CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Bài toán phẳng chia ra 2 loại : 1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy. 2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy. Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán
Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG 6 – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1. HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG I. Khái niệm : Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy). Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng. học. không gian.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều
Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng
s z = Txz = Tyz = 0
(b)
0
e z „
Cơ học môi trường liên tục
II. Bài toán ứng suất phẳng : trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ. theo bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là :
(a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên : Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng. Ân số của bài toán gồm có:
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Các biến dạng : e x, e y, g xy, e z „ 0.
Các ứng suất : s x, s y, Txy.
Theo định luật Hooke, từ (a) ta có :
;
g xz =g yz = 0
e y =
(s y - m
s x)
;
(c)
e x = (s x - m
s y)
e z =-
(s x + s y)
=
g xy =
Txy
là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu.
Cơ học môi trường liên tục
Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là s x, s y, Txy với E, m III. Bài toán biến dạng phẳng :
Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng
không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm... ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
(d) (e)
0
và Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng.
Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như biểu diễn trên hình vẽ sau : Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z. Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét sẽ là : e z = g xz = g yz = 0 s z „ Ẩn số của bài toán gồm có:
Các ứng suất : s x, s y, Txy, s z„ 0 Các biến dạng : e x, e y, g xy. Theo định luật Hooke, từ (d) ta có : - Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
- Còn ứng suất pháp s z sẽ được tìm từ biểu thức e z = 0
= 0
e z = Vậy s y = m (s x + s y).
Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là :
=
e x =
e x =
(*)
Tương tự e y =
g xy =
Txy
;
(g)
Đặt E1 =
m 1 =
(*)(cid:219)
e x =
(s x - m 1s y) ;
(f)
e y =
(s y - m 1s x) ;
g xy =
Txy =
Txy
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
1. Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến
Cơ học môi trường liên tục
Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua
2. Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn
3. Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài
fi
IV. So sánh và kết luận chung : dạng là như nhau : s x, s y, Txy, e x, e y, g xy. các ẩn số chính. toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ : - Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E, m còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, m 1 theo cách đặt (g). toán hoàn toàn như nhau. 6.2. Các phương trình cơ bản trong bài toán phẳng
1. Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy :
+ fx = 0
(6.1)
+ fy = 0
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
2. Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy :
;
e x =
;
(6.2)
e y =
+
.
g xy =
Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục của biến dạng, trong bài
toán phẳng điều kiện này chỉ còn 1 phương trình :
(6.3)
3. Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke. a. Biểu thức biến dạng qua ứng suất : s y)
(s x - m
e x =
(6.4)
e y =
(s y - m
s x)
g xy =
Txy
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng :
s x =
(e x+ m
e y)
(6.5)
s y =
(e y+ m
e x)
Txy =
g xy
bằng E1, m 1.
(6.6)
Cơ học môi trường liên tục
Nếu giải bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần thay E, m Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa 8 ẩn số là ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị là một hệ khép kín, cho phép ta giải được bài toán. 4. Các điều kiện biên : a. Điều kiện biên tĩnh học : s xl + Tyxm = Txyl + s ym = b. Điều kiện biên động học : Trên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ. Nghiệm chuyển vị của bài toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo .
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
6.3. Phép giả bài toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy I. Phép giải theo ứng suất :
- Chọn ẩn số chính là các ứng suất : s x, s y, Txy. Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1) .
= - fx
= - fy
Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần
nhất (6.8)
= 0
= 0
(6.8)
và nghiệm riêng của phương trình (6.9)
= - fx
(6.9)
= - fy
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
- Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích. Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là : * s x = 0 ; s y = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số. * s x =
+ bx ; s y = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0
* s x = 0 ; s y = -a
; Txy =
khi fx = axy , fy = 0.
Cơ học môi trường liên tục
II. Hàm ứng suất Airy :
Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy. Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8):
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa
p và q phải có quan hệ :
.
- Phương trình thứ (1) của hệ (6.8) (cid:219)
Tức (s x.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nên (a)
ta có quan hệ
; Tyx = -
s x =
Tương tự, phương trình thứ 2 :
Cơ học môi trường liên tục
(cid:222)
(b)
(s y.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó : Ta có quan hệ : s y =
; Txy = -
So sánh (a) và (b) ta có :
=
(c)
fi
(cid:222)
(A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm j (x,y) nào đó : Ta có quan hệ : A =
; B =
(d)
fi
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Thay (d) vào (a) và (b) ta có:
(6.10)
s x =
; s y =
; Txy = -
Hàm j (x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng
Cơ học môi trường liên tục
theo ứng suất. III. Phương trình hàm ứng suất Airy : - Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường.
Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng.
= 0
(1 + m )(cid:209) 2s x +
+
= 0
(1 + m )(cid:209) 2s y +
= 0
(1 + m )(cid:209) 2s z +
(1+m )(cid:209) 2S +(cid:209) 2S = 0
(cid:209) 2S = 0
Với S = s x+ s y+ s z.
Vì trong bài toán ứng suất phẳng s z=0 nên S= s x + s y
(cid:219)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
S= s x + s y + s z = s x + s y +m (s x + s y) =(1+m )(s x + s y).
(6.11)
Trong bài toán biến dạng phẳng :
Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có : (cid:209) 2S = (cid:209) 2(s x + s y) = 0 (6.11) : Phương trình LêVy. Thay các ứng suất bởi hàm j
thay (6.10) vào (6.11) ta có :
Cơ học môi trường liên tục
(6.12)
(cid:219)
(cid:209) 2((cid:209) 2j ) = (cid:209) 4j
= 0
(6.13)
= j (x,y) : là hàm trùng điều hòa .
(cid:219)
Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa. Hàm j Kết luận : - Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương
Cộng thêm các nghiệm riêng.
+ Nếu fx, fy „ 0 (cid:222) - Theo (6.10) : Việc thêm hay bớt hàm j
một lượng A+ Bx+Cy thì các
trình (6.12) sau đó tìm các ứng suất theo (6.10). ứng suất không thay đổi.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
- Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học :
(6.14)
Cơ học môi trường liên tục
Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường
Nghiệm của phương trình này là hàm ứng suất j
phải thỏa mãn điều
(cid:222)
Nếu (6.13) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo (6.10); (6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của vật liệu. Những bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định. Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu các ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc vào các hằng số đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu. 6.4. Điều kiện biên của hàm ứng suất Airy. trình trùng điều hòa (6.12). kiện biên.
(6.15)
Xét trường hợp fx = fy = 0
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Xét trường hợp fx = fy = 0
Thay (6.10) vào (6.11) ta có
(6.16)
Theo (H.6.3) ta có : l = cos(n, x) = cos(900 + a ) = - sina
= -
m = cos(n, y) = cosb =
(6.15) (cid:219)
-
= -
-
= -
.
(6.17)
+
=
.
Lấy điểm so bất kỳ trên chu tuyến làm gốc : (6.17) (cid:219)
(6.18)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Trong đó :
A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diễn giá trị của đạo hàm
của chu vi .
X(S) , Y(S) : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây.
Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự như
Tại đó ta đặt các lực : A // S0x B // S0y Và ngẫu lực C như hình vẽ Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực tác
sau : Thay chu vi vật thể khảo sát bằng thanh có cùng dạng và cắt tại điểm S0 (H.6.4). dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y.
+ Nếu chúng ta lấy trục t ” trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S
n ” pháp tuyến ngoại tại điểm S. (6.19)
N(S)
Thì :
= Q(S)
(6.20)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
nếu là lực kéo.
Q(S) : Lực cắt tại điểm s của thanh. So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức bằng
N(S) : Lực dọc cũng tại điểm S của thanh, được xem là dương fi vật liệu:
Q(s)
Cơ học môi trường liên tục
Q(s)
j
= M
(6.21)
M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s. Vậy tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm ứng suất j (x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến
tại các điểm ở trên
(cid:222)
j
chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình ///đó giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước trên chu vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ.
có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức,... chuổi đặc biệt.
có dạng đa thức.
(cid:222) j
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất j
thỏa
- Phương trình trùng điều hòa - Điều kiện biên
+ Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do như
Cơ học môi trường liên tục
6.5. Hàm ứng suất dưới dạng đa thức. mãn 2 yêu cầu : hình vẽ
1. Dạng hàm j + Theo kết quả ở sức bền vật liệu: s x =
là hàm đa thức
(cid:222) j bậc 4 đối với x, y
theo hàm j
: s x =
j (x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y + ix2y2 +
kxy3 + ly4. (a)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa :
+
+
= 0
= h ;
= j ;
= l.
j
fi
(1)
h + 2j + l = 0 h = j =l = 0
s x =
= 2c + 2fx + 6gy + 6kxy.
s y =
= 2c + 6dx + 6ey + 6ixy.
(b)
Txy = -
=-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2
2. Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất :
* Biên trên (y =
:
Txy = 0 ,
(c)
(d)
* Biên dưới (y =-
:
s y = 0 Txy = 0 ,
(e)
s y = 0
(f
fi
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Từ (c) & (e) ta có :
2a +6dx +2e(
)+6ix(
) = 0
Cơ học môi trường liên tục
2a + 6dx - 2e - 6ix = 0
e = i = 0
e = i=f=0 (2)
Từ (d) & (f) ta có :
a=d=0 (3)
(cid:222)
* Biên trái (x = 0, " y
) ta có :
s x= 0
(g)
(h)
Từ (g) (cid:222)
c = g = 0
(5)
Txy = - (- kt2 + 3ky2) = kt2 - 3ky2
(cid:222)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
(cid:222)
=
=
=
(cid:222)
k =
(6)
Txy =
s x = 6kxy s y = 0
s x = 6.
.y
(cid:222)
s x =
(6.22)
J3 =
z : Trục trung hòa
M3 = Px
(cid:222)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
6.6- Hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác.
Khi tải trọng biên phân bố không liên tục thì việc dùng hàm ứng suất dưới
dạng đa thức bị hạn chế.
Fillonne đề nghị chọn hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác như sau:
(6-23) với
(6-24)
Đặt phương trình (6-23) vào phương trình điều hòa kép ta có.
(6-25)
(6-26)
Nghiệm tổng quát của phương trình:
(6-27)
Các ứng suất tương ứng:
;
;
(6-28)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Trong đó Fk được xác định theo phương trình (6-27)
Với các Ci là các hằng số tích phân được xác định theo điều kiện biên. - Dùng nghiệm Fillonne (tấm chữ nhật) biên bên trái và bên phải (khi x=0 và
x=L) thì
- Ritbier đề nghị lấy hàm ứng suất:
Điều kiện biên (khi x=0 và x=L) là
Nghiệm tổng quát:
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
6.7 Giải bài toán phẳng bằng phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp SPHH là một phương pháp số cho phép giải gần đúng các bào toán
phức tạp mà phương pháp giải tích không hiệu dụng. 6.7.1 Đạo hàm và sai phân cấp 1
Giả sử cho một hàm
liên tục khả vi
trong đoạn
.
: gọi là bước sai phân có thể đều hoặc
không đều.
- Đạo hàm của hàm
bằng biểu thức
gần đúng:
được gọi là sai phân cấp 1.
Có thể định nghĩa sai phân theo cách khác
sai phân lùi ;
sai phân tiến;
sai phân trung
tâm
Khi đó dạo hàm cấp 1 là:
(6-29)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
6.7.2 Đạo hàm và sai phân cấp cao
Đại hàm cấp n có thể lấy gần đúng là:
(6-30)
Đạo hàm cấp 2,4 tại điểm i:
(6-31)
Như vậy sai phân cấp 2
(6-32)
6.7.3 Đạo hàm và sai phân của hàm 2 biến.
Giả sử cho một hàm
liên tục khả vi trong miền S, ta chia miền này bằng lưới
với bước lưới là
,
.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Ta có thể viết các đạo hàm tại điểm O như sau:
(6-33)
Cơ học môi trường liên tục
6.7.4 Phương trình lưỡng điều hòa sai phân.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
6.7.4 Phương trình lưỡng điều hòa sai phân.
Sau khi đơn giản ta được
(6-34)
Các ứng suất tại điểm O xác định theo công thức:
(6-35)
6.7.5 Giá trị
và đạo hàm của nó trên biên
Để xác định giá trị hàm
trên biên ta xét một phân tố ds theo biên của tấm có pháp
tuyến v(l,m) chịu tải trọng
(như hình vẽ)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Ta có:
l=cos(v,x)=-dy/ds m=cos(v,y)=dx/ds Sau khi biến đổi ta có công thức cuối cùng:
(6-36)
Cơ học môi trường liên tục
6.7.6 Giá trị của hàm
tại những điểm ngoài biên.
1) Đối với các điểm ở trên của biên chu tuyến
Ta có
suy ra:
(6-37a)
2) Đối với các điểm ở dưới của biên chu tuyến
Ta có
suy ra:
(6-37b)
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
3) Đối với các điểm ở bên trái của biên chu tuyến
Ta có
suy ra:
(6-37c)
4) Đối với các điểm ở bên phải của biên chu tuyến
(6-37d)
Ta có
suy ra:
* Chú ý: - Trên đây chỉ giới thiệu một dạng lưới đơn giản nhất. Trong nhiều bào toán khác nha, tùy theo hình dạng của vật thể mà người ta có thể dung lưới tam giác, lục giác,… - Để nghiệm của phương pháp sai phân hữu hạn thu được càng chính xác thì người ta chia lưới càng dày. Khi đó số phương trình thu được khá nhiều. Tuy nhien khó khăn này được giải quyết dễ dàng bằng máy tính điện tử.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Ví dụ : Xác định ứng suất tại điểm K ở giữa tấm lưới hình vuông chịu tải trọng như hình vẽ bằng phương pháp lưới: Bài giải :
Ta chi tấm bởi lưới hình vuông với bước lưới D x = D y=a . Do tính chất đối xứng của bài toán nên ta chỉ xét một nửa tấm và đánh số nút lưới như hình vẽ. Chọn điểm gốc A trùng với điểm nút 1. Phương trình sai phân tại điểm nút K là :
20j k - 8(j 1 + j 5 +j 3 ) +2(2j 2 +2j 4)+j 6 +2j 7 +j 8 =0(1)
và các đạo hàm của nó tại những điểm trên biên được ghi lại trong
giá trị của hàm j bảng
giá trị của hàm j
tại những điểm ngoài biên
j 6 = j k- 2a
(1) =j k
∂j ∂y
j 7 = j k + 2a
(3) = j k + 2qa2
∂j ∂x
j 8 = j k+ 2a
(5) = j k
∂j ∂y
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
1 0
2 qa
3 qa
4 qa
5 0
= S Fy
0
0
0
0
0
Cơ học môi trường liên tục
0
∂j ∂x ∂j = -S Fx ∂y = S MB
- qa2 8
- qa2 8
- qa2 8
-3qa2 8
Thay các giá trị này vào phương trình (1) ta được :
)+j k +(2j k+ 2qa2) +j k =0
20j k - 8(0 -2.qa2 8
+ 3qa2 8
) +2(-2qa2 8
-2qa2 8
Hay : 24j k - qa2 -qa2 + 4qa2 =0
qa2
Suy ra là : j k = -
~ -0,083qa2
1 12
j
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
2
2
Ứng suất tại điểm K sẽ là:
2
0
+(cid:247)
(
)
j
+
j
3 qa 8
qa 12
5
1
s
=
=
=
=
(
K
)
q
,0
458
q
x
j 2 2
K 2
2
y
j 2 a
a
11 24
2
2
2
(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - (cid:231) (cid:247) (cid:231) - ¶ ł Ł ł Ł » ¶
2
(
)
j
+
j
qa 12
qa 8
qa 8
3
3
s
=
=
=
-=
(
K
)
q
083,0 q
y
j 2 2
K 2
2
x
j 2 a
a
1 12
(
)
j
j
+
j
j
(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - - - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - ¶ ł Ł ł Ł » ¶
j 2
4
4
2
2
t
-=
=
=
)
0
Kxy (
2
- - ¶
yx
a
¶ ¶
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V. Tuy nhiên, phương pháp PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong miền con Ve (phần tử thứ e) thuộc miền xác định V. Do đó phương pháp này thích hợp với hàng loạt bài toán vật lí và kĩ thuật, trong đó miền cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính vật lí, hình học khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Sự ra đời và phát triển phương pháp PTHH đã đáp ứng những đòi hỏi trong việc giải quyết các bài toán thiết kế các kết cấu phức tạp trong lĩnh vực hàng không, hàng hải, khai thác dầu khí, và trong lĩnh vực xây dựng...
Trong phương pháp PTHH, miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con Ve, gọi là phần tử (PT). Các PT này được nối với nhau tại các điểm định trước thường tại đỉnh PT (thậm trí tại các điểm trên biên PT) gọi là nút. Trong phạm vi mỗi một PT, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn giản được gọi là hàm xấp xỉ. Các hàm xấp xỉ được biểu diễn qua các giá trị của hàm và có thể cả các giá trị của đạo hàm của nó tại các điểm nút của PT. Các giá trị này gọi là các bậc tự do của PT và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.
6.8 Giải bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lí của hàm xấp xỉ
có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau:
1. Mô hình chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm xấp xỉ
biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong PT.
2. Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của
ứng suất hay nội lực trong PT.
3. Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong PT.
Trong phạm vi của cuốn sách này sẽ chỉ đề cập tới nội dung cơ bản của phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị và ứng dụng của nó vào tính toán hệ thanh phẳng với vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính. Trong phần lý thuyết cơ bản chỉ lấy các ví dụ là các bài toán với hệ thanh phẳng.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
•
Cơ học môi trường liên tục
Nội dung phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị
Trong phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị, thành phần chuyển vị được xem là đại lượng cần tìm. Chuyển vị được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn giản gọi là hàm xấp xỉ (hay còn gọi là hàm chuyển vị). Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị gồm các bước sau:
1. Rời rạc hoá miền khảo sát
Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve hay còn gọi là các PT có hình dạng hình học thích hợp. Các PT này được coi là liên kết với nhau tại các nút nằm tại đỉnh hay biên của PT. Số nút của PT không lấy tuỳ tiện mà phụ thuộc vào hàm chuyển vị định chọn.
2. Chọn hàm chuyển vị
Giả thiết hàm chuyển vị sao cho đơn giản đối với việc tính toán nhưng phải thoả mãn điều kiện hội tụ. Thường chọn dưới dạng hàm đa thức. Biểu diễn hàm chuyển vị theo tập hợp giá trị các thành phần chuyển vị và có thể cả đạo hàm của nó tại các nút của PT {d }e. Tập hợp các hàm chuyển vị sẽ xây dựng nên một trường chuyển vị xác định một trạng thái chuyển vị duy nhất bên trong PT theo các thành phần chuyển vị nút. Từ trường chuyển vị sẽ xác định một trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất duy nhất bên trong PT theo các giá trị của các thành phần chuyển vị nút của PT.
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
3. Xây dựng phương trình cân bằng trong từng PT, thiết lập ma trận độ cứng [K]e và vectơ tải trọng nút {F}e của PTthứ e.
Dựa vào nguyên lí dừng thế năng toàn phần, xây dựng phương trình cân
bằng trong từng PT, được biểu diễn dưới dạng sau:
(6.38)
trong đó: {F}e- vectơ tải trọng nút của PT thứ e xét trong hệ toạ độ riêng (HTĐR);
{d }e - vectơ chuyển vị nút của PT thứ e xét trong HTĐR; [K]e - ma trận độ cứng của PT thứ e xét trong HTĐR.
4. Ghép nối các PT xây dựng phương trình cân bằng của toàn hệ.
Trên cơ sở mô hình chuyển vị, ghép nối các PT thu được phương trình cân
bằng của toàn hệ, biểu diễn dưới dạng:
(6.39)
trong đó: {F’}- vectơ tải trọng nút của toàn hệ trong hệ toạ độ chung (HTĐC);
’} - vectơ chuyển vị nút của toàn hệ trong HTĐC;
{d [K’] - ma trận độ cứng của toàn hệ trong HTĐC.
Khi ghép nối cần lưu ý xếp đúng vị trí của các thành phần trong từng [K]e và {F}e vào [K’] và {F’}. Lúc này sẽ có hiện tượng lặp tại một số nút. Trong hệ phương trình (6.39) đã khử sự trùng lặp.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Để giải được hệ phương trình (6.39), định thức của ma trận [K’] cần phải khác 0 (det [K’] khác 0), tức là phương trình không suy biến. Với bài toán kết cấu, điều này chỉ đạt được khi điều kiện biên được thoả mãn (kết cấu phải bất biến hình). Đó là điều kiện cho trước một số chuyển vị nút nào đó bằng 0 hay bằng một giá trị xác định. Sau khi đưa các điều kiện biên vào, phương trình cân bằng mới được biểu diễn như sau: [K*]{d *} ={F*}
(6.40)
trong đó: {F*}- được xây dựng từ {F’}sau khi loại bỏ các hàng tương ứng với
thành phần chuyển vị bằng 0;
’}sau khi loại bỏ các thành phần chuyển vị
{d *}- được xây dựng từ {d bằng 0; [K*] - được xây dựng từ [K’] sau khi loại bỏ các hàng và cột tương
ứng với thành phần chuyển vị bằng 0.
5. Giải hệ phương trình cân bằng
Với bài toán tuyến tính, việc giải hệ phương trình đại số là không khó. Kết
quả tìm được là chuyển vị của các nút. {d *} = [K*]-1{F*}
(6.41)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6. Xác định nội lực, ứng suất, biến dạng
Từ kết quả thu được, kết hợp với các điều kiện biên xác định được vectơ chuyển vị nút của từng PT trong HTĐR. Từ đó xác định được nội lực, cũng như biến dạng, ứng suất của điểm bất kì trong PT nhờ các quan hệ đã có trong Cơ học kết cấu và Lí thuyết đàn hồi.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
Bài tập Chương VI
Bài 6.1 Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia đều bằng a, Bài 6.1 Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia đều bằng a, Hãy xác định ứng suất tại điểm K của tấm trên hình. Hãy xác định ứng suất tại điểm K của tấm trên hình.
(
+
- Bài 6.2 Cho tấm hình chữ nhật có bề dày bằng một đơn vị chịu nén bởi áp Bài 6.2 Cho tấm hình chữ nhật có bề dày bằng một đơn vị chịu nén bởi áp lực q như hình vẽ, biết: Chuyển vị thao phương z vuông góc với mặt phẳng lực q như hình vẽ, biết: Chuyển vị thao phương z vuông góc với mặt phẳng tấm bằng không.Các chuyển vị trong mặt phẳng là: tấm bằng không.Các chuyển vị trong mặt phẳng là: ) qv
( 1
1
v
=
-=
u
; vx
y
E
) 2 qv E
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Y
q
Cơ học môi trường liên tục
H
X
x
O
Hãy kiểm tra các điều kiện biên của bài toán? Hãy kiểm tra các điều kiện biên của bài toán?
h
a
q=g h
3
2
3
Bài 6.3 Xét tường chắng đất có trọng lượng Bài 6.3 Xét tường chắng đất có trọng lượng riêng p, chịu tác dụng lực như hình vẽ. Hãy xác riêng p, chịu tác dụng lực như hình vẽ. Hãy xác định trạng thái ứng suất trong tường. Chọn hàm định trạng thái ứng suất trong tường. Chọn hàm ứng suất là đa thức bậc ba: ứng suất là đa thức bậc ba:
j
=
+
+
+
yx ,(
)
ax
2 ybx
cxy
dy
y
với a, b, c, d là hằng số với a, b, c, d là hằng số
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Cơ học môi trường liên tục
