Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
CHƯƠNG VII – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC
Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng tọa độ
độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng
suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền
cạnh lỗ tròn của tấm…
Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực
θ
và vectơ bán
kính r.
7.1. Các phương trình cơ bản
1. Các phương trình vi phân cân bằng :
Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,
θ
,z), ta
cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt.
- 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr.
- 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc d
θ
.
- 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Hình 7.1
+ Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét
A(r,θ,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau:
- Các mặt nhận r làm pháp tuyến:
+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σ
r
, T
rθ
.
+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành
phần ứng suấ: ,
- f
r
, f
θ
: Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp
tuyến.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 :
Vì biến dạng bé nên
Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được:
(7.1)
Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được
(7.2)
+ Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : T
rθ
= T
θr
(7.3)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
2. Các phương trình hình học:
Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ
là u, v.
Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2
phương là:
và
Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2
phương là:
và
Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: ε
r
, ε
θ
Hình 7.2
* Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng
ABCD trở thành A’B’C’D’:
+Các biến dạng dài tương đối:
;
;
+Biến dạng góc: (a)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
* Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra
khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng ABCD trở
thành A’’B’’C’’D’’:
(Hình 7.3)
+ Biến dạng dài:
=
+ Biến dạng góc:
γ
2
= (B’’A’’M – NA’’M) (b)
=
Có số hạng (NA”M) = trong γ
2
là do sự quay toàn phân tố ABCD đối với
điểm 0.