Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
CHƯƠNG 6 – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6.1. HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG
I. Khái niệm :
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay
ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy). Các
bài toán này được gọi là các bài toán phẳng.
Bài toán phẳng chia ra 2 loại :
1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy.
2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy.
Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán
học.
Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán
không gian.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
II. Bài toán ứng suất phẳng :
Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều
trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ.
Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng
theo bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là :
σ
z
= T
xz
= T
yz
= 0 (a)
Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên :
ε
z
≠ 0 (b)
Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng.
Ân số của bài toán gồm có:
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Các ứng suất : σ
x
, σ
y
, T
xy
.
Các biến dạng : ε
x
, ε
y
, γ
xy
, ε
z
≠ 0.
Theo định luật Hooke, từ (a) ta có :
γ
xz
=γ
yz
= 0 ; ε
y
= (σ
y
- µσ
x
)
ε
x
= (σ
x
- µσ
y
) ; ε
z
=- (σ
x
+ σ
y
) (c)
γ
xy
= = T
xy
Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là σ
x
, σ
y
,
T
xy
với E, µ là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu.
III. Bài toán biến dạng phẳng :
Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng
không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường
ống dẫn, vỏ hầm... ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn
vị.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như
biểu diễn trên hình vẽ sau :
Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến
dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực
pháp tuyến theo phương z. Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong
trường hợp đang xét sẽ là :
ε
z
= γ
xz
= γ
yz
= 0 (d)
và σ
z
≠ 0 (e)
Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng.
Ẩn số của bài toán gồm có:
Các ứng suất : σ
x
, σ
y
, T
xy
, σ
z
≠0
Các biến dạng : ε
x
, ε
y
, γ
xy
.
Theo định luật Hooke, từ (d) ta có :
- Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
- Còn ứng suất pháp σ
z
sẽ được tìm từ biểu thức ε
z
= 0
ε
z
= = 0
Vậy σ
y
= µ(σ
x
+ σ
y
).
Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là :
ε
x
= =
ε
x
=
Tương tự ε
y
= (*)
γ
xy
= T
xy
Đặt E
1
= ; µ
1
= (g)
(*)⇔ ε
x
= (σ
x
- µ
1
σ
y
) ;
ε
y
= (σ
y
- µ
1
σ
x
) ; (f)
γ
xy
= T
xy
= T
xy