c ä h
i
¹ ®
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI
Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội
Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009 1(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Chương 3
Lý thuyết về ứng suất
July 2009 2(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
NỘI DUNG
3.1. Định nghĩa về ứng suất 3.1. Định nghĩa về ứng suất
3.2. Điều kiện cân bằng 3.2. Điều kiện cân bằng
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất 3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính 3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
3.6. Ứng suất tiếp cực trị 3.6. Ứng suất tiếp cực trị
3.7. Cường độ ứng suất 3.7. Cường độ ứng suất
3.8. Bài tập tự giải 3.8. Bài tập tự giải
July 2009 3(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.1. Định nghĩa về ứng suất
3.1. Định nghĩa về ứng suất
Vật thể chịu tác dụng của ngoại lực Nộilực:Lượng thay đổi lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác dụng.
mặt cắt – pháp tuyến ν
Nội lực: Ứngsuất:
mặt cắt – pháp tuyến ν
ν
=
(cid:74)(cid:71) p ν
lim A 0 Δ →
điểm P(x1, x2, x3) (cid:74)(cid:71) P A
Δ Δ
pν - ứng suất toàn phần
ΔP
July 2009 4(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.1. Định nghĩa về ứng suất
pν
pν2
+
+
1
3
2
(cid:71) p e 1 ν
(cid:71) p e 2 ν
(cid:71) p e 3 ν
Phân tích vec tơ ứng suất (cid:74)(cid:71) p ν =
ν
pν1
=
+
+
p ν
2 p 1 ν
2 p 2 ν
2 p 3 ν
pν3
νη
νν
+
=
pν1, pν2, pν3 – các thành phần ứng suất theo các phương 1, 2, 3 (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:71) p ν σ σ
pν
σνη
σνν
ν
=
pν
2 + σ σ νη
2 νν
σi j
σνν – ứng suất pháp σνη – ứng suất tiếp
pháp tuyến
phương ư.s
July 2009 5(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.1. Định nghĩa về ứng suất
Tenxơ ứng suất
33σ
32σ
31σ
12
11
12σ
22
21
Tσ
x3
21σ
32
31
σ σ σ ⎡ 13 ⎢ σ σ σ = ⎢ 23 ⎢ σ σ σ ⎣ 33
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
11σ
x1
x2
22σ
13σ
Qui ước chiều dương của ứng suất
xyσ 23σ
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng
July 2009 6(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.2. Điều kiện cân bằng
3.2. Điều kiện cân bằng
3.2.1. Đặtvấnđề:
Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:
*
f
,
f
,
f
• Lực bề mặt có cường độ
* f 1
* 2
* 3
)
f*
f
,
f
,
f
f 1
2
3
( (
)
• Lực thể tích có cường độ
S
Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ độ
V
- Phân tố loại 1- phân tố hình hộp chữ nhật
- Phân tố loại 2- phân tố hình tứ diện
f
Vật thể ở trạng thái cân bằng ⇒ Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng.
July 2009 7(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.2. Điều kiện cân bằng
(Điều kiện cân bằng phân tố loại 1)
3.2.2. Phươngtrìnhvi phâncânbằngNavier-Cauchy x
2
- Lực tác động lên phân tố gồm:
P
dx 1
σ12 +
- Ngoại lực: lực thể tích cường độ f i - Nội lực: các thành phần ứng suất σij
σ11 +
1
σ12 x 1 σ11 x 1
M
trên các
σ13 σ11 σ12
dx x
1
K
- Các thành phần ứng suất mặt lân cận xi, (xi+dxi):
2
dx
1
σ13 +
3
1
+
+
ρ
X
= ⇒ 0
1
f 1
∑
∂ σ 31 ∂ x
∂ u 1 2 dt
2
X
f
ρ
+
+
+
= ⇒ 0
σ13 x x • Hệ phương trình cân bằng • Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy Navier-Cauchy
2
2
∑
(3.7)
u ∂ 2 2 dt
2 σ ∂ 22 x ∂
3 σ ∂ 32 x ∂
2
2
∂ σ ji
+
+
+
ρ
X
= ⇒ 0
3
f 3
∑
f
ρ
+
i
2 ∂ σ 23 ∂ x
3 ∂ σ 33 ∂ x
∂ u 3 2 dt
∂ ∂ σ σ 11 21 + ∂ ∂ x x 1 σ ∂ 12 x ∂ 1 ∂ σ 13 ∂ x 1
2
3
⎛ = ⎜ 0 ⎝ ⎛ = ⎜ 0 ⎝ ⎛ = ⎜ 0 ⎝
⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠
u ∂ i 2 dt
x ∂
j
⎛ 0 = ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
là khối lượng riêng
ρ July 2009
8(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.2. Điều kiện cân bằng
3.2.3.Định luậtđốiứngcủaứngsuấttiếp
(3.8)
σ σ= ji
ij
3.2.4. Điềukiệnbiêntheoứngsuất
x 2
(điều kiện cân bằng của phân tố loại 2)
C
X
=
+
+
= ⇒ 0
σ σ σ
1
l 11 1
l 31 3
l 21 2
* f 1
ν
(3.9)
X
+
+
=
f
σ σ σ
= ⇒ 0
l 22 2
l 32 3
l 12 1
2
* 2
* f1
B
* f2 * f3
σ13 σ11 σ12
+
+
=
X
σ σ σ
= ⇒ 0
l 23 2
l 33 3
l 13 1
3
* f 3
x1
σ23
A
σ22
*
Xét điều kiện cân bằng phân tố tứ diện ∑ ∑ ∑ •Điều kiện biên: •Điều kiện biên:
σ21
f
l σ = ji j
i
x 3
=
cos
l i
i
(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) ( xν ,
)
-(3.7) và (3.9):điềukiệncânbằng củatoànthểmôitrường
-(3.9) là điềukiệnbiênđểxácđịnhcáchằngsốtíchphân
July 2009 9(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
x 2
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
C
Cosin chỉ phương của mặt nghiêng:
ν
=
cos
l i
i
p ν2
(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) ( xν ,
)
Các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng:
p ν1
B
p ν3
σ13 σ11 σ12
x1
,
1
p p , 2 ν ν
p 3 ν
A
σ22
σ21
ν
σ23 pν
x 3
Từ (3.9):
f
* f 1 * 2
p ν ≈ 1 p ν ≈ 2
f
* 3
p ν ≈ 3
July 2009 10(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
x 2
Các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng:
C
ν
p ν2
σ σ σ
+
+
=
l 21 2
l 11 1
l 31 3
p ν 1
p ν1
B
(3.10)
σ σ σ
+
+
=
p ν3
l 22 2
l 12 1
l 32 3
p ν 2
σ13 σ11 σ12
x1
σ23
σ σ σ
+
+
=
A
l 23 2
l 13 1
l 33 3
p ν 3
σ22
σ21
x 3
• Ứng suất trên mặt nghiêng: • Ứng suất trên mặt nghiêng:
l σ = ji j
i
pν
(3.12)
=
+
+
p ν
2 p 1 ν
2 p 2 ν
2 p 3 ν
• Ứng suất toàn phần: • Ứng suất toàn phần:
July 2009 11(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
• Ứng suất pháp: • Ứng suất pháp:
Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần ứng suất lên pháp tuyến
+
+
σ = νν
p l ν 1 1
p l ν 2 2
p l ν 3 3
(3.13)
+
σ
+
σ
+
+
σ
+
σ
2
( σ
)
= ννσ σ
2 l 11 1
2 l 22 2
2 l 33 3
l l 12 1 2
l l 13 1 3
l l 23 2 3
ν
• Ứng suất tiếp: • Ứng suất tiếp:
σνν
(3.14)
σ
=
νη
−2 p ν
2 σ νν
σνη
July 2009 12(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
33σ
32σ
31σ
3.4.1. Trạngtháiứngsuất Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó.
12σ
mặt cắt – pháp tuyến ν
Ứng suất:
x3
21σ
điểm P(x1, x2, x3)
11σ
x1
Trạng thái ứng suất:
x2
22σ
- điểm P(x1, x2, x3)
13σ
xyσ 23σ
Qui ước chiều dương của ứng suất
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng - Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng
July 2009 13(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
3.4.2. Ứngsuấtkhibiếnđổihệtrụctoạđộ
'
' σ ij
σ= c c ik kl
jl
- hệ trục ban đầu xi - hệ trục mới
ix - cosin chỉ phương của góc giữa hệ trục mới và cũ:
ijc
33σ
32σ
3.4.3. Tenxơứngsuất • Ten xơ ứng suất: • Ten xơ ứng suất:
31σ
12σ
11
12
x3
21σ
11σ
21
22
Tσ
x1
x2
22σ
13σ
32
31
σ σ σ ⎡ 13 ⎢ σ σ σ = ⎢ 23 ⎢ σ σ σ ⎣ 33
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
xyσ 23σ
Tenxơ hạng 2, đối xứng
July 2009 14(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
+
=
σ
T D T σ σ 0 • Ten xơ lệch ứng suất: • Ten xơ lệch ứng suất:
=
D σ
Biến đổi hình dáng
σ 12 − σ σ tb 22 σ 32
σ 13 σ 23 σ σ − tb 33
− σ σ ⎡ tb 11 ⎢ σ ⎢ 21 ⎢ σ ⎣ 31
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
• Ten xơ cầu ứng suất: • Ten xơ cầu ứng suất:
0
0
0
T σ
Biến đổi thể tích
0
σ tb 0
σ tb
σ ⎡ tb ⎢ 0 = ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
July 2009 15(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
σ22 - σtb
σtb
σ22
σtb
σ11 - σtb
=
σ11
σ33 - σtb
σtb
σ33
Biến đổi thể tích
Biến đổi hình dáng
July 2009 16(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
-Mặtchínhlà mặtcó ứngsuấttiếpbằng0.
-Ứngsuấtchính: ứngsuấtpháptrênmặtchính
-Phươngchính: phươngpháptuyếncủamặtchính
.
ν σ= p l i
Giả sử phương chính có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất chính là σ Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pν có phương trùng với pháp tuyến và có giá trị bằng σ: i Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng
−
+
=
0
=
1
( + σ σ σ σ l 1 σ
+
−
+
=
0
2 l 1
2 + + l 2
2 l 3
11 l 12 1
l 21 2 l 2
22
l 31 3 l 32 3
+
+
=
0
) ( ) σ σ σ ( ) − σ σ σ σ l 13 1 33
l 23 2
l 3
July 2009 17(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
Điều kiện để hệ phương trình không có nghiệm tầm thường cho ta phương trình đặc trưng
Các ứng suất chính σ xác định từ phương trình đặc trưng:
3
(3.23)
2 σ σ σ
−
+
I
−
I
=
0
I 1
2
3
=
+
+ I σ σ σ 1 33
22
11
12
11
I
=
3
22
12
11
11
23
22
12
I
=
+
+
2
σ σ σ 13 σ σ σ 23 σ σ σ 33
23
13
σ σ σ σ σ σ 13 σ σ σ σ σ σ 33
33
23
12
22
13
July 2009 18(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
- Phương chính ν của ứng suất chính σi có các cosin chỉ phương trong hệ xi là li xác định từ 3 trong hệ 4 phương trình:
−
+
=
0
i
11
l 31 3
+
( l + σ σ σ σ 1 σ
+
σ
=
0
l 12 1
l 2
22
l 32 3
(3.24)
+
+
=
0
)
l 23 2
l 3
=
) l 21 2 ) ( σ σ − i ( l σ σ − σ σ i 33 13 1 1
2 + + l 2
2 l 1
2 l 3
July 2009 19(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.6. Ứng suất tiếp cực trị
τ
τmax
3.6. Ứng suất tiếp cực trị 3.6. Ứng suất tiếp cực trị
x2
σ2
σ
σ1
2σ
3σ
1σ
σ3
x1
x3
1
=
1 τ max
− σ σ 2 2
2
1
=
=
2 τ max
3 τ max
Mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tyến nghiêng góc 450 so với các trục ứng suất chính.
− σ σ 3 2
− σ σ 3 2
July 2009 20(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
3.7. Cường độ ứng suất
3.7. Cường độ ứng suất
)
( I Dσ
τ = i
2
Cường độ ứng suất là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của tenxơ lệch ứng suất •Cường độ ứng suất tiếp •Cường độ ứng suất tiếp
2
2
2
=
+
+
)
)
)
iτ
( − σ σ 2
1
( − σ σ 3
2
( − σ σ 1
3
1 6
)
σ = i
( I Dσ 23
•Cường độ ứng suất pháp •Cường độ ứng suất pháp
2
2
2
=
+
+
)
)
)
iσ
( − σ σ 2
1
( − σ σ 3
2
( − σ σ 1
3
2 2
July 2009 21(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
July 2009 22(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
July 2009 23(35)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
![Bài giảng Chế biến khoáng sản vô cơ [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251025/thanhvan173002/135x160/21521761538638.jpg)
