intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 0: Kiến thức chuẩn bị

Chia sẻ: Tieuduongchi Duongchi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST
Báo xấu
22
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 0: Kiến thức chuẩn bị. Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: nhóm, vành và trường; định nghĩa số phức; các phép toán trên số phức; dạng lượng giác của số phức; đa thức;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 0: Kiến thức chuẩn bị

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ( DÀNH CHO KHỐI KỸ THUẬT - CNTT) Giảng viên: THS. ĐẶNG VĂN CƯỜNG 1
  2. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
  3. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Nhóm, Vành và Trường. 2
  4. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Nhóm, Vành và Trường. Các khái niệm nhóm, vành và trường được giới thiệu trong phần này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau của giáo trình. Giả sử G là một tập hợp. Mỗi ánh xạ o:G×G→G được gọi là một phép toán hai ngôi (hay một luật hợp thành) trên G. Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được ký hiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y. 2
  5. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Nhóm, Vành và Trường. Các khái niệm nhóm, vành và trường được giới thiệu trong phần này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau của giáo trình. Giả sử G là một tập hợp. Mỗi ánh xạ o:G×G→G được gọi là một phép toán hai ngôi (hay một luật hợp thành) trên G. Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được ký hiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y. 2
  6. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1. Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang bị một phép toán hai ngôi o thoả mãn 3 điều kiện sau: (G1 ) Phép toán có tính kết hợp (xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G. (G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, với tính chất xoe = eox = x, ∀x ∈ G. (G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x0 ∈ G, được gọi là nghịch đảo của x, sao cho xox0 = x0 ox = e. 3
  7. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1. Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang bị một phép toán hai ngôi o thoả mãn 3 điều kiện sau: (G1 ) Phép toán có tính kết hợp (xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G. (G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, với tính chất xoe = eox = x, ∀x ∈ G. (G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x0 ∈ G, được gọi là nghịch đảo của x, sao cho xox0 = x0 ox = e. Nhận xét: Phần tử trung lập là duy nhất. Thật vậy, nếu e và e0 đều là các 3
  8. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân phần tử trung lập của nhóm G thì e = eoe0 = e0 . Với mọi x ∈ G, phần tử x0 ở mục (G3 ) là duy nhất. Thật vậy, nếu x01 và x02 là các phần tử nghịch đảo của x thì x01 = x01 oe = x01 o(xox02 ) = (x01 ox)ox02 = eox02 = x02 . Trong nhóm có luật giản ước, tức là xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y. 4
  9. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân phần tử trung lập của nhóm G thì e = eoe0 = e0 . Với mọi x ∈ G, phần tử x0 ở mục (G3 ) là duy nhất. Thật vậy, nếu x01 và x02 là các phần tử nghịch đảo của x thì x01 = x01 oe = x01 o(xox02 ) = (x01 ox)ox02 = eox02 = x02 . Trong nhóm có luật giản ước, tức là xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y. Thật vậy, để có luật giản ước, chỉ cần nhân hai vế của đẳng thức xoy = xoz với nghịch đảo x0 của x từ bên trái và nhân hai vế của đẳng thức xoz = yoz với nghịch đảo z 0 của z từ bên phải. 4
  10. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Nếu phép toán o có tính giao hoán, tức là xoy = yox, ∀x, y ∈ G, thì G được gọi là nhóm giao hoán (nhóm abel). Theo thói quen, luật hợp thành o trong một nhóm abel thường được ký hiệu theo lối cộng “ + ”. Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được ký hiệu theo lối cộng x + y và được gọi là tổng của x và y. Phần tử trung lập được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0. nghịch đảo của x được gọi là phần tử đối của x, ký hiệu là (−x). Trường hợp tổng quát, phép toán o trong nhóm thường được ký hiệu theo lối nhân “.”, Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được ký hiệu là x.y hay đơn giản là xy, và gọi là tích của x và y. Phần tử trung lập của nhóm thường được gọi là phần tử đơn vị. Phần tử nghịch đảo của x được ký hiệu là x−1 . 5
  11. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 1.1. a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng. b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một nhóm abel đối với phép nhân. 6
  12. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 1.1. a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng. b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một nhóm abel đối với phép nhân. Definition 1.2. Giả sử G và G0 là các nhóm (với phép toán viết theo lối nhân). Một ánh xạ ϕ : G → G0 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G. 6
  13. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 1.1. a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng. b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một nhóm abel đối với phép nhân. Definition 1.2. Giả sử G và G0 là các nhóm (với phép toán viết theo lối nhân). Một ánh xạ ϕ : G → G0 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G. Nhận xét: Đồng cấu nhóm ϕ biến đơn vị e của G thành đơn vị e0 của G0 : ϕ(e) = e0 . Nó cũng biến phần tử nghịch đảo của x thành phần tử nghịch đảo của ϕ(x): ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 . 6
  14. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.3. Ta có các khái niệm sau: a) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh được gọi là một đơn cấu nhóm. b) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một toàn ánh được gọi là một toàn cấu. c) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là một đẳng cấu nhóm. Nếu có một đẳng cấu nhóm giữa G và G0 thì ta nói G đẳng cấu với G0 và viết G ∼ = G0 . 7
  15. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường. 7
  16. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường. Definition 1.4. Một vành là một tập hợp R 6= ∅ được trang bị hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng + : R → R, (x, y) 7→ x + y, và phép nhân . : R × R → R, (x, y) 7→ xy, thoả mãn ba điều kiện sau: (R1 ) R là một nhóm abel đối với phép cộng. (R2 ) Phép nhân có tính kết hợp: (xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R. 7
  17. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân (R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R. Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao hoán: xy = yx, ∀x, y ∈ R. Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. 8
  18. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân (R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R. Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao hoán: xy = yx, ∀x, y ∈ R. Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. Example 1.3. Các tập hợp số Z, Q là các vành giao hoán và có đơn vị đối với các phép toán cộng và nhân thông thường. Tập hợp số tự nhiên N không là một vành và không là một nhóm đối với phép cộng. 8
  19. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân (R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R. Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao hoán: xy = yx, ∀x, y ∈ R. Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. Example 1.3. Các tập hợp số Z, Q là các vành giao hoán và có đơn vị đối với các phép toán cộng và nhân thông thường. Tập hợp số tự nhiên N không là một vành và không là một nhóm đối với phép cộng. 8
  20. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.5. Giả sử R và R0 là các vành. Một ánh xạ ϕ : R → R0 được gọi là một đồng cấu vành nếu ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R. Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được định nghĩa tương tự đối với trường hợp nhóm. 9
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2