CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
4.1. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ
Xét một vật thể đàn hồi (S). Tại thời điểm ban đầu t =t0, vật thể chưa chịu lực có hình dáng nào đó. Giả sử lấy điểm M bất kì ˛ (S), trong hệ trục (Oxyz) có tọa độ là: M(x,y,z). Dưới tác dụng (S) bị biến dạng . Điểm M của ngoại lực vật chuyển đến vị trí mới là M 1(x’,y’,z’). Ta gọi véc tơ MM1 là véc tơ chuyển vị của điểm M khi biến dạng (Hình 4-1)
Hình 4-1
Các thành phần hình chiếu của véc tơ MM 1 lên các trục tọa độ x,y,z tương ứng là
′
′
u,v,w.
′
(4.1)
= ൱ = = − − −
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Các thành phần u,v,w gọi là những thành phần dịch chuyển của véc tơ MM 1 và chúng là hàm của các tọa độ x,y,z. Ta có:
(4.2)
= 1(, , ) = 2(, , ) ൱ = 3(, , ) Gọi d là chuyển vị toàn phần của điểm M thì nó được xác định theo biểu thức sau :
(4.3)
Định nghĩa: Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị. Có mấy dạng chuyển vị?
Có 2 dạng: - Chuyển vị cứng: môi trường chuyển động như vật thể cứng sang trạng thái mới, khoảng cách giữa các phần tử vật chất không thay đổi .
- Chuyển vị gây biến dạng: khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay đổi
=> chỉ nghiên cứu chuyển vị gây biến dạng
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
4.2 Quan hệ vi phân giữa vị trí và biến dạng bé
Phân tố MNPQ với các cạnh ban đầu là dx và dy sau biến dạng trở thành phân tố M1,N1 ,P1 ,Q1. Điểm M (x,y)có chuyển vị theo phương các trục tọa độ x,y tương ứng là: u(x,y); v(x,y).
Điểm N (x+dx,y+dy) có các chuyển vị tương ứng là :
dx;
Biến dạng dài tỷ đối theo các phương x,y tương ứng là
Biến dạng góc trong mặt phẳng (x,y) là
. Từ hình
vẽ ta có:
=a +β;
Với giả thiết biến dạng bé ta có thể coi rằng:
│e
,x │<< 1;│e
,y │<<1,│a │<<1;│β│<<1;
a ~ tga
~ sina
;cosa ~ 1; β ~ tgβ ~ sinβ ; cosβ~ 1 ;
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Theo định nghĩa ta có
(a) Trong đó :MN=dx;
(b)
Từ hình vẽ (3-4) ta thấy :
(c)
Thay vào (b),(c) ta được:
(d)
Tương tự ta nhận được:
(e)
Góc quay của cạnh MN sẽ là: a
~ tga
.
(g)
Trong biểu thức (g) ta đã bỏ qua lượng vô cùng bé│e
│<<1 so với đơn
,x │=│
vị . Bằng cách thức tương tự ta cũng nhận được : β ~ tgβ =
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Suy ra biến dạng góc g
,xy trong mặt phẳng (x,y) sẽ là:
4.3 Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị.
Để có được đầy đủ chuyển động của phân tố trong mỗi mặt phẳng tọa độ,ta xét thêm sự thay đổi phương của các đường chéo phân tố gọi là các chuyển động quay.Ta xét góc quay của đường chéo phân tố hình hộp quay quanh các trục tọa độ x,y,z với giả thiết là:
. Có 3 thành phần chuyển động quay kí hiệu tương ứng là :
Xét hình chiếu của phân tố trên mặt phẳng (x,y).Góc quay của đường chéo phân tố quay trục z bằng góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng (x,y)quanh điểm
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
M .Khi cạnh MN quay một góc nhỏ a
như đã kí hiệu ở mục trên thì đường chéo MQ
quay một góc ngược chiều kim đồng hồ là
; khi cạnh MP quay một góc nhỏ β thì
đường chéo MQ quay một góc thuận chiều kim đồng hồ là
.
Hình 4-3
Góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng (x,y) quanh điểm M sẽ bằng tổng đại số của hai góc quay thành phần là w
,1 và w
,2 :
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Một cách tương tự ta cũng nhận được các biểu thức góc quay của đường chéo phân tố trong 2 mặt phẳng còn lại .Viết gộp lại ta được:
Ví dụ 4-1: Cho trường hợp chuyển vị: u=ayz ; v=azx ; w=axy. Trong đó a=const. Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1).
Bài giải : Theo công thức (4-4) ta có :
*Các biến dạng dài: e
=0 ,e
=0 ,e
=0
x =
y =
z =
∂v ∂y
∂w ∂z
∂u ∂x
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
xy =
*Các biến dạng góc: g + =az +az=2az; ∂v ∂x ∂u ∂y
yz =
g + =ax +ax =2ax; ∂w ∂y ∂v ∂z
zx =
g + =ay +ay=2ay; ∂u ∂z ∂w ∂x
x = e
y = e
z =0; g
xy = g
yz = g
zx =2a;
y , g
x , g
z , g
y, e
z
z được biểu diễn tuyến tính qua đạo hàm riêng bậc nhât của
x ,w
y ,w
Tại điểm M (1,1,1)các biến dạng sẽ là: e
𝜕
𝜕
Chú ý: Các công thức (4_4) và (4_5) cho thấy các hàm biến dạng e x, e và góc quay cứng w các hàm chuyển vị u,v,w.Các đạo hàm riêng này được viết dưới dạng ma trận là:
(4-6)
ەەۇ 𝜕 𝜕 ەەۈ 𝜕
𝜕 𝜕
ەەۊ 𝜕 ەەۋ 𝜕
ەەۉ
𝜕 𝜕
𝜕 𝜕
𝜕 ەەەەەەی 𝜕
𝜕
𝜕
𝜕
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Về mặt toán học ta có thể biểu diễn ma trận (3_6) dưới dạng tổng của hai ma trận
như sau:
൭
1 2
ەەۇ ەەۈ ەەۈ
ەەۊ ەەۋ ەەۋ
ەەۊ ەەۋ ەەۋ ەەۋ
൱
1 2 1 2
ەەۉ
= ەەەەەەی
ەەۉ
12 −31 0 −23 −12 0 31 23 0
Ma trận ở vế trái là ma trận đối xứng biểu thị biến dạng thuần túy .Ma trận thứ
1 2 1 2
1 2
ەەۇ 𝜕 ەەۈ 𝜕 ەەۈ ەەۈ 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕
𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕
𝜕 𝜕 𝜕 + 𝜕 ەەەەەەی 𝜕 𝜕
hai ở vế phải biểu thị sự quay cứng (không biến dạng).
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
4.4 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé:
Ta xét đoạn thẳng vô cùng bé MN = ds nằm theo phương υ nào đó có các côsin trong hệ trục tọa độ (x,y,z) là (l,m,n) . Ở trạng thái ban đầu tọa độ các điểm M và N tương ứng là : M ( x,y,z); N ( x+ dx, y+dy; z+dz).
Côsin chỉ phương của đoạn thẳng là : l =
; m =
; n =
(a)
dx ds
dy ds
dz ds
Sau khi biến dạng đoạn thẳng MN ở vị trí mới là M1N1 với các tọa độ tương ứng là : M1(x+u, y+v, z+w) ;
N1(x+dx+u+du, y+dy+v=dv,z+dz+w+dw)
Trong đó các thành phần vi phân của chuyển vị du, dv , dw là:
ەەەەەۓ ۖ
(b)
𝑑 =
𝑑 =
ەە۔ ۖ ەەە
𝑑 =
𝜕 𝜕 𝑑 + 𝜕 𝜕 𝑑 + 𝜕 𝜕 𝑑 +
𝜕 𝜕 𝑑 + 𝜕 𝜕 𝑑 + 𝜕 𝜕 𝑑 +
𝜕 𝜕 𝑑 𝜕 𝜕 𝑑 𝜕 𝜕 𝑑
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Gọi chiều dài của đoạn thẳng sau biến dạng là ds1 = M1N1 và biến dạng tương đối theo
phương υ là e v , theo định nghĩa ta có :
Suy ra là :
Ta nhận được hệ thức :
(c)
2 ) ta được :
Trong hệ thức (c) nếu bỏ qua vô cùng bé bậc 2 ở vế phải (e v
(d)
Ta có : ds2 = dx2 + dy2 + dz2
2 = (dx+du)2 + (dy+dv)2+(dz+dw)2=(dx2 +dy2+dz2) + 2(dxdu+dydv+dzdw)+(du2
ds1 +dv2 + dw2)
Suy ra là :
2 - ds2 = 2(dxdu+dydv+dzdw)+(du2 +dv2 + dw2)
(e)
ds1
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Thay (e) vào (d) ta được :
Thay (b) vào (g) và chú ý tới hệ thức (a) ta được :
l+ m+ n)l+( l + m + n)m+( l+ m+ n)n] + [( l+ m+ e v =[( ∂v ∂z ∂v ∂x ∂v ∂y ∂w ∂x ∂w ∂y 1 2 ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂w ∂z
n)2 +( l + m + n)2+ ( l+ m+ n)2] (h) ∂u ∂x ∂v ∂z ∂u ∂y ∂v ∂x ∂u ∂z ∂v ∂y ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
Với giả thiết biến dạng bé , đạo hàm của các chuyển vị u, v, w theo các tọa độ
x,y,z là bé , ta có thể bỏ qua các số hạng chứa tích các đạo hàm này . Khi đó biểu thức (h)sẽ có dạng :
l2 + m2+ n2+( + )lm+( + )mn+( )nl (4-7) + e v = ∂u ∂x ∂v ∂y ∂w ∂z ∂v ∂x ∂u ∂y ∂w ∂y ∂v ∂z ∂u ∂z ∂w ∂x
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Dựa vào các liên hệ của Côsi ta viết lại biểu thức (4-7) dưới dạng :
(4.8)
e v = e xl2 +e ym2 +e zn2+2g xylm +2g yzmn +2g zxnl
Biểu thức (4-8) chứng tỏ rằng biến dạng theo phương υ bất kì tại một điểm được biểu diễn qua 9 thành phần biến dạng là ( e x , e y , e z, g xy ,g yz ,g zx ,g yx ,g zy ,g xz ). Nói cách khác là khi viết các thành phần của ma trận biến dạng :
(4.9)
ەەۇ ەەۈ
ەەۊ ەەۋ
ەەۉ
ەەەەەەی
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
Ta có thể tính được biến dạng theo phương υ bất kì .
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
4.5. Biến dạng chính, phương biến dạng chính
Do có sự tương quan toán học giữa tenxơ biến dạng và tenxơ ứng suất tại một điểm bất kì của môi trường , tại điểm này tồn tại 3 trục chính vuông góc với nhau (tương ứng có 3 mặt vuông góc với các trục chính trên đó không có biến dạng góc ). Các trục chính này gọi là phương biến dạng chính e 1 , e 2 , e 3 và quy ước là e 1 > e 2 > e 3 . Các biến dạng chính được xác định từ phương trình bậc 3 tương tự như phương trình xác định các ứng suất chính (3-20) là :
(4-10)
ەەۇ ەەۈ
ەەۊ ەەۋ
= 0
𝑑𝑒 ەەۉ
ەەەەەەی
− 1 2 1 2
1 2 − 1 2
1 2 1 2 −
Khai triển phương trình (4.10) ta được:
(4.10’)
e 3 - J1e 2 + J2e - J3 = 0
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Trong đó :
ۓ
ەەەەەەەەە ۖ ۖ ۖ ۖ
1 2
1= + + 1 2
1 2
൱
2 = ൱ 1 2
൱+ ൱ 1 2
൱+ ൱ 1 2
1 2
൱
3=
1 2 1 2
ەە۔ ۖ ۖ ۖ ۖ ەەە
൱
൱ 1 2 ൱ 1 2
1 Phương trình (4-10’) bao giờ cũng tồn tại 3 nghiệm thực , đó là 3 biến dạng chính tương 2 ứng e 1 , e 2 , e 3 .
Ví dụ 3-2: Cho Tenxơ biến dạng
൭
൱
=
Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính
4 0 1 0 1 0 1 0 4
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Bài giải : *Phương trình xác định biến dạng chính là :
e 3 - J1e 2 + J2e - J3 = 0 (1)
Tính J1 , J2, J3:
1= + + = 9
ەەەەەۓ ۖ ۖ ۖ ۖ
1 2
1 2
1 2
൱= 23
2 = ൱ 1 2
൱+ ൱ 1 2
൱+ ൱ 1 2
1 2
൱
3=
= 15
1 2 1 2
ەە۔ ۖ ۖ ۖ ۖ ەەە
൱
Thay vào phương trình (1) ta được : e 3 - 9e 2 + 23e - 15 = 0 (1’)
൱ 1 2 ൱ 1 2
1 2
Giải phương trình (1’) đối với e ta được :e 1 =5, e 2 =3, e 3 =1
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
*Xác định phương trình biến dạng chính :
Thay e
i vào 2 trong 3 phương trình :
ەەەەەۓ ۖ
൱ − ൱. +
. = 0
൫
. + ൯
ەە۔ ۖ ەەە
. +
. = 0
1 2
1 2 − 2 2
1 2 1 2 = 1
+
+
. + 2 - Phương chính thứ nhất tương ứng với : e 1 = 5: Thay e 1 = 5 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau :
(4-5)l +0.m +n = 0
-l+n=0
0.l +(1-5)m +0.n =0 Hay
-4m =0
(4)
l2 +m2 +n2 =1
l2 +m2 +n2 =1
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Giải hệ phương trình (4) ta được : l1=±
; m1=0; n1=±
2 2
2 2
-Phương chính thứ 2 tương ứng với e 2 = 3:
Thay e 2 = 3 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau:
(4-3)l+0.m+n =0
l+n=0
0.l +(l-3)m+0.n =0 Hay
-2m=0 (5)
l2 +m2 +n2 =1
l2 +m2 +n2 =1
Giải hệ phương trình (5) ta được : l2=±
2 ; m2=0; n2=± 2
2 2
-Phương chính thứ 3 tương ứng với e 3 = 1 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau:
(4-1)l+0.m+n =0
3 l+n=0
0.l +(l-1)m+0.n =0 Hay
0m=0 (6)
l2 +m2 +n2 =1
l2 +m2 +n2 =1
Giải hệ phương trình (6) ta được :
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
4.6 Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng
(4-11)
Ta có:
Trong đó:
: Tenxơ lệch biến dạng
: Biến dạng dài trung bình
: Tenxơ cầu biến dạng
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Như vậy trạng thái biến dạng được phân tích thành hai trạng thái:
- Trạng thái thứ nhất tương ứng với tenxơ lệch biến dạng
có biến dạng thể tích
bằng không.
- Trạng thái thứ hai tương ứng với tenxơ cầu biến dạng
chỉ bao gồm các thành
phần biến dạng dài theo 3 phương vuông góc nhau không có biến dạng góc nên phân tố chỉ có biến dạng thể tích.
Ví dụ: Cho tenxơ biến dạng:
Hãy xác định giá trị chính và phương chính của tenxơ lệch biến dạng.
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Bài giải:
Biến dạng dài trung bình
:
Tenxơ biến dạng lệch
là:
Phương trình xác định giá trị biến dạng chính của Tenxơ biến dạng lệch:
e 3 - J1e 2 + J2e - J3 = 0 (1)
Tính J1 , J2, J3:
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
ەەەەەۓ ۖۖ
൱+ ൱
൱+ ൱
൱= −4
0 1 2 = ൱ 0 −2
−2 0 1 0
1= + + = 0 1 1 1 1
ەە۔ ۖۖ ەەە
3=
= 0
Thay vào phương trình (1) ta được : e 3 -4e = 0 (1’)
Giải phương trình (1’) đối với e ta được :e 1 =2, e 2 =0, e 3 =-2
*Xác định phương trình biến dạng chính :
Thay e
i vào 2 trong 3 phương trình :
(2)
൫
1 ൯ 2 . +
(3)
1 2 . = 0 1 2 . = 0
− 2 2
൱ − ൱. + 1 ൱ 2 . + . + 2 - Phương chính thứ nhất tương ứng với : e 1 = 2:
+
+
= 1
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Thay e 1 = 2 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau :
(1-2)l +0.m +n = 0
-l+n=0
0.l +(-2-2)m +0.n =0 Hay
-4m =0
(4)
l2 +m2 +n2 =1
l2 +m2 +n2 =1
Giải hệ phương trình (4) ta được :
- Phương chính thứ nhất tương ứng với : e 2 = 0: Thay e 2 = 0 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau :
(1-0)l +0.m +n = 0
l+n=0
0.l +(-2-0)m +0.n =0 Hay
-2m =0
(5)
l2 +m2 +n2 =1
l2 +m2 +n2 =1
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục Cơ học môi trường liên tục
Giải hệ phương trình (5) ta được :
- Phương chính thứ nhất tương ứng với : e 3 = -2: Thay e 3 =-20 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau :
(1+2)l +0.m +n = 0
3l+n=0
0.l +(-2+2)m +0.n =0 Hay
0m =0 (6)
l2 +m2 +n2 =1
l2 +m2 +n2 =1
Giải hệ phương trình (6) ta được :
Chú ý: Hệ phương trình (6) giá trị của m có thể lấy bất kỳ. Nếu lấy m=1 ta được hệ nghiệm tương ứng là: l3=0; m3=1; n3=0
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
4.7 Các phương trình liên tục
- Xét một điểm trong môi trường liên tục, ta có chuyển vị được xác định là hàm của tọa độ điểm đó:
(a)
Theo phương trình Navier-Cauchy (4-4) ta có 6 thành phần biến dạng được biểu diễn qua 3 thành phần chuyển vị (a). Do các hàm chuyển vị là liên tục, đơn trị nên các biến dạng cũng là hàm liên tục và đơn trị.
(b)
Ta có:
Tương tự ta có:
(c)
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Theo ba phương trình sau của (4-4) ta lại có:
Công hai phương trình đầu rồi trừ đi cho phương trình thứ 3 ta được
Tương tự hoán vọ vòng tròn ta có:
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Tập hợp các hệ thức (b), (c), (d), (e) ta được hệ phương trình biểu thị mối liên hệ giữa các biến dạng với nhau là:
(4-12)
Các phương trình (4-12) gọi là các phương trình liên tục do Saint- Venant tìm ra , còn được gọi là các phương trình tương thích của biến dạng
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Chú ý:
* Nếu biết được các hàm chuyển vị thì từ các phương trình Cauchy- Navier (4-4) ta tìm được các thành phần của biến dạng khi đó các phương trình liên tục (4-12) tự thỏa mãn
* Nếu bằng cách nào đó biết trước các biến dạng , các phương trình liên tục phải được thỏa mãn đông thời và nó có ý nghĩa quan trọng khi giải quyết bài toán
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Bài tập Chương IV
Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy. Trong đó a=const. Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy. Trong đó a=const. Bài 4.1 Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1). Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1).
Cho tenxơ biến dạng: Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng: Bài 4.2
ø Ø
104
œ Œ
=
010
eT
œ Œ
œ Œ
401
1- Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính. 1- Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính. 2- Hãy xác định biến dạng chính và phương chính của tenxơ lệch biến 2- Hãy xác định biến dạng chính và phương chính của tenxơ lệch biến dạng. dạng.
ß º
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
Bài 4.3 Cho tenxơ biến dạng của môi trường là Bài 4.3 Cho tenxơ biến dạng của môi trường là
2
2
x
y
ø Ø
2
xy 2
=
x
T e
œ Œ
œ Œ
y xy
y 2 2/
x
2/ z
1- Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không? 1- Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không? 2- Tính các biến dạng chính tại điểm M(0,1,1) 2- Tính các biến dạng chính tại điểm M(0,1,1)
z
Bài 4.4 Khi khảo sát xoắn của một thanh tròn (như Bài 4.4 Khi khảo sát xoắn của một thanh tròn (như hình vẽ) ta có các dịch chuyển là: hình vẽ) ta có các dịch chuyển là:
-=
t
+++
œ Œ ß º
u
yz
ay
c
t =
=
y
v
ax
f
t (
const
)
(cid:236) (cid:239) - (cid:237)
xz -=
bz ++ ez +
w
bx
ey
k
x
1- Hãy xác định hệ số a, b, c, d, e, f, k với điều kiện mặt cắt đầu thanh (z=0) 1- Hãy xác định hệ số a, b, c, d, e, f, k với điều kiện mặt cắt đầu thanh (z=0) ngàm cứng. ngàm cứng. 2- Tìm trị số các biến dạng. 2- Tìm trị số các biến dạng. 3- Thử xem các biến dạng tìm được có thỏa mãn phương trình liên tục không? 3- Thử xem các biến dạng tìm được có thỏa mãn phương trình liên tục không?
(cid:239) - (cid:238)
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Cơ học môi trường liên tục
