Chương 4:
DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG
Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com
Email: nguyenphuong0122@gmail.com
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 28 tháng 10 năm 2013
1
1Giá trị riêng - vectơ riêng
Các định nghĩa
Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng
2Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao
Định nghĩa chéo hóa
Các bước chéo hóa ma trận vuông
Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng
3Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc
Dạng toàn phương
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Lagrange
Phương pháp Jacobi
4Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester
Dạng toàn phương xác định dấu
Định lý Sylvester
2
Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa
Định nghĩa
- Cho ma trận A ∈Mn(R). Số thực λđược gọi là trị riêng của A nếu tồn tại
vector 0 <x∈Rnnếu A[x] = λ[x].
- Vector x ,0 thỏa A[x] = λ[x]được gọi là vector riêng của ma trận A ứng với
trị riêng λ.
Ví dụ 1:Với A = 4−2
1 1 !,x= (2;1), ta được
A[x] = 4−2
1 1 ! 2
1!= 6
3!=3 2
1!=3[x]
Vậy x = (2;1)là vector riêng của A ứng với trị riêng λ=3.
Tính chất
Nếu A có vectơ riêng x ứng với trị riêng λthì kx,k,0 cũng là vectơ
riêng ứng với trị riêng λ.
Nếu A có trị riêng λthì λmlà trị riêng của Am.
Nếu A có trị riêng λvà |A|,0 thì λ−mlà trị riêng của A−m.
3
Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa
Định nghĩa
Cho ma trận vuông A = (aij)cấp n, ma trận đơn vị cấp n: I.
- Ma trận đặc trưng của A là
A−λI=
a11 −λa12 . . . a1n
a21 a22 −λ . . . a2n
.
.
..
.
.....
.
.
an1 an2 . . . ann −λ
- Đa thức đặc trưng của A là định thức của ma trận đặc trưng (là một đa
thức λ), det(A−λI).
- Phương trình đặc trưng của ma trận A là det(A−λI) = 0.
Ví dụ 2: Cho A = 1 2
3 4 !, ta có đa thức đặc trưng
det(A−λI) =
1−λ2
3 4 −λ
=λ2−5λ−2
4
Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng
Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng
- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A−λI) = 0.
Các nghiệm tìm được là các giá trị riêng cần tìm.
- Bước 2: Giả sử λ0là giá trị riêng. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất (A−λ0I)X=0.
Nghiệm không tầm thường của phương trình này là vectơ riêng cần tìm.
Ví dụ 3: Cho A = 4−2
1 1 !. Tìm giá trị riêng và vector riêng của A.
Giải. Phương trình đặc trưng là
det(A−λI) = 0⇔
4−λ−2
1 1 −λ
=0⇔λ2−5λ+6=0
Suy ra λ1=2 và λ2=3 là hai trị riêng của A.
+ Ứng với λ1=2:
+ Ứng với λ2=3:
5