TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI
TS. PHẠM VĂN ĐẠT
BÀI GIẢNG
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
HÀ NỘI, THÁNG 8 NĂM 2016
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CHUNG CỦA MÔN HỌC
1.1 Nhiệm vụ và đối tượng của môn học
1.1.1 Nhiệm vụ của môn học
Nhiệm vụ của môn học cơ học môi trường liên tục nói chung và lý thuyết đàn hồi nói
riêng là tìm cách xác định trạng thái ứng suất, biến dạng và trường chuyển vị trong môi
trường liên tục khi chịu tác dụng của ngoại lực hoặc các yếu tố ảnh hưởng khác. Môi
trường liên tục là những vật thể có cấu tạo vật chất liên tục. Cũng như các môn cơ học
biến dạng khác, các kết quả của môn học là cơ sở cho việc giải quyết các bài toán kỹ thuật.
Do môn học nghiên cứu tất cả các môi trường liên tục vì vậy lý thuyết xây dựng trong
môn học là lý thuyết tổng quát để giải tất cả các dạng kết cấu khác nhau và phương pháp
của môn học là phương pháp chung nhất để giải các bài toán trong cơ học. Vì vậy cách đặt
vấn đề về mặt toán học là chặt chẽ và chính xác hơn so với các môn học như Sức bền vật
1
liệu, Cơ học kết cấu v.v…
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 1.1.2 Đối tượng của môn học
Đối tượng của môn học là những vật thể có cấu tạo vật chất liên tục, nghĩa là tại một
điểm bất kỳ luôn lấy được một phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm đó. Tùy thuộc
cấu tạo vật chất và tính chất cơ học của môi trường vật chất mà người ta có thể chia ra làm
3 loại: Môi trường rắn; Môi trường lỏng; Môi trường khí.
Tương ứng với mỗi loại vật thể của môi trường ở trên, có thể xây dựng các lý thuyết
riêng cho từng môi trường. Chẳng hạn đối với vật thể rắn biến dạng có các môn sau: Sức
bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết đàn dẻo, Lý thuyết từ biến, Cơ
học phá hủy, Cơ học Compisite v.v… Trong các chương sau môn học chủ yếu đề cập đến
bài toán phân tích ứng suất biến dạng của vật thể rắn biến dạng đàn hồi khi chịu tác dụng
2
của ngoại lực.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 1.2 Các giả thuyết và nguyên lý cơ bản của môn học
Môn cơ học môi trường liên tục khác với môn Sức bền vật liệu là giải bài toán một
cách chặt chẽ nhưng môn học cũng phải đưa vào các giả thuyết để làm đơn giản bài toán
khi tính toán so với kết cấu thực tế. Các giả thuyết cơ bản:
1.2.1 Giả thuyết 1: Giả thuyết về cấu tạo liên tục của vật thể đàn hồi
Vật thể liên tục trước và sau khi biến dạng (không có lỗ rỗng, không gián đoạn), các
phân tố trong vật thể cũng liên tục. Như vậy biến dạng và chuyển vị của từng điểm trong
vật thể là các hàm liên tục của các tọa độ. Trong thực tế các vật thể luôn có cấu trúc nhất
định, không cần phải dùng thiết bị phóng đại để quan sát chúng ta cũng có thể thấy cấu
trúc của vật thể có những điểm gián đoạn. Vì vậy, nếu biểu diễn được sự gián đoạn của vật
thể bằng toán học thì kết quả phân tích cũng rất phức tạp đối với các bài toán đơn giản.
Cần chú ý rằng, lý thuyết cơ học môi trường liên tục coi vật thể là liên tục nhưng khi phân
3
tích vẫn tưởng tưởng cắt vật thể ra thành các phân tố vô cùng bé bằng các mặt bất kỳ,
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT nhưng những phân tố nằm cạnh nhau thì chúng cùng chung một mặt bên và từng phân tố
không mang tính chất riêng biệt.
1.2.2 Giả thuyết 2: Giả thuyết về trạng thái không ứng suất ban đầu của vật thể
Theo giả thuyết này thì ứng suất ban đầu trong vật thể trước lúc đặt ngoại lực do quá
trình hình thành vật thể sinh ra được xem bằng “không”. Như vậy ứng suất trong vật thể
khi môn học nghiên cứu là phần tăng ứng suất tại điểm đang xét trong vật thể khi có tác
dụng của ngoại lực sinh ra, chứ không kể đến ứng suất sẵn có ban đầu tại điểm đó. Trong
kỹ thuật ta bỏ qua ứng suất ban đầu và sự gián đoạn của vật thể có sai khác thực tế, nhưng
bù lại khi ta tiến hành thí nghiệm các mẫu vật liệu để xác định các đặc trưng cơ học của
chúng (giới hạn đàn hồi, giới hạn chảy, v.v…) từ đó xác định ứng suất cho phép của vật
liệu bằng thực nghiệm chúng ta cũng bỏ qua ứng suất ban đầu và cấu trúc thực của vật
4
liệu.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 1.2.3 Giả thuyết 3: Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối, đồng nhất và đẳng hướng
Tính đàn hồi tuyệt đối là tính chất khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực thì biến
dạng, nhưng khi không còn chịu tác dụng của ngoại lực “dỡ tải về không” thì vật thể trở về
nguyên hình dạng ban đầu. Tính đồng nhất của vật liệu thể hiện là tính chất tại mọi điểm
khác nhau trong vật thể có tính chất như nhau. Tính đẳng hướng của vật liệu là tính chất
tại một điểm bất kỳ trong vật thể theo mọi hướng đều có tính chất cơ – lý là như nhau, như
vậy bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phân tố đều là mặt phẳng đối xứng của phân tố đó.
1.2.4 Giả thuyết 4: Biến dạng và chuyển vị rất nhỏ hơn so với kích thước của vật thể
Dựa vào giả thuyết này dẫn đến mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là mối quan
hệ bậc nhất (tuân theo định luật Hooke tổng quát). Dựa vào giả thuyết này, khi tính toán
với các biến dạng dài tương đối hoặc biến dạng góc nếu ta khai triển các đại lượng này
5
theo chuỗi Taylor thì ta có thể bỏ qua các biến dạng góc bậc cao.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
sin(
...
)
31 α = α − α + ≈ α . 3!
Ví dụ khi α rất nhỏ thì:
1.3 Khái niệm về véctơ
1.3.1 Các thành phần của véctơ
x 2
a
1 2 3
ox x x có các thành phần véctơ đơn vị:
a2
(cid:2) . Xét véctơ a
Xét trong hệ trục tọa độ Descartes vuông
3
a 1
a3
x 1
0
góc (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) e ;e ;e 1 2
3x
có các thành phần chiếu a ;a ;a . Ta có: 3
=
+
+
(cid:1)(cid:2) a .e 1 1
2 (cid:1)(cid:2) a .e 2
2
(cid:1)(cid:2) a .e 3
3
lên các trục tọa độ là: 1 (cid:1)(cid:2) a (1.1)
6
Hình 1.1
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
l
cos(a ;e );
m
cos(a ;e );
n
=
=
=
=
=
=
1
2
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) cos(a ;e ) 3
a 2 a
a 3 a
a 1 a
Đặt: (1.2)
(cid:2) (l,m,n) được gọi là cosin chỉ phương của véctơ a
a
a
+
+
2
2 1
2 3
2 2 l m n
+
+
=
2 2 2
1 = (1.3)
a a
, và ta có:
1.3.2 Biến đổi các thành phần của véctơ khi xoay hệ trục tọa độ
1 2 3
ox ' x ' x ' . Gọi các 3
2
1
ox x x quay quanh điểm o chuyển thành hệ trục
Xét hệ trục
ox x x là 1
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) e ;e ;e 2
3
1 2 3
véctơ đơn vị trên các trục của hệ trục , véctơ đơn vị trên các trục của hệ
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) e' ;e' ;e' 2 3
1
ox ' x ' x ' là 2
1
3
trục .
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) e ;e ;e 2
3
1
2
3
ox ' x ' x ' lần lượt là:
(
) (
)
l ;l ;l 1 2
3
2
3
1
2
3
1
) ( , m ;m ;m , n ;n ;n . Ta có:
7
Cosin chỉ phương của các véctơ đơn vị 1 trên hệ trục
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
l
2
l 3
=
=
[
3
1
2
n
n
e 1 e 2 e 3
e' l 1 1 m m m e' 2 e' 3
n 1
3
2
e' 1 ] T' e' 2 e' 3
l l l 1 2 3 m m m
(1.4)
] T '
1
2
3
n
n
=
1
2
n 3 (cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:2)
=
=
l Vì i
cos(e ;ox );m cos(e ;ox );n = i
2
1
i
i
i
(cid:1)(cid:2) cos(e ;ox ) 3 i
trong đó: [
nên cosin chỉ phương của các
)
l ;m ;n ,(
)
l ;m ;n , (
)
1
1
1
2
2
2
l ; m ; n 3 3
3
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) e' ;e' ;e' 2 3
1
1 2 3
ox x x lần lượt là: (
véctơ đơn vị trên hệ trục
=
=
[
2
và ta có:
e' 1 e' 2 e' 3
l m n 1 1 1 l m n 2 2 l m n 3 3
3
e 1 e 2 e 3
e 1 ] T e 2 e 3
8
(1.5)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
T
]
2
1 2 3
ox x x
=
l m n 1 1 1 l m n 2 2 l m n 3 3
3
ox ' x ' x ' . 2
3
1
được gọi là ma trận chuyển từ hệ trục tọa độ trong đó: [
sang
1
T
Từ (1.4) và (1.5) suy ra ma trận chuyển trục tọa độ là một ma trận trực giao có:
T
T
[
− = ]
[
]
(1.6)
(cid:2) Xét một véctơ a
ox x x (hình 1.2a) có tọa độ là (
)
1 2 3
a ;a ;a 1 2
3
, ta trong hệ trục tọa độ cũ
(cid:1)(cid:2) a
+
+
=
(cid:1)(cid:2) a .e 1 1
(cid:1)(cid:2) a .e 2
2
(cid:1)(cid:2) a .e 3
3
có:
(1.7)
(cid:2) Véctơ a
ox ' x ' x ' (hình 1.2b) có tọa độ là (
)
3
1
2
a ' ;a ' ;a ' 2 3
1
, ta trong hệ trục tọa độ mới
9
có:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(cid:1)(cid:2) a
+
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:2) a ' .e' 1 1
(cid:1)(cid:1)(cid:2) a ' .e' 2 2
(cid:1)(cid:1)(cid:2) a ' .e' 3 3
(1.8)
1ox' của tọa độ của hệ trục
1
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
+
+
=
ox ' x ' x ' ta có: 2 3 (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) a .cos(e ;e' ) a .cos(e ;e' ) a .cos(e ;e' ) 1 1
3
1
2
3
1
2
1
a ' 1
=
+
a ' 1
a .l 1 1
a .m a .n + 1 1
3
2
Chiếu (1.7) và (1.8) lên trục
x ' 2
x 2
x ' 2
x 2 a 2
x ' 1
x ' 1
a
a' 2
a
a' 1
x 1
x 1
O
O
a 1
a3
x 3
x 3
a'3
3 ' x
3 ' x
(1.8a)
a)
10
b) Hình 1.2
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
=
+
3
=
+
2
3
2
Tương tự với hai trục tọa độ còn lại ta sẽ có:
=
+
a ' 1 a ' 2 a ' 3
a .l 1 1 a .l 1 2 a .l 1 3
a .m a .n + 2 1 1 a .m a .n + 2 a .m a .n + 3
3
2
3
=
=
[
] T a
2
(1.8b)
a ' 1 a ' 2 a ' 3
l m n 1 1 1 l m n 2 2 l m n 3 3
3
a 1 a 2 a 3
a 1 2 a 3
(1.8c) Hay:
l
2
l 3
1 −
T
=
=
[
]
3
2
1
Từ (1.8c) suy ra:
n
n
a 1 a 2 a 3
a ' 1 a ' 2 a ' 3
a ' l 1 1 m m m a ' 2 a ' 3
n 1
3
2
11
(1.9)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
+
=
1
+
=
+
2 2
1
+
+
=
* Điều kiện để một ma trận bậc (3x3) là một ma trận chuyển trục: 1
1
l
2 2
=
+
2 1
1
n
n
2 3 =
+
+ 2 2 2 l m n 1 1 1 2 2 l m n 2 2 2 2 2 l m n 3 3 3 2 2 l l + + = 1 3 2 m m m 1 + 2 +
2 n 1
2 3
2 2
0
+
+
=
2
2
1
0
=
+
+
3
2
3
0
+
=
+
3
(1.10)
=
+
+
2
3
1
0
+
+
=
3 0
3 =
1 +
l .l m .m n .n 1 2 1 l .l m .m n .n 2 3 2 l .l m .m n .n 3 1 3 1 1 l .m l .m l .m 0 1 2 3 m .n m .n m .n 2 n .l 2 2
2 n .l + 3 3
1 n .l 1 1
12
(1.11)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 1.4 Trường vô hướng và trường véctơ
1.4.1 Trường vô hướng
Trường vô hướng là hàm vô hướng của các điểm trong miền xác định của hàm. Giả
ϕ
(x , x , x ) 2 3
1
grad( )
(cid:1)(cid:2) e
ϕ = ∇ϕ =
+
+
(cid:1)(cid:2) e 1
2
(cid:1)(cid:2) e 3
sử có trường vô hướng thì ta có định nghĩa:
∂ϕ x ∂
∂ϕ x ∂
∂ϕ x ∂ 1
2
3
(1.12)
Ý nghĩa hình học của gradient: là một véctơ vuông góc với một mặt cho bởi phương
const
ϕ =
trình:
(1.13)
Trong công thức (1.12) thì đại lượng ký hiệu ∇ϕ là một véctơ được gọi là toán tử
13
Nabla trong tọa độ Descartes.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(cid:2) bề mặt là v
Véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt cho bởi phương trình (1.13) tại một điểm nào đó trên
(cid:2) v
(cid:1)(cid:2) e
=
=
+
+
(cid:1)(cid:2) e 1
2
(cid:1)(cid:2) e 3
thì ta có:
grad( ) ϕ grad( ) ϕ
∂ϕ x ∂ 1 grad( ) ϕ
∂ϕ x ∂ 2 grad( ) ϕ
∂ϕ x ∂ 3 grad( ) ϕ
2
2
2
(1.14)
grad( )
ϕ =
+
∂ϕ x ∂
∂ϕ x ∂
∂ϕ x ∂
+
1
2
3
2
2
2
2
∆ϕ = ∇ ϕ =
+
+
(1.15)
∂ x ∂
∂ x ∂
∂ 2 x ∂ 1
2 2
2 3
2
Ký hiệu :là toán tử Laplace trong tọa độ Descartes.
0
∇ ϕ = thì hàm ϕ được gọi là hàm điều hòa.
2
2
Nếu hàm ϕ có
0
∇ ∇ ϕ = thì hàm ϕ được gọi là hàm trùng điều hòa (hàm điều hòa
(
)
Nếu hàm ϕ có
14
kép).
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Ví dụ 1.1: Tìm véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C biết tọa độ
1 2 3
ox x x là: A(a,0,0); B(0, b,0); C(0,0,c).
của các điểm trong hệ trục tọa độ
Lời giải:
Phương trình của mặt phẳng đi qua 3 điểm
x 2 B(0,b,0)
+
+
1 =
x 1 a
x 2 b
x 3 c
ϕ =
+
+
A, B, C:
o
x 1
x 1 a
x 2 b
x 3 c
A(a,0,0)
Xét hàm:
x 3
C(0,0,c)
Toán tử Nabla theo công thức (1.12):
15
Hình 1.3 Ví dụ 1.1
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
grad( )
(cid:1)(cid:2) e
ϕ = ∇ϕ =
+
+
(cid:1)(cid:2) e 1
2
(cid:1)(cid:2) e 3
∂ϕ x ∂
∂ϕ x ∂
∂ϕ x ∂ 1
2
3
grad( )
(cid:1)(cid:2) e
(cid:1)(cid:2) e
ϕ = ∇ϕ =
+
+
(cid:1)(cid:2) e 1
2
3
1 a
1 b
1 c
(cid:1)(cid:2) e
(cid:1)(cid:2) e
+
+
(cid:1)(cid:2) e 1
2
3
1 c
v
=
2
2
2
+
+
1 b
1 a 1 a
1 b
1 c
Véctơ pháp tuyến đơn vị:
bc
ab
r v
uur e
uur e
=
+
+
ur e 1
2
3
2
2
2
2
2
2
2 a b
2 2 b c
2 c a
2 a b
2 c a
2 a b
2 2 b c
2 c a
ca 2 2 b c
+
+
+
+
+
+
16
hay:
(mặt ABC nghiên đều với các trục tọa độ), khi đó véctơ
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Trường hợp đặc biệt: a
b
c
=
= r v
uur e
uur e
=
+
+
ur e 1
2
3
1 ± 3
1 ± 3
1 ± 3
pháp tuyến đơn vị của mặt là:
A( 2, 2, 1);
−
− − − , biết mặt cầu có tâm I( 2;1;3)
Ví dụ 1.2: Tìm véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
và bán kính R=5.
2
2
2
x
2
x
x
3
5
+
+
−
+
−
=
Lời giải:
)
(
) 1
(
)2
2
3
1
2
2
Phương trình của mặt cầu: (
x
2
x
x
3
ϕ =
+
+
−
+
−
(
)
(
(
)2
1
2
3
grad( )
ϕ =
+
−
+
−
( 2 x
( 2 x
(cid:1)(cid:2) ) 3 .e
1
3
3
Hàm vô hướng:
− − − ta có:
grad( )
( 2 x 2 (cid:1)(cid:2) 6.e
(cid:1)(cid:2) ) 1 .e 2 (cid:1)(cid:2) 8.e
ϕ =
−
−
) 1 (cid:1)(cid:2) ) 2 .e + 1 (cid:1)(cid:2) 0.e 1
2
3
2
2
grad( )
8
10
ϕ =
0 6 +
+
=
17
Tại điểm A( 2, 2, 1)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(cid:2) v
(cid:1)(cid:2) 0, 6.e
(cid:1)(cid:2) 0,8.e
=
−
−
(cid:1)(cid:2) 0.e 1
2
3
(cid:2) v (0; 0,6; 0,8)
=
−
−
Suy ra véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt cầu tại điểm A: hay
1.4.2 Trường véctơ
(x ,x ,x )trong hàm xác định.
1
2
3
Trường véctơ là một hàm véctơ của các điểm
(cid:2) a(x ,x ,x ) 2 3
1
a ;a ;a , thì ta có định nghĩa:
Giả sử có trường véctơ với các hình chiếu lên ba trục tọa độ Descartes
2
3
3
2
(cid:2) div(a)=
+
+
vuông góc là: 1
a ∂ x ∂
a ∂ x ∂
a ∂ 1 x ∂ 1
3
(1.16)
3
2
(cid:1)(cid:2) e
(cid:2) rot(a)=
(cid:2) a ∇ × =
2 (cid:1)(cid:2) e 1 a ∂ 1 x ∂
(cid:1)(cid:2) e 3 a ∂ x ∂
2 a ∂ x ∂
1
3
2
a
a
a
1
3
2
18
(1.17)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 1.5 Khái niệm về tenxơ
Thực tế trong toán học chúng ta đã gặp một số loại đại lượng:
- Đại lượng vô hướng: là đại lượng mà đặc trưng cho đại lượng là các con số. Trong
thực tế có một số đại lượng là đại lượng vô hướng như: khối lượng, thời gian v.v…
- Đại lượng có hướng (đại lượng véctơ): là đại lượng mà đặc trưng cho đại lượng
ngoài các con số còn có phương và chiều. Trong thực tế có một số đại lượng là đại lượng
có hướng như: vận tốc, gia tốc, lực v.v…
Ngoài 2 đại lượng vừa trình bày, trong thực thế còn những đại lượng đặc trưng cho
một trạng nào đó của môi trường mà đại lượng này không phụ thuộc vào cách chọn hệ
trục tọa độ. Các đại lượng này được biểu diễn bởi một số giá trị nào đó gọi là thành phần
của đại lượng. Đối với những hệ trục khác nhau thì những thành phần này cũng thay đổi
19
theo một quy luật nào đó (có thể xác định các thành phần của đại lượng này trong hệ trục
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT tọa độ mới nếu biết các thành phần của đại lượng này trong hệ trục tọa độ cũ). Những đại
lượng có quy tắc thay đổi các thành phần như vậy được gọi là đại lượng tenxơ.
1=
Một tenxơ có n3 phần tử thì tenxơ đó có hạng là n. Như vậy tenxơ hạng 0 sẽ có 03
3= phần tử, tenxơ hạng 2 sẽ có 23
9= phần tử, tenxơ hạng
phần tử, tenxơ hạng 1 sẽ có 13
27=
phần tử v.v… 3 sẽ có 33
(cid:2) ox x x véctơ a
)
1 2 3
a ;a ;a 1 2
3
trong hệ trục tọa độ , như vậy có tọa độ (
ox x x thì ta cũng có thể xác định được tọa độ
(cid:2) Xét một véctơ a (cid:2) nếu biết tọa véctơ a
1 2 3
(cid:2) véctơ a
trong hệ trục tọa độ
ox' x' x' như vậy ta nói đại lượng véctơ cũng chính là
1
2
3
trong hệ trục tọa độ mới
một đại lượng tenxơ và vì tenxơ này có 3 phần tử nên ta nói véctơ là đại lượng tenxơ hạng
“1”. Tương tự như thế, đại lượng vô hướng cũng có thể được coi là tenxơ hạng “0”. Như
vậy đại lượng tenxơ là một đại lượng tổng quát mà các đại lượng vô hướng và đại lượng
20
có hướng là các trường hợp riêng của nó.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
23
9= , nếu gọi các thành phần của tenxơ hạng 2 là
Tenxơ hạng hai là đại lượng có
ija (i, j 1, 2,3) =
11
12
13
a
a a
a a
a a
ij
21
22
23
(
)
a
a
a
=
31
32
33
thì ta có thể biểu diễn tenxơ hạng 2 dưới dạng ma trận sau:
a
a
a=
a= − .
ji
ij
ji
ij
21
Tenxơ hạng 2 được gọi là đối xứng nếu: ; phản xứng nếu:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Một số phép tính cho tenxơ hạng 2 (ma trận):
]TA
] B
[ A=
]T
- Phép chuyển trí [
]A thành ma trận [
]B và ký hiệu [
Phép chuyển trí của ma trận [
hàng của ma trận này thành cột của ma trận kia và ngược lại. Các số hạng của ma trận [ là thay đổi ]B
b
a=
ji
ij
A
được xác định: .
]
[ B±
]
- Phép cộng, trừ hai ma trận [
Điều kiện để cộng hoặc trừ hai ma trận cho nhau là hai ma trận này phải cùng kích
]A và [
]B là ma trận [
]C mà các số hạng trong ma trận
thước. Tổng (hiệu) của hai ma trận [
c
a
b
=
±
ij
ij
ij
được xác định: .
]Aλ [
22
- Phép nhân ma trận với một vô hướng
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
]A với một vô hướng λ là ma trận [
]B với các phần tử của ma trận
b
[
]B được xác định:
ij
ij
a= λ .
Tích của ma trận[
] ] [ A . B
- Phép nhân hai ma trận[
]A có kích thước (mxn) chỉ nhân được với ma trận [
]B có kích thước
Xét ma trận [
]C có kích thước (mxk). các phần tử của ma trận [
]C được xác định:
c
=
+
+
+(cid:3)
ij
a .b i1 1j
a .b i 2
2 j
a .b in
nj
(nxk) thành ma trận [
23
.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
1.6 Bài tập
Bài 1.1
0
−
Xác định hàng cuối cùng của ma trận bậc (3x3) cho dưới đây để có được ma trận biến đổi
3 5 0
4 5 0
1
c
c
c
31
32
33
hệ trục tọa độ:
−
4 5
Bài 1.2
1
ijc :
−
12 25 3 5 16 15
9 25 4 5 1 2
3 5
24
Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(cid:2)
khi biến đổi hệ trục nhờ ma trận trên. Hãy xác định các thành phần của véctơ a(2,1, 1)−
Bài 1.3
ijc :
−
−
2 2
0
−
2 2
1 2 2 2 1 2
1 2 2 2 1 2
(cid:2) c
(cid:2) . Tìm các thành phần của véctơ tổng a
Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ
(cid:2) c(3, 1, 1) − −
(cid:2) b = +
(cid:2) và véctơ b(1, 2,3); biến đổi hệ trục tọa độ.
25
trong phép
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 1.4
ijc :
2 2
0
−
−
3 2 10 4 5 3 2 10
2 2
2 2 5 3 − 5 2 2 5
Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ
− trong hệ trục tọa độ mới.
−
26
Xác định tọa độ của điểm M( 4,3, 1)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Chương 2: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
2.1 Ứng suất
P3
P...
P...
P
Pi
Pi
P2
(II)
K
(I)
A
x 2
x 2
P1
P...
P...
Pn
Pn
x 1
x 1
0
0
x 3
x 3
2.1.1 Ứng suất, Nội lực
27
Hình 2.1 Ứng suất tại một điểm
(cid:2) p
=
tb
(2.1) Ứng suất trung bình tại điểm K:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT (cid:1)(cid:2) P A
∆ ∆
(cid:2) p
=
v
lim
(cid:1)(cid:2) P A
∆ ∆
A 0 ∆ →
Pν1
ν
Pν
Pν νσντ
Pν1
x 2
Pν3
x 2
x 1
x 1
0
0
x 3
x 3
Ứng suất tại điểm K: (2.2)
b) a)
Hình 2.2 Các thành phần ứng suất tại một điểm
28
Ứng suất tại điểm K chiếu lên các trục tọa độ (hình 2.2a):
(2.3)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT (cid:2) p
(cid:2) p
(cid:2) p
(cid:2) p
+
=
+
v
v1
v2
v3
v
v
Ứng suất tại điểm K phân ra hai thành phần (hình 2.2b):
(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) vp = σ + τ
(2.4)
(cid:1)(cid:2) vσ
trong đó: : có phương hướng theo phương pháp tuyến của mặt cắt ngang và được gọi
(cid:2) vτ
22σ
32τ
12τ
x 2
x 2
x 2
21τ
11σ
23τ
31τ
13τ
x 1
x 1
33σ x 1
0
0
0
x 3
x 3
x 3
là ứng suất pháp; :có phương tiếp tuyến với mặt cắt ngang và được gọi là ứng suất tiếp.
29
Hình 2.3 Ứng suất trên các mặt
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
x2
ox x x có 1 trục là vuông góc với mặt cắt
σ22
1 2 3
Trong trường hợp đặc biệt khi hệ trục
τ21
dx 3
ngang (chẳng hạn trục
τ31
τ23
σ33 τ12
τ13
σ11
σ11
τ32
τ32
x1
τ13
τ31
τ12
τ23
dx2
pháp theo phương trục
2ox và
τ21
σ33
theo trục
12τ ;
là:
x3
σ22
dx1
phương pháp tuyến là trục
22σ ;
21τ ;
phần ứng suất:
Hình 2.4 Ứng suất trên các mặt của
1ox ) thì ứng suất 1ox được ký hiệu là 11σ ; ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang lúc này được phân thành hai thành phần có phương 3ox được ký hiệu lần lượt 13τ . Tương tự như vậy, trên mặt có 2ox có các thành 23τ ; trên mặt có 3ox có các thành
phương pháp tuyến là trục
phần tố lập phương
33σ ; 31τ ; 32τ (hình 2.4).
30
phần ứng suất:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Tại một điểm bất kỳ trong vật thể, khi tách ra một phân tố hình lập phương mà các mặt
của phân tố này có phương pháp tuyến lần lượt trùng với phương các trục tọa độ của hệ
ox x x thì trên các mặt của phân tố này có các thành phần ứng suất (hình 2.4):
1 2 3
trục
11σ ;
22σ ;
33σ .
- 3 thành phần ứng suất pháp:
21τ ;
23τ ; 32τ ; 31τ ; 13τ .
- 6 thành phần ứng suất tiếp: 12τ ;
Quy ước cách viết ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp có hai chỉ số thì chỉ số đầu tiên là chỉ
số của trục tọa độ có phương trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ 2 là chỉ
số của trục tọa độ có phương là phương của véctơ ứng suất.
Quy ước dấu của các thành phần ứng suất:
- Đối với ứng suất pháp: Ứng suất pháp được coi là dương khi có hướng cùng với
31
hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
- Đối với ứng suất tiếp:
+ Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt trùng với chiều dương của 1 trục tọa độ
thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều cùng (ngược) với chiều dương của
trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó.
+ Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt ngược với chiều dương của 1 trục tọa độ
thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều ngược (cùng) với chiều dương của
trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó.
2.1.2 Hệ thống ký hiệu ứng suất
ox x x , ngoài ra hệ trục tọa độ
1 2 3
Trong mục 2.1.1 là khi hệ trục tọa độ được ký hiệu là
còn được ký hiệu là oxyz vì vậy hệ thống ký hiệu ứng suất có thể viết dưới các dạng khác
32
nhau sau:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
σ
σ
σ
σ
τ
τ
xx
xz
xy
x
xz
11
13
12
σ σ
σ σ
σ σ
yx
yz
yy
yx
y
21
23
22
σ σ
σ σ
σ σ
τ τ
τ yz σ
xy σ τ
σ
σ
σ
zx
zz
zy
zx
z
zy
31
33
32 (A)
(B)
(C)
; ;
2.2 Các phương trình vi phân cân bằng
Khi cho môi trường chịu tác dụng của các ngoại lực:
- Lực thể tích: là các lực phân bố bên trong không gian của môi trường và được ký
ix ký hiệu tương ứng là: if .
hiệu: f ; khi chiếu lên 3 trục tọa độ
*
- Lực bề mặt: là các lực phân bố trên bề mặt của môi trường và được ký hiệu: *f ; khi
ix ký hiệu tương ứng là:
if .
chiếu lên 3 trục tọa độ
Ta tưởng tượng chia môi trường ra thành các phần tử bằng các mặt phẳng vuông góc
với các trục tọa độ, nếu căn cứ vào ngoại lực tác dụng thì có thể phân thành 2 loại phần tử: 33
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
- Phần tử loại 1: là các phần tử chỉ chịu tác dụng của lực thể tích;
- Phần tử loại 2: là phần tử chịu tác dụng cả lực thể tích và lực bề mặt.
x 2
2.2.2 Phương trình cân bằng cho phân tố loại 1
Xét tại một điểm bất kỳ trong vật
dx 3
thể nghiên cứu, tách ra một phân tố có
dx dx dx . Trên 8 mặt của
1
2
3
τ12
+
τ12 x1
τ12
kích thước
σ11
+
σ11
σ11 x1
phân tố có các thành phần ứng suất như
x 1
τ13
dx2
τ13
+
τ13 x1
hình 2.5. Xét cân bằng phân tố, chiếu
các phương trình cân bằng lên 3 trục
dx1
x 3
tọa độ ta có:
Hình 2.5 Ứng suất trên trên phân tố loại 1 34
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
+
+
ρ
f + = 1
2 d u 2 dt
∂σ 11 x ∂
∂τ 12 x ∂
∂τ 13 x ∂
1
2
3
f
0
+
+
+
=
ρ
2
2 d v 2 dt
∂σ 22 x ∂
∂τ 23 x ∂
∂τ 21 x ∂ 1
2
3
f
0
+
+
+
=
3
2 d w 2 dt
∂τ 31 x ∂
∂τ 32 x ∂
∂σ 33 x ∂
ρ
1
2
3
(2.5)
Trường hợp cân bằng tĩnh thì vế phải bằng “0”; trường hợp cân bằng độ vế phải là giá
trị trong ngoặc (chính là các thành phần lực quán tính).
21
2.2.2 Định luật đối ứng ứng suất tiếp
32
τ = τ 12 τ = τ 23 τ = τ 31
13
35
(2.6)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 2.2.3 Phương trình cân bằng cho phân tố loại 2
x 2
Khi thỏa mãn các phương trình cân
bằng (2.5) thì mới chỉ có các phân tố bên
trong thỏa mãn điều kiện cân bằng. Để vật
σ33
v
dx2 * f 1
τ31
thể cân bằng thì ngoài các phân tố bên
τ12
σ11
trong thỏa mãn điều kiện cân bằng, các
τ32
x 1
* f2 dx1
τ23
* f3 τ21
phân tố nằm giáp ngoài biên cũng cần
phải được thoả mãn điều kiện cân bằng.
τ13 dx 3
σ22
Do đó những điểm nằm trên bề mặt của
x 3
vật thể sẽ phải cân bằng với các ngoại lực
tác dụng trên bề mặt của vật thể như hình
Hình 2.6 Ứng suất trên trên phân tố loại 2 2.6. Phương trình cân bằng viết cho các
36
phân tố giáp với bề mặt vật thể:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
n
m
11
13
*
m
n
* f 1 f
23
2
m
n
f
12 l τ + σ + τ = 21 22 l τ + τ + σ = 31 32
33
* 3
σ + τ + τ = l
(2.7)
trong đó:
l, m, n - các cosin chỉ phương của phương pháp tuyến ngoài bề mặt vật thể đàn hồi tại
*
điểm đang xét;
;f
* f ;f 1
2
* 3
- các thành phần ngoại lực theo 3 trục x, y, z tác dụng trên một đơn vị diện
37
tích mặt ngoài của vật thể đàn hồi.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 2.3 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
x 2
có cosin chỉ Gọi véctơ pháp tuyến của mặt (cid:2) cắt nghiêng là v
σ33
v
dx2 p v1
τ31
phương là (l,m,n). Các thành
τ12
phần ứng suất trên mặt cắt
σ11
τ32
x 1
pv2 dx1
pv3
τ23
(p ,p ,p ). Dựa vào cân bằng
τ21
v1
v2
v3
nghiêng chiếu lên ba trục tọa độ là
τ13 dx 3
σ22
x 3
phân tố ta sẽ có:
38
Hình 2.7 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
n
m
p
11
13
m
n
v1 p
23
v2
m
n
p
l σ + τ + τ = 12 l τ + σ + τ = 21 22 τ + τ + σ = l
33
31
32
v3
(2.8)
2
2
2
p
p
p
p
Ứng suất toàn phần trên mặt cắt nghiêng:
=
+
+
(
)
(
)
(
)
v
v1
v2
v3
(2.9)
vip lên phương pháp tuyến
Ứng suất pháp trên mặt cắt nghiêng (chiếu các thành phần
n.p
của của mặt cắt ngang):
l.p m.p +
+
σ = v
v1
v2
v3
(2.10)
2
2
p
Ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng:
(
)
( − σ
)
τ = v
v
v
39
(2.11)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 2.4 Tenxơ ứng suất
Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các ứng suất tại các mặt của phân tố
lập phương tại điểm đó. Trạng thái ứng suất của một điểm sẽ lập thành tenxơ hạng 2 hay
σ
σ
σ
11
12
13
còn gọi là tenxơ ứng suất. Ký hiệu:
21
22
23
Tσ
σ σ
σ σ
= σ σ
31
32
33
(2.12)
Một tenxơ ứng suất Tσ có thể phần thành 2 thành phần: tenxơ lệch ứng suất Dσ và
tenxơ cầu ứng suất oT σ.
+
=
T D T o σ
σ
σ
(2.13)
40
trong đó:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(
)
σ
σ
tb
12
13
D
)
(
=
21
tb
23
σ
(
)
σ − σ 11 σ σ
σ − σ 22 σ
31
32
σ σ − σ 33
tb
0
0
=
; (2.14)
T o σ
σ tb 0
0 σ
σ tb 0 0
tb
11
33
; (2.15)
σ = tb
σ + σ + σ 22 3
. (2.16)
2.5 Phương chính, ứng suất chính
2.5.1 Một số khái niệm
- Mặt chính: là mặt có ứng suất tiếp bằng không.
41
- Phương chính: là phương của mặt chính.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT - Ứng suất chính: là ứng suất trên mặt chính.
2.5.2 Xác định phương chính, ứng suất chính
(cid:2) Gọi véctơ pháp tuyến của mặt cắt chính là v
* Ứng suất chính:
có cosin chỉ phương là (l,m,n). Ứng suất
p
l ;p
m ;p
n .
= σ
= σ
= σ Thay vào (2.8) ta được:
v1
v2
v3
n
0
12
11
13
m
n
0
chính là σ, các thành phần ứng suất trên mặt cắt chính chiếu lên ba trục tọa độ là:
) ) σ − σ + τ =
(
( l τ + 21
23
22
m
0
(
)
l n τ + τ + σ − σ = 31
32
33
σ − σ + τ + τ = l m
(2.17)
42
Để hệ phương trình (2.17) có nghiệm (không có nghiệm tầm thường) thì:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
)
(
σ
σ
13
det
(
)
0
=
21
)
(
σ − σ 11 σ σ
12 σ − σ 22 σ
31
32
σ 23 σ − σ 33
3
(2.18)
I
0
2 σ − σ + σ −
= (2.19)
I . 2
I . 1
3
I ;I ;I được gọi là 3 bất biến và được tính bằng công thức:
hay:
2
3
= σ + σ + σ
22
11
33
22
11
13
23
11
12
I
=
+
+
2
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
I 1 σ σ
31
33
21
22
11
12
13
I
3
21
22
23
σ = σ σ
32 σ σ σ
33 σ σ σ
31
32
33
43
trong đó: 1
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
;
;
σ σ σ tương ứng với 3 ứng suất
1
2
3
Giải phương trình (2.19) sẽ tìm được 3 nghiệm
;
;
σ σ σ của bài toán.
1
2
3
chính:
σ ≥ σ ≥ σ . 2
3
1
Quy ước là:
* Phương chính: Muốn tìm phương chính của ứng suất chính nào thì thay giá trị ứng
suất chính tướng ứng vào 2 trong 3 phương trình của hệ (2.17) và kết hợp với phương
2
2 2 l m n
1
+
+
= (2.20)
trình:
1σ , bằng việc ta đi giải
Ví dụ muốn tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính
44
hệ phương trình:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
n
m
0
1
11
12
13
m
n
0
( l τ + 21
) ) σ − σ + τ = 1
22
23
2
2 2 l m n
1
( +
=
+
σ − σ + τ + τ = l
1.σ
45
Nghiệm của hệ là phương chính tương ứng với ứng suất chính
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 2.6 Ứng suất tiếp lớn nhất
(cid:2) Gọi véctơ pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tiếp lớn nhất là v
(l,m,n). Các thành phần ứng suất trên mặt cắt nghiêng chiếu lên ba trục tọa độ là
(p ,p ,p ). Dựa vào cân bằng phân tố ta sẽ có:
v1
v2
v3
n
m
p
13
11
m
n
v1 p
có cosin chỉ phương là
23
v2
m
n
p
l σ + τ + τ = 12 l τ + σ + τ = 21 22 τ + τ + σ = l
32
33
31
v3
(2.21)
2
2
2
p
p
p
p
=
+
+
Ứng suất toàn phần trên mặt cắt nghiêng:
(
)
(
)
(
)
v
v1
v2
v3
(2.22)
vip lên phương pháp tuyến
Ứng suất pháp trên mặt cắt nghiêng (chiếu các thành phần
46
của của mặt cắt ngang):
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
n.p
l.p m.p +
+
σ = v
v1
v2
v3
(2.23)
2
2
p
Ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng:
(
)
( − σ
)
τ = v
v
v
(2.24)
Thay (2.21), (2.22), (2.23) vào (2.24) sẽ được vτ là hàm theo (l,m,n). Vì ứng suất đạt
cực trị nên ta có bài toán quy hoạch theo biến (l,m,n):
max
τ →
2
Hàm mục tiêu:
2 2 (l m n )
+
+
= 1
Các ràng buộc:
Giải bài toán cực trị có ràng buộc bằng phương pháp thừa số Largrange sẽ tìm được
47
ứng suất tiếp lớn nhất:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
2
2
τ
= ±
max,1
3
1
1
1
τ
= ±
max,2
3
3
3
τ
= ±
max,3
σ − σ 1 2 σ − σ 2 2 σ − σ 3 1 2
2
2
2
(2.25)
1
1
1
và tìm được phương pháp tuyến của
mặt có ứng suất tiếp lớn nhất
3
3
3
045 (hình 2.8).
nghiêng với các trục chính một góc
Hình 2.8
Những mặt có ứng suất cực trị được gọi là mặt trượt và ứng suất tiếp cực trị trên mặt
48
trượt được gọi là ứng suất tiếp chính.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 2.7 Ứng suất trên mặt bát diện
Ứng suất trên các mặt nghiêng đều với các phương chính của của trạng thái ứng suất
tại một điểm được gọi là ứng suất trên mặt bát diện.
0
0
σ 2 0
Trạng thái ứng suất trên các mặt chính là:
σ 1 0
0 0 σ 3
(2.26)
l m n =
= = ±
3 3
Cosin chỉ phương của các mặt bát diện là:
(2.27)
49
Ứng suất trên các mặt bát diện là:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
p
;p
;p
;
= ±
= ±
σ
= ±
σ
v1
σ 1
v2
2
v3
3
3 3
3 3
3 3
2
2
2
2
2
2
(
)
)
( + σ
)
σ 1
3
p
p
p
p
=
+
+
=
(
)
(
)
(
)
bd
v1
v2
v3
( + σ 2 3
l.p
m.p
n.p
+
+
=
)
(
σ = bd
v1
v2
v3
σ + σ + σ 2
1
3
1 3
2
2
2
2
2
p
(
)
(
)
(
)
=
(
)
( − σ
)
τ = bd
bd
bd
σ − σ 1
2
+ σ − σ 2
3
+ σ − σ 3 1
1 3
50
(2.28)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 2.8 Một số ví dụ
Ví dụ 2.1: Tìm ứng suất chính và phương của các ứng suất chính của trạng thái ứng suất
T σ
1 2 4
=
4 2 1 2 2 0 2 (kN / cm )
cho bởi tenxơ:
Lời giải
I ;I ;I : 2
3
I 1
4 0 4 8 = σ + σ + σ = + + = 33
11
22
22
23
11
13
11
12
I
4.0 2.2 0.4 2.2 4.4 1.1 7
=
+
+
=
−
+
−
+
=
−
2
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
21
22
32
33
31
33
51
Bước 1: Tính các bất biến 1
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
σ
σ
σ
11
12
24
I
4.0.4 2.2.1 2.2.1 1.0.1 4.2.2 2.2.4 −
+
+
−
−
= −
3
21
22
= σ σ
σ σ
13 σ = 23 σ
31
32
33
3
Bước 2: Xác định ứng suất chính:
I
2 σ − σ + σ −
I . 2
I . 1
3
0 =
3
28.
7.
24
0
σ − σ + σ +
= (a)
Ứng suất chính là nghiệm của phương trình:
2
2
2
6, 275(kN / cm );
3(kN / cm );
1, 275(kN / cm ).
σ = −
σ = 1
σ = 2
3
Nghiệm của phương trình (a) là:
Bước 3: Xác định các phương chính
2 6, 275(kN / cm )
σ = 1
- Phương chính ứng với ứng suất chính thứ nhất .
52
Phương chính tương ứng với ứng suất chính thứ nhất là nghiệm của hệ phương trình:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
+
+
=
) 4 6, 275 .l 2.m 1.n
0
−
+
+
=
2
( 2 2 l m n
) 0 6, 275 .m 2.n 1
=
+
+
( − 2.l
0,645
0, 411
= −
(b)
0,645
0,645
= l 0,645 m 0, 411 ; = = − n
l = − m = n
Giải hệ phương trình (b) ta được:
2 3(kN / cm )
σ = 2
- Phương chính ứng với ứng suất chính thứ hai .
0
+
=
0
−
+
+
=
Phương chính tương ứng với ứng suất chính thứ hai là nghiệm của hệ phương trình:
2
) 4 3 .l 2.m 1.n + ) ( 0 3 .m 2.n 2 2 l m n
1
+
+
=
( − 2.l
53
(c)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
l
0,707
= −
= l 0,707 m 0,000 ; = = − n 0,707
= − m 0,000 = n 0,707
Giải hệ phương trình (c) ta được:
2 1, 275(kN / cm )
σ = −
3
- Phương chính ứng với ứng suất chính thứ ba .
0
4 1, 275 .l 2.m 1.n +
+
=
)
0
+
+
+
=
Phương chính tương ứng với ứng suất chính thứ ba là nghiệm của hệ phương trình:
2
( 2 2 l m n
) 0 1, 275 .m 2.n 1
+
=
+
( + 2.l
0, 291
= −
(d)
0,911
0, 291
l = − m 0,911 ; = = − 0, 291 n
= l 0, 291 m = n
54
Giải hệ phương trình (d) ta được:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Ví dụ 2.2: Cho tenxơ ứng suất:
x
2
3 3
2x x 1 0
2 2x (kN / cm )
=
2
3
T σ
2x
− x
−
2 2x 1 2x x 1 3 x 3
3
2 2
x
2x
−
+
4 =
2x 1
2
3
Hãy tìm ứng suất tại điểm K(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình:
Lời giải
1 2 2 (kN / cm )
8 0
=
T σ
− 4
2 −
8 8 1
55
Bước 1: Tenxơ ứng suất tại điểm K:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bước 2: Các cosin chỉ phương của véctơ pháp tuyến tại K trên mặt cắt ngang cho bởi
phương trình:
2
1 −
;
l
=
=
;
n
m
= −
=
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 3
1 3
2 3
+
+
+
( ) 2
( ) 1 + −
( ) 2
( ) 2
( ) 1 + −
( ) 2
( ) 2
) ( 1 + −
( ) 2
2
Bước 3: Tính các thành phần ứng suất toàn phần trên mặt cắt ngang chiếu lên ba trục tọa
v1
p p
8 0
2 / 3 1/ 3
2 (kN / cm )
=
1 2 −
−
v2
p
4
2 / 3
4
2 −
8 8 1
=
10 / 3 4
v3
độ:
2
2
2
2
2
2
p
p
p
p
2 6,566(kN / cm )
=
+
+
=
+
+
=
( 10 / 3
)
( ) 4
( ) 4
(
)
(
)
(
)
v
v1
v2
v3
56
Bước 4: Ứng suất toàn phần trên mặt cắt ngang:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bước 5: Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang:
l.p
m.p
n.p
(2 / 3).(10 / 3)
2 ( 1 / 3).4 (2 / 3).4 32 / 9 3,556(kN / cm )
+
+
=
+ −
+
=
≈
σ = v
v1
v2
v3
2
2
2
2
p
(6,566)
(3,556)
2 5,52(kN / cm )
=
−
=
(
)
( − σ
)
τ = v
v
v
Bước 6: Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang:
T σ
=
4 2 1 2 2 0 2 (kN / cm ) 1 2 4
Ví dụ 2.3: Cho tenxơ ứng suất:
Hãy tìm tenxơ cầu ứng suất, tenxơ lệch ứng suất và phương chính, ứng suất chính của
tenxơ lệch ứng suất.
57
Lời giải
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bước 1: Tính ứng suất pháp trung bình:
(
) / 3
2 2,67(kN / cm )
=
+ +
=
≈
(
) 4 0 4 / 3 8 / 3
σ = σ + σ + σ 11
22
tb
33
Bước 2: Tính các tenxơ lệch ứng suất :
D
2 (kN / cm )
=
−
=
−
σ
2 (0 2,67) 2
1 2 (4 2,26)
2 2,67 2
−
− (4 2,67) 2 1
1,33 2 1
1 2 1,33
Tenxơ lệch ứng suất:
Bươc 3: Xác định các ứng suất chính của tenxơ lệch ứng suất và phương chính của tenxơ
lệch ứng suất (giống như ví dụ 2.1):
I ;I ;I : 2
3
I 1
0 = σ + σ + σ = 22
33
11
58
Tính các bất biến 1
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
22
23
11
13
11
12
14,33
I
+
+
= −
=
2
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
32
33
31
33
21
22
σ
σ
σ
11
12
13
I
4, 413
3
21
22
23
= σ σ
σ σ
σ = − σ
31
32
33
3
Xác định ứng suất chính:
I
2 σ − σ + σ −
I . 2
I . 1
3
0 =
3
20.
14,33.
4,513
0
σ − σ −
σ +
= (e)
Ứng suất chính là nghiệm của phương trình:
2
2
2
3,933(kN / cm );
0,315(kN / cm );
3, 618(kN / cm ).
σ = −
σ = 1
σ = 2
3
Nghiệm của phương trình (e) là:
59
Xác định các phương chính
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2 3,933(kN / cm )
σ = 1
- Phương chính ứng với ứng suất chính thứ nhất .
0
+
+
=
2,67 3,933 .m 2.n
0
+
=
Phương chính tương ứng với ứng suất chính thứ nhất là nghiệm của hệ phương trình:
)
2
− ( + − 2 2 l m n
1
+
+
=
( ) 1,33 3,933 .l 2.m 1.n 2.l −
l
0,577
= −
(f)
= l 0,577 m 0,392; = = n 0,717
m 0,392 = − = − n 0,717
Giải hệ phương trình (f) ta được:
2 0,315(kN / cm )
σ = 2
- Phương chính ứng với ứng suất chính thứ hai .
60
Phương chính tương ứng với ứng suất chính thứ hai là nghiệm của hệ phương trình:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
+
+
=
2,67 0,315 .m 2.n
0
+
=
)
2
− ( + − 2 2 l m n
1
+
=
+
( ) 1,33 0,315 .l 2.m 1.n 2.l −
0,705
0,003
(g)
0,709
0,709
0,705 l = − m 0,003; = = n
= l m = − = − n
Giải hệ phương trình (g) ta được:
2 3, 618(kN / cm )
σ = −
3
- Phương chính ứng với ứng suất chính thứ ba .
0
+
+
=
2,67 3,618 .m 2.n
0
+
=
Phương chính tương ứng với ứng suất chính thứ ba là nghiệm của hệ phương trình:
)
2
+ ( + − 2 2 l m n
1
+
+
=
( ) 1,33 3,618 .l 2.m 1.n 2.l +
61
(h)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
l
0,399
= −
= −
= l 0,399 m 0,900 ; = = − n 0,171
m 0,900 = n 0,171
Giải hệ phương trình (h) ta được:
4
2
2
−
2
1
2 3 (kN / cm )
−
T σ
2
1
3 −
= −
Ví dụ 2.4: Cho tenxơ ứng suất tại điểm K:
Hãy tìm ứng suất tiếp cực trị và ứng suất trên các mặt nghiêng đều với các phương
chính tại điểm K.
Lời giải
62
* Xác định ứng suất tiếp cực trị
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bước 1: Xác định các ứng suất chính
I ;I ;I : 2
3
I 1
6 = σ + σ + σ = 22
33
11
σ
σ
σ
σ
σ
σ
12
22
23
11
13
11
I
+
+
4 = −
=
2
σ
σ
σ
σ
σ
σ
22
32
33
31
33
21
σ
σ
σ
11
12
13
I
24
3
21
22
23
= σ σ
σ σ
σ = − σ
31
32
33
Các bất biến 1
3
26.
4.
24
0
σ − σ + σ −
= (i)
Ứng suất chính là nghiệm của phương trình:
63
Nghiệm của phương trình (i) là:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
2
6(kN / cm );
2(kN / cm );
2(kN / cm ).
σ = −
σ = 1
σ = 2
3
2
2 2(kN / cm )
τ
= ±
= ±
= ±
max,1
3
2 2(kN / cm )
= ±
τ
= ±
= ±
max,2
2 4(kN / cm )
= ±
τ
= ±
= ±
max,3
σ − σ 1 2 σ − σ 2 2 σ − σ 3 1 2
6 2 − 2 2 ( 2) − − 2 2 6 − − 2
Bước 2: Xác định các ứng suất tiếp cực trị
* Xác định ứng suất trên mặt nghiêng đều với các phương chính tại K
Cách 1:
64
Trong hệ trục tọa độ ứng suất chính, tenxơ ứng suất là:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
6 0 0 2
0 2 0 (kN / cm )
T σ
0 0
2 −
=
Các cosin chỉ phương của véctơ pháp tuyến tại K trên mặt cắt ngang cho bởi phương
l
;m
;n
=
=
=
3 3
3 3
3 3
trình:
p
6 0
0
3
v1
=
=
v2
2 3 3
p p
0 2 0 0
0 2 −
2 1 (kN / cm ) 1 −
v3
3 / 3 3 / 3 3 / 3
65
Tính các thành phần ứng suất toàn phần trên mặt cắt ngang chiếu lên ba phương chính:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
2
2
2
2
p
p
p
p
=
+
+
=
+
(
)
(
)
(
)
v
v1
v2
v3
2 3 1
2 3 3
2 3 3
+ −
p
2 3,83(kN / cm )
=
≈
v
44 3
Ứng suất toàn phần trên mặt cắt ngang:
l.p
m.p
n.p
.
.
.
2 2(kN / cm )
+
+
=
+
+
−
=
σ = v
v1
v 2
v3
3 2 3 3
1
3 2 3 3
3
3 3
2 3 3
Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang:
2
2
p
2 3,266(kN / cm )
=
4 − =
≈
(
)
( − σ
)
τ = v
v
v
44 3
32 3
66
Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Cách 2: Áp dụng trực tiếp công thức
;
p
;p
; p
= ±
σ = ±
= ±
σ = ±
= ±
σ = ±
v1
1
v 2
2
v3
3
3 3
2 3 1
3 3
2 3 1
3 3
2 3 1
2
2
2
2
2
2
+
2
2
2
(
)
( + σ
)
( ) 6
( 2 + −
)
( + σ
)
σ 1
3
p
p
p
p
2 3,83(kN / cm )
=
=
+
+
=
≈
=
(
)
(
)
(
)
bd
v1
v2
v3
( ) 2 3
44 3
2 3
l.p
m.p
n.p
2 2(kN / cm )
+
+
=
6 2 2 + −
=
)
(
(
)
σ = bd
v1
v2
v3
σ + σ + σ = 2
1
3
1 3
1 3
2
2
2
2
2
2
2
2
p
(
)
(
)
(
)
( 2 6)
2 3,266(kN / cm )
=
=
(6 2) −
+
(2 2) +
+ − −
≈
(
)
( − σ
)
τ = bd
bd
bd
σ − σ 1 2
+ σ − σ 2 3
+ σ − σ 3 1
1 3
1 3
67
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 2.9 Bài tập
Bài 2.1
o
x 1
Trên hình vẽ 2.9 biểu diễn mặt cắt ngang
x 2
của thân đê (OAB) chịu tác dụng của áp lực
q=γx2
nước trên bờ OB.
A
B
q
x= γ
2
1. Hãy xác định điều kiện biên biết
x 2
2. Giả sử tính được ứng suất trong thân
68
đê là: Hình 2.9 Bài 2.1
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
.x
σ = −γ
2
11
.
.x
−
+
−
1
2
22
2 γ 2 tan
γ 2 tan
p tan
β
β
p .x
(a)
.x
21
12
1
β
0
σ = β σ = σ = −
γ 2 tan σ = σ = σ = σ = σ = 31
33
23
32
13
Hãy thử xem với điều kiện nào thì hệ ứng suất (a) thỏa mãn các phương trình cân bằng.
Tìm tải trọng tác dụng trên các bờ OA, OB.
Bài 2.2
Trong dầm chịu uốn mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh=1xh) như hình vẽ 2.10. Ta có
69
ứng suất trong dầm như sau:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
x 2
l/2
l/2
x 1
h
x 3
b
2
2
.x
.x
M
+
−
−
+
2
2 .x x 1
2
3 2
0
σ = 11
ql 8
ql 20
6q 3 h
4q 3 h
12 3 h
2
3
.x
(b)
σ = −
−
+
22
2
6q 3 h
3 x 2 3
h 4
h 12
2
−
12
21
6q h 3 4 h
2 x .x 2 1
σ = σ = −
70
Hình 2.9 Bài 2.2
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
a) Hãy thử xem với điều kiện nào thì hệ ứng suất (a) thỏa mãn các phương trình cân
bằng.
b) Tìm tải trọng tác dụng ở mặt ngoài dầm.
Bài 2.3
0
−
2 x x 1
2
1
x
−
3 2
2
( ) 1 x x 2 ( 3x
)
2 0 (kN / cm )
=
−
1
T σ
) ( 1 x x 2
0
3 0
2
Cho tenxơ ứng suất:
Hãy xác định:
71
a) Điều kiện để các phương trình cân bằng thỏa mãn
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
b) Ứng suất chính tại điểm K(2, 0, 2 2 )
c) Ứng suất tiếp cực trị tại K.
Bài 2.4
4 3
8 4
Hãy xác định ứng suất chính và phương ứng suất chính của tenxơ ứng suất:
T σ
T σ
0 2 2 (kN / cm ) − 1
3 − 2 − 2 −
1 3
−
2 −
5 3 = − 0
=
1 − 2 3 (kN / cm )
a) b)
Bài 2.5
72
Trạng thái ứng suất của một điểm trong vật thể cho bởi tenxơ ứng suất:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
3
a.x 0
0 2 a.x (kN / cm )
=
−
0 a.x 1
3
T σ
0
a.x
0
−
3
Trong đó a là một hằng số.
a) Hãy chứng tỏ rằng hệ ứng suất trên thỏa mãn phương trình vi phân cân bằng khi
không có lực khối.
x
2.x
+
−
2 =
2.x 1
2
3
b) Tìm ứng suất tại điểm P(4;4;7) trên mặt phẳng:
c) Tìm ứng suất tại điểm P(4;4;7) trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu:
x
x
x
64
+
+
=
2 1
2 2
2 3
tại P.
d) Tính ứng suất chính và phương ứng suất chính tại P.
73
e) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất tại P.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 2.6
Hãy xác định tenxơ lệch biến dạng và phương chính, ứng suất chính của tenxơ lệch
2
4 −
3 −
5 6
3 2 4 (kN / cm )
=
−
ứng suất cho bởi tenxơ ứng suất:
T σ
T σ
3
4 −
2 −
2 1 −
10 5
3 = − 2
2 1 (kN / cm ) − 2 −
b) a)
2
Bài 2.7
5(kN / cm );
σ = 1
2
2
2(kN / cm );
3(kN / cm ).
σ = −
σ = 2
3
Cho giá trị ứng suất chính tại một điểm của vật thể là:
Hãy xác định ứng suất toàn phần, ứng suất pháp và
ứng suất tiếp trên mặt nghiêng đều với các phương chính đi qua điểm đó.
74
Bài 2.8
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
a.
2 (kN / cm )
b. c.
=
σ a. σ
σ σ
σ σ
T σ
b.
c.
σ
σ
σ
Cho tenxơ ứng suất:
Hãy xác định giá trị của các hằng số a, b, c sao cho ứng suất trên mặt nghiêng đều với
ba trục tọa độ bằng không.
Bài 2.9
=
T σ
2 11 5 −
6 2 5 (kN / cm ) − 9 −
12 2 6
r
Cho tenxơ ứng suất tại điểm K của vật thể đàn hồi:
75
Tìm ứng suất trên mặt đi qua điểm M có véctơ pháp tuyến: v(2; 4; 3)−
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Chương 3: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
3.1 Khái niệm chuyển vị
M'
x 2
t
t= , vật thể chưa biến dạng. Giả sử tại một
0
u2
Xét một vật thể đàn hồi, tại thời điểm ban đầu
M
u1
M x , x , x . Dưới tác dụng của
)
(
1
3
2
1 2 3
u3
x 1
0
ox x x là: ngoại lực làm vật thể bị biến dạng và điểm M
điểm bất kỳ M trong vật thể, trong hệ tọa độ
x 3
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) . MM'
dịch chuyển sang vị trí mới là M’ có tọa độ
(
)
M ' x ' , x ' , x ' 1 3
2
được gọi là chuyển vị của
Hình 3.1
(cid:1)(cid:1)(cid:2) u
(cid:1)(cid:1)(cid:2) u
điểm M.
=
+
+
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MM ' u 1
2
3
76
Ta có:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
1
2
2
u u u
x x x
x 1 x x
= = =
− − −
3
' 1 ' 2 ' 3
3
trong đó: (3.1)
1
2
1
2
1
2
Các thành phần chuyển vị u, v, w là các hàm tọa độ của điểm:
u u u
= = =
3
f (x , x , x ) 1 3 f (x , x , x ) 2 3 f (x , x , x ) 3 3
1
2
(3.2)
2
u
u
δ =
+
+
=
2 u 1
2
2 3
F(x ,x ,x ) 2 3
1
Chuyển vị toàn phần của điểm M:
(3.3)
3.2 Khái niệm biến dạng
Tại điểm M trong vật thể, tách một phân tố hình hộp có các mặt song song với các mặt
tọa độ (hình 3.2). Khi vật thể biến dạng thì phân tố sẽ chuyển sang vị trí mới, nếu giả 77
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT thuyết phân tố không biến dạng, để xác định vị trí mới của phân tố thì chỉ với 3 thành phần
chuyển vị tại điểm M chưa đủ vì hình hộp chữ nhật có thể quay quanh cạnh MN ( song
1x ) hoặc cạnh MP ( song song với trục
2x ) hoặc cạnh MR ( song song với
song với trục
3x ) hoặc trục bất kỳ không song song với các trục tọa độ, lúc đó cần phải kể đến 3
trục
x 2
thành phần góc xoay. Những thành phần này
P'
N'
M'
R'
P
được gọi là các thành phần xoay cứng, ký
23ω ( quay quanh trục
31ω ( quay
1x );
M
N
R
hiệu
12ω ( quay quanh trục
2x );
3x ).
x 1
quanh trục
0
31 0 ω = ω = ω =
12
23
Trường hợp đặc biệt nếu
x 3
nghĩa là không có sự quay tại điểm khảo sát,
thường được gọi là biến dạng thuần túy.
78
Hình 3.2
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
P1
Khi phân tố bị biến dạng thuần túy thì
9
0
P'
N1
0 - γ
9
x x1
0
2
các cạnh bị biến dạng dài, góc vuông bị thay
°
N'
1x
M
đổi gọi là biến dạng góc. Trên hình vẽ 3.3
P
v
1 2Ox x . Vị trí ban đầu là (MNP), sau khi
M
N
biểu diễn hình chiếu của phân tố trên mặt
(M N P ).
1 1
1
u
biến dạng thì vị trí là
Hình 3.3
3.3 Quan hệ vi phân giữa chuyển vị và biến dạng bé
1 1M N P , tại điểm
1
M (x , x ) 1
2
1
2
u (x , x ). 1
2
2
Xét phân tố MNP sau khi biến dạng trở thành phân tố
u (x , x );
79
chuyển vị tương ứng là: 1
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
+
N(x 1
dx , x ) 1 2
x 2
dx2
1
Điểm có chuyển vị tương
+
u (x , x ) 1 2
1
dx ; 1
u ∂ x ∂
1
u+ u x2 P 2
P 1
β
2 x d 2 vx
2
N 1
ứng là:
dx
+
u (x , x ) 1 2
2
1
u ∂ x ∂
1
α
+ v
1 x d 1 vx
P
v
N 2
.
2 x d
+
P (x , x 1
2
dx ) 2
+ v
M
1
Điểm có chuyển vị
+
dx1
u (x , x ) 1 2
1
dx ; 2
M1 N u+ u x1
u ∂ x ∂
2
u dx1
2
x 1
tương ứng là:
dx
+
u (x , x ) 1 2
2
2
u ∂ x ∂
2
.
80
Hình 3.4
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
;ε x ,x lần lượt là: 11
1
2
ε . Biến dạng góc trong 22
Biến dạng dài tỷ đối theo các phương
;
γ = α + β
ox x là: 12
1 2
mặt phẳng
β (cid:4) 1;
α (cid:4) 1;
ε (cid:4) 1; 11
ε (cid:4) 1; 22
tg
sin
;cos
sin
;cos
α ≈
α ≈ α
β ≈
β ≈β
α ≈ tg 1;
1. β ≈
1
Khi giả thuyết là biến dạng bé nên có thể coi rằng:
;
ε = 11
M N MN − 1 MN
Theo định nghĩa: (3.4)
=
=
MM dx ; = 1
M N 1 1
M N 1
2
M N 1 2 cos α
1
1
trong đó: (3.5)
dx
u
dx
u
1
dx
=
+
+
−
=
+
M N 1
2
1
1
1
1
1
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
1
Theo hình (3.4): (3.6)
81
Thay (3.5), (3.6) vào (3.4) ta được:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
1
1
1
M N MN M N MN =
=
ε = 11
− 1 MN
− 2 MN
u ∂ x ∂
1
(3.7)
1 2
1 1
2
tương tự:
M P MP M P MP =
=
ε = 22
− MP
− MP
u x
∂ ∂
2
(3.8)
2
2
u
dx
u
+
−
2
1
2
2
(3.9)
tg α ≈ α =
=
=
=
u ∂ x ∂
N N 1 2 M N 1
2
1
1
1
1
dx
1
+
+
1
u ∂ x ∂ 1 u ∂ x ∂
u ∂ x ∂ 1 u ∂ x ∂
1
1
tương tự:
82
Góc quay của cạnh MN là:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
1
(3.10)
tg φ ≈ β =
u ∂ x ∂
2
Suy ra biến dạng góc trong mặt phẳng
ox x là: 1 2
2
1
(3.11)
+
γ = α + β = 12
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
2
Tương tự bằng cách sử dụng hoán vị vòng tròn nhận được quan hệ giữa chuyển vị và
biến dạng bé như sau:
3
1
2
;
;
ε = 11
ε = 22
ε = 33
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
3
2
(3.12)
3
3
2
1
2
1
;
;
;
+
+
+
12
12
2 γ = ε = 23
23
2 γ = ε = 31
31
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
γ = ε = 2
3
2
2
1
1
3
hoặc viết dưới dạng tổng quát:
83
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
u ∂
j
i
+
ε = ij
1 2
u ∂ x ∂
x ∂
j
i
(3.13)
Công thức (3.13) biểu diễn mỗi quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng với
các thành phần chuyển vị đang xét tại thời điểm t, các công thức này được thiết lập nhờ
mối quan hệ hình học.
3.4 Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị
thêm sự thay đổi của phương các đường chéo phân tố gọi là chuyển động quay. Ta xét
0
ε = ε = ε = . Có 3 thành phần chuyển động
Để xét được đầy đủ chuyển động của phân tố trong mỗi mặt phẳng tọa độ ta cần xét
22
33
;
;
quay tương ứng:
ω ω ω . 23
31
12
84
đường chéo phân tố với các giả thiết: 11
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
x 2
x 2
α= v x1
Q 1
P 1
Q Q 1
P
P
Q
β
β
ω =α/2
2
N 1
β=
ω =β/2
u x2
x 1
x 1
1
M
M
N
N
α=
v x1
Hình 3.5
Góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng
1 2
ox x là:
2
−
ω = ω + ω = 1
12
2
1 2
u ∂ 1 x ∂
(3.14a)
u ∂ x ∂ 1
2
85
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Tương tự ta cũng viết được góc quay của các đường chéo phân tố trong hai mặt phẳng
còn lại:
2
1
−
ω = 12
1 2
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
2
3
2
−
ω = 23
(3.14b)
1 2
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
2
3
3
1
−
31
1 2
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
3
1
ω =
biểu diễn tuyến tính qua các đạo hàm riêng bậc nhất của các hàm chuyển vị
u , u , u . Các 3
1
3
Chú ý: Các công thức (3.14b) cho thấy các hàm biến dạng và các góc quay cứng được
86
đạo hàm riêng này được viết dưới dạng ma trận:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
u ∂ 1 x ∂
u ∂ 1 x ∂
u ∂ 1 x ∂ 1
2
3
2
2
2
(3.15)
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂ 1
2
3
3
3
3
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂ 1
2
3
Về mặt toán học có thể biểu diễn (3.15) dưới dạng tổng của hai ma trận:
ε 1
γ 12
γ 13
u ∂ 1 x ∂
u ∂ 1 x ∂
u ∂ 1 x ∂ 1
2
3
1 2
0
ω
x31
2
2
2
−ω 12 0
=
γ
ε
γ
(3.16)
21
2
23
1 2 1 2
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂ 1
2
3
ω 23 0
−ω
+ ω 12 −ω
31
23
3
3
3
γ
γ
ε
31
32
3
1 2 1 2
1 2
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂ 1
2
3
87
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Ma trận thứ nhất của vế phải là ma trận đối xứng biểu thị biến dạng thuần túy, ma trận
thứ hai của vế phải biểu thị sự quay cứng.
Xét một đoạn vô cùng bé bất kỳ MN=ds có cosin chỉ phương v là (l,m,n). Tọa độ của
các điểm tại thời điểm ban đầu:
+
+
+
M(x ,x ,x ); N(x 2 1
1
3
dx , x 1
2
dx , x 2
3
dx ). 3
Cosin chỉ phương của đoạn thẳng:
l
;m
;n
.
=
=
=
dx 1 ds
dx 2 ds
dx 3 ds
Tọa độ của các điểm tại thời điểm sau biến dạng:
+
+
+
M(x 1
u ,x 1
2
u ,x 2
3
u ); 3
dx
u
dx
u
+
+
+
+
+
+
+
+
+
N(x 1
dx 1
u 1
du , x 1
2
2
du , x 2
3
3
du ). 3
3
2
Các thành phần vi phân của chuyển vị
du ,du ,du : 2
1
3
88
3.5 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
1
1
du
dx
dx
=
+
+
1
1
2
dx ; 3
u ∂ 1 x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
2
2
2
2
(3.17)
du
dx
dx
dx
=
+
+
2
1
2
3
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
3 u ∂ x ∂
1
2
3
3
3
3
du
dx
dx
dx
=
+
+
3
1
2
3
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
2
3
và biến dạng tương đối
Gọi chiều dài của đoạn thẳng sau khi biến dạng là
ds M N= 1
1
1
theo phương v là:
ds
(3.18)
=
−
ε = v
ds − 1 ds
ds 1 ds
1
2
2
2
(3.19)
2
=
2 → ε + ε +
=
(
) 1
ε + v
v
v
(
) 1
ds 1 ds
ds 1 ds
89
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
2
2
ds 1
(3.20)
2 ε + ε =
1 − =
v
v
ds 2
ds 1 ds
− ds
Nếu bỏ qua vô cùng bế bậc 2 của biến dạng thì (3.20) được viết thành:
2
2
(3.21)
ε = v
ds 2
ds − 1 2ds
Nhưng:
2
2
2
ds
du
+
+
2 1
2
3
2
2
2
dx
du
dx
du
dx
du
+
=
+
+
+
+
(3.22)
= )
du (
du )
(
(
)
2 ds 1
1
1
2
2
3
3
Sau khi thay
ds ;ds (3.15) vào (3.14) và biến đổi, kết quả biến dạng tương đối theo
1
phương v là:
2
2
2
(3.23)
.l
.m
.n
.n.l
+ ε
+ ε
2. + ε
.l.m 2. + ε
.m.n 2. + ε
ε = ε v
11
33
12
22
23
31
90
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(i, j 1 3)
ε = ε
= ÷ (3.24)
hoặc viết gọn lại: v
.l .l i
j
ij
Biểu thức (3.24) chứng tỏ khi biết được 9 thành phần biến dạng ( 11;ε
22 ;ε
33;ε
;
;
;
;
;
γ
γ
γ
γ
γ
12
21
23
32
31
γ ) thì có thể tính được biến dạng theo 1 phương bất kỳ. Nói cách khác, 13
khi biết các thành phần của ma trận biến dạng:
γ
γ
ε 11
12
13
1 2
ε 11
ε 12
ε 13
(3.25)
γ
ε
γ
21
22
23
21
22
23
1 2 1 2
ε ε
ε ε
= ε ε
31
32
33
γ
γ
ε
31
32
33
1 2 1 2
1 2
ta có thể tính được biến dạng theo 1 phương bất kỳ. Ta gọi các thành phần biến dạng được
sắp xếp theo ma trận (3.25) là tenxơ biến dạng, ký hiệu là Tε. Như vậy tenxơ biến dạng
91
đặc trưng cho trạng thái biến dạng tại một điểm.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 3.6 Biến dạng chính, phương biến dạng chính
Do sự tương quan về toán học giữa tenxơ biến dạng và tenxơ ứng suất tại một điểm bất
kỳ của môi trường, tại điểm này tồn tại 3 trục chính vuông góc nhau. Các trục chính này
;
;
ε ≥ ε ≥ ε . Các biến dạng
này gọi là biến dạng chính và ký hiệu là 1
ε ε ε và quy ước 1
3
2
2
3
chính này được xác định từ phương trình bậc 3 tương tự phương trình xác định ứng suất
chính (2.19).
)
(
det
(
)
0
ε − ε 11 ε
ε 13 ε
=
21
(
)
ε
ε 12 ε − ε 22 ε
31
32
23 ε − ε 33
hay:
J
0
3 ε −
2 ε +
ε −
= (3.26)
J . 1
J . 2
3
92
được gọi là phương của biến dạng chính, biến dạng tương ứng với các phương của các trục
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT trong đó:
J
= ε + ε + ε
11
22
33
ε
ε
ε 11
1 ε 12
22
23
ε 11
ε 13
(3.27)
J
=
+
+
2
ε
ε
ε
ε
ε
ε
21
22
31
33
32 ε 12
33 ε 13
ε 11
J
ε
ε
= ε
22
23
3
21
ε
ε
ε
32
33
31
Phương trình (3.27) bao giờ cũng tồn tại 3 nghiệm tương ứng là biến dạng chính:
;
;
ε ε ε . Sau khi tìm được biến dạng chính cũng tương tự như phương pháp tìm phương 1
2
3
chính của ứng suất chính chúng ta sẽ tìm được phương của biến dạng chính.
93
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 3.7 Tenxơ lệch biến dạng và tenxơ cầu biến dạng
Tương tự như tenxơ ứng suất tenxơ biến dạng Tε cũng có thể phần thành 2 thành phần:
tenxơ lệch biến dạng D ε và tenxơ cầu biến dạng
oT ε .
(3.28)
=
+
T D T o ε ε
ε
trong đó:
)
(
tb
D
(
)
=
ε − ε 11 ε
ε 13 ε
; (3.29)
21
tb
ε
(
)
ε
ε 12 ε − ε 22 ε
31
32
23 ε − ε 33
tb
0
0 0
=
ε
; (3.30)
T o
ε
0
tb 0
ε
ε tb 0
tb
94
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
33
. (3.31)
ε = tb
ε + ε + ε 11 22 3
Như vậy trạng thái biến dạng có thể phân tích thành 2 thành phần: Thành phần tenxơ
lệch biến dạng có biến dạng thể tích bằng không (bất biến thứ nhất bằng không), thành
phần tenxơ biến dạng thứ 2 có biến dạng dài theo ba phương bằng nhau và không có biến
dạng góc nên phân tố chỉ có biến dạng thể tích.
3.8 Các phương trình liên tục của biến dạng
liên tục từ điểm này sang điểm khác trong cùng một vật thể đàn hồi. Nếu khi cho 6 thành
phần biến dạng tùy ý mà không thỏa mãn về điều kiện tương thích về biến dạng thì trước
khi biến dạng môi trường liên tục về mặt biến dạng, nhưng sau khi biến dạng thì điều kiện
liên tục của các điểm trong vật thể không còn thỏa mãn nữa. Về mặt toán học điều kiện
liên tục chính là điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất, tức là mỗi trạng thái ứng suất
sẽ tương ứng với một trạng thái biến dạng và chuyển vị duy nhất.
95
Điều kiện tương thích về biến dạng là các biến dạng và chuyển vị cần đảm bảo tính
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
+
=
2 ∂ ε x ∂
2
+
=
2 ∂ ε 11 2 x ∂ 2 2 ∂ ε x ∂
22 2 1 2 ∂ ε x ∂
22 2 3
33 2 2
3
+
=
2 ∂ ε x ∂
33 2 1
2 ∂ ε 11 2 x ∂ 3
2 ∂ γ 12 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ γ 23 x x ∂ ∂ 2 2 ∂ γ 31 x x ∂ ∂ 3
1
=
−
+
1 ∂ 2 x ∂
∂γ 12 x ∂
∂γ 23 x ∂
∂γ 31 x ∂
2 ∂ ε 11 x x ∂ ∂ 2
3
1
3
1
2
=
−
+
1 ∂ 2 x ∂
∂γ 23 x ∂
∂γ 31 x ∂
∂γ 12 x ∂
2 ∂ ε 22 x x ∂ ∂ 3
1
2
1
2
3
(3.32)
=
−
+
1 ∂ 2 x ∂
∂γ 31 x ∂
∂γ 12 x ∂
∂γ 23 x ∂
2 ∂ ε 33 x x ∂ ∂ 1
2
3
2
3
1
96
Đối với bài toán không gian 3 chiều, các phương trình tương thích của bài toán là:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Các phương trình trên có thể viết gọn lại:
2 ∂ ε
2 ∂ ε
+
=
+
(3.33)
ij x x ∂ ∂ k
l
2 ∂ ε kl x x ∂ ∂ i
j
2 ∂ ε il x x ∂ ∂ j
k
jk x x ∂ ∂ i
l
- Nếu các biến dạng được xác định từ các hàm chuyển vị dựa vào mối quan hệ hình
học thì khi đó các phương trình liên tục về mặt biến dạng tự thỏa mãn.
- Nếu bằng một cách nào đó xác định được các thành biến dạng ( không phải xác định
từ các thành phần chuyển vị) thì để tìm các thành phần chuyển vị thì khi giải bài toán phải
kiểm tra xem các phương trình liên tục có thỏa mãn không và đây là điều kiên bắt buộc
phải kiểm tra khi giải quyết bài toán.
97
Chú ý:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 3.9 Một số ví dụ
u
u
.
=
=
=
u Cho trường chuyển vị: 1
a.x x ; 2 3
2
a.x x ; 3 1
3
a.x x 1 2
trong đó: a là một hằng số.
Hãy tính biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm K(1,1,1).
Ví dụ 3.1:
Các biến dạng dài:
3
1
2
0;
0;
0;
=
=
=
ε = 11
ε = 22
ε = 33
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
2
3
Các biến dạng góc:
98
Lời giải
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
1
2
ax
ax
+
=
+
=
2 γ = ε = 12
12
3
2ax ; 3
3
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
3
2
ax
ax
=
+
=
+
2 γ = ε = 23
23
1
1
2ax ; 1
2 u ∂ x ∂
1 u ∂ x ∂
3
2
3
1
ax
ax
=
+
=
+
2 γ = ε = 31
31
2
2
2ax ; 2
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
3
Tại điểm K các biến dạng sẽ là:
0;
2a;
ε = ε = ε = 11 22
33
γ = γ = γ = 12 23
31
99
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Ví dụ 3.2:
Cho tenxơ biến dạng:
4 −
4 0 1 0 1 0 .10
T ε
1 0 4
=
1- Hãy xác định các giá trị biến dạng chính và phương biến dạng chính của tenxơ biến
dạng.
r
2- Hãy xác định biến dạng dài theo phương v(1, 2, 1)−
1- Hãy xác định các giá trị biến dạng chính và phương biến dạng chính
Thay vì tính biến dạng chính cho tenxơ của bài toán, ta tìm biến dạng chính của tenxơ:
100
Lời giải
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
4 0 1
T ε
0 1 0 1 0 4
=
J ;J ;J : 2
3
J 1
4 1 4 9 = ε + ε + ε = + + = 33
22
11
ε
ε
22
23
J
+
+
=
=
4.1 0 1.4 0 4.4 1.1 23 − +
− +
=
−
2
ε
ε
ε 11 ε
ε 13 ε
ε 11 ε
ε 12 ε
32
33
31
33
21
22
J
15
ε 11 = ε
ε 12 ε
3
21
22
ε 13 ε = 23
ε
ε
ε
31
32
33
Bước 1: Tính các bất biến 1
101
Bước 2: Xác định biến dạng chính:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Biến dạng chính là nghiệm của phương trình: 3
J
ε −
2 ε +
ε −
J . 1
J . 2
3
0 =
23.
0
15
29. 3 ε − ε +
ε −
Nghiệm của phương trình (a) là: 1 5;
ε = 2 3;
= (a) ε = 3 1. ε =
4
Biến dạng chính của bài toán:
4 5.10 ;−
4 3.10 ;−
ε = 1
ε = 2
3 1.10 ;− ε =
4 5.10 ;−
- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ nhất
ε = 1
Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ nhất là nghiệm của hệ phương trình:
0
+
=
0
+
=
(b)
2
) 4 5 .l 0.m 1.n + ( ) 1 5 .m 0.n + − 2 2 l m n
1
=
+
+
( − 0.l
102
Bước 3: Xác định các phương của biến dạng chính
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2 / 2
2 / 2
;
Giải hệ phương trình (b) ta được:
2 / 2
n
2 / 2
= −
= l m 0 = n =
= − l m 0 =
4
- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ hai
2 3.10 ;− ε =
Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ hai là nghiệm của hệ phương trình:
0
+
=
0
+
=
(c)
2
) 4 3 .l 0.m 1.n + ( ) 1 3 .m 0.n + − 2 2 l m n
1
+
+
=
( − 0.l
2 / 2
2 / 2
;
Giải hệ phương trình (c) ta được:
n
2 / 2
2 / 2
= −
= l m 0 =
= − l m 0 = n =
103
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
4
- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ ba
3 1.10 ;− ε =
Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ ba là nghiệm của hệ phương trình:
0
4 1 .l 0.m n +
+ =
)
0
=
(d)
− 2
1
+
+
=
( − l 0.m (4 3)n + + 2 2 l m n
Giải hệ phương trình (d) ta được:
= l 0 m 1; = = n 0
= l 0 m 1 = − = n 0
104
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
r
2- Hãy xác định biến dạng dài theo phương v(1, 2, 1)−
r Cosin chỉ phương của phương v
1/ 6
n
= −
= l 1/ 6 m 2 / 6 ; =
r Biến dạng dài theo phương v
sử dụng công thức (3.23):
2
2
2
.l
.m
.n
.n.l
+ ε
+ ε
2. + ε
.l.m 2. + ε
.m.n 2. + ε
ε = ε v
11
22
33
12
31
23
4 −
1,667.10
− +
+
+
+
−
=
[
] 4.1 1.4 4.1 2.0.1.2 2.0.2.( 1) 2.0.( 1).1 +
ε = v
1 6
105
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Ví dụ 3.3:
Cho tenxơ biến dạng:
4 0 1 0 1 0
T ε
1 0 4
=
Hãy xác định các giá trị biến dạng chính và phương biến dạng chính của tenxơ lệch
biến dạng.
Lời giải
(
) / 3
=
4 1 4 / 3 9 / 3 3. =
+ +
=
(
)
ε = ε + ε + ε tb 11
22
33
Bước 1: Tính biến dạng dài trung bình:
106
Bước 2: Tính tenxơ lệch biến dạng :
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Tenxơ lệch biến dạng:
D
1 0
1 0
0 1 2 0
=
0 (1 3) −
=
−
σ
1
0
1
0
1
(4 3) −
− (4 3) 0
tenxơ lệch biến dạng (giống như ví dụ 3.2):
Tính các bất biến 1
J ;J ;J : 2
3
J 1
0 = ε + ε + ε = 22
33
11
ε
ε
ε 11
22
23
J
=
+
+
4 2 2 0 = − − + = −
2
ε
ε
ε 11 ε
ε 13 ε
ε
ε 12 ε
21
22
32
33
31
33
107
Bươc 3: Xác định các biến dạng chính của tenxơ lệch biến dạng và phương chính của
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
ε 11
ε 12
J
0
3
21
22
= ε ε
ε ε
ε 13 ε = 23 ε
31
32
33
Xác định biến dạng chính:
J
ε −
2 ε +
ε −
J . 1
J . 2
3
0 =
3
4.
0
0
20.
ε − ε − ε + = (e)
Nghiệm của phương trình (e) là:
2. ε = −
0; ε = 3
1 2; ε = 2
Xác định các phương chính
2
ε = .
- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ nhất 1
Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ nhất là nghiệm của hệ phương trình:
108
Ứng suất chính là nghiệm của phương trình: 3
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
=
+
0
+
=
(f)
2
) ( + − − 2 2 l m n
1
) 2 2 .m 0.n =
+
+
( − 1 2 .l 0.m 1.n + 0.l
2 / 2
2 / 2
;
Giải hệ phương trình (f) ta được:
2 / 2
n
2 / 2
= −
= l m 0 = n =
= − l m 0 =
0
ε = .
- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ hai 2
Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ hai là nghiệm của hệ phương trình:
0
+
=
0
+
=
(g)
2
) ( + − + 2 2 l m n
1
) 2 0 .m 0.n =
+
+
( + 1 0 .l 0.m 1.n + 0.l
109
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2 / 2
2 / 2
;
Giải hệ phương trình (g) ta được:
n
2 / 2
2 / 2
= −
= l m 0 =
= − l m 0 = n =
2
ε = − .
- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ ba 3
Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ ba là nghiệm của hệ phương trình:
0
=
)
0
=
(h)
2
+ ) 1
=
+
+
( + 1 2 .l 0.m 1.n + ( l 0.m 1 2 .n + + + 2 2 l m n
Giải hệ phương trình (h) ta được:
1 = − 0
= l 0 m 1; = = n 0
= l 0 m = n
110
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Ví dụ 3.4:
Cho tenxơ biến dạng của môi trường:
2 2
x x
x x
T ε
x
x x 1 2 2 x / 2 2 x
2 1 2 2 x x 1
2
2 2 3
3
=
Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không?
Tính các biến dạng chính tại điểm M(0,1,1).
Lời giải
Các thành phần biến dạng:
ε = 11
2 x ; 1
ε = 22
x ; 2
ε = 33
x ; 3
ε = 12
2 x ; 2
ε = 23
2 x / 2; 2
ε = 31
x x . 1 2
111
* Kiểm tra các phương trình liên tục:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Suy ra:
0;
0;
0;
0;
0;
0;
=
=
=
=
=
=
2 ∂ ε x ∂
2 ∂ ε x ∂
2 ∂ ε x ∂
2 ∂ ε x ∂
2 ∂ ε 11 2 x ∂ 2
2 ∂ ε 11 2 x ∂ 3
22 2 1
22 2 3
33 2 1
33 2 2
0;
0;
0;
2;
0;
0;
=
=
=
=
=
=
2 ∂ γ x ∂
2 ∂ γ x ∂
2 ∂ γ 12 x x ∂ ∂ 1
3
2 ∂ γ 12 x x ∂ ∂ 2
3
23 2 1
2 ∂ γ 23 x x ∂ ∂ 1
2
2 ∂ γ 23 x x ∂ ∂ 1
3
12 2 3
2;
0;
0;
0;
0;
0;
=
=
=
=
=
=
2 ∂ γ x ∂
2 ∂ γ 31 x x ∂ ∂ 1
2
31 2 2
2 ∂ ε 11 x x ∂ ∂ 2
3
2 ∂ ε 22 x x ∂ ∂ 3
1
2 ∂ ε 33 x x ∂ ∂ 1
2
2 ∂ γ 31 x x ∂ ∂ 2
3
Thay các đại lượng vừa tính vào phương trình liên tục về biến dạng:
112
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
+
0 = =
=
2 ∂ ε x ∂
2
0
+
0 = =
=
2 ∂ ε 11 2 x ∂ 2 2 ∂ ε x ∂
22 2 1 2 ∂ ε x ∂
22 2 3
33 2 2
3
0
+
0 = =
=
2 ∂ ε x ∂
33 2 1
2 ∂ ε 11 2 x ∂ 3
2 ∂ γ 12 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ γ 23 x x ∂ ∂ 2 2 ∂ γ 31 x x ∂ ∂ 3
1
0
0 = =
−
+
=
(2 2) −
=
1 2
1 ∂ 2 x ∂
∂γ 12 x ∂
∂γ 23 x ∂
∂γ 31 x ∂
2 ∂ ε 11 x x ∂ ∂ 2
3
1
3
1
2
0
=
(2 2) −
=
0 = =
−
+
1 2
∂γ 12 x ∂
1 ∂ 2 x ∂
∂γ 23 x ∂
∂γ 31 x ∂
3
2 ∂ ε 22 x x ∂ ∂ 3
1
2
1
2
0
0 = =
−
+
=
(2 2) −
=
1 2
1 ∂ 2 x ∂
∂γ 31 x ∂
∂γ 12 x ∂
∂γ 23 x ∂
2 ∂ ε 33 x x ∂ ∂ 1
2
3
2
3
1
Như vậy tất cả các phương trình liên tục đều thỏa mãn.
113
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Tại điểm M ta có tenxơ biến dạng:
0 1 0 1 1 0
T ε
0 0 1
=
Tính các bất biến 1
J ;J ;J : 2
3
J 1
2 = ε + ε + ε = 22
33
11
22
23
0
J
+
+
=
=
2
ε ε
ε ε
ε 11 ε
ε 13 ε
ε 11 ε
ε 12 ε
32
33
31
33
21
22
J
ε 11 = ε
ε 12 ε
3
21
22
ε 13 1 ε = − 23
ε
ε
ε
31
32
33
114
* Tính các biến dạng chính tại điểm M:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Xác định biến dạng chính:
J
ε −
2 ε +
ε −
J . 1
J . 2
3
0 =
3
1 0
0.
22.
ε − ε + ε + = (h)
Các biến dạng chính tại điểm M là nghiệm của phương trình (h) và có giá trị:
5
1
5
1
;
.
ε =
ε = 1
0; ε = 3 2
+ 2
− 2
115
Ứng suất chính là nghiệm của phương trình: 3
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 3.10 Bài tập
Khảo sát sự xoắn của một thanh tròn (hình
x 3
3.6) ta có các dịch chuyển là:
c
3
u 1 u
: const
= −τ = τ
ax + ax −
bx + 2 ex +
+ 3 f +
τ
2
3 bx
1 ex
3 k
u
x x 2 x x 1 = −
−
+
1
2
3
x 2
Hãy xác định:
a) Các hệ số a, b, c, d, e, f, k với điều kiện
x 1
là mặt cắt đầu thanh (
3x =0) ngàm cứng.
Bài 3.1
b) Tìm các trị số biến dạng.
116
Hình 3.6
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
c) Thử xem các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không
Khi xét một dầm chịu uốn (hình 3.7)
người ta tìm được các thành phần chuyển vị:
2
u
= −
x 1
1
x 3
x
+
−
2 1
2 x ) 3
u
v,
: const
=
ρ
2
x x 1 ρ 2 v(x 2 2 ρ
x 2
3
u
=
3
Hình 3.7
vx x 2 ρ
Hãy xác định:
117
Bài 3.2
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
a) Các thành phần biến dạng và hãy thử xem chúng thỏa mãn các phương trình liên tục
không.
b) Viết phương trình trục võng của dầm.
Cho các tenxơ biến dạng:
0
3
0
0
4 −
4 −
;
T ε
T ε
3 5 1 4 −
=
1 − 4 .10 2 −
0 3 = − 2 1
2 − 1 .10 0
a) Tìm các biến dạng chính và phương của biến dạng chính. (cid:1)(cid:2) 8.e
(cid:1)(cid:2) 5.e
b) Xác định biến dạng dài theo phương
.
+
−
(cid:1)(cid:2) (cid:2) v 2.e = 1
3
2
c) Xác định các giá trị biến dạng chính của tenxơ lệch biến dạng.
118
Bài 3.3
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 3.4
x
x
2 2
2
x
x
Trạng thái biến dạng của môi trường cho bởi tenxơ:
x x 1 2 x 3
T ε
x
x
2 1 2 2 x x 1
2
2 2 3
3
=
Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không?
Cho trường chuyển vị của môi trường:
u
3x
4 − x x .10 (cm);
=
+
−
1
2 1
2x x 1
2 3
2
3
(
)
u
4x
u
=
−
+
+
2
x x 1
2
3 2
3
4x x x 1
2
3
3
(
) 4 − 2 .10 (cm);
( = −
)2 4 − x .10 (cm)
1. Xác định tenxơ biến dạng của môi trường.
2. Xác định biến dạng chính thứ 3 và phương chính của nó tại điểm K (1;2;-2).
3. Xác định biến dạng dài tại điểm K theo phương
.
r v
=
−
( ) 1;0; 1
119
Bài 3.5
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Chương 4: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
Với vật thể đàn hồi tuyến tính, do đó mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là mối
quan hệ tuyến tính do đó:
σ
11
c 11
c 13
c 14
c 15
c 16
ε 11
c
c 12 c
c
c
c
c
21
22
23
24
25
26
c
c
c
c
c
c
31
32
33
34
35
36
=
c
c
c
c
c
c
(4.1)
12
41
42
43
44
45
46
23
51
52
53
54
55
56
23
c c
c c
c c
c c
c c
c c
σ σ
σ 22 σ 33 σ
ε 22 ε 33 ε 12 ε ε
31
61
62
63
64
64
66
31
trong đó:
ijc :là các hằng số đàn hồi của vật liệu, đối với bài toán đàn hồi tuyến tính có 36
hằng số.
Công thức (4.1) chính là công thức của định luật Hooke mở rộng.
120
4.1 Định luật Hooke
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 4.2 Thế năng biến dạng
x2
Xét một vật thể đàn hồi, khi chịu tác
σ22
dụng của ngoại lực thì vật thể bị biến dạng.
τ21
Các nội lực đàn hồi sẽ thực hiện một công
dx 3
τ31
nào đó trên những biến dạng đàn hồi. Ta sử
τ23
σ33 τ12
τ13
σ11
dụng giả thuyết của lý thuyết đàn hồi là
σ11
τ32
τ32
x1
công của lực đàn hồi chuyển hoàn toàn
τ13
τ31
τ12
τ23
dx2
thành thế năng tích lũy khi vật thể biến dạng
τ21
σ33
x3
trong một đơn vị thể tích được gọi là thế
dx1
σ22 Hình 4.1
năng riêng.
121
đàn hồi. Năng lượng tích lũy biến dạng
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Xét một phân tố, trên một của phân tố có các thành phần ứng suất. Công phân tố do các
nội lực sinh ra trong biến dạng đàn hồi:
dA
dV
dV
dV
dV
dV
dV
+ σ ε
+ σ ε
+ σ γ
11 11
22 22
33 33
23 23
12 12
31 31
1 = σ ε 2
1 2
1 2
1 + σ γ 2
1 2
1 + σ γ 2
(4.2)
dA
dV
=
σ ε + σ ε + σ ε + σ γ + σ γ + σ γ
)
(
33 33
12 12
23 23
22 22
11 11
31 31
1 2
Thế năng riêng:
(4.3)
U
=
σ ε + σ ε + σ ε + σ γ + σ γ + σ γ
(
)
33 33
12 12
23 23
22 22
11 11
31 31
dA 1 = dV 2
Công thức Castigliano cho vật thể đàn hồi tuyến tính:
(4.4)
ε = ij
U∂ ∂σ
ij
Công thức Green cho vật thể đà hồi tuyến tính:
(4.5)
σ = ij
U∂ ∂ε
ij
122
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 4.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
Ta có, đạo hàm riêng của thế năng riêng theo biến dạng không phụ thuộc vào thứ tự lấy
4.3.1 Tính đối xứng của ma trận các hằng số đàn hồi
2
2
(4.6)
=
U ∂ ∂ε ∂ε ij
kl
U ∂ ∂ε ∂ε kl
ij
Từ đó rút ra:
(4.7)
c
c=
ij
ji
Như vậy từ 36 hằng số độc lập giờ chỉ còn 21 hằng số độc lập.
123
đạo hàm nên:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 4.3.2 Vật thể đàn hồi trực hướng
Trong trường hợp tổng quát hệ số đàn hồi phụ thuộc vào cách chọn hệ trục tọa độ, vật thể như vậy gọi là vật thể dị hướng. Bây giớ xét vật thể có 1 mặt đối xứng (chẳng hạn mặt 1 2x x ) do đó khi ta thay đổi chiều của trục thì trong biểu thức U hệ số các biến dạng 23 ;γ γ 31 không thay đổi, nghĩa là:
c
c
c
c
0
=
=
=
=
=
=
=
= (4.8)
c 15
c 16
25
26
c 35
c 36
45
46
Như vậy ma trận các hằng số đàn hồi còn lại 13 thành phần độc lập và biểu thức định
luật Hooke có dạng:
124
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
0
σ
c 13
c 14
c 11
c 12
11
ε 11
c
c
c
0
0
23
24
22
c
c
0
0
33
34
=
(4.9)
c
0
0
44
12
đx
c
(
)
23
55
56
23
c c
σ σ
σ 22 σ 33 σ
ε 22 ε 33 ε 12 ε ε
31
66
31
Nếu 3 mặt đối xứng vuông góc nhau là
x x , x x , x x thì tương tự như trên ta tìm 1 2
3 1
2
3
c
0
=
=
=
= (4.10)
c 14
24
c 34
c 56
Như vậy ma trận các hằng số đàn hồi còn lại 9 thành phần độc lập và biểu thức định
luật Hooke có dạng:
125
được các hằng số triệt tiêu là:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
0
0
σ
c 13
c 11
c 12
11
ε 11
c
0
c
0
0
23
22
c
0
0
0
33
=
(4.11)
c
0
0
44
12
đx
c
(
)
23
55
23
0 c
σ σ
σ 22 σ 33 σ
ε 22 ε 33 ε 12 ε ε
31
66
31
Những vật thể có 3 mặt đối xứng như nhau gọi là vật thể trực hướng. Nếu vật thể trực
hướng có tính chất theo cả 3 phương như nhau thì ta có:
c
c
.
=
=
=
=
=
=
c 11
22
c ; 33
c 12
c 13
c ; 32
c 44
c 55
66
c ;c ;c . Ma trận hằng số đàn hồi của vật liệu
Lúc này chỉ còn 3 hằng số độc lập là: 11
12
44
có dạng:
126
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
0
0
c 11
c 12 c 11
0 0
0 0
0 0
c 12 c 12 c 11
c
(4.12)
ij
(
)
c
0
0
44
đx
c
0
(
)
44
c
=
44
Vật thể đẳng hướng: là vật thể có tính chất theo mọi phương là như nhau. Do đó khi
xoay trục thì các hằng số đàn hồi không thay đổi. Giả sử xoay các trục
x , x , x đến vị trí
1
2
3
các trục chính khi đó biểu thức U có dạng:
;c
Như vậy đối với vật thể đàn hồi đẳng hướng chỉ còn hai hằng số độc lập và ký hiệu: = λ
. = µ
c 12
44
Hai hằng số
,λ µ được gọi là hai hằng số Lame.
Biểu thức quan hệ giữa ứng suất và biến dạng sẽ có dạng là:
127
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
σ = λθ + µε
11
11
2
22
22
2
33
33
(4.13)
12
23
σ = λθ + µε σ = λθ + µε τ = µγ 12 τ = µγ 23 τ = µγ 31
31
trong đó:
θ = ε + ε + ε là biến dạng thể tích tương đối.
11
22
33
Nếu đặt
S = σ + σ + σ là bất biến thứ nhất của hàm ứng suất (hàm tổng ứng suất).
11
22
33
Biểu thức của định luật Hooke dưới dạng khối sẽ là:
S
3
2
=
λ + µ θ (4.14)
(
)
Giải hệ phương trình (4.13) theo các ẩn số là biến dạng sẽ ta được:
128
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
S
ε = 11
σ − 11
1 E
λ 2 3 µ + λ
S
ε = 22
σ − 22
1 E
λ 2 3 µ + λ
S
33
σ − 33
1 E
λ 2 3 µ + λ
;
γ = τ 12
12
γ = τ 23
23
(4.15)
γ = τ 31
31
1 µ 1 µ 1 µ
ε =
;
λ =
µ =
(4.16)
(1
2(1
E υ )(1 2 ) + υ − υ
E ) + υ
Hệ thức (4.15) được viết lại:
129
Đặt:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
( σ − υ σ + σ
)
ε = 11
22
11
33
( σ − υ σ + σ
)
ε = 22
33
22
11
( σ − υ σ + σ
)
ε = 33
33
11
22
1 E 1 E 1 E
2(1
γ = 12
τ 12
2(1
τ
γ = 23
23
2(1
(4.17)
γ = 31
τ 31
) + υ E ) + υ E ) + υ E
trọng đó: E được gọi là mô đun đàn hồi của vật liệu; υ gọi là hệ số poisson (hệ số nở
ngang);
Gµ = gọi là mô đun đàn hồi trượt của vật liệu.
130
4
2
E 2.10 (kN / cm );
0,25
υ =
=
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Ví dụ 4.1: Tại điểm K của vật thể đàn hồi có
với biến dạng
cho bởi tenxơ:
3 1 2 4 − 1 1 2 .10 2 2 1
1) Hãy xác định ứng suất toàn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp trên mặt cắt đi qua điểm
;
;0).
r v ( =
Yêu cầu
2 2
2 2
2) Tính ứng suất chính tại điểm K.
3) Xác định phương chính của ứng suất chính thứ nhất.
4) Tính suất tiếp lớn nhất
131
đang xét có véctơ pháp tuyến
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Lời giải:
1) Ứng suất toàn phần trên mặt cắt
Bước 1: Tính tenxơ ứng suất tại K:
Tính các hằng số Lame:
4
2 0,8.10 (kN / cm )
λ =
=
=
(1
E υ )(1 2 ) + υ − υ
4 2.10 .0,25 (1 0,25)(1 0,5) −
+
4
2 0,8.10 (kN / cm )
µ =
=
=
2(1
E ) + υ
4 2.10 2(1 0,25) +
Biến dạng thể tích tương đối:
4 5.10−
θ = ε + ε + ε =
11
22
33
132
Cách 1:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Theo định luật Hooke:
4
2
4 −
4 −
2
.
4 0,8.10 .5.10
2.0,8.10 .3.10
8,8kN / cm
σ = λ θ + µε =
+
=
11
11
4
2
4 −
4 −
2
.
4 0,8.10 .5.10
2.0,8.10 .1.10
5,6kN / cm
σ = λ θ + µε =
+
=
22
22
4
2
4 −
4 −
2
.
4 0,8.10 .5.10
2.0,8.10 .1.10
5,6kN / cm
σ = λ θ + µε =
+
=
33
33
4
2
4 −
2.0,8.10 .2.10
1,6kN / cm
2 σ = µε =
=
12
12
4
2
4 −
2.0,8.10 .4.10
3, 2kN / cm
2 σ = µε =
=
23
23
4
2
4 −
2.0,8.10 .4.10
3, 2kN / cm
2 σ = µε =
=
31
31
Tenxơ ứng suất tại điểm K là:
133
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
8,8 1,6 3,2 2 1,6 5,6 3,2 (kN / cm ) 3,2 3,2 5,6
Theo định luật Hooke
4
4 −
2.10
2 1,6(kN / cm )
=
τ = 12
γ = 12
2(1
E ) + υ
2.10 2(1 0, 25) +
4
4 −
4.10
2 3, 2(kN / cm )
=
τ = 23
γ = 23
2(1
E ) + υ
2.10 2(1 0,25) +
4
4 −
4.10
2 3, 2(kN / cm )
=
τ = 31
γ = 31
2(1
E ) + υ
2.10 2(1 0, 25) +
134
Cách 2:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
( σ − υ σ + σ
)
ε = 11
11
22
33
( σ − υ σ + σ
)
ε = 22
33
22
11
( σ − υ σ + σ
)
ε = 33
11
33
22
1 E 1 E 1 E
0,25
0,25
σ − 22
(a)
22
σ − 11 0, 25 0, 25
σ = ε 33 11 0, 25 σ = ε 33 σ + σ = ε
E 6 = E 2 = E 2 =
→ − −
σ + σ − 11 22 0, 25 σ − 11
33
33
22
Giải hệ phương trình (a) sẽ xác định đươc các thành phần ứng suất pháp:
2
2
2
8,8(kN / cm );
5,6(kN / cm );
5,6(kN / cm ).
σ = 11
σ = 22
σ = 33
mặt phẳng nghiêng:
135
Bước 2: Xác định các thành phần ứng suất theo ba phương của ứng suất toàn phần trên
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
p
m
n
l
.8,8
.1,6 0.3, 2 5, 2 2
+
+
=
v1
= σ + τ + τ = 12
11
12
2 2
2 2
p
m
n
l
.1,6
.5,6 0.3, 2 3,6 2
= τ + σ + τ =
+
+
=
v2
21
23
22
p
m
n
l
.3, 2
.3, 2 0.5,6 3, 2 2
+
+
=
v3
= τ + τ + σ = 32
31
33
2 2 2 2
2 2 2 2
Bước 3: Xác định ứng suất toàn phần:
2
2
2
p
p
p
p
2 10,2(kN / cm )
=
+
+
≈
(
)
(
)
(
)
v
v1
v2
v3
Ứng suất toàn phần trên mặt cắt nghiêng:
2 8,800(kN / cm )
+
+
≈
(
)
(
)
(
)
σ = v
p .l v1
p .m v2
p .n v3
136
Bước 4: Xác định ứng suất pháp trên mặt cắt nghiêng:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bước 5: Xác định ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng:
p
2 4,800(kN / cm )
τ = v
2 v
2 − σ ≈ v
8,8 1,6 3,2 2 1,6 5,6 3,2 (kN / cm ) 3,2 3,2 5,6
Tính các bất biến 1
I ;I ;I : 2
3
8,8 5,6 5,6 20 +
=
+
I 1
= σ + σ + σ = 22
33
11
22
23
11
13
11
12
I
106,88
=
+
+
=
2
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
21
22
32
33
31
33
137
2) Tính ứng suất chính tại điểm K.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
σ
σ
σ
11
12
I
146,94
3
21
22
= σ σ
σ σ
13 σ = 23 σ
31
32
33
Xác định ứng suất chính:
3
I
2 σ − σ + σ −
I . 2
I . 1
3
0 =
20.
106,88.
146,94 0
3 σ −
2 σ +
σ −
= (b)
Nghiệm của phương trình (b) là:
2
2
2
5,6(kN / cm );
2,14(kN / cm ).
σ =
1 12, 26(kN / cm );
σ = 2
σ = 3
Ứng suất chính là nghiệm của phương trình:
Phương chính tương ứng với ứng suất chính thứ nhất là nghiệm của hệ phương trình:
138
3) Xác định phương chính của ứng suất chính thứ nhất
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
8,8 12, 26 .l 1,6.m 3, 2.n +
+
−
=
0
) −
+
+
=
(c)
) 5,6 12, 26 .m 3, 2.n
2
( 2 2 l m n
1
+
+
=
( 1,6.l
0,7114
Giải hệ phương trình (c) trên ta được:
0,5513
0,5513
= l 0,7114 m 0, 4358; = = n
l = − m 0, 4358 = − = − n
139
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 4) Tính ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm K.
Theo công thức (2.52)
2
2 1,7298(kN/cm )
τ
= ±
= ±
max,1
3
2 5,0596(kN/cm )
τ
= ±
= ±
max,2
2 3,3298(kN/cm )
τ
= ±
= ±
max,3
σ − σ 1 2 σ − σ 2 2 σ − σ 3 1 2
140
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Ví dụ 4.2: Trạng thái ứng suất tại điểm K của môi trường cho bởi ten-xơ:
1
2
2 (kN/cm )
=
T σ
4 1 −
4 − 1 2
1 − 8
Biết: Mô đun đàn hồi
; hệ số Poát-xông
.
4 2 E 2.10 (kN / cm )
0,25
=
υ =
.
1. Xác định ten-xơ biến dạng tại điểm K. 2. Xác định biến dạng dài tại K theo phương pháp tuyến của mặt phẳng cho bởi phương trình: 3x 2y 2z 10
−
+
=
3. Xác định giá trị các biến dạng chính, phương của biến dạng chính thứ nhất
Yêu cầu:
Lời giải
Theo định luật Hooke:
141
1. Xác định ten-xơ biến dạng tại điểm K.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
4 −
4 0,25 4 8
3,5.10
=
+
= −
− −
(
)
( σ − υ σ + σ
)
ε = 11
22
11
33
4
4 −
1,5.10
− +
=
−
=
( 4 0,25 4 8
)
( σ − υ σ + σ
)
ε = 22
33
22
11
4
4 −
4 4
4.10
−
− +
=
=
( σ − υ σ + σ
)
(
)
ε = 33
11
33
22
8 0, 25
4
1 E 1 E 1 E
2(1
4 −
1 1, 25.10
=
γ = 12
τ = 12
4
(1 2
4 −
1, 25.10
( 1) − = −
γ = 23
τ = 23
4
) + υ E ) + υ E 2(1
4 −
2 2,5.10
=
γ = 31
τ = 31
4
) + υ E
1 2.10 1 2.10 1 2.10 2(1 0, 25) + 2.10 2(1 0,25) + 2.10 2(1 0,25) + 2.10
Trạng thái biến dạng tại K
142
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
4 −
−
0,625 1,5 0,625
4
−
− 3,5 0,625 1,25
1,25 0,625 .10
+
−
=
chỉ
Cosin
phương
véctơ
pháp
tuyến mặt
cắt
ngang:
.
(l, m, n)
3 / 17, 2 / 17, 2 / 17
=
−
. 2. Xác định biến dạng dài tại K theo phương pháp tuyến của mặt phẳng cho bởi phương trình: 3x 2y 2z 10
(
của ) Biến dạng dài tại K theo phương pháp tuyến của mặt phẳng:
ε = v
l l i
ε ij
j
4
4
4
−
−
−
1,5.10
4.10
4 − 2.10 .(0,625
0,625(
) 1, 25(
))
3,5.10
+
+
+
+ −
−
+
−
ε = − v
6 17
4 17
6 17
4 17
4 17
9 17 4 0,5588.10−
ε ≈ − v
143
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 3. Xác định giá trị các biến dạng chính
Thay vì tính biến dạng chính cho tenxơ biến dạng của bài toán, ta đi tính tính biến
dạng chính cho tenxơ biến dạng:
−
0,625 1,5 0,625
1,25 0,625 4
−
− 3,5 0,625 1,25
Tính các bất biến 1
J ;J ;J : 2
3
J 1
2 = ε + ε + ε = 22
11
33
22
23
J
-15,5938
=
+
+
=
2
ε ε
ε ε
ε 11 ε
ε 13 ε
ε 11 ε
ε 12 ε
21
22
32
33
31
33
144
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
ε 11
ε 12
J
-24,5156
3
21
22
= ε ε
ε ε
ε 13 ε = 23 ε
31
32
33
Xác định biến dạng chính:
Biến dạng chính là nghiệm của phương trình: 3
J
0
ε −
2 ε +
ε −
J . 1
J . 2
3
= (d)
3 ε − ε
22 -15,5938. +2415156 0 = ε
4,300;
3,800.
ε =
Nghiệm của phương trình (d) là: 1
ε = − 3
2 1,5; ε =
Vậy biến dạng chính của bài toán:
4 4,300.10 ;−
4 1,5.10 ;−
4 3,800.10 ;−
ε = 1
ε = 2
ε = − 3
4 4,300.10 ;−
- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ nhất
.
ε = 1
Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ ba là nghiệm của hệ phương trình:
145
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
3,5 4,3 .l 0,625.m 1, 25.n
0
−
+
+
=
0
+
−
−
=
(e)
)
2
) ( 1,5 4,3 .m 0,625.n 2 2 l m n
1
+
+
=
( − 0,625.l
0,14097
= −
Giải hệ phương trình (e) trên ta được:
0,9725
0,9725
= l 0,14097 m 0,1856; = n
l = − m 0,1856 = = − n
,
,
,
,
,
,
,
,
, ε ε
ε
σ σ σ ; 6 ẩn là biến dạng 11
ε 33
ε 12
11
12
22
23
31
23
22
3
2
Giải bài toán lý thuyết đàn hồi là xác định các chuyển vị, biến dạng và ứng suất khi môi trường chịu tác dụng của hệ lực cân bằng.Về ẩn số của bài toán: 3 ẩn là chuyển vị u ;u ;u ; 6 ẩn là ứng suất , ε σ σ σ 31 1 33 như vậy bài toán có tổng cộng 15 ẩn.
4.4 Đường lối giải bài toán của lý thuyết đàn hồi tuyến tính
146
Để giải 15 ẩn này ta tìm được 15 phương trình như sau:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 4.4.1 Hệ các phương trình cân bằng tĩnh học
- Phương trình cân bằng cho phân tố loại 1:
0
+
+
f + = 1
∂τ 12 x ∂
∂τ 13 x ∂
∂σ 11 x ∂ 1
2
3
f
0
+
=
+
+
(4.18)
2
∂σ 22 x ∂
∂τ 23 x ∂
1
2
3
f
0
+
+
+
=
3
∂τ 32 x ∂
∂σ 33 x ∂
∂τ 21 x ∂ ∂τ 31 x ∂ 1
2
3
- Phương trình cân bằng cho phân tố loại 2 (điều kiện biên):
n
m
11
13
12
* f 1
*
m
n
f
(4.19)
l τ + σ + τ = 21 22
23
2
m
n
f
l τ + τ + σ = 31 32
33
* 3
σ + τ + τ = l
147
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 4.4.2 Hệ các phương trình về mối liên hệ hình học
- Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng:
1
1
2
;
;
+
ε = 11
2 γ = ε = 12
12
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
3
2
2
;
;
+
(4.20)
ε = 22
2 γ = ε = 23
23
1 u ∂ x ∂
2 u ∂ x ∂
1 u ∂ x ∂
3
2
3
3
1
;
.
+
ε = 33
2 γ = ε = 31
31
2 u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
3
1
3
- Các phương trình liên tục:
148
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
;
;
+
=
=
−
+
1 ∂ 2 x ∂
∂γ 12 x ∂
∂γ 23 x ∂
∂γ 31 x ∂
2 ∂ ε 1 2 x ∂ 2
2 ∂ ε 2 2 x ∂ 1
2 ∂ γ 12 x x ∂ ∂ 1
2
2 ∂ ε 1 x x ∂ ∂ 2
3
1
3
1
2
(4.21)
;
;
+
=
=
−
+
1 ∂ 2 x ∂
∂γ 23 x ∂
∂γ 31 x ∂
∂γ 12 x ∂
2 ∂ ε 2 2 x ∂ 3
2 ∂ ε 3 2 x ∂ 2
2 ∂ γ 23 x x ∂ ∂ 2
3
2 ∂ ε 2 x x ∂ ∂ 3
1
2
1
2
3
;
.
+
=
=
−
+
1 ∂ 2 x ∂
∂γ 31 x ∂
∂γ 12 x ∂
∂γ 23 x ∂
2 ∂ ε 3 2 x ∂ 1
2 ∂ ε 1 2 x ∂ 3
2 ∂ γ 31 x x ∂ ∂ 3
1
2 ∂ ε 3 x x ∂ ∂ 1
2
3
2
3
1
- Biểu diễn ứng suất qua biến dạng:
11
11
2 2
; ;
; ;
(4.22)
22
22
23
2
;
.
σ = λθ + µε σ = λθ + µε σ = λθ + µε
33
33
τ = µγ 12 12 τ = µγ 23 τ = µγ 31
31
- Biểu diễn biến dạng qua ứng suất:
149
4.4.2 Hệ các phương trình về mối liên hệ vật lý
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2(1
;
;
( σ − υ σ + σ
)
ε = 11
22
11
33
γ = 12
τ 12
2(1
(4.23)
;
;
τ
( σ − υ σ + σ
)
ε = 22
22
33
11
γ = 23
23
2(1
;
.
τ
( σ − υ σ + σ
)
ε = 33
33
11
22
γ = 31
31
1 E 1 E 1 E
) + υ E ) + υ E ) + υ E
Để giải hệ các phương trình cơ bản trên ta có 3 phương pháp chọn ẩn số như sau:
1. Phương pháp chuyển vị: Chọn ẩn số của bài toán là các thành phần chuyển vị.
2. Phương pháp lực: Chọn ẩn số là các thành phần ứng suất:
Hai phương pháp đầu là hai phương pháp cơ bản. Ta nhận thấy về mặt toán học thì phương pháp chuyển vị là phương pháp đơn giản vì ẩn số chỉ có 3. Tuy nhiên vào một số bài toán củ thể khi tính toán theo phương pháp này tương đối phức tạp và ta thường sử
150
3. Phương pháp hỗn hợp: Chọn ẩn số cơ bản là một số chuyển vị và một số ứng suất.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT dụng phương pháp thứ lực thuận tiện hơn. Còn trong một số trường hợp cụ thể có thể sử dụng phương pháp hỗn hợp thuận tiện hơn.
Ta biến đổi các phương trình cân bằng (4.18) qua các hàm chuyển vị
u ;u ;u . Xét 1 3
2
phương trình đầu tiên của (4.18):
0
+
+
(4.24)
f + = 1
∂τ 12 x ∂
∂τ 13 x ∂
∂σ 11 x ∂ 1
2
3
Theo định luật Hooke (4.22)
151
4.5 Giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
1
2
2
σ = λθ + µε = λθ + µ
11
11
u ∂ x ∂
1
1
2
(4.25)
+
τ = µγ = µ 12
12
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
2
1
3
1
+
13
13
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
3
1
τ = µγ = µ
Thay (4.25) vào (4.24) ta được:
3
1
1
2
1
2
0
λθ + µ
+ µ
+
+ µ
+
f + = 1
u ∂ x ∂
∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
∂ x ∂
1
2
2
1
3
3
1
1
hay:
2
2
2
3
1
2
(4.26)
0
λ
+ µ
+
+
+ µ
+
+
f + = 1
2 2
∂θ x ∂
u ∂ 1 2 x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ 3 2 x ∂
∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
1
2
3
1
1
2
3
152
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
2
Nếu dùng toán tử Laplace của hàm u:
2 u ∇ =
+
+
2 2
u ∂ x ∂
u ∂ 3 2 x ∂
u ∂ 1 2 x ∂ 1
2
3
3
1
2
và:
θ =
+
+
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
2
3
Phương trình (4.26) được viết lại:
2
(4.27)
(
)
u
0
λ + µ
+ µ∇
+
=
1
f 1
∂θ x ∂
1
Một cách tương tự, ta viết 2 phương trình còn lại của (4.18) về như dạng (4.25). Như
vậy hệ phương trình (4.25) được đưa về biể u diễn dưới dạng các chuyển vị là:
153
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
(
)
0
λ + µ
u + µ∇ + = 1
f 1
∂θ x ∂
2
(
)
u
f
0
λ + µ
+ µ∇
+
=
(4.28)
2
2
1 ∂θ x ∂
2
(
)
u
f
0
λ + µ
+ µ∇
+
=
3
3
2 ∂θ x ∂
3
Hệ phương trình (4.28) gọi là hệ phương trình Lame
Biểu diễn hệ (4.19) theo các thành phần chuyển vị. Chẳng hạn ta thay (4.25) vào
phương trình đầu tiên của (4.19):
3
2
l.
2
λθ + µ
m. + µ
+
n. + µ
+
=
* f 1
u ∂ 1 x ∂
u ∂ 1 x ∂
u ∂ 1 x ∂ 1
2
u ∂ x ∂ 1
3
u ∂ x ∂ 1
154
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
3
2
l.
m.
n.
l.
m.
n.
l λθ + µ
+
+
+ µ
+
+
=
(4.29)
* f 1
u ∂ 1 x ∂
u ∂ 1 x ∂
u ∂ 1 x ∂ 1
2
3
u ∂ 1 x ∂ 1
u ∂ x ∂ 1
u ∂ x ∂ 1
Làm tương tự cho 2 phương trình còn lại của (4.19) ta thu được các phương trình
tương tự. Như vậy điều kiện biên (4.19) biểu diễn qua chuyển vị như sau:
3
1
2
l.
m.
n.
l.
m.
n.
l λθ + µ
+
+
+ µ
+
+
=
* f 1
u ∂ x ∂
u ∂ 1 x ∂
u ∂ 1 x ∂ 1
2
3
u ∂ 1 x ∂ 1
u ∂ x ∂ 1
u ∂ x ∂ 1
*
3
2
2
2
2
m
l.
m.
n.
l.
m.
n.
f
λθ + µ
+
+
+ µ
+
+
=
(4.30)
2
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ 1 x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
1
2
2
2
3
3
3
3
2
f
l.
m.
n.
l.
m.
n.
=
+
n λθ + µ
+
+
+ µ
+
* 3
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ 1 x ∂
2
3
1
2
3
3
3
3
Khi giải các bài toán đàn hồi theo chuyển vị thì các phương trình liên tục tự thỏa mãn.
Giải hệ phương trình Lame (4.26) với các điều kiện biên (4.28) ta tìm được các thành phần
155
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT chuyển vị
u ;u ;u . Từ các phương trình dựa vào mối liên hệ hình học ta sẽ tìm được các 1
2
3
,
,
,
,
, ε ε
ε
ε
thành phần biến dạng 11
22
33
ε 12
23
ε . Sau khi tìm được các biến dạng thay vào các 31
phương trình định luật Hooke ( mối liên hệ vật lý) sẽ xác định được các thành phần ứng
,
,
,
,
,
suất
σ σ σ
σ σ σ của bài toán.
11
22
33
23
31
12
Lấy đạo hàm của các phương trình trong hệ (4.28) theo x1, x2, x3:
2
1
(
)
0
λ + µ
+ µ∇
=
u ∂ x ∂
1
2
2
(4.31)
(
)
0
λ + µ
+ µ∇
=
u ∂ x ∂
2
2
3
(
)
0
λ + µ
+ µ∇
=
u ∂ x ∂
2 ∂ θ 2 x ∂ 1 2 ∂ θ 2 x ∂ 2 2 ∂ θ 2 x ∂ 3
3
156
Các hệ quả:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Cộng 3 phương trình của (4.31) ta được:
2
2
2 S 0 → ∇ =
( 0 0 2 ) λ + µ ∇ θ = → ∇ θ =
lực thể tích là hằng số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng suất tổng là những hàm điều
hòa.
Xét phương trình đầu tiên của (4.28), lấy đạo hàm bậc 2 lần lượt đối x1, x2, x3 ta được:
2
2
(
)
0
λ + µ
+ µ∇
=
2
2
(4.32)
0
(
)
=
λ + µ
+ µ∇
2 2
2
2
0
(
)
=
λ + µ
+ µ∇
3 ∂ θ 3 x ∂ 1 3 ∂ θ x x ∂ ∂ 1 3 ∂ θ x x ∂ ∂ 1
2 3
u ∂ 1 2 x ∂ 1 u ∂ 1 2 x ∂ 2 u ∂ 1 2 x ∂ 3
157
Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Cộng vế với vế của (4.23) ta được:
2
2
2
(
)
u
0
u
0
λ + µ ∇
2 + µ∇ ∇ =
2 → ∇ ∇ =
∂ θ x ∂
1
lực thể tích là hằng số thì hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa.
Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các
,
,
,
,
Nếu ta chọn các thành phần ứng suất
11
33
22
12
23
31
, σ σ σ của bài toán làm ẩn số thì σ σ σ ngoài các phương trình cân bằng và các điều kiện biên cần phải bổ sung các phương trình liên tục. Bây giờ biểu diễn các phương trình (4.23) theo ứng suất theo (4.21) vào các phương trình liên tục ta sẽ thu được hệ các phương trình liên tục biểu diễn qua ứng suất. Ta cũng nhận được các phương trình này xuất phát từ phương trình Lame.
158
4.6 Giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo ứng suất
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
4.6.1 Trường hợp lực khối là hằng số
(1
σ
σ
σ
)
.S
( − υ
+
=
υ ) + σ
− υ
ε = 11
11
22
33
11
]
[
]
[
(1
σ
σ
σ
)
( − υ
+
=
υ ) + σ
− υ
ε = 22
22
33
11
22
] .S
[
]
[
(4.33)
(1
σ
σ
σ
)
( − υ
+
=
υ ) + σ
− υ
ε = 33
33
11
22
33
]
] .S
[
[
1 E 1 E 1 E
1 E 1 E 1 E 2(1
γ = 12
τ 12
+ υ ) E
a. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke
Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :
2
2
2
(4.34)
+
=
22 2
33 2
ε x
ε x
∂ ∂
∂ ∂
3
2
∂ γ 23 x x ∂ ∂ 2
3
159
b. Về mặt hình học:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Thay (4.33) vào (4.34) ta có :
2
2
2
2
(4.35)
2(1
)
+ υ
+
− υ
+
=
+ υ
( 1
)
∂ ∂
σ ∂ x ∂
22 2 3
σ 33 2 x 2
S ∂ 2 x ∂ 2
S ∂ 2 x ∂ 3
2 ∂ σ 23 x x ∂ ∂ 2
3
(a)
+
= −
+
0
+
+
f 1
f + = 1
∂σ 12 x ∂
∂σ 13 x ∂
∂σ 11 x ∂
∂σ 12 x ∂
∂σ 13 x ∂
∂σ 11 x ∂
2
3
1
1
2
f
0
+
+
+
=
(4.36)
f
(b)
→
= −
+
+
2
2
∂σ 22 x ∂
3 ∂σ 23 x ∂
∂σ 21 x ∂
∂σ 22 x ∂
∂σ 23 x ∂
2
3
1
2
3
f
0
+
+
+
=
3
f
(c)
= −
+
+
3
∂σ 32 x ∂
∂σ 33 x ∂
∂σ 21 x ∂ 1 ∂σ 31 x ∂ 1
2
3
∂σ 31 x ∂
∂σ 33 x ∂
∂σ 32 x ∂
1
3
2
Lấy đạo hàm (4.36a), (4.36b) lần lượt theo
x , x rồi cộng vế với vế ta được:
2
3
160
c. Về mặt tĩnh học:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
13
12
(4.37)
2
= −
−
−
−
22 2
33 2
∂ σ x ∂
∂ σ x ∂
∂ x ∂
2 ∂ σ x ∂
2 ∂ σ x ∂
2 ∂ σ 23 x x ∂ ∂ 2
3
2
3
1
2
3
Thay (4.36a) vào (4.37)
2
2
2
= −
+
+
+
f 1
22 2
33 2
∂ σ x ∂
∂ σ x ∂
∂ x ∂
∂ σ 11 x ∂
2 ∂ σ 23 x x ∂ ∂ 2
3
2
3
1
1
2
2
2
(4.38)
⇔
2
=
−
−
23 x
σ x
σ x
2 ∂ σ x ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
2
3
σ 11 2 x 1
22 2 2
33 2 3
Thay (4.38) vào (4.36c) rồi rút gọn ta được:
(1
)
0
2 + υ ∇ σ +
=
11
(4.39)
2 S ∂ 2 x ∂ 1
161
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Tương tự ta có:
2
(1
)
0
2 + υ ∇ σ +
=
11
2
(4.40)
0
(1
)
=
2 + υ ∇ σ +
22
2
0
(1
)
=
2 + υ ∇ σ +
33
S ∂ 2 x ∂ 1 S ∂ 2 x ∂ 2 S ∂ 2 x ∂ 3
2
(1
)
0
2 + υ ∇ σ +
=
12
2
2
(4.41)
(1
)
0
2 + υ ∇ σ +
=
23
3
2
(1
)
0
2 + υ ∇ σ +
=
31
S ∂ x x ∂ ∂ 1 S ∂ x x ∂ ∂ 2 S ∂ x x ∂ ∂ 3
1
162
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Hệ phương trình (4.40) và (4.41) là phương trình để giải bài toán đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường. Giải (4.40) và (4.41) có được các ứng suất sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy.
Hệ (4.40) và (4.41) gọi là hệ phương trình Beltrmi
163
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
)
(1
2
0;
+ υ ∇σ +
+
+
+
+
=
11
(1 ) υ + υ ) (1 − υ
f ∂ 1 x ∂
f ∂ 2 x ∂
f ∂ 3 x ∂
f ∂ 1 x ∂
S ∂ 2 x ∂ 1
1
2
3
1
2
)
(1
2
0;
+ υ ∇σ +
+
+
+
+
=
22
(1 ) υ + υ ) (1 − υ
f ∂ 1 x ∂
f ∂ 2 x ∂
f ∂ 3 x ∂
f ∂ 2 x ∂
S ∂ 2 x ∂ 2
1
2
3
2
2
)
(1
2
0;
+ υ ∇σ +
+
+
+
+
=
33
(1 ) υ + υ ) (1 − υ
f ∂ 1 x ∂
f ∂ 2 x ∂
f ∂ 3 x ∂
f ∂ 3 x ∂
S ∂ 2 x ∂ 3
1
2
3
3
2
(1
)
0;
+ υ ∇σ +
+
+
=
12
f ∂ 1 x ∂
f ∂ 2 x ∂
S ∂ x x ∂ ∂ 1
2
2
1
2
(1
)
0;
+ υ ∇σ +
+
+
=
23
f ∂ 2 x ∂
f ∂ 3 x ∂
S ∂ x x ∂ ∂ 2
3
3
2
(4.42)
2
0;
+
+
=
31
f ∂ 3 x ∂
f ∂ 1 x ∂
S ∂ x x ∂ ∂ 3
1
1
3
+ υ ∇σ + ) (1
164
4.6.2 Trường hợp lực khối là hàm của tọa độ Khi lực thể tích không phải là hằng số ta cũng nhận được các phương trình tương tự:
4
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Hệ quả 3: Khi lực khối là hằng số từ phương trình (4.40) ta suy được:
∇ σ = 0 ij
dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà kép.
⇒ Phát biểu: Các nghiệm ứng suất, chuyển vị, biến dạng của bài toán đàn hồi tuyến
tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép:
Nội dung hệ quả 3: Ứng suất là những hàm trùng điều hòa. Vì ứng suất tỉ lệ với biến
∇4σij = 0 ; ∇4ui = 0 ; ∇4εij = 0. (4.43)
Nguyên lý Sain – Venant: “ Tại những điểm nằm cách xa chỗ đặt của lực thì trạng thái
4.7 Nguyên lý Saint-Venant
Theo nguyên lý Sain – Venant thì chỉ những điểm xa điểm đặt lực thì ứng suất mới
không phụ thuộc vào cách đặt lực, còn trong lân cận của miền đặt lực thì cách đặt lực có
165
ứng suất và biến dạng của vật thể phụ thuộc rất ít vào cách đặt cụ thể của lực đó”.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT ảnh hưởng đến tính chất và trị số của ứng suất. Để thấy rõ nguyên lý Sain – Venant ta xét
ví dụ sau: Một dầm chịu uốn bởi lực P tác dụng tại đầu dầm trong hai trường hợp (hình 4.2
P
P
b)
c)
a)
P1
x 1
x 1
x 1
x 3
x 3
x 3
A
A
A
P
x 2
x 2
x 2
P 2
Hình 4.2
a,b). Trong 2 trường hợp này ứng suất tại vùng A rất khác nhau, nhưng ngoài vùng A ứng
P
≈
=
=
ur uur P , P 1 2
0;P 1
P 2
suất khác nhau rất ít. Thực vậy, nếu ta xét thêm trường hợp thứ 3 (hình 4.3c) bằng cách ) thêm vào trường hợp (a) 2 lực cân bằng (
Ta thấy trường hợp (c) khác trường hợp (a) và trường hợp (b) ở chỗ:
166
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
.
0≈
1
- Khác (a) 1 hệ lực cân bằng: (
)
0≈
- Khác (b) 1 hệ lực cân bằng: (
ur uur 2P , P uur uur )2P , P
Nhưng theo nguyên lý vừa phát biểu trên thì các hệ lực cân bằng này gần như không
gây ra ứng suất ở ngoài vùng phân tố A. Do vậy ngoài vùng phân tố A thì ứng suất trong
trường hợp (c) khác trường hợp (a) và trường hợp (b) rất ít. Như vậy ứng suất trong các
trường hợp(a) và trường hợp (b) gần như không khác nhau ở ngoài vùng A.
4.8 Các phương pháp giải
Phương pháp thuận là phương pháp tích phân trực tiếp phương trình Lame (4.28) khi
giải theo chuyển vị thì các phương trình Bentrami – Missen (4.40) và (4.41) hoặc (4.42)
khi giải theo ứng suất. Các hằng số tích phân được xác định từ các điều kiện biên của bài
167
4.8.1 Phương pháp thuận
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT toán (4.19) hoặc (4.30). Về phương diện toán học thì phương trình này là khá rõ ràng. Tuy
nhiên thực tế việc tìm nghiệm thỏa mãn tất cả các điều kiện như trên là hết sức khó khan.
Trong phương pháp này ta cho trước các hàm ẩn (chuyển vị hoặc ứng suất). Thay các
hàm ẩn này vào các phương trình cơ bản. Nếu nó thỏa mãn thì các hàm ẩn là nghiệm của
bài toán. Theo phương pháp này thì việc thử lại , kiểm tra các hàm ẩn chọn đơn giản nhiều
so với phương pháp thuận. Tuy nhiên để tìm nghiệm đúng phải thử nhiều hàm chọn, do
vậy rất cồng kềnh nhiều trường hợp không làm được.
4.8.2 Phương pháp ngược
Phương pháp này người ta cho trước một phần của hàm ẩn, tuy chưa đầy đủ nhưng
cũng thỏa mãn một số điều kiện biên hoặc một vài phương trình cơ bản. Những hàm ẩn
này phụ thuộc và một số hằng số hoặc hàm số chưa xác định. Những hàm số hoặc những
168
4.8.3 Phương pháp nửa ngược Saint – Venant
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT hằng số chưa xác định này sẽ được xác định từ các phương trình hay những điều kiện biên
còn lại. Thực tế cho thấy phần lớn các bài toán quan trọng của lý thuyết đàn hồi được giải
theo cách này.
Xét thanh thẳng, có mặt cắt ngang không thay đổi, chịu xoắn thuần túy bởi các mô
men xoắn M tại 2 đầu thanh như trên hình 4.3.
x 3 τ13
x 3
τ12 x 2
M
M
x 2
Hình 4.3
169
4.9 Một số giải bài toán xoắn thuần túy thanh lăng trụ
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Chọn hệ trục
2ox và
3ox nằm trong mặt phẳng mặt cắt
1ox trùng với trục thanh, 2 trục
ngang của thanh. Sử dụng phương pháp nửa ngược Saint – Venant giả thiết rằng:
σ = σ = σ = τ = 0
33
23
11
22
a) Các phương trình cân bằng tĩnh
0
=
∂τ 12 x ∂
1
(4.44)
0
=
∂τ 13 x ∂
0
+
=
1 ∂τ 13 x ∂
∂τ 12 x ∂
3
2
170
1) Hệ các phương trình cơ bản:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
.0
b) Điều kiện biên: - Trên mặt bên có pháp tuyến (1,0,0):
σ
+ τ
.0 0 =
12
13
(4.45)
dA
=
dA 0 =
- Trên các mặt cắt ngang ở hai đầu
τ 13
τ 12
m ∫
+ τ ∫
(A)
(A)
(4.46)
=
l = ):
x thanh (khi 1
0;x 1
x
x dA M
− τ
=
(
)
τ 13
2
12
3
∫
(A)
11
c) Các mối liên hệ hình học
1
1
2
0;
2
;
= γ = ε =
=
+
ε = 11
12
12
τ 12
+ υ E
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
3
2
0;
2
0;
= γ = ε =
+
=
(4.47)
ε = 22
23
23
1 v ∂ x ∂
2 u ∂ x ∂
1 u ∂ x ∂
3
2
1
3
1
0;
2
.
= γ = ε =
+
=
ε = 33
31
31
τ 13
+ υ E
2 w ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
3
1
3
171
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
d) Phương trình Beltrami – Michell.
2
2
0
0
∇ τ = và
∇ τ = (4.48)
13
12
2) Chuyển vị góc xoắn của thanh:
x 3
t
r
u 3
Các phương trình Cauchy được thỏa
α
mãn nếu ta đặt:
x 3
u 2
u
=
)
3
1
u
2
1
(4.49)
u
= θ
3
( u x , x 2 .x x = −θ 3 .x x 2
1
x 2
x 2
trong đó: θ là một hằng số.
α
o
Hình 4.4
172
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Hàm
x ox ) của điểm trên mặt cắt
2
3
2u và
3u đặc trưng cho chuyển vị trong mặt phẳng (
ngang của thanh.
Bây giờ ta tìm chuyển vị theo phương bán kính r và phương t vuông góc với phương
bán kính (hình 4.4). Chuyển vị theo phương bán kính:
u
u .cos
0
=
α +
α = −θ
+ θ
=
(4.50)
r
2
u .sin 3
.x x . 3 1
.x x . 2 1
x 2 r
x 3 r
Ta thấy rằng các điểm nằm trên mặt cắt ngang không có chuyển vị theo phương bán
kính (
0= ), chúng chỉ có chuyển vị theo phương vuông góc với phương bán kính
ru
t(u ):
u
u .cos
= −
α +
α = θ
+ θ
= θ
(4.51)
t
u .sin 2
3
.x x . 3 1
.x x . 1 2
.r.x 1
x 3 r
x 2 r
3) Sử dụng hàm Prandtl để giải bài toán xoắn:
Phương trình thứ 3 của (4.44) được thỏa mãn nếu:
173
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(4.52)
;
τ = 12
τ = − 13
∂Φ x ∂
∂Φ x ∂
3
2
Thay (4.48) vào (4.52) ta có:
2
2
0;
0
(
) ∇ Φ =
(
) ∇ Φ =
∂ x ∂
∂ x ∂
2
3
2
Từ đó suy ra phương trình để xác định hàm Prantl:
C
∇ Φ = (4.53)
Hằng số C được xác định như sau: Từ các hệ thức (4.47) và (4.52) ta có:
2
2
1
1
G(
x
G(
);
)
=
+
=
−θ
+
→
=
−θ +
τ = 12
3
)
2(1
∂Φ x ∂
E + υ
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
(4.54a)
3
1
2
2
2 ∂ Φ 2 x ∂ 3
u ∂ 1 x x ∂ ∂ 2
3
2
3
1
1
(4.54b)
);
G(
)
= −
+
= −
G( x θ
+
→
=
−θ −
τ = − 13
2
2(1
∂Φ x ∂
u ∂ E x ) + υ ∂
u ∂ x ∂
u ∂ x ∂
2
1
3
3
2 ∂ Φ 2 x ∂ 2
u ∂ 1 x x ∂ ∂ 2
3
174
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
2G
2 ∇ Φ =
= −
θ
Từ 2 hệ thức trên ta có:
(4.55)
x ∂
∂ Φ ∂ Φ + 2 x ∂ 3
2 2
(4.56)
So sánh (4.53) và (4.55) ta suy ra: C
2G= − θ
4) Một số trường hợp đặc biệt:
* Thanh có mặt cắt ngang là hình ellip,
τ13
x 3 b
phương trình chu vi mặt cắt ngang là:
τ12
x 2
a
+
1 =
2 2 2
2 3 2
x a
x b
M
Chọn hàm Prantl có dạng:
Hình 4.5
1
Φ =
+
−
2 2 2
2 3 2
x b
xA 2 a
175
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Trong đó A là một hằng số chưa biết. Thay vào phương trình (4.52) ta được:
2
A
C
+
=
A
→
=
2 b )
1 2 a
1 2 b
2 Ca b 2 (a +
Suy ra hàm xoắn Prantl là:
2
1
Φ =
+
−
2
2 2 2
2 3 2
2(a
x b
2 Ca b 2 +
x b ) a
Các ứng suất tiếp trên mặt cắt được tính theo (5.54) sẽ là:
2
2
=
= −
τ = 12
x ; 3
τ = − 13
x ; 2
2 b )
(a
2 b )
(a
∂Φ x ∂
Ca 2 +
∂Φ x ∂
Cb 2 +
3
2
Hằng số C được xác định từ điều kiện cân bằng:
176
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
M
x
;
=
−τ
+ τ
= −
) x dA
(
3
12
13
2
∫
2 b )
3 3 C a b π 2 2(a +
A
2
2 b )
C
= −
Suy ra:
+ 3 3 a b
2M(a π
τ =
= −
τ = −
=
Và: 12
x ; 3
x ; 2
∂Φ x ∂
2M 3 ab π
∂Φ x ∂
2M 3 a b π
13
3
2
τ
=
Trị số ứng suất lớn nhất đạt được tại hai đầu bán trục ngắn và bằng: max
2M 2 ab π
2
2 b )
θ = −
Góc xoắn tỷ đối theo (4.56) là:
C M(a + = 3 3 G a b 2G π
2
Trị số:
được gọi là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang hình ellips
2 (a b ) + 3 3 G a b π
177
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
* Thanh có mặt cắt ngang tròn:
, ở đây d là đường kính
Thay vào các hệ thức trên của thanh mặt cắt ellips: a
d / 2
b = =
của mặt cắt ngang thanh. Ta nhận được kết quả sau đây:
x
x
= −
=
τ = − 12
3
x ; 3
τ = 13
2
x ; 2
32M 4 d π
32M 4 d π
M Iρ
M Iρ
I
=
: là mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang tròn.
ρ
4d π 32
Góc xoắn tỷ đối là (4.56):
2M
θ = −
=
=
4
C 2G
M G.I
ρ
G
d 2
π
178
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 4.10 Bài tập
Tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ ứng suất:
4 2 2 3
1 2 0 (kN / cm )
T σ
1 0
4 −
=
4
2
Cho biết:
E 2.10 (kN / cm );
0, 25;
=
υ =
Bài 4.1
r 1) Biến dạng dài theo phương: a
=
(2; 4;6) −
2) Biến dạng chính và phương của các biến dạng chính.
3) Xác định tenxơ lệch biến dạng và ten cơ cầu biến dạng.
179
Hãy xác định:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 4.2
Tại một điểm K trong vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ biến dạng:
4 −
2 3
=
3 3 −
T ε
1
0
−
2 −
1 − 0 10
2
4
Cho biết:
E
2.10 (kN / cm );
0, 25;
=
υ =
1) Phương chính, ứng suất chính tại điểm K.
5x
x
2) Ứng suất trên mặt đi qua điểm K cho bởi phương trình:
−
+
9 = − .
2x 1
3
2
3) Ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm K.
4) Xác định tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất.
180
Hãy xác định:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
ax
bx
0
+
2 1
2 2
ax x 1
2 2
(
)
1)
0
ax
bx
+
2 3
3
2 ax x 1
2
(
)
1 2 1 2
bx
ax
bx
ax
+
+
2 2
2 3
3
ax x 1
2
2 1
)
(
)
1 2
1 2
x
0
+
2 1
2 2
x x x 2
1
3
)
2)
1
3
3
( ( x x 3 x x x 2 0
2 x x 2 0
0 0
x
x
+
−
2 1
2 2
)
3
3
Bài 4.3 Hãy kiểm tra các biến dạng sau có thể là nghiệm của bài toán đàn hồi hay không?
u
; u
; u
.
=
=
= −
1
2
3
( 2 v x 1 2a
vx x 1 a
x x 1 a
Tìm các thành phần biến dạng và chứng tỏ chúng thỏa mãn các phương trình liên tục.
181
Bài 4.4 Cho các chuyển vị:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 4.5
Trong bài toán không gian đàn hồi, chịu nén bởi lực tập trung P trên bề mặt người ta
u
=
−
1
P π
3
nhận được các chuyển vị:
u
=
−
2
P π
3
u
=
+
( 2 1 v +
)
3
P 4 G π
1 2v − 4 G R x + 1 2v − 4 G R x +
x x 3 1 2 R R x x 3 2 2 R R 2 x 1 3 2 R R
2
Trong đó ta ký hiệu:
; trục
R
x
x
x
=
+
+
2 1
2 2
2 3
1x và
2x nằm trong mặt phẳng giới hạn,
trục
3x hướng vào phía trong bán không gian.
Xác định các thành phần ứng suất trên mặt cho bởi phương trình
x
6x
x
−
+
− = 2 0
1
3
2
2
4
biết
0,25.
υ =
E
2.10 (kN / cm );
=
182
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 4.6
Cho dầm conson mặt cắt ngang hình
x 3
chữ nhật (bxh) chịu bởi mômen uốn như
x 3
x 1 M0
(hình 4.6).
nằm trong mặt
M EI / a
=
0
2
x 2
x 2
phẳng (
ox x ). Giả sử các ứng suất trong
1
2
Hình 4.6
dầm là:
0;
σ = σ = σ = −
22
33
11
Ex / a; 1
τ = τ = τ = 0. 12
31
23
Hãy tìm các biến dạng và chuyển vị.
183
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 4.7
Cho các thành phần chuyển vị trong vật thể đàn hồi là:
u
u
=
=
1
2
3 x 1 A ; 2 r
3 x 2 A ; 2 r
. Hãy tìm các thành phần biến dạng tại điểm M( 1,2,-1).
với 2 r
x
x
x
=
+
+
u
=
2 1
2 2
2 3
3
3 x 3 A ; 2 r
4 −
Cho trường chuyển vị của môi trường:
u
3x x .10 (cm);
=
+
−
1
2 x x 1
2
2x x 1
3
1
2 3
(
)
4
biết:
u
3x
8x
u
− 6x .10 (cm)
=
−
+
=
+
+
2
2 1
3 2
3
3x x x 1
2
3
x x 1
3
3
(
) 4 − 6 .10 (cm);
(
)
2
4
E 2.10 (kN / cm );
0, 25.
=
υ =
1. Xác định tenxơ biến dạng của môi trường.
2. Xác định tenxơ ứng suất của môi trường tại điểm K(1;-2;5)
3. Xác định ứng suất chính thứ 2 và phương chính của nó tại điểm K
184
Bài 4.8
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
4. Xác định các thành phần ứng suất tại mặt phẳng đi qua điểm K và có véctơ pháp
tuyến
.
r v
=
( ) 1;1; 1 −
5. Xác định các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng đều với các trục tọa độ.
6. Xác định các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng đều với các phương chính.
7. Xác định ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm P(-1;2;2).
185
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Chương 5: BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ DESCARTES
Trong chương trước ta đã đưa ra các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi và các
phương pháp giải trong trường hợp tổng quát. Nghĩa là các ẩn số của bài toán phụ thuộc
x , x , x ) đây là những bài toán không gian. Tuy nhiên trong nhiều
vào 3 biến x, y, z ( 1
2
3
trường hợp đặc biệt bài toán dẫn tới các ẩn số (biến dạng hoặc ứng suất) chỉ phụ thuộc vào
2 biến số (chẳng hạn: x, y) những bài toán này được gọi là bài toán phẳng. Bài toán phẳng
5.1 Bài toán phẳng
được chia thành 2 loại: Bài toán biến dạng phẳng và bài toán ứng suất phẳng. Sau đây ta sẽ
186
đi nghiên cứu chi tiết từng bài toán:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 5.1 Bài toán ứng suất phẳng
Xét một tấm mỏng hay tấm tường (chiều dày h) có
y
y
q
mặt sườn song song với đáy và phân bố đều theo chiều
x
z
dày bản (hình 5.1).
Vì theo trục z không có tải trọng tác dụng tại hai
q
đáy song song với mặt phẳng (xoy) và chịu tải trọng ở
Hình 5.1
0;
0;
zx
yz
z
0 σ = τ = τ = (5.1)
Vì chiều dày bản khá bé nên ta có thể coi rằng ứng suất này bằng không tại mọi điểm.
Các ứng suất còn lại không thay đổi theo chiều dày bản tức là không phụ thuộc vào tọa độ
z. Chúng là hàm của tọa độ x, y và được biểu diễn như sau:
187
đáy nên mọi điểm thuộc 2 đáy bản có:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(5.2)
xy
F (x, y); 1 F (x, y); 2 F (x, y) 3
σ = x σ = y τ =
Như vậy, trong bài toán này các nghiệm ứng suất của bài toán nằm trong một mặt
phẳng và bài toán này được gọi là bài toán ứng suất phẳng.
(
)
σ − υσ
x
y
)
( σ − υ σ + σ
=
y
z
x
ε = x
)
(
(
)
E σ − υσ
y
x
)
( σ − υ σ + σ
=
z
x
y
ε = y
)
(
(5.3)
(
)
y
)
( σ − υ σ + σ
=
x
z
y
z
)
E −υ σ + σ x E
) + υ τ
xy
xy
1 E 1 E 1 ε = ( E 2(1 γ =
E
188
Định luật Hooke biểu diễn biến dạng qua ứng suất:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
x
x
2
(5.4)
y
y
τ = µγ x
xy
σ = λθ + µε σ = λθ + µε
trong đó:
θ = ε + ε + ε z
y
x
Định luật Hooke biểu diễn ứng suất qua biến dạng:
Giả sử mọi điểm trong vật thể đàn hồi ta có chuyển vị chỉ phụ thuộc vào 2 trong 3 biến
x, y, z (chẳng hạn x, y) nghĩa là:
(5.5)
f (x, y) 1 f (x, y) 2 w 0 =
= u v =
189
5.3 Bài toán biến dạng phẳng
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Ví dụ: Xét tường chắn dài chịu áp lực của nước như hình 5.2a. Ta xét trong một đơn vị
dài tường chắn thì coi như tấm bị kẹp giữa chiều dài vật nên không có biến dạng dài theo
phương theo phương bề dài (phương z) (hình 5.2b)
y
x
z
z
b)
a)
Hình 5.2
Khi đó các thành phần biến dạng tại một điểm bất kỳ trong tấm:
190
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0;
(5.6)
0; zx f (x, y); ε = y 2 f (x, y) 3
γ = xy
ε = γ = γ = 0; z yz f (x, y); ε = x 1
Các phương trình (5.5) và (5.6) chứng tỏ tất cả các thành phần chuyển vị và biến dạng
chỉ xẩy ra trong mặt phẳng song song với mặt phẳng oxy. Bài toán như vậy được gọi là bài
toán biến dạng phẳng.
0;
0; τ = τ =
Trong bài toán biến dạng phẳng, ta có: yz
zx
Từ:
(
0
)
( σ − υ σ + σ
= suy ra:
) σ = υ σ + σ x
y
z
ε = z
x
z
y
)
(
1 E
∂τ
f
0
+
+
=
x
Lúc đó, phương trình cân bằng tĩnh học:
(5.7)
xy y ∂ ∂σ
f
0
+
+
=
y
y y ∂
∂σ x x ∂ ∂τ yx ∂ x
191
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Điều kiện biên:
m.
p
τ = xy
vx
(5.8)
p
l. σ + x l. m. τ + σ = yx
y
vy
Điều kiện biên tĩnh học:
u
v
=
= hoặc các đạo hàm của chuyển vị với
s
u ;v 0 s
0
u , v là 0
0
chuyển vị đã biết trên bề mặt của vật thể.
Các biến dạng được viết theo định luật Hooke:
1
(
(
))
)
( σ − υ σ + σ
=
=
σ
ε = x
y
x
σ − υ σ − υ σ + σ y
x
x
y
z
σ − x
y
)
(
)
(
1 E
1
1 E
1 − υ
2 − υ E
tương tự:
192
Điều kiện biên động học:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
1
σ
ε = x
y
σ − x
1
1 − υ
2 − υ E
1
σ
(5.9)
ε = y
x
σ − y
1 − υ
2 − υ E 2(1
τ
γ = xy
xy
1 ) + υ E
Biểu thức (5.9) có dạng:
Nếu ta đặt:
;
=
E 1
υ = 1
2
1
1
E − υ
υ − υ
σ − υ σ
ε = x
1
y
x
)
(
σ − υ σ
(5.10)
ε = y
1
x
y
)
(
1 E 1 1 E 1 2(1
)
τ
γ = xy
xy
+ υ 1 E 1
193
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Hệ thức liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong trường hợp này sẽ có dạng:
ε = x
(5.11)
ε = y
u ∂ x ∂ v ∂ y ∂
+
γ = xy
1 2
u ∂ y ∂
v ∂ x ∂
6 phương trình liên tục của biến dạng lúc này chỉ còn 1 phương trình:
(5.12)
+
=
2 ∂ ε y 2
2 ∂ ε x 2 y ∂
x ∂
2 ∂ γ xy x y ∂ ∂
Giải hệ các phương trình (5.10), (5.11) và (5.12) ta sẽ tìm được các ẩn số chuyển vị,
biến dạng và ứng suất của bài toán.
194
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
So sánh các biểu thức (5.3) và (5.9) cho thấy các biểu thức đều có dạng giống nhau, chỉ
khác nhau ở các hệ số đàn hồi: Trong bài toán ứng suất phẳng là: E, υ; trong bài toán biến
dạng phẳng là:
1E ,υ
1
5.4 Giải bài toán phẳng theo ứng suất, hàm ứng suất Airy
Phép giải bài toán phẳng theo ứng suất nghĩa là chọn 3 thành phần ứng suất:
,
σ σ τ , y xy
x
là nghiệm của phương trình. Để giải các ẩn số này ta sử dụng các phương trình cân bằng
(5.7), phương trình liên tục (5.12), điều kiện biên (5.8), các phương trình quan hệ giữa
biến dạng qua ứng suất (5.10).
Ta có:
Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (5.7) .
195
5.4.1 Hàm ứng suất airy – phương trình lưỡng điều hòa
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
∂τ
f
+
= −
x
(5.13)
yx y ∂ ∂σ
f
+
= −
y
y y ∂
∂σ x x ∂ ∂τ xy ∂ x
Nghiệm của (5.13) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất:
∂τ
0
+
=
(5.14)
yx y ∂ ∂σ
0
+
=
y y ∂
∂σ x x ∂ ∂τ xy ∂ x
và nghiệm riêng của phương trình (5.15)
196
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
∂τ
f
+
= −
x
(5.15)
yx y ∂ ∂σ
f
+
= −
y
y y ∂
∂σ x x ∂ ∂τ xy ∂ x
- Nghiệm riêng của phương trình (5.15) tìm được không khó khăn, nó phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích.
Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là :
* σx = 0 ; σy = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số.
* σx =
+ bx ; σy = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0
2ax 2
2
* σx = 0 ; σy = -a
; Txy =
khi fx = axy , fy = 0.
3y 6
axy 2
197
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 5.4.2 Hàm ứng suất Airy – phương trình lưỡng điều hòa
Nghiệm của phương trình (5.14) sẽ bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất và nghiệm riêng của phương trình (5.15).
thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y),
tức
là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa p và q phải
q x, y dy
+
) ( p x, y dx
(
)
.
có quan hệ :
=
p ∂ y ∂
q ∂ x ∂
∂τ
= −
- Phương trình thứ (1) của hệ (5.14) ⇔
, tức là (σx.dy - Txy.dx) là vi phân
∂σ x x ∂
yx y ∂
toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nên ta có quan hệ
(a)
τ = −
σ = x
; yx
A ∂ y ∂
A ∂ x ∂
198
Điều kiện cần và đủ cho biểu
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
∂σ
∂τ
= −
Tương tự, phương trình thứ 2 :
y x ∂
xy x ∂
⇒
là vi phân toàn phần của 1 hàm B(x,y) nào đó :
.dx
dy
σ
− τ
x
xy
τ = −
(b)
→ Ta có quan hệ :
; yx
σ = x
B ∂ y ∂
B ∂ x ∂
=
So sánh (a) và (b) ta có :
(c)
A ∂ x ∂
B ∂ y ∂
⇒ (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm ϕ(x,y) nào đó :
(d)
B
;
→ Ta có quan hệ : A
=
=
∂ϕ y ∂
∂ϕ x ∂
thay (d) vào (a) và (b) ta có:
(5.16)
;
;
σ = x
σ = y
τ = − xy
2 ∂ ϕ 2 y ∂
2 ∂ ϕ 2 x ∂
2 ∂ ϕ x y ∂ ∂
199
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Hàm ϕ(x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất. Hàm ứng suất phải tồn tại đạo hàm đến bậc 4. Vì hàm tổng ứng suất là hàm điều hòa nên hàm ứng suất phải là hàm trùng điều hòa nên:
(5.17)
2
0
+
+
=
2
4 ∂ ϕ 4 x ∂
4 ∂ ϕ 2 x y ∂ ∂
4 ∂ ϕ 4 y ∂
Lúc này điều kiện biên được biểu diễn qua hàm ứng suất:
2
m.
f
=
−
* x
2
(5.18)
l.
m.
f
+
=
* y
2 ∂ ϕ x y ∂ ∂
2 ∂ ϕ x y ∂ ∂ 2 ∂ ϕ 2 x ∂
∂ ϕ l. y ∂ −
Ta thấy giải bài toán phẳng là tích phân phương trình trùng điều hòa (5.17) cùng với
các điều kiện biên (5.18) để tìm hàm ứng suất ϕ(x,y). Nhưng việc làm này vô cùng phức
200
5.5 Giải bài toán phẳng bằng hàm đa thức
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT tạp. Bởi vậy người ta thường giải bài toán này bằng phương pháp ngược, nghĩa là cho
trước dạng của hàm ứng suất ϕ(x,y) phụ thuộc vào những tham số nào đó cần xác định.
Hàm ϕ(x,y) chọn này sẽ thỏa mãn phương trình trùng điều hòa và từ điều kiện biên để tìm
các tham số cần thiết đó.
Dễ dàng thấy hàm ϕ(x,y) được chọn như vậy thỏa mãn phương trình hàm trùng điều
hòa (5.17) với những giá trị bất kỳ của của các hệ số a, b, c, d, v.v…
3
2
2
3
2
2
ax
cy
ϕ =
+
bx y cx y +
+
+
+
a x 1
b xy c y + 1
1
(5.19)
Khi đó trong trường hợp không có lực khối thì theo (5.16) ta có:
201
5.5.1 Chọn hàm ϕϕϕϕ(x,y) dưới dạng hàm đa thức bậc 3:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
=
+
+
σ = x
2cx 6dy 2c ; 1
(5.20)
=
+
+
σ = y
2ax 6by 2a ; 1
2 ∂ ϕ 2 y ∂ 2 ∂ ϕ 2 x ∂
= −
−
−
τ = − xy
2bx 2cy b ; 1
2 ∂ ϕ x y ∂ ∂
Hệ số (a, b, c) trong (5.20) sẽ được xác định từ điều kiện biên (5.18):
Nếu chọn hàm ϕ(x,y) là một hàm đa thức bậc 4 hoặc cao hơn thì trước tiên phải chọn
các hệ số sao cho nó là một hàm trùng điều hòa. Chẳng hạn chọn:
4
2
2
3
3
4
3
2
2
3
2
2
(5.21)
ax
dx y
ey
ϕ =
+
bx y cx y +
+
+
+
+
+
+
+
b xy c y +
a x 1
b x y c xy + 1
1
d y 1
a x 2
2
2
Theo điều kiện của hàm trùng điều hòa ta có:
202
5.5.2 Chọn hàm ϕϕϕϕ(x,y) dưới dạng hàm đa thức bậc 4 hoặc cao hơn:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
24(a
+
e) 8c 0 =
+
) 2 ∇ ∇ ϕ =
(
Suy ra: a=c=e=0.
Khi đó nhận được hàm lưỡng điều hòa:
3
3
3
2
2
3
2
2
ϕ =
bx y dx y +
+
+
+
+
+
b xy c y +
b x y c xy + 1
a x 1
1
a x 2
2
2
(5.22)
d y 1 Các hàm ứng suất tìm được theo (5.16) là:
=
+
+
σ = x
6dxy 2c x 2d y 2c ; + 2
1
1
(5.23)
=
+
+
σ = y
6bxy 6a x 2b y 2a ; + 2
1
1
2 ∂ ϕ 2 y ∂ 2 ∂ ϕ 2 x ∂
2
2
3bx
= −
−
−
−
−
τ = − xy
2d y 1
2b x 2c y b ; 2
1
1
2 ∂ ϕ x y ∂ ∂
203
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
y
δ
cắt ngang hình chữ nhật (
hδ × ) (δ nhỏ) chịu
m
P
h
tải trọng P ở mặt cắt đầu mút. Hãy xác định
x
trạng thái ứng suất trong dầm (hình 5.3)
x
m l
Ví dụ 5.1: Xét một dầm conson dài l, mặt
Chọn hàm ứng suất
:
(x, y)
ϕ
Hình 5.3
Mô men là hàm bậc nhất của x, nên ứng suất là hàm bậc 2 của x và y. Vì ứng suất là
Lời giải
3
3
3
2
2
3
2
2
ϕ =
bx y dx y +
+
+
+
+
+
b xy c y +
a x 1
b x y c xy + 1
1
d y 1
a x 2
2
2
đạo hàm bậc 2 của hàm ứng suất, nên hàm ứng suất là hàm bậc 4 theo x và y:
0
- Tại biên trên (y h;0 x l)
0; m 1
≤ ≤ : có l
=
=
y0;
= nên: xy
τ = σ = (a) 204
Điều kiện biên:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
0
- Tại biên dưới (y 0;0 x l)
0; m
1
≤ ≤ : có l
=
=
y0;
= − nên: xy
τ = σ = (b)
0
(c)
h
- Tại biên bên phải (0 y h; x
l)
≤ ≤
= : có l 1;m 0 =
= nên:
(d)
δτ
dy P =
yx
∫
σ = x
0
Thay (5.23) vào (a, b,c) được:
a
0;
b
=
= =
=
=
2
1,5dh;c
dl;
=
= −
a 1 c 1
b b 1 2 1,5dhl;d = 1
2
Như vậy hàm
(x, y)
ϕ
sẽ trở thành:
3
3
2
2
2
dxy
dly
1,5dhxy
1,5dhly
dy (x l)(y 1,5)
ϕ =
+
−
+
=
−
−
205
Ứng suất:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
3d(x l)(2y h);
=
−
−
σ = x
(e)
2 ∂ ϕ 2 y ∂ 0;
σ = y
3dy(h y);
=
−
xy
2 ∂ ϕ x y ∂ ∂
τ = −
h
3
d
P
=
3 dy(h y)dy P − δ
= →
=
Thay vào (e) vào (d) ta được:
hay:
∫
dh δ 2
2P 3 h δ
0
Như vậy ứng suất cần tìm:
(x l)(2y h);
=
−
−
σ = x
6P 3 h δ
(g)
2 ∂ ϕ 2 y ∂ 0;
σ = y
=
y(h y); −
xy
2 ∂ ϕ x y ∂ ∂
6P 3 h δ
τ = −
206
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Nhìn vào kết quả ta thấy:
- Tại biên trên và biên dưới ( y=h; y=0) ta có:
(x l)
σ = ±
= ±
− = ±
x
M w
2 ∂ ϕ 2 y ∂
6P 2 h δ
w
=
là mô men chống uốn
Trong đó: M P(x
l)
=
− là mô men uốn tại mặt cắt m-m;
2h δ 6
tại mặt cắt m-m.
- Đối với ứng suất tiếp tại giữa dầm ( y=h/2)
τ = xy
3P 2 h δ
Kết quả này hoàn toàn trùng với kết quả trong sức bền.
207
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 5.6 Giải bài toán phẳng bằng chuỗi lượng giác
Khi tải trọng phức tạp, không liên tục thì việc chọn hàm ứng suất là đa thức rất hạn chế
và rất khó chọn. Vì vậy Ritbier và Fillonne đã đưa ra đề xuất biểu diễn hàm ứng suất dưới
dạng chuỗi lượng giác.
∞
(5.24)
x, y
x
ϕ
=
α
(
)
(
) F y sin k
k
∑
k 1 =
với
(5.25)
α = k
k π l
4
2
0
x
α
x 2 α − α
α = (5.26)
k
F sin k
k
'' F sin k
α + k
IV x F sin k
k
k
IV
2
''
4
0
2 − α
+ α
= (5.27)
F k
F k
k
F k
k
Nghiệm tổng quát của phương trình:
208
Đặt phương trình (5.24) vào phương trình điều hòa kép ta có.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
y
y C sh
y
=
α (5.28)
(
)
F k
C ch 1
α + k
2
α + k
y C ych 3
α + k
y C ysh 4
k
Các ứng suất tương ứng:
∞
∞
∞
2
;
;
(5.29)
x
x
x
α
σ = − α
α
σ = − α
α
σ = xx
'' F sin k
k
yy
k
F sin k
k
xy
k
' F cos k
k
∑
∑
∑
k 1 =
k 1 =
k 1 =
trong đó Fk được xác định theo phương trình (5.28)
'
y C
ch
ysh
y) C (sh
y y ch
y)
= α α + α
α
y ch α + α
+
α + α
α
F k
C sh k
1
k
2
k
α + k
y C ( 3
k
4
k
k
k
k
k
''
2
2
2
sh
ch
sh
y
ch
sh
y
y)
y C α + α
α + α α
+
C = α 1
α α + α k
k
k
k
k
2
k ch
sh
k y)
k y α + α
α
α + k 2 k y y ch α + α
y C ( 3 α
F k C ( + 4
k
k
k
k
k
k
Với các Ci là các hằng số tích phân được xác định theo điều kiện biên.
- Dùng nghiệm Fillonne (tấm chữ nhật) biên bên trái và bên phải (khi x=0 và x=L) thì
*
0≠
0;= * yf
xf
209
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
∞
- Ritbier đề nghị lấy hàm ứng suất:
x, y
x
ϕ
=
α
(
)
F (y) cos k
k
∑
k 1 =
0;f
≠
= 0
* y
∞
∞
Nghiệm tổng quát:
(5.30)
x, y
Q (y) cos
x
ϕ
=
α
(
)
F (y)sin k
x α + k
k
k
∑
∑
k 1 =
k 1 =
Điều kiện biên (khi x=0 và x=L) là: * f x
Phương pháp sai phân hữu hạn (phương pháp lưới) là một phương pháp số cho phép
giải gần đúng các bài toán phức tạp mà các phương pháp giải tích không hiệu dụng. Ngoài
ra, phương pháp này còn có thể cho phép tự động hóa tính toán bằng máy tính.
Nội dung phương pháp: Thay giá trị chính xác của đạo hàm bằng những biểu thức gần
5.7 Giải bài toán phẳng bằng phương pháp sai phân hữu hạn
thay thế bằng các phương trình đại số.
210
đúng qua giá trị của hàm trên một khoảng nào đó. Khi đó phương trình vi phân sẽ được
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 5.7.1 Đạo hàm và sai phan cấp một
Giả sử cho hàm y
f (x)
=
y
liên tục, khả vi trong đoạn [a,b]. Ta chia đoạn này thành những
thứ i là
iy (hinh 5.4). x∆ là bước sai phân
yi+3 yi+2 yi+1 yi yi-1 yi-2
(bước sai phân có thể đều hoặc không đều).
Trong trường hợp này ta chỉ xét bước chia đều,
x
o
xi-2 xi-1 xi xi+1xi+2xi+3
ta có:
Hình 5.4
i
(5.31)
y '
=
=
≈
i
lim x 0 ∆ →
dy dx
y ∆ x ∆
i
y ∆ x ∆
x∆ : Bước sai phân
211
đoạn nhỏ x∆ và gọi giá trị của hàm tại điểm
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
y∆ : Sai phân cấp 1 và có thể được xác định như sau:
y
y
y
y
y
/ 2
: sai phân lùi;
: sai
−
− : sai phân tiến;
−
(
)
y ∆ = i
i 1 +
i 1 −
y ∆ = i
i
i 1
y ∆ = i
i
y −
i 1 +
phân trung tâm.
Khi đó:
y
y
y
y
i
i
i
i 1 −
i 1 −
(5.32)
≈
=
=
=
dy dx
y ∆ x ∆
y − x ∆
− i 1 + x ∆
y − i 1 + 2 x ∆
Tương tự như đạo hàm cấp 1 với đạo hàm cấp cao ta lấy gần đúng:
n
(5.33)
≈
i n
n d y n dx
x ∆
∆ (
y )
5.7.2 Đạo hàm và sai phân cấp cao
212
Đạo hàm cấp 2 được biểu diễn dưới dạng sai phân gần đúng:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
y
∆
(y
y
y
2y
−
−
−
)
(
)
i
i
i
i 1 +
y ) i 1 −
i 1 +
i 1 −
(5.34)
≈
=
=
=
=
i 2
+ 2
2 d y 2 dx
x ∆
i 1 + x ∆
x ∆
x ∆
∆ (
y )
( y ∆ ∆ i 2 ) ( x ∆
y (
− 2 )
y ) i (
(y 2 )
− (
)
2
3
y
y
∆
+
i
(y
y ) / 2 (y
(y
y ) / 2
−
−
+
−
−
(
)
)
i 1 +
i 1 −
i
i
i 2 +
i 2 −
≈
=
=
=
i 3
3
i 3
3 d y 3 dx
x ∆
x ∆
i 1 + x ∆
∆ (
y )
( ∆ ∆ ( x ∆
y )
− (
2y )
(
y ) i 1 − 3 )
y
2y
y
−
−
+
i 2 +
i 2 −
i 1 −
; (5.35)
≈
3 d y 3 dx
i 1 + 2
x ∆
2y 3 )
(
2
2
4
y
y
∆
−
+
i
)
(
)
i 1 +
i 1 −
≈
=
=
i 4
(5.36)
4 d y 4 dx
x ∆
x ∆
∆ (
y )
( 2 ∆ ∆ ( x ∆
y 4 )
2y i 4 )
(
4
(y
2y
(y
2y
−
+
y ) 2(y −
+
+
−
+
i
i
i 2 +
i 1 +
i 1 +
y ) i 1 −
i 1 −
y ) i 2 −
≈
=
i 4
i 4
4 d y 4 dx
x
∆
x ∆
− (
2y )
∆ (
y )
213
Đạo hàm cấp 3, 4 được biểu diễn dưới dạng sai phân gần đúng:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
4
(y
4y
4y
6y
−
+
i
i 2 +
i 1 +
i 1 −
y ) i 2 −
(5.37)
≈
=
i 4
− 4
4 d y 4 dx
x
x ∆
∆
∆ (
y )
+ (
)
x
x
x
x
Giả sử hàm
là hàm liên tục và khả vi
(x, y)
ϕ
y
trong miền (S), ta chia miền này bằng những lưới
10
chữ nhật với bước sai phân x∆ và y∆ .
y
5
6
2
Ta có thể viết đạo hàm riêng tại “0” như sau:
y
0
11
3
1
9
y
2 ϕ − ϕ + ϕ 3
1
4
7
8
;
≈
;
≈
2
2 ∂ ϕ 2 x ∂
∂ϕ x ∂
ϕ − ϕ 1 3 2 x ∆
0 x ∆
0
y
0
)
(
12
x
4
4
9
3
1
11
4
o
;
≈
;
≈
4
4 ∂ ϕ 4 x ∂
∂ϕ y ∂
ϕ − ϕ 2 2 y ∆
0 x ∆
0
0
6 ϕ − ϕ + ϕ − ϕ + ϕ (
)
Hình 5.5
214
5.7.3 Đạo hàm và sai phân hàm hai biến
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2 ϕ − ϕ + ϕ
2
0
4
;
≈
2
2 ∂ ϕ 2 y ∂
y ∆
0
)
(
4
4
6 ϕ − ϕ + ϕ − ϕ + ϕ
4
2
10
12
0
;
≈
4
4 ∂ ϕ 4 y ∂
y ∆
0
)
(
)
)
5
5
;
≈
=
=
(5.38)
2 ∂ ϕ y x ∂ ∂
∆ y ∆
( 6 x ∆
( ϕ − ϕ + ϕ − ϕ 7 6 8 x y ∆ ∆
)
(
ϕ − ϕ 1 3 ( ) x ∆
( ) ϕ − ϕ − ϕ − ϕ 8 7 )( y ∆
)
(
0
2
(
2
) 2(
2
)
(
)
∆
2 ϕ − ϕ + ϕ 3
1
5
4
3
1
6
8
≈
=
2
2
2
2
4 ∂ ϕ 2 x y ∂ ∂
y ∆
0 x ∆
0 x ∆
2 y ∆
0
(
)
)
(
2 ϕ − ϕ + ϕ − ϕ − ϕ + ϕ + ϕ − ϕ + ϕ 7 2 ) (
)
(
4
2(
)
)
0
7
6
5
2
1
(5.39)
.
≈
2
4 ∂ ϕ 2 x y ∂ ∂
x
3 y ∆
0
ϕ − ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ 4 8 2 ) ( ∆
( 2 )
(
215
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 5.7.4 Phương trình trùng điều hòa viết dưới dạng sai phân
2
Xét hàm
là hàm điều hòa ta có:
(5.40)
2
+
+
(x, y)
ϕ
( 2 ∆ ∆ ϕ =
)
2
4 ∂ ϕ 4 x ∂
4 ∂ ϕ 2 x y ∂ ∂
4 ∂ ϕ 4 y ∂
Thay các đạo hàm riêng bậc 4 từ mục 5.7.3 ta được:
20
) 2(
) 0
8(
)
(
11
10
12
2
3
1
0
7
8
6
4
9
5
ϕ − ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ = (5.41)
2 ϕ − ϕ + ϕ 4
2
0
;
≈
σ = x
2
2 ∂ ϕ 2 y ∂
y ∆
0
(
)
2 ϕ − ϕ + ϕ 3
1
;
≈
σ = y
2
(5.42)
2 ∂ ϕ 2 x ∂
0 x ∆
0
)
(
(
)
6
;
≈
xy
2 ∂ ϕ y x ∂ ∂
) ( ϕ + ϕ − ϕ + ϕ 8 5 7 4 x y ∆ ∆
τ = −
0
216
Ứng suất tại điểm “0” sẽ được xác định theo công thức:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 5.7.5 Giá trị hàm
(x, y)
ϕ
Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường trình trùng điều
hòa (5.40).
Nghiệm của phương trình này là hàm ứng
y
σ
.m
.l
+ τ
xy
x
* fy
v
B
(5.43)
σ
.m
.l
f
= τ
+
∗ y
xy
y
suất ϕ phải thỏa mãn điều kiện biên. = ∗ f x
dy
* fx
ds
A
dy / ds;
(5.44)
x
o
l cos(v, x) = m cos(v, y)
Thay các cosin chỉ phương: sin( ) α = − cos( ) dx / ds; α =
= − =
=
dx
Sau khi thay (5.44) vào (5.43) và lấy tích phân
từ điểm A đến điểm B trên biên được:
Hình 5.6
217
và đạo hàm của nó trên biên
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
B
B
B
(B)
(A)
= −
→
=
−
* f ds x
* f ds x
∫
∫
∂ϕ y ∂
∂ϕ y ∂
A
A
A
(5.45)
B
B
B
(B)
(A)
=
→
=
+
* f ds y
* f ds y
∫
∫
∂ϕ x ∂
∂ϕ x ∂
∂ϕ x ∂
A
∂ϕ y ∂
A
A
Như vậy, đạo hàm tại B hoàn toàn xác định được nếu biết tải trọng và đạo hàm của nó
tại điểm A trên biên nào đó. Điểm A gọi là gốc tính toán.
Giá trị hàm ϕ tại B sẽ được xác định bằng:
B
B
(B)
(A)
(x
(A)
(y
(A)
(x
(y
ϕ
= ϕ
+
−
+
−
+
−
−
−
(5.46)
x ) A
B
y ) A
B
B
* x)f ds y
B
* y)f ds x
∫
∫
∂ϕ x ∂
∂ϕ y ∂
A
A
Nếu chọn hàm ϕ sao cho giá trị của ϕ và đạo hàm của hàm ϕ tại A bằng “0”:
(A)
ϕ
(A) 0; =
=
(A) 0 =
∂ϕ x ∂
∂ϕ y ∂
218
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Lúc đó (5.45) và (5.46) trở thành:
B
B
B
B
(B)
(B)
(B)
(x
(y
= −
=
ϕ
=
−
−
−
(5.47)
* f ds; x
* f ds; y
B
* x)f ds y
B
* y)f ds x
∫
∫
∫
∫
∂ϕ x ∂
∂ϕ y ∂
A
A
A
A
Hay:
B
(5.48)
(B)
= −
ϕ
(B) M =
y
B
B F ; x A
A
B (B) F ; = A
∂ϕ y ∂
∂ϕ x ∂
F ;F ;M : Khi chiều đi từ A đến B ngược chiều kim đồng hồ thì
y
B
F ; F là tổng hình chiếu các lực trên biên từ A đến B theo phương trục x, y và được
+ x
y
coi là dương nếu cùng chiều với chiều dương của trục tọa độ tương ứng;
+
BM là tổng mô men của các lực trên AB đối với điểm B và được coi là dương nếu
ngược chiều đi của A đến B, và ngược lại.
219
Quy ước dấu của x
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 5.7.6 Giá trị hàm
(x, y)
ϕ
a)
b)
c)
d)
N
T
T
T
y
y
NB
N B
B
B
y
y
T
N
x
x
x
x
Hình 5.7
a) Đối với điểm ngoài biên nằm phía trên chu tuyến (hình 5.7a)
Ta có:
(5.49)
2 y.
≈
ϕ ≈ ϕ + ∆ T
suy ra: N
ϕ − ϕ N T 2 y ∆
∂ϕ y ∂
∂ϕ By ∂
B
b) Đối với điểm ngoài biên nằm phía dưới chu tuyến (hình 5.7b)
220
và đạo hàm của nó ngoài biên
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
N
Ta có:
(5.50)
2 y.
≈
ϕ ≈ ϕ − ∆ T
suy ra: N
∂ϕ y ∂
ϕ − ϕ T 2 y ∆
∂ϕ By ∂
B
c) Đối với điểm ngoài biên nằm phía bên phải chu tuyến (hình 5.7c)
Ta có:
(5.51)
2 x.
≈
ϕ ≈ ϕ + ∆ T
suy ra: N
ϕ − ϕ N T 2 x ∆
∂ϕ x ∂
∂ϕ Bx ∂
B
d) Đối với điểm ngoài biên nằm phía bên trái chu tuyến (hình 5.7d)
N
Ta có:
(5.52)
2 x.
≈
ϕ ≈ ϕ − ∆ T
suy ra: N
ϕ − ϕ T 2 x ∆
∂ϕ x ∂
∂ϕ Bx ∂
B
Trên đây chỉ giới thiệu một dạng lưới đơn giản nhất (lưới chữ nhật với bước sai phân
Chú ý:
lưới tam giác, lục giác v.v…
221
đều). Trong nhiều bài toán khác nhau, tùy theo hình dạng của vật thể ta còn dùng các dạng
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
càng dày (bươc sai phân càng nhỏ). Khi đó số phương trình thu được tăng lên. Tuy nhiên
nếu giải bằng máy tính thì việc giải hệ nhiều phương trình cũng không quá phức tạp.
Để nghiệm của phương trình sai phân hữu hạn càng chính xác thì người ta chia lưới
a
a
giữa tấm tường hình vuông chịu tải trọng
8
q
như hình vẽ 5.8 bằng phương pháp sai phân.
4
5
Ví dụ 5.2: Xác định ứng suất tại điểm K ở
a
7
3
K
a
1
q 1
6
q 1 a/4
2 a/4
Hình 5.8
222
Lời giải:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
q / 4
q.2a q .a / 2 =
=
1
suy ra: 1q
Bước 1: Xác định ngoại lực chưa biết: Dựa vào điều kiện cân bằng ta sẽ xác định được q1.
tùy ý miễn sao dễ dàng và thuận lợi cho tính toán. Đối với bài toán đối xứng, để xử dụng
tính đối xứng thì điểm gốc phải chọn trên trục đối xứng.
Bước 2: Đánh số các điểm và chọn điểm gốc trên biên. Điểm gốc trên biên được chọn là
20
) 2(
8(
(
)
) 0 ϕ − ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ =
9
10
11
12
5
6
7
8
1
2
3
4
0
223
Bước 3: Viết phương trình trùng điều hòa cho hàm ứng suất tại điểm K:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bước 4: Tính các giá trị hàm, đạo hàm của hàm ứng suất trên biên
1 0
3 qa
4 qa
5 0
2 qa
=
y
σ = x
0
0
0
0
0
= −
x
∑ F
0
2 3qa / 8
2 qa / 8 −
2 qa / 8 −
2 qa / 8 −
2 ∂ ϕ k 2 y ∂ 2 ∂ ϕ k σ = y 2 x ∂ ϕ = ∑ BM
Điểm trên biên ∑ F
2a.
;
2a.
2a.
2 2qa ;
ϕ ≈ ϕ −
= ϕ
ϕ ≈ ϕ +
= ϕ
ϕ ≈ ϕ +
K
6
K
K
8
K
K
7
= ϕ + K
∂ϕ y ∂
∂ϕ y ∂
∂ϕ x ∂
3
1
5
Bước 5: Tính các giá trị hàm ứng suất tại những điểm ngoài biên.
Thay các giá trị này vào phương trình (1) ta được :
224
Bước 6: Xác định giá trị hàm ứng suất tại K
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
2
2
24
3.
2.
)
2 2qa )
8(0 2. −
+
) 2( 2. + −
−
(2 + ϕ + ϕ +
ϕ − k
k
k
0 + ϕ = k
qa 8
qa 8
qa 8
qa 8
2
2
2
2
hay:
24
qa
qa
4qa
0
2 qa / 12
0,083qa
−
+
ϕ = −
≈ −
ϕ − k
k
= suy ra là:
2
2
2
0
−
−
+
3qa 8
qa 12
)
(
5
(K)
q
0, 458q
σ
=
=
=
=
≈
x
2
2 φ − ϕ + ϕ K 1 2 a
2 ∂ ϕ 2 y ∂
2
2
2
2
−
−
−
−
qa 8
qa 12
qa 8
a
(
)
11 24
3
(K)
q
0,083q
σ
=
=
=
= −
≈ −
y
2
2 ϕ − ϕ + ϕ K 3 2 a
a
1 12
2 ∂ ϕ 2 x ∂
(
)
4
2
2
(K)
0
τ
= −
=
=
xy
2
ϕ − ϕ + ϕ − ϕ 4 4a
2 ∂ ϕ x y ∂ ∂
225
Bước 7: Xác định ứng suất tại K
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 5.8 Giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn (sẽ được trình bày chi tiết trong
môn phương pháp số)
y
5.8 Bài tập
q
Cho tấm hình chữ nhật có bề dày một đơn vị, chịu nén
áp lực q như hình 5.9. Biết: - Chuyển vị theo phương trục z
vuông góc với mặt phẳng tấm bằng không;
H
- Các chuyển vị trong mặt phẳng là:
2
−
v
y;
= −
a=const.
u
x;
=
x
a(1 a)q + E
(1 a )q E
Hãy kiểm tra các điều kiện biên của bài toán.
Hình 5.9
226
Bài 5.1
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Xét tường chắn có trọng lực riêng là ρ .
o
α
x
Chịu tác dụng của áp lực nước như hình
y
5.10. Hãy xác định trạng thái ứng suất trong
q=γy
h
tường (chọn hàm ứng suất là hàm đa thức
3
2
2
3
bậc 3:
với
(x, y)
ax
dy
ϕ
=
+
bx y cxy +
+
A
B
a, b, c, d là các hằng số)
y
Hình 5.10
227
Bài 5.2
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 5.3
Xét tường chắn có trọng lực
o
α
x
q =γy/2
riêng là ρ . Chịu tác dụng của các lực
1
β
y
q =γy
2
như hình 5.11. Hãy xác định trạng
h
thái ứng suất trong tường (chọn hàm
A
B
3
2
2
3
với
(x, y)
ax
dy
ϕ
=
+
bx y cxy +
+
y
a, b, c, d là các hằng số)
Hình 5.11
228
ứng suất là hàm đa thức bậc 3:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 5.4
Bằng phương pháp sai phân vơi bước chia đều là a. Hãy xác định ứng suất tại điểm K
của tấm chịu lực như hình vẽ 5.12.
q
q
a
a
t
t
K
K
a
a
q 1
a
a
a
a
a
a
Hình 5.12 Hình 5.13 Bài 5.5
Bằng phương pháp sai phân vơi bước chia đều là a. Hãy xác định ứng suất tại điểm K
của tấm chịu lực như hình vẽ 5.13.
229
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Khi nghiên cứu tính toán cho các bài toán vành tròn, đĩa v.v… nếu dùng hệ trục tọa độ
Descartes mô tả các đại lượng (ứng suất, biến dạng) thì không thuận tiện bằng mô tả trong
hệ trục tọa độ cực. Ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày,
các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm…
Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán kính r.
Chương 6: BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CỰC
6.1 Các phương trình cơ bản
Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,θ,z), ta cắt ra 1
phân tố giới hạn bằng 6 mặt.
230
6.1.1. Các phương trình vi phân cân bằng :
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
- 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr.
- 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ.
z
y
dr
r
dr
σr + σr r
τrθ+ τrθ dθ θ b
dθ
1
σθ+ σθ θ
dr
τθr +
θd
a
τθr r
c
τrθ
θ
σ r
o
y
d
θ
τθr
d
σθ d r
r
x
x
θ
o
- 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị
231
Hình 6.1
r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét A(r,θ,z) và
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Ký hiệu: vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau:
- Các mặt nhận r làm pháp tuyến:
τ . rθ
+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σr,
r
d θ
+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành phần ứng
σ + r
τ + θ r
∂τ dθ r θ ∂θ
∂σ ∂ θ
suấ: ,
- fr, fθ : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp tuyến.
r
r
.r.d .1 (
.dr.1.sin
(
0 Σ = ⇔ − σ
θ + σ +
dr)(r dr).d +
θ− σ
d ).dr.1.sin θ
−
r
r
θ
− σ + θ
d θ 2
d θ 2
∂σ r ∂
∂σ θ ∂θ
.dr.1.cos
(
0
τ
d )dr.1.cos θ
+
=
f .r.d .dr θ r
r θ
+ τ + r θ
d θ 2
d θ 2
∂τ r θ ∂θ
232
Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 6.1 :
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
sin
;
cos
≈
1 ≈
d θ 2
d θ 2
d θ 2
r
σ
r
θ
0
+
+
Vì biến dạng bé nên
f + = r
σ− r
1 r
∂σ r r ∂
(6.1) Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được: ∂τ θ ∂θ
∂τ
τ
2
f
0
+
+
+
=
Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được
θ
1 r
r θ r
r θ r ∂
∂σ θ ∂θ
=
(6.2)
τ
r θ
τ r θ
233
+ Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : (6.3)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 6.1.2. Các phương trình hình học:
y
D '
u
d
+
θ
Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là: u, v.
u ∂ ∂ θ D C '
E '
u
dr
u
dr
1γ
+
+
C
Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là:
B '
B
u
dr
+
u ∂ r ∂
v ∂ r ∂
A
u r
∂ ∂
A ' U
và
o
x
Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là:
u
dv
v
+
d θ
+
Hình 6.2
u ∂ ∂θ
v ∂ ∂θ Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ
và
* Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng ABCD trở
thành A’B’C’D’ (hình 6.2):
234
+ Các biến dạng dài tương đối:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(u
dr) u dr dr
+
− +
−
u ∂ r ∂
;
=
=
ε = r
u ∂ r ∂
+
=
=
ε = θ
A 'C' AC (r u)d rd
u r
A 'B' AB − AB − AB
dr rd θ − θ θ
(6.4a)
y
D''
D
(u
+
d ) u θ −
B''
'
N
+ Biến dạng góc:
' ' C A E
=
=
γ = 1
dr
v+
M
v
v r
u ∂ ∂θ rd
θ
1 u ∂ r ∂θ
C''
C
B
(6.4b)
A''
* Biến dạng do v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến
A
x
dạng ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’ (hình 6.3):
o
+ Các biến dạng dài tương đối:
(v
d ) v d
d
+
θ − + θ − θ
v ∂ ∂θ
Hình 6.3
=
=
ε = θ
A ''C '' AC − AC
dr
θ
1 v ∂ r ∂θ
235
(6.5a)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(v
+
dr) v −
+ Biến dạng góc:
(B''A ''M ')
(NA ''M '')
−
=
−
=
−
γ = 1
v r
v r
v ∂ v ∂ dr
v ∂ r ∂
(6.5b)
(NA ''M '')
= là sự quay toàn phần của phân tố ABCD đối
v r
Trong (6.5b) thành phần
với điểm O.
Cộng (6.4) và (6.5) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong tọa độ
236
cực:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
r
ε = + θ
u ∂ r ∂ u r
1 v ∂ r ∂θ
+
−
2
γ = γ + γ = r 1 θ
v r
1 u ∂ r ∂θ
v ∂ r ∂
(6.6)
ε = 6.1.3. Các phương trình vật lý:
Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke trong tọa độ
–
)
(
σ
υσ
ε = r
r
θ
–
)
(
σ
υσ
Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ:
r
ε = θ
θ
2(1
=
τ
γ = r θ
r θ
1 E 1 E τ r θ G
) + υ E
237
a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: (6.7)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
–
)
(
υε
ε
r
σ = r
θ
2
1
b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng:
–
)
(
υε
ε
r
θ
σ = θ
2
1
γ
τ = r θ
r θ
2(1
E − υ E − υ E ) + υ
(6.8)
1E ,υ theo cách đặt:
1
Ở bài toán biến dạng phẳng thay E, υ bằng
=
E 1
2
1
υ = 1 1
E − υ
υ − υ
;
2
6.2. GIẢI BÀI TOÁN THEO ỨNG SUẤT.
(
)
0
∇ σ + σ =
x
y
- Phương trình LeVy là phương trình giải bài toán phằng theo ứng
238
suất trong hệ tọa độ Descartes.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
(
)
∇ σ + σ = 0
x
y
Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực:
2
σx + σy = σr + σθ = S
) 0
∇ σ + σ = (6.9)
r(
θ
Suy ra:
2
2
2
x
y
* Liên hệ giữa các thành phần tọa độ Descartes và tọa độ cực:
tan
θ =
= r
+ y x
(6.10)
∂
2r
cos
=
→
=
=
θ
x r
2(r ) x ∂
r ∂ x ∂
r ∂ x ∂
239
Suy ra:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
∂
2y
sin
=
=
→
=
=
θ
y r
2(r ) y ∂
(r) ∂ 2r y ∂
r ∂ y ∂
)
(
∂
θ
=
=
→
= −
= −
= −
y 2
(
)2
x r
− x
1 2 cos
y 2 x
y 1 . r r
sin r
y x x ∂
∂θ . x θ ∂
∂θ x ∂
(
)
∂
θ
=
=
→
=
=
=
(
)2
x r
1 x
1 2 cos
1 x
x 1 . r r
cos r
y x y ∂
∂θ . y θ ∂
∂θ y ∂
θ
cos
=
+
=
θ −
f ∂ x ∂
f r ∂ ∂ r x ∂ ∂
f ∂ ∂θ x ∂θ ∂
f ∂ r ∂
f sin ∂ r ∂θ
θ
sin
=
+
=
θ +
f ∂ y ∂
f r ∂ ∂ r y ∂ ∂
f ∂ ∂θ y ∂θ ∂
f ∂ r ∂
f cos ∂ r ∂θ
240
* Như vậy, đối với hàm f(x,y) bất kỳ, trong tọa độ cực:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
θ
θ
θ
.cos
cos
.cos
=
θ −
θ −
θ −
sin r
f ∂ 2 x ∂
f sin ∂ . r ∂θ
f sin ∂ . r ∂θ
f ∂ ∂ r r ∂ ∂
f ∂ ∂ r ∂θ ∂
2
θ
θ
θ
.sin
sin
.sin
=
θ +
θ +
θ +
cos r
f ∂ 2 y ∂
f cos ∂ . r ∂θ
f cos ∂ . r ∂θ
f ∂ ∂ r r ∂ ∂
f ∂ ∂ r ∂θ ∂
2
2
2
2
2
2
θ
θ
2
.cos
.
.
=
θ −
θ ∂ −
+
f 2
sin 2 r
f sin 2 r
f sin . 2 2 r
f ∂ 2 x ∂
∂ r ∂
f ∂ r ∂θ∂
f sin θ ∂ . + r r ∂
∂θ
∂ ∂θ
2
2
2
2
2
2
θ
θ
θ
2
.sin
.
.
=
θ +
+
+
f 2
sin 2 r
f cos . 2 2 r
f ∂ 2 y ∂
∂ r ∂
f ∂ r ∂θ∂
f sin 2 ∂ r ∂θ
f cos θ ∂ . + r r ∂
∂ ∂θ
Sau biến đổi ta nhận được:
2
2
2
2
Lấy tổng hai biểu thức ta được:
2 f ∇ =
+
=
+
+
f 2
1 2 r
f ∂ 2 x ∂
f ∂ 2 y ∂
∂ r ∂
1 f ∂ r r ∂
f ∂ 2 ∂θ
(6.11)
241
Thay (6.11) vào (6.9) ta có :
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
(
)
0
+
+
σ + σ =
r
θ
2
2
1 r
1 r
∂ r ∂
∂ r ∂
∂ ∂θ
(6.12)
Cũng tương tự như trong hệ tọa độ Descartes trong trường hợp lực thể tích bằng 0, lấy
+
σ = r
1 2 r
2 ∂ ϕ 2 ∂θ
các ứng suất thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1), (6.2):
σ = θ
1 ∂ϕ r r ∂ 2 ∂ ϕ 2 r ∂
= −
T r θ
1 r
∂ r ∂
∂ϕ ∂θ
(6.13)
ϕ θ là hàm ứng suất trong tọa độ cực. (r, )
trong đó:
242
Thay (6.13) vào (6.12) ta có:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
0
+
+
+
+
=
2
2
1 r
1 2 r
1 r
1 2 r
∂ r ∂
∂ r ∂
∂ ∂θ
2 ∂ φ 2 r ∂
∂φ r ∂
2 ∂ φ 2 ∂θ
2
⇔
(6.14)
) 2 0 ∇ ∇ ϕ =
(
(6.15)
(6.14): là phương trình trùng điều hòa của bài toán phẳng trong tọa độ cực.
Ví dụ 6.1: Cho thanh cong mặt cắt ngang hình chữ nhật
b
(bxh): Lấy b=1, chịu tác dụng bởi mômen Mo ở 2 mặt cắt
a
đầu thanh và nằm trong mặt phẳng cong của thanh như
hình vẽ 6.4. Hãy xác định trạng thái ứng suất trong thanh.
Bài giải :
Hình 6.4
243
Đây là trường hợp thanh cong phẳng chịu uốn thuần túy . Do mômen uốn không đổi theo chiều dài thanh nên ứng suất không phụ thuộc vào góc cực. Ta chọn hàm ứng suất theo: ϕ(r)= Alnr+ Br2lnr + Cr2 +D
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
B(1 2ln r) 2C
=
+
+
+
σ = r
B(1 2ln r) 2C
= −
+
+
+
θ
σ =
1 d φ r dr 2 d φ 2 dr
A 2 r A 2 r
Khi đó các ứng suất theo (6.13) sẽ là : (6.16)
r
a
= → σ =
r
Các hằng số A,B,C được xác định từ điều kiện biên như sau :
0
r
0
b
= → σ =
r
(a) * Tại 2 biên cong :
*Tại 2 đầu thanh :
N
.1.dr
0
dF
=
θ
θ
∫ = σ ( F)
b ∫ = σ a
Lực dọc N: (b)
M
.1.r.dr M
.r.dF
=
0
θ
θ
∫ = σ (F)
b ∫ = σ a
Mômen uốn M: (c)
244
Thay (6.15) vào (a), (b), (c) ta được :
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
B(1 2ln a) 2C 0
+
+
+
=
A 2 a
B(1 2ln b) 2C 0
+
=
+
+
A 2 b
2
2
2
A ln
2 B(b ln b a ln a) C(b
+
−
+
−
a ) M =
0
a b
2
0
A
= −
a 2 a b ln b
2
0
B
b
= −
−
(d)
) 2 a
(
2
2
2
C
a
b
2 a lna
=
−
−
4M K 2M K (
)
( 2 b lnb +
)
(e)
2
2
2
a
2 2 4a b ln
−
−
Giải hệ phương trình (d) đối với A, B, C ta được :
( K b =
)
a b
M 0 K
trong đó :
245
Thay các giá trị của a, b,c ở (e) vào (7-13) ta được :
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
ln
2 b ln
2 a ln
+
+
σ = r
K
r
b a
r b
a r
4M a b o 2
2
2
2
o
ln
2 b ln
2 a ln
b
a
−
+
+
+
−
σ = θ
4M K
2 a b 2 r
b a
r b
a r
0
τ = τ = r θ
r θ
246
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 6.3 Bài toán nêm phẳng chịu lực tập trung
P
P
β
x
Xét một nêm phẳng bề dày 1 đơn vị, góc
α α
r
θ
chắn ở đỉnh là 2α và chịu tải tập trung P
σr
như hình vẽ 6.5. Đây có nghiêng một góc β
A
A
thể là sơ đồ của một đập chắn và ta coi nên
y
1
có chiều dài rất lớn.
Hinh 6.5
(r, ) ϕ θ
6.3.1 Hàm ứng suất
và các ứng suất
,α β θ ,
suy ra thứ nguyên của cũng phụ thuộc
=
=
,
,α β θ: là hư số.
[
[
] [ ] F / L ; r
[
] L ;
] σ = r
[ ] 2 F / L ; P
Ứng suất tại điểm K(r, )θ phụ thuộc vào: P, r, vào thứ nguyên của các đại lượng này và có: là hư số
247
Vậy thứ nguyên của ứng suất phụ thuộc vào các đại lượng khác:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
k( , σ = α β θ
r
[
[ ] [ ] , ) P / r
]
, ).P / r
k( , σ = α β θ
r
Hoặc:
)θ
Vì hàm ứng suất là hàm của (r,
/ r
nên ta có thể biểu diễn dưới dạng:
σ = τ r θ
(6.17)
+
Nhưng:
σ = r
1 r
1 2 r
∂ϕ r ∂
(6.18)
2 ∂ ϕ 2 ∂θ rσ ở (6.18) phải có dạng (6.17), nghĩa là:
=
→ ϕ =
r.H ( ) θ 1
1 r
θτ 1 r
∂ϕ r ∂
=
→ ϕ =
r.H ( ) θ 2
1 2 r
θτ 2 r
2 ∂ ϕ 2 ∂θ
248
Nên để thỏa mãn (6.17) thì mỗi số hạng của
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Hàm
(r, )
ϕ θ sẽ là:
iH chỉ phụ thuộc vào biến số θ. như vậy hàm ứng suất
(r, ) ϕ θ =
r.f ( ) θ
(6.19)
(IV )
f
2f ''
f
+
+ = 0
Thay (6.19) vào điều kiện hàm ứng suất là hàm trùng điều điều hòa (6.14) ta được:
θ f ( ) A cos( ) B sin( ) C. cos( ) D. sin( ) θ +
θ =
θ +
θ +
θ
θ
Nghiệm của phương trình (6.17) có dạng:
Hàm ứng suất sẽ có dạng:
(r, ) ϕ θ =
θ + θ
θ + θ
θ =
θ +
( r. f ( ) A cos( ) Bsin( ) C. cos( ) D. sin( ) θ
)
(6.20)
249
Các thành phần ứng suất là:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
(D cos
+
=
θ −
Csin ) θ
σ = r
1 2 r
2 r
2 ∂ ϕ 2 ∂θ
0
=
σ = θ
1 ∂ϕ r r ∂ 2 ∂ ϕ 2 r ∂
0
=
τ = − r θ
1 r
∂ r ∂
∂ϕ ∂θ
(6.21)
0
σ = τ = được thỏa mãn.
Trong hệ thức (6.21) thì các hệ số C, D là những hằng số tích phân. Chúng được xác định từ điều kiện biên.
θ
r θ
Ta thấy tại điều kiện biên với θ = ±α thì điều kiện
P cos
P cos
sin .rd
0
= −
sin ds 0 θ =
→ −
θ θ =
F y
r
r
∑
∫ β + σ S
α ∫ β + σ −α
250
Xét cân bằng phần nêm được giới thiệu bằng mặt trụ bán kính r, ta có:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
C
= −
β sin 2
Pcos 2 α −
α
Psin
Psin
cos .rd
0
=
cos ds 0 θ =
→
θ θ =
F x
r
r
∑
∫ β + σ S
α ∫ β + σ −α
Psin
D
= −
Suy ra:
β sin 2
2 α +
α
Suy ra:
(
)
+
=
−
σ = r
1 2 r
2
2 ∂ ϕ 2 ∂θ
2P sin cos θ β sin 2 r α α +
cos sin θ β sin 2 2 α α +
0
=
σ = θ
1 ∂ϕ r r ∂ 2 ∂ ϕ 2 r ∂
0
=
τ = − r θ
1 r
∂ r ∂
∂ϕ ∂θ
251
Thay C, D vào (6.18) ta được:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 6.3.2. Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn hồi (Bài
toán Flamant)
Giả sử có một môi trường đàn hồi được giới hạn bằng một mặt phẳng gọi là không
gian bán vô hạn đàn hồi. Trên mặt phẳng chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều theo một
đường thẳng. Để giải bài toán ta cắt ra một phân tố giới hạn bởi hai mặt phẳng song song
1
1
và vuông góc với đường tải trọng và cách nhau một đơn vị (hình 6.6).
252
Hình 6.6
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng.
Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song gần
nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi. Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán
trạng thái ứng suất phẳng.
Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên. Do tính đối xứng qua
trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σr, σθ là hàm chẵn đối với θ.
Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (6.22)
C: là hằng số phải xác định sao cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn phương trình trùng điều hòa
253
và điều kiện biên:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
cos
+
=
θ
σ = r
1 2 r
C r
2 ∂ ϕ 2 ∂θ
0
=
σ = θ
1 ∂ϕ r r ∂ 2 ∂ ϕ 2 r ∂ 0
τ
=
r θ
Theo (6.21) ta có: (6.23)
rσ ,
0
σ = τ = . Mặt vuông góc với này cũng không có ứng suất. Xác định hằng số C bằng
θ
r θ
Theo (6.23) cho thấy trên mặt phẳng vuông góc với bán kính r chỉ có ứng suất pháp
π 2
0
P ⇔ +
( rdA).cos σ
θ =
cách tính tổng hình chiếu lên trục các lực pháp tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm 0.
0=∑ xF
∫
−
π 2
254
với dA = r.dθ.1 (1 là bề dày của tấm)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
π 2
π 2
π 2
θ
+
2
cos .r.cos .d
2C
P
r.rd .cos θ
θ = −
θ θ = −
θ
θ = −
d θ
∫
∫
1 cos 2 2
2C r
−
−
−
−
∫ 2C cos d π 2
π 2
π 2 ∫ = − σ π 2
π 2
π 2
P
sin 2
= −
θ +
θ
C = − π
C→ = −
2C 2
1 2
P π
−
π 2
(6.24)
cos
σ = −
θ
r
2P r π
Thay (6.24) vào (6.23) ta có:
0
0
σ = θ τ = r θ
(6.25)
255
Từ (6.25) cho thấy:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
+Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σr = ∞. Thực tế khi chịu lực tập trung ở điểm đặt lực có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo.
+Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài khu vực
nói trên.
θ
+ Tính chất nghiệm của σr:
d.cos
r
θ =
→
=
1 d
cos r
Ta có: (6.26)
cos
σ = −
θ = −
→
σ = −
r
r
2P d π
2P r π
2P d π
(6.27) Từ (6.26) và (6.25) suy ra:
Công thức (6.27) cho thấy ứng suất σr của tất cả các điểm cùng một vòng tròn đều như
256
nhau. Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất.
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
P
P
o
x
r
d
y
P
Hình 6.7 Ví dụ: cấu kiện chịu nén đúng tâm
.cos(n, x) r .sin(n, x)
.l r .m
= σ = σ
= σ = σ
* f x * f y
x
r
.m
.l
= σ
Ta có:
.l = σ + τ x .l
f
yx .m
r .m
+ σ
= τ
= σ
* f x * y
yx
y
x
2
2
2
2
.l
.m
.l
.m
→ σ
− σ
= σ
− σ
x
y
r
r
257
Mà:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
x
θ
2
2
2
2
.l
.m
.l
.m
→ σ
− σ
= σ
− σ
x
y
r
r
σ + σ = σ + σ 2 2 l m 1
y +
θ =
yσ
P
y
y
rσ
o
n
yxτ
β
f*y
y
rσ
yxτ
θ
rσ
rσ
xσ
r
θ
rσ
xyτ
f*x
xyτ
xσ
x
x
x
Ta có:
0
→ σ = σ − σ x
y
r
θσ =
258
Hình 6.8
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
2
2
).m
.l
.m
(
.l
= σ
− σ
→ σ
2
2
2
2
2
.m
.l
.m
x − σ
r = σ
x − σ
− σ
x ↔ σ
x
r
r
r
x
2
2
.l
2 l m +
↔ σ
= σ
x
r
− σ − σ r .m )
2
.l
.l ( ↔ σ = σ x
r
2
.m
σ = σ
= σ
y
r
r
)2
( 1 l − .l.m
τ = σ xy
r
y
l
cos
l
sin
=
θ =
=
=
θ =
=
Tương tự:
x 2
2
2
2
x r
y r
x
y
x
y
+
+
259
;
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
2
cos
σ = σ
θ = σ
r
r
x
2
2
x
y
x +
2
2
sin
→ σ = σ
θ = σ
r
r
y
2
2
x
y
y +
.sin .cos θ
r
r
xy
2
2
x
xy y +
θ = σ
τ = σ
3
x
3
cos
;
θ = −
x
2
2
2
2P r π
2P π
x
y
+
(
2
) x.y
cos
σ = −
θ
2 sin .cos θ
θ = −
σ = −
r
y
2
2
2
2P r π
2P r π
2P π
x
y
+
(
)
2 x .y
2
sin .cos θ
θ = −
τ = − xy
2
2
2
2P r π
2P π
x
y
+
(
)
σ = −
260
Thay từ (6.27) ta có: (6.28)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT * Ứng suất (áp lực) theo phương thẳng đứng
xyτ ở
xσ và ứng suất tiếp (áp lực trượt)
3
H
σ = −
khoảng cách x=H cách biên của bán phẳng:
x
xσ (Hình 6.9a) :
2
2
2P π
2 H y +
(
)
σ
= −
- Trị số áp lực phương thẳng đứng
x,max
2P H π
2 H .y
áp lực đạt cực trị khi y=0 và bằng:
τ = − xy
2
2
2P π
2 H y +
(
)
- Trị số áp lực trượt xyτ (Hình 6.9b) :
y
=
τ
= −
3 3P 8 H π
H 3
261
áp lực đạt cực trị khi và bằng: xy,max
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
a)
b)
P
P
y
y
H
H
2P/ πH
3
P/ 2H
3P/8πH
H
H
H/ 3
x
x
σx
τxy
Hình 6.9
yσ và ứng suất tiếp (áp lực trượt)
xyτ ở
* Ứng suất (áp lực) theo phương thẳng ngang
262
khoảng cách y=B cách điểm đặt lực:
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2
x.B
x
=
σ = −
, áp lực đạt cực trị khi
và
yσ (Hình 6.10a) :
y
2
2
2
2P π
B 3
x
B
+
(
)
- Trị số áp lực
σ = −
y
3 3P 8 B π
2 x .B
bằng:
xyτ (hình 6.10b) :
τ = − xy
2
2
2
2P π
x
B
+
(
)
τ
= −
- Trị số áp lực trượt , áp lực đạt cực trị khi x B=
P 2 B π
263
và bằng: xy,max
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
a)
b)
P
P
B
B
y
y
B/ 3
B
3 3 P 8πB
P 2πB
x
x
σy
τxy
264
Hình 6.10
P2
Pn
P1
1y
1y
xσ
y
nθ
2θ
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT * Trong trường hợp có nhiều lực tập trung như hình vẽ, để tính ứng suất tại 1 điểm ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính (hình 6.11).
xyτ
yxτ
yσ
3y
2y
1y
3
3
n
n
θ
i
σ = −
= −
x
P i
∑
∑
2
(x
2 π
2 π
x i +
i 1 =
i 1 =
i
2 2 y ) i
2
2
n
n
cos
θ
P cos i r i P sin i
i
i
Hình 6.11
σ = −
= −
y
P i
∑
∑
(x
2 π
2 π
x y i 2 +
i 1 =
i 1 =
θ r i
i 2 2 y ) i
i
2
n
n
cos
θ
P sin i
i
= −
τ = − xy
P i
∑
∑
(x
2 π
2 π
2 x y i 2 +
i 1 =
i 1 =
θ i r i
i 2 2 y ) i
i
265
(6.29)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 6.4 Bài tập
Bài 6.1.
P
β
y
Hãy xác định ứng suất trong nêm có chiều dày δ =1 ,
αα
góc ở đỉnh = 2α chịu tác dụng của lực tập trung P ở đỉnh
làm với trục nêm 1 góc bằng β (hình 6.12)
Chỉ dẫn : Chọn hàm ứng suất ϕ có dạng :
r
ϕ(r,θ ) = Arθsinθ +Brθcosθ
266
trong đó A, B là các hằng số. Hình 6.12
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 6.2
M
Hãy xác định ứng suất trong nêm như trên hình nếu có
y
mômen Mo tác dụng tại đỉnh nêm (hình 6.13). Chọn hàm
αα
ứng suất dạng:
ϕ(r,θ)=Arθsinθ + Brθsin2θ
r
trong đó A, B là các hằng số.
267
Hình 6.13
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT Bài 6.3
α
Cho nêm chịu lực như hình 6.14. Hãy xác định trạng
r
thái ứng suất trong nêm γ=const (hình 6.14).
q= rγ
Lấy hàm ứng suất dạng :
(Acos3θ + Bsin3θ + Ccosθ +D sinθ )
ϕ(r,θ )= r3
r
trong đó A,B là các hằng số.
268
Hình 6.14
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
KẾT THÚC MÔN HỌC
CHÚC CÁC BẠN THI TỐT!
269
