Bài giảng "Đồ họa hiện thực ảo - Bài 4B: Các phép biến đổi trong không gian" cung cấp cho người học các kiến thức: Ma trận biến đổi 3 chiều, phép lấy đối xứng, hệ tọa độ,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Đồ họa hiện thực ảo: Bài 4B - Lê Tấn Hùng
- Bài 4B:
Phép biến đổi trong không gian
(c) SE/FIT/HUT 2002 1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Ma trận biến đổi 3 chiều
3D Matrix Transformations
Các phép biến đổi chuyển vị - translation, tỉ lệ-scaling và
quay-rotation sử dụng trong không gian 2D đều co thể mở
rộng trong không gian 3D
Again, using homogeneous coordinates it is possible to
represent each type of transformation in a matrix form
In 3D, each transformation is represented by a 4x4 matrix
(c) SE/FIT/HUT 2002 2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Các phép biến đổi hình học 3 chiều
Biểu diễn điểm trong không gian 3 chiều
• [ x* y* z* h ] = [ x y z 1 ]. [ T ]
• [x' y' z' 1 ]= [ x*/h y*/h z*/h 1 ][ T ]
Ma trận biến đổi
a b c p
d e f q
[T ] =
g i j r
l m n s
(c) SE/FIT/HUT 2002 3
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Phép tịnh tiến
[X'] = [ X ] . [ T(dx,dy,dz) ]
[ x' y' z' 1 ] =
[ x y z 1 ].[ T(dx,dy,dz) ]
= [ x+dx y+dy z+dz 1 ]
(c) SE/FIT/HUT 2002 4
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Phép tỉ lệ
= [x .s 1 y .s 2 z .s 3 1]
• s1, s2, s3 là các hệ số tỉ lệ tương ứng
trên các trục toạ độ
(c) SE/FIT/HUT 2002 5
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Rotation
y y y
x x x
z z z
(c) SE/FIT/HUT 2002 6
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Phép quay 3 chiều
Quay quanh các trục toạ độ
• Quay quanh trục x
• Quay quanh trục z
(c) SE/FIT/HUT 2002 7
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Quay quanh trục y
cos θ 0 − sin θ 0
0 1 0 0
[Ty ] =
sin θ 0 cos θ 0
0 0 0 1
(c) SE/FIT/HUT 2002 8
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Phép biến dạng
(secondary translation)
1 b c 0
d 1 f 0
[ x' y ' z ' 1] = [ x y z 1]
g i 1 0
0 0 0 1
(c) SE/FIT/HUT 2002 9
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Phép lấy đối xứng
(reflections-secondary translation)
(c) SE/FIT/HUT 2002 10
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Quay quanh một trục bất kỳ song song với các
trục tọa độ
1 0 0 0 1 0 00
0 0 cos φ sin φ 0
1 0 0
[ Tr ] = [T (φ )] =
0 0 1 0 0 − sin φ cos φ 0
,
, 0 y z 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1
[Tth]= 0 cosφ sinφ 0
0 0
0 −sinφ cosφ 0 [Tr] −1 =
0 0 1 0
0 y(1−cosφ)+zsinφ z(1−cosφ)−ysinφ 1
0 − y − z 1
(c) SE/FIT/HUT 2002 11
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Quay quanh một trục bất kỳ
(c) SE/FIT/HUT 2002 12
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Solution
Chuyển P1 về gốc tọa độ.
Quay quanh trục y sao cho P1P2 nằm trên mặt phẳng (y, z)
Quay quanh trục x sao cho P1P2 trùng với trục z.
Quay quanh trục z sao cho P1P3 nằm trên mặt phẳng (y, z)
Euler’s Theorem: Every rotation around the origin can be
decomposed into a rotation around the x-axis followed by a
rotation around the y-axis followed by a rotation around the
z-axis.
(c) SE/FIT/HUT 2002 13
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Bước 1: Chuyển P1 về gốc tọa độ
1 0 0 0
0 1 0 0
[T (− x1,− y1,− z1)] =
0 0 1 0
− x1 − y1 − z1 1
y
y
P3
P3
P2
P1
P2 p P1
z
z x
x
(c) SE/FIT/HUT 2002 14
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Bước 2: Quay quanh trục y
cos( - 90 + φ) = sinφ = z'2/L = ( z2 - z1)/L
sin( - 90 + φ) = - cosφ = x'2/L = ( x2 - x1)/L
y
L = (z'2 )2 (x'2 )2 = (z2 − z1 )2 (x2 − x1 )2
P3
[ P''2 ] = [ P'2 ][ T(φ-90) ]
P'2(x'2,y'2,z'2)
= [ 0 y2-y1 L ]
P'1
L φ
z(x'2,0,z'2)x
(c) SE/FIT/HUT 2002 15
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Bước 3: Quay quanh trục x.
cos ϕ = z''2/N, sin ϕ = y''2/N
y
Với N = | P''1P''2| là độ dài của đoạn P''1P''2
P''2
N
P''1
ϕ
[P'''2] = [P''2][T(ϕ)] = [P'2][T(φ-90)][T(ϕ)]
x
= [P2 ][T(-x1,-y1,-z1 ][T(φ-90)][T(ϕ)] z
= [ 0 0 |P1P2| 1 ]
(c) SE/FIT/HUT 2002 16
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Bước 4: Quay quanh trục z
[P'''3]= [P3 ][T(-x1,-y1,-z1 ][T(φ-90)][T(ϕ)]
Với góc quay dương ψ trên trục z
cos ψ = y3'''/M; sin ψ = x3'''/M;
Ma trận tổng hợp của các phép biến đổi [ T ] có
dạng sau đáp ứng toàn bộ quá trình biến đổi quay
đối tượng quanh một trục bất kỳ. y
y'''3
[ T ] = [T(-x1,-y1,-z1)][T(φ-90)][T(ϕ)][T(ψ)]
P'''3
ψ
M
x'''3
P'''2P'''1
x
z
(c) SE/FIT/HUT 2002 17
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Kết quả sau biến đổi cần phải đưa về vị trí ban đầu qua các phép biến đổi
ngược.
[Tth]= [T(-x1,-y1,-z1)]x[T(φ-0)]x[T(ϕ)]x [T(ψ)]x[T(ψ)]x[T(ϕ)]x
[T(φ-90)]x[T(-x1,-y1,-z1)]
(c) SE/FIT/HUT 2002 18
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Hệ toạ độ
Coordinate Frame
y
j
φ i
k
z x
Coordinate frame is given by origin φ and three mutually orthogonal unit vectors,
i, j, k.
Mutually orthogonal (dot products): i•j = ?; i•k = ?; j•k = ?.
Unit vectors (dot products): i•i = ?; j•j = ?; k•k = ?.
(c) SE/FIT/HUT 2002 19
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Orientation
Right handed coordinate system: Left handed coordinate system:
k
y y
j j
φ i i
φ
k
z x z x
Cross product: i x j = ? Cross product: i x j = ?
(c) SE/FIT/HUT 2002 20
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
