intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Nguyễn Phương

Chia sẻ: Bfgh Bfgh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST
Báo xấu
227
lượt xem 46
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 Dạng toàn phương trình bày những nội dung chính: giá trị riêng - vectơ riêng; chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao; dạng toàn phương, đưa dạng toán phương về dạng chính tắc; dạng toán phương xác định dấu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Nguyễn Phương

  1. Chương 4: D NG TOÀN PHƯƠNG Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 28 tháng 10 năm 2013 1
  2. 1 Giá tr riêng - vectơ riêng Các đ nh nghĩa Cách tìm vectơ riêng, giá tr riêng 2 Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Đ nh nghĩa chéo hóa Các bư c chéo hóa ma tr n vuông Chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng 3 D ng toàn phương. Đưa DTP v d ng chính t c D ng toàn phương Đưa d ng toàn phương v d ng chính t c Phương pháp Lagrange Phương pháp Jacobi 4 D ng toàn phương xác đ nh d u. Đ nh lý Sylvester D ng toàn phương xác đ nh d u Đ nh lý Sylvester
  3. Giá tr riêng - vectơ riêng Các đ nh nghĩa Đ nh nghĩa - Cho ma tr n A ∈ Mn (R). S th c λ đư c g i là tr riêng c a A n u t n t i vector 0 x ∈ Rn n u A[x] = λ[x]. - Vector x 0 th a A[x] = λ[x] đư c g i là vector riêng c a ma tr n A ng v i tr riêng λ. 4 −2 Ví d 1:V i A = , x = (2; 1), ta đư c 1 1 4 −2 2 6 2 A[x] = = =3 = 3[x] 1 1 1 3 1 V y x = (2; 1) là vector riêng c a A ng v i tr riêng λ = 3. Tính ch t N u A có vectơ riêng x ng v i tr riêng λ thì kx, k 0 cũng là vectơ riêng ng v i tr riêng λ. N u A có tr riêng λ thì λm là tr riêng c a Am . N u A có tr riêng λ và |A| 0 thì λ−m là tr riêng c a A−m . 3
  4. Giá tr riêng - vectơ riêng Các đ nh nghĩa Đ nh nghĩa Cho ma tr n vuông A = (aij ) c p n, ma tr n đơn v c p n: I. - Ma tr n đ c trưng c a A là  a11 − λ a12 ... a1n    a22 − λ ...    a21  a2n   A − λI =    . . .. .   . . .  . . . .           ... ann − λ   an1 an2 - Đa th c đ c trưng c a A là đ nh th c c a ma tr n đ c trưng (là m t đa th c λ), det(A − λI). - Phương trình đ c trưng c a ma tr n A là det(A − λI) = 0. 1 2 Ví d 2: Cho A = , ta có đa th c đ c trưng 3 4 1−λ 2 det(A − λI) = = λ2 − 5λ − 2 3 4−λ 4
  5. Giá tr riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá tr riêng Cách tìm vectơ riêng, giá tr riêng - Bư c 1: Gi i phương trình đ c trưng:det(A − λI) = 0. Các nghi m tìm đư c là các giá tr riêng c n tìm. - Bư c 2: Gi s λ0 là giá tr riêng. Gi i h phương trình tuy n tính thu n nh t (A − λ0 I)X = 0. Nghi m không t m thư ng c a phương trình này là vectơ riêng c n tìm. 4 −2 Ví d 3: Cho A = . Tìm giá tr riêng và vector riêng c a A. 1 1 Gi i. Phương trình đ c trưng là 4−λ −2 det(A − λI) = 0 ⇔ = 0 ⇔ λ2 − 5λ + 6 = 0 1 1−λ Suy ra λ1 = 2 và λ2 = 3 là hai tr riêng c a A. + ng v i λ1 = 2: + ng v i λ2 = 3:
  6. Giá tr riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá tr riêng    0  0 1   Ví d 4: Cho A =  0 1 0 . Tìm giá tr riêng và vector riêng c a A.       1 0 0   Gi i. Phương trình đ c trưng: −λ 0 1 0 1−λ 0 = 0 ⇔ (1 − λ)(λ2 − 1) = 0 1 0 −λ ⇒ λ1 = −1, λ2 = 1 là hai tr riêng c a A. + V i λ1 = −1, ta có:      1 0 1   1 0 1  x1 + x3 =0 A − λ1 I =  0 2      0  −→  0   1 0 ⇒  x2 =0         1 0 1 0 0 0     ⇒ x = α(1; 0; −1) (α 0) là vetor riêng c a A.
  7. Giá tr riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá tr riêng + V i λ2 = 1, ta có:  −1 0 1  −1 0 1       A − λ2 I =  0 0 0    0 0 0      −→      ⇒ x1 − x3 = 0       1 0 −1 0 0 0     ⇒ x = (α; β; α) là vetor riêng c a A. Không gian riêng Gi s λ là giá tr riêng c a ma tr n A. G i t p h p các vector riêng ng v i λ và vector không là E(λ). E(λ) đư c g i là không gian riêng ng v i λ. Ví d 4: E(−1) = (1; 0; −1) ; dimE(−1) = 1 E(1) = (1; 0; 1), (0; 1; 0) ; dimE(1) = 2 7
  8. Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Đ nh nghĩa chéo hóa Đ nh nghĩa - Hai ma tr n vuông cùng c p A và B đư c g i là đ ng d ng n u t n t i ma tr n kh ngh ch P th a B = P−1 AP. - Ma tr n vuông c p n đư c g i là chéo hóa đư c n u A đ ng d ng v i ma tr n đư ng chéo D, t c là, t n t i ma tr n P kh ngh ch sao cho P−1 AP = D. Khi đó, ta nói ma tr n P làm chéo hóa ma tr n A. 1 0 −1 0 Ví d : Hai ma tr n A = và B = đ ng d ng nhau vì có 6 −1 0 1 0 1 ma tr n P = kh ngh ch th a B = P−1 AP. 1 3    0 0 0    0 1 0  Ví d : Ma tr nA=  chéo hóa đư c, vì có ma tr n      1 0 1        1 0 0   0 0 0  0  th a P−1 AP =      0 1 0  P= 0 1             −1 0 1 0 0 1     8
  9. Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Các bư c chéo hóa ma tr n vuông Các bư c chéo hóa ma tr n vuông - Bư c 1: Gi i phương trình đ c trưng:det(A − λI) = 0 đ tìm tr riêng th c c a A. + Trư ng h p A có tr riêng ph c thì ta k t lu n A không chéo hóa đư c. + Trư ng h p A có n tr riêng th c thì A chéo hóa đư c, ta làm ti p bư c 2. + Trư ng h p A có k tr riêng th c λi (i = 1, . . . , k) v i λi là nghi m b i ni c a phương trình đ c trưng. i) dim E(λi ) = ni , ∀i, ta k t lu n A chéo hóa đư c, ta làm ti p bư c 2. ii) t n t i dim E(λi ) < ni , ta k t lu n A không chéo hóa đư c. - Bư c 2: Tìm cơ s c a các không gian riêng E(λi ). - Bư c 3: L p ma tr n P có các c t là các vector cơ s c a E(λi ). Khi đó, P−1 AP = D v i D là ma tr n chéo có các ph n t trên đư ng chéo chính l n lư t là λi (m i λi xu t hi n liên ti p ni l n).
  10. Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Các bư c chéo hóa ma tr n vuông  1 −1 0      2 −1 0  Ví d : Chéo hóa ma tr n sau trên R: A =        1 2 3   1−λ −1 0 Gi i. det(A − λI) = 2 −1 − λ 0 = (3 − λ)(1 + λ2 ) 1 2 3−λ Phương trình det(A − λI) = 0 không đ 3 nghi m th c nên A không chéo hóa đư c trên R. −3 2 Ví d : Chéo hóa ma tr n sau trên R: A = −2 1 Gi i. Phương trình đ c trưng det(A − λI) = 0 ⇔ (λ + 3)(λ − 1) + 4 = 0 ⇔ (λ + 1)2 = 0 ⇔ λ = −1 (b i 2) −2 2 x1 0 −2x1 + 2x2 = 0 (A − λI)X = 0 ⇔ = ⇔ ⇔ x1 = x2 −2 2 x2 0 −2x1 + 2x2 = 0 ⇒ dim E(−1) = 1 < 2 ⇒ A không chéo hóa đư c.
  11. Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Các bư c chéo hóa ma tr n vuông 1 0 Ví d : Chéo hóa ma tr n A = . 6 −1 Gi i. Phương trình đ c trưng 1−λ 0 λ = −1 det(A − λI) = =0⇔ ⇒ A chéo hóa đư c. 6 −1 − λ λ=1 2 0 1 0 λ = −1 : (A − λI) = → ⇒ x = (0; 1) 6 0 0 0 0 0 −3 1 λ = 1 : (A − λI) = → ⇒ x = (1; 3) 6 −2 0 0 0 1 −1 0 suy ra P = và D = 1 3 0 1 −1 0 V y P−1 AP = 0 1
  12. Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Các bư c chéo hóa ma tr n vuông −1    4  2   Ví d : Chéo hóa ma tr n A =  −6 −4 3        −6 −6 5   Gi i. Phương trình đ c trưng 4−λ 2 −1 λ=1 det(A − λI) = −6 −4 − λ 3 = 0 ⇔ (λ − 1)(λ − 2)2 = 0 ⇔ λ=2 −6 −6 5−λ + V i λ = 1 (nghi m đơn), ta có: −1      3 2   3 0 1  3x1 + x3 = 0 A − λI =  −6      −5 3  →  0 1 −1  ⇒    x2 − x3 = 0         −6 −6 4 0 0 0     ⇒ x = α(1; −3; −3) ⇒ dim E(1) = 1 12
  13. Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Các bư c chéo hóa ma tr n vuông + V i λ = 1 (nghi m b i 2), ta có: −1  2 2 −1       2 2  A − λI =  −6        −6 3  →  0 0 0  ⇒ 2x1 + 2x2 − x3 = 0          −6 −6 3 0 0 0     ⇒ x = α(1; 0; 2) + β(0; 1; 2) ⇒ dim E(2) = 2      1 0 0   1 1 0  −1   0 2 0    −3 0 1  V y A chéo hóa đư c và P AP =  v iP= .           0 0 2 −3 2 2     13
  14. Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng Đ nh nghĩa Ma tr n th c A vu ng c p n đư c g i là tr c giao n u AT A = I, t c là A−1 = AT .   −√1 1    √    Ví d :  1 2 2  là ma tr n tr c giao.    1       √   √    2 2 Đ nh lý N u A là ma tr n đ i x ng thì các vector riêng thu c các không gian riêng khác nhau là tr c giao. Đ nh nghĩa N u t n t i ma tr n tr c giao P sao cho P−1 AP là ma tr n chéo thì A là ma tr n chéo hóa tr c giao đư c và P là ma tr n làm chéo hóa tr c giao A. 14
  15. Chéo hóa ma tr n. Chéo hóa tr c giao Chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng Các bư c chéo hóa ma tr n đ i x ng - Bư c 1:Tìm các tr riêng. - Bư c 2: Tìm các vector cơ s c a các không gian riêng. - Bư c 3: Chu n hóa các vector cơ s này. - Bư c 4: L p ma tr n chéo hóa tr c giao c a A.    9 2 2    Ví d : Chéo hóa ma tr n đ i x ng A =  2 0 2 .       2 2 0   15
  16. D ng toàn phương. Đưa DTP v d ng chính t c D ng toàn phương Đ nh nghĩa - D ng toàn phương c a n bi n x1 , x2 , . . . , xn (hay là d ng toàn phương trong Kn ) là hàm Q t Kn đ n K cho b i bi u th c n n Q(x) = aij xi xj v i aij = aji i=1 j=1  a11 a12 . . . a1n     21 a22 . . .   a   a2n    - N u ta đ t A = aij = . . .. .  ∈ Mn (K) và    . . .  . . . .   n×n       an1 an2 . . .   ann X = (x1 , x2 , . . . , xn )thì d ng toàn phương đư c vi t d ng ma tr n Q(X) = [x]T A[x] A đư c g i là ma tr n c a d ng toàn phương, A là m t ma tr n đ i x ng. 16
  17. D ng toàn phương. Đưa DTP v d ng chính t c D ng toàn phương 1 −1 Ví d : Tìm d ng toàn phương q(x), bi t ma tr n c a q là A = . −1 2 Gi i. Ta có 1 −1 x1 q(x) = [x]T A[x] = (x1 x2 ) = x2 + 2x2 − 2x1 x2 1 2 −1 2 x2 Ví d : Tìm ma tr n c a d ng toàn phương q : R3 → R sau q(x) = 2x2 + 3x2 − x2 − 4x1 x2 + 6x2 x3 1 2 3 Gi i. −2 0    2    A =  −2 3 3        0 3 −1   17
  18. D ng toàn phương. Đưa DTP v d ng chính t c D ng toàn phương Đ nh nghĩa Trong Rn , d ng toàn phương n Q(X) = a11 x2 + a22 x2 + · · · + an x2 = 1 2 n aii x2 i i=1 đư c g i là d ng toàn phương chính t c hay g i t t là d ng chính t c. Ma tr n c a d ng chính t c là A = diag a11 a22 . . . ann . 1 0 Ví d : Trong R2 , cho d ng chính t c có ma tr n A = . 0 −2 Khi đó, bi u th c c a q là 1 0 x1 q(x) = [x]T A[x] = (x1 x2 ) = x2 − 2x2 1 2 0 −2 x2 18
  19. D ng toàn phương. Đưa DTP v d ng chính t c Đưa d ng toàn phương v d ng chính t c Phương pháp Lagrange: - Phương pháp Lagrange nhóm tr c ti p l n lư t theo t ng bi n xi dư i d ng t ng bình phương. Sau đó, ta d a vào các t ng bình phương đ đ i bi n. Trư ng h p 1: (Q(x) có h s aii 0) • Bư c 1: Gi s a11 0, ta tách t t c các s h ng ch a x1 trong Q(x) và thêm ho c b t đ có d ng Q(x) = a11 (x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn )2 + Q1 (x2 ; . . . ; xn ) Đ i bi n y1 = x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn , yi = xi (i = 2, . . . , n) , t c là x1 = y1 − α12 x2 − · · · − α1n xn , xi = yi (i = 2, . . . , n) Khi đó, Q(x) tr thành Q(x) = a11 (y1 )2 + Q1 (y2 ; . . . ; yn ) • Bư c 2: Ti p t c làm như bư c 1 cho Q1 (y2 ; . . . ; yn ). Sau vài bư c thì d ng toàn phương Q(x) s có d ng chính t c. Trư ng h p 2: (Q(x) có t t c các h s aii = 0) Gi s a12 0, ta th c hi n đ i bi n: x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , xi = yi (i = 2, . . . , n) 2 2 2 Khi đó, d ng toàn phương Q(x) = 2a12 y1 − 2a12 y2 + · · · có h s c a y1 0. Ta th c hi n theo trư ng h p 1. 19
  20. D ng toàn phương. Đưa DTP v d ng chính t c Đưa d ng toàn phương v d ng chính t c Ví d : Đưa d ng toàn phương v d ng chính t c: Q(x) = −x2 + 4x2 + 2x1 x2 + 4x1 x3 2 3 Bư c 1. Bi n đ i Q(x) = −(x2 − 2x1 x2 + x2 ) + x2 + 4x2 + 4x1 x3 = −(x1 − x2 )2 + x2 + 4x2 + 4x1 x3 1 2 1 3 1 3    y1 = x1   x1 = y1    Đ i bi n  y2 = x1 −x2 ⇔  x2 = y1 −y2      y3 =  x3  x3 =  y3 2 2 2 2 2 Khi đó, Q(x) = −y2 + y1 + 4y3 + 4y1 y3 v i Q1 (y) = y1 + 4y3 + 4y1 y3 . 2 2 2 Bư c 2. Bi n đ i Q1 (y) = y1 + 4y3 +  1 y3 = (y1 + 2y3 )  4y  z1 = y1   +2y3  y1 = z1   −2z3 Đ i bi n  z2 = y2 ⇔  y2 = z2      z3 =  y3  y3 =  z3   x1 = z1   −2z3 V y Q(x) = z2 − z2 v i  x2 = z1 −z2 −2z3  1 2   x3 =  z3 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2