và 0
1x )
f x trước đó các em tìm nghiệm phương trình
( )
f x ra nháp được
( )
0
1
2
2
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
(D – 2003) Ta xét dấu f x ( ) x x trên 1) 1I
1
x dx
x dx
0
0
1
0
1
0
1
Trang 82
x x dx x x dx x x dx x x I 1 x 3 x 2 x 3 x 2
1
x dx
2
1
0
1
x
1
x
1
x
1
I 2
x dx
x dx
x dx
0
1
2
1
1
0
0
1
1
2
dx
2
x
dx
x
(
x
x
)
x
dx 1
0
2
0
1
0
2
1
5
Ta sẽ mượn bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối: 1x GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2) 2I
dx
x
2
x
2
3
Ta sẽ mượn bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối: 3) 3I
x
; với 2
2
4
x
x
….) 2
2
2
x
x
[ 3; 2]
[ 2; 2]
x
x
2
2
5
x
2
x
2
dx
x
2
x
2
dx
x
2
x
2
dx
I 3
3
2
2
2
2
5
2
5
2
2
4
dx
2
xdx
4
dx
4
x
x
4
x
8
2
3
2
3
2
2
2
( Nghĩa là : với thì thì
1
1
2
Ta sẽ mượn bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối: x x 1 x 2 dx 4) 4I
1
1
1
2
2
1
2
2
x
dx
x
3
dx
x
3
x
1
x 2
x 2
1 2
1
1
1
1
Trang 83
x x 1 x 2 dx x x 1 x 2 dx I 4
1
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
5I
4
1
1
0
1
0
1
5) x dx 2 x x 12
I
5
x dx 2
4
4
4
x dx 2
x dx 2
4
4
x
x
12
x
x
12
x
x
12
xdx 2 x
12
x
xdx 2 x
x
12
1
1
0
1
0
1
1
2
Ta có:
t
dt
x
2
xdx
I 5
2
2
1 2
dt t
t
12
dt t
12
t
1 2
0
0
1
1
1
ln
Đặt và
dt
ln
2
dt t
t
12
1 1 ( 7
3) t t ( 3)(
t ( t
4) 4)
1 7
1
t
4
t
3
1 7
t t
4 3
1
2 7
3 4
dt
0
0
0
0
1
=
1
0
1
0
1
0
1
2 x dx 6) 6I
I
2
x dx
2
x dx
2
xdx
2
xdx
(2
(2
x
)
(2
1 x d ) 2
1 x d ) 2
(2
x
)
6
1
0
1
0
1
0
1
0
(2
x
) 2
x
(2
x
) 2
x
2 2 1 3
2 3
2 3
1
Ta có:
0 t )
( )
f
(
x
)
f x ( )
Chú ý : Các em phải chứng minh nếu muốn sử dụng hai tính chất : ( Đặt x
f x chẵn (
f x dx ( )
f x dx ( )
2
0
( )
f
(
x
)
f x ( )
+) Nếu hàm số ) thì
f x lẻ (
f x dx ( )
0
1
2
4
x
4
x
dx 1
+) Nếu hàm số ) thì
0
1
1
2
I
(2
x
1)
dx
2
x
1
dx
7) 7I
7
0
0
1
1
1
1 2
1 2
1
2
2
1 2
Ta có:
0
1 2
1 2
0
0
0
1 2
1 2
3
3
2
x
2
x
xdx
2 x 1 dx 2 x 1 dx 2 x 1 dx (1 2 ) x dx (2 x 1) dx x x x x I 7
0
3
3
2
8) 8I
I
x x (
2
x
1)
dx
x
1
xdx
8
0
0
3
3
1
1
3
1
1 2
3 2
3 2
1 2
x
1
xdx
x
1
xdx
(1
x
)
xdx
(
x
1)
xdx
x
dx
x
dx
x
x
I 8
1
1
0
0
1
0
1
3
2
2
x x
x
x
x
x
x x
24 3 8 15
2 5
2 3
2 5
2 3
0
1
Trang 84
Ta có:
0
0
2
2
2
0
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
2
9
2 0
2
0
0
2
2
2
1 sin 2xdx
9) I sin x dx sin x dx sin x dx sin xdx sin xdx cos x cos x
0
2
2
10) 10I
2
Ta có: 1 sin 2 x sin x cos x x 2sin cos x sin x cos x sin x cos x 2 sin x 4
x
0;
x
3 ; 4 4
4
Với . Dựa vào đường tròn đơn vị:
x
; 0
0
0
x
x
x
0; 4
*) Với khi thì sin hay sin
x
x
x
0
0
x
4
4 4
4 4 3 0; 4 4
4 4
;
4
*) Với khi thì sin hay sin
2 2
4 2 sin 0
0
4 0
2 sin 4
2
1 sin xdx
I x x 2 cos x 2 cos x 10 4 4 4 4 dx dx
0
2
2
2
11) 11I
1 sin
x
sin
cos
sin
cos
sin
cos
2 sin
x 2
x 2
x 2sin cos 2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
4
x
0; 2
0;
;
Ta có:
x 2
x 2
5 4 4 4
0
0
x
;
Với . Dựa vào đường tròn đơn vị:
x 2 4
x 2 4
x 4 2 4
3 0; 2
; 2
0
0
x
*) Với thì sin hay sin khi
5 4
x 4 2
x 4 2
3 2
x ; 4 2
2
3 2
*) Với thì sin hay sin khi
4 2
3 2 2 sin 0
0
3 2
2 2 sin 3 2
3
2
2
2 2 cos 2 2 cos I 11 x 2 4 x 2 4 x 2 4 x 2 4 dx dx
6
2
2
sin
x
2
2
2
tan x cot x 2 dx 12) 12I
tan
x
cot
x
2
(tan
x
cot
x
)
tan
x
cot
x
2
cos x sin cos x x
cos 2 x x sin 2
x
2
x
Ta có:
6
3 3
2 3
Trang 85
Vì . Dựa vào đường tròn đơn vị ta có: (hình vẽ ở trang tiếp theo)
0
x
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
khi
x cos 2 x sin 2
; 3 2
; 6 4
0
2
x
x
*) 2 thì hay 0 0 sin 2 x x cos 2
khi
2 ; 3 2
cos 2 sin 2
x x
; 4 3
3
3
4
4
*) thì hay 0 0 sin 2 x x cos 2
2 ln
4 6
3 4
2 3
4
6
2
1
2
2
1
d d dx dx ln sin 2 x ln sin 2 x I 12 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x (sin 2 ) x sin 2 x (sin 2 ) x sin 2 2 6 2 4
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2 x x 1 dx 2 x x 1 dx 2 x x 1 dx 3 x 1 dx x 1 dx 13) 13I
x
x
x
x
x
x
6
1 2
3 2
1 2
2
1
1
2
1
1
x (3 dx dx dx 1) 1) 1) x x ( (
CÔNG VIỆC 2 : Đi tính diện tích hình phẳng và tính thể tích khối tròn xoay
b
S
f x ( )
g x dx ( )
(2*)
f x dx ( )
f x ( )
a
a
CÔNG THỨC TÍNH Hình phẳng giới hạn bởi các đường : b
y
g x ( )
) 0
b
b
2
2
2
( ) g x x a ;
b
a
f
x ( )
g x dx ( )
(3*)
f
x dx ( )
x
x
y y x
a
a
V 0
S V 0
( )
f x g x thuộc cùng phía so với trục Ox (nếu tính thể tích quay
g x ( )
f x ( )
(*) (nếu
Chú ý: 1) Ta có thể áp dụng (2*) đối với biến y (các hàm số sẽ được rút x theo y - coi x là hàm của biến y ) 2) Vì trục Ox, Oy có vai trò như nhau nên thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Oy cũng áp dụng tương tự (3*) (các hàm số sẽ được rút x theo y - coi x là hàm của biến y ) 3) Chỉ áp dụng (3*) khi trên [ ; ]a b hàm ( ), quanh trục Ox ) và thuộc cùng phía so với trục Oy (nếu tính thể tích quay quanh trục Oy ). Nếu khác phía thì chúng ta phải lấy đối xứng của một hàm nào đó qua trục tương ứng và quay về việc áp dụng cho hai hàm cùng phía (trường hợp này các em sẽ ít gặp). 4) Nếu trong biểu thức (*) không có x a hoặc không có cả hai ( x a và x b ) thì các em phải đi viết (1) để tìm thêm cận . Giả sử phương trình (1) có nghiệm phương trình hoành độ giao điểm:
i
n 1;
b thì: cận thứ nhất =
;ix b
min
max
b thì: cận thứ nhất =
ix và các nghiệm còn
ix ; cận thứ hai =
max
( )g x (nghĩa là hàm nào phía trên
( )
f x nằm phía trên )).
V
0
0
x . Vì hàm số các em học là các hàm sơ cấp nên việc tìm cận chúng ta sẽ làm như sau:
Trang 86
x với i ;ix b ; cận thứ hai = +) Nếu chỉ có x (thường b xuất hiện ở 1 trong 2 cận đó. Nếu điều này không xảy ra thì việc cho dữ kiện x b thừa - được hiểu là người ra đề cố tình hoặc không hiểu ) min +) Nếu không có cả x a và x lại (nếu có) là các điểm được chèn vào để phá trị tuyệt đối. 5) Nếu việc vẽ hình đơn giản các em nên làm điều đó, để việc phá trị tuyệt đối được dễ dàng ( bỏ luôn giá trị tuyệt đối nếu thấy trên ; phần sẽ lấy để trừ hàm phía dưới, để đảm bảo và S
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
2
2
y
x
2 4
x
Ví dụ 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
, 3
y
y
x (A – 2002). 2)
3
x 4 2
1
y
y
(
e
1)
x
1) y 4 và (B – 2002). x 4
3 x
x
1
3) và hai trục tọa độ (D – 2002). 4) , y (1 )x e x (A – 2007).
2 4
2
2
2
2
1
x
y
5) Parabol (P) : y x x 5
y
1 sin
x 2 3 2
12 x
6) x y và 4 x y 2 . 7) và ; 0 x và hai tiếp tuyến tại các điểm A(1;2), B(4;5) nằm trên (P). 2
y
x
2 4
x
Giải:
, 3
y
x (A – 2002). Phương trình hoàng độ giao điểm:
3
1)
2
2
2
x 3 0 x 3
2
2
x 4 x x 3 3 4 x 3 x 3 5 x 0 x x 0 5 x x x x 4 x 3 x ( 3) 3 x 6 0 ( vn )
1
2
2
S
(
x
3
x
4
x
3 )
dx
x [
3 (
x
4
x
3)]
dx
0
0
5
3
2
2
x [
3 (
x
4
x
3)]
dx
x [
3 (
x
4
x
3)]
dx
3
1
5
1
3
2
2
2
(
x
5 )
x dx
(
x
3
x
6)
dx
(
x
5 )
x dx
3
0
1
1
3
5
3
2
3
2
3
2
C1: (Nếu vẽ hình) 5
109 6
0
1
3
6 x (đvdt) x 3 x 5 2 x 3 x 3 2 x 3 x 5 2
1
3
5
1
3
5
2
2
2
2
2
2
x
5
x dx
x
3
x
6
dx
x
5
x dx
(
x
5 )
x dx
(
x
3
x
6)
dx
(
x
5 )
x dx
0
1
3
0
1
3
1
3
5
3
2
3
2
3
2
C2: (Không vẽ hình):
109 6
0
1
3
Trang 87
6 x (đvdt) x 3 x 5 2 x 3 x 3 2 x 3 x 5 2
2
2
y
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
x 4 2
2
2
2
4
2
4
4
8
x
x
2 2
2) y 4 và (B – 2002). x 4
x 4
x 4
x 32
x 4 2
2
2
4
Phương trình hoành độ giao điểm:
x 4
x 4 2
2 2
2 2
2 2
2
2
Trên 2 2; 2 2 và hình phẳng đối xứng qua Oy :
2 x dx
2 x dx
2
0
0
0
2 2
2
S 2 4 16 S S 1 x 4 x 4 2 1 2 2 1 2 2 dx
16
2 x dx
16
x
4 cos
t
x
4 sin
t
dx
4 cos
tdt
S 1
0
4
2
4
*) Tính: Đặt và với t : 0 4
0
8 (1 cos 2 )
4 16 cos 0
0
2 2
2 2
3
tdt t dt t 8 t 4sin 2 2 4 S 1
S
2 x dx
2
x 3
16 2 3
0
0
*) Tính
(đvdt) 2
1
S 2 4 . 16 2 3 4 3 1 2 2
y
3 x
x
1
1
3) và hai trục tọa độ (D – 2002).
3 x 0;
x 1 x
0
y y
1
Hình phẳng giới hạn bởi : (hình ảnh phác họa: )
3
0
x
1 0
x
1
1 3
0
0
1
x 1 dx
dx
S
3 x 1
x
3 x
x
1
3 x
1 3
1 3
0
0
1 4ln
3
dx
3
x
4 ln
x
1
Phương trình hoành độ giao điểm:
4
x
1
4 3
1 3
1 3
Trang 88
(đvdt)
(1
)x e x
y
(
e
1)
x
y
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 4) (A – 2007). ,
x
0
x
x
(
e
1)
x
(1
x e x )
1 1
x e (
e
) 0
x e e (
)
0
x
0 1
e
e
x x
x
x
0
1
e
x
1 e
e
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
hay
x e e (
) 0
1
1
1
1
1
x
x
x
Với
S
(
e
1)
x
(1
e x dx )
x e e dx (
)
x e e [ (
)]
dx
x xe dx
S
S 1
2
e xdx
0
0
0
0
0
1
1
2
(1)
S 1
e xdx
e 2
0
ex 02
1
1
x
du
1
1
x
x
*) Ta có: (2)
S
x xe dx
xe
x e dx
e
e
e
(
e
1) 1
2
S 2
dx x
0
0
dv
x e dx
v
e
0
0
u
*) Ta có: Đặt : (3)
S (đvdt) 1
e 2
Thay (2), (3) vào (1) ta được diện tích hình phẳng:
y
x
2 4
x
và hai tiếp tuyến tại các điểm A(1;2), B(4;5) nằm trên (P).
5
5) Parabol (P) :
y
'
.Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến:
4
y
x
)(
y
)
Ta có: x 2
y
2
y x '( 0 và 4
x
x 0 x 4
y
0
11
x
11
2
x
4 4
x
Ta được phương trình tiếp tuyến tại A(1;2), B(4;5) lần lượt là:
Vậy phương trình giao điểm của hai tiếp tuyến:
5 2 5 x 2
4
5 2
2
2
S
(
x
4
x
5)
( 2
x
4)
dx
4
x
5)
(4
x
11)
dx
(
x
1
5 2
4
4
4
5 2
5 2
3
3
5 2
(
x
(
x
2
2
2
2
(
x
2
x
1)
dx
(
x
8
x
16)
dx
(
x
1)
d x (
1)
(
x
4)
d x (
4)
1) 3
4) 3
9 4
1
1
1
5 2
5 2
5 2 Trang 89
Khi đó diện tích S được chia thành hai miền diện tích bởi điểm chia
g x ( )
h x ( )
f x ( )
y
y
y
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHÚ Ý: Khi hình phẳng được giới hạn bởi 3 đường cong: thì các em phải tìm và ;
(nghĩa là phần biên không có có sự xuất hiện đồng thời cả 3 đường cong trên).
a x ;
b
x
2
2
2
2
cách chia phần diện tích thành các phần mà ở đó được giới hạn bởi hai trong ba đường cong và các đường thẳng
x
y
và 4
x
y
2
x
. 0
2
2
2R (
6)
: Là đường tròn tâm O có
y
x
1C )
2
2
2
2
Ta có: 4
x
y
2
x
0
x
(
1)
y
: Là đường tròn tâm
1
' 1R (
O
'( 1;0)
2C )
và có
S
2(
S
)
S 1
2
2
4
x
Do tính đối xứng của hình phẳng cần tính (như hình vẽ) nên:
1S là diện tích giới hạn bởi:
2
y
x
2
x
1 (
x
2 1) ;
x
0
y
0
2
*) Với
2 1) )
2
2
2
( 4 x 1 ( x dx S 1
4
2 x dx
2S là phần diện tích giới hạn bởi:
S 2
4 0;
x x
0
0
y y
2
t
*) Với
2 u du
u
a
sin
t
; 2
2
tdt
du
a
cos
2
2
a
u
a
cos
t
a
cos
t
2
2
a
2
2
Ta đi tính: I a đặt với
I
a
cos
tdt
(1 cos 2 )
t dt
C
a 2
2 a t 2
t sin 2 4
(*)
u
a
sin
t
3 (đvdt)
S
2
S 1
2S
2
2
2
Áp dụng (*) với các em sẽ tính được: và
3
2 .1
.2
S
S
S
(
)
(
)
C 1
C 2
CHÚ Ý: *) Thực chất nếu sử dụng kiến thức cấp 1 (các em lớp 5 đã biết cách tính diện tích hình tròn) Thì ta sẽ có: (là cách giải tối ưu nhất của bài toán này)
Trang 90
*) Cách giải trên chỉ chứng minh một điều là tích phân có thể tính được diện tích trong cả tình huống trên.
y
1
x
y
1 sin
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
x 2 3 2
2
x 12
2
2
y
1 sin
cos
x 3 2
x 3 2
cos
1
7) ; và
x 2 3 2
12 x
Phương trình hoành độ giao điểm:
0 cos
1
0 1
1
0
x
x 12
x 2 3 2
Mà ta có:
12 0x
2
2
Dựa vào đồ thị ta được nghiệm của (*) là :
2
0
0
21
2
x S 1 cos x 12 x 3 2 x 12 1 2 cos 3 2 dx dx
26 x
12
2
x 2 sin 3 6 7 4 1 6 x 2 0
e quay quanh trục Ox (B – 2007).
x 2
y
2 x x ln
2 2 quay quanh trục Ox.
2
và y = 0 quay quanh trục Ox. x y , x , 0 x , x y 5
2
y
x
2
và y = 0 quay quanh trục Ox. Ví dụ 2.Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H giới hạn bởi : y 1) 2) y 3) Giải: 1) x
2
2
2
2
3
3
4
5
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x x 0 0 2 x x
V
(2
x
x
2 2 )
dx
(4
x
4
x
4 x dx )
x
x
x
Ox
16 15
4 3
1 5
0
0
y
x
ln
x
Khi đó (đvtt)
0 y , x 0
e quay quanh trục Ox (B – 2007).
2) ,
x
ln
x
0
0
x
1
1
x 0 x x
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
e
e
2
2
2
2
Ox
3
2 x dx
1
1
e
x dx du ln x 2 ln x Khi đó (*) . Tính Đặt V x ln xdx I I x ln xdx u dv x 3 v
e
e
3
2
3
x
x
2
2
I
x
ln
xdx
J
3
ln 3
2 3
e 3
2 3
2 x dx
1
1
1
Trang 91
du ln x dx x . Tính Đặt J x ln xdx dv u x 3 v
e
e
e
3
3
3
3
3
3
3
e
1
2
x
x
2
e
1
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
J
2 x dx
I
ln 3
1 3
x 9
9
e 3
2 2 . 3
9
e 5 27
1
1
1
. Khi đó (2*) Suy ra
e 3 35 e
2 (đvtt). Thay (2*) vào (*) ta được: OxV 27
y
x 2
, 5
y
x
2 2
3) quay quanh trục Ox.
2
2
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2 2 x 5 x 2 x x 1 3 0 x 3
2
x
5
x
nên khi đó ta có:
2
x
1;3
3
3
3
5
2
2
2
4
2
(đvtt).
V
2
x
5
x
2
x
20
x
10
x
x 21
Ox
dx 21
dx
576 5
x 5
1
1
1
Với thì
Ví dụ 3
1x
y
x
2 ln(
x
1)
;
;
y
ln
1
x
1
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y
(
x
1) x e
và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay
2) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
2x và trục tung. Tính thể tích khối
3) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y ; ( x x x 3) 3 1 5 x
tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. Giải:
;
;
y
ln
y
x
2 ln(
x
1)
1x
1
x
1
2
2
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x
ln(
x
1)
ln
x
ln(
x
1)
ln(
x
1)
0
x
1
2( x
1) ln(
x
0
1) 0
1 1
ln(
1)
x
x
x
1 0
1
1
1
2
2
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm :
S
x
ln(
x
1)
ln
dx
x
ln(
x
1)
ln(
x
1)
dx
(
x
1) ln(
x
1)
dx
1
x
1
0
0
0
du
ln(
x
1)
Vậy diện tích hình phẳng :
2
dx x 1 3
3
dv
(
x
1)
dx
x
3
x
u
x
3
v
x 3 1
1
1
3
3
x
2
Đặt
S
x
ln(
x
1)
dx
ln 2
x
4
x
dx
1 3
x 3 1
x
x 3
4
x
1
4 3
1 3
0
0
0
1
2
3
Khi đó :
ln 2
ln 2
4
x
4ln
x
1
x 2
4 3
8 3
23 18
x 1 3 3
0
Trang 92
(đvdt)
1) x e
x
y
(
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay
y
(
x
1) x e
y trục hoành :
0
x
và tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. +) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường
x
1)
e
1 0
1
0
x
x
1
2
(
V
(
x
1)
2 x e dx
I
Ox
0
du
2(
x
1)
dx
2
1
(
x
1)
2
+) Khi đó : (*)
I
(
x
1)
2 x e dx
2
x
e
dv
2 x e dx
0
u
v
1 2
1
1
2
x
2
(
x
e
+) Tính Đặt
I
(
x
1)
2 x e dx
J
1) 2
1 2
0
0
du
dx
1
Suy ra (1)
J
(
x
1)
2 x e dx
2
x
v
e
dv
x 1 2 x e dx
0
u
1 2
1
1
1
2
2
x
e
(
x
3
2
x
+) Tính Đặt
J
2 x e dx
e
1) 2
1 2
1 2
1 4
e 4
0
0
0
2
2
3
e
5
I
Suy ra (2)
1 2
e 4
4
5)
Thay (2) vào (1) ta được: (2*)
2( e 4
(đvtt) Thay (2*) vào (*) ta được: OxV
2x và trục tung. Tính thể tích khối
3) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y ; 3) 3 x 1 5 x
x ( x tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
y là : 0
2
3
3
2
(
x
6
x
9)(3
x
)
Phương trình hoành độ giao điểm của y và 0 x 3 ( x x x 3) 3 1 5 x ( x x x 3) 3 1 5 x
V
dx
dx
Ox
2
x ( x
3) 3 x 1 5 x
2
2
4 2
x
6
x
5
( 2
x
6)
dx
x dx )
tdt
2
2
2
Khi đó
t
x
6
x
t
5
x
6
x
5
tdt 2 2
(3 2
2
x
2 t
6
x
5
x
6
x
9
4
t
t
: 3
Đặt
2
x thì
: 2
3
2
2
2
(2
t ).
và cận
V
tdt .
dt
Ox
t 4 4 2 t
t 2
3
3
2
2
2
3
t 2
t
2 t dt
(3 3 5) 2
2
1 3
t 2
3
3
Suy ra:
(3 3 5) 2
Trang 93
(đvtt). Vậy OxV
b
f x dx ( )
I
a
f x có những tính chất “đặc biệt” (các em sẽ được tìm hiểu qua ví dụ mở đầu và bốn bài toán
( )
trong đó bản GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHẦN TRUY HỒI 1. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Sau đây các em sẽ được tìm hiểu thêm các lớp tích phân đặc biệt có dạng
thân hàm hay gặp sau đây).
a b t
I
I
và biến đổi tạo ra tính phân xoay vòng (tạo ra
b
b
b
) rồi giải phương trình bậc nhất với ẩn . Cách giải chung: Đặt x
I
f x dx ( )
f
t dt ( )
f u du ( )
...
a
a
a
Chú ý: Trong tích phân ta luôn có
20
VÍ DỤ MỞ ĐẦU
ln(101
x
)
I
dx
ln(1 tan )
x dx
2
I 1
ln(
x
69)
ln(101
x
)
0
12
3
2
2015
3
2
5
5
I
cos
x
sin
Tính các tích phân sau: 4 1) 2)
4
3
x dx
0
1
2
4
6
3) 4) I x 3 x 2 dx
I
dx
I
6 sin 2
x
x
x dx
5
6
x x
cos 2 .ln 1 tan
sin 1
e
0
5) 6) (Moldova National MO – 2008)
4
ln(1 tan )
x dx
Giải:
I 1
0
1)
x
t
x
: 0
t
:
0
và
dx
dt
4
thì 4
4
0
4
4
4
Đặt
ln 1 tan
t
(
dt
)
dt
ln
dt
ln 2 ln(1 tan )
t dt
I 1
4
1 tan 1 tan
t t
2 1 tan
t
ln 1
0
0
0
4
4
4
ln 2
dt
(1 tan )
t dt
t
.ln 2
I
I
1
1
4 0
ln 2 4
0
0
2
I
I
Khi đó
1
1
I 1
ln 2 4
ln 2 8
ln 2 4
Trang 94
Vậy 1 I
20
ln(101
x
)
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
x
32
và
dx
dt
t
x thì
:12
20
t : 20 12
I
dx
2
ln(
x
69)
ln(101
x
)
12
20
12
t
)
t ln(
69)
2) Đặt
I
(
dt
)
dt
2
t ) 69
ln 101 (32
t
)
ln(101
) t
ln(
t
69)
ln 101 (32
ln (32
12
20
20
20
20
20
ln(101
t
)
ln(101
t
)
1
dt
t
I
8
I
dt
dt
2
2
12
ln(
t
69)
ln(101
t
)
t ln(
69)
ln(101
t
)
12
12
12
Khi đó
I
8
2
8
I
I
I
4 2
2
2
2
2
5
5
Vậy
x
t
x
: 0
t
:
0
I
cos
x
sin
và
dx
dt
3
x dx
thì 2
2
2
0
0
2
2
5
5
5
5
5
5
3) Đặt
I
cos
t
sin
t
(
dt
)
sin
t
cos
cos
t
sin
I
3
3
t dt
t dt
2
2
0
0
2
0
0
2
I
I
I
I Vậy 3
3
3
3
3
2015
3
2
Khi đó
4
4) I x 3 x 2 dx
và
dx
dt
x thì
: 1
3
t : 3 1 3
3
1 2x t 3
2015
2015
2015
3
2
2
2
3
Đặt
3 t
4
4
1
1
0
2
I
I
I
I
(2 t ) 3(2 t ) 2 dt t 3 2 dt t 3 2 dt I t Khi đó I
1 0
4
4
4
4
2
Vậy
và
dx
dt
:x
thì
dx
I
5
x x
sin 1
e
t
2
2
2
)
t
e
(1
t
2
5) Đặt x t :t
I
dt
dt
dt
sin
t
dt
5
t
2 t sin ( t e 1
.sin e 1
t e 1).sin t 1 e
sin 1
t t e
2
dt
dt
t
t sin 2
I
I
5
5
t t
t 1 cos 2 2
sin 1
e
1 2
1 4
Khi đó
I
I
I
I 2 5
5
5
5
2
4
6
Vậy
I
6 sin 2
x
x
x dx
6
cos 2 .ln 1 tan
6) (Moldova National MO – 2008)
và
dx
dt
x
t
x
: 0
t
:
0
thì 4
4
0 4
4
4
6
6
6
I
sin
t 2
cos
t 2
.ln 1 tan
t
dt
6 t cos 2
dt
Đặt
6
t sin 2 .ln 1
2
2
4
1 tan 1 tan
t t
0
0
4
4
6
6
6 t cos 2
dt
6 t sin 2
cos 2 . ln 2 ln(1 cot )
t
t dt
t sin 2 .ln
2 1 tan
t
0
0
Trang 95
Khi đó
4
4
6
6
6 t sin 2
dt
6 t sin 2
cos 2 ln(1 cot )
t dt
t
t cos 2 .ln 2
0
0
4
2 sin 4
.
dt
ln 2.
cos 8
I
I 6
I 6
6
3 4
3 1 cos 8 t 4
2
5 8
3 8
t dt
t dt
4 ln 2. 1 0
4 ln 2. 1 0
0
4
ln 2.
t
t sin 8
I
I
6
6
5 8
3 64
5 ln 2 32
2
I
I
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
6
6
I 6
5 ln 2 32
5 ln 2 64
0 5 ln 2 32
a
a
Vậy 6 I
f x liên tục trên đoạn [
( )
]a a ;
f x dx ( )
f x ( )
f
(
, khi đó :
Bài toán 1: Hàm số
x dx )
a
0
b
a
Từ đây ta có các kết quả quan trọng sau:
f x là hàm số lẻ, khi đó:
( )
f a b x
(
)
f x ( )
f x dx ( )
0
f x dx
( )
0
a
a
a
a
f x dx ( )
2
f x dx ( )
(2)
a
0
*) Nếu ( Tổng quát: Nếu thì ) (1)
f x là hàm số chẵn, khi đó:
( )
a
a
dx
f x dx ( )
(0
b
1)
(3)
f x ( ) x b 1
a
0
*) Nếu
b
b
b
Chú ý: +) Trong quá trình làm bài các em không sử dụng luôn kết quả (1), (2) và (3) mà các hệ thức này sẽ xuất ). hiện trong quá trình giải (chúng ta chứng minh luôn) bằng việc đổi biến x a b t t ( Tổng quát: x
I
f x dx ( )
f
t dt ( )
f u du ( )
...
a
a
a
+) Trong tích phân ta luôn có
VÍ DỤ MINH HỌA
1
2
5
4
2
1 2
2
x
I
dx
I
x cos ln
x
1
2 x dx
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: 1) 2) dx I dx I 1 x 2 cos x 8 x x 2 1 2014x
3
4
x
x 1 sin sin 2 e
1
2
2
3) 4)
1
5
Giải:
1
5
x
1) dx I 1 x 2 cos x 8 x
I vì 0
f x ( )
x 2
cos 8 x
. lẻ trên [ 1;1] Nhận xét : Nếu dựa vào kết quả ở Bài toán 1 ta có được luôn 1
Trang 96
Song khi trình bày lời giải các em sẽ làm như sau:
và dx
x thì
t :1
: 1
dt
1
t
1 1
1
5
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Đặt x
0
1
1
5 ) .cos( t 8 t 2 ( )
1
1
2
4
t t ( t ) Khi đó dt dt 0 2 I I I 1 I 1 .cos 8 t 2
và dx
dt
t
x thì
: 2
2
t : 2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
t
2) I dx Đặt x x 2 1 2014x
2
t
t
t
t .2014 t 1 2014
2
2
2
2
t
t ) t 1) Khi đó I dt dt dt dt t ( 1 2014 .(1 2014 1 2014 1
2
2
4
5
4
4
t
dt
dt
2
I
I
I
2
2
2
t
t
32 5
t 1 2014
t 5
t 1 2014
64 5
64 5
2
2
2
2
2
2
x
x
1 2014 2
I
dx
dx A B
3
x
x
x
1 sin sin 2 x e
1
dx e
1
sin sin 2 x 1
e
2
2
2
x
2
2
2
2
x
3) (*)
A
ln
x
x
x
x
x
dx e
1
x e dx e (1
)
e
1 x e
1 e
1
e
e
1
2
de
2
2
2
2
2
x
+) Tính (1)
x
:
t
:
B
dx
và dx
dt
t
x
thì 2 2
2
2
sin sin 2 x 1
e
2
t
t
2
2
2
sin(
e
(1
e
+) Tính Đặt x
B
dt
dt
dt
t
t 1
) sin( 2 ) t t
e
sin sin 2 t t t e 1
1) sin sin 2 t t 1
e
2
2
2
2
2
2
t sin sin 2
tdt
dt
t cos 3
cos
t dt B
t
sin sin 2 t t 1
e
1 2
2
2
2
2
t sin 3
sin
t
B
B
4 3
1 1 2 3
2
Khi đó
B
B
B
B
2
(2) . Thay (1), (2) vào (*) ta được: 3I
2 3
2
2 3
4 3
4 3
2
Vậy
x
:
t
:
I
x cos ln
x
1
2 x dx
và dx
dt
t
4
thì 2 2
2
2
2
2
2
2
1
4) Đặt x
t cos ln
t
1
2 t dt
I
I
cos(
t
) ln
t
1
2 t dt
t cos ln
dt
4
4
2
t
1
t
2
2
2
2
I
I
4
4
0 0
Trang 97
Khi đó :
1
6
6
4
1 2
sin
x
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
dx
I
cos
x
ln
dx
2
I 1
3
x
2
x 6
cos 1x
x x
1 1
1 (
4
1 2
1) 2) 3) I dx x 1)( e 4)
4
6
6
sin
x
dx
Giải:
x
dx
t
dt
I 1
4
4
x 6
cos 1x
4
4
4
4
4
6
6
t
6
6
t
6
6
6 sin (
6 cos (
t
)
sin
cos
t
6 (sin
cos
t
)
(6
1 1)(sin
t
cos
t
)
dt
dt
dt
dt
I 1
) t t
t t
t
t 1
6
1
6
1
6
1
1
t
4
4
4
4
6
6
6
6
6
4
4
4
4
sin
t
sin
x
6
6
(sin
t
cos
t dt )
dt
1
2 sin 2
dx
t 6
cos t 1
3 4
x 6
cos x 1
t dt
4
4
4
4
4
4
4
1
.
dt
.cos 4
I
t
t sin 4
I 1
1
I 1
I 1
3 1 cos 4 t 4
2
5 8
3 32
5 16
3 8
5 8
t dt
4
2
I
I
I
1) Đặt và cận thay đổi:
1
1
1
5 16
4 5 16
4 5 32
1
Vậy 1 I
dx
dt
t :1
1
2
x
2
1 (
1
1
1
2) Đặt và cận I x t dx x 1)( e 4)
t
2
t
x
t e dt 2 t 1)(
x e dx 2 x 1)(
1
1
1
1
1
1
1
x
dx
ln
I
2
x
x
2
e
1 1 2 1)( x
4)
(
e
dx 2
x
dx x 1)(
(
e
4)
1 4
x x
2 2
4
1
1
1
1
1
I 2 dt t 1)( ( e 4) ( e 4) ( e 4)
ln 3
I
ln
2
I
I
ln 3
2
2
2
2I
1 4
x x
2 2
1 4
1 2
1
1 2
I
cos
x
ln
dx
hay
3
x x
1 1
1 2
3)
và
dx
dt
x thì
:
1 t : 2
1 2
1 2
1
1 2
1 2 1 2
1 2
I
cos(
t
) ln
dt
t cos ln
dt
t cos ln
dt
I
Đặt x t
3
3
1 1
t t
1 1
t t
1 1
t t
1 2
1 2
1 2
Khi đó
I
2
0
I
I
I
3
3
3
3
0
Trang 98
Vậy
b
b
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
f x ( )
f x dx ( )
f a b x dx
(
)
(*) liên tục trên [ ; ]a b , khi đó ta có:
Bài toán 2: Hàm số
a
a 2
2
f
(sin )
x dx
f
(cos )
x dx
f x liên tục trên đoạn[0;1] , khi đó :
( )
(2*)
0
0
. a b t
Từ đây ta có kết quả sau: Hàm số
n
3
2
2
Chú ý: Trong quá trình làm bài các em không được sử dụng luôn các kết quả (*) và (2*) mà các hệ thức này sẽ xuất hiện trong quá trình giải (chúng ta chứng minh luôn) bằng việc đổi biến x VÍ DỤ MINH HỌA
dx
I
dx
I 1
2
n
n
sin x
x cos
x
sin
cos x
x cos
x
sin
0
0
n
2
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: 1) 2)
x
và
dx
dt
t
x
: 0
t
:
0
dx
I 1
n
n
2
thì 2
2
sin x
x cos
sin
x
0
n
sin
t
2
2
n
2
n
2
Giải: 1) Đặt
dt
dt
I 1
n
n
n
cos n t
t sin
t
cos
sin t
t cos
t
sin
n
n
0
0
0
1
dt
sin
t
cos
t
2
2
n
2
2
dt
dt
t
I
I
1
1
n
n
2 0
sin t
t cos
t
sin
2
0
0
2
I
Khi đó
I 1
I 1
1
2
2
4
Vậy 1 I
2014
2
2
2
2014
Chú ý: Như vậy từ 1I với cách gán n một giá trị cụ thể ta tạo ra được vô số bài toán kiểu như:
I
dx
I
dx
I
dx
2014
2014
x 2014
2014
sin x
x cos
sin
x
cos x
x cos
x
sin
sin
sin
x
cos
x
0
0
0
3
2
; ; ; …
dx
I
x
dx
t
dt
x
: 0
t
:
0
2
cos x
x cos
x
sin
2
2
2
0
3
cos
t
2
2
3
3
3
3
2
sin
t
Đặt và thì 2)
I
dt
dt
dt
2
sin t
t sin
t
cos
t sin
cos t
t cos
cos t
0
0
0
t
cos
t
sin
2
Khi đó
2
3
2
2
2
2
1
t
dt
1
sin 2
I
t
t cos 2
1 sin cos
t dt
2
I 2
cos t
t cos
t
sin
1 2
1 4
2
t dt
0
0
0 1
1
2
I
2
I
I
2
2
2
I 2
2
4
0 1 2
Trang 99
Vậy
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
tan (sin )
2
1 x cos (cos )
0
x dx
Ví dụ 2. Tính tích phân sau:
2
2
Giải:
x
dx
t
dt
I
tan (sin )
2
1 x cos (cos )
2
0
x dx
2
1
I
t
)
dt
2 tan sin(
2
2
0
cos
cos(
t
)
2
2
2
2
2
(*) Đặt và cận 0 t : 2
tan (cos )
tan (cos )
2
2
1 t cos (sin )
1 x cos (sin )
0
0
t dt
x dx
2
2
2
(2*)
2
I
x tan (sin )
tan (cos )
2
2
1 x cos (cos )
1 x cos (sin )
0
x dx
2
2
2
2
2
2
tan (sin ) 1 tan (sin ) x
x
tan (cos )
2
dx
2
x
0
2 1 tan (cos ) x
x dx
0
Lấy (*) cộng với (2*) ta được:
I
0 2
b
b
Vậy 2I
f x liên tục [ ; ]a b và
( )
f a b x
(
)
f x ( )
xf x dx ( )
f x dx ( )
, khi đó : (*)
Bài toán 3: Hàm số
a b 2
a
a
f x ( )
Từ đây ta có các kết quả quan trọng sau: Nếu liên tục trên [0;1] thì:
0 thì
xf
(sin )
x dx
f
(sin )
x dx
xf
(sin )
x dx
f
(sin )
x dx
2
2
0
0
2
2
*) và đặc biệt với (1)
0 thì
2
2
xf
(cos )
x dx
f
(cos )
x dx
xf
(cos )
x dx
f
(cos )
x dx
0
0
. a b t
*) và đặc biệt với (2)
2
3
3
x
(sin
x
cos
x
)
x
tan
x
cot
Chú ý: Trong quá trình làm bài các em không được sử dụng luôn các kết quả (*), (1) và (2) mà các hệ thức này sẽ xuất hiện trong quá trình giải (chúng ta chứng minh luôn) bằng việc đổi biến x VÍ DỤ MINH HỌA
dx
I
dx
x dx
I 1
3
cos x 2 1 cos
x
x x sin 3 cos x
0
0
6
Tính các tích phân : 1) 3) 2) 2I
3
Giải:
x
và
dx
dt
t
x
:
t
:
x
cot
x . tan
x dx
I 1
2
thì 3 6
3 6
6
Trang 100
1) Đặt
3
3
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
t
tan
t
cot
t
dt
t
cot
t
tan
t dt
I 1
2
2
2
2
6
6
3
3
3
3
dt
dt
I
cot
t
tan
t
t
cot
t dt
. tan
t dt
1
2
2
cos sin
t t
sin cos
t t
6
6
6
6
3
3
3
t
t
ln
ln 3
I 1
I 1
I 1
2
sin d t sin
cos d t cos
2
sin cos
t t
2
6
6
6
Khi đó
ln 3
2
I
ln 3
ln 3
I 1
1
I 1
2
4 sin
x
x
x
)
2 x (sin
2 3 x
cos
)
(*) Vậy 1 I
dx
dx
x
cos
xdx A B
dx
x 2
cos .(1 cos x x 2 x 1 cos
x sin 1 cos
x
cos x x 2 1 cos
x
0
0
0
0
(*) 2) 2I
và dx
dt
t
: 0x
thì
t : 0
A
dx
x 2
x
0
t
+) Tính Đặt x
A
dt
dt
dt
dt
dt A
2
2
x sin 1 cos t 1 cos
t 1 cos
sin 2 t
sin t 1 cos
t
.sin t t 2 1 cos
t
sin t 1 cos
t
sin 2 t
t
0
0
0
0
0
Khi đó
A
dt
2
t sin 2 1 cos
t
0
2
2
Vậy
cos
t
tan
u
sin
tdt
(1 cot
u du )
sin
tdt
(1 cot
u du )
u
:
: 0t
thì
du 2 cos
u
4
4
2
4
4
4
Đặt và
A
du
u
2
(1 cos 1 cos
) u du 2 u
2
2
2 4
4
4
Suy ra (1)
B
x
cos
xdx
0
4 x u dv cos
+) Tính Đặt xdx du v dx sin x
B x
sin
x
sin
xdx
0 cos
x
2
0
0
0
2
Khi đó (2)
2 4
2
Thay (1) , (2) vào (*) ta được: 2I
2x
và
dx
dt
t
x
: 0
thì
2
t : 2 0
I
dx
3
x x sin 3 cos x
0
2
2
2
2
t
t
3) Đặt
I
dx
dt
dt
2 2
dt
dt
3
sin x x x 3 cos
2 t 3 cos
sin t
sin t 3 cos
t
.sin t t 3 cos
t
0
0
0
0
0
2
d
t
2 2
I
2 ln 3 cos
t
I
0
I
I
3
3
3
3
0
sin 2 2 t t 3 cos 2 3 cos 3 cos t
0
Khi đó
I
I
I
0
3
3
3
Trang 101
Vậy
a
T
T
f x liên tục trên và tuần hoàn với chu kì T, khi đó :
( )
(*)
f x dx ( )
f x dx ( )
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
Bài toán 4: Hàm số
a
0
nT
T
(2*)
f x dx ( )
n
f x dx ( )
0
0
Từ đó ta suy ra
0
a T
T
a T
Chứng minh: (Trong bài thi muốn sử dụng tính chất này các em cần chứng minh như sau)
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
a
a
0
T
a T
Ta có: (1)
t T
dx
dt
:x T
a T thì
: 0t
a
T
0
a T
a
a T
0
0
Xét tích phân: f x dx ( ) và Đặt x
f x dx ( )
f
t T dt (
)
f
t dt ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
0
a
T
0
T
a
a
a
T
T
Khi đó (2)
(*)
f x dx ( )
f x dx ( )
a
Thay (2) vào (1) ta được:
f x có chu kì là T thì
( )
0 f x T )
(
f x ( )
. Chú ý:
2014
2014
VÍ DỤ MINH HỌA
I
dx
1 cos 2
xdx
2
I 1
1 cos 1 cos
x x
0
0
Tính các tích phân sau: 1) 2)
2014
Giải:
f x ( )
1 cos 2
x
1 cos 2
xdx
I 1
0
1) Xét hàm với x
f x (
)
1 cos 2(
x
)
1 cos 2
x
f x ( )
T
a
T
Ta có:
f x dx ( )
f x dx ( )
0
a
2014
2
3
2014
1 cos 2
xdx
1 cos 2
xdx
1 cos 2
xdx
1 cos 2
xdx
...
1 cos 2
xdx
I 1
0
0
2
2013
1 cos 2
xdx
1 cos 2
xdx
1 cos 2
xdx
...
1 cos 2
xdx
0
0
0
0
2014
2014
1 cos 2
xdx
2 sin
x dx
2014 2 sin
xdx
2014 2 cos
x
4028 2
0
0
0
0
nT
T
Do đó áp dụng tính chất (*) (trong bài các em phải Chứng minh ) ta được:
(2*)
f x dx ( )
n
f x dx ( )
0
0
2
2014
2sin
Chú ý: Cách trình bày vừa rồi cũng là cách ta đi chứng minh
f x ( )
tan
dx
I
f x (
2 )
f x ( )
2
2
x 2
1 cos 1 cos
x x
1 cos 1 cos
x x
0
2 cos
x 2 x 2
Trang 102
Hướng dẫn: và 2)
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2. TÍCH PHÂN TRUY HỒI
f x n dx ( , )
nI
Ở phần này các em sẽ đi tìm hiểu các dạng tích phân truy hồi với các câu hỏi hay gặp là:
k
n 1;
I
)
n
g I ( n k
. với
2
1. Thiết lập công thức truy hồi 2. Chứng minh công thức truy hồi cho trước. 3. Sau khi thiết lập được công thức truy hồi yêu cầu đi tính nI ứng với một vài giá trị n nào đó hoặc tính giới hạn của hàm số hoặc dãy số có liên quan với nI . CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
* n
sinn
xdx
nI
0
2nI . 2. Tính
nI và
Ví dụ 1. Xét tích phân với
u
(
n
1)
5I và 1. Tìm mối liên hệ giữa 3. Tính nI 4. Xét dãy số (
6I . )nu cho bởi
n
I I .
n
n
1
n
. . Tìm lim n u
nI và
2nI .
2
2
2
2
2
n
2
n
2
n
n
2
n
2
Giải: 1. Tìm mối liên hệ giữa
I
sin
xdx
sin
.(1 cos x
x dx )
sin
xdx
sin
x .cos
xdx
I
sin
x .cos
xdx
2
n
n
0
0
0
0
0
2
2
n
2
n
+) Ta có: (1)
sin
x .cos
xdx
sin
x .cos .cos x
xdx
0
0
du
sin
xdx
cos
x
n
1
+) Tính
x
n
n
n
sin
x .cos
x
v
sin
x .cos
xdx
sin
x d . sin
x
u dv
sin n
1
n
1
2
2
2
x
n
2
n
2
sin
x .cos
xdx
sin
xdx
0
Đặt
cos .sin x n 1
1
n
1
I n
n
2 1
I n
n
2 1
0
0
0
Suy ra (2)
I
I
I
I
I
2
n
n
I n
n
2
n
n
2
I n
2 n 1
I n
n
2 1
n n
2 1
Thay (2) vào (1) ta được:
I
I
I
n
n
2
I n
2
n
5I và
6I . Ta có
2 1
n n
1 2
n n 2
2
I
I
sin
xdx
cos
x
I
3
1
5
4 2 . 5 3
8 15
8 15
8 15
4 5
0
0
2
2
2
x
2
I
I
sin
xdx
dx
x
sin 2
x
4
2
6
15 24
5 3 . 6 4
15 1 cos 2 24
2
15 48
1 2
15 96
5 6
0
0
0
I
Trang 103
2. Tính . Khi đó :
2
sin
xdx
cos
x
1
I 1
2 0
0
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
I
nI Ta có:
n
n
2
n n
2 1
2
2
2
x
2
sin
xdx
dx
x
sin 2
x
2
1 cos 2 2
1 2
1 4
4
0
0
0
I
I
4
2
I
6
4
*
n
k 2
(
k . Áp dụng (*) ta được:
)
3. Tính . Với (*)
4 3 6 5
I
I
2
k
2
2
k
2 k
k
2
1
I I .....
+) Với n chẵn hay
3.5...(2
I
I
I
I
2
2
k
2
k
2
k
k 4.6...2
1) . k 4
4.6...2 k
3.5...(2
k
1)
4
4.6...2 k
3.5...(2
k
1)
I
3
I
5
3
*
n
k 2
1
(
k . Áp dụng (*) ta được:
)
Nhân theo vế các đẳng thức ta được:
3 2 5 4
I
I
2
k
3
2
k
1
I 1 I .....
2 k k 2
1 2
1
I
I
I
+) Với n lẻ hay
1
2
k
2
k
1
2
k
1
1) 2)
3.5...(2 k k 2.4...(2
1) 2)
k 2.4...(2 k 3.5...(2
2) 1)
u
(
n
1)
I
1 I Nhân theo vế các đẳng thức ta được: 3.5...(2 k k 2.4...(2
)nu cho bởi
n
I .
n
1
n
n
4. Xét dãy số ( . . Tìm lim n u
u
(
n
1)
I
.
I
(
n
1).
I
.
I
(
n
2).
I
I .
u
n
n
1
n
n
2
n
1
n
1
n
2
n
1
n n
2 1
u
u
Ta có:
u
...
2.1.
u
1n
n
u
n
1
n
u 1
I I 2 . 1
2
n
lim
n
lim n
4 2
2
2
2
2
n
n
sin
xdx
cos
xdx
Vậy nên
nI
0
0
1
n
*
2
1
Chú ý: (xem lại Bài toán 2 ở lớp tích phân đặc biệt)
n 1. Tính
dx
x
nI . 2. Tìm
nI
1
I lim n I n n
0
Ví dụ 2. Xét tích phân với .
1
2
n
2
n
1
n
x
)
n .(1
x
)
.( 2 )
x dx
2
Giải:
dx
x
nI
1
(1 dx
du v
x
0
u dv
Trang 104
1. Tính . Đặt
1
n
1
2
n
2
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
x
(1
x
)
2
x
dx
nI
1
0
1 n x 0
1
1
1
n
1
n
1
n
2
2
2
2
2
n
x
x
dx
2
n
x
dx
x
dx
2
I
n I
n
1
n
1
1
1 (1
) 1
0
0
0
1
1
1
n
1
n
1
n
2
2
2
2
2
n
x
x
dx
2
n
x
dx
x
dx
2
I
n I
n
1
n
1
1
1 (1
) 1
0
0
0
Suy ra
I
2
I
I
I
n I
n
n
1
n
n
n
1
1
Vậy (*)
I
I
I
...
.
I
n
n
1
n
2
I 1
1
2 n
n
2
1
n 2 . n 1 2
2 1
2 n
n
n 2 . n 1 2
2 1
2
4 5
4.6.8...2 n n 1)
5.7.9.(2
n 2 n 2 n 2 n
2
1
1
3
Từ (*) ta có: (1)
x
I 1
1
2 x dx
x 3
2 3
0
I
Mặt khác: (2)
n
0 2.4.6.8...2 n n 1)
3.5.7.9.(2
1
1
Thay (2) vào (1) ta được:
1
I
I
I
n
n
1
I n 1
n
lim n
lim n
2 n
n
2
1
2( n
n 1) 1) 1
2(
I n I
n 2 n 2
2 3
I n I
n 2 n 2
2 3
n
n
4
2. Ta có: , suy ra
* n
tan n
xdx
nI
0
Ví dụ 3. Xét tích phân với
I
I
2
n
n
6I .
1
n
1
1. Chứng minh rằng: 2. Tính 5I và
Giải:
I
I
2
n
n
1
4
4
1 n 4
n
2
n
2
n
n
n
2
n
1. Chứng minh rằng:
tan
xdx
tan
x
tan
x
tan
tan
x
x
tan
nI
2
1 tan
x dx
x dx
0
0
0
n
1
n
4
4
4
4
x
n
n
dx
tan
xdx
tan
xd
tan
x I
I
I
n
n
n
2
tan n
1
1
n
1
tan cos
x x
0
0
0
0
Ta có:
I
I
n
2
n
Vậy (đpcm).
1 1 n 6I . 5I và
4
4
4
tan
xdx
dx
ln cos
x
ln 2
I
1
4 0
cos x d x cos
1 2
sin cos
x x
0
0
0
2. Tính
4
4
4
2
tan
xdx
1
dx
tan
x
x
2
4 0
4
1 2 cos
x
0
0
I
Trang 105
Ta có:
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
I
2
n
n
n
1
Áp dụng công thức truy hồi
5
3
1 1 4
6
4
2
I I ln 2 ln 2 I 1 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 Ta có: 4 I I 1 5 1 5 1 3 4 13 15 4 1 5 1 3 I
1
n
1
e
*
I
I
Ví dụ 4.
I
n . Chứng minh rằng:
n
n
1
n
1 1
n
nx e dx x 0 1 e
3
*
1. Xét tích phân , với .
n . Chứng minh rằng:
(3
)n x x e dx
I
3n
nI
n
nI
n
1
0
2. Xét tích phân , với .
1
n
1
e
*
Giải:
n . Chứng minh rằng:
I
I
I
n
n
1
n
1 1
n
nx e dx x 0 1 e
1
(
n
1)
x
x
1
1
1
1
(
n
1)
x
(
n
1)
x
n
1
e
dx
e
e
e
1
(
n
1)
x
1. Xét tích phân , với .
I
I
e
dx
n
n
1
dx x
x
nx e dx x e 1
1
e
1
e
e n
1
1 1
n
0
0
0
0
0
n
1
e
Ta có
I
I
n
n
1
1 1
n
3
*
I
3n
hay (đpcm).
n . Chứng minh rằng:
(3
)n x x e dx
nI
n
1
n
nI
0
n
n
1
(3
x
)
du
n
(3
x
)
dx
2. Xét tích phân , với .
x
dv
x e dx
v
e
u
3
3
x
n
1
Đặt
I
(3
x
n e ) .
n
(3
x
)
x e dx
n 3
nI
n
n
1
0
0
Khi đó
I
3n
n
nI
n
1
1
n
Vậy (đpcm).
* n . Biết (
u
1
. n x x dx
n
nI
)nu là dãy số cho bởi
I I
n
1
0
n
du
1 n nx dx
x
Ví dụ 5. Cho với hãy tính lim nu .
v
1
xdx
(1
x
) 1
x
1
xdx
u dv
2 3
1
1
n
(1
x
) 1
x x .
x
) 1
1 n x x dx
.
n
1
1 n x x dx .
1
n x x dx
.
I
n I
nI
n
1
n
2 3
2 3
2 3
2 3
0
1 . (1 n 0
0
Giải: Đặt Khi đó :
I
(2
n
I
3)
I
2
nI
I
n I
n
n
1
n
I n
n
1
n
n
1
2 n
2
n
3
2 3
Vậy
1
lim
u
lim
I
lim
I
I
n
n
1
n
1
n
n 2 n 2
2 5
n 2 n 2
2 5
n 2 n 2
2 5
I n I n 1
Trang 106
Suy ra
k nC
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 VII. DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
n
n
k
2
n
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
(1
x
)
C
C x C x
...
k C x n
0 n
2 n
1 n
n C x n
k
0
2
Bước 1 : Khai triển .
(1
n x dx )
C
C x C x
...
0 n
2 n
1 n
n n
n C x dx
b
k
k
Bước 2 : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp :
b
a
).
a
( Nếu mỗi hệ số trong đẳng thức cần chứng minh có chứa thì ta chọn cận tích phân là
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT : Các hệ số trong đẳng thức cần chứng minh có dạng phân số, đồng thời các mẫu số thường tăng hoặc giảm đi một đơn vị. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
2
n
1
n
1
1
1
20
12
3 20
3 12
20
n 21
C 8
...
0 n
1 C n
2 C n
n C n
2
3
12 1
n 13 1
n
3
2
n
1
n
Ví dụ 1: Với n . Chứng minh rằng: 2 1)
C 4
C
C
...
C
0 n
1 n
2 n
n n
4 3
4 2
4 n
1
n
2) .
C
...
0 C n
1 C n
2 n
n C n
1 3
1
n
1
2
3
n
n
1
n
1
1 2 6
1
6
1
7
3) .
C
...
0 C 5 n
1 n
2 C n
n C n
2
3
n 1 5 1 n 1 1 2 1 1 n 1 1 1
6 n
2 1
n
4)
2
2
n
1
1
1
n
1
20
12
3 20
3 12
n 21
20
Giải:
C 8
...
0 n
1 C n
2 C n
n C n
n 13 1
n
12 1
n
2
1)
(1
x
)
C
C x C x
...
2
0 n
2 n
n n n C x n
3 1 n
20
20
2
+) Ta có:
n x dx )
2 n
n n
0 C n
1 n
n C x dx
12
12
20
20
n
1
3
n
1
2
(1
+) Suy ra: (1 C x C x ...
C x C
...
C
0 n
1 n
2 C n
n n
n
x
) 1
x 3
x n
1
x 2
12
12
2
2
3
1
1
n
1
n
1
20
12
3 20
12
n 21
20
C
...
C
0 C 8 n
1 n
2 C n
n n
n
12 1
2
n 13 1 2
3 n
2
n
1
1
1
20
n 1 n 21
12
3 20
3 12
20
C 8
...
0 n
1 C n
2 C n
n C n
2
3
12 1
n
n 13 1
n
Trang 107
Hay (đpcm).
2
3
n
1
n
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
C 4
C
...
0 n
1 n
2 C n
n C n
n
2
n
4 2 +) Ta có: (1
4 3
x
)
C
4 n C x C x
0 n
1 2 n
1 n
1 5 1 n 1 n C x ... n
4
4
2
2) .
(1
n x dx )
C x C x
...
C
2 n
1 n
n n
0 n
n C x dx
0
0
4
41
n
3
n
1
2
(1
C x C
C
...
C
+) Suy ra:
0 n
1 n
2 n
n n
n
x
) 1
x 3
x n
1
x 2
0
0
2
1
n
3
n
1
C 4
C
C
...
0 n
1 n
2 n
n C n
4 2
5 n
4 3
3
1 1 2
n
1
C 4
C
C
...
C
0 n
1 n
2 n
n n
4 3
4 2
4 n
4 n 1 n 1 5 1 1 n
1
n
...
C
Hay (đpcm).
0 C n
1 C n
2 C n
n n
n
2
n
1 2 +) Ta có:
1 3 ) x
(1
C
1 1 2 1 n ...
0 n
1 n 1 1 C x C x n
2 n
n C x n
1
1
2
3) .
(1
n x dx )
C x C x
...
C
2 n
1 n
n n
0 n
n C x dx
0
0
1
11
n
2
3
n
1
(1
...
+) Suy ra:
1 C x C n
0 n
2 C n
n C n
x 2
x 3
x n
1
n
x
) 1
0
0
n
C
C
C
...
C
0 n
1 n
2 n
n n
1 2
1 2 1 1 n
1 3
...
C
0 C n
1 C n
2 C n
n n
1 2
1 3
1
n
1
1 n 1 1 n 2 1 n 1
2
3
n
1
n
1
n
1
6
1
6
1
7
Hay (đpcm).
C
...
0 C 5 n
1 n
2 C n
n C n
2 1
n
n
n
4)
x
)
C
C x C x
2 (1
1 6 1 n 2 ...
2 n
1 n
n C x n
3 0 n
6
6
2
+) Ta có:
n x dx )
0 n
2 n
1 n
n n
n C x dx
1
1
6
61
n
2
3
n
1
(1
+) Suy ra: C (1 C x C x ...
...
1 C x C n
0 n
2 C n
n C n
n
x
) 1
x 2
x 3
x n
1
1
1
n
1
n
1
2
3
1
n
7
6
1
6
1
C 5
C
C
...
C
0 n
1 n
2 n
n n
n
2
2 1 2
3
3 1 n
n
6 n 1
1 1 n
1
6
1
6
1
7
C
C
...
0 C 5 n
1 n
2 n
n C n
2
3
6 n
1 1
2 1
n
Trang 108
Hay (đpcm).
2
1
n
2
1
3 2
1
C
...
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
0 C n
1 n
2 C n
n C n
2
3
2 n
1 1
n
2
n
(1
x
)
C
C x C x
...
Ví dụ 2 ( B – 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
0 n
2 n
1 n
n C x n
2
2
2
Giải: +) Ta có:
n x dx )
0 n
2 n
1 n
n n
n C x dx
1
1
2
21
n
2
3
n
1
(1
+) Suy ra: (1 C C x C x ...
C x C
C
...
C
0 n
1 n
2 n
n n
n
x
) 1
x 2
x 3
x n
1
1
1
n
1
1
2
n
1
n 3
2
1
3 2
1
C
C
...
0 C n
1 n
2 n
n C n
n
2
2 1 2
1
3 n
n
1
2
1
3 2
1
1 2 1 n 1 n 3
C
C
...
C
0 C n
1 n
2 n
n n
2
3
1 1
2 n
2 1
n
Vậy
C
...
0 C n
1 n
2 C n
3 C n
n C n
1 3
1 4
( 1) n 1
1
1 2
2
n
1
Ví dụ 3 :Với n . Chứng minh rằng: n 1)
C
C
C
...
C
1 2
n
3 n 2
5 n 2
2 n n 2
1 4
1 6
2 2
1 2
1 n 1 1 n
C
C
...
C
2) (A – 2007)
0 C 2 n
2 n 2
4 n 2
2 n n 2
1 3
1 5
n 4 n
1 n 2 1 n
2
1
2
1
3)
n
Giải:
C
...
0 C n
1 n
2 C n
3 C n
n C n
n
3
n
n
(1
1 3 ) x
1 n 1 ...
( 1)
1 2 +) Ta có:
1 4 0 C n
( 1) n 1 2 2 C x C x n
1 n
3 C x n
n C x n
1
1
2
n
1)
(1
n x dx )
C
( 1)
...
0 n
2 3 3 C x C x C x n n
1 n
n n
n C x dx
0
0
1
11
n
2
3
4
n
1
(1
n
+) Suy ra:
C
C
( 1)
...
1 C x C n
0 n
2 n
3 n
n C n
n
) x 1
x 2
x 3
x 4
x n
1
0
0
n
C
C
C
C
...
n n
0 n
1 C n
2 n
3 n
1
n
1
1 2
1 3
1 4
( 1) n 1
n
C
C
C
...
C
0 C n
1 n
2 n
3 n
n n
1 2
1 3
1 4
( 1) n 1
1
n
1
Trang 109
Hay (đpcm).
2
n
1
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
C
C
C
...
C
n
1 2
5 n 2
3 n 2
2 n n 2
1 2
2 2
n
1 6 n 2
2
3
n
1
2
n
C
x
)
...
C
1 2 x
(1)
0 n 2
1 n 2 1 2
n
2 n n 2
2) (A – 2007)
2
n
2
3
n
1
2
n
(1
x
)
1 2 x
(2)
0 C 2 n
1 1 2 3 C x C x C x 2 n n 2 2 C x C x C x n 2
3 n 2
1 2
n
2 n C 2 n
2 n C x 2 n 2 n C x n 2
2
n
2
n
3
5
n
1
1 4 (1 +) Lấy (1) – (2) ta được:
(1
x
)
(1
x
)
2
...
x 1 2
1 2
n
3 C x C x C x n 2
5 n 2
2 n C 2 n
...
2
n
2
n
(1
x
)
x
)
3
5
n
1
...
x 1 2
3 C x C x C x n 2
5 n 2
1 2
n
2 n C 2 n
1
(1 2 1
2
n
2
n
(1
x
)
x
)
3
5
n
1
+) Ta có:
dx
...
C
1 2 x
3 C x C x C x n 2
5 n 2
1 2
n
2 n n 2
dx
(1 2
0
0
1
1
2
n
1
2
n
1
2
4
6
2
n
x
)
x
)
1
C
...
+) Suy ra:
1 2
n
3 C 2 n
5 C 2 n
2 n C 2 n
1 (1 . 2
(1 n 1
2
x 2
x 4
x 6
x 2
n
0
0
2
n
1
C
C
...
C
1 2
n
3 C 2 n
5 n 2
n 2 n 2
1 6
2 2
n
1 1
1 2
1 4
1 n 2 n 2
1
C
C
C
...
C
1 2
n
3 n 2
5 n 2
2 n n 2
1 n 2
2 2
n
1 1
1 4
1 2
1 6
n
C
...
C
Hay (đpcm).
0 C 2 n
2 n 2
4 C 2 n
2 n n 2
n
2
2
n
1 3 +) Ta có:
(1
x
C
1 5 2 )
0 n 2
1 n 1 2 1 C x C x 2
2 n 2
n
4 n 1 2 2 n ... C x n 2
1
1
2
n
2
2
n
3)
0 n 2
2 n 2
1 2
n
2 n C x n 2
1
1
1
1
2
n
1
2
3
n
1
2
(1
C x C
C
...
C
+) Suy ra: (1 x ) dx C C x C x ... dx
0 n 2
1 2
n
2 n 2
2 n n 2
) x 2 n
1
x 2
x 3
x n 2
1
1
1
2
n
1
C 2
C
C
...
0 n 2
2 n 2
4 n 2
2 n C 2 n
2 5
2 n 2
1
2
1
2 3
2 n n
C
...
C
0 C 2 n
2 n 2
4 C 2 n
2 n n 2
1 5
1 n
2
1
1 3
4 n
2
1
Trang 110
Hay (đpcm).
2
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC Qua 7 phần chúng ta được tìm hiểu ở trên, các em sẽ nhận thấy trong tích phân ta có trong tay hai công cụ chính để giải quyết là ĐỔI BIẾN và TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN cùng một vài kĩ thuật để làm cho hai công cụ trên phát huy tác dụng như: Tách tích phân (dùng phương pháp đồng nhất hệ số, thêm bớt…), kĩ thuật nhân, chia dưới dấu tích phân, kĩ thuật vi phân, dùng các công thức để biến đổi (công thức lượng giác, hằng đẳng thức…), sử dụng tích phân liên kết ( quan sát để tìm tích phân liên kết, sử dụng cận để đổi biến, sử dụng các đẳng thức và tính chẵn lẻ của hàm số…). Vì vậy chúng ta có thể tổng kết lại như sau : Khi đứng trước một bài toán tích phân các em sẽ có những hướng đi : TH1: Nếu dưới dấu tích phân có căn : +) Hướng tư duy 1: Đặt t bằng căn ( đã đúng cho tất cả các đề thi Đại Học – Cao Đẳng từ 2002 – 2013). Nếu không ổn hãy chuyển sang:
I
f
(
ax
bx
c dx )
2ax
bx c
ta biến đổi về dạng:
2
2
2
+) Hướng tư duy thứ 2: Với tích phân mà
u
u
u m t sin
2 m u
u m
m cos
t
m sin
t
2
2
2
2
2
u
sin
t
u
cos
t
*) thì đặt ( ) *) ( ) u m cos t thì đặt
u m
u u
u m
tan
t
u m t cot
*) thì đặt ( ) *) thì đặt ( )
x m
cos 2
t
I
f
dx
m x m x
Với tích phân thì đặt .
dx 2
x
k
2
2
dx
(
x
x
k dx )
d x (
x
k
)
2
ln(
x
x
k
)
...
2
2
2
2
x
k
(
x
x
k
)
x
k
(
x
x
k
)
( nghĩa là
ax b
CHÚ Ý: Với tích phân có dạng thì ta có thể không dùng tới phương pháp trên. Cụ thể ta biến đổi:
u . Sau đó quay về TH1 hoặc TH3.
b
b
b
Nếu vẫn chưa ổn hãy chuyển sang : +) Hướng tư duy thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng rồi quay về 2 hướng tư duy đầu. TH2 : Nếu dưới dấu tích phân có hàm lượng giác và hàm mũ có dạng sin u và ue mà u u không là hàm bậc nhất hoặc bậc không ) thì điều đầu tiên là đặt t TH3: Nếu dưới dấu tích phân xuất hiện hai trong bốn hàm: log, đa thức ( kể cả phân thức), lượng giác và mũ liên hệ với nhau bởi phép nhân thì đi theo : +) Hướng tư duy 1:Sử dụng tích phân từng phần theo thứ tự ưu tiên “u→dv” là : “log → đa thức → lượng giác → mũ”
udv
uv
vdu
a
a
a
(nghĩa là anh nào đứng trước trong thứ tự thầy nêu thì đặt là u còn anh đứng sau là dv: )
u dx '
du
( Các em có thể có cách nhớ “hài hước” theo thứ tự “u→dv” là: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” ).
(**) ) và đổi biến
Trang 111
Nếu vấn chưa ổn thì chuyển sang: +) Hướng tư duy 2: Sử dụng kĩ thuật vi phân ( Nếu sử dụng (**) : +) theo chiều thuận (từ Trái Phải): các em phải đi tính đạo ĐẠO HÀM. +) theo chiều nghịch (từ Phải Trái): các em phải đi tính NGUYÊN HÀM. Các em có thể nhớ theo cách sau : “đưa vào vi phân thì tính NGUYÊN HÀM, đưa ra thì tính ĐẠO HÀM”.
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
dx
f x ( ) g x ( )
TH4: Nếu dưới dấu tích phân có dạng hữu tỉ: I
f x lớn hơn hoặc bằng bậc ( )
g x . Thì thực hiện phép chia chuyển I về dạng:
I
h x ( )
dx
h x dx ( )
dx
I
I 1
2
+) Hướng tư duy 1: Nếu bậc ( )
2I sẽ chuyển sang:
r x ( ) g x ( )
( ) r x g x ( )
. Với 1I tính đơn giản và tính
f x nhỏ hơn bậc ( )g x thì hãy đi theo thứ tự:
( )
+) Hướng tư duy 2: Nếu bậc của
ln
ax b
?
f x ( ) g x ( )
A ax b
dx ax b
A a
I A
2
'
l
bx c
k ax
I
dx
*) Hướng tư duy 2.1: Nếu
2
f x ( ) g x ( )
Ax B 2 bx
c
ax
Ax B 2 bx c
ax
ax
bx c
2
)
2
k
l
k
ln
ax
bx
c
l I .
3
2
( d ax 2 ax
bx c bx c
dx bx
c
ax
*) Hướng tư duy 2.2: Nếu thì biến đổi
2
I 3
dx bx c
ax
và đi tính bằng cách chuyển sang Hướng tư duy 2.3:
2
2
f x ( ) g x ( )
A bx
c
dx bx
c
ax
ax
I A
dx
ln
?
*) Hướng tư duy 2.3: Nếu thì:
a x (
x
)
)
A
1
x
1
x
A
)
x x
dx x )( 1
x 2
a x ( 2
x 1
x 2
x 1
a x ( 2
x 1
x 2 x 1
I A
**) Khả năng 1:
?
2
)
a x (
A
a x (
)
dx x 0
x 0
I A
2
dx
k
(1 tan )
t dt
**) Khả năng 2:
x
x
k
tan
t
I
0
2
A a
(
x
k
2
2
2
dx 2 x ) 0
t
k
k
t (1 tan )
kdt 2 cos 2 x ) 0
( x
1
2
)
I
dt
dt
?
A k (1 tan ) t 1 2 2 t k a (1 tan )
A ka
( A 1 1 ka
1
1
**) Khả năng 3: thì đặt
g x có bậc lớn hơn 2 thì tìm cách đưa về 3 hướng tư duy 2.1, 2.2, 2.3 bằng các
( )
*) Hướng tư duy 2.4: Nếu
1
...
...
f x ( ) 2
n
2
m
B x C 2
2
B x C 2
n
(
ax b
m ) (
cx
dx
e )
A 1 ax b
)
(
A 2 ax b
(
)
A m ax b
(
)
B x C 1 2
dx
(
cx
e
)
(
cx
2
dx
2
e
)
n
dx
n e
)
(
cx
kĩ thuật: +) Đổi biến hoặc tách ghép, nhân, chia để giảm bậc. +) Đồng nhất hệ số theo thuật toán:
Sau đó quy đồng bỏ mẫu số rồi dùng tính chất “hai đa thức bằng nhau khi các hệ số tương ứng bằng nhau”
i
1,
m j ;
n 1, )
A B , ,i j
A B , ,i j
jC .
jC (
Trang 112
từ đó ta sẽ tìm được các hoặc có thể dùng cách chọn x để tìm các
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
I
f
x (sin , cos )
x dx
m
n
TH5: Nếu dưới dấu tích phân có dạng lượng giác: thì:
,m n Z ) thì dựa vào tính chẵn, lẻ để đổi biến.Cụ thể:
I
sin
x .cos
xdx
,m n khác tính chẵn lẻ thì các em sẽ đặt t theo anh mang mũ chẵn. Cụ thể :
+) Hướng tư duy 1: Nếu (
sin
t
t cos x ** ) m lẻ, n chẵn thì đặt
*) Nếu **) m chẵn, n lẻ thì đặt *) Nếu
t
**) t (kinh nghiệm là nên đặt theo anh mang mũ lớn hơn).
x ,m n cùng tính chẵn lẻ. Cụ thể : ,m n đều lẻ thì đặt hoặc ,m n đều chẵn thì đặt x
sin t
x tan
x
**) (hoặc ) hoặc dùng công thức hạ bậc, biến đổi lượng giác. cos t x cot
I
f
x (sin ).cos
xdx
t
sin
x
+) Hướng tư duy 2 : Nếu thì đặt
I
f
x (cos ).sin
xdx
f
x (sin , cos ) x
và thì đặt t cos x
h x g x chứa các hàm lượng giác thì:
( )
h x ( ) g x ( )
+) Hướng tư duy 3: Nếu trong đó ( ),
g x và nếu phân tích được ( ) h x
'( )
u g x . ( )
l g x g x ( ( )). '( )
*) Hướng tư duy 3.1 : Ý nghĩ đầu tiên hãy tính
I
udx
r g x g x dx ( ( )).
'( )
I
I
r g x g x dx ( ( )).
'( )
t
g x ( )
1
2
thì khi đó bằng các đổi biến: và tính 2 I
h x g x ( )
( ),
( Hướng tư duy này có thể áp dụng với chứa các hàm khác như loga, đa thức, mũ…)
( )h x gặp khó khăn ta chuyển tới việc làm “thủ công” qua Hướng tư duy 3.2
Nếu việc phân tích
( )
h x g x là các hàm bậc nhất theo sin x và cos x thì dùng phương pháp ( ),
A
B
*) Hướng tư duy 3.2: Nếu
x b x d
x d x d
a sin c sin
( ) h x g x ( )
cos cos
sin sin
x x
c c
c c
cos sin
x d x d
sin cos
x x
A x B
.
c ln sin
x d
cos
x
?
c c
cos sin
x d x d
sin cos
x x
( sin d c c sin
x d x d
cos ) x x cos
I A dx B
cos
sin
**) . Khi đó: đồng nhất hệ số. Cụ thể : x cos x cos
A
B
C
h x ( ) g x ( )
a sin c sin
cos cos
e x x h
x b x d
dx A dx B x d x d
sin sin
c c
x h cos x h cos
c sin
x d x d
cos
x x h
c
1 x d
c
sin
cos
x h
**) .
I
Ax B
c ln sin
x d
cos
x h
C I .
I
3
3
dx x d
c
sin
cos
x h
Khi đó: và ta tính bằng hai cách:
2
C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển về các công thức lượng giác trong bảng nguyên hàm . Nếu không ổn hãy chuyển sang :
t
tan
dx
sinx
;
cos
x
2
2
t 2 t
1
1 1
t t
x 2
dt 2 2 t 1
Trang 113
C2: Đặt Sau đó quay về TH4 và
)
f
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
t
tan
x
t
cot
x
I
dx
I
dx
x (tan ) f 2 x cos
(cot 2 sin
x x
*) Hướng tư duy 3.3: Nếu (hoặc ) thì đặt (hoặc )
I
I
2
2
2
2
f x b
(tan ). x sin cos
x dx x
a
sin
c
cos
x
f x b
x dx (cot ). x x sin cos
a
sin
c
cos
x
1
Với trường hợp hay gặp : (hoặc )
I
dt
t
tan
x
dt
I
dx
2
2
f
( ) t bt
c
at
f tan
(tan ) x 2 x b
cos
x a (
tan
x
c
)
dx 2 cos
x
1
thì biến đổi: sau đó đặt
dt
(cos
x
sin )
x dx
2
Sau đó quay về TH4
I
f
(sin
x
cos ;sin cos )
x dx
x
x
t
sin
x
cos
x
t
1
x
sin cos x
2
*) Hướng tư duy 3.4: Nếu đặt
b
f
Sau đó quay về TH4 TH6: Khi gặp tích phân chỉ chứa hàm log hoặc chỉ chứa hàm mũ thì ta có các hướng đi sau :
t
ln
u
dx
I
(ln ) u u
*) Hướng tư duy 1: Nếu có dạng thì đặt
t
g
a u (ln )
( hoặc đặt nghĩa là đặt t bằng một hàm theo ln u ).
log
u
a
ln ln
u a
b
x
. Nếu dưới dấu tích phân có mặt loga u thì các em nên chuyển về ln u bằng công thức :
I
x f e dx )
(
t
e
xe ).
a
*) Hướng tư duy 2: Nếu có dạng thì đặt ( hoặc t bằng một hàm theo
I
f x dx ( )
TH7: Nếu dưới dấu tích phân có dấu trị tuyệt đối thì tìm cách phá trị tuyệt đối bằng cách đi
f x ( )
xét dấu của trong đoạn . Cụ thể:
f x ( )
0
;
; và chọn các ? x i
ix [ ]
B1: Giải phương trình rồi chuyển sang:
B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu: )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
) để tách :
x i
x i
B3: Ta dựa vào công thức (
I
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
f x dx ( )
x i
x i
. Sau đó chuyển về sáu TH đầu.
b
b
f x ( )
g x dx ( )
(2*)
f x dx ( )
S
f x ( )
a
a
TH8: Khi bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể tạo ra khi quay hình phẳng qua trục Ox, Oy thì các em cần nhớ kiến thức sau: Hình phẳng giới hạn bởi các đường :
g x ( )
y
g x ( )
0
b
b
2
2
2
a
;
x b
a
f
x ( )
g x dx ( )
(3*)
f
x dx ( )
x
x
y y x
a
V 0
S V 0
a Nếu không dựa vào hình vẽ và cần phá trị tuyệt đối thì chuyển về TH6 .
Trang 114
(nếu )
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Mặc dù cũng đã rất cố gắng song với khả năng và trong khoảng thời gian còn hạn chế, cùng với lượng bài giải lớn nên trong bài viết không tránh khỏi sai xót. Rất mong sự góp ý và xây dựng từ phía bạn đọc, để bài viết được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến góp ý xin chuyển vào email: giaidaptoancap3@yahoo.com Các bạn có thể tham khảo các bài viết khác khi ghé qua trang: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích nhiều cho bạn đọc .
Trang 115
CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU !
