Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm thường gặp trong giải toán Tích phân cho HS lớp 11 nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BOUNLOUANE THAMMAVONG

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM KHẮC PHỤC

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

CHO HỌC SINH LỚP 11 NƯỚC CHDCND LÀO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

THÁI NGUYÊN – 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BOUNLOUANE THAMMAVONG

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM KHẮC PHỤC

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

CHO HỌC SINH LỚP 11 NƯỚC CHDCND LÀO

Ngành:LL và PP dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Việt Cường

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết

quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình

nào khác.

Thái Nguyên, tháng....năm.......

Tác giả luận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Bounlouane THAMMAVONG

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học

PGS.TS Trần Việt Cường, đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực

hiện luận văn Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm

thường gặp trong giải toán Tích phân cho HS lớp 11 nước Cộng hòa Dân

chủ Nhân dân Lào.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo (bộ phận Sau

Đại học), Khoa Toán, các thầy cô giáo giảng dạy và toàn thể các bạn học viên

lớp cao học Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán K25B Trường Đại

học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy, góp nhiều ý kiến

quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu khoa học và làm luận

văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo, các em học

sinh của trường Trung học phổ thông Xaybouathong nước Cộng hòa Dân chủ

Nhân dân Lào đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn những tình cảm quý báu của người thân, bạn

bè, đồng nghiệp đã cổ vũ, động viên, góp ý và tiếp thêm động lực để tôi hoàn

thành luận văn này.

Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản

thân còn nhiều hạn chế trong kinh nghiệm nghiên cứu, nên luận văn không

tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, chỉ bảo

của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả luận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Bounlouane THAMMAVONG

MỤC LỤC

Lời cam đoan ...................................................................................................... i

Lời cảm ơn ........................................................................................................ ii

Mục lục ............................................................................................................. iii

Danh mục các cụm từ viết tắt ..................................................................... iv

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 4

1.1. Bài tập Toán học ......................................................................................... 4

1.1.1. Vai trò của bài tập Toán học .................................................................... 4

1.1.2. Chức năng của bài tập Toán học ............................................................. 6

1.2. Sự cần thiết phải phát hiện, khắc phục những sai lầm của học sinh khi

giải toán ............................................................................................................. 6

1.3. Một số dạng toán Tích phân ....................................................................... 8

1.3.1. Dạng toán về Nguyên hàm ...................................................................... 8

1.3.2. Dạng toán về Tích phân ........................................................................ 11

1.3.3. Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng, thể tích vật

tròn xoay .......................................................................................................... 15

1.4. Một số dạng sai lầm khi giải toán Tích phân của học sinh ...................... 19

1.4.1. Sai lầm do không hiểu đúng tính chất ................................................... 19

1.4.3. Sai lầm do khi đổi biến số ..................................................................... 22

1.4.4. Sai lầm do nhớ nhằm công thức ............................................................ 22

1.5. Dạy học chủ đề Tích phân lớp 11 cho học sinh nước Cộng hòa dân chủ

nhân dân Lào ................................................................................................... 24

1.5.1. Nội dung Tích phân lớp 11 nước Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào ..... 24

1.5.2. Thực trạng dạy học nội dung Tích phân lớp 11 cho học sinh nước

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào ..................................................................... 27

1.6. Kết luận chương 1 .................................................................................... 29

Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SỬ PHẠM NHẰM GIÚP HỌC

SINH KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG

GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ............................................................................ 30

2.2. Một số biện pháp sư phạm giúp học sinh khắc phục những sai lầm

thường mắc phải trong giải toán Tích phân lớp 11 nước Cộng hòa dân chủ

nhân dân Lào ................................................................................................... 31

2.1.1. Biện pháp 1. Củng cố kiến thức “nền” về Tích phân cho học sinh ...... 31

2.2.2. Biện pháp 2. Khắc phục những sai lầm thường mắc phải cho học sinh

thông qua phân tích các bài toán có chứa sai lầm ........................................... 41

2.2.3. Biện pháp 3. Phân dạng các dạng bài tập toán và phương pháp giải

từng dạng bài tập toán cho học sinh ................................................................ 47

2.2.4. Biện pháp 4. Tổ chức cho học sinh phát hiện thực hành quy tắc thuật

giải và tựa thuật giải ........................................................................................ 59

2.3. Kết luận chương 2 .................................................................................... 65

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................... 66

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................... 66

3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................... 66

3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm .............................................................. 67

3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm ............................................................... 68

3.4.1. Phân tích định lượng ............................................................................. 68

3.4.2. Phân tích định tính ................................................................................ 71

3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................... 72

KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................... 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 74

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

TT Cụm từ viết đầy đủ Viết tắt

1. Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào CHDCND Lào

2. Học sinh HS

3. Giáo viên GV

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

4. Trung học phổ thông THPT

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Nước Cộng hòa dân chủ nhân dân (CHDCND) Lào đang tích cực thực

hiện những bước đổi mới về mọi mặt trong đó có cả lĩnh vực giáo dục và đào

tạo nhằm đào tạo ra những con người lao động có đầy đủ các kiến thức, kĩ năng

cần thiết nhằm đáp ứng được yêu cầu nhân lực cho đất nước Lào.

Ở trường phổ thông hiện nay, dạy toán cho học sinh (HS) là dạy hoạt động

toán học. Với HS có thể xem việc giải bài toán là hình thức chủ yếu của hoạt

động toán. Bài toán là một trong những phương tiện hiệu quả trong việc giúp

HS hiểu được những tri thức cần thiết, hình thành và phát triển tư duy, hình

thành được các kỹ năng cần thiết cho bản thân mỗi HS. Tuy nhiên, trong quá

trình giải bài toán, HS thường hay gặp những khó khăn và mắc phải những sai

lầm nên dẫn đến kết quả học tập của HS thường không được như mong muốn.

Một trong những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó của HS là giáo viên

(GV) chưa thường xuyên chú ý một cách đúng mức trong việc phát hiện, sửa

chữa những sai lầm đó cho HS. Hơn nữa, bản thân mỗi người HS sau nhiều lần

mắc phải những sai lầm trong quá trình giải toán thường có tâm lý tự ti, chán

nản, mất lòng tin và không có hứng thú trong việc học toán.

Chủ đề Tích phân là một trong những nội dung chính, quan trọng trong

chương trình môn Toán ở trường phổ thông của nước CHDCND Lào. Để làm

tốt được các dạng toán thuộc chủ đề Tích phân này không phải là đơn giản với

mỗi HS vì đây là nội dung trừu tượng và tương đối khó trong chương trình phổ

thông. Thực tế dạy học hiện nay cho thấy, nhiều HS thường hay gặp khó khăn

khi phải đối diện với những bài toán thuộc chủ đề Tích phân do các em HS

chưa có được phương pháp giải toán hợp lý, trong khi đó các bài toán về chủ

đề Tích phân lại vô cùng phong phú và đa dạng trong chương trình phổ thông.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Có thể thấy, việc GV nghiên cứu để có thể phát hiện ra được những sai

lầm thường gặp trong quá trình giải toán cho HS đã được một số nhà nghiên

cứu giáo dục và GV quan tâm và cũng đã thu được những kết quả nhất định.

Tuy nhiên, những nghiên cứu cụ thể để chỉ ra được những sai lầm thường gặp

trong quá trình giải toán chủ đề Tích phân của HS là chưa nhiều.

Vì vậy, tác giả đã mạnh dạn lựa chọn đề tài Một số biện pháp sư phạm

nhằm khắc phục những sai lầm thường gặp trong giải toán Tích phân cho

HS lớp 11 nước CHDCND Lào để làm luận văn thạc sĩ

2. Mục đích nghiên cứu

Qua việc nghiên cứu những sai lầm HS lớp 11 nước CHDCND Lào thường

mắc phải khi giải toán chủ đề Tích phân đề xuất một số biện pháp sư phạm

nhằm giúp HS khắc phục những sai lầm đó trong quá trình dạy học.

3. Giả thuyết khoa học

Nếu phát hiện được những sai lầm mà HS lớp 11 nước CHDCND Lào

thường mắc phải khi giải toán chủ đề Tích phân và đề xuất được một số biện

pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm đó trong dạy học nội dung Tích

phân cho HS thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này cho HS

và nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở nước CHDCND Lào.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

- Trong giải toán chủ đề Tích phân cho HS lớp 11 nước CHDCND Lào,

HS thường mắc phải những sai lầm nào? Nguyên nhân thường dẫn đến những

sai lầm đó của HS là gì?

- Để có thể khắc phục được những sai lầm đã chỉ ra ở trên cho HS lớp 11

nước CHDCND Lào, người GV cần phải có những biện pháp sư phạm nào?

- Đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của những biện pháp sư phạm đã

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

được đề xuất trong luận văn?

5. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu về lý luận

và phương pháp dạy học môn toán, sách giáo khoa, sách tham khảo và một số

tài liệu khác liên quan đến đề tài.

- Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành dự giờ, quan sát một số tiết

học thuộc nội dung chủ đề Tích phân, trao đổi với một số GV dạy toán ở một

số trường Trung học phổ thông (THPT) của nước CHDCND Lào để có thể

tổng kết được những dạng sai lầm mà HS thường mắc phải khi giải toán chủ đề

Tích phân và đề xuất một số biện pháp nhằm khắc phục những sai lầm đó cho

HS lớp 11.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sử phạm nhằm kiểm

nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.

6. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Danh mục tài liệu tham khảo nội dung

chính của luận văn gồm ba chương:

Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.

Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm

thường gặp trong giải toán Tích phân cho HS lớp 11 nước CHDCND Lào.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Bài tập Toán học

1.1.1. Vai trò của bài tập Toán học

Theo Nguyên Bá Kim (2013) [2]: Bài tập Toán học có vai trò quan trọng

trong môn Toán. Thông qua việc giải bài tập Toán học, HS phải thực hiện một

số hoạt động như: nhận dạng, thể hiện khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc -

phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những

hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học. Do hoạt động của HS có quan hệ

mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học nên vai trò của bài

tập Toán học được thể hiện trên ba mặt:

- Về mặt mục tiêu dạy học: Bài tập Toán học luôn hướng đến việc thực

hiện mục đích dạy học môn Toán như:

+ Hình thành và củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai

đoạn khác nhau của quá trình dạy học cho HS;

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình

thành các phẩm chất trí tuệ cho HS;

+ Hình thành và bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như

những phẩm chất đạo đức của người lao động mới cho HS.

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập Toán học là một phương tiện để cài

đặt những nội dung bài học dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ

sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết.

- Về mặt Phương pháp dạy học: Bài tập Toán học là giá mang hoạt động

để HS kiến tạo những nội dung kiến thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện

các mục đích dạy học khác cho HS. Việc GV khai thác tốt bài tập như vậy sẽ

góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.

Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán học được sử dụng với những dụng

ý khác nhau. Bài tập toán với tư cách là một phương pháp dạy học, giữ một vị

trí đặc biệt quan trọng trong việc hoàn thành nhiệm vụ dạy học Toán ở trường

phổ thông. Việc giải bài tập Toán học có những tác dụng sau:

- Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hoá kiến thức một cách sinh động.

Khi giải quyết bài toán, HS phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải đào sâu

một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy động nhiều kiến

thức để giải quyết được bài tập. Những thao tác tư duy đó góp phần củng cố

khắc sâu và mở rộng kiến thức cho HS;

- Một trong những phương tiện tốt để phát triển năng lực tư duy, khả năng

sáng tạo cho HS, bồi dưỡng cho HS một phương pháp nghiên cứu khoa học bởi

giải bài tập toán là một hình thức làm việc tự lực của HS. Trong khi giải bài tập

toán, HS phải phân tích, lập luận... từ đó tư duy logic, tư duy sáng tạo của HS

được phát triển và năng lực của HS được nâng cao;

- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực

tế, đời sống... từ đó có tác dụng giáo dục cho HS về phẩm chất đạo đức, rèn

luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục khó khăn,

tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán nói riêng và

học tập nói chung;

- Đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán

và trình độ phát triển của HS.

Qua những điều nói trên, bài tập Toán học có những tác dụng to lớn không

những về mặt giáo dục mà còn cả mặt giáo dưỡng. Vì thế, trong giải bài tập

Toán học, mục đích cuối cùng không chỉ là giúp HS tìm ra đáp số của bài toán

mà còn giúp HS nắm vững cách giải bài toán, nắm vững được các kiến thức đã

học, đồng thời rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận dụng một cách

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

nhuần nhuyễn, linh hoạt sáng tạo trong công việc.

1.1.2. Chức năng của bài tập Toán học

Theo Nguyên Bá Kim (2013) [2]: Ở trường phổ thông, dạy học là dạy hoạt

động toán học cho HStrong đó giải toán là hoạt động chủ yếu. Do vậy, dạy bài

tập Toán học có vị trí quan trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích

khác nhau thể hiện ở các chức năng như:

- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

những vấn đề lý thuyết đã học cho HS. HS không những hiểu được sâu sắc hơn

mà còn biết cách vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình

huống cụ thể. Có khi bài tập Toán học là một định lý nhưng vì lý do nào đó

không đưa vào nội dung lý thuyết nên thông qua việc giải bài tập Toán học giúp

HS mở rộng được tầm hiểu biết của mình.

- Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho HS thế giới quan duy

vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao

động mới.

- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho HS,

đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư

duy khoa học.

- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,

đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.

1.2. Sự cần thiết phải phát hiện, khắc phục những sai lầm của học sinh khi

giải toán

Trong dạy học môn Toán ở Trung học phổ thông, đã có nhiều quan điểm

và ý kiến khác nhau về những sai lầm của HS thường mắc phải. Thực tiễn dạy

học cho thấy, chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

nước CHDCND Lào đã quan tâm đến việc phát hiện, cũng như khắc phục

những sai lầm cho HS trong quá trình thực hiện giải bài toán. Tuy nhiên, khả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

năng giải toán của HS vẫn còn có những hạn chế do vẫn còn mắc phải những

sai lầm trong quá trình thực hiện giải toán. Vai trò của bài tập trong quá trình

dạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó chính là lí do tại sao nhiều công trình

nghiên cứu về lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán lại gắn với việc

xây dựng hệ thống các bài tập. Theo [7], bài tập Toán được coi là một trong

những mắt xích chính của quá trình dạy học Toán. Tuy nhiên, nói như vậy

không có nghĩa GV có thể tách rời việc dạy học giải toán cho HS với việc dạy

học các kiến thức Toán học. Vì một khi HS mắc phải những khó khăn, mắc

phải những sai lầm khi giải một bài toán cụ thể nào đó thì cũng đồng nghĩa

việc HS đó chưa hiểu rõ hoặc chưa vận dụng được nội dung lý thuyết đã

học vào quá trình giải bài toán. Do đó, khi thấy HS còn mắc phải những

khó khăn và những sai lầm trong quá trình giải toán thì người GV cần phải

nhấn mạnh lại những điểm cần lưu ý trong quá trình dạy học các kiến thức

Toán học cho HS.

Thực tiễn dạy học môn Toán cho thấy, HS khi giải bài toán thường mắc

phải nhiều dạng sai lầm khác nhau. Từ những sai lầm rất bình thường về tính

toán đến những sai lầm do biến đổi, suy luận... Nhìn nhận một cách khách quan,

những sai lầm này của HS là do chính bản thân mỗi HS, nhưng trong đó cũng

có một phần trách nhiệm không nhỏ thuộc về người GV. Bởi vì, GV chưa quan

tâm đúng mức tới việc giúp HS phát hiện, khắc phục và sửa chữa những sai

lầm trong các giờ học Toán nói chung và giải toán nói riêng... Chính vì điều

này mà HS không những không khắc phục được những sai lầm trong quá trình

giải toán mà còn tiếp tục mắc phải những sai lầm trong quá trình giải toán.

Đa số HS ở trường trung học phổ thông, môn Toán được xem là một trong

những môn học khó và trừu tượng. Nếu GV không nghiên cứu, không lường

trước được những khó khăn và những sai lầm HS thường gặp khi giải toán thì

sau vài lần vấp phải, HS sẽ không còn nhiều hứng thú để học Toán.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Có thể khẳng định rằng, việc GV tìm hiểu, nghiên cứu những sai lầm của

HS trong quá trình giải toán để có thể lựa chọn ra được những cách thức dạy

học thích hợp là việc làm cần thiết đối với người GV. Bởi vì, nếu GV có thể

hình dung tốt, lường trước được những sai lầm mà HS thường mắc phải khi giải

toán thì người GV sẽ có được biện phap để phòng tránh, ngăn ngừa những sai

lầm đó cho HS.

1.3. Một số dạng toán Tích phân

1.3.1. Dạng toán về Nguyên hàm

a) Chứng minh một hàm số là một nguyên hàm của một hàm số

Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng, hàm số là một

nguyên hàm của hàm số .

Lời giải. Ta có

Vậy là một nguyên hàm của hàm số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

b) Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 1.2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

b) a)

Lời giải

a) Ta có

b) Ta có

c) Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Ví dụ 1.3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải

a) Đặt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Do đó, ta có

Vậy ta có

b) Đặt

Khi đó, ta có

Vậy, ta có

d) Tìm nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Ví dụ 1.4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Lời giải

a) Đặt

Ta có

b) Đặt

Ta có

1.3.2. Dạng toán về Tích phân

a) Tính tích phân bằng định nghĩa

Ví dụ 1.5. Tính các tích phân sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Lời giải

a) Ta có

b) Ta có

b) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Ví dụ 1.6. Tính các tích phân sau:

Lời giải

a) Đặt . Do đó, ta có dt= 2xdx.

Đổi cận:

Khi x = 0 thì t = 1,

Khi x = 1 thì t = 2.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Do đó, ta có

b) Đặt t =1 - x thì dt = -dx.

Đổi cận: Khi x =0 thì t=1,

Khi x=1 thì t = 0.

Do đó, ta có

c) Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Ví dụ 1.7. Tính các tích phân sau:

Lời giải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

a) Đặt

Do đó, ta có

b) Đặt:

Do đó, ta có

Xét tích phân

Đặt:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Do đó, ta có

Từ (2) và (1) ta có

d) Tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 1.8. Tính diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của đường cong

trục hoành ox sao cho .

Lời giải. Ta có diện tích của hình cần tìm là:

= 24 (đvdt)

1.3.3. Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng, thể tích vật

tròn xoay

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục

hoành

Ví dụ 1.9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

; ; ;

Lời giải. Gọi S là diện tích hình phẳng cần tính.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Ta có

= 3 (đvdt)

Ví dụ 1.10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

và đường thẳng

(∆)

0 1

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (∆) là:

Hình 1.1

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tính.

Khi đó, ta có

(đvdt)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Ví dụ 1.11. Cho a > 0. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai

đường cong: và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Lời giải

Ta có (C1):

(C2):

Hình 1.2

Ta có, phương trình hoành độ giao điểm giữa đường cong (C2) với nhánh

của đường cong (C1) là:

Gọi S là diện tích phải tìm, ta có:

c) Tính thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 1.12. Cho hình phẳng được giới hạn bởi đường cong (P): y2 = 8x

và đường thẳng x = 2.

a) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng

nói trên.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

b) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung hình phẳng

nói trên.

(P)

-4

Lời giải

Hình 1.3

a) Ta có (P): y2 = 8x. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình

phẳng giới hạn bởi đường cong (P) và đường thẳng x = 2 là:

= 16π (đvtt)

b) Ta có (P):

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên quanh trục tung là:

1.4. Một số dạng sai lầm khi giải toán Tích phân của học sinh

Qua trao đổi với 25 GV dạy toán tại một số trường THPT trong thành

phố Xaybouathong và Trường THPT Phakhong và từ thực tiễn cá nhân dạy học

nội dung Tích phân cho học sinh nước CHDCND Lào, chúng tôi nhận thấy HS

nước CHDCND Lào thường mắc những sai lầm sau khi giải toán Tích phân.

1.4.1. Sai lầm do không hiểu đúng tính chất

Trong quá trình dạy học chủ đề Tích phân cho HS ở trường phổ thông

cho thấy: Có hiện tượng HS thực hiện biến đổi đúng nhưng họ lại hiểu được

đúng bản chất kiến thức. Nhiều công thức thuộc chủ đề Tích phân phát biểu rất

“vần” như “Nguyên hàm của một tổng hai hàm số bằng tổng các nguyên hàm;

nguyên hàm của tích một hằng số với một hàm số bằng tích của hằng số với

nguyên hàm của hàm số”. HS chỉ hiểu kiến thức theo kiểu hành văn chứ không

hiểu được đúng bản chất toán học.

Dấu “=” có nhiều hình thái sử dụng khác nhau như chỉ sự đồng nhất, toàn

đẳng, chỉ sự thay đổi hay chỉ một hành động cần tiến hành nào đó… Trong

trường hợp này, ta nói tới dấu “=” trong nguyên hàm. Vì rất “vần” nên người

HS có thể dễ nhớ được công thức

nhưng ít HS có thể hiểu được đúng bản chất của dấu “=” đó. Trong trường hợp

này, HS có thể nằm vững cú pháp một cách hình thức nhưng không hiểu đúng

được ngữ nghĩa của nó nên HS không hiểu.

Ví dụ 1.13. Tính tích phân

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Lời giải có chưa sai lầm:

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Trong lời giải bài toán trên, HS đã tự

mình “sáng tạo” ra một quy tắc tính nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng

công thức tích phân từng phần. Do đó, lời giải bài toán là chưa chính xác.

Lời giải đúng:

Ví dụ 1.14. Tính tích phân

Lời giải có chưa sai lầm:

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:Trong lời giải bài toán trên, HS đã không

thực hiện chính xác việc xét dấu của biểu thức dưới dấu tích phân. Do đó, lời

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

giải bài toán là chưa chính xác.

Lời giải đúng:

1.4.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa,đính lí tích phân

Ví dụ 1.15. Tính tích phân

Lời giải có chưa sai lầm:

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Do hàm số

không xác định

tại nên lời giải bài toán trên là chưa chính xác.

Lời giải đúng:

Hàm số không xác định tại .

Do đó, hàm số không liên tục trên nên không tồn tại

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tích phân trên .

1.4.3. Sai lầm do khi đổi biến số

Ví dụ 1.16. Tính tích phân

Lời giải có chưa sai lầm:

Đặt

Khi đó, ta có

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Trong lời giải bài toán trên, HS đã thực

hiện đổi biến số nhưng không thực hiện việc đổi cận theo. Do đó, lời giải bài

toán là chưa chính xác.

Lời giải đúng:

Đặt

Đổi cận: và

Khi đó, ta có

1.4.4. Sai lầm do nhớ nhằm công thức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Ví dụ 1.17. Tính tích phân I =

Lời giải có chưa sai lầm:

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Trong lời giải bài toán trên, HS đã nhớ

nhầm công thức giữa công thức tính đạo hàm với công thức tính nguyên hàm.

Do đó, lời giải bài toán trên là chưa chính xác.

Lời giải đúng:

Ví dụ 1.18. Tính tích phân:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Lời giải có chưa sai lầm:

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Trong lời giải bài toán trên, HS đã vận

dụng chưa chính xác công thức tính nguyên hàm của hàm số hợp. HS đã sử

dùng công thức thay vì phải sử dụng công thức

. Do đó, lời giải trên là chưa chính xác.

Lời giải đúng:

Ta có

1.5. Dạy học chủ đề Tích phân lớp 11 cho học sinh nước Cộng hòa dân chủ

nhân dân Lào

1.5.1. Nội dung Tích phân lớp 11 nước Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào

Trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông của nước

CHDCND Lào, chủ đề Tích phân thuộc chương trình lớp 11. Chủ đề Tích phân

là một trong những nội dung chính trong chương trình môn Toán ở lớp 11 của

nước CHDCND Lào. Nội dung chủ đề Tích phân được trình bày trong các bài:

+ Bài 1: Nguyên hàm

+ Bài 2: Một số phương pháp tìm nguyên hàm

+ Bài 3: Tích phân

+ Bài 4: Một số phương pháp tính tích phân

+ Bài 5: Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng

+ Bài 6: Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể

Theo phân phối chương trình của nước CHDCND Lào, nội dung chủ đề

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Tích phân ở lớp 11 được giảng dạy trong 18 tiết. Cụ thể như sau:

- Nội dung Nguyên hàm được trình bày trong 5 tiết (Nguyên hàm (2 tiết),

một số phương pháp tìm nguyên hàm (2 tiết) và luyện tập (1 tiết)) với những

nội dung chính là: Định nghĩa nguyên hàm của hàm số xác định trên K

(với K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó); Định lí: hai

nguyên hàm của cùng một hàm số chỉ khác nhau một hằng số C, từ đó đưa ra

kí hiệu họ các nguyên hàm của hàm trên K; Bảng nguyên hàm của một số

hàm số thường gặp và hai tính chất cơ bản của nguyên hàm; Hai phương pháp

tìm nguyên hàm cơ bản là: phương pháp đổi biến số, phương pháp lấy nguyên

hàm từng phần.

- Nội dung Tích phân được trình bày trong 6 tiết (Tích phân (2 tiết), một

số phương pháp tính tích phân (2 tiết) và luyện tập (2 tiết)) với những nội dung

chủ yếu là: Định nghĩa tích phân của hàm số liên tục trên K (với a, b là

hai số bất kì thuộc K); 5 tính chất cơ bản của tích phân; hai phương pháp tính

tích phân cơ bản là: phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần.

- Nội dung Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng (3 tiết)

có nội dung chủ yếu là: Trình bày công thức để tính diện tích S của hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng

; công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm

số , liên tục trên và hai đường thẳng ; công

thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

liên tục trên và hai đường thẳng .

- Nội dung ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể (2 tiết) có nội

dung chủ yếu là: Trình bày công thức tính thể tích của vật thể; công thức tính

thể tích của khối tròn xoay; chứng minh được công thức tính thể tích của khối

chóp cụt, công thức tính thể tích của khối chỏm cầu, công thức tính thể tích

khối nón cụt.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

- 2 tiết còn lại dành cho ôn tập chương và kiểm tra một tiết.

Thông qua những nội dung này, GV cần rèn luyện cho HS kĩ năng: tìm

nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản nhờ sử dụng bảng nguyên

hàm của một số hàm số thường gặp, phương pháp đổi biến số và phương pháp

lấy nguyên hàm từng phần; tính tích phân của một số hàm số tương đối đơn

giản nhờ định nghĩa, phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân

từng phần; tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối tròn

xoay nhờ tích phân.

Khi dạy học chủ đề Tích phân, GV cần chú ý:

- Khái niệm Nguyên hàm có liên quan chặt chẽ với khái niệm đạo hàm.

Vì vậy, trước khi nêu định nghĩa nguyên hàm, GV nên cho HS hiểu rõ vấn đề

bằng cách cùng HS giải quyết một số bài toán cụ thể.

- Việc tìm Nguyên hàm các hàm số hữu tỉ tuy không giúp HS củng cố

nhiều về mặt lí thuyết, nhưng nó lại có những tác dụng lớn trong việc rèn luyện

kĩ năng tính toán cho HS. Vì vậy, người GV nên cho HS được làm quen với

việc tìm nguyên hàm của một số hàm số hữu tỉ qua các ví dụ cụ thể.

- Khái niệm Nguyên hàm một mặt có liên quan chặt chẽ với khái niệm

đạo hàm, mặt khác có liên quan với khái niệm tích phân. Vì vậy, khi dạy học

nội dung tìm nguyên hàm, GV cần rèn luyện cho HS kĩ năng vận dụng những

kiến thức về chủ đề đạo hàm và đồng thời chú ý rèn luyện cho HS những kĩ

năng cần thiết để có thể sau này tính Tích phân được tốt.

- GV nên hình thành cho HS khái niệm tích phân bằng con đường quy

nạp. Thông thường, GV chỉ cần xét bài toán tính diện tích một hình thang cong.

Tuy nhiên, nếu có điều kiện, GV cũng nên tạo cơ hội để cho HS biết một số bài

toán khác của hình học, vật lí cũng có thể dẫn đến khái niệm tích phân.

- GV nên chú ý cho HS biết rằng: nếu HS nắm vững được ý nghĩa hình

học của tích phân thì trong một số trường hợp, HS có thể tính các tích phân

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

bằng một phương pháp đơn giản hơn thông thường.

1.5.2. Thực trạng dạy học nội dung Tích phân lớp 11 cho học sinh nước

Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào

Để có được những thông tin cần thiết về việc dạy học nội dung chủ đề

Tích phân lớp 11 cho HS nước CHDCND Lào, chúng tôi đã tiến hành khảo sát

thực trạng việc dạy học nội dung chủ đề Tích phân lớp 11 tại một số trường

THPT trong thành phố Xaybouathong và Trường THPT Phakhong, tỉnh

Khammouane. Qua trao đổi với một số GV toán dạy nội dung chủ đề này và

thăm dò ý kiến của HS lớp 11, chúng tôi nhận thấy:

a) Đối với GV

Chúng tôi đã tiến hành phát phiếu hỏi đối với 25 GV dạy toán tại một số

trường THPT trong thành phố Xaybouathong và Trường THPT Phakhong. Qua

điều tra cho thấy:

Đa số GV cho rằng HS thường hay mắc phải những sai lầm khi giải bài

toán về nội dung tích phân, những sai lầm đó tập trung vào các dạng sau (bảng

1.1):

Bảng 1.1. Những sai lầm của HS khi giải bài toán về chủ đề Tích phân

TT Những sai lầm của HS Ý kiến đồng ý

1 Sai lầm do không hiểu đúng tính chất 75.9%

2 Sai lầm do không vận dụng đúng kiến thức về tích 60.5%

phân

3 Sai lầm do khi đổi biến số 50.3%

4 Sai lầm do nhớ nhầm công thức 45.7%

Qua trao đổi trực tiếp với các GV dạy toán cho thấy: Đa số GV đều có

được nhận thức đúng về tầm quan trọng của nội dung chủ đề Tích phân trong

chương trình môn Toán ở trường phổ thông. Phần lớn GV cho rằng, các kiến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

thức của nội dung Tích phân được trình bày trong sách giáo trình đảm bảo được

tính logic, có mối liên hệ chặt chẽ với nhau do đó rất thuận lợi cho người GV

trong quá trình dạy học.

Bảng 1.2. Mức độ giáo viên sử dụng thời gian để phân tích

những khó khăn và sai lầm của HS

TT Mức độ sử dụng thời gian để phân tích những Kết quả

sai lầm của HS Số lượng %

1 Thường xuyên vì điều đó cần thiết đối với HS 20 80%

2 Thỉnh thoảng phân tích những sai lầm tiêu biểu 18 72%

thường gặp cho HS.

3 Không, vì không có thời gian thực hiện 7 28%

Từ bảng 1.2 và trao đổi với trực tiếp với các GV dạy toán cho thấy, trong

quá trình dạy học, GV đã chú ý quan tâm tới việc hỗ trợ để người HS có thể

thấy được những sai lầm trong quá trình giải toán chủ đề Tích phân. Tuy nhiên,

do chủ đề Tích phân là một nội dung trừu tượng nên người GV còn gặp những

khó khăn nhất định trong việc hình thành năng lực giải toán cho HS. Nội dung

kiến thức về chủ đề Tích phân nhiều trong một tiết dạy nên GV thường gặp khó

khăn trong việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy.

b) Đối với HS

Chúng tôi đã tiến hành phát phiếu phỏng vấn đối với 238 HS: 123 HS

của trường THPT tại thành phố Xaybouathong và 115 HS của trường THPT

Phakhong.

- 95% HS được hỏi cho rằng: nội dung Tích phân là một nội dung mới lạ

nên đã tạo hứng thú học tập, thu hút sự chú ý của HS trong quá trình học tập.

- 90% HS được hỏi cho rằng: Tích phân là nội dung khó nên HS chưa

thật sự hiểu rõ bản chất các khái niệm, các định lí, các quy tắc và các công thức.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Do đó, khi giải toán Tích phân, HS thường hay nhầm lẫn, HS thường gặp phải

những khó khăn trong việc tìm ra phương pháp giải bài tập này vì các bài tập ở

nội dung này thường có nhiều dạng khác nhau. Do đó, người HS còn mắc phải

nhiều sai lầm trong quá trình giải toán chủ đề Tích phân.

Từ kết quả khảo sát đối với GV và HS cho thấy, đa số HS còn mắc phải

sai lầm trong quá trình giải toán. Vì vậy, việc xác định được những sai lầm của

HS khi giải toán về chủ đề tích phân và đề suất được những biện pháp khắc

phục là cần thiết..

1.6. Kết luận chương 1

Chương 1 của luận văn đã nêu lên được sự cần thiết phải giúp HS khắc

phục những sai lầm khi giải toán nói chung và giải toán chủ đề Tích phân nói

riêng. Luận văn đã chỉ ra tầm quan trọng của bài tập toán học và chức năng của

bài tập toán học. Đồng thời luận văn đã điểm qua được những nội dung chính

của chủ đề Tích phân trong chương trình môn Toán lớp 11 ở nước CHDCND

Lào. Ngoài ra, luận văn đã chỉ ra được thực trạng những sai lầm mà HS thường

hay mắc phải trong giải toán chủ đề Tích phân ở lớp 11. Đây chính là những

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tiền đề cần thiết để có thể đề xuất được một số biện pháp sư phạm ở chương 2.

Chương 2

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SỬ PHẠM NHẰM GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp

- Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm phải thể hiện rõ ý tưởng giúp

HS có thể khắc phục được những sai lầm thường hay mắc phải, qua đó góp

phần giúp HS có thể hiểu được những tri thức cần thiết và có thể rèn luyện được

kỹ năng giải toán Tích phân cho HS.

Để khắc phục được một số sai lầm thường gặp cho HS khi giải toán Tích

phân, người GV cần chú trọng rèn luyện kỹ năng giải toán Tích phân lớp 11

cho HS. Đồng thời trong quá trình dạy học, người GV cần cung cấp cho HS

những tri thức về phương pháp để người HS có thể tự mình phát hiện ra được

vấn đề, dự đoán được những kết quả và có thể tìm được hướng giải bài toán,

qua đó giúp HS có thể hiểu được sâu sắc các kiến thức thuộc nội dung Tích

phân lớp 11.

- Định hướng 2: Các biện pháp sư phạm phải đảm bảo được tính khả thi,

có thể thực hiện được trong quá trình dạy học.

Các biện pháp sư phạm phải thể hiện được khả năng thực hiện, áp dụng

được vào trong thực tế dạy học. Trên cơ sở tôn trọng các nội dung trong sách

giáo khoa, trong phân phối chương trình môn toán.

- Định hướng 3: Trong quá trình thực hiện các biện pháp sư phạm, người

GV cần phải quan tâm tới việc tăng cường các hoạt động cho HS, phát huy tối

đa tính tích cực, độc lập của HS.

Các hoạt động cần tăng cường cho HS như: hoạt động nhận dạng, hoạt

động thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, hoạt động trí tuệ... Tính độc lập của HS

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

thể hiện ở khả năng HS tự mình có thể phát hiện ra được vấn đề, tự mình

tìm ra được cách giải quyết, tự mình có thể kiểm tra và hoàn thiện kết quả

đạt được.

- Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm phải được vận dụng trên cơ sở

bám sát chương trình nội dung Tích phân lớp 11 ở trường phổ thông nước

CHDCND Lào.

2.2. Một số biện pháp sư phạm giúp học sinh khắc phục những sai lầm

thường mắc phải trong giải toán Tích phân lớp 11 nước Cộng hòa dân chủ

nhân dân Lào

2.1.1. Biện pháp 1. Củng cố kiến thức “nền” về Tích phân cho học sinh

a) Nội dung và cách thực hiện

- Trong quá trình dạy học chủ đề Tích phân, GV cần lại những kiến thức

“nền” về nội dung Tích phân cho HS bằng nhiều hình thức khác nhau.

- Người GV có thể cho HS làm những bài tâp cơ bản có sử dụng các kiến

thức được nhắc lại về Tích phân: Các dạng bài tập vận dụng bảng Nguyên hàm

cơ bản, sử dụng tích phân từng phần, sử dung phương pháp đổi biến số…

- GV có thể hướng dẫn cho HS làm những bài tập về chủ đề Tích phân ở

các mức độ khác nhau như: thông hiểu, vận dụng bằng nhiều hình thức khác

nhau như thảo luận nhóm hoặc giao cho HS những vấn đề phù hợp để HS có

thể tự tìm hiểu, nghiên cứu.

Một số nội dung GV cần nhắc lại cho HS:

1. Nguyên hàm

 Định nghĩa

Cho hàm f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa

khoảng của R). Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)

= f(x) với mọi .

Trong trường hợp ; F(x) là nguyên hàm f(x) trên đoạn .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

+ là nguyên hàm của f(x) trong (a;b)

 Một số định lý cơ bản

Định lí 1: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên Kthì ta có :

+) F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K (c là hằng số)

+) Nếu G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì:

G(x) = F(x) + C (với C là hằng số)

Đinh lí 2: Một hàm số liên tục K đều có nguyên hàm trên K..

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

 Bảng nguyên hàm cơ bản

 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi từng phần

Định lí: Nếu u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục

Cách giải: Tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Đặt

 Các dạng cơ bản: Cho P(x) là một đa thức

TT Dạng tích phân Cách đặt

1. Dạng 1. Đặt:

2. Dạng 2. Đặt:

3. Dạng 3. Đặt:

4. Dạng 4. Đặt:

2. Tích phân

 Định nghĩa.

(công thức Niuton-Laipnit)

Tên gọi: đọc là: “Tích phân từ a đến b của ” a và b gọi

là hai tích phân, trong đó a là cận dưới , b là cận trên.

 Tính chất

(1)

(2)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

(3)

(4)

(5)

(6) trên

(7) trên

(8 trên

(9) t biến thiên trên là một nguyên hàm của

và .

 Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp 1: Tính tích phân bằng định nghĩa

Dùng bảng nguyên hàm và áp dụng định nghĩa:

trong đó một nguyên hàm của .

Cách phân tích: dung biến đổi đại số như lũy thừa, các hằng dẳng thức,

các công thức, lượng giác….

Phương pháp 2: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất của tích

phân

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Giả sử hàm f,g liên tục k; a,b,c là ba số bất kì thuộc thì

Phương pháp 3: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

Định lí: Nếu u(x) có đạo hàm liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên

hàm của f(x) trên [a, b] thì .

Phương pháp 4. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng

phần

Định lý: Nếu u(x) và v(x) có đạo hàm và liên tục trên [a;b] thì

Cách giải: Tính

Đặt

Suy ra

3. Ứng dụng của tích phân

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Cho f(x) liên tục và không âm trên [𝑎; 𝑏], khi

đó là diện tích hình phẳng gi0wis hạn

s

Hình 2.1

bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

đường thẳng

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Cho liên tục và có dấu thay đổi

trên , khi đó là tổng diện S1

tích các phần phía trên trục hoành trừ đi

S2

Hình 2.2

tổng diện tích các phần nằm phía dưới trục

hoành của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai

đường thẳng .

b) Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1. Tính

GV có thể hướng dẫn để HS có thể giải ví dụ trên như sau:

GV: Chúng ta nhận thấy hàm số dưới dấu tích phân có đặc điểm gì?

HS: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỉ có bậc ở tử cao hơn bậc

ở mẫu.

GV: Trong trường hợp này, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân

như thế nào

HS: Thực hiện phép chia tử số cho mẫu số

GV: Một em hãy thực hiện phép chia tử số cho mẫu số

HS:

GV: Như vậy, khi đó tích phân cần tính có dạng

GV: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng tổng, hiệu của các hàm số.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Vậy để tính tích phân trên ta làm thế nào?

HS: Ta có thể áp dụng công thức

GV: Một em hãy áp dụng tính chất và phân tích tích phân trên thành tổng,

hiểu các tích phân đơn giản

HS:

GV: Như vậy, tích phân trên đã phân tích thành 3 tích phân đơn giản.

Vậy để tính các tích phân trên ta có thể áp dụng những công thức nào?

HS: Ta có thể áp dụng các công thức sau để tính tích phân

(1)

(2)

(3)

(4)

GV: Một em hãy vận dung các công thức trên để tính các tích phân đó

HS:

Ví dụ 2.2 Tính tích phân

GV có thể hướng dẫn để HS có thể giải ví dụ trên như sau:

GV: Các em nhận thấy hàm số dưới dấu tích phân có đặc điểm gì?

HS: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỉ có bậc ở tử cao hơn bậc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

ở mẫu.

GV: Trong trường hợp này, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân

như thế nào

HS: Thực hiện phép chia tử số cho mẫu số

GV: Một em hãy thực hiện phép chia tử số cho mẫu số

HS: Ta có:

GV: Như vậy, khi đó tích phân cần tính có dạng

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng tổng, hiệu của các hàm số. Vậy để

tính tích phân trên ta làm thế nào?

HS: Ta có thể áp dụng công thức

GV: Một em hãy áp dụng tính chất và phân tích tích phân trên thành tổng,

hiểu các tích phân đơn giản

HS:

GV: Như vậy, tích phân trên đã phân tích thành 3 tích phân đơn giản.

Vậy để tính các tích phân trên ta có thể áp dụng những công thức nào?

HS: Ta có thể áp dụng các công thức sau để tính tích phân

(1)

(2)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

(3)

(4)

(5)

GV: Một em hãy vận dung các công thức trên để tính các tích phân đó

HS:

Ví dụ 2.3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

và y = 0, trục hoành

GV có thể hướng dẫn HS tính diện tích hình phẳng trên như sau:

GV: Các em nhận thấy hình phẳng giới hạn bởi đồ thị có đặc

điểm gì?

HS: Hàm số là Parabol

GV: Trong trường hợp này các em phải tính diện tích hình phẳng thể

nào? Ta có thể áp dụng công thức để tính diện tích hình phẳng này là gì?

HS: thì

Phương trình

GV: Vậy để tính diện tích trên làm thể nào

HS: Ta có thể áp dụng công thức tích phân

GV: Một em hãy áp dụng tính chất và phân tích tích phân trên thành tổng,

hiểu các tích phân đơn giản.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

HS:

GV: Như vậy, tích phân trên đã phân tích thành 4 tích phân đơn giản.

Vậy để tính các tích phân trên ta có thể áp dụng những công thức nào?

(1)

(2)

(3)

GV: Một em hãy vận dung các công thức trên để tính diện tích đó

(đvdt)

2.2.2. Biện pháp 2. Khắc phục những sai lầm thường mắc phải cho học sinh

thông qua phân tích các bài toán có chứa sai lầm

a) Nội dung và cách thực hiện

Biện pháp này nhằm giúp HS nước CHDCND Lào có thể thấy được

những sai lầm thường hay mắc phải khi giải toán chủ đề Tích phân, nguyên

nhân của các sai lầm đó là gì để từ đó có thể hạn chế và khắc phục được

những sai lầm mà HS thường xuyên mắc phải trong giải dạng toán về Tích

phân.

Để làm được điều này, người GV phải dự đoán được những sai lầm

mà HS có thể mắc phải khi giải toán chủ đề Tích phân, phân tích để giúp

HS có thể thấy được những nguyên nhân của các sai lầm đó. Từ đó, HS có

thể biết cách khắc phục được những sai lầm mà bản thân HS thường hay

mắc phải.

Trong dạy học giải bài tập toán, người GV cần thường xuyên chú ý tới

các dạng hoạt động nhằm làm cho HS có thể chủ động hiểu được các kiến thức,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

như: hoạt động nhận dạng, hoạt động thể hiện, hoạt động toán học phức hợp,

hoạt động trí tuệ và hoạt động ngôn ngữ. Thông qua những hoạt động này,

người HS mới bộc lộ được những sai lầm để từ đó GV có thể dự đoán, phòng

tránh và sửa chữa sai lầm.

Việc xác định được hướng giải cho bài toán có liên hệ mật thiết tới việc

lựa chọn được phương pháp để giải toán. Một bài toán mà không tìm ra được

phương pháp giải phù hợp thì HS có thể sẽ đưa đến các sai lầm như: Sai lầm

do điều kiện, sai lầm do biện luận không hết các trường hợp, sai lầm do không

theo trình tự lôgic, không có cách giải tối ưu...

b) Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.4. Tính tích phân

Một HS giải như sau:

Ta có

GV: Các em hãy nhận xét lời giải bài toán trên đã đúng chưa.

HS: Trong lời giải bài toán trên là chưa chính xác do trong lời giải bài

toán trên HS đã sử dụng phép biến đổi không tương đương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

với .

GV: Một em hãy trình bày lại lời giải bài toán trên.

HS: Lời giải đúng:

Ta có

Ví dụ 2.5. Tính tích phân

Một HS giải như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Đặt thì ;

GV: Các em hãy nhận xét lời giải bài toán trên đã đúng chưa.

HS: Lời giải bài toán trên là chưa chính xác do trong bài toán trên

không xác định nên hàm số dưới dấu tích phân trên không tồn tại.

GV: Một em hãy trình bày lại lời giải bài toán trên.

HS: Lời giải đúng:

Ví dụ 2.6. Tính tích phân

Một HS giải như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Đặt

Khi đó, ta có

GV: Các em hãy nhận xét lời giải bài toán trên đã đúng chưa.

HS: Lời giải bài toán trên là chưa chính xác do HS đã sử dụng không

chính xác công thức tích phân từng phần.

GV: Một em hãy trình bày lại lời giải bài toán trên.

HS: Lời giải đúng:

Đặt

Khi đó, ta có

Ví dụ 2.7. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Một HS giải như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Gọi S là diện tích hình thang cong. Khi đó, ta có:

GV: Các em hãy nhận xét lời giải bài toán trên đã đúng chưa.

HS: Lời giải bài toán trên là chưa chính xác do HS đã sử dụng không

chính xác công thức tính diện tích của một đường cong.

GV: Một em hãy trình bày lại lời giải bài toán trên.

HS: Quan sát hình vẽ ta thấy: Trong khoảng x = -1 đến x = 2 sẽ thấy

f(x) > 0, đó là đường cong f(x) ở trên trục Ox. Như vậy, ta có thể tìm diện tích

được như sau:

Hình 2.3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Ta có

Từ đó, GV tổng quát hóa cho HS quy tắc tính diện tích của hình giới hạn

bởi đồ thị các hàm số bằng cách sử dụng tích phân xác định.

2.2.3. Biện pháp 3. Phân dạng các dạng bài tập toán và phương pháp giải

từng dạng bài tập toán cho học sinh

a) Nội dung và cách thực hiện

Biện pháp sư phạm này nhằm giúp HS nước CHDCND Lào có thể nắm

được phương pháp giải đối với dạng toán thuộc chủ đề Tích phân. Thông qua

việc phân dạng các bài tập thuộc chủ đề Tích phân, HS sẽ trau dồi được các kỹ

năng cơ bản để giải một bài toán, qua đó giúp HS củng cố được các kiến thức

cho bản thân HS.

Việc phân dạng được các dạng toán và phương pháp giải cho từng dạng

toán thuộc chủ đề Tích phân sẽ góp phần hạn chế được những sai lầm mà HS

thường mắc phải, giúp HS có thể tự tin, chủ động hơn trong quá trình giải toán.

Trong mục 1.3, chúng tôi đã phân dạng một số dạng bài tập toán về Tích phân

là:

1) Dạng toán về Nguyên hàm: Chứng minh một hàm số là một nguyên

hàm của một hàm số; Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên

hàm cơ bản; Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số; Tìm nguyên hàm

bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

2) Dạng toán về Tích phân: Tính tích phân bằng định nghĩa; Tính tích

phân bằng phương pháp đổi biến số; Tính tích phân bằng phương pháp tích

phân từng phần; Tính diện tích hình phẳng.

3) Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng, thể tích vật

tròn xoay: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục

hoành; Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong; Tính thể tích

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

khối tròn xoay.

Để thực hiện được biện pháp này, ban đầu người GV có thể đưa ra một

số bài tập của cùng dạng toán và yêu cầu HS giải các bài toán đó. Đối với từng

bài toán cụ thể, người GV nên giúp để HS có thể phân tích chỉ ra được những

đặc điểm đặc trưng của dạng toán này.

Tiếp theo, GV có thể tổ chức để HS thảo luận và có thể rút ra được

phương pháp giải cho dạng toán này. Sau đó GV chính xác hóa lại phương pháp

cho dạng toán và nêu những chú ý cần thiết khi vận dụng.

Cuối cùng, GV tiếp tục yêu cầu HS làm một số bài tập tương tự nhằm

giúp HS có thể rèn luyện, củng cố kỹ năng giải toán.

a) Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.8: Tính

GV: Xác định hàm số dưới dấu tích phân và đoạn lấy tích phân.

HS: Hàm số dưới dấu tích phân là f(x) = x.sinx và đoạn lấy tích phân là

[0; ].

GV: Cho biết hàm số f(x)= x.sinx như thế nào trên đoạn [0; ].

HS: Hàm số f(x) = x.sinx xác định và liên tục trên đoạn [0; ].

GV: Với bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp nào để giải bài

toán.

HS: Ta có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần để giải bài toán.

GV: Một em hãy nhắc lại công thức tính tích phân từng phần.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

HS: Ta có

GV: Trong bài toán này để sử dụng phương pháp tích phân từng phần, ta

đặt gì là u(x) và v(x) được tính như thế nào.

HS: Đặt u = x khi đó ta có .

GV:Khi đó được tính thế nào.

HS: Ta có

GV: Một em hãy hoàn chỉnh nốt lời giải bài toán

HS:

Đặt u = x và , ta có và .

Do đó, ta có

= 1.

GV: Qua ví dụ trên, một lần nữa các em thấy được:

- Công thức tính tích phân từng phần cho phép việc tính

phức tạp bằng một tích phân đơn giản hơn.

- Phương pháp tính tích phân từng phần thường được áp dụng khi hàm

số nằm dưới dấu tích phân có dạng một tích.

- Khi tích tích phân, người ta thường chọn hàm số phức tạp đặt bằng u(x)

và phần còn lại đặt là v’(x)dx. Chẳng hạn, như nếu u(x) là một đa thức p(x) và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

v(x) là một trong các hàm ex, ax, sinx, cosx thì ta đặt u(x) = p(x).

Tiếp đó,GV cho HS làm một số bài tập tương tự để HS nắm vững được

cách làm:

Bài toán. Tính các tích phân sau:

a) I =

b) J =

Lời giải.

a) Đặt và , ta có và .

Do đó, ta có

b) Đặt và , ta có và .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Do đó, ta có

Xét

Đặt và , ta có và .

Do đó, ta có

Vậy, ta có J = 2 – 4.

Ví dụ 2.9: Tính tích phân

GV: Xác định hàm số dưới dấu tích phân và đoạn lấy tích phân.

HS: Hàm số dưới dấu tích phân là và đoạn lấy tích phân là

[1; 2].

GV: Cho biết hàm số như thế nào trên đoạn [1; 2].

HS: Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1; 2].

GV: Bài toán này, ta có thể giải bài toán bằng cách nào.

HS: Ta có thể biến đổi biểu thức thành tổng hoặc hiệu của

các biểu thức tối giản, sau đó áp dụng các phép toán về tích phân để biến đổi

tích phân thành tổng hoặc hiệu của các tích phân đơn gian.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

GV: Một em hãy phân tích và tính tích phân.

HS: Ta có

Do đó, ta có

GV: Một em hãy hoàn chỉnh tiếp lời giải bài toán

HS:

GV: Qua ví dụ trên, một lần nữa các em thấy được: với tích phân

trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức không căn, ta có phương pháp

giải như sau:

- Nếu bậc của tử số P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số Q(x) thì ta

thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x).

- Nếu bậc của tử số P(x) nhỏ hơn bậc của mẫu số Q(x) thì ta cần xem xét

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

mẫu số:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để

đưa về dạng tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường

gặp:



 với



+ Trường hợp cho phân thức đại số phải thực hiện điều kiện

như vậy:

1. Nếu và Q(x) có căn bậc n thì

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

2. Nếu trường hợp này ta viết:

+ Nếu mẫu số không phân tích được thành tích (vô nghiệm) thì ta viết,

khi đó, đặt u=ktant, đưa về tích phân lượng giác

Tiếp đó, GV cho HS làm bài tập tương tự để nắm rõ được cách làm:

Bài toán. Tính các tích phân sau:

Lời giải.

a) Ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

b) Ta có

Ví dụ 2.10. Tính diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của đường cong

, trục hoành và các đường thẳng x = 1 và x = 2.

GV: Xác định hình dạng hàm số trên đoạn [1; 2].

HS: Đồ thị hàm số trên đoạn [1; 2] là một phần của đồ

thị hàm số .

GV: Hãy cho biết hình dạng của hình cần tính diện tích được giới hạn

bởi đồ thị của đường cong , trục hoành và các đường thẳng x=1

và x = 2.

HS: Phần hình cần tính diện tích được giới hạn bởi các đường cong

, trục hoành và các đường thẳng x = 1 và x = 2 và nằm hoàn toàn

1 2

dưới trục hoành.

Hình 2.4

GV: Để tính diện tích của bài toán trên ta áp dụng công thức nào?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

HS:

GV: Một em hãy tính tích phân trên.

HS:

GV: Để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y =

f(x) trục hoành và các đường thẳng x = a và x = b (a < b), ta tiến hành theo các

bước sau:

Bước 1: Xét dấu của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2: Dựa vào dấu của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] để phá dấu giá trị

tuyệt đối của hàm số f(x) dưới dấu tích phân.

Bước 3: Tích tích phân

Tiếp đó, GV cho HS làm bài tập tương tự để nắm rõ được cách làm:

Bài toán 1. Tính diện tích hình phẳn giới hạn bởi các đường :

và

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (P): và (d) :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

là

-1

Hình 2.5

Gọi A là diện tích phải tìm ta có:

(đvdt)

Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị đường cong

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Hình 2.6

Lời giải. Giả sử A là diện tích hình giới hạn của đường cong

trục hoành [-1;2]

Ta nhận xét hình phẳng trên có thể viết được :

+ Khi f(x) nằm trên trục hoành 0x.

+ Khi f(x) nằm dưới trục hoành 0y

Như vậy, (*)

Tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Thay vào (*) (đvdt)

2.2.4. Biện pháp 4. Tổ chức cho học sinh phát hiện thực hành quy tắc thuật

giải và tựa thuật giải

Mục đích của biện pháp này nhằm giúp cho HS có thể phát triển được

những thao tác trí tuệ (trừu tượng hóa, khái quát hóa, phân tích, tổng hợp, so

sánh...) cũng như những phẩm chất trí tuệ (sáng tạo, độc lập) cho bản thân. Việc

rèn luyện những kỹ năng giải toán chủ đề Tích phân cho HS nước CHDCND Lào

thông qua hoạt động giải những bài toán có tính chất thuật giải và tựa thuật giải sẽ

giúp cho người HS có thể củng cố lại được những kiến thức, rèn luyện được những

kỹ năng giải toán trước đó và mới hình thành cho bản thân.

Thuật giải được hiểu là một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được

một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến

đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của bài

toán đó [2].

Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như là một dãy những chỉ dẫn thực hiện

theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán

thành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó [2].

Để phân biệt quy tắc tựa thuật giải với thuật giải, chúng ta có thể căn cứ

vào một số đặc điểm như:

- Mỗi chỉ dẫn trong một quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách

xác định;

- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị;

- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn sau một số hữu hạn bước có thể đem

lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.

Do tư duy nói chung và tư duy thuật giải nói riêng chỉ có thể được hình

thành, phát triển trong hoạt động nên GV cần tổ chức cho HS thực hiện các

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

hoạt động như: thực hiện những thuật giải đã biết; phân tách các hoạt động...

Trong chủ đề Tích phân phần lớn các bài toán đều tiềm ẩn có thuật giải.

Do đó, người GV cần tổ chức cho HS phát hiện và hình thành các thuật giải,

quy tắc tựa thuật giải đó, đó chính là cơ hội để HS có cơ hội rèn luyện kỹ năng

giải Tích phân cho bản thân.

Dưới đây là một số hoạt động nhằm giúp HS phát hiện, thực hành quy tắc

thuật giải và tựa thuật giải với mục đích khắc phục, sửa chữa những sai lầm

thường mắc phải khi giải toán Tích phân cho HS.

1) Hoạt động phát hiện, thực hành quy tắc thuật giải, tựa thuật giải các

bài toán Tích phân.

Ví dụ 2.11: Tính tích phân

GV: Để tính tích phân ta có thể tính bằng cách nào.

HS: Với bài toán trên, ta có thể tính bằng phương pháp tích phân từng

phần.

GV: Một em hãy nhắc lại quy tắc để tính tích phân từng phần?

HS: Bước 1: Xác định u(x) và v’(x)dx

Bước 2. Tính và u’(x)

Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần để tính

GV: Một em hãy vận dụng các bước trên để tính tích phân

HS: Đặt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Khi đó, ta có

Vậy, ta có I = 2e.

Như vậy, HS đã có thể phát hiện ra được quy tắc thuật giải đối với dạng

toán tính Tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần. Do vậy, GV có thể

cho HS rèn luyện kí năng giải toán thông qua một số bài tập khác tương tự.

Ví dụ 2.12. Tính tích phân

GV: Bài toán trên các em sẽ tính tích phân bằng phương pháp nào.

HS: Để tính bài toán trên ta sẽ tính bằng phương pháp đổi biến số

GV: Em nào có thể giải bài toán nay được mời lên bảng để tính chính xác

HS:

Bước 1: Đặt

Bước 2: Đổi cận của tích phân

Bước 3: Áp dụng công thức của tích phân

GV: Em hãy phải tích theo các bước trên các bước trên đó

HS:

Đặt:

Đổi cận: Khi x = 0 thì u = 1

Khi x = 1 thì u = 2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Do đó, ta có

Như này, HS đã có thể phát hiện ra được quy tắc thuật giải với cách tính

tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Từ đó, GV có thể cho HS rèn luyện

kỹ năng giải toán bằng cách làm một số bài toán khác tương tự.

Ví dụ 2.13. Tính tích phân của hàm số trên đoạn

GV: Bài toán trên các em sẽ tính bằng phương pháp nào.

HS: Em thấy là bài toán trên tính bằng cách sử dụng các Nguyên hàm cơ

bản.

GV: Ai có thể nêu cách giải bài toán trên?

HS:

Bước 1: Xác định tích phân trên

Bước 2: Tính nguyên hàm y = x và .

Bước 3: Áp dụng công thức cơ bản để tính tích phân trên

GV: Dựa theo các bước vừa nói trên, một em hãy tính tích phân trên

HS:

Ta có

Với ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Với ta có

Do đó, ta có:

Như này, HS đã có thể phát hiện ra được quy tắc thuật giải với cách tính

tích phân bằng phương pháp sử dụng bảng các Nguyên hàm cơ bản. Do vậy,

GV có thể cho HS rèn luyện kỹ năng giải toán bằng cách làm một số bài toán

khác tương tự.

2) Hoạt động phát hiện, thực hành quy tắc thuật giải, tựa thuật sau khi

học xong một định nghĩa, định lý.

Sau khi học xong định lí về Nguyên hàm, Tích phân: GV có thể cho

thêm một ví dụ minh họa để giúp HS nhận dạng và thể hiện khái niệm Nguyên

hàm, Tích phân như sau:

Ví dụ 2.14: Chứng minh rằng hàm số

là một nguyên hàm của hàm số:

trên

HS có thể nhận biết được ngay và có đạo hàm là hàm số f(x)

thì tồn tại hằng số C.

Bước 1: GV đưa ra định nghĩa nguyên hàm:

Cho hàm số f xác định trên I. Hàm số F được gọi là nguyên hàmcủa f

trên I nếu với mọi x thuộc I.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Nếu , các đẳng thức được hiểu là:

Cho hàm số f(x) và F(x) liên tục trên . Nếu F(x) là nguyên hàm của

f(x) trên và , do đó F(x) cũng là nguyên hàm

của hàm số f(x) trên .

Bước 2: HS phát hiện ra đặc điểm: Hàm số đứng sau là đạo hàm của hàm

số đứng trước, GV có thể giới thiệu tiếp là hàm số đứng trước được gọi là

nguyên hàm của hàm số đứng sau.

Đây là bài toán chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x),

như vậy trong bài toán thể hiện nội dung định nghĩa Nguyên hàm đó là

với mọi x thuộc . Tuy nhiên, trong bài toán này ta thấy xuất

hiện điểm x = 0 mà HS phải dự đoán xem điểm đó có tồn tại đạo hàm đó hay

không tồn tại đạo hàm?

GV hướng dẫn HS đưa ra nhận xét như:

- Với , ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

- Với , ta có:

Suy ra, ta có hay có nghĩa là hàm số F(x)

có đạo hàm tại điểm x = 0 hay ta có

Như vậy, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên .

2.3. Kết luận chương 2

Chương 2 chúng tôi đã đề xuất được 04 định hướng để xây dựng các biện

pháp sư phạm và 04 biện pháp sư phạm đó là: Củng cố kiến thức “nền” về Tích

phân cho HS; Khắc phục những sai lầm thường mắc phải cho HS thông qua

phân tích các bài toán có chứa sai lầm; Phân dạng các dạng bài tập toán và

phương pháp giải từng dạng bài tập toán cho HS; Tổ chức cho HS phát hiện

thực hành quy tắc thuật giải, tựa thuật giải;

Các biện pháp này nhằm góp một phần nhỏ vào việc khắc phục, sửa chữa

những sai lầm mà HS nước CHDCND Lào thường mắc phải trong quá trình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

học tập nội dung Tích phân lớp 11.

Chương 3

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm

Mục đích thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả

thi cũng như tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã được đề xuất ở Chương

2 nhằm khắc phục những sai lầm và sửa chữa những sai lầm mà HS thường

mắc phải khi giải toán Tích phân lớp 11 ở nước CHDCND Lào.

3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm

Căn cứ vào phân phối chương trình môn Toán của nước CHDCND Lào,

quá trình thử nghiệm sư phạm được thực hiện linh hoạt trong quá trình dạy học

một số tiết, cụ thể như sau:

Tiết Tên bài dạy Mục đích, yêu cầu

1 Luyện tập về Nhắc lại kiến thức về định nghĩa, công thức cơ bản

tìm tích phân của tích phân, biết áp dụng để tính tích phân bằng định

dựa vào bảng nghĩa và công thức từng dạng cơ bản. Qua đó nhằm

nguyên hàm cơ giúp HS phát triển năng lực đã có phân tích và giải

bản các bài toán về tích phân theo từng trường hợp, từng

dạng cơ bản. 2 Luyện tập về

tìm tích phân - Hiểu công thức bằng phương

pháp đối biến - Biết cách chọn biểu thức phù hợp cho biến mới; thực

số hiện thành thạo các phép tính đạo hàm hay phép vi phân,

xác định được mối liên hệ giữa biến mới và biến cũ

3 Luyện tập về Để làm cho HS nắm được định nghĩa, cách tính tích

tìm nguyên phân và áp dụng nó trong giải bài toán. Tập trung vào

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

hàm từng phân việc giải bài toán về tích phân. Qua đó giúp HSphát

Tiết Tên bài dạy Mục đích, yêu cầu

4 Ôn tập bài 5 và triển kỹ năng nhìn nhận bài toán nhiều góc độ khác

giới thiệu một nhau, HSphải có tư duy linh hoạt khi giải toán, không

số cách giải bài phải bài toán nào cũng có thể áp dụng các phương

tập pháp.

- Vận dụng thành thạo công thức

- Rèn luyện cho HS kĩ năng xác định u và v

Tổng số tiết thực nghiệm sư phạm: 4 tiết. Thời gian thực nghiệm sư

phạm được tiến hành từ ngày 17/12/2018 đến ngày 24/01/2019 tại trường

THPT Phakhong, huyện Xaybouathong, tỉnh Khammouane nước CHDCND

Lào.

3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm

Căn cứ vào số lượng HS trong mỗi lớp cũng như kết quả khảo sát chất

lượng học tập môn toán của HS trong mỗi lớp của khối 11 trường THPT

Xaybouathong, chúng tôi nhận thấy: Lớp 11A (60 HS) và Lớp 11B (58 HS) có

số lượng HS gần bằng nhau, trình độ nhận thức, kết quả học tập môn toán khi

khảo sát là tương đương nhau (xem bảng 3.1)

Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng học tập môn Toán

(Thực hiện tháng 11 năm 2018)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Điểm kiểm tra xi

Số HS đạt điểm xi của 2 1 4 9 18 17 5 2 2 6,21 lớp thực nghiệm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Số HS đạt điểm xi của 1 2 1 11 13 19 6 4 1 6,41 lớp đối chứng

Do đó, chúng tôi lựa chọn lớp 11A (60 HS) là lớp thực nghiệm sư phạm

và lớp 11B (58 HS) là lớp đối chứng.

- GV dạy lớp thực nghiệm sư phạm do thầy giáo Bounlouane đảm nhiệm

và được dạy theo hướng áp dụng các biện pháp sư phạm đã đề xuất.

- GV dạy lớp đối chứng do thầy giáo ThongSa đảm nhiệm và được dạy

học theo phương pháp truyền thống.

3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm

Sau khi tổ chức thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thu được một số kết

quả và tiến hành phân tích trên hai mặt: Đánh giá định tính và đánh giá định

lượng.

3.4.1. Phân tích định lượng

a) Đề kiểm tra

Sau khi tiến hành xong đợt thực nghiệm sư phạm, chúng tôi đã tổ chức

cho HS hai lớp 11A và 11B cùng làm chung một bài kiểm tra trong thời gian

60 phút để đánh giá kết quả đầu ra.

Để kiểm tra 60 phút:

Câu 1: Tìm các nguyên hàm sau:

Câu 2: Tính các tích phân sau:

a) .

b) .

Câu 3: Tính diện tích giới hạn bởi đường cong , trục hoành và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

các đường thẳng có phương trình x = -3, x = 3.

Đáp án:

Câu/Ý Nội dung Điểm

3.0 1.

1.5 a)

1.5 b)

4.0 2.

2.0 a)

b) Ta đặt

Đổi cận: khi x = 0 thì u = 1

khi x = 2 thì u = 11 2.0

Do đó

3.0 3.

- Xác định A là diện tích giới hạn đường cong

- Từ phương trình trên trục hoành Ox

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

và

Những dụng ý sư phạm về đề kiểm tra

Câu 1. Với mức độ cơ bản dành cho đối tượng chung toàn lớp (HS trung

bình): HS có thể nhận biết để áp dụng được bảng các công thức về nguyên hàm

cơ bản để giải bài toán.

Câu 2. Với mức độ vận dụng thấp dành cho đối tượng HS khá: Với các

bài tập này, HS phải biết sử dụng kết hợp các tính chất của nguyên hàm, tích

phân, nhận biết được cách biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân để có thể

tính tích phân.

Câu 3. Với mức độ vận dụng cao dành cho đối tượng HS giỏi: HS phải

biết đánh giá được sự kết hợp của nguyên hàm, tích phân và các kiến thức về

ứng dụng tích phân để có thể giải bài toán.

b) Kết quả kiểm tra

Bảng 3.2. Bảng phân bổ tần số kết quả kiểm tra 60 phút của HS

hai lớp11A và 11B trường THPT Xaybouathong

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Điểm kiểm tra xi

1 4 11 22 7 6 4 5 6,48 Số HS đạt điểm xi của lớp thực nghiệm

1 2 2 19 21 7 2 3 1 5,84 Số HS đạt điểm xi của lớp đối chứng

Từ các kết quả trong bảng 3.2 ta có nhận xét sau: Lớp thực nghiệm sư

phạm có 55/60 HS đạt điểm trung bình trở lên (chiếm 91,66%), có 22/60 HS

đạt loại khá, giỏi (chiếm 36,66%). Lớp đối chứng có 53/58 HS đạt điểm trung

bình trở lên (chiếm 91,37%), có 13/58 HS đạt loại khá, giỏi (chiếm 22,41%).

Điểm trung bình chung học tập của lớp thực nghiệm sư phạm cao hơn lớp đối

chứng. Số HS có điểm dưới điểm trung bình của lớp thực nghiệm sư phạm thấp

hơn lớp đối chứng và số HS có điểm khá, giỏi của lớp thực nghiệm sư phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

cao hơn lớp đối chứng.

3.4.2. Phân tích định tính

Quá trình thực nghiệm sư phạm cho thấy, HS đã có sự chuyển biến trong

hoạt động học tập của mình, đặc biệt là các kỹ năng nghe giảng, ghi chép, thảo

luận, đặt câu hỏi, tự đánh giá... Kết quả thực nghiệm cho thấy, HS đã bước đầu

rèn luyện cho bản thân tói quen tự học, HS có kỹ năng giải quyết các vấn đề

đặt ra, chủ động hơn trong việc lĩnh hội kiến thức mới. Chúng tôi nhận thấy lớp

thực nghiệm sư phạm có chuyển biến tích cực hơn so với trước thực nghiệm:

- HS có hứng thú trong giờ học là do trong quá trình học tập, HS được

GV hệ thống, phân tích những kiến thức cơ bản về bài toán kỹ hơn nên tất

cả HS trong lớp được hoạt động, được suy nghĩ, được bày tỏ quan điểm cá

nhân mình, được tham gia vào quá trình khám phá và kiến tạo những kiến

thức mới.

- Khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá, phân tích, tổng

hợp, so sánh... của HS tiến bộ hơn là do GV đã chú ý hơn tới nguyên nhân dẫn

đến những sai lầm mà HS thường mắc phải, GV đã phát hiện, uốn nắn và sửa

chữa ngay từ đầu trong hướng giải quyết bài toán cho HS.

- HS chú ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn, tranh luận để đưa ra ý kiến

hoặc lời giải của mình là do GV đã chú ý, phát triển cho HS khả năng nhìn nhận

một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để có thể tìm ra được nhiều cách

giải, từ đó HS có thể vận dụng tổng hợp các tri thức đã học và chọn lựa được

lời giải cho phù hợp, qua đó đã tạo được phản xạ khi tiếp xúc với bài toán cho

HS.

- HS tự học, tự nghiên cứu bài ở nhà thuận lợi hơn là do trong các tiết

học, GV đã thường xuyên quan tâm tới việc hướng dẫn, tổ chức cho HS tự học,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tự nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo.

3.5. Kết luận chương 3

Sau khi xác định được mục đích thực nghiệm, đối tượng thực nghiệm và

phương pháp thực nghiệm, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm tại

THPT Phakhong, huyện Xaybouathong, tỉnh Khammouane nước CHDCND

Lào, với các kết quả thu được đã có cơ sở để khẳng định:

- 04 biện pháp sư phạm được đề xuất ở chương 2 nhằm giúp HS phòng

tránh và sửa chữa những sai lầm thường gặp khi giải toán Tích phân lớp 11 cho

HS là phù hợp.

- Các ví dụ về một số bài toán chứa sai lầm thường gặp để giúp cho HS

phòng tránh và sửa chữa những sai lầm khi giải toán Tích phân, giúp các em

HS tự tin hơn trong học tập, mạnh dạn trình bày ý kiến cá nhân, hăng hái tham

gia thảo luận, tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề...

Như vậy, mục đích thực nghiệm sư phạm đã được hoàn thành, tính khả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

thi cũng như tính hiệu quả của 4 biện pháp đã được khẳng định.

KẾT LUẬN CHUNG

Qua thời gian nghiên cứu đề tài, tuy còn hạn chế về khả năng nghiên cứu

khoa học nhưng dưới sự nỗ lực của bản thân và sự chỉ bảo nhiệt tình của

PGS.TS.Trần Việt Cường, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn đã hoàn thành,

mục đích nghiên cứu đã đạt được như mong muốn.

Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây:

1. Đã hệ thống hóa được một số sai lầm của HS khi giải toán Tích phân.

2. Đã làm sáng tỏ nhận định: Những sai lầm của HS khi giải Toán Tích

phân còn tương đối phổ biến. Những sai lầm này được nhìn nhận từ góc độ các

hoạt động Toán học, đồng thời phân tích những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến

các khó khăn và sai lầm đó.

3. Đã đề xuất được bốn biện pháp sư phạm nhằm khắc phục, sửa chữa

những khó khăn, sai lầm của HS THPT khi giải toán Tích phân.

Như vậy, có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đã được thực

hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

nhận được.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A. Tiếng Việt

1. Nguyễn Phụ Hy (2005), Ứng dụng giải tích để giải toán THPT, tập 1,

Nhà xuất bản Giáo dục.

2. Nguyễn Bá Kim (2013), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản

Đại học Sư phạm.

3. Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Đinh Nho Cương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ

Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn

Toán, phần 2 (những nội dung cụ thể), Nhà xuất bản Giáo dục.

4. Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình phương pháp dạy học những nội dung

cụ thể môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.

5. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải toán cho HS phổ thông

trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của HS khi

giải toán, Luận án tiến sĩ Khoa học sư phạm – Tâm lý.

6. Vũ Tuấn (chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết

Yên (2008), Bài tập Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục.

7. Vũ Tuấn (chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2010),

Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

8. P.M. Ecđơnhive (1978), Dạy học toán ở trường phổ thông, Nhà xuất bản

Giáo dục

B. Tiếng Lào

ັ້ ນມັ ດທະຍົ ມສຶ ກສາປີ ທີ 5ກະຊວງສຶ ກສາທິ ການສະຖາບັ ນ 9. ແບບຮຽນວິ ເຄາະຄະນິ ດຊັ

ັ້ ນຄວັ້ າວິ ທະຍາສາດການສຶ ກສາວຽງຈັ ນ (2008) (Giáo trình Giải tích lớp 10, ຄົ

Bộ Giáo dục và Thể thao, Tổ chức nghiên cứu khoa học giáo dục Viêng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Chăn (2008)).

ັ້ ນມັ ດທະຍົ ມສຶ ກສາປີ ທີ 6ກະຊວງສຶ ກສາທິ ການສະຖາບັ ນ 10. ແບບຮຽນວິ ເຄາະຄະນິ ດຊັ

ັ້ ນຄວັ້ າວິ ທະຍາສາດການສຶ ກສາແຫ່ງຊາດ (2005).(Giáo trình Giải tích lớp ຄົ

11, Bộ Giáo dục và Thể thao, Tổ chức nghiên cứu khoa học Quốc Gia

(2005))

ັ້າຈັ ນທະວົ ງ.ວິ ຊາວິ ເຄາະຊັ ັ້ ນມັ ດທະຍົ ມສຶ ກສາປີ ທີ 6ວຽງຈັ ນ (2007) (Là 11. ຫ

CHĂNTHAVÔNG. Giáo trình Giải tích lớp11 (2007)).

່ ໂຮງພິ ມກະຊວງສຶ ກສາລ 12. ກະຊວງສຶ ກສາລາວ(2008).ກົ ດໝາຍການສຶ ກສາ.ພິ ມທີ

າວ (Bộ Giáo dục và Thể thao (2008). Luật Giáo dục. Nhà xuất bản Giáo

dục).

ັ້ ນມັ ດທະຍົ ມສຶ ກສາປີ ທີ 6 ກະຊວງສຶ ກສາ ແລະ 13. ແບບຮຽນຄະນິ ດສາດຊັ

ກິ ລາ,ສະຖາບັ ນຄົ ັ້ ນຄວັ້ າວິ ທະຍາສາດການສຶ ກສາ (2015) (Giáo trình Toán lớp

11, Bộ Giáo dục và Thể thao, Viện nghiên cứu khoa học quốc gia (2015))

ັ້ ນມັ ດທະຍົ ມສຶ ກສາປີ ທີ ຊັ 6,ກະຊວງສຶ ກສາ 14. ແບບຮຽນວິ ເຄາະຄະນິ ດ

ທິ ການສະຖາບັ ນຄົ ັ້ ນວິ ທະຍາສາດການສຶ ກສາແຫ່ງຊາດ(2005)ຮຽບຮຽງໂດຍ:

່ າສະດາ,ຂັ ນທະວົ ງ ດາລາວົ ງ (Giáo trình ໜູ ອານ ພະຈັ ນສິ ດທິ ,ພົ ງສະຫວັ ນ ເຜົ

giải tích lớp 11, Bộ Giáo dục và Thể thao, Viện nghiên cứu khoa học

quốc gia (2005) tác giả: Nu An PHACHĂNSITTHI, Phôngsavăn

PHAOSẠĐA, Khănthavông ĐALAVÔNG)

15. ວິ ເຄາະຄະນິ ດ2ປີ ທີ 1ສາຍສັ້າງຄູ ມັ ດທະຍົ ມຕົ ັ້ ນກະຊວງສຶ ກສາທິ ການ,ກົ ມສັ້າງຄູ ,ສູ

ນພັ ດທະນາຄູ (2008) ຮຽບຮຽງໂດຍ: ບົ ວໄຂ ສຸ ພາພອນ,ມະຍຸ ລີ ຈະເລີ ຍຊັ ບ (Giải

tích 2, Cao đẳng Sư phạm của Bộ Giáo dục và Thể thao, Trung tâm phát

triển giáo viên (2005) tác giả: Buookhai SUPHAPHON, MA nhụly CHA

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

LƠN SẶP).

ັ້ ນມັ ດທະຍົ ມສຶ ກສາປີ ທີ 5 ກະຊວງສຶ ກສາ ແລະ 16. ແບບຮຽນຄະນິ ດສາດຊັ

ກິ ລາ,ສະຖາບັ ນຄົ ັ້ ນຄວັ້ າວິ ທະຍາສາດການສຶ ກສາ(2014) (Giáo trình toán lớp 10

Bộ Giáo dục và Thể thao, Viện nghiên cứu khoa học (2014))

17. ກະຊວງສຶ ກສາລາວ(2009),ຍຸ ດທະສາດການສຶ ກສາໃນໄລຍະ2009-2020 ວຽງຈັ ນ

(Bộ Giáo dụcvà Thể thao (2009), Chiến lược Bộ Giáo dục và Thể thao

giai đoạn 2009-2020, Viêng chăn).

2009- 18. ກະຊວງສຶ ກສາລາວໂຄງຮ່າງການພັ ດທະນາຂະແໜງການສຶ ກສາແຕ່ ປີ

2015 ວຽງຈັ ນ (Bộ Giáo dục và Thể thao (2009), Khung phát triển ngành

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

giáo dục từ 2009-2015, Viêng chăn).

ແບບສອບຖາມ1 (PHỤ LỤC SỐ 1)

ບັ ດສ າຫຼ ວດຄວາມຄິ ດເຫັ ນຂອງພະນັ ກງານຄູ ອາຈານ

(PHIẾU KHẢO SÁT Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN)

ເພ ັ້ ອໃນສັ ງຄະນິ ດໃຫັ້ ່ ອເປັ ນການປະກອບສ່ວນຍົ ກສູ ງໝາກຜົ ນຂອງວຽກສອນເນ

ັ້ : ່ມນີ ນັ ກຮຽນຢູ ່ໂຮງຮຽນມັ ດທະຍົ ມ,ຮຽກຮັ້ອງມາຄູ ອາຈານກາລຸ ນາຕອບບັ ນດາຄ າຖາມລຸ

ບັ ນດາຂ ັ້ ພຽງແຕ່ ຮັ ບໃຊັ້ໃຫັ້ແກ່ເປົ ັ້ າໝາ ັ້ ມູ ນທີ ເກັ ບໄດັ້ຈາກບົ ດສອບຖາມຄວາມຄິ ດເຫັ ນນີ

ຍຂອງການຄົ ັ້ ນຄວັ້ າວິ ທະຍາສາດ,ບ ່ ແມ່ ນເພ ່ ອເປົ ັ້ າບ ່ ດີ ອ ່ ນ (Để góp phần nâng cao

hiệu quả của hoạt động dạy học nội dung Tích phân cho học sinh ở trường phổ

thông, đề nghị các thầy (cô) vui lòng trả lời những câu hỏi dưới đây. Những

thông tin thu được từ các phiếu khảo sát này chỉ phục vụ cho mục đích nghiên

cứu khoa học, không vì một mục đích nào khác).

I. ຂ ໍ້ ມູ ນສ່ວນຈົ ວ (Thông tin cá nhân)

1. ຊ ່ ແລະ ນາມສະກຸ ນ (Họ và tên):..............................................................

2. ຈ ານວນປີ ເຮັ ດວຽກ (Số năm công tác):...................................................

່ (Trường đang công tác):........................................ 3. ໂຮງຮຽນກ າລັ ງເຮັ ດຢູ

4. ລະດັ ບການສຶ ກສາ(Trình độ chuyên môn)

ປະລິ ນຍາເອກ ປະລິ ນຍາໂທ ປະລິ ນຍາຕີ ຊັ ັ້ ນສູ ງ

Tiến sĩ Thạc sĩ Đại học Cao đẳng

II. ເນ ໍ້ ອໃນສອບຖາມ(ສ າຫຼ ວດ) (Nội dung khảo sát)

ັ້ ສັ ງຄະນິ ດ 1. ຕາມຄວາມຄິ ດຂອງອາຈານເວລາແກັ້ເລກກ່ຽວກັ ບຫົ ວຂ

ນັ ກຮຽນເຄີ ຍມີ ບັ ນຫາກ່ຽວກັ ບ (Theo thầy (cô) khi giải toán chủ đề Tích

phân, học sinh thường mắc những là)

ັ້ ຜິ ດພາດຂອງນັ ກຮຽນ (Những sai lầm của

ເຫັ ນດີ (Đồng ý) ບັ ນດາຂ HS)

່ ເຫັ ນດີ ບ (Không đồng ý)

່ ເຂົ ັ້ າໃຈຄຸ ນລັ ກສະນຂອງສັ ງຄະນິ ດ (Sai

ັ ກເກນຂອງສັ ງຄະນິ ດບ

່ ສູ ດຜິ ດ (Sai lầm do nhớ nhầm công

ຜິ ດພາດຍັ້ ອນບ lầm do không hiểu đúng tính chất) ່ ຖ ກ ຜິ ດພາດຍັ້ ອນນ າໃຊັ້ນິ ຍາມ,ຫ ຕັ້ ອງ (Sai lầm không vận dụng đúng định nghĩa, định lí tích phân) ຜິ ດພາດຍັ້ ອນປ່ ຽນຕົ ວລັ ບ (Sai lầm do khi đổi biến số) ຜິ ດພາດຍັ້ ອນຈ thức)

ຄວາມຄິ ດເຫັ ນຕ່ າງໆ (Ý kiến khác):......………………………………………

່ ອແກໍ້ ບົ ດເລກສັ ງຄະນິ 2) ຕາມອາຈານສາເຫດເຄີ ຍພາໃຫໍ້ ນັ ກຮຽນຜິ ດພາດເມ

ດແມ່ ນ (Theo thầy (cô) nguyên nhân thường dẫn đến sai lầm của HS

trong giải toán chủ đề Tích phân là):

ເນ ັ້ ອໃນ (Nội dung)

ເຫັ ນດີ (Đồng ý)

ັ້ າໃຈນິ ຍາມ (Không hiểu đúng khái niệm)

່ ເຫັ ນດີ ບ (Không đồng ý) ັ ກການແບກົ ນຈັ ກ (Áp dụng định lý, ັ ກເກນ,ສູ ດ,ຫ

ັ້ ງບັ ນຫາແກັ້ໄຂບັ ນຫາ (Lập luận

ັ້ແບບລວມໆ (Cảm nhận trực quan)

່ ເຂົ ບ ນ າໃຊັ້ຫ công thức, quy tắc một cách máy móc) ຂາດຕັ ກກະສາດໃນການຕັ thiếu logic) ຮັ ບຮູ ແບ່ ງບັ ນດາກ ລະນີ ຕ່ າງຫາກ (Phân chia các trường hợp riêng) ຄວາມຄິ ດເຫັ ນຕ່ າງ (Ý kiến khác):……………..............................................

ໍ້ 3. ໃນຂະບວນການສອນອາຈານເຄີ ຍໃຊໍ້ ເວລາເພ ່ ອວິ ເຄາະບັ ນດາບັ ນຫາຫຍ

ງຍາກແລະຜິ ດພາດຂອງນັ ກຮຽນເພ ີ ກເວັ ໍ້ ນ ແລະ ປົ ວແປງບ ່ ? ່ ອຊອກຫາວິ ທີ ຫຼ

(Trong quá trình dạy học, thầy (cô) có dành thời gian phân tích những

khó khăn và sai lầm của HS để tìm biện pháp phòng tránh và sửa chữa

không?)

່ ງນັ a) ເຄີ ຍ,ປົ ກກະຕິ ,ຍັ້ ອນສິ ັ້ ນນັ ກຮຽນມີ ຄວາມຕັ້ ອງການຫ າຍ (Có, thường

xuyên, vì điều đó cần thiết đối với HS)

່ ວິ ເຄາະບັ ນຫາຜິ ດພາດທີ b) ບາງຄາງກ ່ ເຄີ ຍພົ ບ (Đôi khi phân tích những sai

lầm tiêu biểu thường gặp).

່ ,ຍັ້ ອນວ່ າບ c) ບ ່ ມີ ເວລາເຮັ ດ (Không, vì không có thời gian thực hiện)

ຂໍຂອບໃຈ (Xin chân thành cám ơn thầy (cô))!

ແບບສອບຖາມ 2 (PHỤ LỤC SỐ 2)

ບັ ດສ າຫຼ ວດຄວາມຄິ ດເຫັ ນຂອງນັ ກຮຽນ

(PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH PHỔ THÔNG)

ເພ ັ້ ສັ ງຄະນິ ດຮຽກຮັ້ອງບັ ນດາ ່ ອປະກອບສ່ວນຍົ ກສູ ງໝາກຜົ ນຂອງການສອນຫົ ວຂ

່ໃນບັ ດນີ ັ້ .ບັ ນດາຂ ນັ ກຮຽນຕອບບັ ນດາຄ າຖາມຢູ ັ້ ມູ ນທີ ເກັ ບກ າໄດັ້ຈາກບັ ດສ າຫລວດຄວາ

ມຄິ ດເຫັ ນນີ ັ້ ພຽງແຕ່ ຮັ ບໃຊັ້ໃຫັ້ແກ່ການຄົ ັ້ ນຄວັ້ າວິ ທະຍາສາດ,ບ ່ ແມ່ ນເປົ ັ້ າໝາຍບ ່ ດີ ອ ່ ນ

(Để góp phần nâng cao hiệu quả của hoạt động dạy học chủ đề Tích phân ở

trường phổ thông cho HS, đề nghị các em vui lòng trả lời những câu hỏi trong

phiếu này. Những thông tin thu được từ các phiếu khảo sát này chỉ phục vụ cho

mục đích nghiên cứu khoa học, không vì một mục đích nào khác).

I. ໍ້ ມູ ນສ່ວນຕົ ວ (Thông tin cá nhân) ຂ

1. ຊ ່ ແລະ ນາມສະກຸ ນ (Họ và tên):...........................................................

2. ຫັ້ອງຮຽນ (Lớp đang học):....................................................................

3. ໂຮງຮຽນ (Trường đang công tác):.......................................................

II. ເນ ໍ້ ອໃນສ າຫຼ ວດ (Nội dung khảo sát )

1. ໃນຂະບວນການຮຽນເລກ,ນໍ້ ອງຕີ ລາຄາຫົ ວຂ ໍ້ ສັ ງຄະນິ ດ ເປັ ນແນວໃດ

(Trong quá trình học Toán, em đánh giá nội dung chủ đề Tích phân

như thế nào)?

a. ຍາກ (Khó) b. ທ າມະດາ (Bình thường) c. ງ່າຍ (Dễ)

່ ໃນເນ ໍ້ສຶ ກວ່ າບົ ດເລກກ່ ຽວ 2.ຢູ ໍ້ ອໃນຂອງວິ ຊາຄະນິ ດສາດ,ນໍ້ ອງມີ ຄວາມຮູ

ກັ ບຫົ ວຂ ໍ້ ສັ ງຄະນິ ດ ແມ່ ນບົ ດເລກແນວໃດ (Trong các nội dung của môn

Toán, em nhận thấy những bài toán thuộc chủ đề Tích phân là những bài

toán như thế nào?)

ັ້ ອ a. ຍາກກວ່ າຖັ້ າທຽບໃສ່ບົ ດເລກຫົ ວຂ ່ ນ (Khó hơn so với các bài tập thuộc

nội dung khác).

່ ຄ ກັ ນກັ ບບັ ນດາບົ ດເລກຂອງຫົ ວຂ ັ້ ອ b. ກ ່ ນ(Cũng giống như các bài tập

thuộc nội dung khác).

ັ້ າໃຈງ່າຍກວ່ າຖັ້ າທຽບໃສ່ບົ ດເລກຂອງຫົ ວຂ ັ້ ອ c. ເຂົ ່ ນ (Dễ hơn so với các bài

tập thuộc nội dung khác).

ໍ້ ສັ ງຄະນິ ດນໍ້ ອງເຄີ ຍພົ ບບັ ນດາຂ 3.ຍາມແກໍ້ ບົ ດເລກຫົ ວຂ ໍ້ ຜິ ດພາດທີ ຄູ ອາ

ຈານໄດໍ້ ບອກບ ່ (Khi giải các bài toán thuộc chủ đề Tích phân, em có mắc

phải những sai lầm mà thầy cô đã nhắc đến không)?

a ເຄີ ຍ ( Có) b ບ ່ ເຄີ ຍ( Không.)

ັ້ ສັ ງຄະນິ ດບ 4. ພວກນັ້ ອງມັ ກຮຽນຫົ ວຂ ່ ?ຍັ້ ອນຫຍັ ງ (Các em có thích học chủ

đề Tích phân không? Vì sao)?

່ ມັ ກ (Không) ⃞ ມັ ກ (Có) ⃞ ບ

ຍັ້ ອນ (Vì)..................................................................................................

ຂ ຂອບໃຈ (Xin chân thành cám ơn các em)!

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm thường gặp trong giải toán Tích phân cho HS lớp 11 nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SỬ PHẠM NHẰM GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

s

S2

A. Tiếng Việt

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Quản lý hoạt động phát triển nhận thức cho trẻ mẫu giáo ở các trường mầm non, huyện Hoàng Su Phì, tỉnh Hà Giang

Luận án Tiến sĩ: Bồi dưỡng cho học sinh năng lực thích nghi trí tuệ nhằm nâng cao hiệu quả dạy học hình học không gian ở trường Trung học phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Sử dụng bản đồ tư duy trong giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Xây dựng tiêu chuẩn đánh giá trình độ sức mạnh cho nam sinh viên chuyên sâu cầu lông trường Đại học Sư phạm Thể dục Thể thao Hà Nội

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Một số biện pháp tổ chức trò chơi lắp ghép - xây dựng nhằm phát triển tính sáng tạo cho trẻ 5-6 tuổi ở trường mầm non

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Hoạt động trải nghiệm trong dạy học chủ điểm Nhớ nguồn ở Sách giáo khoa tiếng Việt 5 (Tập hai)

Khóa luận tốt nghiệp: Thiết kế một số trò chơi học tập góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán lớp 1, lớp 2, lớp 3

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Tổ chức hoạt động khám phá thực vật cho trẻ mẫu giáo 5-6 tuổi theo hướng tích hợp

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Biện pháp dạy trẻ mẫu giáo 5-6 tuổi định hướng độ dài thời gian

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số hình thức tổ chức hoạt động khởi động nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh khi dạy học môn Toán 10

Một số biện pháp tạo động lực học tập cho học sinh trong dạy học nội dung “số nguyên” ở môn Toán lớp 6

Luận án Tiến sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học: Sử dụng mô hình lớp học đảo ngược trong đào tạo giáo viên Toán

Dạy học trải nghiệm với sự hỗ trợ của Geogebra: Trường hợp dạy học nội dung “Thể tích hình hộp chữ nhật” (Toán 5)

Cơ hội dạy học kết hợp (Blended learning) chủ đề Tọa độ Toán lớp 10 trung học phổ thông

Một số biện pháp nâng cao hiệu quả vận dụng dạy học hợp tác trong môn Toán ở tiểu học

Thực trạng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học môn Toán ở một số trường trung học cơ sở

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác và sử dụng có hiệu quả một số phần mềm vào kiểm tra đánh giá năng lực học sinh trong dạy học môn Toán lớp 10 ở trường THPT Quỳnh Lưu 4

Thiết kế kế hoạch dạy học môn Toán trung học cơ sở theo định hướng phát triển phẩm chất năng lực học sinh

Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Rèn luyện kỹ năng hợp tác giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 12 tại nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Hình thành phát phát triển năng lực tính toán cho học sinh thông qua bài tập hóa học vô cơ trường trung học cơ sở

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok