7 H
ƯỚ
Ế Ổ
Nguy n H u Thanh – Tr
NG BI N Đ I CHO M T BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN ố
Ộ ữ
ườ
ễ
ng THPT Thu n Thành s I ậ www.mathvn.com
ử
ữ
ươ
ầ
ỗ
ể
M t trong nh ng ph ể
V y đ làm đ
ộ ấ ậ ể
Email: thanhthuanthanh1@gmail.com g i cho ọ “đi m nh n “ đ có th hi u v n đ m t cách “ thông thái “ h n. ể ể ấ ề ộ c đi u đó, ng ượ
ườ ọ
ng pháp h c toán là sau m i bài toán chúng ta c n tìm ra nh ng ữ ơ i h c toán c n đi u gì? ề ầ c đ t ra. ề ấ ề ượ ặ ấ ề ứ
ậ ỹ ậ ấ ệ ữ
ố
ề 1. Suy nghĩ th t k , th t th u đáo v v n đ đ 2. Tìm m i liên h gi a các ki n th c xung quanh v n đ đó. ế 3. T đ t câu h i xung quanh m t v n đ nh đ tìm cách t ng quát thích h p. ổ
ộ ấ ề ỏ ể
ự ặ
ỏ
Chúc các b n thành công ! !
ợ ạ
Xin phân tích qua m t bài toán nh sau: ộ
ỏ
p
2
Bài toán : Tính tích phân I =
0
dx x cos
x c hàm s d
Nh n xét 1:
ậ
ế i d u tích phân có d ng phân th c. V y ki n
ạ
ậ
sin + + sin x Quan sát th y đ ấ ượ ứ
ắ
ố ướ ấ ắ
ế
= ln | + x C |
ế ổ ề ạ
ả
ọ
ứ ỉ ấ ệ
ầ ố ượ
bi u di n thông qua m t y u t không ? Ta cùng tìm ki m ki n th c đ gi i quy t.
ứ ể ả
ậ ế
ể
ế
ứ th c s s d ng cho hàm phân th c là gì? Ch c ch n chúng ta nghĩ đ n nguyên hàm ứ ẽ ử ụ dx = x V y đ s d ng đ ậ ể ử ụ Nh n xét 2: Ở ậ ễ - H ng 1: Chia c t
c công th c này chúng ta c n ph i tìm m i cách bi n đ i v d ng đó ! ng giác là sinx và cosx . V y có cách nào ế ượ c
ượ đây ch xu t hi n 2 hàm s l ộ ế ố ả ử
và m u cho cosx ta đ tgx
= = = f x ( ) = - 1
đó đ t t= tgx
ặ
ướ sinx +
tgx + sinx cos x tgx
ẫ + - 1 1 + 1
tgx
ø Ø + = - - dt dt dx dx (cid:222) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242) œ Œ
I =
2
2
1 + t ừ tgx 1 A + + + ß º 1 t + CBt + 2 1 t 1( t ) 1 tdt 1)(
= t = tan ; cosx= sin x
thì
- H ng 2: Đ t ặ
ướ
2
2
2 t + t 1
1- t + t 1 c tích phân có d ng t ng quát sau: ổ ạ t x 2 ể
ượ
b
= I dx + + a + 1 a
ng trên ta có th tính đ cos cos
a
x x
mình nghĩ ra đ bài và gi i nhé! ề
ả
Xu t phát t
V i h ớ ướ + x b sin c 1 1 + sin x b c 2 2 2 Các b n hãy làm bài toán trên và t ạ Nh n xét 3: ấ
ậ
ừ
ự ệ ủ
quan h c a sinx và cosx . Đi u gì đ c bi t trong c n c a tích ề
ậ ủ
ệ
ặ
phân ?
p p = - dx dt
p p - t 0 : = t
- H ng 3: Đ t x=
ướ
ặ
ổ ( đây là cách đ t n ph mà không làm thay đ i ụ
ặ ẩ
2 2 p = : t 0 = = = x � � � � = x == 2
c n c a tích phân đã có d p trao đ i cùng các b n). ị ậ ủ
ạ
ổ
p
p
p
2
2
2
= = =
Khi đó :
I dx dx dt sin + x x cos
� sin
s co t + t cos
� sin
� sin
0
0
0
p
p
2
2
2
s co x + x cos x t x p p (cid:222) = + = = I 2 dx dx p =� I
� dx
� sin
x
� sin
0
0
0
s co x + x cos x 2 4
sin + x Th t đáng kinh ng c !!!!! x cos ạ
ậ
p
n
m
2
x =
V i h
ng trên ta có th tính đ
ớ ướ
ể
ượ
c tích phân t ng quát sau: ổ
I
+
n
m
n
m
0
sin + x sin co s x
ự
Các b n hãy làm bài toán trên và t ạ N u dùng bi n đ i l Nh n xét 4: ế
ậ
mình nghĩ ra đ bài và gi i nhé! ề ư ế
ả ng giác thì nh th nào ? ế ổ ượ p
p (cid:246) (cid:230) + - (cid:247) (cid:231) sin x ø Ø p (cid:246) (cid:230) ł Ł 4 4 + = - (cid:247) (cid:231) 1 cot xg œ Œ
- H ng 4: Bi n đ i f(x) =
và ta tính đ
c bình
ế ổ
ướ
ượ
p (cid:246) (cid:230) ł Ł ß º 4 1 2 + (cid:247) (cid:231) sin2 x ł Ł 4
th
ng.
ườ
- H ng 5: Bi n đ i
ế ổ
ướ
- (cid:246) (cid:230) 1 2 x - (cid:247) (cid:231) 2sin x - (cid:246) (cid:230) ł Ł ) x x sin 1 2 cos 2
f(x) =
= = + - (cid:247) (cid:231) tg 2 x 1 - ł Ł sin 2 x (cos 2 x 1 2 cos sin 2 x
cos ng c a hàm l
ườ
x cos và ta tính v i các tích phân bình th ớ Nh n xét 6: x ủ Vì tích phân có d ng hàm phân th c nên n u ta bi n đ i t
th c đ tìm cách
1 2 ng giác. ượ ế
ậ
ứ
ế ổ ử ứ ể
vi t đ
c qua m u s và đ o hàm c a m u thì hay quá !
ế ượ
ẫ ố
ạ
ạ ủ
+ - - sinx cos x = = f x ( )
- H ng 6: Bi n đ i ế ổ
ướ
+ + +
ẫ sinx +
x cos sinx 2( sinx x cos ) 1 = - 2 x cos sinx 2( sinx x cos ) sinx cos x
ẫ ố ậ ế s và m u s , v y n u
ấ ự
ầ
ta tìm đ
ậ c m t tích phân khác có
“h hàng”
Quan sát ticsh phân c n tìm ta th y s sai khác c a t ủ ử ố v i nó thì sao nh ? Tr l i câu h i đó ta đi xét tích ả ờ
ọ
ớ
ỏ
ỉ
Nh n xét 7: ộ ượ p
2
=
phân
( g i là tích phân liên k t c a tích phân I) .
ế ủ
ọ
J dx
+ sin
0
s co x + x cos x
I + +
T hai tích phân trên ta đi gi i h :
s tìm đ
c I .
ả ệ
ừ
ẽ
ượ
I + = J - = J -
